高一数学必修二点直线平面练习题1

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高中数学必修二同步练习题库：空间点、线、面的位置关系(选择题：较难)

空间点、线、面的位置关系（选择题：较难）1、如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角大小是（）A．90° B．60° C．45° D．30°2、设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点（）A．仅有一个 B．有有限多个 C．有无限多个 D．不存在3、已知异面直线a,b成70°角，A为空间中一点，则过A且a,b都成55°的平面个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于，设,，给出以下四个命题：①②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长,，则是奇函数；④四棱锥的体积为常函数；其中正确命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，若，则满足条件的直线（）A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条6、已知棱长为l的正方体中，E，F，M分别是AB、AD、的中点，又P、Q分别在线段上，且，，设面面MPQ=，则下列结论中不成立的是( )A. 面ABCDB. ACC. 面MEF与面MPQ垂直D. 当x变化时，是定直线7、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）A． B．C． D．8、把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线所成的角为（）A．120° B．30° C．90° D．60°9、在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11、矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（）A． B． C． D．12、如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A． B．C． D．13、四棱锥的底面是一个正方形，平面，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．14、如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60° B．90°C．105° D．75°15、已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．16、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（）A． B．1 C． D．17、已知在直三棱柱中，，，则直线与夹角的余弦值为( )A． B． C． D．18、在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A． B． C． D．19、如图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为（）A． B． C． D．20、如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是△绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A．动点在平面上的射影在线段上B．恒有平面⊥平面C．三棱锥的体积有最大值D．异面直线与不可能垂直参考答案1、A2、A3、A4、C5、D6、C7、C8、D9、A10、C11、C12、A13、B14、B15、C16、A17、A18、D19、B20、D【解析】1、试题分析：连接，则为等边三角形，设，则，所以，故选A.考点：1、平面与平面的位置关系；2、二面角的求法.【易错点晴】本题考查的是平面与平面的位置关系、二面角的求法，属于难题；二面角问题先要找出二面角，从两个平面的交线入手，找出从一个点出发的垂直于两平面交线的两条直线，此即为二面角的平面角；在三角形内，求出该平面角即可．2、解：与平面距离相等的点位于平面上；与平面距离相等的点位于平面上；与平面距离相等的点位于平面上；据此可知，满足题意的点位于上述平面，平面,平面的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个.本题选择A选项.点睛：本题考查点到平面的距离，利用点到直线的距离将平面问题类比到空间中点到面的距离，据此找到满足题意的点是否存在即可.3、过作，设直线确定的平面为，∵异面直线成角，∴直线确所成锐角为．设过点的平面与所成的角相等，该平面的垂线与直线都成角，过只能作一条这样的垂线，故此时符合条件的平面只有一个．选A4、①连结，则由正方体的性质可知，平面，所以，所以正确．②因为，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小．所以②正确．③因为，所以四边形是菱形．函数为偶函数，故③不正确．④连结，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以为底，以分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形的面积是个常数．到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确．故选C．【点睛】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．5、∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上故选：D6、连接BD,,显然平面,而,连接HG,则所以AC⊥BD,又HG//L//BD,故AC⊥，只有当时，平面MEF⊥平面MPQ,无论x怎么变化，定是直线故选C点睛：考察立体几何中线面得关系，要熟悉线面，面面之间关系得判定定理，然后再逐一分析即可7、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.8、过作，交于，连结，则是的中点，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线、所成的角为，则，所以.所以异面直线、所成的角为.故选9、试题分析：由题意得，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，所以，故选A. 考点：直线与平面所成的角，【方法点晴】本题主要考查了直线与平面所成角的求解和空间几何体的结构特征，着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，其中准确计算是解答本题的关键，也是本题的一个易错点，属于中的试题，本题的解答中，分别以为轴建立空间直角坐标系，求解平面的法向量是解答本题的关键.10、试题分析：由题意可得又考点：异面直线所成角11、初始状态直线与直线成的角为，翻折过程中当时, 直线与直线成的角为直角，因此直线与直线成的角范围为，选C.12、试题分析：①当时，；②当时，如图，点投影在上，，连结，易得，，即综上所述，，故选A．考点：二面角的平面角及求法．【易错点晴】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．与二面角有关的问题，主要是转化为其平面角，利用平面角的关系，将空间问题转化为平面问题来解决，该题的关键是分类讨论，按空间中的可能情况予以分类，准确的分类是解决问题的前提．13、试题分析：如图：取的中点为，连接，，是的中点，所以是的中位线，故，因此就是异面直线与所成的角，由于，且平面，四边形是正方形，所以，，连接交于，则，平面，易知：从而，在中，由，得是以为直角的直角三角形，所以，即异面直线与所成的角的余弦值为．故选B．考点：异面直线所成的角．14、试题分析：不妨设，则，所以直线与所成的角为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线所成的角．15、试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．16、试题分析：因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，，即为到平面的距离，故选A．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【思路点晴】本题考查点到面的距离的计算及球内接多面体问题及学生分析解决问题的能力，解答此类问题时要充分认识球内接多面体的性质，其中确定SHC与平面ABC的距离是关键，本题解答中根据三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=AB=SC，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，SH平面ABC，在面SHC内SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为SABC的外接球球心，OH为O与平面ABC的距离，由此可得到结论．17、试题分析：分别取的中点为，则，为异面直线与所成的角或其补角．可求得,．故A正确．考点：异面直线所成的角．【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．18、试题分析：如图，作交的延长线于点，连接，因为，所以，所以（或其补角）是异面直线与所成角．设正方体的棱长为1，在中，，，，所以，．故选D．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角，其取值范围是：0°＜θ≤90°．求解方法如下：解法一：平移法：根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；解含有θ的三角形，求出角θ的大小．平移的具体途径有：中位线、补形法等．解法二：向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝．19、试题分析：设所求二面角的大小为，则，因为，所以而依题意可知，所以所以即所以，而，所以，故选B.考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.20、试题分析：由于．所以平面．经过点作平面ABC的垂线垂足在AF上．所以A选项正确．由A可知B选项正确．当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，所以C正确．因为，设．所以，当时，．所以异面直线与可能垂直．所以D选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．。

高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质练习(含答案)

8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【答案】B【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。

2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【答案】D【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。

4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心【答案】C【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交D．不垂直【答案】AC【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.【答案】BD【解析】 A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.二、填空题7．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝ .【答案】6【解析】因为AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以AF ∥DE ，又AF ＝DE ，所以AFED 是平行四边形，所以EF ＝AD ＝6.8．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，P A ⊥平面ABC ，此图形中有个直角三角形．【答案】4【解析】∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 综上知： △ABC ，△P AC ，△P AB ，△PBC 都是直角三角形，共有4个．9.若直线AB ∥平面α，且点A 到平面α的距离为2，则点B 到平面α的距离为________.【答案】 210.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PM PA =________；四边形EMBN 的面积为________. 【答案】23【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，又B ∈平面α平面ABCD ， B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ，则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π====∠=∠=，PAD RED ∴≅，MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=，PME RMA ∴≅，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ，222PM MK MK ME MA PA AD DR RE PA∴==⋅=⋅=⋅，则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴==；连接MN ，BD 由23PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，23MN PM AC PA ==， 2233MN AC ∴==⨯=又EB ===所以四边形EMBN 的面积为1122MN EB ⋅=⨯=.故答案为：23；三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．【答案】见解析【解析】证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.。

苏教版高中数学必修二直线与方程两条直线的平行与垂直同步练习(1)

两条直线的平行与垂直同步练习(一)一、选择题：1. 下列命题中正确的是（）A ．平行的两条直线的斜率一定相等B ．平行的两条直线的倾斜角相等C ．斜率相等的两直线一定平行D ．两直线平行则它们在y 轴上截距不相等2.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为31，则m,n 的值分别为（）A ．4和3B ．-4和3C ．-4和-3D ．4和-33. 直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则a=（） A ．-3 B ．-6 C ．23 D ．32 4. 直线1 :kx+y+2=0和2 :x-2y-3=0, 若21|| ,则1 在两坐标轴上的截距的和（） A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．6 5. 两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（） A. m=1 B ．m= 1 C ．11n m D ． 11n m 或11n m6.过点A （1，2）和B （-3，2）的直线与直线 y=0的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对7.如果直线ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同时平行于直线x-2y+3=0,则a 、b 的值为（） A ．a=21, b=0 B ．a=2, b=0 C ．a=-21, b=0 D ． a=-21, b=2 8.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+(a 2-1)=0平行但不重合，则a 等于（）A ．-1或2B ．-1C ．2D ．32 二.填充题：（每小题5分，共20分）9．直线3x+4y-5=0关于原点对称的直线是________________.10．两直线x-2y+k=0(k R)和3x-6y+5=0的位置关系是 __________ . 11．过点M （3，-4）且与A （-1，3）、B （2，2）两点等距离的直线方程是__________________. 12．当直线：（2+m ）x-y+5-n=0与x 轴相距为5时，m= ____________,n=__________________. 三.解答题：（每小题10分，共40分） 13. 求证:依次连结A(2,-3),B(5,-27),C(2,3),D(-1,27)是平行四边形.14. 当A 和C 取何值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+C=0互相平行？15.平行于直线2x+5y-1=0的直线与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线的方程。

高一数学必修第二册 2019(A版)_【典型例题】空间点、直线、平面的位置关系：基本事实辨析(解析版

空间点、直线、平面的位置关系：基本事实辨析【例1】（1）（2019·安徽高二月考）下列说法错误的是（）A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（2）下列结论中不正确的是（）A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C.若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上D.任意两条直线不能确定一个平面【答案】（1）A（2）D【解析】A. 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面， B正确C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面两条相交直线确定一个平面，C正确D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．（2）由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.故选D.【举一反三】1．（2019·山西高二月考）下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由公理二知命题①④正确；命题②两条直线异面时不成立，为假命题；命题③空间中，相交于同一点的三条直线可能确定三个平面，为假命题。

高一数学必修2测试题及答案全套

（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在同一球面上；则这个球的表面积是（）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）AB2 C．2:D35．在△ABC 中；02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=；若使绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是（）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是（） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点；顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。

主视图左视图俯视图2．若三个球的表面积之比是1:2:3；则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中；O 是上底面ABCD 中心；若正方体的棱长为a ；则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

4．如图；,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心；则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。

5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15；则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）；已建的仓库的底面直径为12M ；高4M ；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。

人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2

【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章章末综合测评 1 数学试题【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ，在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页

人教新课标版数学高一-人教A版必修2 课时提升 -2 直线与平面平行的判定1

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课时提升作业(十)直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·福州高一检测)平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD︰DB=AE︰EC,如图,则BC与α的位置关系是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.异面【解析】选A.因为AD︰DB=AE︰EC,所以DE∥BC,又DE⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.2.有以下三种说法,其中正确的是( )①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;③直线a,b满足a∥α,a∥b,且b⊂α,则a平行于经过b的任何平面.A.①②B.①③C.②③D.①【解析】选D.①正确,若在α内存在一条直线b,使a∥b,则a∥α与“a 与平面α相交”矛盾,故①正确,②错误,反例如图(1)所示,③错误,反例如图(2)所示,a,b可能在同一平面内.3.若正n边形的两条对角线分别与平面α平行,则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α,那么n的取值可能是( )A.12B.8C.6D.5【解题指南】考虑平面与平面平行的判定定理,只需判断正n边形的两条对角线是否一定相交.【解析】选D.正五边形的两条对角线必相交,而其余正多边形的两条对角线不一定相交.4.点E,F,G,H分别是空间四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选C.因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AC∥平面EFGH,同理BD∥平面EFGH.5.正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【解析】选A.在平面E1FG1与平面EGH1中,因E1G1∥EG,FG1∥EH1,且E1G1∩FG1=G1,EG∩EH1=E,故平面E1FG1∥平面EGH1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线有________条.【解析】如图,EF,FG,GH,HE,EG,HF都与平面ABB1A1平行,共6条.答案:67.(2015·广州高一检测)P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出下列四种说法:①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.其中正确的为________(填序号).【解析】因为OM∥PD,故OM∥平面PCD,OM∥平面PDA,所以①③正确.答案:①③8.(2015·杭州高二检测)如图所示,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【解析】连接AM并延长,交CD于点E,则E为CD的中点,连接BE,则BE过点N.因为M,N分别为△ACD和△BCD的重心,所以==,所以MN∥AB,所以可得MN∥平面ABC,MN∥平面ABD.答案:平面ABC,平面ABD【拓展延伸】三角形的“四心”及主要性质(1)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.(2)三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形三条高线的交点叫三角形的垂心.(4)三角形三个角的角平分线的交点叫三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等.三角形的“四心”在数学中应用非常广泛,要熟练掌握.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2014·山东高考改编)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 是梯形,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.求证:C1M∥平面A1ADD1.【证明】连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.【补偿训练】(2014·天津高考改编)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是平行四边形,E,F分别是棱AD,PC的中点.证明:EF∥平面PAB.【证明】如图,取PB的中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点,故MF∥BC且MF=BC.由已知有BC∥AD,BC=AD.又由于E为AD中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.10.(2015·厦门高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.求证:(1)MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.【证明】(1)连接AC,CD 1,因为ABCD为正方形,N为BD的中点,所以N为AC的中点,又因为M为AD1的中点,所以MN∥CD1,因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.(2)连接BC1,C1D,因为B1BCC1为正方形,P为B1C的中点,所以P为BC1的中点,又因为N为BD的中点,所以PN∥C1D,因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D.由(1)知MN∥平面CC1D1D且MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面,有以下说法:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确说法的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.设m∩n=P,则直线m,n确定一个平面,设为γ,由面面平行的判定定理知,α∥γ,β∥γ,因此,α∥β,即①正确;如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线EF平行于平面ADD 1A1和平面A1B1C1D1,即满足②的条件,但平面A1B1C1D1与平面ADD1A1不平行,因此②不正确;图中,EF∥平面ADD1A1,BC∥平面A1B1C1D1,EF∥BC,但平面ADD1A1与平面A1B1C1D1不平行,所以③也不正确.2.(2015·青岛高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,P在对角线BD1上,且BP=BD1,给出下面四个命题:(1)MN∥平面APC;(2)C1Q∥平面APC;(3)A,P,M三点共线;(4)平面MNQ ∥平面APC.正确的序号为( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(3)(4) 【解析】选C.(1)MN∥AC,连接AM,CN,易得AM, CN交于点P,即MN⊂平面PAC,所以MN∥平面APC是错误的;(2)平面APC延展,可知M,N在平面APC上,AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC,是正确的;(3)由BP=BD1,以及相似,可得A,P,M三点共线,是正确的;(4)直线AP延长到M,则M在平面MNQ内,又在平面APC内,所以平面MNQ∥平面APC,是错误的.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·太原高二检测)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(将你认为正确的都填上)【解析】在④中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线,从而平行AB,所以AB∥平面MNP;在①中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C,则由NP∥CB,MN∥AC,可知平面MNP∥平行平面ABC,即AB∥平面MNP.答案:①④4.(2015·菏泽高一检测)如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点,则下列命题:①E,C,D1,F四点共面;②CE,D1F,DA三线共点;③EF和BD1所成的角为90°;④A1B∥平面CD1E.其中正确的是________(填序号).【解析】由题意EF∥CD 1,故E,C,D1,F四点共面;由EF CD1,故D1F与CE相交,记交点为P,则P∈平面ADD1A1,P∈平面ABCD,所以点P在平面ADD1A1与平面ABCD的交线AD上,故CE,D1F,DA三线共点;∠A1BD1即为EF与BD1所成角,显然∠A1BD1≠90°;因为A1B∥EF,EF⊂平面CD1E,A1B⊄平面CD1E,所以A1B∥平面CD1E.答案:①②④三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2014·四川高考)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.【解析】存在点M是AB的中点.取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1.设O为A 1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点,连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE,连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC. 【延伸探究】本题若加上条件“F是A1C1的中点”其他条件不变,问在AB上是否存在一点M,使平面DEF∥平面A1MC,并证明.打印版【解析】存在点M是AB的中点,证明如下:由本题证明知DE∥平面A1MC,又F为A1C1的中点,E为CC1的中点,所以EF∥A1C,又EF⊄平面A1MC,A1C⊂平面A1MC,所以EF∥平面A1MC,又EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面A1MC.故AB上存在一点M(AB中点),使平面DEF∥平面A1MC.6.(2015·福州高一检测)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点N在AC上且CN=3AN,点M,P,Q分别是AA1,A1B1,BC的中点.求证:直线PQ∥平面BMN.【证明】如图,取AB中点G,连接PG,QG分别交BM,BN于点E,F,则E,F分别为BM,BN的中点.而GE∥AM,GE=AM,GF∥AN,GF=AN,且CN=3AN,所以=,==,所以==,所以EF∥PQ,又EF⊂平面BMN,PQ⊄平面BMN,所以PQ∥平面BMN.关闭Word文档返回原板块高中数学。

高一数学必修二2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定练习题(解析版)

2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C.如果一个平面内任意一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行D.若果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行2.下列命题中,正确的个数为 ( )①若a ∥b ,α⊂b ,则a ∥α②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α④若a ∥α,α⊂b ,则a ∥bA.0B.1C.2D.33.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（）A.都平行B.都相交C.在这两个平面内D.至少和其中一个平面平行5.下列说法正确的是（）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行③过平面外两点不能作平面与已知平面平行④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行A. ①③B. ②④C. ①②D. ②③④二、填空题6.若直线b a =A ，a ∥α，则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿7.若直线a b a 满足，与平面βα,∥b ,a ∥α,b ∥β,则平面α与平面β的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿8.过平面外一点有＿＿＿条直线与已知平面平行,过平面外一点有且只有＿＿＿个平面与已知平面平行.9.正方体1111D C B A ABCD -中,的平面与过的中点，则为E C A BD DD E ,,11的位置关系是＿＿＿＿＿＿三、解答题10.正方体1111D C B A ABCD -中个，F E N M ,,,分别为棱11111111,,,D C C B D A B A 的中点。

高中数学必修二 8 5 2 直线与平面平行(第1课时)直线与平面平行的判断练习(含答案)

8.5.2 直线与平面平行第一课时直线与平面平行的判断一、选择题1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.2．已知直线a和平面α，那么能得出a//α的一个条件是（）⊂A．存在一条直线b，a//b且bα⊄B．存在一条直线b，a//b且bα⊂且α//βC．存在一个平面β，aβD．存在一个平面β，a//β且α//β【答案】C【解析】在选项A ，B ，D 中，均有可能a 在平面α内，错误；在C 中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C 正确故选：C3．在正方体1111ABCD A B C D -中，下面四条直线中与平面1AB C 平行的直线是（）A ．1DBB ．11A DC ．11CD D ．1A D【答案】D【解析】如图所示，易知11A B DC ∥且11A B DC =，∴四边形11A B CD 是平行四边形， 11A D B C ∴∥，又1A D ⊂/平面1AB C ，1B C ⊂平面1AB C ，1A D ∴∥平面1AB C .故选D.4．如图所示,四面体ABCD 的一个截面为四边形EFGH ,若AE BF BG CE FC GD==,则与平面EFGH 平行的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C 【解析】解：AE BF CE FC=,//EF AB ∴. 又EF ⊂平面EFGH ,AB ⊂/平面EFGH ,//AB ∴平面EFGH .同理,由BF BG FC GD=,可证//CD 平面EFGH . ∴与平面EFGH 平行的直线有2条.故选：C5.（多选题）如图所示,P 为矩形ABCD 所在平面外一点,矩形对角线的交点为,O M 为PB 的中点,给出以下结论,其中正确的是( )A ．//OM PDB ．//OM 平面PCDC ．//OM 平面PDAD ．//OM 平面PBA【答案】ABC 【解析】由题意知,OM 是BPD △的中位线,//OM PD ∴,故A 正确;PD ⊂平面PCD ,OM ⊄平面PCD ,//OM ∴平面PCD ,故B 正确;同理,可得//OM 平面PDA ,故C 正确;OM 与平面PBA 和平面PBC 都相交,故D 不正确. 故选：ABC .6.（多选题）如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出四个结论正确的是（）A.OM∥PD；B.OM∥平面PCD；C .OM∥平面PDA；D.OM∥平面PBA；C.OM∥平面PBC.其中正确的个数是()【答案】ABC【解析】矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．故选ABC。

高中数学章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·某某高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·某某高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确；因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误. 答案 D10.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角，在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值X 围是________.解析由题意知：PA ⊥DE ，又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ，所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD，即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案①③三、解答题18.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D 是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小.(1)证明如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由．(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。

高中数学必修二同步练习题库：直线、平面平行的判定和性质(填空题：容易)

直线、平面平行的判定和性质（填空题：容易）1、已知，，，则与的位置关系是_______.2、已知直线和平面，且，则与的位置关系是 .3、设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________4、α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）5、过平面外一点可以作直线与已知平面平行．6、已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是．（1）．若⊥γ，β⊥γ，则//β（2）．若⊥，⊥，则//（3）．若//，//，则//（4）．若//，//β，则//β7、设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．（1）m//l，n//l，则m//n；（2）m l，n l，则m//n；（3），则；（4），则；8、已知直线l∥平面α,直线m Ìα,则直线l和m的位置关系是．（平行、相交、异面三种位置关系中选）9、（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．10、如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．11、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确命题序号是．12、设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是．13、已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 .（填序号）①若垂直于内两条直线，则；②若平行于，则内可有无数条直线与平行；③若m⊥n，n⊥l则m∥l；④若，则；14、[2013·郑州模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③15、[2014·长春质检]如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．16、已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是．①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．17、已知直线，和平面且，给出下列四个命题：①②③④其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)18、下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行.其中正确的命题个数有________个.19、已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

高一数学必修第二册 2019(A版)_【典型例题】空间直线、平面的平行(第一课时)：线面平行(解析版

空间直线、平面的平行（第一课时）：线面平行【例1】（2019·山西省长治市第二中学校节选）如图，四棱锥P ABCD -中，90BAD ABC ︒∠=∠=，证明：BC ∥平面PAD【答案】证明过程见详解；【解析】因为四棱锥P ABCD -中，90︒∠=∠=BAD ABC ，所以BC AD ∥，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ；【例2】（2019·江西省大余县新城中学高二月考节选）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，F 是AB 的中点，E 是PD 的中点，//PB 平面AEC【答案】证明见解析【解析】连接BD ，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又因为E 为PD 的中点,所以//EO PB ，因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .【例3】（2019·黑龙江高三月考节选）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DC AB =,M 是PB 的中点，证明: //MC 平面PAD【答案】证明见解析【解析】证明：取PA 中点为N ，因为,N M 分别是,PA PB 中点，所以1//2MN AB ，又因为1//2DC AB ，所以MN //DC , 所以四边形MNDC 为平行四边形，所以//MC ND ，ND ⊂平面PAD ，MC ⊄平面PAD ，所以//MC 平面PAD .【例4】如图，在四面体A BCD -中，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =求证：//PQ 平面BCD .【答案】证明见解析【解析】如下图所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接OP 、OF 、FQ .3AQ QC =，3AQ DF QC FC ∴==，//QF AD ∴，且14QF AD =. O 、P 分别为BD 、BM 的中点，//OP AD ∴，且12OP DM =. M 为AD 的中点，14OP AD ∴=. //OP QF ∴且OP QF =，四边形OPQF 是平行四边形，//PQ OF ∴.PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，//PQ ∴平面BCD .【举一反三】1．（2019·江苏高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M 为PC 中点，证明：//PA 平面BDM ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 中点.在PAC ∆中,又M 为PC 中点，所以//OM PA .又PA ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，所以//PA 平面BDM .2．（2019·云南师大附中高三月考节选）如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 的中点，求证：AD //平面BMN【答案】详见解析【解析】证明：在ACD 中，因为M ，N 分别为棱AC ，CD 的中点，所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以AD 平面BMN ．3．（2019·江苏淮阴中学高二月考节选）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，求证：//CD 平面PAB【答案】详见解析【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以//CD AB ,又因为AB 平面PAB ，CD ⊄平面PAB ,所以//CD 平面PAB 。

数学必修二空间点_直线_平面的位置关系练习题含答案

数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105．故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22；连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘．【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22；连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】（4）．【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β；（2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案．【解答】解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交；（2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交；（3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ，又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ．【解答】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1．又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)．设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ．【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1．又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)．设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ，过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)．令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。

2022版新教材数学必修第二册人教A版练习-8.6.2-直线与平面垂直(一)-含解析

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三十直线与平面垂直(一)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【解析】选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，所以BA⊥l，同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以l⊥AC.2．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC 的形状为()A.锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，又BD，AC异面．所以AC，BD不相交．【加固训练】如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直【解析】选C.连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．4．(2021·赤峰高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB＝4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为()A．28B．24C．216D．17【解析】选A.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1所成角，因为EB⊥平面BB1C1C，连接BC1，则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a，则EB＝a，BC1＝4 2 a.所以tan ∠EC1B＝a42a ＝28.即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为28.二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·宜兴高一检测)将一本书打开后竖立在桌面上(如图)，则书脊所在直线AB与桌面的位置关系为________．【解析】设桌面所在平面为平面α，由AB⊥BC，AB⊥BE，且BC⊂平面α，BE⊂平面α，且BC∩BE＝B，可得AB⊥平面α.答案：垂直6．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 2 ，则AC1与面ABB1A1所成的角为________．【解析】取A1B1中点D，连接C1D，AD，因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 2 ，所以C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，因为A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面ABB1A1，所以AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，因为C1D＝22－12＝ 3 ，AD＝（22）2＋12＝3，所以tan ∠DAC1＝C1DAD＝3 3，所以∠DAC1＝π6.所以AC1与面ABB1A1所成的角为π6.答案：π6三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AC与BD交于点O.求证：BD⊥平面PAC.【证明】因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.8．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD为直角梯形，AD＝（2－1）2＋22＝ 5 .因为侧面SAB为等边三角形，所以SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD＝22＋12＝ 5 ，所以BD2＝SD2＋SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB＝S，所以SD⊥平面SAB.【加固训练】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【解析】(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，空间四边形ABCD中，各条棱都相等，则AB所在直线与平面BCD所成角的余弦值为()A.33B．13C．63D．1【解析】选A.因为空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，所以四面体ABCD为正四面体，所以点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心O，连接AO，BO，则∠ABO为AB所在直线与平面BCD所成角，令AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，则BO＝23×32a＝33a，在Rt△ABO中，cos ∠ABO＝BOAB＝33aa＝33.2．(多选题)如图所示，在四个正方体中，EF是正方体的一条体对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出EF⊥平面MNP的图形为()【解析】选AD.对于AD.根据正方体的性质可得：EF⊥MN，EF⊥MP，可得EF⊥平面MNP.而BC无法得出EF⊥平面MNP.二、填空题(每小题5分，共10分)3．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝4，则直线PB与平面PAC所成角为________．【解析】连接BD交AC于点O，连接PO.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.则PO为PB在平面PAC上的射影．所以∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．因为PA＝AB＝4，所以OA＝OB＝2 2 ，PO＝42＋（22）2＝2 6 .所以tan ∠BPO＝2226＝33，得∠BPO＝30°.所以直线PB与平面PAC所成的角为30°.答案：30°4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为________；EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是________．【解析】由正方体的性质知，B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥EF，连接AB1，A1B，因为四边形ABB1A1为正方形，所以AB1⊥A1B，因为E，F分别是AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，所以AB1⊥EF，又B1C1∩AB1＝B1，B1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF ⊥平面AB 1C 1，所以EF ⊥AC 1，即EF 与直线AC 1所成角的大小为π2 .取B 1D 1的中点O ，连接OA 1，OB ，则A 1O ⊥B 1D 1，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O ，因为B 1D 1∩BB 1＝B 1，B 1D 1、BB 1⊂平面BDD 1B 1，所以A 1O ⊥平面BDD 1B 1，因为EF ∥A 1B ，所以EF 与面BDD 1B 1所成的角也为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角，即∠A 1BO ，在Rt △A 1BO 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12 ，所以EF 与面BDD 1B 1所成角的正弦值为12 .答案：π2 12三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1＝2.点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点．(1)求证：D，B，B1，D1四点共面；(2)求直线BC1与平面DBB1D1所成角的大小．【解析】(1)因为点D，D1分别是棱AC，A1C1的中点，所以DD1∥CC1，因为CC1∥BB1，所以DD1∥BB1，所以D、B、B1、D1四点共面．(2)作C1F⊥B1D1，垂足为F，因为BB1⊥平面A1B1C1，C1F⊂平面A1B1C1，所以直线BB1⊥直线C1F，因为C1F⊥直线B1D1且BB1与B1D1相交于B1，所以直线C1F⊥平面DBB1D1，所以∠C1BF即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角．在直角△C1BF中，BC1＝2 2 ，C1F＝255，sin ∠C1BF＝10 10.6.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CE⊥AB1，垂足为E，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【证明】(1)由题意知，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1.(2)因为D是AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CD⊥AB.因为CD⊥AA1，AB∩A1A＝A，AB⊂平面A1B1BA，A1A⊂平面A1B1BA，所以CD⊥平面A1B1BA.因为AB1⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AB1.由题意知CE⊥AB1.因为CD∩CE＝C，CD⊂平面CED，CE⊂平面CED，所以AB1⊥平面CED.关闭Word文档返回原板块。

8.4.1平面同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)+必修第二册.

8.4.1平面同步练习一、单选题1．在三棱锥A BCD -的边AB BD AC CD 、、、上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF HG P ⋂=，则点P （） A ．一定在直线AD 上 B ．一定在直线BC 上C ．在直线AD 或BC 上D ．不在直线AD 上，也不在直线BC 上2．一条直线和直线外的三点所确定的平面有（） A ．1个或3个 B ．1个或4个 C ．1个，3个或4个D ．1个，2个或4个3．可使平面α和β重合的条件是它们的公共部分中有（） A ．三个点B ．1个点和一条直线C ．无数个点D ．两条平行直线4．三个平面不可能将空间分成（）个部分 A ．5B ．6C ．7D ．85．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．若点A 在直线b 上，b 在平面β上，则点A ，直线b ，平面β之间的关系可以记作（） A ．A b β∈∈B ．A b β∈⊂C ．A b β⊂⊂D ．A b β⊂∈7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点．设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ，则（）A ．三点D 1，O ，B 共线，且OB =2OD 1 B ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB =2OD 1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB =OD 1 D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB =OD 18．三条直线两两相交，最多可以确定平面（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．梯形的四个顶点共面B ．三条平行直线共面C ．有三个公共点的两个平面重合D ．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面. 10．三个平面可以把空间分成n 个部分，在下列选项中，n 的值正确的有（） A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别是1DD 、1BB 、AB 、AD 的中点，则下列说法正确的是（）A ．点A 在平面1EFC 内B ．1//EHC FC ．平面1EFC ⋂平面ABCD HG =D ．直线EH 与直线FG 相交12．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，其棱长为3.M ，N 分别为棱11A B ，1BB 的中点，过D ，M ，N 三点作该正方体的截面，截面是一个多边形α.则（）A ．截面α和面ABCD 的交线与截面α和面11ADD A 的交线等长B ．截面α是一个五边形.C ．截面α是一个梯形.D ．截面α在顶点D 处的内角的余弦值为413三、填空题13．三个平面将空间最多分成__________部分（用数字回答）14．已知A 、B 、C 为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个． 15．若点P 在直线b 上，b 在平面β内，则用符号表示P ､b ､β之间的关系可记作___________.16．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形，则此六边形周长最小值为______. 四、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的12条棱，可以确定多少个平面？18．如图，在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，PQ ，CB 的延长线交于点M ，RQ ，DB 的延长线交于点N ，RP ，DC 的延长线交于点K ．判断M ，N ，K 三点是否共线，并说明理由．19．如图所示，ABC 的各顶点都在平面α外，且直线AB 、BC 、AC 分别与平面α交于P 、Q 、R ，试找出Q 点的位置．（保留作图痕迹）20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4cm ，M N ，分别是11A B 和1CC 的中点．(1)画出过点D M N 、、的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的两条交线； (2)设过D M N 、、的平面与11B C 交于点P ，求PM +PN 的值．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11B C 和11C D 的中点．(1)证明：E 、F 、D 、B 四点共面；(2)对角线1A C 与平面1BDC 交于点O ，,AC BD 交于点M ，求证：点1,,C O M 共线； (3)证明：BE 、DF 、1CC 三线共点．22．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1CC 、1AA 的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线，并说明理由．参考答案1--8ACDAD BAC 9．AD 10．BCD 11．AD 12．ABD 13．8 14．1或无数15．P b ∈，b β⊂，P β∈ 16．3217．连接面对角线HF ，DB ，则可以确定平面BDHF ，同理可以确定平面ACGE ，平面ABGH ，平面CDEF ，平面ADGF ，平面BCHE ，另外有6个表面，共12个平面.故可以确定12个平面，其中6个表面，6个对角面. 18．M ，N ，K 三点共线．理由如下：因为M N 、即在平面BCD 内又在平面PRQ 内，所以M N 、在平面BCD 与平面PRQ 的交线上，所以MN 是平面BCD 与平面PRQ 的交线，、N K 即在平面BCD 内又在平面NKR 内，所以、N K 在平面BCD 与平面NKR 的交线上，所以NK 是平面BCD 与平面NKR 的交线，又平面NKR 与平面PRQ 是同一平面，所以MN 与NK 是同一条直线，即M ，N ，K 三点共线．19．因为Q BC ∈⊂面ABC ，Q α∈，所以Q 落在面ABC 与面α的交线上，因为P AB ∈⊂面ABC ，R AC ∈⊂面ABC ，所以PR ⊂面ABC ，因为P α∈，R α∈，所以PR α⊂，所以面ABC PR α，故Q PR ∈，又Q BC ∈，所以PR BC Q ⋂=，由此作出Q 点的位置，如图，.20．（1）如图所示，连接DN 并延长交11D C 的延长线于点E ，连接ME 交11B C 于点P ，交11D A 延长线于点Q ，连接DQ 交1AA 于点R ，连接RM PN 、，则DRMPN 即为所求作的截面．如图示：平面DRMPN 与平面11BB C C 的交线为PN ，平面DRMPN 与平面11AA B B 的交线为RM .（2）由N 为1CC 的中点，易得1≅△DCN N EC △，所以14==DC EC ，因为11C MB P P E △∽△，所以11112142MB B P EC C P ===，得11123C P B C =，所以12C N =，128433C P =⨯=，114433=⨯=B P ，所以6410493=+=PN ，1621349=+PM 所以10213PM PN ++=． 21．（1）连接11,,EF BD B D在长方体1111ABCD A B C D -中 11//B D BD ∴E 、F 分别是11B C 和11C D 的中点11//EF B D ∴//EF BD ∴∴ E 、F 、D 、B 四点共面（2）11//AA CC11,,,A A C C ∴确定一个平面11AAC C11,O A C A C ∈⊂面11AAC CO ∴∈面11AAC C对角线1A C 与平面1BDC 交于点OO ∴∈面1BDCO 在面11AAC C 与面1BDC 的交线上 =AC BD M ⋂M ∴∈面11AAC C 且M ∈面1BDC∴面11AAC C面1BDC 1=C MO ∴∈1C M即点1,,C O M 共线. （3）延长,DF BE 交于GDG ⊂面DCG G DG ∴∈G ∴∈面DCG BE ⊂面BCGG BE ∴∈G ∴∈面BCG面DCG 面BCG 1CC =1G CC ∴∈∴ BE 、DF 、1CC 三线共点.22．如图所示，在平面1ADD A 内延长1D F ，交DA 的延长线于一点P ，则P ∈平面1BED F ．因为DA ⊂平面ABCD ，所以P ∈平面ABCD ，所以P 是平面ABCD 与平面1BED F 的一个公共点．又B 是两平面的一个公共点，所以PB 为两平面的交线．。

高中数学必修二同步练习题库：直线、平面垂直的判定和性质(选择题：较难32,困难36)

直线、平面垂直的判定和性质（选择题：较难32，困难36）1、正方形ABCD与等边三角形BCE有公共边BC，若∠ABE＝120°，则BE与平面ABCD所成角的大小为A． B． C． D．2、如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于；③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43、如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D．4、平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面，则的正切值为（）A． B． C． D．5、在底面是平行四边形的四棱锥中，底面，点为棱的中点，点在棱上，平面与交于点，且，，，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．6、如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A． B． C． D．7、如图，在四棱锥中，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8、如图，正四面体中，、、在棱、、上，且，，分别记二面角，，的平面角为、、，在（）A． B． C． D．9、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B． C． D．10、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A． B．C． D．11、已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一点，沿将三角形折成直二面角，此时二面角的正切值为，则翻折后的长为（）A．2 B． C． D．12、在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A． B． C． D．13、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④14、如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面.其中恒成立的为（）A．①③ B．③④ C．①② D．②③④15、如图，正四面体的顶点、、分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是( )A．是正三棱锥B．直线与平面相交C．直线与平面所成的角的正弦值为D．异面直线和所成角是16、在棱长为1的正方体中，是的中点，是三角形内的动点，，则的轨迹长为( )A． B． C． D．17、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为( )A． B． C． D．18、如图，把画有函数部分图象的纸片沿轴折成直二面角，若、两点之间的空间距离为，则（）A．-2 B． C．-1 D．19、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．20、把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影，如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是（）A． B． C．10 D．3021、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．22、已知为异面直线，平面a，平面b．直线满足，则（）A．a∥b，且l∥aB．，且C．与相交，且交线垂直于D．a与b相交，且交线平行于23、如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°24、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC="AC" ，AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面AMC1⊥平面CBA1 ,其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．325、已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是A．B．C．D．26、如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1//平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．327、在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（）A．对任意的，，存在点，使得B．当且仅当时，存在点，使得C．当且仅当时，存在点，使得D．当且仅当时，存在点，使得28、下列命题中，错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两条直线不一定平行C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D．若直线不平行于平面，则在平面内不存在与平行的直线29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )(1) AC⊥BE.(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.(3) 三棱锥A-B EF的体积为定值.(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A．0 B．1 C．2 D．330、下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．②④31、已知是直线，是平面，、，则“平面”是“且”的…………………………………………………………………………（）A．充要条件． B．充分非必要条件． C．必要非充分条件． D．非充分非必要条件32、圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。

高中数学人教A版2019必修第二册 8 4 1 平面练习(解析版)

8.4.1 平面一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面2．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M a N b ∈∈,，且M l N l ∈∈,，那么( ) A ．l α⊂B ．l α⊄C ．l M α=D ．l N α=3．下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面4．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则( )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 一定在直线AC 或BD 上D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上5．（多选题）下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：A.因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；B.因为A ∈α，B ∈α，所以AB ∈α；C.因为A ∉a ，a ⊂α，所以A ∉α；D.因为A ∉α，a ⊂α，所以A ∉a.其中错误的说法是 ( )6．（多选题）如图，α∩β＝l ，A ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AD∩l ＝D ，A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（）A．点A B．点BC．点C D．点D二、填空题7．若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是____.8．如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH ＝Q，那么Q在直线________上．9．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.10．有以下三个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.直线l在平面α内，用数学符号表示为。

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