概率论与数理统计习题和课件(历史上最好的7-2

ch8 26
拒绝域 ： t t0.975 (22) 2.074
Sw (n 1) S (m 1) S
2 1 2 2
nm2
T 3 . 568 2 . 074
0.718
统计量值
. 落在内,
拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.
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例5 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法

2< 2 0

~ ( n)
( 已知)
( n)
2 2
2> 02

2
2 1
( n)
14
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原假设 备择假设 检验统计量及其在 H0为真时的分布 H0 H1
拒绝域
1 (n 1)
2 2
2
2= 02 2 02

2
(n 1) S
拒绝域
t t1
2
~ t ( n m 2)
t t1
12, 22未知 12 = 22
( n 1) S1 (m 1) S 2 nm2
2 2
t t1
其中
ch8
Sw
24
例4
杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟
巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢, 15个 来自另一种鸟巢, 测得杜鹃蛋的长度(mm)如下:
原假设 备择假设 H0 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布
拒绝域
u u 1
0 0
0
U
< 0
X 0
2
/ n ~ N (0 , 1)
u u 1 u u 1
4
0
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> 0
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的
解 设x为一袋食盐的净重, 则x~N(,2). 今需假设
H0:=500以及H0':2102是否成立? H0:=500 :查表求临界值t0.95(91)=2.306, 计算得
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x 499, s 16.03
19
如H0成立, 则有
T X 500 S/ 9 ~ t (9 1)
7
例2 某厂生产小型马达,说明书上写着：在正常负
载下平均消耗电流不超过0.8 安培。 随机测试16台马达, 平均消耗电流为0.92安培，
标准差为0.32安培.
设马达所消耗的电流 服从正态分布, 取显著 性水平为 = 0.05, 问根据此样本, 能否否定厂方 的断言? 解 根据题意待检假设可设为
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ch8
13
（2）关于
2
的检验 检验法
2
原假设 备择假设 检验统计量及其在 H1 H0为真时的分布 H0
2
拒绝域
( n)
2
2
2= 02 2 02

2
(X
i 1 2
n
i
)
2 0
2
2
或 1 ( n)
2
2

2 2 0 2 2 0
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故接受原假设 H0 , 即不能否定厂方断言。
9
解二
H0 : 0.8 ；
H1 : < 0.8
选用统计量 T
X S / 16
~ T (15)
x 0.8 拒绝域 : T 1.753 t0.95 (15) s/ n
现
T 1.5 1.735 , 落在拒绝域 外
2
再算得
8 16.03 10
2
2
20.56 15.5
由此拒绝H 0 , 即方差过大, 该天打包机工 作不正常
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两个正态总体
设 X ~ N ( 1 1 2 ), Y ~ N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 ,…, Xn ), ( Y1, Y2 ,…, Ym )
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课堂练习： 机器包装食盐, 假设每袋盐的净重服
从正态分布, 规定每袋标准重量为500g,标准差不超
过10g. 某天开工后, 为检查其机器工作是否正常, 从 装好的食盐中随机取9袋, 测其净重(单位:g)为
497,507,510,475,484,488,524,491,515
问这天包装机工作是否正常(=0.05)?
y 21.12 s2 0.5689
2
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25
试判别两个样本均值的差异是仅 由随机因素造成的还是与来自不同的 鸟巢有关 ( 0.05 ). 解
H 0 : 1 = 2 ； H 1 : 1 2
X Y t ~ t (n m 2) 取统计量 1 1 Sw n m
样本值 ( x1, x2 ,…, xn ), ( y1, y2 ,…, ym )
显著性水平
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(1) 关于均值差 1 – 2 的检验
原假设 备择假设检验统计量及其在 拒绝域 H0为真时的分布 H0 H1
1 = 2 1 2 1 2
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1 2 1 < 2 1 >2
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29
解
需要检验假设
H 0 : 1 2 0, H 1 : 1 2 0.
分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本 方差:
n 1 10 , n 2 10 ,
x 76 . 23 ,
s 1 3 . 325 , s 2 2 . 225 ,
2
2
2
y 79 . 43 ,
这里固然有把哪个假设作为原假设从而引起 检验结果不同这一原因；除此外还有一个根本的 原因，即样本容量不够大。
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作为 原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否则 假设检验便无意义了！
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由于假设检验是控制犯第一类错误的 概率, 使得拒绝原假设 H0 的决策变得比较 慎重, 也就是 H0 得到特别的保护。因而, 通常把有把握的, 经验的结论作为原假设, 或者尽量使后果严重的错误成为第一类错 误。
假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 ( 0 . 05 ) 化, 试问该机工作是否正常? 解
因为 X ~ N ( , ) , 0.15,
2
要检验假设 H 0 : 10 . 5 ,
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H 1 : 10 . 5 ,
5
0 . 05 , 查表得
u 0 . 975 1 . 96 ,
§7.2
正态总体的参数检验
一个正态总体 （1）关于 的检验 拒绝域的推导 给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn )
设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验：
H0 : 0
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；
H1 : 0
1
构造统计量
U X 0

~ N (0,1)
n
P(拒绝H0|H0为真)
具体算得 | t | 499 500 16.03 / 9 0.187 2.306
故接受H 0 , 即认为平均每袋食盐净重为500 g 机器没有系统误差.
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20
当2=102时, 必有

2
(9 1) S 10
2 2 0.95
2
~ (9 1)
2
查得
(8) 15.5
的建议是炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都
尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建
议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼了10炉, 其
得率分别为(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4,
78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3;
21.2 21.6 21.9 22.0 22.0 22.2 22.8 22.9 23.2 19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3
x 22.20 s 0.4225
2 1
n=9
m = 15
(2)新方法:
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79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体
N ( 1 , ) 和 N ( 2 , ),
2 2
1 , 2 , 均为未知 ,
2
问建议的新操作方法能否提高得率? ( 取 0 . 05 )
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
t t 1 ( n 1)
2
0 0 0
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0 < 0 > 0
X 0 T S n ~ t ( n 1)
t t 1 ( n 1)
t t 1 ( n 1)
知老工艺生产的活塞直径的方差为0.00040. 问进一
步改革的方向应如何？
解
一般进行工艺改革时，若指标的方差显著
增大，则改革需朝相反方向进行以减少方差；若
方差变化不显著，则需试行别的改革方案。
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设老工艺生产的活塞直径
, 2 ) 2 0 .00040 X ~ N(
需考察改革后活塞直径的方差是否不大于改 革前的方差？故待检验假设可设为： H0 : 2 0.00040 ; H1 : 2 > 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2> 0.00040.