2015年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试卷
2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
图表型；算法和程序框图.
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i,S的值，当i=6时满足条件
i>5，退出循环，输出S的值为0.
解答：
解：模拟执行程序框图，可得
i=1,S=0
c兀•c
S=cos,i=2
2
jr
不满足条件i>5,S=cos——+cosn,i=3
2
jr<?jr
不满足条件i>5,S=cos +cosn+cos,i=4
••• |PF2|=9.
故选：B.
点评：
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题.
4.（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社 区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万兀）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万兀）
6.2
7.5
8.0
2 2
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos+cos2n,i=5
22
不满足条件i>5,S=cos1+cosn+cos ' +cos2n+cos ' =0-1+0+1+0=0,i=6
222
满足条件i>5，退出循环，输出S的值为0,
故选：C.
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i,S的
偶函数.
B.f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x）,贝Uf（x）为偶函数.
C.y=cosx为偶函数.
福建省宁德市2015届高三普通高中毕业班5月质检理综试卷 Word版含答案.pdf
过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并量m＝1
kg，与PQ段间的动摩擦因数μ＝0.4，轨道其部分摩擦不计。取g＝10 m/s2。求：
1）物块圆轨道最高点B时对轨道的压力；
2）物块Q运动P的时间及弹簧获得的最大弹性势能；
H2O＋H2OH3O＋＋OH－ K1＝1.0×10－14
OH－＋H2OH3O＋＋O2－ K2＝1.0×10－36
水中c(O2－) ＝
mol·L－1（填数值）。
（2）水广泛应用于化学反应。将干燥的碘粉与铝粉混合未见反应，滴加一滴水后升起紫色的碘蒸气，最后得到白
色固体。有关该实验的解释合理的是
m，不计在流动中和管壁之间的阻力，重力加速度为g。则
A．泵体上表面应接电源负极
B．电磁泵
C．电源提供的电功率为
D．质量为m的离开泵时的动能为
19．（18分）
（1）如图为小球做自由落体运动验证机械能守恒的装置图O点是释放小球的初始位置光电门正方。已知小球的直径
为d。
①小球从光电门正中穿过，由数字计时器读出小球通过光电门的时间Δt，则小球通过光电门的速度大小约为v=。
（3）离子Q点到N板Q点距分界线高h
23．（15分）
甲、乙、丙是都含有同一种元素的不同物质，转化关系如下图：
（1）若甲是CO2。
①常用于泡沫灭火器的是
（填“乙”或“丙”，下同）。
②浓度均为0.01 mol·L－1的乙溶液和丙溶液中，水的电离程度较大的是
（2）若甲是Al。
9．利用下图所示装置进行实验，通入Cl2前装置Ⅰ中溶液呈红色。下列说法不合理的是 A．通入Cl2后，装置Ⅰ中发生了氧化还原反应 B．Cl2与Na2SO3溶液反应的离子方程式是：SO32－＋Cl2＋H2O＝SO42－＋2Cl－＋2H＋ C．通入Cl2后，装置Ⅰ中溶液不褪色 D．装置Ⅱ的作用是吸收尾气，防止污染空气 10．常温下，0.01 mol·L－1 NaHY（酸式盐，Y表示原子或原子团）溶液，下列说法正确的是 A．溶液一定呈酸性 B．溶液中一定存在：Y2－＋H2OOH－＋HY－ C．溶液加水稀释，离子浓度都减小 D．溶液中：c(Na＋)≥c(Y2－) 11．以二氧化碳和氢气为原料制取乙醇的反应为： 2CO2(g)＋6H2(g)CH3CH2OH(g)＋3H2O(g) △H＜0 某压强下的密闭容器中，按CO2和H2的物质的量比为13 投料，不同温度下平衡体系中各物质的物质的量百分数（y%） 随温度变化如图所示。下列说法正确的是 A．a点的平衡常数小于b点 B．b点，v正(CO2)＝v逆(H2O) C．a点，H2和H2O物质的量相等 D．其他条件恒定，充入更多H2，v(CO2)不变 12．电解降解法可用于治理水体硝酸盐污染，将NO3－降解成N2的电解装置如下图所示。下列说法正确的是 A．电源的正极为b B．电解时H＋从膜右侧迁移到膜左侧 C．Ag Pt电极反应为：2H2O－4e－＝4H＋＋O2↑ D．若转移的电子数为1.204×1024，生成N2 5.6 g 13．下列光学现象说法正确的是 A．水中光的传播速度比红光 B．光纤由内芯和外套两层组成，内芯的折射率比外套的小 C．在岸边观察水中的鱼，看到的实际深 D．分别用光和红光在同一装置上做双缝干涉实验，用红光时得到的条纹间距更窄 14．理想变压器线圈的匝数为1100，线圈的匝数为25，原线圈输入电压的变化规律如图甲所示，副线圈所接电路如 图乙所示，P为滑动变阻器的 A．副线圈输出电压的频率为100Hz B．副线圈输出电压的有效值为V C．P向左移动时，变压器原、副线圈的电流都 D．P向左移动时，变压器的输入功率增加 15．在某一均匀介质中由波源O发出的简谐横波x轴传播，某时刻的波形如图，其波速为5m/s，振幅为20cm下列说法 正确的是 A．波的频率与波源的频率无关 B．此时P、Q两点动方向相同 C．再经过0.5s波恰好传到（-5m，0）位置 D．能与该波发生干涉的横波的频率一定为3Hz 16．如图为高分一号卫星与北斗导航系统G1”卫星在空中某一面内绕地心O做匀速圆周运动的示意图。卫星G1”的 轨道半径为r，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R万有引力常量为G。则 A．高分一号的加速度小于卫星G1”的加速度 B．高分一号的运行速度大于第一宇宙速度 C．地球的质量为 D．卫星G1”的周期为 17．真空中电量均为Q的两正点电荷一绝缘正方体框架的两侧面ABB1A1和DCC1D1中心连线方体中心 A．A、B、C、D电势相同 B．A、B、C、D电场强度相同
2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11（B ）9 （C ）5 （D ）3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，万元家庭年支出为（ ）（A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点p 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，AP =即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为144t t +≥=，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅的最大值等于13，故选A ． （10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于 ．【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2． （15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __． 【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=．（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X所以()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12G H A B =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ， 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ， 因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-，()2,2,1AF =-，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z =得()2,1,2n =-．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别 是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平 面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ． （2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B两点，判断点9,04G⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22142x y +=．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m +，1223=2y y m +，从而0222y m =+．所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+．从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度． （1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β；（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x +=+)x x =+)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一． （2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，s i n (βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+(于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()g x kx k R =∈．（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x -<． 解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<， 所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <．（2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++， 当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()21x k x k M x k x -+-+-'=--=+故当)x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满 足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -，此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x kN x k x x x --++-'=--=++，当(0,x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<， 所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<， 此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =． 解法二： （1）解法一． （2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-． 从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102kx -<<，2()()f x g x x ->， 记0x 与12k-的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()12x xM x x --'=--=，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ． （2）由=ACB 得11()AC A B --A =，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ． （21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12|2m --+=，解得3m =-± （21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b >>，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4， 所以4a b c ++=．（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立， 故2221149a b c ++的最小值为87．。
2015年福建省宁德市中考数学试卷和解析答案
2015年福建省宁德市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）2015地相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣20152．（4分）2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×1063．（4分）下列计算正确地是（）A．a2•a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5D．a3÷a2=14．（4分）如图，将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2地度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°5．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数D．抛出地篮球会下落6．（4分）有理数a，b在数轴上对应点地位置如图所示，下列各式正确地是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞07．（4分）一元二次方程2x2+3x+1=0地根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实数根C．没有实数根D．无法确定8．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF地值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.59．（4分）一个多边形地每个外角都等于60°，则这个多边形地边数为（）A．8 B．7 C．6 D．510．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015地坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）不等式2x+1＞3地解集是．12．（4分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=度．13．（4分）一次数学测试中，某学习小组5人地成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩地中位数是．14．（4分）一个口袋中装有2个完全相同地小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球地数字和为偶数地概率是．15．（4分）二次函数y=x2﹣4x﹣3地顶点坐标是（，）．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）地图象交矩形OABC地边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE地面积为6，则k=．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（7分）计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．18．（7分）化简：•．19．（8分）为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢地图书类别”地问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整地统计图：根据以上统计图提供地信息，回答下列问题：（1）此次被调查地学生共人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有人．20．（8分）如图，在边长为1地小正方形网格中，三角形地三个顶点均落在格点上．（1）以三角形地其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．21．（10分）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲地2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲地意向创始成员国各有多少个？22．（10分）图（1）是一个蒙古包地照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成地几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体地俯视图；（2）图（3）是这个几何体地正面示意图，已知蒙古包地顶部离地面地高度EO1=6米，圆柱部分地高OO1=4米，底面圆地直径BC=8米，求∠EAO地度数（结果精确到0.1°）．23．（10分）如图，已知AB是⊙O地直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O地切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧地长（结果保留π）．24．（13分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O 是坐标原点，点A地坐标是（﹣1，0），点C地坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线地函数表达式；（2）求直线BC地函数表达式和∠ABC地度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P地坐标．25．（13分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC地中点，MP⊥AB 交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B地度数．2015年福建省宁德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）2015地相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣2015【分析】根据只有符号不同地两个数互为相反数，可得一个数地相反数．【解答】解：2015地相反数是：﹣2015，故选：D．2．（4分）2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×106【分析】科学记数法地表示形式为a×10n地形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n地值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n地绝对值与小数点移动地位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数地绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将636000亿用科学记数法表示为：6.36×105亿元．故选：C．3．（4分）下列计算正确地是（）A．a2•a3=a5 B．a2+a3=a5 C．（a3）2=a5D．a3÷a2=1【分析】直接利用同底数幂地乘法运算法则和幂地乘方运算以及同底数幂地除法运算法则分别计算得出即可．【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；B、a2+a3无法计算，故此选项错误；C、（a3）2=a6，故此选项错误；D、a3÷a2=a，故此选项错误．故选：A．4．（4分）如图，将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2地度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°【分析】根据平移地性质得出l1∥l2，进而得出∠2地度数．【解答】解：∵将直线l1沿着AB地方向平移得到直线l2，∴l1∥l2，∵∠1=50°，∴∠2地度数是50°．故选：B．5．（4分）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数D．抛出地篮球会下落【分析】必然事件是指一定会发生地事件．【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；B、在同一条直线上地三条线段不能组成三角形，故B错误；C、投掷一枚质地均匀地骰子，掷得地点数是奇数，是随机事件，故C错误；D、抛出地篮球会下落是必然事件．故选：D．6．（4分）有理数a，b在数轴上对应点地位置如图所示，下列各式正确地是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞0【分析】根据a，b两数在数轴地位置依次判断所给选项地正误即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴A、a+b＞0，故错误，不符合题意；B、a﹣b＜0，正确，符合题意；C、a•b＜0，错误，不符合题意；D、＜0，错误，不符合题意；故选：B．7．（4分）一元二次方程2x2+3x+1=0地根地情况是（）A．有两个不相等地实数根B．有两个相等地实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先求出△地值，再判断出其符号即可．【解答】解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等地实数根．故选：A．8．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF地值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选：B．9．（4分）一个多边形地每个外角都等于60°，则这个多边形地边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根据多边形地边数等于360°除以每一个外角地度数列式计算即可得解．【解答】解：360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故选：C．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015地坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）【分析】根据OA1=1，可得点A1地坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…地长度，然后找出规律，求出点B2015地坐标．【解答】解：∵OA1=1，∴点A1地坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B2015地坐标是（22014，22014）．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）不等式2x+1＞3地解集是x＞1．【分析】先移项，再合并同类项，把x地系数化为1即可．【解答】解：移项得，2x＞3﹣1，合并同类项得，2x＞2，把x地系数化为1得，x＞1．故答案为：x＞1．12．（4分）如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=60度．【分析】根据旋转地性质：对应点与旋转中心所连线段地夹角等于旋转角，依此即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，∴∠BAD=60度．故答案为：60．13．（4分）一次数学测试中，某学习小组5人地成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩地中位数是120．【分析】根据中位数地定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据地平均数）叫做中位数，进行求解即可．【解答】解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为120，这组数据地中位数为120，故答案为120．14．（4分）一个口袋中装有2个完全相同地小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球地数字和为偶数地概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得两次摸出小球地数字和为偶数地情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：如图所示，∵共有4种结果，两次摸出小球地数字和为偶数地有2次，∴两次摸出小球地数字和为偶数地概率==．故答案为：．15．（4分）二次函数y=x2﹣4x﹣3地顶点坐标是（2，﹣7）．【分析】先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线地顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数地性质即可得到其顶点坐标．【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣3=x2﹣4x+4﹣7=（x﹣2）2﹣7，∴二次函数y=x2﹣4x+7地顶点坐标为（2，﹣7）．故答案为（2，﹣7）．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）地图象交矩形OABC地边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE地面积为6，则k=3．【分析】连接OB，由矩形地性质和已知条件得出△OBD地面积=△OBE地面积=四边形ODBE地面积=3，在求出△OCE地面积，即可得出k地值．【解答】解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB地面积=△OBC地面积，∵D、E在反比例函数y=（x＞0）地图象上，∴△OAD地面积=△OCE地面积，∴△OBD地面积=△OBE地面积=四边形ODBE地面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE地面积=△OBE地面积=，∴k=3；故答案为：3．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（7分）计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．【分析】先根据绝对值，零指数幂，二次根式地性质求出每一部分地值，再代入求出即可．【解答】解：原式=3﹣1+5=7．18．（7分）化简：•．【分析】先把分子分母分解因式，进一步约分计算得出答案即可．【解答】解：原式=•=．19．（8分）为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢地图书类别”地问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整地统计图：根据以上统计图提供地信息，回答下列问题：（1）此次被调查地学生共40人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为72度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有300人．【分析】（1）根据条形图可知喜欢“社科类”地有5人，根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；（2）根据条形图可知喜欢“文学类”地有12人，即可补全条形统计图；（3）计算出喜欢“艺术类”地人数，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；（4）用该年级地总人数乘以“文史类”地学生所占比例，即可求出喜欢地学生人数．【解答】解：（1）5÷12.5%=40（人）答：此次被调查地学生共40人；（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）（3）8÷40=20%360°×20%=72°答：扇形统计图中，艺术类部分所对应地圆心角为72度；（4）1200×=300（人）答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书地学生有300人．20．（8分）如图，在边长为1地小正方形网格中，三角形地三个顶点均落在格点上．（1）以三角形地其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）过A点作AB∥CD，且AB=CD，即可得到平行四边形ABCD，如图；（2）根据一组对边平行且相等地四边形是平行四边形进行证明．【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为平行四边形；（2）证明：∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．21．（10分）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲地2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲地意向创始成员国各有多少个？【分析】设欧洲地意向创始成员国有x个，亚洲地意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得出方程2x﹣2+x+5=57，解得即可．【解答】解：设欧洲地意向创始成员国有x个，亚洲地意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得：2x﹣2+x+5=57，解得：x=18，∴2x﹣2=34，答：亚洲和欧洲地意向创始成员国各有34个和18个．22．（10分）图（1）是一个蒙古包地照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成地几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体地俯视图；（2）图（3）是这个几何体地正面示意图，已知蒙古包地顶部离地面地高度EO1=6米，圆柱部分地高OO1=4米，底面圆地直径BC=8米，求∠EAO地度数（结果精确到0.1°）．【分析】（1）根据图2，画出俯视图即可；（2）连接EO1，如图所示，由EO1﹣OO1求出EO地长，由BC=AD，O为AD中点，求出OA地长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAO地值，即可确定出∠EAO地度数．【解答】解：（1）画出俯视图，如图所示：（2）连接EO1，如图所示：∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO===，则∠EAO≈26.6°．23．（10分）如图，已知AB是⊙O地直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O地切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧地长（结果保留π）．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O地切线；（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC地度数，然后利用弧长公式可得答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O地直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE．∴AE是⊙O地切线．（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．24．（13分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O 是坐标原点，点A地坐标是（﹣1，0），点C地坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线地函数表达式；（2）求直线BC地函数表达式和∠ABC地度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P地坐标．【分析】（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC地解析式，进而利用CO，BO地长求出∠ABC地度数；（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形地判定与性质得出BP地长，进而得出P点坐标．【解答】解：（1）将点A地坐标（﹣1，0），点C地坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC地解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC地解析式为：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45°；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由题意可得：PD∥OC，∴DB=DP=，∴OD=3﹣=，则P（，﹣）．25．（13分）如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC地中点，MP⊥AB 交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B地度数．【分析】（1）根据直角三角形地中线等于斜边上地一半，即可得解；（2）延长MN交DC地延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，∵N是BC地中点，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；（2）如图1，延长MN交DC地延长线于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BMN=∠E，∵点N是线段BC地中点，∴BN=CN，在△MNB和△ENC中，，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即点N是线段ME地中点，∵MP⊥AB交边CD于点P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；（3）如图2∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵M，N分别是边AB，BC地中点，∴MB=NB，∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．③NP=NC时，不可能．故∠B为108°或90°．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查
2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查思想政治试题（考试时间：90分钟；满分：100分）注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题共48分）本卷共24小题，每一小题2分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求。
1. 为赚钱顺便做好事，还是为做好事同时赚钱，这是两种完全不同的心态。
有人认为，以商业的心态去做事已经不行，必须以公益的心态、商业的手段才能成功。
这启示我们A. 公益性已成为企业从事经营活动的目的B. 企业要依靠科技进步提高自主创新能力C. 不同的“心态”决定着企业经营的成败D. 企业应坚持经济效益与社会效益的统一2. 我国银行卡升级换代，用芯片卡替代磁条卡。
目前，全国磁条卡达34.42亿张，如此浩大的换“芯”成本，谁来买单成为人们热议的焦点。
下列观点正确的是①商业银行在业务中获取利润，应买单②商业银行属于国家机关，应财政买单③中央银行作为金融服务企业，应买单④客户在使用中获得服务，应客户买单A. ①②B.②③C. ①④D. ②④3. 我省某村农业科技先行，实施“一花（桂花）一果（枇杷）”项目，成立专业合作社，开通网上交易平台，带动了当地农业增效和农民增收。
下列选项不体现该村做法的是A．借力科技扶持，整合资源优势 B．降低商品价格，确定竞争方向C．创新营销模式，优化发展战略D．转变发展方式，拓宽经营渠道4. 我国倡导建立亚洲基础设施投资银行和设立丝路基金，为“一带一路”（丝绸之路经济带和21世纪海上丝绸之路）沿线国家提供基础设施建设资金支持，这有利于①进一步提升我国经济活力②扩大总需求增加就业机会③促进国内企业“走出去”④快速地实现世界贸易平衡A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④5. 国家有关部门出台措施促进电动汽车产业的发展，电动汽车需求量（Q）随着国家对购买电动汽车的价格补贴（P）、电动汽车购置税(T)、汽油价格(E)、居民收入(I)的变动而变动。
2015年高考福建理科数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B I等于（ ）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =-I，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ） （A ）y =（B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）（A ）11 （B ）9（C ）5 （D ）3【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）（A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故$80.76100.4a=-⨯=，所以回归直线方程为$0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为$0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件20220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最 小值等于（ ）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【答案】C【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若点p是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r，则PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于（ ）（A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，()()()1,040,11,4AP =+=u u u r，即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,4PC t =--u u u r，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，因为144t t +≥，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于13，故选A ．（10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）（A ）11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭（B ）111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭（C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80． （12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为103，且5AB =，8AC =，则BC 等于 ．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 1032AB AC A A ⋅==，所以3sin A =，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ． 【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2．（15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __． 【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=． （2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X 的分布列为123所以1125()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．解：解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12GH AB =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ， 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ，因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =u u u r为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z r =为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-u u u r ，()2,2,1AF =-u u u r ，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取2z =得()2,1,2n =-r．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅u u u r u u u r u u u r ， 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平 面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别 是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平 面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂I平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ． （2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点(0,2），且离心率为2e =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 解：解法一：（1）由已知得22222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m +，1223=2y y m +，从而0222y m =+． 所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+u u u r ，229(,)4GB x y =+u u u r．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+． 从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >u u u r u u u r，又,GA GB u u u r u u u r 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β； （i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x+=+)x x =)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围 是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一． （2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=，当1m ≤≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+( 于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x kx k R =∈． （1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >； （3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x -<．解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <． （2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++， 当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x kk-==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++故当x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满 足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -， 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x k N x k x x x --++-'=--=++，当x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<， 所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<， 此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =． 解法二： （1）解法一． （2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-． 从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在． 当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102k x -<<，2()()f x g x x ->，记0x 与12k -的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xM x x x x --'=--=++，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β．（1）求A 的逆矩阵1-A ； （2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ． （2）由=ACB 得11()AC A B --A =，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ． （21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于22=，解得3m =-±（21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b >>，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4， 所以4a b c ++=． （2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=， 即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立，故2221149a b c ++的最小值为87． 2020-2-8。
2015年高考理科数学福建卷(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合234{i,i ,i ,i }A =（i 是虚数单位），{1,1}B =-，则A B I 等于（ ）A. {1}-B. {1}C. {1,1}-D. ∅ 2. 下列函数为奇函数的是（ ）A. y =B. |sin |y x =C. cos y x =D. e e x x y -=-3. 若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 34. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到根据上表可得回归本线方程ˆˆybx a =+，其中0.76b =，ˆˆa y bx =-，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元5. 若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32-D. 26. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-7. 若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知AB AC ⊥u u u r u u u r ,1||AB t =u u u r ，||AC t =u u u r ，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则 PB PC u u u r u u u r g 的最大值等于 （ ）A. 13B. 15C. 19D. 2110. 若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数'()f x 满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A. 11()f k k<B. 11()1f k k >- C. 11()11f k k <-- D. 1()11k f k k >-- 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 5(2)x +的展开式中，2x 的系数等于________.（用数字作答）12. 若锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于________.13. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.14. 若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+⎩≤＞（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________.15. 一个二元码是由0和1组成的数字串*12()n x x x n ∈N L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为）.已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕定义为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------么利用上述校验方程组可判定k等于________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE EC⊥，2AB BE EC===，G，F分别是线段BE，DC的中点.（Ⅰ）求证：GF∥平面ADE；（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆22221(a0)x yE ba b+=>>：过点，且离心率为e=.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线:1,()l x my m=-∈R交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0)4G-与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数()f x的图象是由函数()cosg x x=的图象经如下变换得到：先将()g x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.（Ⅰ）求函数()f x的解析式，并求其图象的对称轴方程；（Ⅱ）已知关于x的方程()()f xg x m+=在[0,2π)内有两个不同的解α，β.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：22cos)15mαβ-=-(.20.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x=+，()g x kx=()k∈R.（Ⅰ）证明：当0x>时，()f x x<；（Ⅱ）证明：当1k<时，存在x>，使得对任意的(0)x x∈,，恒有()()f xg x>；（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在0t>，对任意的(0,)x t∈恒有2|()()|f xg x x-<.21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2143⎛⎫= ⎪⎝⎭A，1101⎛⎫= ⎪-⎝⎭B.（Ⅰ）求A的逆矩阵1-A；（Ⅱ）求矩阵C，使得=AC B.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为13cos,23sin,x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线lπsin(),()4m mθ-=∈R.（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知0a>，0b>，0c>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4.（Ⅰ）求a b c++的值；（Ⅱ）求2221149a b c++的最小值.2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵234{i }{i ,i ,i ,i ,1,}i,1A ==--，}1{1,B =-， ∴{i }{}{}1i 11111A B =---=-I I ，，，，，．【提示】利用虚数单位i 的运算性质化简A ，然后利用交集运算得答案． 【考点】虚数单位i 及其性质，交集及其运算． 2.【答案】D【解析】A ．函数的定义域为[0,)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数． B ．()|()|||()f x sin x sinx f x -=-==，则()f x 为偶函数． C ．cos y x =为偶函数．D ．()e e (e e ())x x x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【考点】函数奇偶性的判断，余弦函数的奇偶性． 3.【答案】B【解析】由题意，双曲线22:1916x y E -=中3a =∵3a =，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得21|||6|PF PF -=，∴2||9PF =【提示】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】B 【解析】由题意可得(8.28.610.011.311.9)1501x ++++==，(6.27.58.08.5915.8)8y ++++==，代入回归方程可得80.76100.4a =-⨯=$， ∴回归方程为0.760.4y x =+$， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=【提示】由题意可得x 和y ，可得回归方程，把15x =代入方程求得y 值即可． 【考点】线性回归方程5.【答案】D【解析】由约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴2z x y =-的最小值为152(1)22⨯--=-．【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【考点】简单线性规划 6.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得AGB ∠，0S =πcos 2S =，i 2=不满足条件i 5>，πcoscos π2S =+，i 3= 不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos 22S =++，i 4=不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos cos2π22S =+++，i 5=不满足条件i 5>，π3π5πcoscos πcos cos2πcos 010100222S =++++=-+++=+，i 6= 满足条件i 5>，退出循环，输出S 的值为0【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=6时满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0 【考点】循环结构 7.【答案】B【解析】l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“l α∥”也可能l α⊂，反之，“l α∥”一定有“l m ⊥”所以l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件．【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】D【解析】由题意可得：a b p ab q +==，， ∵00p q >>，， 可得00a b >>，，又2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩①或224a b ab =-⎧⎨=⎩②．解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：14a b =⎧⎨=⎩．∴5144p a b q =+==⨯=，，则9p q += 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质．【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到a b p ab q +==，，再由2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a b ，的方程组，求得a b ，后得答案． 9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【提示】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化1144(1)4PB PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g g ，由基本不等式可得．【解析】由题意建立如图所示的坐标系， 可得1(0,0),0(0,)t A B C t ⎛⎫⎪⎝⎭，，，∵4||||AB AC AP AB AC =+uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r ，∴(1,4)P ，∴11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，(1,4)C t P -=-uu ur ，∴114(1)1744t t t PB t PC ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭-uu r uu u r g ，由基本不等式可得144t t +≥=，∴117417413t t ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC uu r uu u rg 的最大值为13，10.【答案】C【解析】解；∵lim()(0)(0)0x f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11x k =-时，1111111f k k k k ⎛⎫+>⨯= ⎪---⎝⎭，即1111111f k k k ⎛⎫>-= ⎪---⎝⎭ 故1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，一定出错， 另解：设()()1g x f x kx =-+，0(0)g =，且()()0g x f x k ''=->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C 错．【提示】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x ->>，用11x k =-代入可判断出1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，即可判断答案． 【考点】函数的单调性与导数的关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】80【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=g g ，令52r -=，求得3r =，可得展开式中2x 项的系数为335280C =g ，【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数． 【考点】二项式定理 12.【答案】7【解析】因为锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=，所以sin A =所以60A =︒，所以1cosA =， 所以7BC ==【提示】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ． 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】512【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4⨯-=，阴影部分的面积为22321115(4)433x dx x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 【考点】定积分的简单应用，几何概型 14.【答案】(1,2]【解析】由于函数6,2()(01)3log ,2a x c f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4,)+∞， 故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，∴log 1a x ≥，∴log 21a ≥，∴12a <≤ 综上可得，12a <≤，【提示】当2x ≤时，满足()4f x ≥．当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，即log 1a x ≥，故有log 21a ≥，由此求得a 的范围，综合可得结论． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】5【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101， ①若1k =，则12345670101101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得45671x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671001101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671111101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671100101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671101001x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得4567236713570,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=， 故5k =符合题意；⑥若6k =，则12345671101111x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故6k ≠；⑦若7k =，则123456110110x x x x x x ======，，，，，，70x =， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠； 综上，k 等于5【提示】根据二元码127x x x L 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则， 将k 的值从1至7逐个验证即可． 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题16.【答案】52【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式． 【提示】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解析】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431()=6542P A =⨯⨯．（2）有可能的取值是1，2，3 又则1(1)6P X ==， 511(2)656P X ==⨯=，542(3)653P X ==⨯=1236632EX =⨯+⨯+⨯=17.【答案】（1）见解析（2）23【解析】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， ∵G 是BE 的中点，∴GH AB ∥，且12GH AB =， 又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF AB ∥，且12DF AB =，即GH DF ∥，且GH DF =， ∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF DH ∥，又∵DH ADE ⊂平面，GF ADE ⊄平面，∴GF ADE ∥平面． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ CE ∥， ∵BE EC ⊥，∴BQ BE ⊥，又∵AB BEC ⊥平面，∴AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r ，BA uu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,2)(0,0,0)2,0,0)(2,2,1)(A B E F ，，， ∵AB BEC ⊥平面，∴(0,0,2)BA =uu r为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =r为平面AEF 的法向量．又(2,0,2)BE =-uur ，(2,2,1)AF =-uuu r由垂直关系可得220220n AE x z n AF x y z ⎧==-=⎪⎨==+-=⎪⎩r uu u r r uuu r，取2z =可得(2,1,2)n =-r ． ∴2cos ,3||||n BA n BA n BA 〈〉>=r uu rr uu r g r uu r∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ∥，且12GM AE =又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ， ∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF AD ∥． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ADE ∥平面． 又∵GM MF M =I ，GM ⊂平面GMF ，MF GMF ⊂平面∴平面GMF ADE ∥平面，∵GF GMF ⊂平面，∴GF ADE ∥平面 （2）同解法一．【提示】解法一：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF DH ∥，由线面平行的判定定理可得；（2）以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r，BA uu r 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，通过证明平面GMF ∥平面ADE 来证明GF ∥平面ADE ； （2）同解法一．【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定．18.【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】解法一：（1）由已知得222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩，∴椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00)(,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，∴022m y m =+． 9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴222222200000095525||(1)44216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++. ∴2||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu r ，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu u r ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为222)230(m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++ ∴0GA GB >uu r uu u r g 又GA uu r ，GB uu u r不共线，∴AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．【提示】解法一：（1）由已知得2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得即可得出椭圆E 的方程．（2）设点11)(,A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00(),H x y ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：022m y m =+．222009||4GH x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．2221212(1)[()4]||44m y y y y AB ++-=，作差22|||4|AB GH -即可判断出． 解法二：（1）同解法一．（2）设点1122(,(,))A x y B x y ，，则119=,4GA x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu r ，229=,4GB x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu u r ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，计算12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g即可得出AGB ∠，进而判断出位置关系． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 19.【答案】（1）()2sin f x x =ππ()2x k k =+∈Z（2）（i）( （ii ）见解析【解析】（1）将c (s )o x g x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移π2个单位长度后得到π2cos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为ππ()2x k k =+∈Z ．（2）（i）()()2sin cos )f x g x x x x x x ϕ⎫+=++=+⎪⎭（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，in )(s x ϕ+在区间[0,2π)内有两个不同的解αβ，，1<，故m的取值范围是(． （ii ）因为αβ，)x m ϕ+=在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m ≤<时，π22αβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2()αββϕ-=-+；当1m <时，23π2αβϕ+=-⎛⎫⎪⎝⎭，即3π2()αββϕ-=-+；所以2222cos()cos2()2sin ()12115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．【提示】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得：()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1<，即可得解．（ii）由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=当1m ≤π2()αββϕ-=-+，当0m <时，可求3π2()αββϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证． 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换． 20.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）见解析【解析】（1）证明：令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥ 则有1()111xf x x x '=-=-++， ∵0x ≥，∴()0f x '≤，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴当,()0x ∈+∞时，有()(0)0f x f =＜， ∴0x >时，()f x x <；（2）证明：令()()ln(1())g x f x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，则有1(1)()11kx k g x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g >=，故对任意正实数0x 均满足题意．当01k <<时，令()0g x '=，得1110k x k k-==->．取011x k =-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，∴()g x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0g x g >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意的0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； （3）解：当1k >时，由（1）知，对于任意,()0x ∈+∞，()()x g x f x >>， 故()()g x f x >，()()()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+， 令2ln(1)()M x kx x x =-+-，,()0x ∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在0⎡⎢⎣⎢⎭上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2()()||f x x g x ->，∴满足题意的t 不存在． 当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的0(0,)()()f x x x g x ∈>，． 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+- 令2ln(1)0(),)[N x kx x x x =+--∈+∞，，则有212(2)121(1)x x k x k N k x x x--+-+'=--=++， 故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，0()N x '>，()N x在⎡⎢⎢⎭⎣上单调递增，故()(0)0N x N >=， 即2()()x f x g x ->，记0x1x ，则当1)(0,x x ∈时，恒有2()()||f x x g x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,()0x ∈+∞时，()()|()|()ln(1)f x g x g x f x x x =-=-+-， 令2ln(1)([0),)H x x x x x =-+-∈+∞，，则有2121)121(x xH x x xx --'=--=++， 当0x >，()0H x '<，∴()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=， 故当0x >时，恒有2()()||f x x g x -<，满足0t >的实数t 存在． 综上，1k =【提示】（1）令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥，求导得到()0f x '≤， 说明()f x 在[0,)+∞上单调递减，则0x >时，()f x x <；（2）令(()ln (1))()f x g x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，可得0k ≤时，()0g x '>， 说明()g x 在(0,)+∞上单调递增，存在00x >，使得对任意0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； 当01k <<时，由()0G x '=求得1110k x k k-==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，()g x 在上单调递增， ()0)0(g x g >=，即()()f x g x >；（3）分1k >、1k <和1k =把不等式2|()()|f x g x x -<的左边去绝对值， 当1k >时，利用导数求得2|()()|f x g x x ->，满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的任意0()0,x x ∈，()()f x g x >． 令2()(ln 1)N x x x x k =+--，,[)0x ∈+∞，求导数分析满足题意的t 不存在． 当1k =，由（1）知，当,[)0x ∈+∞时，()|()()()n |l (1)g x f x x f x x x g -=-=-+， 令2()ln(1)H x x x x =-+-，,[)0x ∈+∞，则有0x >，()0H x '<，()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H =＜，说明当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，满足0t >的实数t 存在．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用21.【答案】（1）312221⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2）32223⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭【解析】（1）因为||23142A =⨯-⨯=，所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，故1313112222012123C B A -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭． 【提示】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵1A -； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，即可求矩阵C ，使得AC B =． 【考点】逆变换与逆矩阵22.【答案】（1）22(1)(2)9x y -++=0x y m -+=（2）3-±【解析】（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=.（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线0l x y m -+=:的距离等于22=，解得3m =-±．【提示】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可． 【考点】圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程． 23.【答案】（1）4 （2）87【解析】（1）因为|()|||||()()||f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，又00a b >>，，所以||a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++，所以4a b c ++=；（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得，2222211(491)231()164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g， 即222118497a b c ++≥ 当且仅当1132231b a c ==，即87a =，187b =，27c =时，等号成立．所以2221149a b c ++的最小值为87．【提示】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【考点】一般形式的柯西不等式。
2015年福建省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i 2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A ．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?考点：虚数单位i及其性质；交集及其运算．专题：集合；数系的扩充和复数．分析：利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．解答：解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）A ．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x考点：函数奇偶性的判断；余弦函数的奇偶性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cosx为偶函数．D．f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A11 B9 C 5 D 3．．．．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解答：解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．解答：解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．点评：本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A ．B．﹣2 C．D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（﹣1，）．∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣=．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=cos，i=2不满足条件i＞5，S=cos+cosπ，i=3不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos，i=4不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π，i=5不满足条件i＞5，S=cos+cosπ+cos+cos2π+cos=0﹣1+0+1+0=0，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0，故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．解答：解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l?α，反之，“l∥α”一定有“l⊥m”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选：B．点评：本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x 2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A ．6 B．7 C．8 D．9考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．解答：解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A ．13 B．15 C．19 D．21考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得．解答：解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵，∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t），由基本不等式可得+4t≥2=4，∴17﹣（+4t）≤17﹣4=13，当且仅当=4t即t=时取等号，∴的最大值为13，故选：A．点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．10．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A ．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；导数的概念及应用．分析：根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．解答：解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．点评：本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数．解答：解：（x+2）5的展开式的通项公式为T r+1=?x5﹣r?2r，令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为=80，故答案为：80．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．考点：余弦定理的应用．专计算题；解三角形．题：分析：利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．解答：解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．点评：本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．考点：定积分的简单应用；几何概型．专题：导数的综合应用；概率与统计．分析：分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．解答：解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，阴影部分的面积为=（4x﹣）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．点评：本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，即log a x≥1，故有log a2≥1，由此求得a的范围．解答：解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），故当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，∴log a2≥1，∴1＜a≤2，故答案为：（1，2]．点评：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5．考点：通讯安全中的基本问题．专题：创新题型；新定义．分析：根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可．解答：解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合题意；⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；⑦若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；综上，k等于5．故答案为：5．点评：本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．三、解答题16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X的取值为：1，2，3，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）=．（2）有可能的取值是1，2，3又则P（X=1=，P（X=2==，P（X=3==，所以X的分布列为：X 1 2 3PEX=1×+2×+3×=．点评：本小题主要考查古典概型、相互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得；（2）以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一．解答：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE?平面ADE，GM?平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD?平面ADE，MF?平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM?平面GMF，MF?平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF?平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．点评：本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题．18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．解答：解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．点评：本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x=m）在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：创新题型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=），从而可求||＜1，即可得解．（ii）由题意可得sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，可求α﹣β=π﹣2（β+j），当﹣＜m＜1时，可求α﹣β=3π﹣2（b+j），由cos（α﹣β）=2sin2（β+j）﹣1，从而得证．解答：解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k（k∈Z）．（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（）=sin（x+j）（其中sinj=，cosj=）依题意，sin（x+j）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．（ii）因为α，β是方程sin（x+j）=m在区间[0，2π）内有两个不同的解，所以sin（α+j）=，sin（β+j）=．当1＜m＜时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=π﹣2（β+j）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣j），即α﹣β=3π﹣2（β+j）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+j）=2sin2（β+j）﹣1=2（）2﹣1=．点评：本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．20．（7分）（2015?福建）已知函数f （x ）=ln （1+x ），g （x ）=kx ，（k ∈R ）（1）证明：当x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：当k ＜1时，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在t ＞0，对任意的x ∈（0，t ），恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ＞0，求导得到F ′（x ）＜0，说明F （x ）在（0，+∞）上单调递减，则x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞），可得k ≤0时，G ′（x ）＞0，说明G （x ）在（0，+∞）上单调递增，存在x 0＞0，使得对任意x ∈（0，x 0），恒有f （x ）＞g （x ）；当0＜k ＜1时，由G ′（x ）=0，求得．取，对任意x ∈（0，x 0），恒有G ′（x ）＞0，G （x ）在上单调递增，G （x ）＞G （0）=0，即f （x ）＞g （x ）；（3）分k ＞1、k ＜1和k=1把不等式|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2的左边去绝对值，当k ＞1时，利用导数求得|f （x ）﹣g （x ）|＞x 2，满足题意的t 不存在．当k ＜1时，由（2）知存在x 0＞0，使得对任意的任意x ∈（0，x 0），f （x ）＞g （x ）．令N （x ）=ln （1+x ）﹣kx ﹣x 2，x ∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t 不存在．当k=1，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，|f （x ）﹣g （x ）|=g （x ）﹣f （x ）=x ﹣ln （1+x ），令H （x ）=x ﹣ln （1+x ）﹣x 2，x ∈[0，+∞），则有x ＞0，H ′（x ）＜0，H （x ）在[0，+∞）上单调递减，故H （x ）＜H （0）=0，说明当x ＞0时，恒有|f （x ）﹣g （x ）|＜x 2，此时，任意实数t 满足题意．解答：（1）证明：令F （x ）=f （x ）﹣x=ln （1+x ）﹣x ，x ＞0，则有F ′（x ）=﹣1=﹣，∵x ＞0，∴F ′（x ）＜0，∴F （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴F （x ）＜F （0）=0，∴x ＞0时，f （x ）＜x ；（2）证明：令G （x ）=f （x ）﹣g （x ）=ln （1+x ）﹣kx ，x ∈（0，+∞），则有G ′（x ）=﹣k=，当k ≤0时，G ′（x ）＞0，∴G （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴G （x ）＞g （0）=0，故对任意正实数x 0均满足题意．当0＜k ＜1时，令G ′（x ）=0，得．取，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有，故当时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有，故当时，N′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln （1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意．综上，k=1．点评：本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．考点：逆变换与逆矩阵．专题：选作题；矩阵和变换．分析：（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．解答：解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，所以；（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，故．点评：本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．解答：解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y﹣m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．考点：一般形式的柯西不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．解答：解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．2015年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i 2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．?2．（5分）（2015?福建）下列函数为奇函数的是（）A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9C．5D．34．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2 C．D．26．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2B．1C．0D．﹣17．（5分）（2015?福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x 2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．99．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．2110．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）12．（4分）（2015?福建）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）（2015?福建）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）（2015?福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是．15．（4分）（2015?福建）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．三、解答题16．（13分）（2015?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．17．（13分）（2015?福建）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．18．（13分）（2015?福建）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．19．（13分）（2015?福建）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x=m）在[0，2π）内有两个不同的解α，β（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：cos（α﹣β）=﹣1．20．（7分）（2015?福建）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）（1）证明：当x＞0时，f（x）＜x；（2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；（3）确定k的所以可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．四、选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2015?福建）已知矩阵A=，B=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求矩阵C，使得AC=B．五、选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）（2015?福建）在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．六、选修4-5：不等式选讲23．（7分）（2015?福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．。
2014-2015年福建省宁德市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2014-2015学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“若p，则q”的否命题为（）A．若￢p，则q B．若p，则￢q C．若￢p，则￢q D．若q，则p 2．（5分）在等比数列{a n}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（）A．8B．10C．12D．183．（5分）已知向量={1，﹣1，2}，={﹣2，2，m}，且，则m的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣24．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+45．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．236．（5分）在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．348．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则点C到平面BC1D的距离等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．10．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（1，0），则m的值为．12．（4分）在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，则AC=．13．（4分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（4分）如图，正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为．15．（4分）定义：数列{a n}对一切正整数n均满足，称数列{a n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{a n}一定是凸数列（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}一定是凸数列（3）若数列{a n}为凸数列，则数列{a n﹣a n}是单调递增数列+1（4）凸数列{a n}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得其中正确说法的个数是．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；（2）若曲线C与直线m：y=x﹣1相交于A、B两点，求△OAB的面积．18．（13分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），命题q：方程表示双曲线（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（13分）某中学高二研究性学校小组按以下方案测算一种烟花的垂直发射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该烟花的垂直发射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到地面C处发射声音的时间比B地晚秒，在A地测得这种烟花至高点H时的仰角为30°，求这种烟花的垂直发射高度（声音的传播速度为340米/秒）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C=2．（1）求证：平面A1BD⊥平面BCD；（2）求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；（3）E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为？21．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同两点A、B．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“若p，则q”的否命题为（）A．若￢p，则q B．若p，则￢q C．若￢p，则￢q D．若q，则p【解答】解：根据原命题与它的否命题之间的关系，得；命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．故选：C．2．（5分）在等比数列{a n}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（）A．8B．10C．12D．18【解答】解：因为在等比数列{a n}中，a3、a6、a9为成等比数列，所以，则36=2×a9，解得a9=18，故选：D．3．（5分）已知向量={1，﹣1，2}，={﹣2，2，m}，且，则m的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【解答】解：∵，∴存在实数λ使得，∴（1，﹣1，2）=λ（﹣2，2，m），∴，解得m=﹣4．故选：B．4．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+4【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴=（）（2x+y）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即x=且y=1+时取等号，故选：C．5．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．23【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选：B．6．（5分）在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，把sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB代入得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，即A﹣B=0，∴A=B，即a=b，则△ABC为等腰三角形，故选：A．7．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．34【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=2，S5=30，得，解得：．∴S8==．故选：B．8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则点C到平面BC1D的距离等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连结BD，AC 交点为O，连结OC1，作CE⊥OC1于E，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，∴△BDC1是等腰三角形，DC1=C1B=，BD=2，OC1=，OC=，长方体的底面是正方形，AC⊥BD，易知BD⊥平面OC1C，则CE⊥C1O，点C到平面BC1D的距离等于CE，CE===，故选：C．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．【解答】解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列可知b2=ac ①由余弦定理可知cosA=②又∵a2=c（a+c﹣b）∴a2=ac+c2﹣bc ③联立①②③解得cosA=A∈（0，180°）∴∠A=故选：D．10．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定【解答】解：将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=|PF1|．又由双曲线定义得，|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|==b．故|MO|﹣|MT|=|PF1|﹣|MF|+|FT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（1，0），则m的值为5．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点为（1，0），可得m﹣4=1，解得m=5．故答案为：5．12．（4分）在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，则AC=．【解答】解：在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，可得=，可得AB=1．显然三角形是直角三角形，可得AC=．故答案为：．13．（4分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[﹣1，3] ．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．14．（4分）如图，正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为45°．【解答】解：∵正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，∴建立以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴的空间坐标系如图：设AB=PA=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），则=（1，1，﹣1），=（1，0，0），则=（0，1，0）是平面PAB的法向量，平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，即=（0，1，1），则•=1，则cos＜，＞==，则＜，＞=45°，故平面PAB与平面PCD所成的角为45°，故答案为：45°15．（4分）定义：数列{a n}对一切正整数n均满足，称数列{a n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{a n}一定是凸数列（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}一定是凸数列（3）若数列{a n}为凸数列，则数列{a n+1﹣a n}是单调递增数列（4）凸数列{a n}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得其中正确说法的个数是2．【解答】解：（1）由等差数列{a n}的性质可得：，不满足，因此不是“凸数列”．（2）∵首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}，∴．∴==＞a n q=a n+1．因此是“凸数列”．故正确．（3）∵数列{a n}为凸数列，∴数列{a n}对一切正整数n均满足，∴a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，∴数列{a n+1﹣a n}是单调递增数列．因此正确．（4）①凸数列{a n}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有；②对于凸数列{a n}存在n0∈N*，使得．则﹣=＞0．如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．因此（4）不正确．综上可知：只有（2）（3）正确．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=2+a1，a4=2×3+a1，又∵a1，a2，a4依次构成等比数列，∴（2+a1）2=a1（2×3+a1），解得a1=2，∴a n=2n，S n=2×=n（n+1）；（2）∵S n=n（n+1），∴b n===﹣，∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．17．（13分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；（2）若曲线C与直线m：y=x﹣1相交于A、B两点，求△OAB的面积．【解答】解：（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=﹣1为准线的抛物线，所以方程为y2=4x．（2）y=x﹣1代入抛物线方程可得y2﹣4y﹣4=0，所以y=2±2，所以△OAB的面积为=2．18．（13分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），命题q：方程表示双曲线（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，则不等式为t2﹣5t+4＜0，即1＜t＜4，p：t∈（1，4），若方程=1表示双曲线，则（t﹣2）（t﹣6）＜0，即2＜t＜6．q：t∈（2，6），若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，即，解得2＜t＜4，则实数t的取值范围{t|2＜t＜4}．（2）若t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），则（t﹣a）（t﹣4a）＜0，若a＞0，则得a＜t＜4a，若a＜0，则4a＜t＜a，∵q：t∈（2，6），∴若p是q的必要不充分条件，则当a＞0时，，即，解得≤a≤2，若a＜0，则不满足条件．即实数a的取值范围是[，2]．19．（13分）某中学高二研究性学校小组按以下方案测算一种烟花的垂直发射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该烟花的垂直发射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到地面C处发射声音的时间比B地晚秒，在A地测得这种烟花至高点H时的仰角为30°，求这种烟花的垂直发射高度（声音的传播速度为340米/秒）【解答】解：由题意，设|AC|=x，则|BC|=x﹣=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理：|BC|2=|BA|2+|CA|2﹣2|BA|•|CA|•cos∠BAC，（3分）即（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解之得x=420．…（5分）在△ACH中，|AC|=420，∠CAH=30°，∠CHA=90°﹣30°=60°，由正弦定理：．…（8分）所以|CH|=140．…（11分）答：该仪器的垂直弹射高度140米．…（12分）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C=2．（1）求证：平面A1BD⊥平面BCD；（2）求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；（3）E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为？【解答】解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；∴；∴A1B⊥BC；又A1B⊥BD，BD∩BC=B；∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；∴平面A1BD⊥平面BCD；（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；∴，；∴；∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；∴设E（x，x，1﹣x），x∈[0，1]；∴；∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；∴=；解得x=，或2（舍去）；∴；即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．21．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同两点A、B．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意椭圆的离心率e==，∴a=c∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，又点（2，）在椭圆上∴+=1，∴c2=4，∴椭圆的方程为+=1；（2）假设存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，即m2＜8k2+4，又x1+x2=﹣，∴AB中点P的坐标为（﹣，），设AB的垂直平分线l'方程：y=﹣x+3，∵P在l'上，∴=﹣•（﹣）+3，即m=﹣3﹣6k2，代入m2＜8k2+4，得9（1+2k2）2＜4（1+2k2），即为1+2k2＜，解得k∈∅．故不存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．。
(word完美版)2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)
2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}xB y y x R ==+∈，则AB 等于A ．{24}x x <<B ．{14}x x <<C ．{12}x x <<D ．{4}x x >2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．15B ．16C ．25D ．363． 21()n x x -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为A ．20-B ．15-C ．15D ．204． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10B ．12C ．18D ．285． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于ABCD ．26． 函数cos(sin )y x =的图象大致是7． 已知集合10(,)30,1x y A x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠∅，则R 的最小值为 A．2BC ．3D ．58． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为A ．6B ．10C ．12D ．159． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A .若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是A ．存在N n ∈，使得21n S b +=B ．存在N n ∈，使得21n S b +=C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为21e -； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.13．在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是__________.14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是__________.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移4π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）“抢红包”的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味. “抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.已知函数2*2()()1n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知曲线22:3C x xy y -+=，矩阵22M ⎛= - ⎝⎭，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的方程；（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.（Ⅰ）若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当14x -≤≤.。
2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)【解析版】
2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)【解析版】2015年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学解析一、选择题1、已知集合{}{}20log2,32,x A x x B y y x R=<<==+∈,则A B 为（ ）A. {}24x x <<B. {}14x x <<C. {}12x x <<D. {}1x x >【解析】选A ，集合A 中，将常数化为对数：222{|log 1loglog 4}A x x =<<，再由对数函数2log y x =单调增，可得{|14}A x x =<<；集合B 中，根据指数函数32xy =+在R 上单调增，可得{|2}B y y =>，取交集可得{|24}A B x x =<<【点评】本题考查集合的概念，对数的运算，对数函数与指数函数的单调性。
难度简单2、执行如下框图，则输出的结果是（ ） A ．15 B ．16 C ．25 D ．36到的号码就为38，第三组抽到的号码就为58，依此类推．它们构成一个等差数列，通项为22-=n a n，依题意有800120561≤-≤n ，即2080320563≤≤n ，n 可取40,31,30,29 ，共12个．【点评】本题考查系统抽样方法，等差数列通项公式。
难度简单5、已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于060，则双曲线C 的离心率等于（ ）A 23B 2C 3D ．2 【解析】选D ，可设双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，它的渐近线方程为a b y ±=，依题意有3=a b ，ab ac 222=+=，所以离心率2==ace ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程与离心率的求法。
难度简单6、函数cos(sin )y x =的图像大致是（ ）【解析】选B，图像题目，属于基础题。
2014-2015年福建省宁德市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
15． （4 分）如图，△A0B1A1，△A1B2A2，…，△An﹣1BnAn 均为等腰直角三角形，
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其直角顶点 B1，B2，…，Bn（n∈N*）在曲线 y= （x＞0）上，A0 与坐标原点
* O 重合， A （ 在 x 轴正半轴上． 设 Bn 的纵坐标为 yn， 则 y1+y2+…+yn= i i∈N ）
．
三、解答题：本大题共 5 小题，满分 66 分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤． 16． （13 分）某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、健康状况，一 个月后，从该渔池中随机捞出 n 条鱼称其重量（单位：克） ，并将所得数据进 行分组，得到如右频率分布表． 分组 （80，90] （90，100] （100，110] （110，120] （120，130] （130，140] （140，150] 合计 频数 3 7 x 20 35 20 5 n 频率 0.03 0.07 0.10 y 0.35 0.20 0.05 1.00
2） ． （Ⅰ）取线段 AC 的中点 Q，问：是否存在点 P，使得 PQ∥平面 AEB？若存在， 求出 PD 的长；不存在，说明理由； （Ⅱ）当 EP= ED 时，求平面 AEB 和平面 APC 所成的锐二面角的余弦值． 19． （13 分）某供货商拟从码头 A 发货至其对岸 l 的两个商场 B，C 处，通常货 物先由 A 处船运至 BC 之间的中转站 D，再利用车辆转运．如图，码头 A 与两 商场 B，C 的距离相等，两商场间的距离为 20 千米，且∠BAC= 物从码头 A 至 D 处的运费为 100 元/千米，这批货到 D 后需分别发车 2 辆、4 辆转运至 B、C 处，每辆汽车运费为 25 元/千米．设∠ADB=α，该批货总运费为 S 元． （Ⅰ）写出 S 关于 α 的函数关系式，并指出 α 的取值范围； （Ⅱ）当 α 为何值时，总运费 S 最小？并求出 S 的最小值． ．若一批货
福建省宁德市2015届高三普通高中毕业班5月质检数学(理)(附答案)
2015年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a (3,)m =，b (2,1)=-，//a b ，则实数m 的值为 A ．32-B ．32C ．2D ．62．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a ⋅=A ． 6B ． 18C ．24D ．364．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --则该函数的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．25．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序． 若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入 的整数i 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．66．已知某市两次数学测试的成绩1ξ和2ξ分别服从 正态分布11(90,86)N ξ 和22(93,79)N ξ ，则以下 结论正确的是A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 作直线l x ⊥轴交双曲线C 的渐近线于点,A B ．若以AB 为直径的圆恰过点2F ，则该双曲线的离心率为 A B C ．2 D 8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 A ． 2日和5日 B ． 5日和6日 C ． 6日和11日 D ． 2日和11日 9．若关于x 的方程320()x x x a a --+=∈R 有三个实根1x ，2x ，3x ，且满足123x x x ≤≤，则1x 的最小值为A ．2-B ．1-C ．13-D ．010．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是侧视图正视图A ．12,33⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12,,336π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．1233V V ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ D ．203V V ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．复数1iiz +=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________． 12．设a 是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x ax a ++=有两个不等实根的概率 为 ．13．若关于x ，y 的不等式组 0,,10x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k 的值为 ．14．若在圆22:()4C x y a +-=上有且仅有两个点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值范围是 ． 15的ABC ∆中，3A π∠=．若点D 为BC 边上的一点，且满足2CD DB = ，则当AD 取最小时，BD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)将射线1(0)7y x x =≥绕着原点逆时针旋转4π后所得的射线经过点(cos sin )A θθ，． （Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）若向量(sin 2,2cos )x θ=m ，(3sin ,2cos2)x θ=n ，求函数()f x ⋅=m n ，[0,2x π∈] 的值域．17．(本小题满分13分)某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数； （Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为34，乙队猜对前两条的概率均为45，猜对第3条的概率为12．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？18． (本小题满分13分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=．若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥． （Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --为6π？ 若存在，求出BP 的长；不存在，说明理由．y a１19． (本小题满分13分)已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线21l l ⊥于P ，连结PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ．设点H 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程;（Ⅱ）过点P 作曲线Γ的两条切线，切点分别为,C D ， （ⅰ）求证:直线CD 过定点;（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线l 交曲线Γ于点,A B ，直线CD 交l 于点Q ，试探究PQPA20．(本小题满分14分)已知函数2()e ()x f x x ax -=+在点(0,(0))f 处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设3()(e g x x x t t =---∈R ）()，若()()g x f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n +=+，求证：当2,n n ≥∈N 时 11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈)．xyO21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点(,)P x y 变换为点(2,3)P x y x '+． （Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵1M -；（Ⅱ）求曲线410x y +-=在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C '的方程．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|5||3|f x x x =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值m ； （Ⅱ）若正实数,a b满足11a b +2212m a b+≥.2015年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分． 1112．1313．1-或0 14．(3,1)(1,3)-- 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分． 解: （Ⅰ）设射线1(0)7y x x =≥的倾斜角为α，则1tan 7α=，(0,)2απ∈．……………1分 ∴1147tan tan()143117θα+π=+==-⨯，……………………………………………4分 ∴由22sin cos 1,sin 4,cos 3θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩+解得4sin ,53cos .5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………6分∴点A 的坐标为3455⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………7分（Ⅱ）()3sin sin 22cos 2cos2f x x x θθ⋅+⋅=……………………………………8分 1212sin 2cos255x x =+).4x π=+…………………………………………………10分 由[0,2x π∈]，可得2[,]444x ππ5π+∈，∴sin(2)[4x π+∈，………………………………………………………12分∴函数()f x 的值域为12[5-．……………………………………………13分 17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分． 解法一：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x ，由频率分布直方图得， (0.00150.019)20(140)0.0250.5x +⨯+-⨯=， 解得：143.6x =．……………………………2分 ∴测试成绩中位数为143.6．进入第二阶段的学生人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则3(3,)4B ξ ，……………………………5分∴39344E ξ=⨯=．……………………………6分 ∴最后抢答阶段甲队得分的期望为99[(3)]203044--⨯=，………………………8分∵2111(0)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2411119(1)25525250P η⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(2)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(3)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴9121621012350255010E η=+⨯+⨯+⨯=， …………………………………………10分 ∴最后抢答阶段乙队得分的期望为2121[(3)]20241010--⨯=．……………………12分∴1203012024+>+，∴支持票投给甲队．．……………………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分 （Ⅱ）设最后抢答阶段甲队获得的分数为ξ， 则ξ所有可能的取值为60-，20-，20，60．331(60)1464P ξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 213339(20)14464P C ξ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， 3233327(20)14464P C ξ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3327(60)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．∴19276020206030646464E ξ=-⨯-⨯+⨯+=．……………………………8分 设最后抢答阶段乙队获得的分数为η，则η所有可能的取值为60-，20-，20，60． ∵2111(60)5250P η⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭，2411119(20)25525250P η⎛⎫=-=⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，24141112(20)25255225P η⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，24116(60)5250P η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，∴191216602020602450502550E η=-⨯-⨯+⨯+⨯=，……………………………12分 ∵1203012024+>+，∴支持票投给甲队．…………………………………………13分18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA =，1AO =，∴1A O ==…………………………………………2分 ∴22211AO AD AA += ∴1AO AD ⊥.…………………………………………3分 又1CD AO ⊥，且CD AD D = ， ∴1AO ⊥平面ABCD ．…………………………………………5分 （Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图），则(0,1,0)A -，1A ，设(1,,0)([1,1])P m m ∈-，平面1A AP 的法向量为1n =(x ∵1AA = ，(1,1,0)AP m =+，且1110,(1)0.AA y AP x m y ⋅⋅⎧==⎪⎨=++=⎪⎩ n n 取1z =，得1n =1),m +．……………………………8分a１a又1AO ⊥平面ABCD ,且1AO ⊂平面11A ADD , ∴平面11A ADD ⊥平面ABCD .又CD AD ⊥,且平面11A ADD 平面ABCD AD = ∴CD ⊥平面11A ADD .不妨设平面11A ADD 的法向量为2n =(1,0,0)．………………………10分由题意得12cos ,==n n ，……………………12分解得1m =或3m =-（舍去）．∴当BP 的长为2时，二面角1D A A P --的值为6π．………………………13分 19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分13分．解法一: （Ⅰ）由题意可知，HF HP =，∴点H 到点(0,1)F 的距离与到直线1:1l y =-的距离相等，……………………………2分 ∴点H 的轨迹是以点(0,1)F 为焦点， 直线1:1l y =-为准线的抛物线，………………3分 ∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）证明:设0(,1)P x -，切点(,),(,)C C D D C x y D x y ． 由214y x =，得12y x '=． ∴直线01:1()2C PC y x x x +=-，…………………………………………5分 又PC 过点C ，214C C y x =， ∴2001111()222C C C C C y x x x x x x +=-=-， ∴01122C C C y y x x +=-，即01102C C x x y -+=．…………………………………………6分同理01102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为01102xx y -+=，…………………………………………7分∴直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线CD 的方程为1102x y -+=. 设:1(1)l y k x +=-， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q k x k +=-．……………………………………9分 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，联立1(1)y k x +=-与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4,44A B A B x x k x x k +=⋅=+．…………………………………………10分∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴11PQPQ PQ PA PB PA PB ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11111Q A B x x x ⎛⎫=-+⎪⎪--⎭ ()11111Q A B x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭…………………………………………11分 ()()24212111A B A B x x k k x x +-+⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 5422215k k -=⋅=-， ∴PQPQPA PB +为定值，定值为2．…………………………………………13分解法二: （Ⅰ）设(,)H x y ，由题意可知， HF HP =，1y +， ………………………………2分∴化简得24x y =，∴点H 的轨迹方程为24x y =．…………………………………………4分（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点(,),(,)C C D D C x y D x y ，直线CD 的方程为y kx t =+．联立y kx t =+与24x y =得2440x kx t --=，由根与系数的关系，得4,4C D C D x x k x x t +=⋅=-．…………………………………………5分 由214y x =，得12y x '=． ∴直线1:()2C C C PC y y x x x -=-，又214C C y x =， 所以211:24C C PC y x x x =-． 同理211:24D D PD y x x x =-．…………………………………………6分 联立两直线方程，解得1y t =-=-，∴1t =，即直线CD 过定点(0,1)．…………………………………………8分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得11()22C D x x k =+=， ∴12k =， ∴直线CD 的方程为1102x y -+=． 以下同解法一．20．本题考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分．解: （Ⅰ）22()e ()e (2)e (2)x x x f x x ax x a x ax x a ---'=-+++=-+--，…………………1分 由(0)()2f a '=--=，得2a =．…………………………………………3分（Ⅱ）2()e (2)x f x x x -=+．由()()g x f x ≥，得23()e (2)ex x x t x x ----≥+，[0,1]x ∈． 当0x =时，该不等式成立; …………………………………………4分当(0,1]x ∈，不等式3e (2)ex x t x --++≥+对(0,1]x ∈恒成立， 即max 3e (2)e x t x x -⎡⎤≥++-⎢⎥⎣⎦．…………………………5分 设3()e (2)ex h x x x -=++-，(0,1]x ∈， ()e (2)e 1e (1)1x x x h x x x ---'=-+++=-++，()e (1)e e 0x x x h x x x ---''⎡⎤=--++=⋅>⎣⎦，∴()h x '在(0,1]单调递增，∴()(0)0h x h ''>=，∴()h x 在(0,1]单调递增， …………………………………………………………7分 ∴max 33()(1)11e eh x h ==+-=， ∴ 1.t ≥………………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）∵11(1)n n a a n+=+， ∴11n n a n a n++=，又11a =， ∴2n ≥时，321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=- ，对1n =也成立， ∴n a n =．……………………………10分∵当[0,1]x ∈时，2()e (2)0x f x x -'=-->，∴()f x 在[0,1]上单调递增，且()(0)0f x f ≥=． 又∵1()i f n n ⋅(11,)i n i ≤≤-∈N 表示长为()i f n ，宽为1n的小矩形的面积， ∴11()()i n i ni f f x dx n n +⋅<⎰(11,)i n i ≤≤-∈N ， ∴1112011121()()()()()()()n a a a n f f f f f f f x dx n n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤+++=+++<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ ．…… 12分 又由（Ⅱ），取1t =，得23()()(1)ef xg x x x ≤=-++， ∴1132100011313()()(1)32e 62ef x dxg x dx x x ≤=-++=+⎰⎰， ∴112113()()()62en f f f n n n n -⎡⎤+++<+⎢⎥⎣⎦ ， ∴11213()()()62e n a a a f f f n n n n -⎛⎫+++<⋅+ ⎪⎝⎭．…………………………………………14分 21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）设点(),P x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)P x y '''，则2,3,x x y y x '=+⎧⎨'=⎩即2130x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2130M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………………1分又det()3M =-， ∴1103213M -⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭．…………………………………………3分 （Ⅱ）设点(),A x y 在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为(,)A x y '''， 则1103213x x x M y y y -⎛⎫- ⎪''⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪'' ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 即1,32,3x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪''=--⎪⎩…………………………………………5分 ∴代入410x y +-=，得241033y x y '⎛⎫''----= ⎪⎝⎭， 即变换后的曲线方程为210x y ++=．…………………………7分（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为x y +=………………………………………2分 圆C的直角坐标方程为222(((0)x y r r +++=>．………………………… 4分（Ⅱ）∵圆心(C ，半径为r ，………………………………………5分 圆心C到直线x y +2d ==，………………………6分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴321r =-=．………………………………………7分(3)本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）∵()|5||3|532f x x x x x =-+-≥-+-=，…………………………………2分 当且仅当[3,5]x ∈时取最小值2，……………………3分2m ∴=．…………………………………4分（Ⅱ）22222121()[1](13a b a ++≥⨯= ，222123()2a b ∴+⨯≥， ∴22122a b +≥.…………………………………………7分。
福建省宁德市2014-2015学年高二数学上学期期末质量检测试题 理(A卷)
宁德市2014-2015学年度第一学期高二期末质量检测数学（理科）试题（A 卷）本试卷供一、二级达标校使用。
第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3、考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一个项是符合题目要求的． 1．命题“,.p q 若则”的否命题为( )A ．,.p q ⌝若则B ．,.p q ⌝若则C ．,.p q ⌝⌝若则D ．,.q p 若则 2．在等比数列{an}中，如果362,6a a ==，那么9a 为( )A ．8B ．10C ．12D ．18 3．已知向量()1,1,2a =-,()2,2,b m =- ,且a ∥b ，则m 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．2D ．-24．已知0,0,21,x y x y >>+=且则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B． C．3+ D．3+5．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数23z x y =+的最小值为( )[来A ．6B ．7C ．8D ．23 6．在ABC ∆中，若2cos c b A =，则此三角形必是（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 7．设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，若652,30a S ==，则8S 等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34 8．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，12,1AB BC AA ===，则点C 到平面1BC D 的C 1距离等于（ ）A ．6B ．62 C ．63 D ．699．在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，已知sin sin sin A B C 、、成等比数列，且2()a c a c b =+-，则角A 为（ ） A ．6π B ．56π C ．23π D ．3π10．从双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT-与b a -的大小关系为（ ）A ．MO MT b a ->-B ．MO MT b a-=-C ．MO MT b a-<- D ．不确定第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．椭圆2214x y m +=的一个焦点为(1,0)，则m 的值为 12．在ABC ∆中23BC B π,=,=,若ABC ∆的面积为3则AC =________．13．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<使”是假命题， 则实数a 的取值范围为________．A DP14．如图，正方形ABCD 所在平面外有一点P ，PA ABCD ⊥平面.若PA AB =，则平面PAB与平面PCD 所成的角为________．15. 定义：数列{}n a 对一切正整数n 均满足212n n n a a a +++>，称数列{}n a 为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法： ①等差数列{}n a 一定是凸数列；②首项10a >，公比0q >且1q ≠ 的等比数列{}n a 一定是凸数列；③若数列{}n a 为凸数列，则数列{}1n n a a +-是单调递增数列；④若数列{}n a 为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列.其中正确说法的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分13分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，公差为2，且124,,a a a 依次构成等比数列。
福建省宁德市15-16高二下理科数学考试试题
宁德市2015-2016学年度第二学期高二期末质量检测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页。
考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3、考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一个项是符合题目要求的． 1．复数121iz i+=-对应的点z 在复数平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．设()~,B n p ξ，若有8E ξ=,4D ξ=，则,n p 的值分别为（ ） A ．16 和12B ．15和14C ．18和23 D ．20和133．“因为指数函数xy a =是增函数,而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”， 导致上面推理错误的原因是（ ） A ．大前提错 B ．小前提错C ．推理形式错D ．大前提和小前提都错4．三个人独立破译一密码，他们能独立破译的概率分别是15、 25、 12，则此密码被破译的概率为（ ）A ．125 B ．625 C ．1925 D ．24255．3男3女共6名学生排成一列，同性者相邻的排法种数为（ ）A ．2种B ．9种C ．36种D ．72种6．给出下列类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)，其中类比结论错误．．的是（ ） A ．“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”. B ．“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”. C ．“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则实数,a c a c b d =⇒==”．D ．“若,a b R ∈，则a b a b +≤+”类比推出“若,a b C ∈，则a b a b +≤+”. 7. 将三颗骰子各掷一次，设事件A 为“恰好出现一个6点”，事件B 为“三个点数都不相同”，则概率()P B A 的值为（ ）A ． 45B ．59C ．12D ．168．如图由曲线22y x x =+与21y x =+所围成的 阴影部分的面积是（ ）A ．0B ．23 C ．43D ．29．方程323950x x x ---=的实根个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．若11!22!33!20162016!S =⨯+⨯+⨯++⨯，则SA ． 0B ．1 C．3 D ．911. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：它在回归直线左下方的概率为（ ） A.15 B. 25 C. 35 D. 4512.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '<<-，则下列结论中一定错误．．．．的是（ ） ABC ．D第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．22(2sin )x x dx ππ--=⎰__________.14．设随机变量()~4,9N ξ,若()()33P c P c ξξ>+=<-,则c =__________. 15．2521(2)x x++ 展开式中4x 项的系数为__________. 16. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为，，则第n (4)n ≥行倒数第四个数（从右往左数）为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分) 已知2111z m i m =++，21(23)2z m i =-+，m R ∈，i 为虚数单位．且21z z +是纯虚数． （Ⅰ）求实数m 的值． （Ⅱ）求12z z ⋅的值．18．(本题满分12分)已知函数()()2x f x x a e =+⋅在()()0,0f 处的切线与直线8y x =-平行. （Ⅰ）求a 的值．（Ⅱ）求()f x 的单调区间和极值． 19．(本题满分12分)64． （Ⅰ）求n 的值．（Ⅱ）求展开式中的常数项． 20．（本小题满分12分） 记123n S n =++++，2222123n T n =++++（Ⅰ）试计算11S T ，22S T ，33S T 的值，并猜想n nS T 的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算n T 的通项公式，并用数学归纳法证明之．21．(本题满分12分)某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取20名男女用户，汇总数据如下表由于部分数据丢失，根据原始资料只查得：从满意的人数中任意抽取2人，都是男生的概率是27． （Ⅰ）根据条件完成以上22⨯列联表，并据此判断有多大以上的把握认为“用户满意度”与性别有关．（Ⅱ）从以上男性用户中抽取2人，女性用户中抽取1人，其中满意的人数为X ，求X 的分布列和期望()E X ．附：()22-=n ad bc χ，22．(本题满分12分) 已知函数()(0)ln xf x kx k x=+<． （Ⅰ）若()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，求k 的最大整数值．（Ⅱ）若1t ∃，22[,]t e e ∈，使()()12f t k f t '-≥成立，求k 的取值范围．。
福建省宁德市2015年中考数学真题试题(含解析)
福建省宁德市2015年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．.2015的相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣20152．.2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×1063．.下列计算正确的是（）A．a2•a3=a5B．a2+a3=a5C．（a3）2=a5D．a3÷a2=14．.如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°5．.下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会下落6．.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞07．.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.59．.一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．510．.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．.不等式2x+1＞3的解集是．12．.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=度．13．.一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是．14．.一个口袋中装有2个完全相同的小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的数字和为偶数的概率是．15．.二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．16．.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= ．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．18．化简：•．19．为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次被调查的学生共人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有人．20．如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．21．为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？22．图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．24．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．25．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．2015年福建省宁德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．.2015的相反数是（）A．B．﹣C．2015 D．﹣2015考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2015的相反数是：﹣2015，故选：D．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．.2014年我国国内生产总值约为636000亿元，数字636000用科学记数法表示为（）A．63.6×104B．0.636×106C．6.36×105D．6.36×106考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将636000亿用科学记数法表示为：6.36×105亿元．故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．.下列计算正确的是（）A．a2•a3=a5B．a2+a3=a5C．（a3）2=a5D．a3÷a2=1考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：直接利用同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算法则分别计算得出即可．解答：解：A、a2•a3=a5，正确；B、a2+a3无法计算，故此选项错误；C、（a3）2=a6，故此选项错误；D、a3÷a2=a，故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了同底数幂的乘法运算和幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．4．.如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°考点：平移的性质；平行线的性质．分析：根据平移的性质得出l1∥l2，进而得出∠2的度数．解答：解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，∴l1∥l2，∵∠1=50°，∴∠2的度数是50°．故选：B．点评：此题主要考查了平移的性质以及平行线的性质，根据已知得出l1∥l2是解题关键．5．.下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意三条线段可以组成一个三角形C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会下落考点：随机事件．分析：必然事件是指一定会发生的事件．解答：解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；D、抛出的篮球会下落是必然事件．故选：D．点评：本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．6．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（）A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D．＞0考点：数轴．分析：根据a，b两数在数轴的位置依次判断所给选项的正误即可．解答：解：∵﹣1＜a＜0，b＞1，∴A、a+b＞0，故错误，不符合题意；B、a﹣b＜0，正确，符合题意；C、a•b＜0，错误，不符合题意；D、＜0，错误，不符合题意；故选B．点评：考查数轴的相关知识；用到的知识点为：数轴上左边的数比右边的数小；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．7．.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定考点：根的判别式．分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．解答：解：∵△=32﹣4×2×1=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选B．点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．8．.如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5考点：平行线分线段成比例．分析：直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．解答：解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选B．点评：本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．9．.一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．解答：解：360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故选C．点评：本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．10．.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（）A．（22014，22014）B．（22015，22015）C．（22014，22015）D．（22015，22014）考点：一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2015的坐标．解答：解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B n（2n﹣1，2n﹣1），∴点B2015的坐标是（22014，22014）．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．.不等式2x+1＞3的解集是x＞1 ．考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．解答：解：移项得，2x＞3﹣1，合并同类项得，2x＞2，把x的系数化为1得，x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．12．.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD=60 度．考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，依此即可求解．解答：解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，∴∠BAD=60度．故答案为：60．点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的确定，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．13．.一次数学测试中，某学习小组5人的成绩分别是120、100、135、100、125，则他们成绩的中位数是120 ．考点：中位数．分析：根据中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，进行求解即可．解答：解：按大小顺序排列为：100，100，120，125，135，中间一个数为120，这组数据的中位数为120，故答案为120．点评：本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．14．.一个口袋中装有2个完全相同的小球，它们分别标有数字1，2，从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的数字和为偶数的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得两次摸出小球的数字和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：如图所示，∵共有4种结果，两次摸出小球的数字和为偶数的有2次，∴两次摸出小球的数字和为偶数的概率==．故答案为：．点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．.二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（ 2 ，﹣7 ）．考点：二次函数的性质．分析：先把y=x2﹣4x﹣3进行配方得到抛物线的顶点式y=（x﹣2）2﹣7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣4x﹣3=x2﹣4x+4﹣7=（x﹣2）2﹣7，∴二次函数y=x2﹣4x+7的顶点坐标为（2，﹣7）．故答案为（2，﹣7）．点评：本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．16．.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k= 3 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：连接OB，由矩形的性质和已知条件得出△OBD的面积=△OB E的面积=四边形ODBE的面积=3，在求出△OCE的面积，即可得出k的值．解答：解：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCB的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，∴k=3；故答案为：3．点评：本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法；熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：|﹣3|﹣（5﹣π）0+．考点：实数的运算；零指数幂．分析：先根据绝对值，零指数幂，二次根式的性质求出每一部分的值，再代入求出即可．解答：解：原式=3﹣1+5=7．点评：本题考查了绝对值，零指数幂，二次根式的性质的应用，能求出每一部分的值是解此题的关键，难度适中．18．化简：•．考点：分式的乘除法．分析：先把分子分母分解因式，进一步约分计算得出答案即可．解答：解：原式=：•=．点评：此题考查分式的乘除法，把分子分母因式分解约分是解决问题的关键．19．为开展“争当书香少年”活动，小石对本校部分同学进行“最喜欢的图书类别”的问卷调查，结果统计后，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：（1）此次被调查的学生共40 人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72 度；（4）若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有300 人．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据条形图可知喜欢“社科类”的有5人，根据在扇形图中占12.5%可得出调查学生数；（2）根据条形图可知喜欢“文学类”的有12人，即可补全条形统计图；（3）计算出喜欢“艺术类”的人数，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；（4）用该年级的总人数乘以“文史类”的学生所占比例，即可求出喜欢的学生人数．解答：解：（1）5÷12.5%=40（人）答：此次被调查的学生共40人；（2）40﹣5﹣10﹣8﹣5=12（人）（3）8÷40=20%360°×20%=72°答：扇形统计图中，艺术类部分所对应的圆心角为72度；（4）1200×=300（人）答：若该校有1200名学生，估计全校最喜欢“文史类”图书的学生有300人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上．（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母A，B，C，D；（2）证明四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；勾股定理．专题：作图题．分析：（1）过A点作AB∥CD，切AB=CD，即可得到平行四边形ABCD，如图；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明．解答：（1）解：如图，四边形ABCD为平行四边形；（2）证明：∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．21．为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？考点：一元一次方程的应用．分析：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得出方程2x﹣2+x+5=57，解得即可．解答：解：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有2x﹣2个，根据题意得：2x﹣2+x+5=57，解得：x=18，∴2x﹣2=34，答：亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个．点评：本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找准相等关系是解题的关键．22．图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．考点：圆锥的计算；圆柱的计算；作图-三视图．专题：计算题．分析：（1）根据图2，画出俯视图即可；（2）连接EO1，如图所示，由EO1﹣OO1求出EO的长，由BC=AD，O为AD中点，求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义求出tan∠EAO的值，即可确定出∠EAO的度数．解答：解：（1）画出俯视图，如图所示：（2）连接EO1，如图所示：∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO===，则∠EAO≈26.6°．点评：此题考查了圆锥的计算，圆柱的计算，以及作图﹣三视图，俯视图即为几何体从上方看的视图．23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）．考点：切线的判定；弧长的计算．分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠C BA+∠CAB=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠CAE+∠BAC=90°，即BA⊥AE．∴AE是⊙O的切线．（2）连接CO，∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∴==2π．点评：此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．24．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．解答：解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x﹣3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BO=OC=3，∴∠ABC=45°；（3）过点P作PD⊥x轴于点D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，∴△ABP∽△CBA，∴=，∵BO=OC=3，∴BC=3，∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∴=，解得：BP=，由题意可得：PD∥OC，则△BDP∽△BOC，故==，则==，解得：DP=BD=，∴DO=，则P（，﹣）．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出△ABP∽△CBA是解题关键．25．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=30 度；（2）求证：NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．考点：四边形综合题．分析：（1）根据直角三角形的中线等于斜边上的一半，即可得解；（2）延长MN交DC的延长线于点E，证明△MNB≌△ENC，进而得解；（3）NC和PN不可能相等，所以只需分PN=PC和PC=NC两种情况进行讨论即可．解答：解：（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，∵N是BC的中点，∴MN=PN，∴∠NMP=∠NPM=30°；（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∴∠BMN=∠E，∵点N是线段BC的中点，∴B N=CN，在△MNB和△ENC中，，∴△MNB≌△ENC，∴MN=EN，即点N是线段ME的中点，∵MP⊥AB交边CD于点P，∴MP⊥DE，∴∠MPE=90°，∴PN=MN=ME；（3）如图2∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又M，N分别是边AB，BC的中点，∴MB=NB，∴∠BMN=∠BNM，由（2）知：△MNB≌△ENC，∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE，又∵PN=MN=NE，∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x+2x+x=180，解得：x=36，∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x+x+x=180，解得：x=45，∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．点评：本题主要考查了菱形的性质，以及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键，有很强的综合性，要注意对等腰三角形进行分类讨论，注意认真总结．。
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2015年福建省宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学（理科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合{2,3,4,5}A=，{|3}B x x=>，则满足m A∈且m B∉的实数m所组成的集合为A．{2}B．{3}C．{4,5}D．{2,3}2．命题“若1x=-，则220x x--=”的逆否命题是A．若1x≠-，则220x x--≠B．若220x x--≠，则1x≠-C．若1x=-，则220x x--≠D．若220x x--≠，则1x=-3．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：，，(nx x++-根据表中的数据及随机变量χ的公式，算得8.12χ≈．根据临界值表，你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A ．97.5%B ．99%C ．99.5％D ．99.9%4．某公司将4名新招聘的员工分配至3个不同 的部门，每个部门至少分配一名员工．其中 甲、乙两名员工必须在同一个部门的不同分 配方法的总数为A ．6B ．12 Ｃ．24 D ．5(,)x y 所对应的点都在函数A ．1y x =-的图象上B ．1y =-的图象上C ．121x y -=-的图象上 D．2log y x =的图象上6．若变量,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -等于 A ．8 B ．7 C ．6 D ．57．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A ．53π B ．43π C ．π D ．3π8．已知函数2())cos 12cos f x x x x =π-⋅-+，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是A ．()f x 的一条对称轴是2x π=B ．()f x 在[,]36ππ-上单调递增C ．()f x 是最小正周期为π的奇函数D ．将函数2sin 2y x =的图象左移6π个单位得到函数()f x 的图象 9．已知O 为坐标原点，向量(1,0)OA =，(1,2)OB =-．若平面区域D 由所有满足OC OA OB λμ=+（22λ-≤≤，11μ-≤≤）的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是俯视图侧视图正视图A ．1y x=B ．cos y x x =+C ．5ln5xy x-=+ D ．e e 1x x y -=+- 10．斜率为(0)k k ≠的两条直线分别切函数32()(1)1f x x t x =+--的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为21y x =-，则t k +的值为A ．8B ．7C ．6D ．5第II 卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．已知复数i(1i)z =-(是虚数单位)，则z 的模z =_______． 12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中乙种产品有30件，则样本容量n ＝________． 13．如图，直线(0)y kx k =>与函数2y x =的图象交于点O ，P ，过P 作PA x ⊥轴于A ．在OAP ∆中任取一点，则该点落在阴 影部分的概率为________．14．已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为,,a b c ，且,,2ba c，则b 的最大值为________．15．如图，011A B A ∆，122A B A ∆，L ，1n n n A B A -∆均为等腰直角三角形，其直角顶点1B ，2B ，L ，n B *()n ∈N在曲线1(0)y x x =>上，0A 与坐标原点O 重合，i A *()i ∈N 在x 轴正半轴上．设n B 的纵坐标为n y ，则12n y y y +++=L ________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分13分)某渔池年初放养一批鱼苗，为了解这批鱼苗的生长、 健康状况，一个月后，从该渔池中随机捞出n 条鱼称其 重量（单位:克），并将所得数据进行分组，得到如右频 率分布表．（Ⅰ）求频率分布表中的n ，x ，y 的值；（Ⅱ）从捞出的重量不超过100克的鱼中，随机抽取条 作病理检测，记这条鱼中，重量不超过90克的鱼的条 数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：123a =，且11112()33n n n a a ++=+⨯．（Ⅰ）求证：数列{}3n n a ⋅是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．(本小题满分13分)如图（1）所示，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=，//AD BC ，6AD =，3DC BC ==．过B 作BE AD ⊥于E ，P 是线段DE 上的一个动点．将ABE ∆沿BE 向上折起，使平面AEB ⊥平面BCDE ．连结PA ，PC ，AC（如图（2））．（Ⅰ）取线段AC 的中点Q ，问：是否存在点P ，使得//PQ 平面AEB ？若存在，求出PD 的长；不存在，说明理由； （Ⅱ）当23EP ED =时，求平面AEB 和平面APC所成的锐二面角的余弦值．图（1）图（2）ABE CD A DCEPQP•19．（本小题满分13分）某供货商拟从码头A 发货至其对岸的两个商场B ，C 处， 通常货物先由A 处船运至BC 之间的中转站D ，再利用车 辆转运．如图，码头A 与两商场B ，C 的距离相等，两商 场间的距离为20千米，且2BAC π∠=．若一批货物从码头A至D 处的运费为100元/千米，这批货到D 后需分别发车2辆、4辆转运至B 、C 处，每辆汽车运费为25元/千米．设,ADB α∠=该批货总运费为S 元． （Ⅰ）写出S 关于α的函数关系式，并指出α的取值范围； （Ⅱ）当α为何值时，总运费S 最小？并求出S 的最小值．20． (本小题满分14分)已知函数2()2ln ()f x ax x x a =+-∈R ．（Ⅰ）若4a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x '在(0,1)有唯一的零点0x ，求a 的取值范围；（Ⅲ）若1(,0)2a ∈-，设2()(1)21ln(1)g x a x x x =-----，求证：()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，且对（Ⅱ）中的0x ，满足011x x +>．21．(本小题满分14分) 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修4-2:矩阵与变换（本小题满分7分）已知二阶矩阵A 有特征值11λ=，22λ=，其对应的一个特征向量分别为111⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，210⎛⎫= ⎪⎝⎭e ．（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求圆22:1C x y +=在矩阵A 所对应的线性变换作用下得到曲线C '的方程．（2）选修4-4 参数方程与极坐标（本小题满分7分）已知倾斜角为6π，过点(1,1)P 的直线与曲线C ：2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩(α是参数相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求PA PB ⋅的值．（3）选修4-5：不等式选讲（本小题满分7分）在空间直角坐标系O xyz -中，坐标原点为O ，P 点坐标为(,,)x y z ．（Ⅰ）若点P 在x 轴上，且坐标满足253x -≤，求点P 到原点O 的距离的最小值； （Ⅱ）若点P 到坐标原点O 的距离为，求x y z ++的最大值．AB CD l2015年宁德市普通高中毕业班单科质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 12. 90 13. 1314. 215.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. 本小题主要考察概率统计的基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，满分13分．解：（Ⅰ）依题意，30.03n=， ………………………………………1分∴100n =． ………………………………………………2分 ∴1000.1010x =⨯=， …………………………………………3分200.20100y ==． ……………………………………………4分 （Ⅱ）依题意，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， …………5分3731035(0)120C P C ξ===， 123731063(1)120C C P C ξ===， 213731021(2)120C C P C ξ===， 333101(3)120C P C ξ===， …………9分 （说明：以上4个式子，每个1分）故ξ的分布列为所以ξ的数学期望63211()0123120120120E =+⨯+⨯+⨯ξ…………12分． 910=. …………………………………13分 17. 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）令3n n n b a =⋅，………………………………………………1分则11133n n n n n n b b a a +++-=⋅-⋅ …………………………………………2分11113(2())333n n n n n a a ++=+⨯-⋅ ……… ………………………3分3232n n n n a a =⋅+-⋅= ………………………………………4分∴数列{}n b 为公差为2的等差数列.即数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n b 为公差为2的等差数列， 1132b a =⋅=，∴1(1)22n b b n n =+-⋅= ……………………………………………6分 ∴23n nna =． …………………………………………………………7分 ∴2324623333n n nS =++++，……………① …………………8分 ∴23411246233333n n nS +=++++，……………②……………………9分 ①-②得231222222333333n n n nS +=++++-， ……………………10分 ∴2111113333n n nnS -=++++-11(1)31313n n n ⨯-=-- ……………………………………12分 332233nn n =--⨯ 323223nn +=-⨯． ………………………………………13分 解法二：（Ⅰ）∵11112()33n n n a a ++=+⨯， ∴11332n n n n a a ++⋅=⋅+，……………………………………3分∴11332n n n n a a ++⋅-⋅=， …………………………………4分 ∴数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列. ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：数列{}3n n a ⋅是公差为2的等差数列，∴133(1)22n n a a n n ⋅=+-⨯=， ∴23n nna =．……………………7分 以下同法一18. 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分. 解：（Ⅰ）存在．当P 为DE 的中点时，满足//PQ 平面AEB ．………1分 取AB 的中点M ，连结EM ，QM ． 由Q 为AC 的中点，得//MQ BC ，且12MQ BC =，……2分 又//PE BC ，且12PE BC =， 所以//PE MQ ，=PE MQ ，所以四边形PEMQ 为平行四边形，……………………3分 故//ME PQ ．……………………………………………4分 又PQ ⊄平面AEB ，ME ⊂平面AEB ，所以//PQ 平面AEB ． ………………………………5分从而存在点P ，使得//PQ 平面AEB ，此时3=2PD（Ⅱ）由平面AEB ⊥平面BCDE ，交线为BE ，且AE BE ⊥，所以AE ⊥平面BCDE ，又BE DE ⊥以E 为原点，分别以,,EB ED EA 为x 轴、y 轴、z 直角坐标系（如图），则(0,0,0)E ，(3,0,0)B ，(0,0,3)A ，(0,2,0)P (3,3,0)C ．…………………………………………………………8分(3,1,0)PC =，(0,2,3)PA =-．…………………………………9分 平面AEB 的一个法向量为1(0,1,0)=n ， ……………………10分 设平面APC 的法向量为2(,,)x y z =n ，由220,0,PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得30,230.x y y z +=⎧⎨-+=⎩ ………………………………………11分取3y =，得2(1,3,2)=-n ， ……………………………………………12分 所以12cos ,==n n ， ADCBE PMQ即面AEB 和平面APC13分 19. 本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．满分13分.解法一：（Ⅰ）依题意，在Rt ABC ∆中，22220AB =，∴AB =1分又∵在ABD ∆中，224ABD ππ-π∠==,ADB α∠=， 由sin sin 4AD AB =πα，得10sin AD α= ………………………………2分 由sin sin[()]4BD AB =ππ-+αα，得BD =3分∴20CD =． …………………………………4分 ∴100252254S AD BD CD =⨯+⨯⨯+⨯⨯………………………5分1010050[20100sin α=⨯++-⨯2000=………………………6分 其中α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭． …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）2000S =+2cos 1500500sin -=+⨯αα， …………………………8分令2cos ()sin f ααα-=，∴22sin sin cos (2cos )12cos ()sin sin f αααααααα⋅---'==，……………9分 由()0f α'=得：1cos 2α=，又∵3,44αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴3απ=． …………………………………………………………10分 当,43αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'<，当3,34αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f α'>， …………………………………11分∴min ()()3f f απ===． …………………………………12分 ∴min 1500S =+（元），∴当3απ=时，运输费用S 的最小值为(1500+元．……………13分 20. 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分． 解法一：（Ⅰ）当4a =时，2()42ln f x x x x =+-，(0,)x ∈+∞， 21821(41)(21)()82x x x x f x x x x x+--+'=+-==．…………………1分由(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得14x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：故函数()f x 在1(0,)4单调递减，在1(,)4+∞单调递增，…………………3分 ()f x 有极小值13()=+ln 444f ，无极大值．………………………………4分（Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=，令()0f x '=，得22210ax x +-=，设2()221h x ax x =+-．则()f x '在(0,1)有唯一的零点0x 等价于()h x 在(0,1)有唯一的零点0x 当0a =时，方程的解为12x =，满足题意；…………………………5分 当0a >时，由函数()h x 图象的对称轴102x a=-<，函数()h x 在(0,1)上单调递增， 且(0)1h =-，(1)210h a =+>，所以满足题意；……………………6分 当0a <，0∆=时，12a =-，此时方程的解为1x =，不符合题意；当0a <，0∆≠时，由(0)1h =-，只需(1)210h a =+>，得102a -<<．……………7分 综上，12a >-．…………………8分 （说明：0∆=未讨论扣1分） （Ⅲ）设1t x =-，则(0,1)t ∈，2()(1)23ln p t g t at t t =-=+--，…………………9分 21221()22at t p t at t t+-'=+-=， 由1(,0)2a ∈-，故由（Ⅱ）可知，方程22210at t +-=在(0,1)内有唯一的解0x ，且当0(0,)t x ∈时，()0p t '<，()p t 单调递减；0(,1)t x ∈时，()0p t '>，()p t 单调递增．…………………11分又(1)=10p a -<，所以0()0p x <．…………………12分取32e (0,1)a t -+=∈，则326432326432(e )=e 2e 3ln e e 2e 332a a a a a a p a a a -+-+-+-+-+-++--=+-+-6432(e 2)2e 0a a a -+-+=-+>， 从而当0(0,)t x ∈时，()p t 必存在唯一的零点，且100t x <<，即1001x x <-<，得1(0,1)x ∈，且011x x +>，从而函数()g x 在(0,1)内有唯一的零点1x ，满足011x x +>．……14分解法二：（Ⅰ）同解法一；………………4分 （Ⅱ）21221()22ax x f x ax x x+-'=+-=， 令()0f x '=，由22210ax x +-=，得2112a x x =-．………5分 设1m x=，则(1,)m ∈+∞，22111(1)222a m m m =-=--，………6分 问题转化为直线y a =与函数211()(1)22h m m =--的图象在(1,)+∞恰有一个交点问题． 又当(1,)m ∈+∞时，()h m 单调递增，………7分 故直线y a =与函数()h m 的图象恰有一个交点，当且仅当12a >-．……8分（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用0t →时，()p t →+∞进行证明，扣1分）21. （1）本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 依题意，得111222,,A A λλ=⎧⎨=⎩e e e e …………………1分∴1,1,02,00.a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ………………………………2分 解得2,1,0,1.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ …………………………3分 ∴2101A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………………4分 （Ⅱ）设圆C 上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''',∴2,.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩…………………5分 解得,2.x y x y y ''+⎧=⎪⎨⎪'=⎩…………………6分 又∵221x y += , ∴2212x y y ''+⎛⎫'+= ⎪⎝⎭, ∴曲线C ′的方程为22254x xy y ++=.…………………7分（2）本题主要考查直线和圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，满分7分． （Ⅰ）依题意，得直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，，（为参数）………1分即111.2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）…①…………………………………………2分 ∵曲线C 的参数方程为2sin ,22cos x y αα=⎧⎨=+⎩， ∴曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=.………②………………4分（Ⅱ）把①代入②得2211(1)42t ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴21)20t t +--=，………………5分∴21)80∆=-+>，122t t =-，…………………6分∴12||||||2PA PB t t ⋅==.………………………………7分（3）本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，满分7分解：（Ⅰ）由点P 在x 轴上，所以(,0,0)P x ， 又坐标满足253x -≤，所以3253x -≤-≤，………………2分解得14x ≤≤，…………………………………………………3分所以点P 到原点O 的距离的最小值为1.. …………………4分（Ⅱ）由点P 到坐标原点O 的距离为故22212x y z ++=， …………………………………………5分由柯西不等式，得2222222()(111)()x y z x y z ++++≥++，………6分即2()36x y z ++≤，所以x y z ++的最大值为6，当且仅当2x y z ===时取最大. …………7分。