王琪辉《电路原理》2-9 节点分析法
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王琪辉《电路原理》2-4诺顿定理2-5有伴电源的等效变换
1K I+
Isc
U
-
Req
U I
b
b
在左图中由KCL有
I sc
(0.5I sc )
10 10 3 I sc 10 3
0
1
I sc
150
(A)
在右图中
U 103 (I"0.5I ) 103 I"
Req I
I"
1500 ()
其中： ISC 0.5I
31 31
2.25
3(K)
b
I 3 (1) 3 mA
32
5
0.6mA
§24 诺顿定理
三 强调几点 1．条件（与戴维南定理同） ① NA一定要是线性的（N外线性，非线性均可） ② NA与N外间无耦合
2．求 I sc 的电路：N外用短接线置换
3．Isc方向 4（与戴维南定理同） 若 NP中含有受控源，
i
is
u R
或 us Ris
比较
+ uS1 _
+ uS2 _
+
+
5V_ 5V_
º
º I
º
iS1
iS2
º º
iSk
+ uS _
I + 5V_
iS
º
uS uS1 uS2
º
电压相同的
º
电压源才能
并联，且每
个电源的电
º
流不确定。
º
iS iS1 iS2 iS3
º
º
电流相同的电流源才能串联，且每个电源的电压不确定。
电路原理节点分析法
u1
1.5A
i5
u2 20
0.3A
i6
U2 10
4
0.2A
u1=10V, u2=6V
电路原理
例题分析
例2. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
注意：含有无伴电压源
10V
+-
4Ω
i4
解：以节点②为参考节点
即以理想电压源的一端为 +
参考点。
15V
-
5Ω
U1 4
i1
1
+
4V
-
2
i2
2Ω i3 i5
§2-9 节点分析法
选择③为参考节点，即电位v3=0；
+ us - R1 i1
节点电压：u1=v1-v2=v1，u2=v2； 1
R3 i3
3 i5
节点电压：独立节点对参考节点的电压；
i2
i4
is
方向：指向参考节点的方向为电压降方向。 R2
R4
节点电压数＝节点数－1＝独立节点数
u1, u2自动满足KVL （电位单值性） 2
i4
is
R4
【①1流】出: 的节电点流电。压u1单独作用，节点 【①2流】出: 的节电点流电。压u2单独作用，节点 【3】: 联接到节点①的各激励源单 独作用，流入该节点的电流代数和。
2
电路原理
§2-9 节点分析法·规范式
G 11
G 12
i s11
节点①：
1 ( R1
1 R2
1 R3
)u1
( 1 R2
2.33 mA
I3
+
1kΩ
15V
–
3kΩ 1mA
电路原理回路分析法
2 04 i i 42 i 0 i 1 0 l 1 04 l 2 l 3 l 4
2 0 i 2 0 i 3 0 i 4 l 2 l 3 l 4
il 1 1A
il 2 2A
il3 1 .5 A
il 4 0.2A
例题分析
例3: 列写图示电路回路方程。 解： R2 iS1 _ R1 + uR2 R i l1 i l2 3 gmuR2
+ 10V
-
4Ω i4
i1 il1 1 A
i i 0 . 50 . 5 A+ 2 l 1 i l 2 1
i i i 2 A 3 l2 l 3
15V 5Ω
i1
i l3
i2
20Ω 2Ω i3 i6
+ 4V
10Ω
i l2
i5
20Ω
i i 1 . 5 A 4 l3
i5 0.3A
us11、us22、us33分别是各回路中激励源顺回路电流方向的电
§2-10 回路分析法 · 解题步骤
(1) 选定独立回路，标定(b-nt+1)个回路电流； (2) 对(b-nt+1)个独立回路，以回路电流为未知量列写 回路方程；(按规范式列写，注意自电阻和共电阻)
(3) 求解回路方程，得到(b-nt+1)个回路电流； (4) 求未知支路电压、支路电流。
ili1 l1
R1
i1
i3 i4 R4 il1 3
1
i2 R2
R3
2
i5 R5 + us2
方向：指定的回路电流参考方向
(统一选顺时针方向) 若回路电流自动满足KCL，则
i ill2 1
2 0 i 2 0 i 3 0 i 4 l 2 l 3 l 4
il 1 1A
il 2 2A
il3 1 .5 A
il 4 0.2A
例题分析
例3: 列写图示电路回路方程。 解： R2 iS1 _ R1 + uR2 R i l1 i l2 3 gmuR2
+ 10V
-
4Ω i4
i1 il1 1 A
i i 0 . 50 . 5 A+ 2 l 1 i l 2 1
i i i 2 A 3 l2 l 3
15V 5Ω
i1
i l3
i2
20Ω 2Ω i3 i6
+ 4V
10Ω
i l2
i5
20Ω
i i 1 . 5 A 4 l3
i5 0.3A
us11、us22、us33分别是各回路中激励源顺回路电流方向的电
§2-10 回路分析法 · 解题步骤
(1) 选定独立回路，标定(b-nt+1)个回路电流； (2) 对(b-nt+1)个独立回路，以回路电流为未知量列写 回路方程；(按规范式列写，注意自电阻和共电阻)
(3) 求解回路方程，得到(b-nt+1)个回路电流； (4) 求未知支路电压、支路电流。
ili1 l1
R1
i1
i3 i4 R4 il1 3
1
i2 R2
R3
2
i5 R5 + us2
方向：指定的回路电流参考方向
(统一选顺时针方向) 若回路电流自动满足KCL，则
i ill2 1
【推荐】电路原理基础：第三章 节点分析法
13
R4 i4
uo －
②式解出ub，因虚短 ua = ub代入①式得
uo
R2 R1
u1
R2 R1
R2 R1
1 u2
R3 R4
1
由题中条件得:
uo
R2 R1
(u2
u1)
差动运算电路
输出与两输入之差成正比， 被称作差动运算电路。
二、含理想运放的节点法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL方程：
n1 : n2 :
i1 i2 iS1 i2 i3 iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 +
+
uS3
iS1
u1 G1 i1
u3
un3 R2
uo R3
ui R1
R3
(1 R4
1 R5
)
1 R5
uo
0
节点③和④：不列写！
由虚短得 un1 0
R2
R1
＋ ui
① -∞
+
③
+ -
∞
②
－
R4
R5
④ ＋ uo
un2 un3
－
可得： uo R2R3 (R4 R5 ) ui R1(R3R4 R2R4 R2R5 )
例(解节．：点求节电u点压A③)、的、方iB④程．的组电。位有分受别控为源时，G12
R4 i4
uo －
②式解出ub，因虚短 ua = ub代入①式得
uo
R2 R1
u1
R2 R1
R2 R1
1 u2
R3 R4
1
由题中条件得:
uo
R2 R1
(u2
u1)
差动运算电路
输出与两输入之差成正比， 被称作差动运算电路。
二、含理想运放的节点法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL方程：
n1 : n2 :
i1 i2 iS1 i2 i3 iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 +
+
uS3
iS1
u1 G1 i1
u3
un3 R2
uo R3
ui R1
R3
(1 R4
1 R5
)
1 R5
uo
0
节点③和④：不列写！
由虚短得 un1 0
R2
R1
＋ ui
① -∞
+
③
+ -
∞
②
－
R4
R5
④ ＋ uo
un2 un3
－
可得： uo R2R3 (R4 R5 ) ui R1(R3R4 R2R4 R2R5 )
例(解节．：点求节电u点压A③)、的、方iB④程．的组电。位有分受别控为源时，G12
2-9 节点分析法
G11 u1表示在节点电压u1单独作用下流出①节点的电流
G12 u2表示在节点电压u2单独作用下流出①节点的电流 is11是电流源或等效电流源流入节点①的电流代数和
节点方程的物理意义是：在各节点电压的共同 作用下，流出某节点的电流代数和等于电流源 或等效电流源流入该节点的电流代数和
ub1 u1 ub 4 u2 u1
与电流源串联的电阻元件，在列写节点方程时，不计 自导和共导。因为根据替代定理，此支路可用该电流 源等效代替，而不影响外电路的工作状态。
例4
根据替代定理可等效 为下图后再列方程
例5 求图示电路中的各节点电压U1、U2、U3和U4。
③:
U 3 1V
1 1 1)U 2 U3 2 ②: 1U 1 ( 0.5 0.5
联立求解得
U 3 6V
I 4 I 1 I 2 I 3 2A
15 (U1 U 2 ) I1 1A 5
10 U 1 I2 1.5A 4
U2 I5 0.3A 20 U2 4 I6 0.2A 10
U1 U 2 I3 0.5A 20
§2-9
基本思想:
节点分析法
(node-analysis method)
以独立节点电压为求解变量，根据KCL 定律对独立节点列方程，联立可解出节点电 压及其它未知量
节电电压(node voltage) :
在电路中任选一节点作为参考节点，设其 电位为零，则其它节点到该节点的电压就是 节点电压。
建立节点方程的步骤
由此解得
U=1V
15 U 15 1 I1 A 3 3 6 10 6 10 2.33 mA
U I2 1 mA 3 1 10
G12 u2表示在节点电压u2单独作用下流出①节点的电流 is11是电流源或等效电流源流入节点①的电流代数和
节点方程的物理意义是：在各节点电压的共同 作用下，流出某节点的电流代数和等于电流源 或等效电流源流入该节点的电流代数和
ub1 u1 ub 4 u2 u1
与电流源串联的电阻元件，在列写节点方程时，不计 自导和共导。因为根据替代定理，此支路可用该电流 源等效代替，而不影响外电路的工作状态。
例4
根据替代定理可等效 为下图后再列方程
例5 求图示电路中的各节点电压U1、U2、U3和U4。
③:
U 3 1V
1 1 1)U 2 U3 2 ②: 1U 1 ( 0.5 0.5
联立求解得
U 3 6V
I 4 I 1 I 2 I 3 2A
15 (U1 U 2 ) I1 1A 5
10 U 1 I2 1.5A 4
U2 I5 0.3A 20 U2 4 I6 0.2A 10
U1 U 2 I3 0.5A 20
§2-9
基本思想:
节点分析法
(node-analysis method)
以独立节点电压为求解变量，根据KCL 定律对独立节点列方程，联立可解出节点电 压及其它未知量
节电电压(node voltage) :
在电路中任选一节点作为参考节点，设其 电位为零，则其它节点到该节点的电压就是 节点电压。
建立节点方程的步骤
由此解得
U=1V
15 U 15 1 I1 A 3 3 6 10 6 10 2.33 mA
U I2 1 mA 3 1 10
王琪辉《电路原理》期中测验试题
iC
(0
)
98 3
V
duC dt
(0 )
iC (0 ) C
22 0.5 3
14.7V
/
S
diL dt
(0 )
uL (0 ) L
98 0.1 3
326.7A /
S
八. 已 知 ：US1 8.4V, US2 0, R 2Ω时 , I1 1.2A, I2 0.4A
Ix a
+
+ 5U``1 –
Ux
–
– U``1 +
b
2
4 4
5U``1+8Ix+U``1=Ux U``1=2Ix
/ Req=Ux Ix=20
也可以利用短路电流求戴维宁等效电阻
戴维南等效电路
a
20
I +
8
2V
–
b I=2/(20+8)=1/14=0.0714 A
五 选用合适的方法求 R 支路中电流 I 。
6
6 +
6
-12V
a
+
4 6
Uoc'
– b
6 2
U0C 8V
6 + - 12V
a + 4 6 6
Uoc'' 1A 2/3A
6 – b
2
1/3A
U 0C
1 4 ( 1 6) 3
6V
求Req
a
Req
+
–
5U1
4 6
6
6
– U1 + b
电路分析基础2-节点分析法
－
1 1 1 1 1 1 4U ( + + )u1 u2 u3 = + 1 2 3+ 2 2 1 1 5 1 1 1 1 u1 + ( + )u2 = 3 2 2 5 u3 = 4V u2 = U
1 1 1 u1 + u3 = 3 + i + 1 1 1
4V 3A 5 － 2＋ U － － 2 4U
称为自电导，或自电阻， 一定大于0 称为自电导，或自电阻， Gjj一定大于
G21 , G12 , G32 , Gij .......
1 G12 = R2
称为互电导，或互电阻，共电阻等， 一定小于0 称为互电导，或互电阻，共电阻等， Gij一定小于 规定流入节点电流为正，流出为负。 规定流入节点电流为正，流出为负。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
第七章气体动理论 第二章 电阻电路分析
1 1 1 G11u1 + G12u2 = iS1 + iS 2 ( + )u1 u2 = iS1 + iS 2 R1 R2 R2 G21u1 + G22u2 + G23u3 = 0 1 1 1 1 1 u1 + ( + + )u2 u3 = 0 us R2 R2 R3 R4 R3 G32u2 + G33u3 = iS 2 + R5 uS 1 1 1 u2 + ( + )u3 = iS 2 + iS2 R3 R3 R5 R5
US 3 1 1 1 1 uA + ( + + )uB = I S 2 R3 R2 R3 R5 R3 uA uB Us3 I3 = R3
1 1 1 1 1 1 4U ( + + )u1 u2 u3 = + 1 2 3+ 2 2 1 1 5 1 1 1 1 u1 + ( + )u2 = 3 2 2 5 u3 = 4V u2 = U
1 1 1 u1 + u3 = 3 + i + 1 1 1
4V 3A 5 － 2＋ U － － 2 4U
称为自电导，或自电阻， 一定大于0 称为自电导，或自电阻， Gjj一定大于
G21 , G12 , G32 , Gij .......
1 G12 = R2
称为互电导，或互电阻，共电阻等， 一定小于0 称为互电导，或互电阻，共电阻等， Gij一定小于 规定流入节点电流为正，流出为负。 规定流入节点电流为正，流出为负。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。
第七章气体动理论 第二章 电阻电路分析
1 1 1 G11u1 + G12u2 = iS1 + iS 2 ( + )u1 u2 = iS1 + iS 2 R1 R2 R2 G21u1 + G22u2 + G23u3 = 0 1 1 1 1 1 u1 + ( + + )u2 u3 = 0 us R2 R2 R3 R4 R3 G32u2 + G33u3 = iS 2 + R5 uS 1 1 1 u2 + ( + )u3 = iS 2 + iS2 R3 R3 R5 R5
US 3 1 1 1 1 uA + ( + + )uB = I S 2 R3 R2 R3 R5 R3 uA uB Us3 I3 = R3
【推荐】电路原理基础：节点分析法
3
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL 方程：
n1 : ?i1 ? i2 ? iS1 n2 : ??? i2 ? i3 ? ?iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 + +
u S3
iS1
u1 G1 i1
它待求量。
四、节点法的特例情况
I1 ①
＋
＋
特例1: 节点数 n=2,支路可很多, 按节
US1
－
点法的基本步骤，有：
R1
US2
－
R3
R2
I S3
( ) 1 1 1 ?? R1 R2 R3
U n1
?
U S1 R1
?
US2 R2
?
IS3
即对n=2的电路有
?
U n1
?
U S1 R1 1
?
US2 R2 1
? IS3 1
巧选回路法： iS放连支上 增设变量法
2、含受控源的处理方法
1
图示电路 ,求电压源和电流源各自的功率。
解: 回路法
I1
I2
2A
1Ω
- 1V +
I1
+
1Ω
U -
I2
1Ω
2A 1Ω
1Ω
2I1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? ? 1 1I1 ? 3I 2 ? 1? 2 ? 0
I1 ? 1A, I 2 ? ? 1A U ? 1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? 4V
u2 = un1 - un2 u 3 = un2
i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 – uS3 ) （*）
节点: 列写KCL 方程：
n1 : ?i1 ? i2 ? iS1 n2 : ??? i2 ? i3 ? ?iS2
将（*）式代入
① + u2 -②
+
i2 G2 + +
u S3
iS1
u1 G1 i1
它待求量。
四、节点法的特例情况
I1 ①
＋
＋
特例1: 节点数 n=2,支路可很多, 按节
US1
－
点法的基本步骤，有：
R1
US2
－
R3
R2
I S3
( ) 1 1 1 ?? R1 R2 R3
U n1
?
U S1 R1
?
US2 R2
?
IS3
即对n=2的电路有
?
U n1
?
U S1 R1 1
?
US2 R2 1
? IS3 1
巧选回路法： iS放连支上 增设变量法
2、含受控源的处理方法
1
图示电路 ,求电压源和电流源各自的功率。
解: 回路法
I1
I2
2A
1Ω
- 1V +
I1
+
1Ω
U -
I2
1Ω
2A 1Ω
1Ω
2I1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? ? 1 1I1 ? 3I 2 ? 1? 2 ? 0
I1 ? 1A, I 2 ? ? 1A U ? 1 ? 1I 2 ? 1? 2 ? 4V
u2 = un1 - un2 u 3 = un2
第02章电路分析与定理
R6
R5
I
I
5
6
I④ 1
注意：节点4的电流方程为其余3个方程的线性组合，此方程
为非独立方程，在计算时应删除。
在用支路法计算时，只需列出 n-1 个独立的节点电流
方程。
建立回路电压方程
3>. 根据基尔霍夫回路电压定律，列
R3
I 3
U s3
出回路电压方程：
R2 2
建立回路电压方程时，可选取网孔
回路或单连支回路。电路中无电流源
U s1
U s3
2
R3=2，求各支路电流及电压
1
R2
源的功率。
R1
R3
I2
用支路电流法解题，参考方向见图
②
－I1＋I2－I3=0 I1 ×R1－US1＋ I2 ×R2=0 I2 ×R2＋I3×R3－US3=0
－ I1 ＋ I2 － I3 =0 I1 －10＋3× I2 =0 3×I2 ＋2× I3 －13=0
②
2
有向图树的选择
是不唯一的，一般 可选出多个树。
①3
③
④
1
树T1
②
2
4
①
5
③
3
6
1④
有向图G
②
2
4
①
5
③
④
树T2
树支、连支、单连支回路
②
2
4
树T所包含的支路称为树支； （图中支路1、2、3）
图G中其余的支路称为连支； （图中支路4、5、6）
树支数 = n －1 (节点数减1）
连支数=支路数－ 树支数
(R1＋R2)Im1－R2×Im2=Us1
(R2＋R3)Im2－R2×Im1=－Us3
经典的电路分析方法支路分析法节点分析法回路分析法现代电路分(精)
16
..
2 2 1
G1
1 sL4
G1
1
sL4
G1
G1 G3 sC2
sC2
sC2
1 sL4
sC2
1 sL4
1 sL5
U U U
n1 n2 n3
(s) (s) (s)
)
1 R4
1
( 1 1 ) R3 R4
11
1
u1 u2
uRus11s4uRus44s6
R3 R4
R3 R4 R5 R6
R4 R6
5
（2）编写MATLAB程序
Y = [ 0.65 -0.1 -0.05;-0.1 0.158 -0.033;-0.05 -0.033
Ub (s)
Ue ( s)
Us (s)
电P 压方程的矩阵Ue (形s) 式
简记为 式中：
Ub (s) Ue (s) Us (s) PUe (s) （2-2-10） Us (s) (E P )Ue(s)
Ub(s)为支路电压向量； Ue(s)为无源元件电压向量；
P为受控电压源关联矩阵，它是一个b阶方
..
2
2
①
b1
③
1
b2 ② b4
节 点
b3
b6 b5
方 程
④
的
解：（1）作网络有向图，选4号节点为参考节点。
矩 阵 形 式
（2）写出关联矩阵A。
1
A
0
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
电路分析中结点分析法
01
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系
数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。
02
由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通电路，其结
点方程的一般形式为：
三、结点分析法计算举例
结点分析法的计算步骤如下：
一．指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号表示。标出各结点电压，其 参考方向总是独立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。
3－2结点分析法
与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独立电压变量来建立 电路方程。在全部支路电压中，只有一部分电压是独立电压变量，另一 部分电压则可由这些独立电压根据KVL方程来确定。若用独立电压变量 来建立电路方程，也可使电路方程数目减少。对于具有n个结点的连通 电路来说，它的(n-1)个结点对第n个结点的电压，就是一组独立电压变 量。用这些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。这样，只 需求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据KVL方程可 求出各支路电压，根据VCR方程可求得各支路电流。
Gij(i j)称为结点i和j的互电 导,是结点i和j间电导总和的负 值，此例中G12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。
iS11、iS22、iS33是流入该 结点全部电流源电流的代数和。 此例中 iS11=iS1,iS22=0,iS33=iS3。
从上可见，由独立电流源和线 性电阻构成电路的结点方程， 其系数很有规律，可以用观察 电路图的方法直接写出结点方 程。
图3－11
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的
结点电压u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方 程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
王琪辉《电路原理》2-1第二章 电阻电路的分析
u端 i端
例 含受控源电路，求等效电阻R
+-
+
-
解 在电路端口外加电流源I s
u 2Is
Is
Us u 1
Us
u 2
u
解得：
R U s 3.33 Is
•对称电路在端口假设一电流 i,用电流分布系数法求R
i
i/3
例 求Rag
解：假设有一电流i
从a端流进，
i/6
从g端流出
i
i/3
因为 P (U U")(i i) ui u"i ui ui
p1 + p2 2 一个(独立)电源单独作用(其余电源必须停止作用)
us= 0 ——电压源代之以短路 is= 0 ——电流源代之以开路
停止 作用
其余元件的参数和联接方式均不能变动
即电阻和受控源须保留
kis
例
k
解为 所以
k
``
i1 i2 is
4i2 2i1 us
解得
i1
1 6
us
2 3
is
i2
1 6
u
s
1 3
is
当所有激励乘常数k后，方程变为
i1 i2 kis
4i2 2i1 kus
i1
1 6
k
us
2 3
k
is
k
(
1 6
us
2 3
is
（7） 两个电阻并联
总电流流出节点， 分支电流流入同一 个节点时
R并联eq
节点分析法
第四节
一、节点方程及 其一般形式
节点数 n = 4
①
节点分析法
IS6 ②
节点分析法：以节点电压为待求量列写方程。
R6 R5 R2
0
③
R4
IS1
R1
R3
+ –
US3
1.首先选任意节点为参考节点
I6 ① I1 IS6
R4
R6 ② I4 I5
I2
R5
③ I3
IS1
R1
R2
0
+ –
R3
US3
如图: 选（0）为参 考节点则各 节点的电压 为U10、U20、 U30
代入节点的KCL方程 I1 + I4 + I6 = 0 --- ①
整理得：
1 1 1 1 1 ( )U10 U 20 U 30 I SI I S 6 R1 R4 R6 R4 R6 1 1 1 1 1 U10 ( )U 20 U 30 0 R4 R2 R4 R5 R5 1 1 1 1 1 U S1 U10 U 20 ( )U 30 I S 6 R6 R5 R3 R5 R6 R3
US5 – U10 + I1 ①
R5
I4 ②
R1 + R2
– US1
+ R4 0
+ I S3
U20
-
R3
US5 – U10 + I1 ①
R5
IS5 I4
②
IS1
①
G5
G2 G4 IS3
R1 + R2
–
US1
+ R4
+ I S3
U20
②
一、节点方程及 其一般形式
节点数 n = 4
①
节点分析法
IS6 ②
节点分析法：以节点电压为待求量列写方程。
R6 R5 R2
0
③
R4
IS1
R1
R3
+ –
US3
1.首先选任意节点为参考节点
I6 ① I1 IS6
R4
R6 ② I4 I5
I2
R5
③ I3
IS1
R1
R2
0
+ –
R3
US3
如图: 选（0）为参 考节点则各 节点的电压 为U10、U20、 U30
代入节点的KCL方程 I1 + I4 + I6 = 0 --- ①
整理得：
1 1 1 1 1 ( )U10 U 20 U 30 I SI I S 6 R1 R4 R6 R4 R6 1 1 1 1 1 U10 ( )U 20 U 30 0 R4 R2 R4 R5 R5 1 1 1 1 1 U S1 U10 U 20 ( )U 30 I S 6 R6 R5 R3 R5 R6 R3
US5 – U10 + I1 ①
R5
I4 ②
R1 + R2
– US1
+ R4 0
+ I S3
U20
-
R3
US5 – U10 + I1 ①
R5
IS5 I4
②
IS1
①
G5
G2 G4 IS3
R1 + R2
–
US1
+ R4
+ I S3
U20
②
电路分析基础--节点法
G11=G1+G2+G3+G4—节点1的自电导，等于接在节点1上 所有支路的电导之和。 G22=G3+G4+G5 — 节点2的自电导，等于接在节点2上所 有支路的电导之和。 G12= G21 =-(G3+G4)—节点1与节点2之间的互电导，等 于接在节点 1 与节点 2 之间的所有 支路的电导之和，并冠以负号。 * 自电导总为正，互电导总为负。 * 电流源支路电导为零。
I4= UB /40=0.546mA
例3. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。 gmuR2 R 2 1 iS1 R1 + uR2 _ R3
2
(1) 先把受控源当作独立源看列方程； (2) 用节点电压表示控制量。
解：
1 1 1 ( ) u u i n 1 n 2 S1 R R R 1 2 1 1 1 1 u ( ) u g u i n 1 n 2 m R s 1 R R R 1 1 3
R3
i3 R3
节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法 相比，方程数可减少b-( n-1）个。
举例说明：
iS3
un1
iS1 i1 R1 iS2
1 i3 i4 R4 0
R3
i2 R2
(1) 选定参考节点，标明其 un2 余n-1个独立节点的电压 2 i5 (2) 列KCL方程： iR出= iS入 R5 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
1 1 1 1 1 ( ) u ( ) u i n1 n 2 S3 R R R R R 3 4 3 4 5
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为 G11un1+G12un2 = isn1 G21un1+G22un2 = isn2 (3)求解上述方程 标准形式的节点电压方程。
王琪辉《电路原理》迭代法
代法却能进行收敛计算,反之亦染.
•
Remark: Gauss-Seidel迭代法的计算过 程比Jacobi迭代法更简单。计 算过程中只需用一个一维数 组存放迭代向量。
求解大型线性方程组是科学计算中的热点之一，已经有非常 多的非定常迭代算法，其中有广义极小残余算法 (Generalized Minimum Residual Method，简称为GMRES)、 拟最小残量法(Quasi-Minimal Residual Method简称为OMR) 、共扼梯度法(Coniu2ate Gradient Method简称为CG)以及其 它各种基于共扼梯度法设计的算法(有PCG,CGS,BICG,LSQR等 算法).但是没有一种算法是万能的，对于具体问题必须根据 所得到线性方程组和算法的特点进行选择.
用迭代法解线性方程组
• Jacoai迭代和Seidel迭代由 于收敛速度较慢，已经 越来越不适应当前信息 时代人们对计算速度和 精度的要求，所以在实 际应用中使用得并不多。 但是，他们体现了迭代 法的最基本的思想，是
学习其它迭代法的基础。
迭代法的特点
若在求解过程中 xkx*(k) ，由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk 向x*的逼近 ，在数次迭代求解 之后，由于机器跳动产生的xk 值误差或是有效数字产生的舍 入误差，都会在第k+1次迭代 计算中自动弥补过来或逐步纠 正过来。因此，在 迭代求解
对角矩阵 : 所有的非零元素集中在以主对角线为中 心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两 侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零的 矩阵为对角矩阵。
三对角矩阵: 非零元素仅出现在主对角上、紧邻主 对角线上面的那条对角线上和紧邻主对角线下面的那 条对角线上。
•
Remark: Gauss-Seidel迭代法的计算过 程比Jacobi迭代法更简单。计 算过程中只需用一个一维数 组存放迭代向量。
求解大型线性方程组是科学计算中的热点之一，已经有非常 多的非定常迭代算法，其中有广义极小残余算法 (Generalized Minimum Residual Method，简称为GMRES)、 拟最小残量法(Quasi-Minimal Residual Method简称为OMR) 、共扼梯度法(Coniu2ate Gradient Method简称为CG)以及其 它各种基于共扼梯度法设计的算法(有PCG,CGS,BICG,LSQR等 算法).但是没有一种算法是万能的，对于具体问题必须根据 所得到线性方程组和算法的特点进行选择.
用迭代法解线性方程组
• Jacoai迭代和Seidel迭代由 于收敛速度较慢，已经 越来越不适应当前信息 时代人们对计算速度和 精度的要求，所以在实 际应用中使用得并不多。 但是，他们体现了迭代 法的最基本的思想，是
学习其它迭代法的基础。
迭代法的特点
若在求解过程中 xkx*(k) ，由 xk+1=(xk)产生的迭代 xk 向x*的逼近 ，在数次迭代求解 之后，由于机器跳动产生的xk 值误差或是有效数字产生的舍 入误差，都会在第k+1次迭代 计算中自动弥补过来或逐步纠 正过来。因此，在 迭代求解
对角矩阵 : 所有的非零元素集中在以主对角线为中 心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两 侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零的 矩阵为对角矩阵。
三对角矩阵: 非零元素仅出现在主对角上、紧邻主 对角线上面的那条对角线上和紧邻主对角线下面的那 条对角线上。
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1 20
)U
n1
(1 5
1 20
1 20
1 )U 10
n3
15 5
4 10
Un3 6v
解法2： 令Un3 0
广义节点
(1 5
1 20
)U
n1
(1 20
1 10
)U
n2
15 5
4 10
Un1 Un2 4v 解得Un1 10v Un2 6v
I1
Un1 15 5
求电流Ix
解 N用诺顿模型等效代替
a
先求原网络Ix支路右端部 分的戴维宁等效电路
在(b)图中
I a
4 A 1A 22
b
U 1 4Ia 2Ia 6V
`
a
a
`
b
b
``
a
a
``
b
在(c)图中
在(d)图中
b
Ia
2
2
2
(Is
)
1 2
I
s
Us 1 (Is 4Ia) 2Ia Is 2Ia 0
a
I a
1 2
A
I1
8 4
2A
Isc I1 (3Ia ) 0.5A
在(b)图中 3Ia Ia
b
a
`
`
` b
Ia 0
Req
Us Is
4
a
``
a
其诺顿
``
等效电
路如图
(c)所示
b
b
2-18 线性网络N的端口电压电流关系式为 I (3U 6)A
在KCL方程中，与电流源相串电阻 R6 不起作用。
§2-9 节点分析法
3 移项整理得以节点电压为变量的节点方程
(1) (G1 G4 G6 )un1 G4un2 G6un3 is1 is6
G11
G12
G13
is11
(2) G4un1 (G4 G2 G5 )un2 G5un3 0
G13= G31= - G6<0 ——(1),(3)间共电导<0
与电流源相串电阻R6不计入自电导共电导
(G1 G4 G6 )un1 G4un2 G6un3 is1 is6
G4un1 (G4 G2 G5 )un2 G5un3 0
G6un1 G5un2 (G6 G5 G3)un3 is6 G3us3 i6
iu
电流源，其电激流方
向自定
(1 5
1 20
1 4
)U
n1
1 4
U
n2
15 5
10 4
iu
1 4
U
n1
(1 4
1 20
1 )U 10
n2
4 10
10 4
iu
这两个方程相 加即为广义节 点的方程
Un1 Un2 4
(1 5
1 20
)U
n1
(1 20
1 10
)U
is1
R1
R2
i3 性和独立性
R3 +
us3 KVL
-
④
un1 (un1 un2 ) un2 0
令un4 0
0=0 为恒等式
则un1, un2 , un3为一组完备的独立变量
§2-9 节点分析法
三、节点方程的导出
1 选定参考节点和指定各支路电流的参考方向
列KCL方程
is6
R6
1A
I3
U n1 20
0.5A
I5
Un2 20
0.3A
I2
Un2
U n1 4
10
1.5A
I4 I1 I2 2 10
4
0.2A
参考节点选择不同，只改变各独立节点电压，而不
影响各支路的电流和电压。
解法3 令Un3 0
无伴电压源视为无伴
R4 i4 ②
R5 i5 ③
i1
i2
i3
R3
is1
R1
R2
+
us3
-
④
(G1 G4 G6 )un1 G4un2 G6un3 is1 is6
G4un1 (G4 G2 G5 )un2 G5un3 0
G6un1 G5un2 (G6 G5 G3 )un3 is6 G3us3
(U n3
U n1 ) 5
15
1A
I2
U
n1 10 4
1.5A
I3
Un1 Un3 20
0.5A
I4 I1 I2 I3 2A
解法1 令Un2 0 U n1 4v
(不列 1 节点的方程)
I5
Un3 20
0.3A
I6
Un3 10
4
0.2A
(1 5
4 设u1、u2、u3均大于零
is6
R6
G11un1 (G1 G4 G6 )un1
为 un1单独作用引起的
流出 1 的电流
R6
i6 ①
R4 i4 ②
R5 i5 ③
i1
i2
i3
R3
is1
R1
R2
+
G12un2 G4un2
us3 -
为 un2单独作用引起的流出 1 的电流
④
G13un3 G6un3
i1
i2
i3
i4 G4 (un1 un2 )
is1
R1
R2
R3 +
i6 G6 (un1 un3 ) is6
us3 -
④
(G1 G4 G6 )un1 G4un2 G6un3 is1 is6
G4un1 (G4 G2 G5 )un2 G5un3 0 G6un1 G5un2 (G6 G5 G3 )un3 is6 G3us3
R4 i4 ②
R5 i5 ③
i1
i2
i3
G21un1 G22un2 G23un3 is22 is1
R1
R2
R3 +
G31un1 G32un2 G33un3 is33
us3 -
四、节点方程中各项的物理意义
④
(G1 G4 G6 )un1 G4un2 G6un3 is1 is6
令： un4 0
R6
(1) KCL
i6 ①
R4 i4 ②
R5 i5 ③
i1
i2
i3
R3
is1
R1
R2
+
i1 i4 i6 0
us3 -
④
i1 i4 i6 0
is6
R6
2 用节点电压表示支路电流
R6
i1
un1 R1
is1
G1un1
is1
i6 ①
R4 i4 ②
R5 i5 ③
c) 将无伴电压源及两端节点视为一个广义节点
§2-9 节点分析法
2．含受控源电路： 受控支视为对应独立源来列方程 将控制量（未知量）用节点电压来表示
3．对于仅有两个节点的电路——弥尔曼定理
例1 用节点法求图示电路中各未知的支路电流 。
I1
Un1 15 6 103
115 6 103
G21
G22
G23
is22
(3) G6un1 G5un2 (G6 G5 G3 )un3 is6 G3us3
G31 G32
G33
is33
is6
R6
n=4 令un4 0 时，
节点方程的一般形式为：
R6
G11un1 G12un2 G13un3 is11
i6 ①
求: Iˆ2
解:
20
U S Iˆ1 U2 Iˆ2 U3Iˆ3 Uk Iˆk 0
k 4
20
Uˆ S I1 Uˆ 2 I2 Uˆ 3I3 Uˆ k Ik 0
PiS出 2U 16W
PuS出 10 I1 40W
PR1吸 1 22 W 4W
PR2吸 1 I12 16W
PR 3吸
PR 4吸
2
I
2 2
18W
2-20 当US=3V, R2=20欧， R3=5欧时，I1=1.2A ,U2=2V,I3=0.2A
当 Uˆ s 5V Rˆ 2 10 Rˆ3 10 时 Iˆ1 2A Uˆ 3 2V
2
5
3
A
1A
U 4 (2
在(b)图中
I1)I132I123I5s V
` a
`
Us 4(Is 2I1) 3I1
` a
`
a
Req
Us Is
2
b
b
b
在(c)图中
Ix
5 23
A
1A