静电场的边界条件

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静电场边值问题的解法探讨

静电场边值问题指的是，在电场边界处，电势的变化要满足一定的条件。这些条件可以用来求解电场的边界条件，也可以用来求解电场的分布情况。

常见的静电场边值问题有电势边界条件和电流边界条件。

电势边界条件：在某些情况下，电势的变化会受到一些限制，这种情况下，我们可以使用电势边界条件来解决问题。常见的电势边界条件有以下几种：

1.固定电势：在某些情况下，电势的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电势边

界条件来解决问题。

2.无穷大电势：在某些情况下，电势的值会无限增大，这种情况下，我们可以使用无穷大

电势边界条件来解决问题。

电流边界条件：在某些情况下，电场中会存在电流，这种情况下，我们可以使用电流边界条件来解决问题。常见的电流边界条件有以下几种：

1.固定电流：在某些情况下，电流的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电流边

界条件来解决问题。

2.零电流：在某些情况下，电流的值为零，这种情况下，我们可以使用零电流边界条件来

解决问题。

3.无限大电流：在某些情况下，电流的值会无限增大。

4.无穷小电流：在某些情况下，电流的值会无限减小，这种情况下，我们可以使用无穷小

电流边界条件来解决问题。

5.常数电流：在某些情况下，电流的值为一个常数，这种情况下，我们可以使用常数电流

边界条件来解决问题。

6.线性电流：在某些情况下，电流的值随着某个参数的变化而呈线性关系，这种情况下，

我们可以使用线性电流边界条件来解决问题。

7.周期电流：在某些情况下，电流的值随着时间的变化而呈周期性变化，这种情况下，我

们可以使用周期电流边界条件来解决问题。

关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论

赵东广

（安徽大学文典学院安徽合肥 230039）

摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。

关键词：静电场，恒定磁场，边界面。

引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。

1 静电场的边界条件

1.1 法向边界条件

或，如果界面上没有自由电荷，即

，边界条

2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=

21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00

n n n D D D D ⋅-=-=

件变为或。 1.2 切向边界条件

即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即，又因为

所以法向分量的边界条件用电位表示为

在时，则

即为静电场的折射定律。

导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为。 2 恒定磁场的边界条件

2121()0t t

n E E E E ⨯-==

1ϕϕ=n

E D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==22

22211

111ϕεεϕεεS

ρϕεϕε=∂∂-∂∂22

0S ρ=2

1tan tan εεθθ=

0=t E S n D ρ=

2.6静电场的边界条件

1 ex 1
E1t E2t
1 2
例1 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 d1 , d 2 , S1 , S 2 , 1 和 2 ,图(a)已知极板间
电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷q0 ,试分别求其中的电场强度。
（a）
（b ）
图2.6.7 平行板电容器
解：忽略边缘效应图（a）
2.6 静电场的边界条件
Contents
1 2
电位移矢量的边界条件电场强度的边界条件电位的边界条件两种不同介质分界面的边界条件
3
4
一、静电场的基本方程静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：
E 0
D f
例1 已知
( E )
1
1 2 2 n n
表明: 一般情况下 ( 0 ) ,电位的导数是不连续的。对于导体与理想介质分界面，用电位表示的衔接条件应是如何呢？
五、两种不同介质分界面的边界条件
如何计算界面上的束缚面电荷 h 0 ( P2 n P q' P dS 1n )S 'S S
'S P2n P 1n
S
P D E
s ' 0 ( E1n E2n ) ( D1n D2n ) s ' 0 ( E1n E2n ) s

2.7 静电场边界条件

电磁场与电磁波
8
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n fc
2
2
n
1
1
n
fc
2. 切向：
E1 E2
1 2
电磁场与电磁波
9
讨论两个问题
边界条件的矢量表达
an
( D1
D2 )
S
an (E1 E2 ) 0
边界条件中谁减谁的问题
电磁场与电磁波
10
3. 电介质的边界条件‐应用
n
s
界面上没有自由电荷时——
D1n D2n
1
1
n
2
2
n
导体表面 D2n 0
D1n s
电磁场与电磁波
6
2. 电介质的边界条件-切向
a1n
E1
做一条“闭合回路” —— h 0
1
a1n
Δl1
E1
2
a2n
E2
利用势能定理 E dl 0
a2n
E2
Δl2
1 2
c
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
E1t E2t
1
1
E1
E11
sin1 E2 E1 cos1
sin 2 2 E2
cos
2
E2 2
2
tg1 1

静电场的边界条件

静电场的边界条件静电场边界条件电磁场的边界条件恒定磁场的边界Hale Waihona Puke Baidu件边界条件的作用与反省梁的边界条件电磁场边界条件的作用板的边界条件平面问题的边界条件悬臂梁的边界条件
第二章静电场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 静电场的散度
2.3 静电场的旋度
2.4 电介质的极化
2.5 介质中静电场的基本方程 2.6 静电场的边界条件
D n D n或 D 1 n D 2 n 1 2
2、媒质2为导体，媒质1为电介质。 n E 0 D 1 S 2
2 1 E E 1 1 n 2 2 n 2 1 n n
0 2
1E 1 n S
0 2
2 C
例如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。

2
和q0 ,
且填充介质为均匀的。图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板
（ a）
（ b）
解：忽略边缘效应图（a）
s
1 1 n
图（b）
S S q S 1 1 S 2 2 0
∴ EE 0

E
D
E0
D E E 0 0 0
②由法向场分量的边界条件：通过界面时，

静电场的边界条件

三．用电位表示的介质分界面边界条件
1.切向:
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间
距为d，d →0, 则
1
2
lim 12
2
E
•
dl
1
ldim0(E1n
d 2
E2n
d 2
)
0
∴ 1 2
2.法向:
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n
1E1n
1
1
n
,
D2n
2E2n
2
2
n
D1n- D2n = s
• ps 的存在使 E、D 发生突变，因而场量不连续
• 在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD • d S q c E • dl 0
• 边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD • dS q
D S
•dS
D1
•
nS
能垂直与导体表面；
2 导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
五．折射关系
两种理想（完纯）介质的分界面上，
一般不存在自由电荷，s= 0
1
D1n= D2n
1E1 cos1 2 E2 cos2 2
E1t E2t

电场边界条件

电场边界条件是用来描述电场在两种不同介质之间的行为的规律。根据电场的边界条件，我们可以推导出电场在边界处的连续性和反射规律。

1. 正交边界条件：当光束从一个介质射入另一个介质时，垂直于界面的分量在界面上是连续的，即电场的垂直分量在界面两侧相等。

2. 切向边界条件：当光束从一个介质射入另一个介质时，平行于界面的分量在界面上是连续的，即电场的平行分量在界面两侧相等。

3. 斜交边界条件：当光束从一个介质射入另一个介质时，斜交界面上的电场可由正交和切向边界条件来确定。

这些边界条件可以通过麦克斯韦方程组来推导和解释。通过解麦克斯韦方程组，我们可以得到反射、折射和透射等现象的数学表达式，从而揭示电场在不同介质中传播的行为。

.静电场的边界条件

Dn S
第二章静电场例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q，求各部分的电位移矢量和电场强度。
图 2 -11 例 2 - 9 用图
第二章静电场解：
E1 E2 Eer
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 (1 2 ) r 2 E q q E 2 (1 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
1q D1 er 2 2 (1 2 ) r 2q D2 er 2 (1 2 ) r 2
第二章静电场在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章静电场场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为

27-28静电场边界条件(10学时).

电磁场与电磁波
---界面上自由电荷面密度
5
D1n D2 n s
E
1
2
ΔS1
a1n
D1
ΔS 2
Dn D an ( E ) an ( ) an n
D2
a2 n
1 2 1 2 s n n
2
D2
1
ΔS1
a1n
D1
利用Gauss定理 Δ S 2 2 D2 a2 n D d S s S S D1 ΔS1 D2 ΔS 2 D1n ΔS D2n ΔS S ΔS
D1n D2 n s
Hybrid Problems 混合问题
电磁场与电磁波
3
处于自由空间中导体的边界条件
1. 导体本身：等势体 2. 导体表面： Et 0, 3. 导体内部：电场为零
s En 0
新问题：静电场中的电介质呢？
电磁场与电磁波
4
1. 电位移矢量的边界条件-法向
1
D1
做一个很扁很扁的 “扁盒子”
电磁场与电磁波
6
讨论
D1n D2 n s
1 2 1 2 s n n
界面上没有自由电荷时——
D1n D2 n
导体表面 D2 n 0

静电场的边值问题

q q
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“ 必须
位于球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。
由q 及q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“ 以提供一定的电位。球外空间任意点的电位由这三个电荷共同决定。
11
（3）无限长线电荷与无限长带电的导体圆柱面。
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。对于无源区，上式变为

2 0
上式称为拉普拉斯方程。 2.边值问题静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
2 0 除q点外
0 边界处
7
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 π 例如，夹角为的导电劈需引入 5 个镜像电荷。 3

/3
q

电位值就是第一类边界。数的关系为
S ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的 n
已知导体表面上的电荷密度与电位导
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。

2.6静电场的边界条件(精)

第二章静电场在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
Dn S
第二章静电场例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q，求各部分的电位移矢量和电场强度。
图 2 -11 例 2 - 9 用图
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章静电场场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为
1 2 1 2 S n n
或
D2 n D1n 0
第二章静电场
图 2 - 10 切向边界条件
第二章静电场
E dl E l E l 0 1 1 2 2
lwenku.baidu.com
因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl, l°是单位矢量，上式变为

静电场3-2边界条件

–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
2.7 静电场的边界条件
1 E D
Q 4 0 r
0
e 2 r
P0
☆ 介质的边界条件
1. 法向： 2. 切向：
D1n D2n S
E1t E2t
•导体边界条件(1为介质；2为导体)：
Dn S
Et 0
E1t E2t
•无电荷的介质边界条件：
D1n D2n
E
Q
e 2 r
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Q D e 2 r 点电荷产生的电通量密度 4 r
（同一种介质或是r方向（里外）填充介质）
例同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图所示。设内、外导体带电分别为q和-q，求各部分的电位移矢量和电场强度。
h 0 D2
S
1 媒质1
分界面
2 媒质2 2
（1）如果界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时，边界条件变为

静电场的边界条件

∴ EE 0

E
D
E0
D E E 0 0 0
②由法向场分量的边界条件：通过界面时，
D 的法向分量连续。
∴
D D E 0 0
D E E 0
0
0
1、两种媒质均为电介质，且分界面上无自由面电荷。
D n D n或 D 1 n D 2 n 1 2
2、媒质2为导体，媒质1为电介质。 n E 0 D 1 S 2
2 1 E E 1 1 n 2 2 n 2 1 n n
D1t D 2 t 1 2
或
n E n E 1 2
l2 2 l 2 2
2
E2
2
2 1
Ed l
d l 0 E
C
2 1
E 0 E1t 0 2
lim E l 0 m 2
l 0 2
当媒质2为导体，媒质1为电介质。
0 2
1E 1 n S
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2

5 恒定电场的边界条件

15~16
十、恒定电场的基本方程边界条件
20
第三章静电场分析
5. 恒定电场的边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。
15~16
十、恒定电场的基本方程边界条件
(1) J 的边界条件
(2) E 的边界条件 (3) 电位边界条件

S
ˆ 0 J1n J 2 n J dS 0 ( J1 J 2 ) n
(2)分界面上自
2c 2b 2a
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。
1 1 2 2
25
第三章静电场分析
I I ˆr ˆr (a r c) J e e S 2 r 由导电媒质内电场本构关系，可知媒
15~16
十、恒定电场的基本方程边界条件
7. 例题
EJ a
1 ,1 2 , 2
0
5
第三章静电场分析
4.静电场的边界条件
5) 边界上的方向变化(折射关系)
15~16
九、介质中的高斯定理边界条件
1
D1 E1
ˆ n
1 2
D1 cos 1 D2 cos 2 E1 sin 1 E2 sin 2 tan 1 1 tan 2 2
(a r c)
15~16
九、介质中的高斯定理边界条件

静电场的边界条件

一、引言

静电场是指在空间中存在电荷分布，产生的电场。在物理学中，研究静电场的性质和规律是非常重要的。其中，边界条件是静电场研究中一个非常重要的概念。

二、什么是边界条件

边界条件指的是不同介质之间或者同一介质中不同区域之间，在静电场分析中需要满足的一些条件。这些条件可以用来解决在不同介质或者区域之间产生的电势差和电场强度等问题。

三、静电场的基本方程

静电场基本方程包括高斯定律、库仑定律和泊松方程等。其中，高斯定律描述了空间内任意闭合曲面上通过的总电通量与该曲面所包围的总电荷量之间的关系；库仑定律描述了点电荷产生的静电力与其它点电荷之间距离平方成反比；泊松方程则描述了空间内任意点处的电势与该点周围各个位置处的势能密度之和之差与该点周围各个位置处所包含的总电荷量成正比。

四、边界条件的分类

在静电场分析中，边界条件可以分为两类：第一类是介质之间的边界

条件，第二类是同一介质中不同区域之间的边界条件。下面将对这两种边界条件进行详细讲解。

1.介质之间的边界条件

当静电场存在于两种不同介质之间时，需要满足以下两个基本条件：

（1）法向电场强度连续

在两种不同介质之间的交界面上，法向方向上的电场强度必须连续。也就是说，交界面上空气一侧和另一侧的电场强度大小必须相等。

（2）切向电场强度不连续

在两种不同介质之间的交界面上，切向方向上的电场强度不连续。也就是说，在交界面上空气一侧和另一侧的电场强度方向可能会发生变化。

2.同一介质中不同区域之间的边界条件

当静电场存在于同一介质中不同区域之间时，需要满足以下三个基本条件：

静电场的边界条件

§1-11
§1-12 静电场的边值问题
3
§1-1 电场与电场强度
一、电场的物质性
电场与电场强度
带电体周围的空间，存在着一种特殊形态的物质——电场
当电荷(或带电体)进入电场时，电荷将受到电场给予的力，通常称之为电场力
电场能对电荷施力作功，说明电场具有能量，这是电场物质性的重要表现。两点电荷间(或两带电体间)的力，正是通过电场而进行传递的。
例1-3 真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径
为R2，电荷体密度为常数ρ ，球内存在一个半径为R1 的球形空腔，两球心距离为a，且 a+R1<R2。试证明球形空腔内的电场是均匀的。
证：若将球形空腔填满体电荷ρ ，则
可得出半径为R2的球体内各点的场强
E2

r2 3 0
r2 为球心02至场点P的矢径
17
讨论：
1.当L→∞，带电直线为无限长直线
θ 1→0,θ 2→π 电场强度只有径向分量
Ez 0, Er 2 0r
2. rL, z L 当场点到带电直线的距离较之到直线两端的距离小得多时,运用无限长带电直线的场强计算公式求解该点场强，可以获得足够精确的结果。
3. L / r1, L / z 1 在远离长度为2L的带电直线处的电场强
23
高斯通量定理
真空中的高斯通量定理