静电场的边界条件
2.6静电场的边界条件
1 2 lim E dl lim( E1n
12 1 d 0
2
d d E2 n ) 0 2 2
因此
图2.6.5电位的衔接条件
1 2
2 n
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n 1 E1n 1
1 n
,
D2 n 2 E2 n 2
( D E )
E dl 0 D dS q
l
S
A 3 xe x 4 ye y 5 ze z ，
ey y Ay
试判断它能否表示个静电场？
解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,
ex A x Ax
ez Ay Ax Ax Az Az Ay z ( y z )e x ( z x )e y ( x y )e z 0 Az
D2 n D1n E1t E2 t
图2.6.3 导体与电介质分界面
D2 n E2 t 0
表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分 量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
二、电位移矢量D的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ L 0）。 根据
D dS q
D1n S D2 n S S
D2 n D1n
则有
图2.6.1 在电介质分界面上应用高斯定律
分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当
0
时，D 的法向分量连续。
1 E1 2 E2
E1d1 E2 d 2 U0
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论赵东广（安徽大学 文典学院 安徽 合肥 230039）摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。
关键词：静电场，恒定磁场，边界面。
引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。
而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。
1 静电场的边界条件1.1 法向边界条件或 ，如果界面上没有自由电荷，即，边界条2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00n n n D D D D ⋅-=-=件变为 或 。
1.2 切向边界条件即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即 ，又因为所以法向分量的边界条件用电位表示为在 时，则即为静电场的折射定律。
导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为 。
2 恒定磁场的边界条件2121()0t tn E E E E ⨯-==21ϕϕ=nE D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==2222211111ϕεεϕεεSnnρϕεϕε=∂∂-∂∂22110S ρ=2121tan tan εεθθ=0=t E S n D ρ=2.1 法向边界条件 即 ，SB d s ⋅=⎰120B n S B n S -⋅∆+⋅∆=12n nB B =2.2 切向边界条件即 当分界面上没有自由电流时， ，当分界面两边为理想介质，分界面上无自由电流，则上式表面媒质两边的磁场方向与媒质本身特性有关。
下面我们讨论几种特殊情况l J l H l H S t t ∆=∆-∆21S t t J H H =-210S J = tt H H 21=12n H n H ⨯=⨯ 12n nB B =tt H H 21=1221112212tan tan μμθθ===nn nt n t H H H H H H1 若当媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质。
静电场的边界条件
E d E d U 1 1 2 2 0 2 U 0 E a 1 x d d 12 21
U 1 0 E a 2 x d d 12 21
S1 E ax 1 E 2
S1 S2 1 2
S S
1
电磁场理论基础第二章
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
2
和q0 ,
且填充介质为均匀的。图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板
（ a）
（ b）
解：忽略边缘效应 图（a）
s
1 1 n
图（b）
S S q S 1 1 S 2 2 0
n 1 1 2 2 S
2 1 2 1 S n n
E E n 1 1 2 2 S
E E 1 1 n 2 2 n S
1、两种媒质为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
静电场的边界条件
1
Φ1 n
2
Φ2 n
1 = 2
四. 理想导体表面的边界条件
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
分界面上的衔接条件变为：
D2 = E2 = 0
n• D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
结论：
Et 0
Φ c
1导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度 只
第 2 章 静电场
2.5 静电场的边界条件
2.5.1 静电场的边界条件
• 介质表面存在的束缚电荷：
ps P • n s
n—介质的外法线方向
n
0
• 两种介质分界面上存在的束缚电荷：
n
ps P2 • n s P1 • ( n ) s (P2 P1) • n s
1 2
n—由介质2指向介质1
1
1
n
2
2
n
s
表明: 一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。
总结
不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为
特别注意：下式中 n 的方向为由介质2指向介质1
D1n- D2n = s E1t = E2t
（s= 0）
D1n= D2n E1t = E2t
1
Φ1 n
2
Φ2 n
s
1 = 2
（s= 0）
D2
•
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
∴ n • ( D 1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
.静电场的边界条件
或
D2 n D1n 0
第二章 静 电 场
图 2 - 10 切向边界条件
第二章 静 电 场
E dl E l E l 0 1 1 2 2
l
因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl, l°是单位矢量，上式变为
( E2 E1 ) l 0
注意到n⊥l°，故有
第二章 静 电 场 解：
E1 E2 Eer
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 (1 2 ) r 2 E q q E 2 (1 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
1q D1 er 2 2 (1 2 ) r 2q D2 er 2 (1 2 ) r 2
第二章 静 电 场 在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章 静 电 场 场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为
1 2 1 2 S n n
Dn S
第二章 静 电 场 例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的 介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部分的电位移矢量和电场强度。
27-28静电场边界条件(10学时).
§2.8 导体系统的电容
电磁场与电磁波
1
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间 的关系。
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
2
边界的分类
边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法 导
电磁场与电磁波
8
介质分界面上电位的连续性
a1n
b
E1
a E2
a2 n
1 2
b a lim E dl lim Em h 0
ba b h0
a
b a
电磁场与电磁波
9
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n s
2. 切向：
a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程 积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 E E的分布。 电磁场与电磁波 12
静电场的边界条件
0 2
1E 1 n S
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
C
E 1 t E 2t
第二章 静电场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 静电场的散度
2.3 静电场的旋度
2.4 电介质的极化
2.5 介质中静电场的基本方程 2.6 静电场的边界条件
2.7 静电场的能量
一、法向边界条件
n
1
S
D1
h
E 1 1
E 2 2
E E d,S,S, 1 1 2 2d, D D D n 或 D
1、两种媒质均为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
D n D n或 D 1 n D 2 n 1 2
2、媒质2为导体，媒质1为电介质。 n E 0 D 1 S 2
2 1 E E 1 1 n 2 2 n 2 1 n n
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
D 1t 0
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、引言静电场是指在空间中存在电荷分布，产生的电场。
在物理学中，研究静电场的性质和规律是非常重要的。
其中，边界条件是静电场研究中一个非常重要的概念。
二、什么是边界条件边界条件指的是不同介质之间或者同一介质中不同区域之间，在静电场分析中需要满足的一些条件。
这些条件可以用来解决在不同介质或者区域之间产生的电势差和电场强度等问题。
三、静电场的基本方程静电场基本方程包括高斯定律、库仑定律和泊松方程等。
其中，高斯定律描述了空间内任意闭合曲面上通过的总电通量与该曲面所包围的总电荷量之间的关系；库仑定律描述了点电荷产生的静电力与其它点电荷之间距离平方成反比；泊松方程则描述了空间内任意点处的电势与该点周围各个位置处的势能密度之和之差与该点周围各个位置处所包含的总电荷量成正比。
四、边界条件的分类在静电场分析中，边界条件可以分为两类：第一类是介质之间的边界条件，第二类是同一介质中不同区域之间的边界条件。
下面将对这两种边界条件进行详细讲解。
1.介质之间的边界条件当静电场存在于两种不同介质之间时，需要满足以下两个基本条件：（1）法向电场强度连续在两种不同介质之间的交界面上，法向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，交界面上空气一侧和另一侧的电场强度大小必须相等。
（2）切向电场强度不连续在两种不同介质之间的交界面上，切向方向上的电场强度不连续。
也就是说，在交界面上空气一侧和另一侧的电场强度方向可能会发生变化。
2.同一介质中不同区域之间的边界条件当静电场存在于同一介质中不同区域之间时，需要满足以下三个基本条件：（1）法向电势连续在两个不同区域之间的交界面上，法向方向上的电势必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电势大小必须相等。
（2）切向电场强度连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电场强度大小和方向必须相等。
（3）切向电势不连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电势不连续。
电磁场与电磁波课件：8_静电学3-泊松方程和边界条件
D1 D2 nˆS
同时
Q V dv hS sS h 0
注意: nˆ 是由介质2指向介质1。s 称为分界面
上的面电荷密度。
s
lim
S 0
Q S
lim h
h0
于是，
D1 D2 nˆS sS D1 D2 nˆ s
我们已经知道，导体中静电场始终为零， 电位保持常数（等位体）。把导体看成介 质2，从介质分界面边界条件不难得到电壁 的边界条件。
nˆ D s , nˆ E 0
s , const n 所以理想电壁上切向电场为零。
【例8-3】两块很大的平行导电板，板间距离为 d， 而且d 比平行板的长和宽都小很多。两板接于 直流电压 U上充电后断开电源，然后在板间放
1
n
2
2
n
s
切向
1 2 0
t t
1 2 const.
在未规定电位参考点的情况下，const可以是 任意常数。但是，一旦电位参考点给定， const就是一个固定的常数。因为边界条件在 分界面上任意一点都成立，const只能是零。
最终，得到电位在分界面上的边界条件
1
1
n
2
2
n
s
, 1 2
0
由于 sˆ 的任意性，所以有
nˆ (E1 E2 ) 0
上述的单位矢量变换方法在电磁场理论中常遇到。
8.4 理想介质分界面上电场方向的关系
所谓理想介质分界面是指分界面上无自由电荷。 根据电场边界条件，有
1E1 cos1 2E2 cos2
E1 sin1 E2 sin2
于是
tan1 1 tan2 2
静电场的边界条件
静电场的求解： 边值问题－边界条件
泊松方程 拉普拉斯方程
2
第一章 静电场(一)
§1-1 电场与电场强度
§1-2
§1-3 电场的图示
§1-4 真空中的高斯通量定理
§1-5 电介质中的高斯通量定理
§1-6 §1-7
电场强度 的环路定理与电位函数
电位梯度
E
§1-8 静电场的边界条件
§1-9
§1-10 微分形式的电场强度环路定理
度，相当于全部电荷量q集中在直线中点处的点电荷所产生的电 场强度。
18
§1-3 电场的图示
电场的图示
一、电力线
1 电力线是空间有向曲线，线上每点的切线方向， 代表该点处的电场强度方向
2 电力线在空间是不能彼此相交的。电力线只能起 自正电荷而止于负电荷，它不能中断于无电荷处，也 不能自行闭合
3 通过垂直于力线的微小面元单位面积上的力线数 等于该面元上的电场强度的数值
4 0R2
R0
R0 为从点电荷q指向场中任意被研究点的单位矢量
注意：(1)这一表达式只适用于点电荷的情况。
(2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何 位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远 小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状 如何。库仑定律都适用。
7
电场与电场强度
例：真空中XOY平面上有三个点电荷，已知他们所带的 电量和位置，试确定坐标原点处的电场强度。
25
真空中的高斯通量定理
例1-2 真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度
为ρ ，同心球面内外半径分别为R1和R2。试求球层内外的电场
解 电荷分布为球对称
R<R1
E1 0
2.7 静电场边界条件
s
界面上没有自由电荷时——
D1n D2n
1
1
n
2
2
n
导体表面 D2n 0
D1n s
电磁场与电磁波
6
2. 电介质的边界条件-切向
a1n
E1
做一条“闭合回路” —— h 0
1
a1n
Δl1
E1
2
a2n
E2
利用势能定理 E dl 0
a2n
E2
Δl2
1 2
c
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导
Hybrid Problems 混合问题
电磁场与电磁波
2
回忆：静电场中的导体
“法拉第圆筒(Faraday’s Cylinder)”试验
1. 导体本身：等势体
2. 导体表面： Et 0
En
s 0
3. 导体内部：电场为零
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
E1t E2t
1
1
E1
E11
sin1 E2 E1 cos1
sin 2 2 E2
cos
2
E2 2
2
tg1 1
tg2 2
电磁场与电磁波
11
例 2. 求电位时常会用到边界条件
已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?) 求：球外的电位？ 分析：
新问题：静电场中的电介质表面呢？
电介质表面是否等势面？
电磁场与电磁波
3
1. 电介质的边界条件-法向
1
D1
做一个很扁很扁的
“扁盒子” ——
2
D2
auss定理
电磁场与电磁波9_静电学2_分界面上的边界条件
Research Institute of RF & Wireless Techniques
对于各向同性媒质，边界条件可写出 1E1n 2 E2n s
South China University of Technology
如果分界面上无自由电荷，则 1E1n 2 E2 n 说明介质分界面上法向电场强度不连续。 如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度 s，则不 难导出 ) / 0 E1n E2 n ( s s 可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度之 所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷。
注意，书中69页的证明值得商榷，边界上电场的 积分与路径无关缺乏证明。
Research Institute of RF & Wireless Techniques
9.5 理想电壁边界条件
South China University of Technology
无损耗的电导体称为理想导体，理想导体的表面 称为理想电壁（Perfect Electric Wall）。理想电 壁边界条件（Perfect Electric Condition, PEC)是 指理想电壁上电场满足的方程。 我们已经知道，导体中静电场始终为零，电位保 持常数（等位体）。把导体看成介质2，从介质 分界面边界条件不难得到电壁的边界条件。
sin 1 E2 E1 6144(V m) sin 2
D2 2 E2 5.44 108 (C m2 )
Research Institute of RF & Wireless Techniques
第9讲总结
South China University of Technology
2.6静电场的边界条件
D2n
用矢量表示 作的圆柱形表面。
将电场基本方程 D d S Q 用于所
s
n D1 D2 s
小圆 量柱 ，侧 该面 面积 积， 趋 于为 零无 穷 h
s为分界面上的自由电荷面密度
因为： D E
1E1n 2 E2n S
假设导体下标为2，介质下标为1。 导体内部有
E2 0,
D2 0
则在导体与电介质分界面上：
D1n D2n s
E1t E2t
D1n s
变为
E1t 0
2
2 1 1 S n S n S
1
1 S n S
1 2
1 2
2
E1
b
所以
tg1 E1t E2 n E2 n tg 2 E1n E2t E1n
E2 n D2 n
2 d
c
又由
2
E1n
D1n
E2t
1
D1n D2n ( s 0)
故
tg1 1 tg 2 2
可见，电场在分界面处发生了折射。
二、导体与电介质分界面上的边界条件
因为分界面上无电荷，故有边界条件 D1n D2n 60 0 所以 D1 0 (50i 60 j )
1
D1 E1 10i 12 j
【例2】 同心球电容器的内导体半径为a,外导体的内半径为b，
其间填充两种介质，上半部分的介电常数为 1 ，下半部分的介电 常数为 2 ，如图，设内外导体带电分别为q和-q。求各部分的电位 移矢量和电场强度。
当分界面上无自由电荷时
第2章 静电场(6) 分界面上的边界条件(P20)
电后断开电源，然后在板间放入一块均匀介质板，
r=9。设介质的厚度比d略小一点，留下一小的空 气隙。求放入介质板前后平行板间的电场强度。
解：放入介质板前，平行板间的电场为均匀电场：
E0
d
U d
方向：从正极板指向负极板。
20
下极板与空气的分界面上：
D1n D2 n
d 1
D1 E1
sin 1 sin 2 D2 2 E2 2500 sin 20 sin 8
12
E2 E1
6144(V / m)
8.854 10
6144 5.44 10 (C / m )
2
ห้องสมุดไป่ตู้
8
24
思考题
介电常数为的无限大均匀各向同性、 线性介质中的电场强度为 E ， 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝， 则缝中电场强度的大小为（ 垂直
（导体内场强为0）
E
D
D2
r 0
D0 9 0
0 U
9 0 d
U 9d
22
此即放入介质后平行板间的电场强度， 方向：从正极板指向负极板。
例2-13 P71
在聚苯乙烯（ =2.60 ）与空气的分界面两边，聚苯 乙烯中的电场强度E1=2500V/m，电场方向与分界面 法线的夹角是1=20°。 求：(1) 空气中电场方向与分界面法线的夹角2 ； (2) 空气中的电场强度E2和电位移D2 。
2 75.1
cos1 cos 2
由边界条件 D1 cos 1 D2 cos 2 可知
D2 D1 1 E1
两种介质的边界条件
第二章静电场与恒定电场
㊀㊀㊀
E=0
⊕⊕⊕⊕
㊀㊀㊀
⊕⊕⊕⊕
E0
SD dS 0
⊕
㊀
⊕
㊀
⊕ ⊕⊕⊕
㊀
⊕ ⊕⊕⊕
㊀
㊀
⊕ E0
㊀
⊕ E=0
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电荷量为q，该导 体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充
第二章静电场与恒定电场
0 2
1
r2
r1
r3
r4
解 在 r < r1及 r2< r < r3 区域中 E=0 ？
在 r1< r < r2 区域中
S D dS q
q
E1 4π1r 2 er
同理，在 r3< r < r4 区域中，求得 在 r > r4 区域中，求得
E2
q
4π 2r 2
介质与导体的边界条件
静电平衡
导体
㊀㊀㊀ E' ⊕⊕⊕
㊀
㊀ E'
㊀
+
E
=⊕0⊕⊕⊕
㊀
E=0
E
E
可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可 能存在自由电荷。处于静电平衡时，自由电荷只能分 布在导体的表面上。
2 – 5 静电场的边界条件
第二章静电场与恒定电场
因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的 电位梯度为零。所以，处于静电平衡状态的导体是 一个等位体，导体表面是一个等位面。
场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
电磁场与电磁波1-6(边界条件)
=2
d − r0
↔
E+
⋅d
↔
r
r0
⇒ C0
=
πε 0
ln d
r0
12
L
↔↔
∫ D⋅ d S = q
S
2
一、静电场中介质的边界条件
{ 切向场的边界条件：考察电场强度E在分 界面两边的切向关系，
在分界面上取一 小的矩形闭合路径， 两个边Δl与分界面 平行并分居于分界 面的两侧，高Δh为 无限小量（如图所 示）
3
一、静电场中介质的边界条件
↔↔
∫ { 根据E的环流积分 E⋅ d l = 0
{ 所以
D1n = ρs
8
三、静电场中电位的边界条件
ϕ = ϕ { 介质分界面上电位连续 ε1
1
2
ε2
b Δh a
{ 推导
∫ ϕab =
b a
↔
E ⋅d
↔
r
=
E2n
∆h 2
+
E1n
∆h 2
=
0
9
静电场中边界条件总结
{ 介质 E1t = E2t
D1n − D2n = ρs
{ 导体 Et = 0
{ 所以
L
↔ ↔ ↔ ↔↔ ↔
∫ l E⋅ d = E1⋅ ∆ l1 + E2⋅ ∆ l2
l
= (E1t − E2t )∆l = 0
{ 因此有
E1t = E2t
4
一、静电场中介质的边界条件
{ 法向场的边界条件：利用高斯定律
在分界面上取一个小 的柱形闭合面，其上、 下底面与分界面平行 并分居于分界面两侧， 高Δh为无限小量 （如图所示）
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∴ n (D1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n D1 n D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
c
E2t
Tangential
E
c
dl
E1
l
E2
l
0
l = s n l
在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD dS q cE dl 0
边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD dS q
D S
பைடு நூலகம்
dS
D1
nS
D2
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
D2 = E2 = 0
分界面上的衔接条件变为：
n D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
Et 0
Φ c
结论：
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度
只能垂直与导体表面；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
E1 ( s n ) l = E2 ( s n ) l
s (n E1) = s (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
-l
E1sin 1 = E2 sin 2 或 E1t = E2t
三．用电位表示的介质分界面边界条件
1.切向:
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间
第 2 章 静电场
2.5 静电场的边界条件
2.5.1 静电场的边界条件
介质表面存在的束缚电荷：
ps P n s
n—介质的外法线方向
n
0
两种介质分界面上存在的束缚电荷：
n
ps P2 n s P1 (n) s (P2 P1) n s
1 2
n—由介质2指向介质1
ps 的存在使 E、D 发生突变，因而场量不连续
五．折 射 关 系
两种理想（完纯）介质的分界面上，
一般不存在自由电荷，s= 0
1
D1n= D2n
1E1 cos1 2E2 cos2 2
E1t E2t
E1 sin1 E2 sin2
E2
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
n
1
E1
2
距为d，d →0, 则
1
2
lim 12
2
E
dl
1
ldim0(E1n
d 2
E2n
d 2
)
0
∴ 1 2
2.法向:
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
D1n
1E1n
1
1
n
,
D2n
2E2n
2
2
n
D1n- D2n = s
1
1
n
2
2
n
s
表明: 一般情况下，介质分界面上电位的导数是不连续的。
总结
不同介质分界面上的边界条件（衔接条件）为 特别注意：下式中 n 的方向为由介质2指向介质1
D1n- D2n = s E1t = E2t
（s= 0）
D1n= D2n E1t = E2t
1
Φ1 n
2
Φ2 n
s
1 = 2
（s= 0）
1
Φ1 n
2
Φ2 n
1 = 2
四. 理想导体表面的边界条件