2019届中考数学考点总动员系列：专题28+尺规作图-优选.doc

考点二十八：尺规作图聚焦考点☆温习理解1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；中华资源库(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6．作图的一般步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；(6)结论：对所作图形下结论．名师点睛☆典例分类考点典例一、画三角形【例1】如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C ＝2∠B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】作图见解析【解析】试题分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．试题解析：如图所示：考点：作图—复杂作图．【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．【举一反三】l及外一点A．1.（2015.山东青岛第15题，6分）已知：线段c，直线l求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C）斜边AB＝c．【答案】略.【解析】试题分析：首先作出AB⊥l，然后以A为圆心，c的长度为半径画弧，与直线l的交点的就是点C.试题解析：考点：作图.2.已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．试题解析：考点：作图—基本作图．考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例2】两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】作图见解析考点：作图—应用与设计作图．【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．【举一反三】1.(2015.陕西省，第17题，5分)（本题满分5分）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见下图.试题解析：考点：作图（复杂作图）、三角形的中线的性质.2.（2015.山东淄博，第19题）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】(1)作图见解析；（2）10cm．【解析】试题分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图;（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解．试题解析：：（1）如图1，（2）如图2，∵DE是BC边的垂直平分线，中华资源库∴BD=DC，∵AB=4cm，AC=6cm．∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.考点典例三、通过画图确定圆心【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O 为圆心，过A，D两点作⊙O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)【答案】【解析】试题分析：先作出角平分线AD，再作AD的中垂线交AC于点O，O就是⊙O的圆心，作出⊙O，试题解析：作出角平分线AD，作AD 的中垂线交AC 于点O ， 作出⊙O ，∴⊙O 为所求作的圆．考点：作图—复杂作图．【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆． 【举一反三】1．(2015·湖北孝感）（本题满分8分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若的中点C 到弦AB 的距离为20m ，80=AB m ，求所在圆的半径．（4分）【答案】（1）如图；（2）50=r . 【解析】试题分析：（1）根据垂经定理画图，连接AC,AB 分别做AC,AB 的垂直平分线，交点就是圆心O ；（2）根据垂径定理，连接OC OB ，，OC 交AB 于D ，在Rt OBD ∆中，由勾股定理建立等式关系，求出答案. 试题解析：解：（1）作图如图所示；CDA BO考点：作图，弧.2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，直接写出结论，不用说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）相切【解析】试题分析：（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆；（2）BC与⊙O相切，连接OD，由OD=OA，则∠ODA=∠OAD，因为∠BAC的角平分线AD交BC 边于D，所以∠OAD=∠CAD，再利用三角形的内角和定理即可证明∠ODC=90°，即BC是圆的切线．试题解析：（1）如图，⊙O为所求；考点：切线的判定；作图—复杂作图．课时作业☆能力提升一、选择题1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是( )A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS 【答案】B.④过点D ′作射线O ′B ′．所以∠A ′O ′B ′就是与∠AOB 相等的角； 作图完毕．在△OCD 与△O ′C ′D ′，O C OC O D OD C D CD ''=''=''=⎧⎪⎨⎪⎩∴△OCD ≌△O ′C ′D ′（SSS ）， ∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ， 显然运用的判定方法是SSS ． 故选：B ．答案：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2. （2015.山东潍坊，第9题，3分）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 的两侧作弧，交于两点M 、N;第二步，连结MN ，分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连结DE 、DF..若BD=6，AF=4，CD=3，则BE 的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】试题分析：根据作图的步骤和条件可得：四边形AEDF是菱形，所以AE=AF=DE=DF=4，又DE//AC，所以BE BDAE CD=,所以643BE=，所以BE=8，故选：D.考点：1.菱形的判定与性质；2.平行线分线段成比例定理.3.（2015.河南省，第7题，3分）如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C.【解析】试题分析：设AG与BF交点为O,∵AB=AF,AG平分∠BAD，AO=AO,∴可证△ABO≌△AFO,∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE,∴可证△AOF≌△EOB,AO=EO,∴AE=2AO=8，故选C.考点：角平分线的作图原理和平行四边形的性质.4.如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．②连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连接AB，BC，CA.△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A.由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD 三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．试题解析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=12OD，又OB=OD，在Rt△OBE中，OE=12 OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C，∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形，∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．二、填空题1.如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是．【答案】90°．【解析】试题分析：分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．试题解析：如图所示：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．2.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为【答案】105°．【解析】试题分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：（1）∠ADE= ；（2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=【答案】（1）90°；（2）=；（3）7.【解析】试题分析：（1）由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出BC的长，进而可得出结论．试题解析：（1）∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°．（2）∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC．（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=2253 =4， ∵AE=CE ，∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用． 4.(2015.河北省，第22题，10分) (本小题满分10分)嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证. 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＝AD ， AB ＝____.求证：四边形ABCD 是____四过形.(1)在方框中填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明： 证明：(3)用文宇叙述所证命题的逆命题为____________________. 【答案】 (1)CD ；平行 【解析】试题分析：平行四边形的判定，除要熟记判定定理内容外，还有注重定理的由来. 试题解析：（1）略；(2)证明：连接BD . 在△ABD 和△CDB 中， ∵AB ＝CD ，AD ＝CB ，BD ＝DB ，∴△ABD≌△CDB. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB//CD，AD//CB，∴四边形ABCD是平行四边形.(3)平行四边形的对边相等考点:平行四边形的判定，全等三角形的判定三、解答题1.（2015.青岛）如图，在△ABC中，AB=BC，点点D在AB的延长线上．（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠CBD的平分线BM；②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F．（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是【答案】（1）作图见解析；（2）BF∥AC．【解析】试题分析：（1）①利用角平分线的作法得出BM；②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可．试题解析：（1）①如图所示： BM即为所求；②如图所示：AF即为所求；（2）∵AB=BC，∴∠CAB=∠C，∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，∴∠C=∠CBM ， ∴BF ∥AC ．考点：作图—复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 2.（2015.山东济宁，第19题,8分）(本题满分8分) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠DAC 是△ABC 的一个外角. 实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. （1）作∠DAC 的平分线AM ；（2）作线段AC 的垂直平分线，与AM 交于点F ，与BC 边交于点E ，连接AE 、CF. 猜想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明.DCBA【答案】 【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC ，进而可得AF ∥BC ；然后再根据线段的垂直平分线的性质可知：OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，AE=EC ，FA=FC,由OA=OC, ∠AOF=∠COE=90°，∠CAM=∠ACB 可证明AOF ≌△COE ，即可得到AF=EC.因此可由AF ∥BC ，AF=EC,得证四边形AECF 是平行四边形．最后可由AC ⊥EF 得证结论：菱形. 试题解析：（1）（2）猜想：四边形AECF是菱形证明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM∵∠CAD是△ABC的外角∴∠CAD=∠B+∠ACB∴∠CAD=2∠ACB∴∠CAM=∠ACB∴AF∥CE∵EF垂直平分AC∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=90o∴AOF≌△COE∴AF=CE在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形又∵EF⊥AC∴四边形AECF是菱形考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定3.(2015.天津市，第18题，3分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A， B， C，D均在格点上，点E， F分别为线段BC，DB上的动点，且BE =DF.（Ⅰ）如图①，当BE =52时，计算AE AF +的值等于 ； （Ⅱ）当AE AF +取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段AE ，AF ，并简要说明点E 和点F 的位置是如何找到的（不要求证明） .【答案】(Ⅰ； （Ⅱ）如图（见试题分析），取格点H 、K,连接BH 、CK ，相交于点P.连接AP ，与BC 相交于点E.取格点M 、N ，连接DM 、CN,相交于点G.连接AG ，与BD 相交，得点F.线段AE 、AF 即为所求. 【解析】试题分析：(Ⅰ)在Rt △ABE 中，由勾股定理可得==（Ⅱ）图②第（18）题考点：勾股定理；三角形全等的判定即性质；最短距离问题.21。