【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：专题4 第22练(解三角形问题)

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2015年高考数学(理)三轮冲刺模拟：概率与统计_Word版含新题解析

概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样 D ．系统抽样4．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种 D ．720种5．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7图16．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A ．25B ．710C ．45D ．9107．执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )图2A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8 8．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )图39．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，110．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1＜x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知x ，y从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a ＝________.12．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x 的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．13．二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)14．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．15．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K 2＝nad －bc2a ＋bc＋da ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：17．(本小题满分12分)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图518．(本小题满分12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3 乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5（1）画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；（2）现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；（3）若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．图619．(本小题满分12分)如图6所示，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A (2,3)．（1）求椭圆E的方程；（2）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．20．(本小题满分13分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；（2）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．21．(本小题满分14分)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(乙的频数统计表(当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；（3）将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．参考答案ADCCB CCACA11.1.45 12.(1)0.004 4 (2)70 13.10 14.16 15.1,1,3,316.【解】 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为P ＝56.根据题意可得X ～B (3，56)，∴P (X ＝k )＝C k 3(16)3－k (56)k，k ＝0,1,2,3. ∴E (X )＝np ＝3×56＝52.(2)提出假设H 0：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的2×2列联表得 K 2＝nad －bc 2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝－260×20×20×60＝809≈8.889>6.635.因为当H 0成立时，K 2≥6.635的概率约为0.01，所以我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“在20：00－22：00时间段性别与休闲方式有关”．17.【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 18.【解】 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x 甲＝x 乙＝8.5，又s 2甲＝0.27，s 2乙＝0.405，得s 2甲＜s 2乙，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B (3，12)．所以P (ξ＝k )＝C k 3(12)3－k (1－12)k ＝C k 3(12)3， k ＝0,1,2,3.所以ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.19.【解】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，4a 2＋9b2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2，解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且PQ 的中点为R (x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，① ②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－y 2－y 1x 2－x 1＝－1612×(－12)＝23，即x 0y 0＝23，③ 又∵R (x 0，y 0)在直线l 上，∴y 0＝2x 0－1，④ 由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾，故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20.【解】 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．21.【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127. 故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.。

【考前三个月】2015届高考数学(人教-理科)必考题型过关练：专题2-第4练(再谈“三个二次”的转化

第4练再谈“三个二次”的转化策略[内容精要] 函数与不等式是高考的热点和重点，其中“二次”又是各不等式的基础．“三个二次”经常相互转化，相辅相成，可以说是“密不可分”，是一个有机的整体，解决好这部分题目时要学会触类旁通．题型一函数与方程的转化例1 设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．破题切入点将函数的零点问题转化为对应方程根的问题．答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1共有7个零点．题型二函数与不等式的转化例2 已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >lg 2}B ．{x |－1<x <lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}破题切入点由题意，可得f (10x )>0等价于－1<10x <12，由指数函数的单调性即可求解．答案 D解析方法一由题意可知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，故f (10x )>0等价于－1<10x <12，由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x >－1，而10x <12可化为10x <10lg 12，即10x <10－lg 2.由指数函数的单调性可知x <－lg 2，故选D. 方法二当x ＝1时，f (10)<0，排除A ，C 选项．当x ＝－1时，f (110)>0，排除B.题型三方程与不等式的转化例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．破题切入点将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12，故m 的取值范围是(－56，－12)．(2)抛物线与x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)>0Δ≥00<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.故m 的取值范围是(－12，1－2]．总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理．1．若A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}，且A ∩B ＝∅，则实数p 的取值范围是( ) A ．p >－4 B ．－4<p <0 C ．p ≥0 D ．R答案 A解析当A ＝∅时，Δ＝(p ＋2)2－4<0， ∴－4<p <0.当A ≠∅时，方程x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0有一个或两个非正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－(p ＋2)≤0，∴p ≥0. 综上所述，p >－4.2．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，－2] D ．[1,2]答案 D解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为x ＝1，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1，又∵f (0)＝3，f (2)＝3，∴m ≤2.综上可知1≤m ≤2.3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916，x ∈[－1,1]．当x ＝－1时，m 取最大值为52，当x ＝34时，m 取最小值为－916，∴－916≤m ≤52.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,3) 答案 A解析设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a . 如图，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有两个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有三个，此时0<a <1. 所以a 的取值范围是(0,1)．5．(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案 A解析由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 A解析因为函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，可知关于导函数的方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两个不等的实根x 1，x 2.则方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根的个数就是方程f (x )＝x 1和f (x )＝x 2的不等实根的个数之和，再结合图象可看出函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 1和直线y ＝x 2共有3个不同的交点，故所求方程有3个不同的实根．7．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围________．答案 [－3,1]解析因为f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，所以此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，即－3≤a <－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1. 综上，实数a 的取值范围为[－3,1]．9．已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为______________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析若a ＝0，则f (x )＝2x －3，f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0.下面就a ≠0分两种情况讨论：①当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.②当f (－1)·f (1)>0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a f (1)≤0，－1<－12a<1，f (－1)·f (1)>0，解得a >52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 10．已知定义在R 上的单调递增奇函数f (x )，若当0≤θ≤π2时，f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－12，＋∞)解析方法一 f (cos 2θ＋2m sin θ)＋f (－2m －2)<0⇒f (cos 2θ＋2m sin θ)<f (2m ＋2)⇒cos 2θ＋2m sin θ<2m ＋2⇒2m (1－sin θ)>－1－sin 2θ. 当θ＝π2时，2m ·0>－2，此时m ∈R ；当0≤θ<π2时，m >－1＋sin 2θ2(1－sin θ)，令t ＝1－sin θ，则t ∈(0,1]，此时m >－12×1＋(1－t )2t ＝－12(t ＋2t－2)．设φ(t )＝－12(t ＋2t－2)，而φ(t )在t ∈(0,1]上的值域是(－∞，－12]，故m >－12.方法二同方法一，求得2m (1－sin θ)>－1－sin 2θ，设sin θ＝t ，则t 2－2mt ＋2m ＋1>0对于t ∈[0,1]恒成立．设g (t )＝t 2－2mt ＋2m ＋1，其图象的对称轴方程为t ＝m . ①当m <0时，g (t )在[0,1]上单调递增，从而g (0)＝2m ＋1>0，即m >－12，又m <0，所以－12<m <0.②当0≤m ≤1时，g (t )在[0，m ]上单调递减，在[m,1]上单调递增，从而g (m )＝m 2－2m 2＋2m ＋1>0，即m 2－2m －1<0，所以1－2<m <1＋ 2. 又m ∈[0,1]，所以0≤m ≤1.③当m >1时，g (t )在[0,1]上单调递减，从而g (1)＝1－2m ＋2m ＋1＝2>0恒成立，所以m >1. 综合①②③，可知m >－12.11．已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a ·12(1－cos 2x )－ 3a sin 2x ＋a ＋b＝－2a ⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，又∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1.因此，由f (x )的值域为[－5,1] 可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝1，－2a ×1＋2a ＋b ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a ×1＋2a ＋b ＝1，－2a ×(－12)＋2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.12．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a ，其中a ∈R ，且a ≠0.若函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，试求△OAB 的面积S 的最大值．解依题意，f (x )＝g (x )，即ax 2＋ax ＝x －a ，整理得ax 2＋(a －1)x ＋a ＝0，①∵a ≠0，函数f (x )与g (x )的图象相交于不同的两点A 、B ， ∴Δ>0，即Δ＝(a －1)2－4a 2＝－3a 2－2a ＋1 ＝(3a －1)(－a －1)>0， ∴－1<a <13且a ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2，由①得x 1x 2＝1>0，x 1＋x 2＝－a －1a .设点O 到直线g (x )＝x －a 的距离为d ，则d ＝|－a |2，∴S ＝121＋12|x 1－x 2|·|－a |2＝12－3a 2－2a ＋1＝12 －3⎝⎛⎭⎫a ＋132＋43. ∵－1<a <13且a ≠0，∴当a ＝－13时，S 取得最大值33.。

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：专题3 第13练(以函数为背景的创新题型)

第13练以函数为背景的创新题型[内容精要] 创新题型几乎每套题都有，而这些题目又以函数为载体的居多，主要有定义函数名称或类型来验证其余函数，或者定义或规定函数的某些性质来研究其余函数是否具有该性质，解决好此类题目关键是能否对此概念把握好，考查形式主要是选择题和填空题．题型一新定义函数名称的问题例1 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ； ③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证．答案 C解析等比数列性质，a n a n ＋2＝a 2n ＋1，①f (a n )f (a n ＋2)＝a 2n a 2n ＋2＝(a 2n ＋1)2＝f 2(a n ＋1)；②f (a n )f (a n ＋2)＝222n n aa +＝22n n a a ++≠f 2(a n ＋1)；③f (a n )f (a n ＋2)＝|a n a n ＋2|＝|a n ＋1|2 ＝f 2(a n ＋1)；④f (a n )f (a n ＋2)＝ln |a n |ln |a n ＋2|≠(ln |a n ＋1|)2 ＝f 2(a n ＋1)．题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2 设函数f (x )的定义域为D ，如果对于任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝C 成立(其中C 为常数)，则称函数y ＝f (x )在D 上的均值为C .现在给出下列4个函数：①y ＝x 3；②y ＝4sin x ；③y ＝lg x ；④y ＝2x .则在其定义域上的均值为2的所有函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③④D ．①③破题切入点如何求均值？按定义，能否使均值为2? 答案 D解析经验证，①③是符合题意的；对于②，x 2不唯一；对于④，若满足题中的定义，则f (x 1)＋f (x 2)＝4，f (x 2)＝4－f (x 1)，由x 1的任意性，知f (x 2)需满足能取到负值，而这是不可能的，故选D.总结提高有关以函数为背景的创新题型，题型主要以选择、填空题尤其以多项选择题为主，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义．1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为( )答案 C解析如图，平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除D ；当t ＝－12时，S >14S max ，排除A 、B.2．设函数f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤k (k >0)，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“k 度和谐函数”，[a ，b ]称为“k 度密切区间”．设函数f (x )＝ln x 与g (x )＝mx －1x 在[1e ，e]上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是( ) A ．[－e －1,1] B ．[－1，e ＋1] C ．[1e －e,1＋e]D ．[1e＋1－e,1＋e]答案 B解析设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx －1x＝－m ＋1x ＋ln x ，h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，故当x ∈[1e ，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，函数h (x )单调递增．所以函数h (x )的最小值为h (1)＝－m ＋1，而h (1e )＝－m ＋e －1，h (e)＝－m ＋1e ＋1，显然e －1>1e ＋1，所以h (1e)>h (e)，故函数h (x )的最大值为h (1e)＝－m ＋e －1.故函数h (x )在[1e ，e]上的值域为[－m ＋1，－m ＋e －1]．由题意，得|h (x )|≤e ，即－e ≤h (x )≤e ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－e ，－m ＋e －1≤e ，解得－1≤m ≤1＋e.3．对于函数f (x )，若任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x ＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( ) A ．[12，2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．(0，＋∞)答案 A解析因为对任意的实数x 1，x 2，x 3∈R ，都存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，故f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立．由f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，设e x ＋1＝m (m >1)，则原函数可化为f (m )＝1＋t －1m (m >1)，当t >1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递减，所以f (m )∈(1，t )，此时2<f (x 1)＋f (x 2)<2t,1<f (x 3)<t ，要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需t ≤2，所以1<t ≤2；当t ＝1时，f (x )＝1，显然满足题意；当t <1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递增，所以y ∈(t,1)，此时2t <f (x 1)＋f (x 2)<2，t <f (x 3)<1，要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需满足2t ≥1，所以12≤t <1.综上t ∈[12，2]，故选A.4．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对，选C.5．(2014·山东)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝tan x D ．f (x )＝cos(x ＋1)答案 D解析由f (x )＝f (2a －x )知f (x )的图象关于x ＝a 对称，且a ≠0，A ，C 中两函数图象无对称轴， B 中函数图象对称轴只有x ＝0，而D 中当a ＝k π－1(k ∈Z )时，x ＝a 都是y ＝cos(x ＋1)的图象的对称轴．故选D. 6．(2014·辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.18 答案 B解析取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1，则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x )．∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.7．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“垂直双点集”．给出下列四个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}．其中是“垂直双点集”的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④ 答案 D解析对于①，y ＝1x 是以x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”．对于②，M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图1所示，在曲线y ＝sin x ＋1上，对任意的点B (x 1，y 1)∈M ，总存在点C (x 2，y 2)∈M ，使得OB ⊥OC ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，故M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直双点集”．对于③，M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图2所示，在曲线y ＝log 2x 上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．对于④，M＝{(x，y)|y＝e x－2}，如图3所示，在曲线y＝e x－2上，对任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取(0，－1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义．8．下图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；④f(x)为偶函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．答案①②③解析如图所示．①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．9．对于函数f(x)，若存在区间M＝[a，b](其中a<b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|；③f(x)＝cos π2x；④f(x)＝ex.其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数序号)答案①②③解析据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a，b]内的定义域与值域相等．问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断①②③均符合条件，而对于④易知由于f ′(x )＝e x ，故f (x )＝e x 在原点处的切线方程即为y ＝x ，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定区间”的函数．10．(2014·山东)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2 x ，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)，f 3(x )＝(log 2 x )2，f 4(x )＝log 2(2x )．则“同形”函数是________．答案 f 2(x )与f 4(x )解析 f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将其向下平移1个单位得到f (x )＝log 2x ，再向左平移2个单位，即得到f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象．故根据新定义得，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)与f 4(x )＝log 2 (2x )为“同形”函数．12．已知集合A ＝{1,2,3，…，2n }(n ∈N *)．对于A 的一个子集S ，若S 满足性质P ：“存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素s 1，s 2，都有|s 1－s 2|≠m ”，则称S 为理想集．对于下列命题：①当n ＝10时，集合B ＝{x ∈A |x >9}是理想集；②当n ＝10时，集合C ＝{x ∈A |x ＝3k －1，k ∈N *}是一个理想集；③当n＝1 000时，集合S是理想集，那么集合T＝{2 001－x|x∈S}也是理想集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．答案②③解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定．(1)当n＝10时，A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．因而B不具有性质P，不是理想集，故①为假命题．(2)对于C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}，因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.故C具有性质P，②为真命题；(3)当n＝1 000时，则A＝{1,2,3，…，1 999,2 000}，因为T＝{2 001－x|x∈S}，任取t＝2 001－x0∈T，其中x0∈S，S⊆A，所以x0∈{1,2,3，…，2 000}，从而1≤2 001－x0≤2 000，即t∈A，所以T⊆A.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m.对于上述正整数m，从集合T＝{2 001－x|x∈S}中任取一对元素t1＝2 001－x1，t2＝2 001－x2，其中x1，x2∈S，则有|t1－t2|＝|x1－x2|≠m，所以集合T＝{2 001－x|x∈S}具有性质P，③为真命题．故填②③.。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第3讲_推理与证明(含答案)

第3讲推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理（1）归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论（2）类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2．演绎推理（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．（2）合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3．直接证明（1）综合法用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q（2）分析法用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件 4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p ，则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“既p ，又綈q ” 为假→“若p ，则q ” 为真 5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：（1）证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立．（2）假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ≥n 0，且n ∈N *时，命题都成立．热点一归纳推理例1 （1）有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36（2）两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A ．48,49B ．62,63C ．75,76D ．84,85思维启迪 (1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位号码能被5整除或者被5除余1. 思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．（1）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．A ．1B ．2C ．3D ．4（2）已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________．热点二类比推理例2 （1）在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.（2）已知双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x 2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________．思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．（1）若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n B ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝D ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n（2）椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.热点三直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．热点四数学归纳法例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a n ，b n ；（2）试比较T 2n 与2n 2＋n3的大小．思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出； (2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n3的关系，再用数学归纳法证明．思维升华在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.（1）当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；（2）猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式． 2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n ＝k ＋1时要用上n ＝k 时的假设，其次要明确n ＝k ＋1时证明的目标，充分考虑由n ＝k 到n ＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略．(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．真题感悟1．(2014·福建)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________． 2．(2014·陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F 押题精练1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋22．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为____________．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．以上均不正确2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123D ．1993．已知x >0，观察不等式x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( ) A ．n n B ．n 2 C ．3nD ．2n4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0D ．可正可负5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．±16．已知f (n )＝32n ＋2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64二、填空题7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________． 9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________. 三、解答题11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.（1）求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；（2）求证：m ≥72.12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．例1 (1)B (2)D 变式训练1 (1)B (2)f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)例2 (1)127 (2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y 变式训练2 (1)D (2)b 2a 2例3 (1)解已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现，因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m .(*) 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ，即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．变式训练3 (1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．例4 解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n中，令n ＝1,2得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2a 1，(a 1＋d )2＝2(3a 1＋3d )，解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数.(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4·n (n ＋1)2－3n ＝4n 3－13＋2n 2－n .所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝13(4n －4n －1)．当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－13<0，当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝73>0，当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝513>0，…猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3，即n ≥2时，4n >4n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k >4k ＋1.则当n ＝k ＋1时，4k ＋1＝4·4k >4·(4k ＋1)＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时成立．由①②得，当n ≥2时，4n >4n ＋1成立．综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n3，当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3.变式训练4解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)，当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)，当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3，因为12(k ＋1)2－(12k 2－1(k ＋1)3)＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0. 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．1．6 2．F ＋V －E ＝2 1．A 2．14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)BCAABD 7．13,3n ＋1 8．n 2＋n ＋229．A 10．811．证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b 2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b 2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立，所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又∵a 2＋b 2＝m －2>0∴m >2,故m ≤－1舍去，∴m ≥72.12．解方法一当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.①当n ＝1时，已证得不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524.则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]．因为13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＝6(k ＋1)(3k ＋2)(3k ＋4)－23(k ＋1)＝18(k ＋1)2－2(9k 2＋18k ＋8)(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)＝2(3k ＋2)(3k ＋4)(3k ＋3)>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以正整数a 的最大值为25.方法二设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝2(3n ＋2)(3n ＋4)(3n ＋3)>0，∴数列{f (n )}为递增数列，∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝2624，∴1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立可转化为a 24<f (n )min ，∴a 24<2624，∴a <26.故正整数a 的最大值为25.。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-4 第1节

[课堂练通考点]1．(2014·南昌调研)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．解析：圆ρ＝2cos θ可转化为x 2－2x ＋y 2＝0，直线θ＝π4可转化为y ＝x (x >0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，π4)．答案：(2，π4)2．(2013·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：由题意知A ，B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.答案：33．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由ρ＝4cos θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2,0)．点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 34．在极坐标系中，圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离的最小值为________．解析：由题意可得，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，直线的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，圆心到直线的距离d ＝|0＋3×0－6|2＝3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为d －r ＝3－2＝1.答案：15．(2013·银川调研)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1＋t(t 为参数)与圆C ：ρ＝42cos(θ－π4)．(1)试判断直线l 和圆C 的位置关系； (2)求圆上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)直线l 的参数方程消去参数t ，得x ＋y －1＝0.由圆C 的极坐标方程，得ρ2＝42ρcos(θ－π4)，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，所以圆C的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，故该圆的圆心为C (2,2)，半径r ＝2 2.从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋2－1|12＋12＝322，显然322<22，所以直线l 和圆C 相交．(2)由(1)知圆心C 到直线l 的距离为d ＝322，所以圆上的点到直线l 的距离的最大值为322＋22＝722. [课下提升考能]1．(2013·西城模拟)将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为________．解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33，点M 在第三象限，θ＝7π6.∴M (2，7π6)．答案：⎝⎛⎭⎫2，7π6 2．(2013·东城模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos θ围成的图形面积为________．解析：依题意得，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，它表示的是以点(2,0)为圆心、2为半径的圆，因此其面积是π×22＝4π.答案：4π3．(2014·皖南八校联考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．解析：该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2 4．(2013·安庆模拟)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3与圆ρ＝2cos θ的圆心之间的距离为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点2，π3的直角坐标为(1，3)．圆ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1,0)与点(1，3)之间的距离为 3.答案： 35．(2014·保定模拟)点M ，N 分别是曲线ρsin θ＝2和ρ＝2cos θ上的动点，则|MN |的最小值是________．解析：ρsin θ＝2化为普通方程为y ＝2， ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆(x －1)2＋y 2＝1上的点到直线上点的距离的最小值为圆心(1,0)到直线y ＝2的距离减去半径，即为2－1＝1.答案：16．(2013·福建模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)上任意两点间的距离的最大值为________．解析：曲线的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝22，易知此曲线为圆，而圆上任意两点间的距离的最大值为直径4.答案：47．(2013·大连模拟)在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则PQ 的最大值是________．解析：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，圆心坐标为(33，3)，半径为6. ∴|PQ |max ＝6＋6＋ (33)2＋(6－3)2＝18.答案：188．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，圆C 的坐标方程为ρ＝2cos α＋4sin α，则直线l 被圆C 所截得的弦长为________．解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，|AC |＝5，|CM |＝|3－2－3|3＋1＝1，∴|AM |＝5－1＝2，∴|AB |＝2|AM |＝4，故截得的弦长为4.答案：49．(2013·汉中模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2. 故a 的值为－8或2. 答案：－8或210．在极坐标系中，圆ρ＝43cos θ的圆心到直线θ＝π3(ρ∈R )的距离是________．解析：由题意可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－43x ＝0，圆心为(23，0)，直线的直角坐标方程是y ＝3x ，所以圆心到直线的距离为62＝3.答案：311．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．解析：由题意可得点⎝⎛⎭⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，点在圆上，所以切线只有一条，切线的直角坐标方程是x ＝2，极坐标方程为ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝212．在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线l 极坐标方程为________．解析：由题意可得直线l 的斜率是－33，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝－33(x －1)，即x ＋3y ＝1，极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ＝1.答案：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，ρcos θ＋3ρsin θ＝1 13．(2014·汕头模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ过极点，一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则OA ＝________.解析：圆C 的直角坐标方程为：x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为22，则弦长OA ＝ 2. 答案： 214．(2013·江西八校联考)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.要使直线3x ＋4y ＋m ＝0与该曲线没有公共点，则|3×1＋4×－2＋m |5>1，故m >10或m <0.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)15．(2013·福州质检)经过极点且圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π4的圆C 的极坐标方程为________．解析：设圆C 上的任意一点的极坐标P (ρ，θ)，过OC 的直径的另一端点为B ，连接PO ，PB ，则在直角三角形OPB 中，∠OPB ＝π2，∠POB ＝θ－π4(写∠POB ＝θ－π4也可)．从而有ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 答案：ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 16．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，则点B 的极坐标为________．解析：∵ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短．易得|OB |＝22. ∴B 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4.答案：⎝⎛⎭⎫22，3π417．(2013·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0.若点P (x ，y )在该圆上，则x ＋y 的最大值和最小值分别为________，________.解析：圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，所以x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 那么x ＋y 的最大值为6，最小值为2. 答案：6 2。

2015届高考模拟试卷数学试题(理科)附答案

2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2015年高考数学(理科)模拟试卷四.doc

2015年高考数学(理科)模拟试卷四一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.复数等于 A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知两个单位向量，的夹角为，且满足，则实数的值是A. B. C. D.4.已知、，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知、满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.下列函数中，可以是奇函数的为A.，B.，C.，D.，7.已知异面直线、均与平面相交，下列命题：①存在直线，使得或；②存在直线，使得且；③存在直线，使得与和所成的角相等，其中不正确的命题个数是 A. B. C. D.8.有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分.（一）必做题（第9题至13题为必做题，每道题都必须作答）9.如果，那么 .10.不等式恒成立，则的取值范围是 .11.已知点、到直线：的距离相等，则的值为 .12.某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》，从该市中任取4个家庭，则这4个家庭中恰好有4个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 .13.如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一点，从点可以观察到点、，并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为 .（）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图，是圆外一点，、是圆的两条切线，切点分别为、，的中点为，过作圆的一条割线交圆于、两点，若，，则 .15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标中，曲线：与曲线：（）的一个交点在极轴上，则， .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数（，）的最小正周期为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间.17.（本小题满分12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改善，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：）资料如下：2013年11月份AQI数据频率分布直方图2014年11月份AQI数据（1）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表并完成频率分布直方图；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI时，空气为优良），试问此人收集到的资料信息是否支持该观点？18.（本小题满分14分）如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，是棱上的动点，且（）.（Ⅰ）求证：为直角三角形；（Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角的余弦值为.19.（本小题满分14分）数列的前项和为，已知，，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）设，数列前项和为，证明：，.20.（本小题满分14分）已知曲线：，（Ⅰ）曲线为双曲线，求实数的取值范围；（Ⅱ）已知，和曲线：，若是曲线上任意一点，线段的垂直平分线为，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数是上的减函数；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅲ）若，证明：（其中为自然对数的底数）.2015年高考数学(理科)模拟试卷四参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．[必做题] 9．10．11．12．(或) 13．[选做题] 14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【解析】(Ⅰ)依题意得,解得,所以,………………2分所以.………4分(Ⅱ)因为,所以,列表如下:……………………6分由图象可知函数在上的单调递减区间为,.…………12分17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分)(Ⅱ) 支持,理由如下:年月的优良率为:, …………8分………10分年月的优良率为:, …………9分因此…………11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,所以,,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,即,从而△为直角三角形.………………5分说明:利用平面证明正确,同样满分!(Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.………………6分以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,………………7分由可得点的坐标为,………………9分所以,,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,………………11分显然平面的一个法向量为,………………12分依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.………………14分[传统法]由(Ⅰ)可知平面,所以,,所以为二面角的平面角,即,………………8分在△中,,,,所以,………10分由正弦定理可得,即,解得,………………12分又,所以,所以,当时,二面角的余弦值为.………………14分19.【解析】(Ⅰ)当时,,解得；……………………………………1分当时,, 解得；…………………………………………2分(Ⅱ)方法一：当时，，整理得，即……………………………………………5分所以数列是首项为,公差为的等差数列. ……………………………………………6分所以，即……………………………………………7分代入中可得. ……………………………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:,猜想,…………………………………4分下面用数学归纳法证明:①当时，，猜想成立；……………………………………………5分②假设,猜想也成立,即,则当时,有整理得，从而，于是即时猜想也成立.所以对于任意的正整数,均有. ……………………………………………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得,, …………………………………………9分当时，………11分当时,成立；…………………………………………………12分当时,所以综上所述,命题得证. (14)分20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线为双曲线,所以,解得,所以实数的取值范围为.…………………………………………………4分(Ⅱ)结论:与曲线相切.………………………5分证明:当时,曲线为,即,设,其中,……………………………………6分线段的中点为,直线的斜率为,………………………………7分当时，直线与曲线相切成立.当时，直线的方程为,即,…9分因为,所以,所以,………………10分代入得,化简得,…………12分即,所以所以直线与曲线相切.……………………………………………………14分说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】(Ⅰ)当时,函数的定义域是,………………1分对求导得,………………………………………………2分令,只需证:时,.又,………………………………3分故是上的减函数,所以…………………………5分所以,函数是上的减函数. …………………………………………………6分(Ⅱ)由题意知,,…………………………………………7分即,…………………………………8分令,则,…………………………………9分故是上的增函数,又,因此是的唯一零点,即方程有唯一实根,所以,…………………………………10分[说明]利用两函数与图象求出(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为,故原不等式等价于,………11分由(Ⅰ)知,当时,是上的减函数,…………………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当时,,令,则,是上的增函数,…………………………13分所以,即,故,即…………………………………………………………14分。

2015年高考数学理科押题卷及答案

2015年江西省高考押题精粹数学理科本卷共60题，三种题型：选择题、填空题和解答题。

选择题36小题，填空题8小题，解答题18小题。

一、选择题（36个小题）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（） A ．MN B ．()U M N ðC ．()U M N ðD ．()()U U M N 痧答案：B解析：有元素1，2的是,U M N ð，分析选项则只有B 符合。

2. 集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．11D ．12 答案：C解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C 。

3. 设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2 答案：C解析：集合{}{}22020B x x x x x x =->=><或，{}1,3A B ⋂=-。

4. 若(1)z i i +=（其中i 为虚数单位），则||z 等于（）A ．1 B. 32 C. 22D. 12答案：C 解析：化简得i z 2121+=，则||z =22，故选C 。

5. 若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 6- B. 2- C. 4 D. 6解析：3(3)(12)63212(12)(12)55a i a i i a a i i i i ++-+-==+++-，所以6320,0,655a aa +-=≠∴=-。

6. 复数21ii -在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：根据复数的运算可知()()22121215521i i i i i i +==---，所以复数的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以正确选项为D 。

2015年高考化学(人教通用)考前三个月专题复习：专题4 常见金属元素及其化合物(13页)

常见金属元素及其化合物最新考纲展示 1.了解常见金属的活动性顺序。

2.了解常见金属元素(Na、Al、Fe、Cu)及其重要化合物的主要性质及其应用。

3.了解合金的概念及其重要应用。

基础回扣1．典型元素及化合物的特征性质(1)Na、Al、Fe、Cu四种元素的单质中：①能与水剧烈反应的是____________，反应的离子方程式：________________________________________________________________________；②能与NaOH溶液反应的是________，反应的离子方程式：________________________________________________________________________，其中作氧化剂的是______________________________________________________________；③Cu在潮湿的空气中被腐蚀的化学方程式：________________________________________________________________________；④与氧气反应条件不同，反应产物不同的是________________________________________________________________________。

(2)上述四种金属的氧化物中：①能用作供氧剂的是________，写出一个化学方程式：________________________________________________________________________；②既能溶于酸溶液又能溶于强碱溶液的是______________________________________，离子方程式分别为__________________，______________________________________；③常温下为黑色固体的是____________________________________________________。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-4 第2节

[课堂练通考点]1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102.答案：1024．(2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.[课下提升考能]1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________，________.解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线．答案：圆直线2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于________．解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：－2或83．(2014·淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.答案：±24．(2014·西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝⎛⎭⎫m ，12，则m ＝________.解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝⎛⎭⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1545．(2013·广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．解析：圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，故圆心到直线l 的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故直线l 截圆C 所得的弦长为212－d 2＝ 2.答案： 26．(2014·深圳调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．解析：曲线C 1的方程可化为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的方程可化为y －x ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3(x ≥0)，解得x ＝2，y ＝5. 答案：(2,5)7．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案：638．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为常数)相交于两点A 和B ，则|AB |＝________.解析：直线的普通方程为y ＝x ，曲线的普通方程(x －1)2＋(y －2)2＝4，所以|AB |＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫|1－2|1＋12＝14.答案：149．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋4t ，y ＝－1－3t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．解析：将直线化为普通方程：3x ＋4y ＋10＝0；将圆化为普通方程：(x －2)2＋(y －1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离d ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.答案：610．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点．O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．解析：将曲线C 化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1，则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫125，125. 答案：⎝⎛⎭⎫125，12511．已知直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0，曲线N 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3sin t ，y ＝3－3cos t(t 为参数)，则直线l 被曲线N 截得的弦长为________．解析：直线l 的极坐标方程可化为2ρcos θcos π3＋sin θsin π3＋1＝0，即ρcos θ＋3ρsin θ＋1＝0，可得直线l 的方程为x ＋3y ＋1＝0.曲线N 消掉参数t ，得(x －1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线N 是以(1，3)为圆心，3为半径的圆．则圆心到直线l 的距离为d ＝|1＋3×3＋1|12＋(3)2＝52. 所以直线l 被曲线N 截得的弦长为2 32－⎝⎛⎭⎫522＝11.答案：1112．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线x ＝a 有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是________．解析：将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为普通方程得y 2＝x (0≤x ≤1)，借助图象(如图)观察，易得0<a ≤1.答案：(0,1]13．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：由题中条件可知，直线的普通方程为y ＝33x ＋3，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4可得2x 2－6x －21＝0，则x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－212.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋13(x 1－x 2)2＝43[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝217.答案：21714．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0.则直线l 截圆C 所得的弦长为________．解析：圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)可化为普通方程(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标方程3x －y ＝0，弦心距d ＝|3×3－1×1|(3)2＋12＝1，故直线l 截圆C 所得的弦长为2r 2－d 2＝4 2. 答案：4 215．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．则它们的公共点的坐标为________．解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 答案：(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－116．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．设曲线C与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，则该矩形的面积为________．解析：可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.答案：3717．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，则|OP |·|OQ |的最大值为________．解析：圆C 1和圆C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1，所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ. 依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)，Q (2sin α，α)，所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|.从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP |·|OQ |的最大值是4. 答案：4。

2015届高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：函数与导数第11练

第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题[内容精要] 函数图象在高考中占有非常重要的地位，每套题目中不止一次的被考查到．考查形式也多种多样，在知识上也涉及到各个方面的知识，有些直接考查函数图象，更有很多题目利用数形结合的思想来解决．所以我们要学会根据题目条件以及所学过的相关的函数性质准确地画出函数图象来解决这些问题．题型一对函数图象的直接考查例1 (2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案 C解析由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝(－1)313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型二对函数零点的考查例2 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ．若在区间[13，3]内，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，1e )B ．(0，12e )C ．[ln 33，1e)D ．[ln 33，12e)破题切入点求出f (x )在[13，3]上的解析式，数形结合解决．答案 C解析由题意可知当x 在区间[13，1]内时，1x ∈[1,3]，f (x )＝f (1x )＝ln 1x ＝－ln x ，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，x ∈[13，1)，ln x ，x ∈[1，3]，函数g (x )＝f (x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，即f (x )－ax ＝0有三个不同的根，即f (x )＝ax 有三个不同的根，即函数f (x )的图象与直线y ＝ax 有三个不同的交点，当x 在区间[13，1)上时，函数f (x )的图象与直线y ＝ax 有一个交点，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的图象与直线y ＝ax 有两个交点．当直线y ＝ax 过点(3，ln 3)时，a 的值满足ln 3＝3a ，即a ＝ln 33；当直线y ＝ax 与f (x )相切时，设切点为(x 0，ln x 0)，则点(x 0，ln x 0)在直线上，故ln x 0＝ax 0，而a ＝(ln x )′|x ＝x 0＝1x 0，所以ln x 0＝1，x 0＝e ，即a ＝1x 0＝1e ，函数f (x )的图象与直线y ＝ax 有三个不同的交点，则a 的取值范围是[ln 33，1e )．题型三综合考查函数图象例3 已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )·x ＋ax ，且g (x )在区间[0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．破题切入点 (1)根据对称性求f (x )的解析式，考查函数图象的对称变换． (2)求出g (x )的解析式，根据二次函数求字母a 的取值范围．解 (1)∵f (x )的图象与h (x )的图象关于点A (0,1)对称，设f (x )图象上任意一点坐标为B (x ，y )，其关于A (0,1)的对称点为B ′(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧x ′＋x 2＝0，y ＋y ′2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ，y ′＝2－y . ∵B ′(x ′，y ′)在h (x )上，∴y ′＝x ′＋1x ′＋2.∴2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)∵g (x )＝x 2＋ax ＋1，又g (x )在[0,2]上为减函数，∴－a2≥2，即a ≤－4.∴a 的取值范围为(－∞，－4]．总结提高 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．(2013·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.2．(2014·课标全国Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 B解析如图所示，当x ∈(0，π2)时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f (x )cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cosx ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈(π2，π)时，有f (x )|cos x |＝sin(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．3．(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞)答案 B解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)． 4．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析函数f (x )＝2x －2是把函数y ＝2x 的图象向下平移两个单位长度得到的，由2x －2<0得x <1，即在(－∞，1)上，函数f (x )＝2x －2的图象位于x 轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把x 轴下方的部分对称到x 轴上方后得到函数y ＝|f (x )|的图象．故选B.5．(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－16，16]B ．[－66，66] C ．[－13，13]D ．[－33，33] 答案 B解析因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 6．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ，则AN ＝OM ＝cos x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，所以EB ＝233－233cos x2.所以y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x2＋23(0<x <π)．7．已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称； ②对∀x ∈R ，f (34－x )＝f (34＋x )成立；③当x ∈(－32，－34]时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)．则f (2 014)＝________. 答案－2解析由①知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②知函数图象关于直线x ＝34对称，即f (－x )＝f (32＋x )，由奇函数可得f (x )＝－f (32＋x )，据此可推出f (32＋x )＝－f (3＋x )，则有f (x )＝f (x ＋3)，故函数以3为周期，因此f (2 014)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 24＝－2.8．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是________．答案 4解析由f (x )＝x 2＋1＝1，得x ＝0；由f (x )＝x 2＋1＝5，得x 2＝4，即x ＝±2.如图所示，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a ≤0，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，0≤b ≤2，所以点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4.9．(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，12)解析作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.10．方程x |x |16＋y |y |9＝－1的曲线即为函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )，有如下结论：①f (x )在R 上单调递减；②函数F (x )＝4f (x )＋3x 不存在零点；③函数y ＝f (x )的值域是R ；④f (x )的图象不经过第一象限．其中正确的有________．答案 ①②③④解析由方程x |x |16＋y |y |9＝－1可知，x ，y 不可能同时大于0，分类讨论：当x <0，y ≥0时，x 216－y 29＝1表示双曲线的一部分；当x <0，y <0时，x 216＋y 29＝1表示椭圆的一部分；当x ≥0，y <0时，y 29－x 216＝1表示双曲线的一部分；作出图象可知①③④正确，对于②的判断：由于y ＝－34x 是双曲线x 216－y 29＝1和y 29－x 216＝1的渐近线，所以结合图形可知曲线y ＝f (x )与直线y ＝－34x 没有交点，则F (x )＝4f (x )＋3x 不存在零点．11．已知函数f (x )＝x k ＋b (其中k ，b ∈R 且k ，b 为常数)的图象经过A (4,2)、B (16,4)两点． (1)求f (x )的解析式；(2)如果函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，解关于x 的不等式：g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4.解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧2＝4k＋b 4＝16k ＋b ⇒b ＝0，k ＝12⇒f (x )＝x . (2)设M (x ，y )是曲线y ＝g (x )上任意一点，由于函数g (x )与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以M (x ，y )关于直线y ＝x 的对称点M ′(y ，x )必在曲线y ＝f (x )上，所以x ＝y ，即y ＝x 2，所以g (x )＝x 2(x ≥0)，于是 g (x )＋g (x －2)>2a (x －2)＋4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x 2＋(x －2)2>2a (x －2)＋4 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2(x －a )(x －2)>0. ①若a ≤2，则不等式的解集为{x |x >2}； ②若a >2，则不等式的解集为{x |x >a }．12．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)] ＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)解当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]．当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]，所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7，而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].。

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用-理科)必考题型过关练：专题5-第27练(数列求与问题大全

第27练数列求和问题大全[内容精要]数列综合解答题中重要的一步就是对数列的求和问题，针对数列通项公式形式的不同，求和方法也多种多样，本节主要介绍几种有关数列求和问题的解决方法．题型一分组转化法求和例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}(2)若数列{b n}满足：b n＝a n＋(－1)n ln a n，求数列{b n}的前n项和S n.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得a n；(2)可以分组求和：将{b n}前n项和转化为数列{a n}和数列{(－1)n ln a n}前n项的和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故a n＝2·3n－1 (n∈N*)．(2)因为b n＝a n＋(－1)n ln a n＝2·3n－1＋(－1)n ln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S n＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n]ln 3.所以当n为偶数时，S n＝2×1－3n1－3＋n2ln 3＝3n ＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.题型二错位相减法求和例2 已知：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足b n ＝na n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 破题切入点 (1)代入求解即可．(2)由S n ＝2a n －n 得S n －1＝2a n －1－(n －1)，n ≥2，两式相减构造数列求通项公式． (3)错位相减求和．解 (1)S n ＝2a n －n . 令n ＝1，解得a 1＝1；令n ＝2，解得a 2＝3. (2)S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n －1＋1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即通项公式a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)b n ＝na n ，所以b n ＝n (2n －1)＝n ·2n －n ，所以T n ＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n ·2n －n )， T n ＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n )－(1＋2＋3＋…＋n )．令S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，② ①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，－S n ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，S n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2(n ∈N *)．题型三倒序相加法求和例3 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (nm )(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值．破题切入点 (1)利用函数的解析式，化简f (1－x )即可求证． (2)注意利用(1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出T n 的最小值，将不等式转化为最值问题求解． (1)证明因为f (x )＝14x ＋2，所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2).所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x2(4x ＋2)＝12.(2)解由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12，所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1，k ∈N *)，即f (km )＋f (m －k m )＝12.所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16.又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16，即S m ＝m 4－112(m ∈N *)．(3)解由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1)＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列．所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1. 因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49，所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34.由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103，所以正整数m 的最大值为3.题型四裂项相消法求和例4 在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1，a 4，a 8成等比数列． (1)已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n ＝19－1n ＋9，求数列{a n }的公差．破题切入点 (1)列方程组(两个条件)确定a n .(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知T n ＝19－1n ＋9对比求得公差．解设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 4，a 8成等比数列可得 a 24＝a 1·a 8，即(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋7d )， ∴a 21＋6a 1d ＋9d 2＝a 21＋7a 1d ，而d ≠0，∴a 1＝9d .(1)由数列{a n }的前10项和为45可得 S 10＝10a 1＋10×92d ＝45，即90d ＋45d ＝45，故d ＝13，a 1＝3，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)·13＝13(n ＋8)． (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为T n ＝1d [⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1]＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫19d －19d ＋nd ＝1d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫19－1n ＋9 ＝19－1n ＋9.所以1d2＝1，d ＝±1.故数列{a n }的公差d ＝1或－1. 总结提高数列求和的主要方法有：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n 分类讨论后再求和．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，主要用于求{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }和{b n }分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1a n ·a n ＋1的前n 项和，其中{a n }若为等差数列，则1a n ·a n ＋1＝1d ·(1a n －1a n ＋1)．其余还有公式法求和等．1．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ＋2)，则其前n 项和S n 为( )A ．1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1C.32－1n －1n ＋2D.32－1n ＋1－1n ＋2答案 D解析方法一因为a n ＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2. 故选D.方法二因为a 1＝23，a 2＝14，所以S 1＝a 1＝23.令n ＝1，选项B 中，32－1－12＝0，选项C 中，32－1－13＝16，故排除B ，C.又S 2＝23＋14＝1112，选项A 中，令n ＝2，则1－14＝34，故排除A ，应选D.2．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1答案 A解析因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1，因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m＋a m＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.4．在数列{a n}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足a n＋T＝a n，则称{a n}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{x n}满足x1＝1，x2＝a(a≤1)，x n＋2＝|x n＋1－x n|，当数列{x n}的周期为3时，则{x n}的前2 013项和S2 013等于()A．1 340 B．1 342 C．1 344 D．1 346答案 B解析由x n＋2＝|x n＋1－x n|，得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，x4＝|x3－x2|＝|1－2a|，因为数列{x n}的周期为3，所以x4＝x1，即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.当a＝0时，数列{x n}为1,0,1,1,0,1，…，所以S2 013＝2×671＝1 342.当a＝1时，数列{x n}为1,1,0,1,1,0，…，所以S2 013＝2×671＝1 342.综上，S2 013＝1 342.5．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A．2 008 B．2 010 C．1 D．0答案 B解析由已知得a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴a n＋1＝a n－a n－1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S2 014＝S4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.6．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．答案 1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.7．在等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案n n ＋1解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3. 所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1.{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n ＋1－n －2解析因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－n －2.9．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)·(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项公式及T n 关于n 的表达式． (1)证明由题意得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，得2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”．令c n ＝2a n ＋1，所以lg c n ＋1＝2lg c n . 因为lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0，所以lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2.所以数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列． (2)解因为lg(2a 1＋1)＝lg 5，所以lg(2a n ＋1)＝2n －1·lg 5，所以2a n ＋1＝52n －1，即a n ＝12(52n －1－1)．因为lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5·(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5.所以T n ＝52n －1.10．(2014·湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2. B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列． a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32(1－13n )<32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 12．(2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型过关练：第34练(含答案)

第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x破题切入点根据双曲线的离心率求出a 和b 的比例关系，进而求出渐近线．答案 C解析由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2，知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.题型二双曲线的离心率问题例2 已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点A ，B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3破题切入点数形结合，画出合适图形，找出a ，b 间的关系．答案 C解析如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝⎛⎭⎫c 2，c 2，又A 在直线y ＝ba x 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．破题切入点先由直接法确定点P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率e 的不等式进行求解．答案 (1,2)解析设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b2>1，即2ac >1，所以e ＝ca<2，又e >1，故1<e <2.总结提高 (1)求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a ，c 的关系，a ，c 关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e 之后注意e >1的条件，常用到数形结合． (2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1，当e 逐渐增大时，ba的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A ．2或233 B.6或233C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝233或2，故选A.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 A解析取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab (x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝2，故应选A. 3．(2014·绵阳模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 答案 A解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，由a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，可得a |PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a ＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|. 因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1) ＝2a ，解得|PF 2|＝2ae －1. 因为|PF 2|>c －a (不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0，无意义)，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1，即(e －1)2<2，解得e <2＋1. 又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．5．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B.233C ．3D ．2答案 A解析设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3，得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，所以1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c.令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163，所以(r 1c )max ＝433，即1e 1＋1e 2的最大值为433. 6．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 A解析由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2， ∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4，即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________．答案 (0,1) 解析可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2， e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，所以e 21＋e 22＝2>2e 1e 1⇒0<e 1e 2<1.8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．答案102解析设双曲线的右焦点为F ′，由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102. 9．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0，得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b )，所以AB 的中点C 坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.10．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．答案3解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°， ∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3.11．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由(1)可知c 2＝6b 2，由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2. 得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.12．(2014·江西)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解 (1)设F (c,0)，直线OB 方程为y ＝－1ax ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B (c 2，－c2a )．又直线OA 的方程为y ＝1ax ，高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网 - 11 - 则A (c ，c a )，k AB ＝c a －(－c 2a )c －c 2＝3a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a)＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为c ＝a 2＋b 2＝2，所以直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2 ＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2 ＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2 ＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43，即|MF ||NF |＝23＝233为定值．。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型过关练：第35练(含答案)

第35练与抛物线相关的热点问题题型一抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一动点，(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值．破题切入点画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题．解(1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则|AP|＋|PF|≥|AF|＝22＋1＝5，从而知点P到A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为5，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为 5.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.破题切入点准确求出抛物线方程结合其简单几何性质作答．答案(1)C(2)2 6解析(1)∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|FM|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4<y0＋2，∴y0>2.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.水位下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x20＝6，∴x0＝ 6.∴水面宽|CD|＝2 6 m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于55？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点(1)将点代入易求方程．(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 由直线OA 到l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝15，解得t ＝±1.又因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e ＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y 2＝2px 关于y 轴、直线x ＋y ＝0与x －y ＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y 2＝2px 绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； ②若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ；③若F为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2p.1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2答案 C解析设标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知P到准线的距离为4，故p2＋2＝4，所以p＝4，则方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.2．(2014·泸州模拟)若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．4个答案 B解析由题意得F(2,0)，l：x＝－2，线段MF的垂直平分线方程为y－32＝－3－23－0(x－52)，即x＋3y－7＝0，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，由题意得|a－(－2)|＝(a－2)2＋b2，即b 2＝8a ＝8(7－3b )，即b 2＋24b －56＝0.又b >0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－1答案 A解析依题意得F (p 2，0)，设P (y 212p ，y 1)，Q (y 222p ，y 2)(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P (12p ，y 1)．又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p 2＝2，由此解得p ＝2±3，故选A. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D解析由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，即4x －43y －3＝0.方法一联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S△OAB＝12|AB|·h＝9 4.5．已知抛物线y2＝8x的准线为l，点Q在圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PQ|的最小值等于()A．3 B．2C．4 D．5答案 A解析如图所示，由题意，知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d＝|PF|.圆C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1,4)，半径r＝2.d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，显然，|PF|＋|PQ|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)．而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|－r＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.6．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22 B. 2 C.322D．2 2答案 C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2| ＝322.故选C. 7．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.答案 56解析 ∵1|AF |＋1|BF |＝2p＝2， |AB |＝|AF |＋|BF |＝2512，|AF |<|BF |， ∴|AF |＝56，|BF |＝54. 8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析设直线l 的斜率等于k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 为y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则有x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝4k2－2，因此可得Q (2k 2－1，2k)，因F (1,0)，由|FQ |＝2，则有(2k 2－2)2＋(2k)2＝4，解得k 2＝1，所以k ＝±1.9．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°.则△OAF 的面积为________．答案 3解析由题意，得直线AB 方程为y ＝3(x －1)，与抛物线方程y 2＝4x 联立，求得交点A 的坐标为(3,23)，利用三角形面积公式即可求得S △OAF ＝12×1×23＝ 3. 10．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析因为△ABF 为等边三角形，所以由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 11．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p. 所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p. 由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故设AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故设MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)， |MN |＝ 1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m 2＋2)2＋(2m ＋2m )2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.12．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．解 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x >00，x ≤0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x (x >0)，C 2：y ＝0(x ≤0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.(*1)①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点(14，1)． ②当k ≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．(*2)设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.(*3) (ⅰ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由(*2)(*3)解得k <－1或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪(12，＋∞)时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． (ⅱ)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由(*2)(*3)解得k ∈{－1，12}，或－12≤k <0. 即当k ∈{－1，12}时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈[－12，0)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (ⅲ)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由(*1)(*2)解得－1<k <－12或0<k <12. 即当k ∈(－1，－12)∪(0，12)时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合①②可知，当k ∈(－∞，－1)∪(12，＋∞)∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈[－12，0)∪{－1，12}时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈(－1，－12)∪(0，12)时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型穿插滚动练2(含答案)

穿插滚动练(二)1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45答案 B解析设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6 答案 B解析由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13 答案 A解析因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4，所以f (2＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124.5．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 6．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－32 D.32答案 D解析由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为BC 的中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0，得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →，所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.7．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B解析由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0， ∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0， ∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.8.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0) 答案 D解析依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA → ＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.9．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2 答案 B 解析方法一线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25， a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.10．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符合．故选B.11．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC→＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．答案－95解析由AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)，得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α＝12sin αcos α＝－95.12．(2014·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)．由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.13．(2014·辽宁)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________．答案－1解析由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab . 若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3(2a ＋b 2)2，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c 时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝2c ＋2c ＋4c >0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b ) ≤c ＋3(－2a －b 2)2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4(1c －12)2－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立．综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，(1a ＋2b ＋4c)min ＝－1.14．设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．答案 3解析令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解． 15．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3；③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ；④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ；⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .答案 ①③④解析 ①中由y ＝x 3得y ′＝3x 2.又当x ＝0时，切线斜率为0，故函数y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.结合图象知①正确．②中由y ＝(x ＋1)3得y ′＝3(x ＋1)2.又当x ＝－1时，切线斜率为0，故函数y ＝(x ＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y ＝0，故②不正确．③中由y ＝sin x 得y ′＝cos x .又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝sin x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知③正确．④中由y ＝tan x 得y ′＝1cos 2x. 又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝tan x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知④正确．⑤中由y ＝ln x 得y ′＝1x. 又当x ＝1时，切线斜率为1，故函数y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，结合图象可知⑤不正确．16．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)． (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧ 3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z . 17．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1，即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z . (2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1，在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π， ∴A ＋π6＝π2，A ＝π3. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.18．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．解 (1)由题设得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，解之得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x <－2时，g ′(x )<0；当－2<x <1时，g ′(x )>0，故－2是g (x )的极值点．当－2<x <1或x >1时，g ′(x )>0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2.19．(2014·绵阳南山中学第五期考试)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3. 若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12； ③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．20．某厂生产某产品的年固定成本为250 万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80 千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80 千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)，每件商品售价为0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎨⎧ 0.05×1 000x －(13x 2＋10x ＋250)，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x－1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x )，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当且仅当x ＝10 000x，即x ＝100时， L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．21．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．解 (1)由题意，得g (x )＝ln x ＋1x，x >0，所以g ′(x )＝x －1x2，且x >0，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)由(1)知g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，且x >0. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，所以g (a )－g (x )<1a 对∀x >0成立⇔g (a )－1<1a. 则ln a ＋1a －1<1a，即ln a <1，所以0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型过关练：第24练(含答案)

第24练基本量——破解等差、等比数列的法宝题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m项和S m. 破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出a n.(2)求出b m，再根据其特征选用求和方法．解(1)设数列{a n}的公差为d，前n项和为T n，由T5＝105，a10＝2a5，得⎩⎨⎧ 5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．(2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48 ＝72m ＋1－748. 题型二等差、等比数列的性质及应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a 7＋a 14＝a 1＋a 20，S 20＝20(a 1＋a 20)2可求出a 7＋a 14，然后利用基本不等式．(2)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．答案 (1)A (2)D解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10. ∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25. 当且仅当a 7＝a 14时取等号．故a 7·a 14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 013，公差d ＝1，故S 2 0132 013＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S 2 013＝－2 013. 题型三等差、等比数列的综合应用例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．破题切入点 (1)利用a n ＝S n －S n －1求出a n 与a n －1之间的关系，进而用定义证明数列{a n }为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{b n }的通项公式，求出c n 的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明由题意得a n ＝S n －S n －1＝32(a n －a n －1)(n ≥2)， ∴a n ＝3a n －1，∴a n a n －1＝3(n ≥2)，又S 1＝32(a 1－1)＝a 1，解得a 1＝3， ∴数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解由(1)得a n ＝3n ，则b n ＝log 3a n ＝log 33n ＝n ，∴c n ＝a n b n ＝n ·3n ，设T n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ，3T n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.∴－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1， ∴T n ＝(2n －1)3n ＋1＋34. 总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a 1，a n ，S n ，n ，d (q )五个量的三个，知三求二，完全破解．(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a 1≠0，利用等比数列求和时注意公比q 是否为1.1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110. 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2答案 A解析由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n ＝2n ＋n (n －1)2×2 ＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．－2或1B ．－1或2C ．－2D ．1答案 C解析方法一若q ＝1，则S 4＝4a 1，S 5＝5a 1，S 6＝6a 1，显然不满足2S 4＝S 5＋S 6，故A 、D 错．若q ＝－1，则S 4＝S 6＝0，S 5＝a 5≠0，不满足条件，故B 错，因此选C.方法二经检验q ＝1不适合，则由2S 4＝S 5＋S 6，得2(1－q 4)＝1－q 5＋1－q 6，化简得q 2＋q －2＝0，解得q ＝1(舍去)，q ＝－2.4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析在等比数列{a n }中，S 2、S 4－S 2、S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1) ＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)，故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数．即正整数n 的个数是5.7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．答案 4解析因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.答案 1解析设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比数列，k 称为公差比．现给出下列问题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．答案 ①③④解析若k ＝0，{a n }为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3，满足定义，③正确；设a n ＝a 1q n －1(q ≠0)，则a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a 1q n ＋1－a 1q na 1q n －a 1q n －1＝q ，④正确．11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{a n 2n }的前n 项和．解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设{a n 2n }的前n 项和为S n . 由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1， 12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2 ＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 12．(2014·北京)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1－2n1－2＝2n －1. 所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型过关练：第5练(含答案)

第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．破题切入点 (1)利用基本不等式确定z xy取得最小值时x ，y ，z 之间的关系，进而可求得x ＋2y －z 的最大值．(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案 (1)C (2)15解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.故选C.(2)令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝t t 2＋t ＋4. 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上．(1)求曲线C 的方程及t 的值；(2)记d ＝|AB |1＋4m 2，求d 的最大值．破题切入点 (1)依条件，构建关于p ，t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值．解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p 2， ∴1－(－p 2)＝54，p ＝12， ∴抛物线C 的方程为y 2＝x .又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．且A (x 1，y 1)，B (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2) ∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立．又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0，∴d 的最大值为1.总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b 2答案 A解析设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0， ∴v >a .2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2 ≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立，即a ＝3，f (x )min ＝4. 3．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14 答案 B 解析因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时等号成立． 4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为( ) A ．m <n B ．m >n C ．m ≥n D ．m ≤n答案 C解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14， ∴n ＝x －2＝1x2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n . 5．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y ＝2， ∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2. ∴λ的最小值为2.6．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.7．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，∴22xy ＋6≤xy ，即xy －22xy －6≥0，解得xy ≥18.∴xy 的最小值是18.8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．答案 16解析根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.9．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可． ∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15. 10．(1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )． ∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0， ∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1， ∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.11．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，又k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f (x )×10 0001 000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x＝10x ＋1 000x＋710≥2 10x ·1 000x＋710＝910. 当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．。

【考前三个月】2015届高考数学(四川专用,理科)必考题型穿插滚动练4(含答案)

穿插滚动练(四)1．设全集U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A 等于( ) A ．{x |1≤x <3} B ．{x |1<x ≤3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≥1}答案 A解析因为U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A ＝{x |1≤x <3}，选A.2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，所以“θ≠π3”是“cos θ≠12”的必要不充分条件，选B.3．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1]( ) A ．n B ．n ＋1C ．n －1D ．n 2答案 A 解析由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝ (1)4．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110 B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10 D ．a 2 013>10答案 A解析数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2 013＝460＝115.5．已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b)2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q答案 B解析 ∵a 2＋b 22>ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22<0. 又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab>log c 14ab ＝log c 14>0，∴q >p . 6．(2014·广元模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n ) (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案 B解析令h (x )＝f (x )g (x )，则h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，故函数h (x )为减函数，即0<a <1.再根据f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝2(舍去)或者a ＝12. 所以f (n )g (n )＝⎝⎛⎭⎫12n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和是12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5. 7．已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( )A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC ．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直答案 D解析对于A ，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 错；对于B ，垂直于直线l 的直线与平面α垂直或斜交，故B 错；对于C ，垂直于平面β的平面与直线l 平行或相交，故C 错；易知D 正确．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)x 2 (x <0)，则f [f (x )]≥1的充要条件是( ) A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)答案 D解析当x ≥0时，f [f (x )]＝x 4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.9.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35答案 A解析不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，∴BC →1＝(0,2，－1)，AB →1＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC →1，AB →1〉＝BC →1·AB →1|BC →1||AB →1|＝4－15×9＝15 ＝55>0. ∴BC →1与AB →1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 10．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③答案 B解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．答案 16解析利用三棱锥的体积公式直接求解．VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13S △D 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16. 12．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.13．(2014·浙江)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．答案 63解析因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63. 所以a max ＝63. 14．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2，消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1.当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9，综上知，0<a <1或a >9.15．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N两点，则|MN |的最大值为________．答案 2 2解析构造函数F (x )＝2sin x －2cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2. 16．(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值．解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－(429)2＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13×79＋223×429＝2327. 17．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝13CE.∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．18．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？解设甲项目投资x (单位：百万元)，乙项目投资y (单位：百万元)，两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤30，2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，所确定的平面区域如图中阴影部分，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝20，即A (10,20)．解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即B (20,10)．设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2 000万元，乙项目投资1 000万元时，两项目增加的GDP 最大．19．(2014·浙江)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B－AD－E的大小．(1)证明在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝ 2. 由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.(2)解方法一(1)如图(1)，作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG ，由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B －AD －E 的平面角．在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由于AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6.在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝233，AF ＝23AD ，从而GF ＝23，AG ＝273. 在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5714，BG ＝23. 在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF ＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B －AD －E 的大小是π6. 方法二以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图(2)所示．(2)由题意知各点坐标如下：D (0,0,0)，E (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,2，2)，B (1,1,0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，可算得AD →＝(0，－2，－2)，AE →＝(1，－2，－2)，DB →＝(1,1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AD →＝0，m ·AE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0. 可取m ＝(0,1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32. 由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B －AD －E 的大小是π6. 20．已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *. (1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 证明 (1)由S 1＝1＋a 12＝a 1知a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (1＋a n )2－(n －1)(1＋a n －1)2，化简得(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，①以n ＋1代替n 得(n －1)a n ＋1－na n ＋1＝0.②两式相减得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0.则a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，其中n ≥2.所以，数列{a n }为等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝3，结合(1)的结论知a n ＝2n －1(n ∈N *)．于是1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)<12. 21．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12. (1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋k x，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求正实数k 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝1x－a ， ∴f ′(2)＝12－a ＝－12，解得a ＝1. 于是f ′(x )＝1x －1＝1－x x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f (x 1)≤f (1)＝0，即f (x 1)的最大值为0，由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，只需f (x )max ≤g (x )max .∵g (x )＝x 2＋2kx ＋k x ＝x ＋k x＋2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋k －x ＋2k ≤－2k ＋2k ， ∴只需－2k ＋2k ≥0，解得k ≥1.。