2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第九章解析几何单元测试 文 新人教A版

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试
第九章解析几何
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1、．（2013年高考重庆卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上
的动点,则PQ 的最小值为 （ ）
A ．6
B ． 4
C ．3
D ．2
2 ．（2013年高考天津卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线
10ax y -+=垂直, 则a = （ ）
A ．1
2
-
B ．1
C ．2
D ．
1
2
3 ．（2013年高考广东卷（文7））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线
方程是
（ ）
A ．0x y +=
B ．10x y ++=
C ．10x y +-=
D ．0x y +=
4、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆
22
1259
x y +=的焦距为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
5、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为
A ．2 B. 3 C. 4 D.5
6．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线12
2
=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于
（ ）
A ．
2
1
B ．
2
2 C ．1
D ．2
7、【东北三校2013届高三3月第一次联考】与椭圆:
C 22
11612
y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
13y x -= B ．22
21y x -=C ．22122y x -= D ．2213
y x -=
8 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于
2
1
,则C 的方程是
（ ）
A ．14
32
2=+y x B ．13
42
2=+y x C ．12422=+
y x D ．13
42
2=+y x 9 ．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成
的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A ．2]
B ．2)
C ．)+∞
D ．)+∞ 10、【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】设12,F F 分别是椭圆
22
221x y a b
+=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与
2F 的切点，则椭圆的离心率为
A.
2
B.
3
C.
3
D.
4
11．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上
一点,若||PF =,则POF ∆的面积为 （ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
12、【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线
C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（ ）
（A ）2332
或 （B ）223
或
（C ）122
或
（D ）1322
或
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为
)0,5(1-F ，
点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .
14.（2013年高考江西卷（文14））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方
程是_________.
15、（2013年高考湖南（文14））设F 1,F 2是双曲线C,22
221a x y b
-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C
上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.
16、（2013年高考辽宁卷（文15））已知F 为双曲线22
:
1916
x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考四川卷（文））
已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围;
(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222
211
||||||OQ OM ON =+
.请将n 表示为m 的函数.
18. (本小题满分12分) （2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点
()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为
2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(1) 求抛物线C 的方程;
(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.
19．(本小题满分12分) 【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】
已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．
20．(本小题满分12分) 【（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆2
2
:(1)1M x y ++=,圆
22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .
(Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求
||AB .
21．(本小题满分12分) （2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2
:4E y x =的焦点为F ,准
线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .
(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2
AF
AM AN =⋅,求圆C 的半径.
22．(本小题满分12分) （上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线
C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),
(11y x A 、),(22y x B .
(1)当直线l 过点)0,
(p M -时,证明21y y ⋅为定值;
(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,
(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .
问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.
祥细答案
一、选择题 1、【答案】B
【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。

圆心为(3,1)M -,半径为2.圆心到直线3x =-的距离为
3(3)6--=，所以PQ 的最小值为624-=，选B.
2、【答案】C
【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直
=
=1
2k =-。

因为直线与直线10ax y -+=垂直，
所以11
2
k a =-
=-， 即2a =,选C. 3、【答案】A
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =
，求得k =
所以选A.
4、【答案】C
【解析】由椭圆的方程可知2225,9a b ==，所以2
2
2
25916c a b =-=-=，即4c =，所以焦距为28c =，选C. 5、【答案】B
【解析】抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B.
6、【答案】B
【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为)0,1(，取一条渐近线为x y =，所以点)0,1(到直线x y =的距离为2
2
． 7、C
解析：由题知：焦距为4，排除B,又焦点在y 轴上排除A ，将代入C 、D 可得C 正确，故选C 8、【答案】D
【解析】由椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，可知1c =，又离心率等于
21
，所以12
c e a ==，解得2a =，所以2
2
2
413b a c =-=-=，即椭圆的方程为13
42
2=+y x ，选D. 9、【答案】A
【解析】本题考查双曲线的性质与方程。

因为1122A B A B =,所以根据对称性可知，直线11A B ,22A B 关于x 轴对称，因为直线11A B ,22A B 所成的角为60。

所以直线11A B 的倾斜角为30或60，即斜率为3
tan 30=
或tan 603=，要使直线11A B 与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率
b
a
<<，当
b a <时，223b a >，所以2223()
c a a ->，2234c a >，即243e >，所以
e >
=b a <b <，即223b a <，所以2223c a a -<，即22
4c a <，即
2,2c a e <<2e <<，即双曲线离心率的范围时2]，选A.
10、【答案】C
【解析】因为直线y b =与圆相切，所以圆的半径为b 。

因为E ，E 恰好是直线EF 1与
2F 的切点，
所以三角形12
F EF 为直角三角形，所以12EF a b =-。

所以根据勾股定理得222
(2)4a b b c -+=，即22224424()a ab b a b -+=-，整理得2
64b ab =，所以23b a =
，22224
9
b a a
c ==-。

得到2259c a =
，即259e =
，所以椭圆的离心率为e = C. 11、【答案】C
【解析】抛物线的焦
点F ,准线方程
为x =。

因
为||2
PF =，所
以||22P P F x ==
P x =
，所以224P y ==,
即P y =
=POF ∆
的面积为1
2
= C.
12、【答案】D
【解析】因为1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，所以设14PF x =，123F F x =，22,0PF x x =>。

因为1232F F x c ==，所以2
3
x c =。

若曲线为椭圆，则有1226a PF PF x =+=即
3a x =，所以离心率1
32
33c c c e a x c ====⨯。

若曲线为双曲线圆，则有1222a PF PF x =-=即
a x =，所以离心率3
22
3
c c c e a x c ====，所以选D.
二、填空题
13、【答案】14
2
2
=-y x
【解析】由双曲线的焦点可知c =线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为2F ，则有
2PF x ⊥，且24PF =，点P 在双曲线右支上。

所
以16PF ===，所以
126422PF PF a -=-==，所以2
2
2
1,4a b c a ==-=，所以双曲线的方程为14
2
2
=-y x ，离
心率c
e a
=
=14、【答案】2
2
3
25(2)()2
4
x y -++=
【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系以及圆的方程求法。

因为圆C 经过坐标原点O 和点A
（4，0），所以圆心必在线段OA 的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为(2,),0C b b <，
半径为R , ,因为圆与直线y=1相切，所以1R b =-，且
22222(1)b R b +==-，解得32b =-，所以圆心为3(2,)2-，半径3511()22R b =-=--=，
所以圆的方程为2
2325(2)()24
x y -++=。

15、【答案】13+
【解析】本题考查双曲线的方程和性质。

不妨设点P 位于双曲线的右支上,因为1230PF F ∠=，PF 1
⊥PF 2，所以21,PF c PF ==。

由双曲线的定义可知，122PF PF a -=2c a -=，
所以
1
c a ==，即C 1。

16、【答案】44
【解析】||||6,||||6,FP PA FQ QA -=-=两式相加，所以并利用双曲线的定义得
||||28FP FQ +=，所以周长为||||||44FP FQ PQ ++=.
三、解答题
17、解:(Ⅰ)将x k y =代入2
2
(4)4x y +-=得 则 0128)1(22=+-+x k x k ,(*)
由012)1(4)8(22>⨯+--=∆k k 得 32>k . 所以k 的取值范围是),3()3,(+∞--∞
(Ⅱ)因为M 、N 在直线l 上,可设点M 、N 的坐标分别为),(11kx x ,),(22kx x ,则
2122
)1(x k OM +=,2
222
)1(x k ON +=,又22222
)1(m k n m OQ +=+=,
由
2
2
2
112ON
OM
OQ
+
=
得,
22
2
21222)1(1
)1(1)1(2x k x k m k +++=+,
所以2
2
2121221222122)(1
12x x x x x x x x m -+=+= 由(*)知 2
2118k k x x +=+,2
21112
k x x +=
, 所以 3
536
22-=
k m ,
因为点Q 在直线l 上,所以m
n
k =,代入353622-=k m 可得363522=-m n ,
由3
53622-=
k m 及32>k 得
302
<<m ,即 )3,0()0,3( -∈m . 依题意,点Q 在圆C 内,则0>n ,所以 5180
15533622+=
+=m m n , 于是, n 与m 的函数关系为 5
180
152+=m n ()3,0()0,3( -∈m )
18、解析: (1)依题意2
d =
=
,解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;
(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即2
14y x ,=
得y '=12
x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2
11
1x x x y y -=
-, 即21112
1
2x y x x y -+=
. ∵2
1141x y =
, ∴112
y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴101
02
y x x y -=
. ① 同理, 202
02
y x x y -=
. ②
综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x x
y -=002
. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x x
y -=
002
,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+, 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立2004220
x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()222
00020y y x y y +-+=,
22
1200120
2,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=
()2
222
00000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++
2
2
0019=22+5=2+22y y y ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭
∴当012
y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9
2
19、（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
则
a =2c =．
所以
b =
所以 椭圆方程为
221106
x y +=． （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐
标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分
则()22
1,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
整理得，()2222
352020300k x k x k +-+-= … 8分
2122
2035k x x k +=+， 所以 1221235k y y k +=-+． 因为 四边形AOBC 为平行四边形，
所以 OA OB OC +=，
所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 所以 2
2
222201235351106
k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， 解得21k =，所以1k =±． 20、解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.
设知P 的圆心为P(x,y),半径为R.
(I) 因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以 1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.
有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,
(左定点
除外),其方程为22
1(2)43
x y x +=≠-. (II) 对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当
圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=;
若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,
可得AB =.
若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q, 则1QP
R QM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M
1=, 解得
k=±
4. 当
,将
22143x y +=,并整理得27880x x +-=,
解得1,221187x AB x =
-=所以.
当
k=18=47
AB -. 综上
,AB 187AB =
. 21、解:(Ⅰ)抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-,
由点C 的纵坐标为2,得点C 的坐标为(1,2)
所以点C 到准线l 的距离2d =,
又||CO =
所以||2MN ===. (Ⅱ)设200(,)4y C y ,则圆C 的方程为242220000()()416
y y x y y y -+-=+, 即22200202
y x x y y y -+-=. 由1x =-,得22002102
y y y y -++= 设1(1,)M y -,2(1,)N y -,则:
222000201244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
由2||||||AF AM AN =⋅,得12||4y y = 所以20142
y +=,
解得0y =,此时0∆> 所以圆心C
的坐标为3(2
或3(,2
从而233||4CO =
,||CO =,即圆C
22、解:(1)l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设)(:p x k y l +=,其中
0≠k (若0=k 时不合题意),由⎩⎨⎧=+=px y p x k y 2)
(2得02222=+-⋅k p py y k ,∴2
212p y y =⋅ 注:本题可设p my x l -=:,以下同.
(2)当直线l 的斜率存在时,设b kx y l +=:,其中0≠k (若0=k 时不合题意).
由⎩⎨⎧=+=px y b
kx y 22得0222
=+-pb py ky .
p k pb y y -==∴221,从而2
k b -= 假设直线l 过定点),(00y x ,则b kx y +=00,从而200k kx y -=,得0)2
1(00=--y k x ,即⎪⎩⎪⎨⎧==0
2100y x ,即过定点)0,21( 当直线l 的斜率不存在,设0:x x l =,代入px y 22=得022px y =,02px y ±=,p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2,从而210=x ,即21:=x l ,也过)0,2
1(. 综上所述,当p y y -=21时,直线l 过定点)0,
21
( (3)依题意直线l 的斜率存在且不为零,由(1)得点P 的纵坐标为k p y y y P =+=)(2121,代入)(:p x k y l +=得p k p x P -=2,即),(2k
p p k p P - 设),(y x Q ,则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k p
y p p k p x 21)(212消k 得x p y 22= 由抛物线的定义知存在直线8p x -
=,点)0,8(p ,点Q 到它们的距离相等。