2013模拟卷25月26日题案分开南师大2

2013高考数学模拟题(2)
南师大《数学之友》
一、填空题
1.已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c ＞.若对任意(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是 .
2.函数[]()sin 3cos ()f x x x x =-∈-
π，0的单调递增区间是 . 3.已知函数()22,0
3,0
x
a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围
是 .
4.ABC ∆中,90C =︒,且3,CA CB ==点M 满足2,BM AM = 则CM CA ⋅= . 5．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三
角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图(3)……，则第5个图形的周长是 .
(1) (2) (3) 6.点()00,P x y 是曲线C ：()1
0y x x
=
>上的一个动点，
曲线C 在点P 处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 有下列三个命题： ①P A=PB ；
②△OAB 的面积是定值；
③曲线C 上存在两点,M N ,使得△OMN 为等腰直角三角形
.
其中真命题的个数是 . 7.若以()()15243,0,0,3,,77A B C ⎛⎫--
⎪⎝⎭
为顶点的三角形与圆()222
0x y R R +=>没有公共点，则半径R 的取值范围是 .
二、解答题
1.已知向量OA →=(3,-4)，OB →=(6,-3)，OC →
=()m m ---3,5.
(1)若 A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；
(2)对任意[]2,1∈m ，不等式AC 2
32++-≤x x 恒成立，求x 的取值范围.
2. 如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，SA =AD ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC 且交SC 于点N . (1)求证：SB ∥平面ACM ； (2)求证：平面SAC ⊥平面AMN .
3. 根据国际公法，沿海岸线外12海里为我国领海. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线AB 为海岸线， A 、B 是相距12海里的两个观测站，一外国船只航行于P 点处，此时我方测得∠BAP =α，∠ABP =β. (1)试问当测得30,120αβ︒︒==时，我方是否应 向该外国船只发出警告？
N
M C
A
D
B
S
(2)当测得45,60120αβ︒︒︒=≤≤时，求该船只到 我国海岸线距离的范围.
4. 数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2
21n n n a S a -=.
(1)求证：数列2
{}n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(2)设4
2
41
n n b S =
-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使21(3)6n T m m >-对所有*
n N ∈都成立的最大正整数m 的值.
5.已知椭圆2
2
14
y x +=的左、右顶点分别为A 、B ,曲线C 是以A 、B 为顶点、离心率为5的双曲线，设曲线C 上点P 在第一象限，直线AP 与椭圆交于另一点T .
(1)求曲线C 的方程；
(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x .求证:12x x 为定值；
(3)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 、2S ，且P 点在以原点
为圆心，4为半径的圆内,求22
12S S -的取值范围.
6.已知函数323
()(1)31,02
f x x a x ax a =+--+＞,
(1)证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤； (2)设(1)中的p 的最大值为g (a )，求g (a )的最大值.
三．理科附加题（必做部分）
1. 四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形,//AB DC ,90,BAD ∠=︒4AB =,
22,2,AD CD PA ==⊥平面, 4.ABCD PA = (1)求证BD ⊥平面PAC ； (2)设点Q 为线段PB 上一点,,PQ
PB
λ=且直线QC 与平面PAC 所成角的正弦 值为3
3
，求λ的值.
2. 将1到n 的n 个正整数按下面的方法排成一个排列(简称n 排列)：除左边的第一个数外，每个数都与它左边(未必相邻)的某个数相差1. 比如3排列共有下述4个：1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1；而且可以发现所有3排列均以1或3结尾.试问： (1) 4排列共有多少个？所有4排列的结尾只能是什么数？
(2) n 排列共有多少个？所有n 排列的结尾只能是什么数？并加以证明.
P
A
B
D
C
Q
参考答案： 一、填空题
1.答案：1
8
c ≥
解：由题意,c 要且只要20
2
()c x x c >⎧⎪
⎨≤⎪+⎩
，求得18c ≥.
2.答案：06⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
π， 解： 因为()[]()2sin 3f x x x ⎛⎫
=-∈-
⎪⎝⎭
ππ，0， ()2-2+22f x k k ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦ππ所以的单调递增区间为π，π， 22+)232k x k k ≤-≤∈πππ
π-π（Z
22+)66
k x k k ≤≤∈π5π
π-π（Z
由 []0x ∈-π，得()06f x ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦π的单调增区间为，. 3.答案：4,19a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
解：由题意可得，2014,1394902
a a a a a
<≤⎧⎪⎡⎤
∈⎨--⎢⎥⎣⎦>⎪
⎩,解之得，. 4.答案：18CM CA ⋅=
解：由2BM AM =
可知，M 在BA 的延长线上，点A 为BM 的中点，
且,CM CA AM CA AB =+=- 所以18CM CA ⋅=
.
5．答案：27
256
)34(34=⨯=l
解：三角形的边数成首项为3，公比为4的等比数列；而每边的长度成首项为1，公比
为31的等比数列. 因此，图形的周长成首项为3，公比为3
4
的等比数列，可得第五个图形的周长27
256
)34(34=⨯=l .
6.答案：2
解：点()00,P x y 是曲线C ：()1
0y x x
=
>上的一个动点, ∴曲线C 在点P 处的切线方程为()0200
11
y x x x x -
=--， 即200
20x y x x +-=，()0000212,0,0,,,A x B p x x x ⎛⎫⎛⎫
∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴P A=PB=
x 02+ 1
x 02 ，故①正确.
△OMN 的面积S=1 2 ⨯2x 0⨯1
x 02 =2， 故②正确.
曲线C 上不存在两点M , N 使△OMN 为等腰直角三角形，所以③不正确.
7.答案：3103890,,107⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：如图，由已知得 |OA |=|OB |=3，|OC |=389
7
，
因,OC OA OC OB >>,
故当R OC >即389
7
R >，三角形与圆没有交点，此时三角形在圆内.
又直线,,AB AC BC 的方程分别为 ()()2
3,3,31,3
y x y x y x =--=+=- 则原点（圆心）到这三边的距离分别为32613310
,,.21310
AB d d d =
== 当R 小于其中的最小值，即310010
R <<时，圆与三角形也没有公共点，
此时圆在三角形内，故得R 的取值范围为3103890,,.107⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、解答题
1.答案: (1) 2
1
≠
m (2)21≤≤-x
解：(1) AB →=()1,3，AC →=()m m --1,2，因为AB →、AC →
不共线,
∴m m -≠-2)1(3,∴2
1≠
m . (2) AC →2=()()5621222
2+-=-+-m m m m , 当1=m 或2时，AC →
2取到最大值1. 由312++-≤x x ，解得21≤≤-x .
2. 答案：(1)见下面的证明(1)
(2)见下面的证明(2)
证明：(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OM . 因为M,O 分别为SD, BD 中点，
所以MO ∥SB.
而MO ⊂面ACM ，而SB ⊄面ACM , 所以SB ∥面ACM.
(2)SA ⊥面ABCD 所以SA ⊥CD ，又CD ⊥AD,
N
M C
A
D
B
S
∴CD ⊥面SAD ，∴CD ⊥AM.
又SA =AD ， M 是SD 中点 ∴AM ⊥SD , ∴AM ⊥平面SCD ,故AM ⊥SC.
又AN ⊥SC ,∴SC ⊥平面AMN , ∴平面SAC ⊥平面AMN .
3. 答案：(1)应向此外国船只发出警告，令其退出
(2) [6(33),6(33)]-+
解：(1)如图，sin 30x PA ︒=
, sin120
x PB ︒
= ,30APB ︒
∠=， sin 30sin120sin 30sin120
AB PA x ︒︒︒︒
==⋅，sin1206312x AB ︒
==＜， 所以应向此外国船只发出警告，令其退出.
(2)sin 45sin sin 1212sin(45)cos sin x βββββ
︒︒⋅=⋅=⋅
++，'
21120(cos sin )x ββ=⋅>+， 所以x 在[60,120]︒︒上是增函数.
当60β︒=时，6(33)x =-； 当120β︒=时，6(33)x =+.
所以该外国船只到我国海岸线距离的范围为[6(33),6(33)]-+海里.
4. 答案：(1) 1,1
1,2
n n a n n n =⎧⎪=⎨--≥⎪⎩
(2) m =3
解：(1)当2n ≥时，2
21122()()1n n n n n n n n a S a S S S S S ---=---=，
化简为22
11n n S S --=，所以数列2{}n S 为等差数列.
令1n =，则221121S S -=，211S =，所以2n S n =，n S n =.
当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，11n n n a S S n n -=-=--.
所以1,11,2
n n a n n n =⎧⎪=⎨--≥⎪⎩.
(2)42
211
41
(21)(21)2121
n n b S n n n n =
=
=-
--+-+, 222
1335(21)(21)
n T n n =
+++
⨯⨯-+ 111111
11335212121
n n n =-+-++-=--++ .
又n T 的最小值为2
3
，
依题意，221
(3)36
m m >-，解得14m -<<，故最大正整数m =3.
5.答案：(1) 2
2
14
y x -= (2) 121x x ⋅= (3) [0,1]
(1)解：A (-1,0)，B (1,0).可设双曲线C 的方程为2
2
21(0)y x b b
-=>.
因为双曲线的离心率为5，所以215b +=，则b =2.
双曲线方程为2
2
14
y x -=. (2)证明：设11(,)P x y ，22(,)(0,0,12i i T x y x y i >>=、）
， 并设AP 直线方程为(1)y =k x+.
将其代入椭圆2
2
14
y x +=，化简得2222(4)240k x k x k +++-=. 解出2
22
44k x k
-=+. 同理可得2
12
44k x k
+=-，所以121x x ⋅=. (3)解：易知，221116x y +≤.
因为点P 在双曲线上，2
211
14
y x -=，所以22114416x x +-≤，112x <≤. 又12212S AB y y =
⋅=， 21111
22
S OB y y =⋅=, 所以22222222
122121121(44)(1)544S S y y x x x x -=-=---=--，
由(2)知121x x ⋅=，故22
212
121
4
5S S x x -=--. 设21,x t =14t <≤，4
()5f t t t
=--, '22
4(2)(2)()1t t f t t t +-=-+=. 当12t <<时，'()0f t >； 当24t <≤时，'()0f t <. 所以f (t )在（1,2）上是增函数，在(2,4]上是减函数.
(2)1,(1)(4)0f f f ===,
所以，当t =4，即12x =时，22
12min ()(4)0S S f -==; 当t =2，即12x =时，2212max ()(2)1S S f -==. 故2212S S -的取值范围是[0,1].
6.答案：(1)见下面的证明(1) (2) g (a )的最大值是3
(1)证明：由于2()33(1)33(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-，且0a ＞, 故()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.
又322131
(0)1,()1(1)(2)1222
f f a a a a a ==--+=-+-.
当()1f a ≥-时，取p =a ，此时当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤成立； 当()1f a -＜时，由于(0)120,()10f f a +=+＞＜， 故存在(0,)p a ∈，使得()10f p +=，
此时[0,]x p ∈时，1()1f x -≤≤成立.
综上，对于正数a ，存在正数p 使得[0,]x p ∈时，1()1f x -≤≤成立.
(2)解：由(1)知()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值是()f a .
当01a ≤＜，()1f a ≥-，则g (a )是方程()1f p =满足p ＞a 的实根，
即223(1)60p a p a +--=满足p ＞a 的实根，所以, 23(1)9309
()4a a a g a -+++=,
又g (a )在(0,1]上单调递增，故max ()(1)3g a g ==.
当1a ＞时，()1f a -＜. 由于9
(0)1,(1)(1)112f f a ==---＜，故[0,][0,1]p ⊂，此时()1g a ≤.
综上，g (a )的最大值是3.
三．理科附加题（必做部分）
1.答案：(1)见下面的解(1) (2)7
12λ=
解：如图，建立直角坐标系，则()4,0,0B ,()2,22,0C ,()0,22,0D ,()0,0,4P .
(1)因为)0224(，，-=BD ,)0222(，，=AC ,0=⋅AC BD ，所以,BD AC ⊥
又PA ⊥平面,,ABCD PA BD ⊥ 所以BD ⊥平面PAC .
(2))404(-=，，PB ,()4,0,4PQ PB λλλ==- ,
()()()2,22,44,0,442,22,44CQ CP PQ λλλλ=+=--+-=---+ . P
A B D
C
Q
由(1)知BD 是平面PAC 的法向量，
)cos(BD CQ ⋅等于QC 与平面PAC 所成角的正弦值. ()()()224428
3326
42844λλλ---=-++-+， 即22218127λλλ=-+, 解出7.12
λ= 2．解：(1)n =4时，4排列共有8=23个：1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；4,3,2,1；
3,4,2,1；3,2,4,1；所有4排列的结尾只能是1或4.
(2)由题意和(1)可猜想：
当n 为任意正整数时，n 排列共有12-n 个，且所有的n 排列均以1或n 结尾.
(3)先证明：所有的n 排列都以1或n 结尾.
任取一个n 排列：a 1,a 2,…a n -1,a n ，记为α.
假设a n ≠1且a n ≠n . 先证α不是以1结尾就必是以n 结尾的n 排列.
从α中删去n ，就得一个n -1个数的排列，由于n 是α中最大的数，删去n 后剩下的n -1个数的排列仍然符合关于n 排列的条件，所以是一个n -1排列，这个n -1排列应以n -1结尾，即a n -1= n -1. 由于在α中n 不论位于a n 前面的什么位置，其左边没有任何数与它相差1，从而α不能成为n 排列. 这与α是n 排列的假设相矛盾. 因而α也是以n 结尾的n 排列，即α不是以1结尾就必是以n 结尾的n 排列.
同理可证，α不是以n 结尾就必是以1结尾.
所以，所有的n 排列都以1或n 结尾.
(4)再证明：n 排列共有2n -1个.(利用数学归纳法证明)
①对n =1，2，3，4结论均已成立.
②假设猜想对于n -1成立，即n -1排列共有2n -2个，
那么对每个n -1排列末尾添上n ，就可得一个n 排列：a 1,a 2,…a n -1,n ；
由归纳假设，这样的排列有2n -2个.
对上述每个n 排列作下面的对应：
a1,a2,…a n-1,n n+1-a1, n+1-a2,…n+1-a n-1,1
这恰好得到以1结尾的n排列，这些排列也共有2n-2个；
这两类n排列共有2n-2+2n-2=2n-1个.
前已证得n排列均以1或n结尾，所以这2n-1个排列就是全部的n排列.。