【附答案或解析】2015秋九年级数学上册20.1+二次函数课后零失误训练+北京课改版

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九年级数学上册初三：二次函数专题训练(含答案)

1．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴于A (1，0)、B 两点，交y 轴于C (0，3)(1) 求抛物线的解析式(2) 直线y ＝kx ＋4交y 轴与E ，交抛物线于P 、Q ．若EQ ＝PE ，求k(3) 将直线AC 向右平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．若AN ＝CM ，求点N 的坐标解：(1) y ＝x 2－4x ＋3(2) E (0，4)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)∵EQ ＝PE∴x 1＋x 2＝0 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=4342kx y x x y ，整理得x 2－(k ＋4)x －1＝0，∴x 1＋x 2＝k ＋4＝0，k ＝－4 (3) 过点C 作CG ⊥MN 于G ，AH ⊥MN 于H∵MN ∥AC∴CG ＝AH∵AN ＝CM∴Rt △CMG ≌Rt △ANH （HL ）∴∠CMG ＝∠ANH延长NA 交y 轴于点P∴∠P AC ＝∠ANH ，∠PCA ＝∠CMG∴∠P AC ＝∠PCA∴PC ＝P A设P (0，m )，则PC ＝3－m ＝P A ，在Rt △AOP 中，12＋m 2＝(3－m )2，m ＝34 ∴P (0，34) ∴直线P A 的解析式为3434+-=x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=3434342x x y x y ，解得x 1＝35，x 2＝1 由图可知，点N 在点A 的右侧∴x ＝35，∴N (9835-，)2．已知抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，一次函数y ＝kx ＋b 的图象l 经过抛物线上的点C (m ，n )(1) 求抛物线的解析式(2) 若m ＝3，直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的值(3) 若k ＝－2m ＋2，直线l 与抛物线的对称轴相交于点D ，点P 在对称轴上．当PD ＝PC 时，求点P 的坐标解：(1)y ＝x 2＋2x ＋3(2)l ：y ＝kx －3k联立⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=kkx y x x y 3322∴△＝(k －2)2＋4(3k ＋3)＝0解得k ＝－4 (3)过点C 作CH ⊥DP 于点H∵k ＝－2m ＋2直线l 过点C (m ，n )∴n ＝－m 2＋2m ＋3∴b ＝m 2＋3∴l ：y ＝(－2m ＋2)x ＋m 2＋3点D 时直线l 与抛物线对称轴的交点当x ＝1时，y ＝－2m ＋2＋m 2＋3＝8－n∴D (1，8－n )设点P (1，p )，则PD ＝8－n －p ，H ＝m －1，PH ＝p －n在Rt △PCH 中，PC ＝PD ＝8－n －p∴(8－n －p )2＝(p －n )2＋(m －1)2即(8－2n )(8－2p )＝m 2－2m ＋1 ∵n ＝－m 2＋2m ＋3∴2(4－n )(8－2p )＝4－n∴2(8－2p )＝1∴P ＝415 ∴P (1，415)3．已知二次函数y ＝x 2＋bx －3（b 为常数）的图象经过点A (－1，0)(1) 若直线y ＝3x ＋n 与该抛物线交于点A 和点B ，求点B 的坐标(2) P (m ，t )为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为Q① 当点Q 落在该抛物线上时，求m 的值② 当点Q 落在第二象限内，QA 的平方取得最小值时，求m 的值解：(1) B (6，21)(2) 将P (m ，t )、Q (－m ，－t )代入y ＝x 2－2x －3中，得⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=323222m m t m m t ，解得3±=m (2) ∵Q (－m ，－t )在第二象限∴－m ＜0，－t ＞0，得m ＞0，t ＜0∵抛物线的顶点为(1，－4)∴－4＜t ＜0将P (m ，t )代入中，得t ＝m 2－2m －3∵Q (－m ，－t )、A (－1，0)∴QA 2＝(－m ＋1)2＋(－t )2＝t 2＋t ＋4＝415)21(2++t 当21-=t 时，QA 2最小此时m 2－2m －3＝21-，解得2142±=m ∴2142+=m 4．已知直线y ＝x ＋m 与抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋2m 相交于A 、B 两点（A 在B 的左边） (1) 若m ＝－1① 求A 、B 两点的坐标② 点M 是抛物线上A 、B 之间的动点（不与A 、B 重合），MN ⊥x 轴，交直线y ＝x ＋m 于N ．求当线段MN 取最大值时，点M 的坐标)解：(1)A (－1，－2)、B (0，－1)(2)设M (t ，t 2＋2t －1)则N (t ，t －1)∴MN ＝－t 2－t ＝－(t ＋21)2＋41 当t ＝－21时，MN ＝MNmax ∴P (－21，47)5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －4a ＋2b(1) 二次函数图象过定点P ，则点P 的坐标为___________(2) 已知点A 的坐标为(0，1)，连接AP ，将线段AP 绕点P 旋转90°得到线段BP ．若点B 二次函数的图象上，求a 与b 的数量关系(3) 已知二次函数图象与一次函数y ＝bx －3b 的图象交于点)22(--b ab a ，，求二次函数的解析式解：(1)(-2，0)(2) ①若逆时针旋转时，B 1 (－3，2)代入解析式中2=a (－3)2＋b (－3)－4a ＋2b∴9a －3b －4a ＋2b ＝2∴5a －b ＝2 (a ≠0)②若顺时针旋转时，B 2 (－1，－2)代入解析式中－2＝a (－1)2＋b (－1)－4a ＋2b∴－3a ＋b ＝2（a ≠0）(3)将2,2a b b a -⎛⎫-⎪⎝⎭分别代入y ＝bx －3b 和y ＝ax 2＋bx －4a ＋2b 中分别得到①2ab ＝2a －b 2②ab ＝2a ∵ab ＝2a ，a ≠0∴b ＝2 ③③代入①中∴a ＝－2∴ y ＝－2x 2＋2x ＋126．已知抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E (5，0)，与y 轴交于点D (0，－2)(1) 求抛物线l 2的函数表达式(2) P 为直线x ＝1上一点，连接P A 、PC ．当P A ＝PC 时，求点P 的坐标(3) M 位抛物线l 2上一动点，过M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ．求点M 从点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值解：(1)y ＝21x 2﹣2x ﹣25(2)设P 点坐标为(1，y )，由(1）可得C 点坐标为(0，3) ∴PC 2＝12+(y ﹣3)2＝y 2﹣6y +10，P A 2＝[1﹣(﹣1)]2+y 2＝y 2+4∵PC ＝P A∴y 2﹣6y +10＝y 2+4，解得y ＝1∴P 点坐标为(1，1)(3)由题意可设M (x ，21x 2﹣2x ﹣25) ∵MN ∥y 轴，则N (x ，﹣x 2+2x +3)，21x 2﹣2x ﹣25 令﹣x 2+2x +3＝21x 2﹣2x ﹣25，可解得x ＝﹣1或x ＝311 ①当﹣1＜x ≤311时 MN ＝(﹣x 2+2x +3)﹣(21x 2﹣2x ﹣25)＝﹣23x 2+4x +211＝﹣23(x ﹣34)2+649 显然﹣1＜34≤311∴当x ＝34时，MN 有最大值649 ②当311＜x ≤5时 MN ＝(21x 2﹣2x ﹣25)﹣(﹣x 2+2x +3)＝23x 2﹣4x ﹣211＝23(x ﹣34)2﹣649 显然当x ＞34时，MN 随x 的增大而增大 ∴当x ＝5时，MN 有最大值，23×(5﹣34)2﹣649＝127．如图，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），AB ＝4，与y 轴交于点C ，OC ＝OA ，点D 为抛物线的顶点(1) 求抛物线的解析式(2) 点M (m ，0)为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，求m 的值，并求出此时的△AEM 的面积(3) 已知H (0，－1)，点G 在抛物线上，连HG ，直线HG ⊥CF ，垂足为F ．若BF ＝BC ，求点G 的坐标解：(1) ∴y ＝－x 2－2x ＋3 (2) 直线AC 的解析式为y ＝x ＋3∵M (m ，0)∴N (－m －2，0)∴MN ＝－m －2－m ＝－2m －2∵P (m ，－m 2－2m ＋3)∴PM ＝－m 2－2m ＋3∴C 矩形PQNM ＝2(PM ＋MN )＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2＋10当m ＝－2时，C 矩形PQNM 有最大值为10此时，E (－2，1)∴S △AEM ＝21×1×1＝21 (3) 延长FH 、CB 交于点P∵BF ＝BC∴B 为CP 的中点（实质为斜边中线的逆用）∴P (2，－3)直线HP 的解析式为y ＝－x －1联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=--=3212x x y x y ，解得)(2171217121舍去，+-=--=x x ∴G (21172171---，)1．已知，抛物线C 1：y ＝x 2－mx ＋m 2＋1的顶点为P(1) ① 抛物线C 1的顶点坐标为_____________(用含m 的式子表示)② 抛物线C 1的顶点始终在某条抛物线上运动，这条抛物线的解析式为_____________(2) 直线y ＝x ＋m 与抛物线C 1交于点M ，求点M 的坐标(3) ① 将m ＝2时，抛物线C 1的解析式为_____________② 将该抛物线向下平移5个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧) ，直线y ＝kx －3k ＋4与抛物线C 2交于E 、F 两点，求△BEF 的面积的最小值解：(1) ①P (143212+m m ，) ② y ＝3x 2＋1(2) 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=mx y m mx x y 122，整理得x 2－(1＋m )x ＋m 2＋1－m ＝0 ∵△＝(1＋m )2－4(m 2＋1－m )＝－3(m －1)2≥0∴m ＝1方程可化为x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1∴M (1，2)(3) ① y ＝x 2－2x ＋5② C 2的解析式为y ＝(x －2)2－1直线y ＝kx －3k ＋4过定点Q (3，4)∴BQ ∥y 轴∴S △BEF ＝21×BQ ×|x E －x F |＝2|x E －x F | 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=34432x x y k kx y ，整理得x 2－(4＋k )x ＋3k －1＝0 ∴x E ＋x F ＝k ＋4，x E x F ＝3k －1∴|x E －x F |＝16)2()13(4)4(4)(222+-=--+=-+k k k x x x x F E F E当k ＝2时，有最小值为4，S △BEF 有最小值为8说明：最后一问还是m ＝22．如图，地物线y ＝ax 2－2ax －3与x 轴交于点A (﹣1，0）与点B ，顶点为P ，直线l ：y ＝kx ＋6经过抛物线上一点C (m ，n )(1) 求抛物线的解析式(2) 若k ＝2m ，直线l 与抛物线交于另一点M ，过点M 作抛物线的对称轴的垂线，垂足为点G ，连接CG ，CG ＝MG ，求m 的值(3) 若k ＝m －4，直线与抛物线交于另一点D ，△PCD 的面积为6，求m 的值解：(1)y ＝x 2－2x －3(2)由(1)得n ＝m 2－2m －3，n ＝2m 2＋b∴b ＝－m 2－2m －3∴l ：y ＝2mx －m 2－2m －3联立⎪⎩⎪⎨⎧---=--=3223222m m mx y x x y 得x M ＝m ＋2，y M ＝m 2＋2m －3 ∵CG ＝MG 抛物线对称轴为x ＝1∴(m ＋2－1)2＝(1－m )2＋(m 2＋2m －3－m 2＋2m ＋3)2解得m ＝0或41 (3)同(2)可得直线l 的解析式为y ＝(m －4)x ＋2m －3联立⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=32)4(322m x m y x x y 得x D ＝－2 设抛物线的对称轴与CD 交于点Q∴Q (1，3m －7)∵P (1，－4) ∴21|3m －7＋4|·|m ＋2|＝6 ∴m ＝－3或23．如图1，抛物线y ＝ax 2－2x －3与x 轴交于点A 、B (3，0)，交y 轴于点C(1) 求a 的值(2) 过点B 的直线l 与(1)中的抛物线有且只有一个公共点，则直线l 的解析式为(3) 如图2，已知F (0，－7)，过点F 的直线m ：y =kx －7与抛物线y ＝x 2－2x －3交于M 、N 两点，当S △CMN =4时，求k 的值解：(1)a ＝1(2)x ＝3或y ＝4x －12(3)联立⎪⎩⎪⎨⎧-=--=7322kx y x x y 化简得：x 2－(2＋k )x ＋4＝0 ∴x M ＋x N ＝k ＋2，x M ·x N ＝4∵S △CMN ＝|S △CFN －S △CFM |＝21CF |x M －x N |＝4 ∴21×4×N M N M x x x x 42)(-+＝4 ∴(k ＋2)2＝20∴k ＝－2+25或－2－254．如图1，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋3a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(1) 填空：A 点坐标是__________B 点坐标是__________(2) 当a ＝1时，如图1，将直线BC 沿y 轴向上平移交抛物线于M 、N ，交y 轴于点P ，求证：PM －PN 是定值(3) 当41=a 时，如图2，直线y ＝kx －3k ＋4与抛物线交E 、F 两点，求△BEF 的面积的最小值解：(1)A(1，0)，B(3，0)(2)证明：作NF ⊥y 轴由F ，ME ⊥y 轴于Ea ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3 ∴BC ：y ＝﹣x +3，设直线BC 平移后的解析式为y ＝﹣x +k易知△NPF ，△MEP 是等腰Rt △∴PN ＝2NF ，PM ＝2EM ，设N （x 1，y 1），M （x 2，y 2）联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=kx y x x y 342，化简得x 2﹣3x +3﹣k ＝0∴x 1+x 2＝3 ∵PM ﹣PN ＝2(EM ﹣FN)＝2[x 2﹣(﹣x 1)]＝2(x 1+x 2)＝32为定值(3)过点B 作BM ⊥AB 交EF 于M当a ＝41，抛物线的解析式为y ＝41x 2﹣x +43 ∵B (3，0)∴M (3，4)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4343412k kx y x x y 化简得x 2﹣(4+4k )x +12k ﹣13＝0∴x 1+x 2＝4+4k ，x 1x 2＝12k ﹣13∵S △EFB ＝21•BM •[(x 2﹣3)+(3﹣x 1)]＝2(x 2﹣x 1) ＝264)21(16268161624x 2221221+-=+-=-+k k k x x x ）（ ∴当k ＝21时，S △EFB min ＝161．如图，抛物线y ＝－41x 2＋3x 与x 轴相交于点D ，直线y ＝(3－m ) x ＋m 2与y 轴相交于点B ，与抛物线有公共点A(1) 求证：直线AB 与抛物线只有唯一的公共点(2) 过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，当∠ADF ＝60°时，求AF 的长(3) 如图2，E 为抛物线的顶点，BE 交抛物线于点H ．当H 为BE 的中点时，求m 的值解：(1)﹣14x 2＋3x ＝(3﹣m ) x ＋m 2 化简得x 2﹣4m x ＋4m 2＝0 ∴△＝0∴直线与抛物线只有唯一的公共点(2)由(1)知，点A 的横坐标为2m 当x ＝2m 时，y ＝﹣14 (2m )2＋6m ＝6m －m 2∴AF ＝6m －m 2，OF ＝2m ∵D （12，0），∴FD ＝12－2m ∵∠ADF ＝60°，∴AF ＝3FD 即，3(12－2m )＝6m －m 2 m 2－6m －23m ＋123＝0 （m －6）（m －23）＝0 m 1＝6，m 2＝2 3当m ＝6时，A （12，0）(舍)∴m ＝2 3 (3)点E （6，9），B （0，m 2） ∴BE ：y ＝9－m 26x ＋m 2联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=22269341m x m y x x y 化简得﹣14 x 2＋3x ＝692m -x ＋m 2 即41x 2＋692m -x ＋m 2＝0 ∵x ＝6是方程的一个根，设另一根为n ，则6n ＝4 m 2 ∴n ＝32m 2，即点H 的横坐标为32m 2 当H 为BE 的中点时，点E 的横坐标是H 的横坐标的2倍 ∴32m 2＝9∴ m ＝±2232．如图，将函数y ＝x 2－2x (x ≥0)的图象沿y 轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y ＝x 2－2|x |的图象 (1) 观察思考：函数图象与x 轴有_____个交点，所以对应的方程x 2－2|x |＝0有_____个实数根；方程x 2－2|x |＝2有_____个实数根；关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是_____ 拓展探究：① 如图2，将直线y ＝x ＋1向下平移b 个单位，与y ＝x 2－2|x |的图象有三个交点，求b 的值 ② 如图3，将直线y ＝kx (k ＞0)绕着原点旋转，与y ＝x 2－2|x |的图象交于A 、B 两点(A 左B 右)，直线x ＝1上有一点P ，在直线y ＝kx (k ＞0)旋转的过程中，是否存在某一时刻，△P AB 是一个以AB 为斜边的等腰直角三角形(点P 、A 、B 按顺时针方向排列)．若存在，请求出k 值；若不存在，请说明理由解：(1)3，3，2，﹣1＜a ＜0(2)①设平移后的直线的解析式为y ＝x ＋1－b当直线y ＝x +1﹣b 经过原点或与抛物线y ＝x 2+2x 只有一个交点时，与y ＝x 2﹣2|x |的图象有三个交点∴1﹣b ＝0，b ＝1由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=x x y b x y 212∴x 2+x ﹣1+b ＝0，由题意△＝0∴1﹣4(﹣1+b)＝0∴b ＝45∴b ＝1或45 (3)中，作BE ⊥直线x ＝1于E ，AF ⊥直线x ＝1于F ∵∠AFP ＝∠PEB ＝∠APB ＝90°∴∠APF +∠P AF ＝90°，∠APF +∠BPE ＝90° ∴∠P AF ＝∠BPE ∵P A ＝PB ∴△P AF ≌△BPE ∴AF ＝PE ，PF ＝BE由⎪⎩⎪⎨⎧+==x x y kxy 22解得⎩⎨⎧==0011y x 或⎩⎨⎧-=-=)2(222k k y k x ∴A [k ﹣2，k （k ﹣2）] 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x x y kxy 22解得⎩⎨⎧==0011y x 或⎩⎨⎧+=+=)2(222k k y k x ∴B [k +2，k(k +2)]∴BE ＝PF ＝k +1，AF ＝PE ＝3﹣k ∴P(1，k 2﹣3k ﹣1)∴k 2+2k ﹣(k 2﹣3k ﹣1)＝3﹣k ∴k ＝313．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与直线y ＝x ＋1相交于A (－1，0)、B (4，m )两点，且抛物线经过点C (5，0) (1) 求抛物线的解析式(2) 点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E① 当PE ＝2ED 时，求P 点坐标② 是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y ＝﹣x 2＋4x ＋5(2)①设P (x ，﹣x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，D (x ，0) 则PE ＝|﹣x 2＋4x ＋5﹣(x ＋1)|＝|﹣x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1| ∵PE ＝2ED∴|﹣x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|当﹣x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝﹣1(舍)或x ＝2 ∴P (2，9)当﹣x 2＋3x ＋4＝﹣2(x ＋1)时，解得x ＝﹣1(舍)或x ＝6 ∴P (6，﹣7) ∴P (2，9)或(6，﹣7)②设P (x ，﹣x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，且B (4，5)，C (5，0)BE ＝2)51()4(22=-++-x x |x －4|，CE ＝2682)1()5(222+-=++-x x x x BC ＝26)05()54(22=++-当△BEC 为等腰三角形时，则有BE ＝CE 、BE ＝BC 或CE ＝BC 三种情况：当BE ＝CE 时，则2|x －4|＝26822+-x x ，解得x ＝43，此时P 点坐标为(43，16119) 当BE ＝BC 时，则2|x ﹣4|＝26，解得x ＝4+13或x ＝4﹣13 此时P 点坐标为(4+13，﹣413﹣8)或(4﹣13，413﹣8) 当CE ＝BC 时，则26822+-x x ＝26，解得x ＝0或x ＝4(舍) 此时P 点坐标为(0，5)综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(43，16119)或(4+13，﹣413﹣8)或(4﹣13，413﹣8)或(0，5)4．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点 (1) 求抛物线的解析式(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标(3) 过点P 的直线交抛物线于点E ，F 为抛物线上点E 的对称点，直线EP 、FP 分别交对称轴于点M 、N ，试探究DM 与DN 的数量关系，并说明理由解：(1) y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3(2)过点B 作BM ⊥AB 交CP 延长线于点M则△ABC ≌△MBC (SAS ) ∴BM ＝AB ＝4 ∴M (3，－4)∴y CM ＝－31x －3由⎪⎩⎪⎨⎧--=--=323312x x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==9323511y x 或⎩⎨⎧-==3022y x (舍)∴P (35，－932)(3) 设y EP ＝kx ＋b ，则M (1，k ＋b )由⎪⎩⎪⎨⎧--=+=322x x y bkx y 得x 2－(2＋k )x －3－b ＝0∴x E ＋x p ＝2＋k ① x E ·x P ＝－3－b ② 设y FP ＝mx ＋n , 则N (1, m ＋n )同理得x F ＋x P ＝2＋m ③，x F ·x P ＝－3－n ④ ∵点E 、F 关于x ＝1对称 ∴x E ＋x F ＝2 ①＋③得x P ＝22mk ++ ②＋④得x P ＝26nb --- ∴2＋k ＋m ＝－6－b －n 即k ＋m ＋4＝－4－m －n又DM ＝k ＋m ＋4，DN ＝－4－m －n ∴DM ＝DN1．如图，抛物线与x 轴交于点A ，B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点 (1) 求抛物线的解析式(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标 (3) 若直线y ＝21x ＋a 与抛物线交于M ，N 两点，问：是否存在a 的值，使得∠MON =90°，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由解：(1)y ＝x 2-2x -3(2)过点B 作BM ⊥AB 交CP 延长线于点M易证△ABC ≌△MBC (SAS ) ∴BM ＝AB ＝4M (3，－4)∴y CM ＝331--x联立⎪⎩⎪⎨⎧--=--=323312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==9323511y x 或⎩⎨⎧-==3022y x (舍)∴P (35，932-) (3)假设a 存在，联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=32212x x y a x y 整理得2x 2－5x －6－2a =0 ∴x 1＋x 2＝25，x 1x 2＝－a －3 又∵y 1＝21x 1＋a ，y 2＝21x 2＋a ∴y 1y 2＝a 2＋a －43 ∵∠MON ＝90°∴OM 2＋ON 2＝MN 2∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴－a －3＋a 2＋a －43＝0解得a ＝215或－215∴存在a ＝215或－215使得∠MON ＝90°2．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (4，5)、C (0，－3)，其顶点为B (1) 求抛物线的解析式(2) P 在抛物线上，若∠BAP ＝45°，求P 点坐标(3) 过A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过D (0，3)作直线，交抛物线于E 、F ．若E 、F 到AH 的距离之和为7，求直线EF 的解析式解：(1)y =x 2－2x －3(2)作BH ⊥AP 于H 点∵y ＝x 2－2x ﹣3＝(x ﹣1)2﹣4∴点B 的坐标为(1，﹣4)设H (m ，n ) AH 2＝(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2，BH 2＝(m ﹣1)2＋(n ＋4)2，AB 2＝(1﹣4)2＋(﹣4﹣5)2＝90 ∵∠BAP ＝45°∴△ABH 为等腰直角三角形 ∴(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2＝(m ﹣1)2＋(n ＋4)2∴m ＝4﹣3n∵(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2＋(m ﹣1)2＋(n ＋4)2＝90∴n 2﹣n ﹣2＝0，解得n 1＝﹣1，n 2＝2 当n ＝﹣1时，m ＝7，此时H (7，﹣1)∴AH ：y ＝﹣2x ＋13 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=321322x x y x y 得⎩⎨⎧==54y x 或⎩⎨⎧=-=214y x ，此时P (﹣4，21)当n ＝2，m ＝﹣2，此时H (﹣2，2)∴AH ：y ＝21x ＋3 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=323212x x y x y 得⎩⎨⎧==5411y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=492322y x ，此时P (﹣23，49)∴P (﹣23，49)，(﹣4，21)(3)设EF ：y ＝kx ＋3设E 、F 点的横坐标分别为x 1、x 2 ∵x 1、x 2为方程x 2﹣2x ﹣3＝kx ＋3的两根方程整理得x 2﹣(k ＋2)x ﹣6＝0∴x 1＋x 2＝k ＋2，x 1•x 2＝﹣6 作EM ⊥MH 于M ，FN ⊥MH 于N当E 、F 点分别在直线MH 的左侧，则EM ＝4﹣x 1，FN ＝4﹣x 2 ∴4﹣x 1＋4﹣x 2＝7，即x 1＋x 2＝1 ∴k ＋2＝1，解得k ＝﹣1 ∴EF ：y ＝﹣x ＋3当E 、F 点分别在直线MH 的两侧(E 点在右侧)，则EM ＝x 1﹣4，FN ＝4﹣x 2 ∴x 1﹣4＋4﹣x 2＝7，即x 1﹣x 2＝7 ∴(x 1﹣x 2)2＝49，即(x 1＋x 2)2﹣4x 1x 2＝49 ∴(k ＋2)2＋24＝49，解得k 1＝﹣7(舍)，k 2＝3 ∴EF ：y ＝3x ＋3∴EF ：y ＝﹣x ＋3或y ＝3x ＋33．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于A ，B 两点(A 左B 右)，与y 轴交于点C (0，2)，已知此抛物线的对称轴为直线23-=x (1) 求此抛物线的解析式(2) 如图1：已知P 为抛物线第二象限上的一点，是否存在这样的点P 使S △ACP ＝4，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由(3) 如图2：连AB ，BC ，点Q 为抛物线第四象限上的一点，若∠QAB ＝∠BCO ，求点Q 的坐标3．已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C (1) 求A 、B 、C 三点的坐标(2) 经过A 、B 两点作⊙M ，交抛物线于点D （点D 在对称轴右侧）．若∠DMB ＝90°，求点M 的坐标(3) 如图1，点Q 是抛物线对称轴上，纵坐标为415的点，点E 是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q 为圆心，QE 为半径作圆交抛物线于点F （点F 在对称轴的右侧），求证：直线EF 抛物线有唯一公共点解：(1)A (－1，0)、B (3，0)、C (0，－3)(2)设抛物线的对称轴直线x ＝1与x 轴交于点N ，过点D 作DH ⊥直线x ＝1于点H ∴∠DHM ＝∠DMB ＝∠BNM ＝90°∴∠DMH ＝∠MBN 又∵BM ＝DM ∴△BNM ≌△MHD ∴BN ＝HM ＝2，设MN ＝DH ＝x ∴点D 的坐标为D (1＋x ，2＋x )又∵点D 在抛物线上 ∴(1＋x )2－2(1＋x )－3＝2＋x 整理得：x 2－x －6＝0解得：x 1＝3，x 2＝－2(舍)∴x ＝3∴M (1，3)(3)过点F 作FH ⊥QE 于点H ，连接FQ 设F (a ，a 2－2a －3)，E (1，n )则QE ＝QF ＝－415－n HQ ＝a 2－2a －3－(－415)＝(a －1)2－41，HF ＝a -1在Rt △HQF 中，由勾股定理得［(a －1)2－41］2＋(a －1)2＝(－415－n )2 ∵QE ＝－415－n ，QE ＞0∴(a －1)2＋41＝－415－n ∴n ＝－(a －1)2－4∴E [1，－(a －1)2－4] 设EF ：y ＝kx ＋b ，把点E [1，－(a －1)2－4]，F (a ，a 2－2a －3)分别代入y ＝kx ＋b得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+---=+4)1(4)1(22a b ak a b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3)1(22a b a k 则直线EF 与抛物线的交点坐标即为上述方程组的解消y 得：x 2－2ax ＋a 2＝0 △＝4a 2－4a 2＝0∴直线EF 与抛物线只有唯一一个公共点4．已知抛物线C 1：y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2与y 轴交于点C ，顶点为点D(1) 若不论m 为何值，抛物线C 1的顶点D 均在某一函数的图形上，直接写出此函数的解析式 (2) 若抛物线C 1与x 轴的交点分别为M 、N （点M 在点N 的左边），设△MNC 的外接圆与y 轴的另一个交点为点Q ，求点Q 的坐标(3) 当m ＝1时，将抛物线C 1向下平移n (n ＞0)个单位，得到抛物线C 2，直线DC 与抛物线C 2交于A 、B 两点．若AD ＋CB ＝DC ，求n 的值解：(1) 41+=x y (2) 设△MNC 的圆心E (t m ，21--)，则EF ＝t ，∵EN ＝2M N x x - ∴EN 2＝41(x N －x M )2＝m ＋41∴FN 2＝EF 2＋EN 2＝t 2＋m ＋41＝r 2 又r 2＝FC 2＝(m ＋21)2＋(t －m 2)2∴t 2＋m ＋41＝(m ＋21)2＋(t －m 2)2，解得212+=m t∴OQ ＝2t －OC ＝m 2＋1－m 2∴Q (0，1)(3) 当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋3x ＋1∴D (4523--，)，C (0，1) ∴直线CD 的解析式为123+=x y ，抛物线C 2的解析式为y ＝x 2＋3x ＋1－n 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-++=123132x y nx x y ，整理得0232=-+n x x ∴x A ＋x B ＝23，x A x B ＝－n ∵AD ＋BC ＝DC ∴AB ＝2CD ＝2133∴(x B －x A )2＝4(x C －x D )2得9449=+n ，解得1627=n5．抛物线2812++-=bx x y (b ＞0)与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C ，直线y ＝kx 与抛物线交于M 、N 两点(M 在y 轴右边，k ＞0)，点C (0，2)，点AO ＝2CO (1) 求此抛物线的解析式(2) 若△AMN 的面积为216时，求k 的值(3) 己知直线l ：y ＝t (t ＞2)，是否存在这样的t 的值，无论k 取何值，以MN 为直径的圆总与直线l 相切？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由解：(1) y ＝－81x 2＋2 (2)连AM 、AN ，则 S △AMN ＝S △AOM ＋S △AON＝2k (x M －x N )联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==2812x y kx y 得x 2＋8kx －16＝0 ∴x M ＋x N ＝－8k ，x M x N ＝－16 x M －x N ＝812+k∴16k 12+k ＝162解得k ＝1(3)∵MO ＝2222)281(MM N M x x y y ++-=+＝2221）（--M x ＝81x M ＋2＝4－y M 同理NO ＝4－y N ∴MN ＝8－(y M ＋y N )即r ＝4－2NM y y + 设圆心为G ，则y G ＝2N M y y +∴G 到l 的距离为d ＝t －2N M yy + 要使直线l 与⊙相切，则d ＝r ，∴t ＝4。

初三__二次函数基础分类练习题(含答案)(2)(K12教育文档)

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12二次函数练习题练习一二次函数1、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米）与时间t （秒）的数据如下表:时间t(秒） 1 2 3 4 …距离s(米）2 8 18 32 …写出用t 表示s 的函数关系式：2、下列函数：① 23yx ；② 21y x x x ;③ 224y x x x ；④ 21yx x ；⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是，其中a，b ，c3、当m 时，函数2235y mx x（m 为常数）是关于x 的二次函数二次函数 4、当____m 时，函数2221mm ym m x 是关于x 的5、当____m时，函数2564mm ymx +3x 是关于x的二次函数 6、若点 A ( 2, m ）在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2中,s 与 r 的关系是( ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子．（1）求盒子的表面积S(cm 2)与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2）当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图,矩形的长是 4cm,宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.3② 求当边长增加多少时,面积增加 8cm 2。

人教版-数学-九年级上册二次函数的图像与性质课后练习一及详解

学科：数学专题：二次函数的图像与性质重难点易错点解析题一：题面：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴为21-=x .下列结论中，正确的是( )A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +<满分冲刺题一：题面：已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b -2a =0；②abc ＜0；③a -2b +4c ＜0；④8a +c ＞0．其中正确的有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题二：题面：如图，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点B (－2，0)和C ，O 为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72个单位长度、再向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；思维拓展题面：求函数y=|x2-4|-3x在-2≤x≤5中的最大值和最小值．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：D.详解：A ．∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0.∵二次函数的图象与y 轴交于负半轴，∴c ＜0.∵二次函数的图象对称轴在y 轴左侧，∴2b a-＜0.∴b ＞0.∴0abc <.故本选项错误. B ．∵二次函数的图象对称轴：122b x a =-=-，∴a b =，0a b >+.故本选项错误. C ．从图象可知，当1x =时，20y a bc b c <=++=+.故本选项错误.D ．∵二次函数的图象对称轴为12x =-，与x 轴的一个交点的取值范围为x 1＞1， ∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2. ∴当2x =-时，420y a b c <=-+，即42a c <b +.故本选项正确. 故选D.满分冲刺题一：答案：B.详解：根据图象可得：a ＞0，c <0，对称轴：02b x >a=-. ①∵它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)，∴对称轴是x =1， ∴=12b a-.∴b +2a =0.故命题①错误. ②∵a ＞0，02b >a -，∴b ＜0. 又c <0，∴abc ＞0.故命题②错误.③法一：由题目可知：当x = -1时，a -b +c =0当x =3时，9a +3b +c =0∴3(a -b +c ) +(9a +3b +c )=12a +4c =0即3a +c =0a -2b +4c =a +4a +4c =5774()4(3)4(0)70444a c a c a a a +=+-=-=-<.故命题③正确. 法二：∵b +2a =0，∴b = -2a∵x 1x 2=c a= -3 ∴c = -3a ∴a -2b +4c = -7a∵a >0 ∴a -2b +4c = -7a <0. 故命题③正确.④根据图示知，当x =4时，y ＞0，∴16a +4b +c ＞0.由①知，b = -2a ，∴8a +c ＞0.故命题④正确.∴正确的命题为：③④两个.故选B.题二：答案：(1)y =12x 2－x －4. (2)0＜m ＜52 . 详解：(1)将A (0，－4)、B (－2，0)代入抛物线y =12x 2+bx +c 中，得： 04220c b c +=-⎧⎨-+=⎩，解得，14b c =-⎧⎨=-⎩. ∴抛物线的解析式：y =12x 2－x －4. (2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：217()()422y x m x m =+-+-+，即：22111(1)222y x m x m m =+-+--.它的顶点坐标P (1－m ，－1). 由(1)的抛物线解析式可得：C (4，0).∴直线AB ：y = －2x -4；直线AC ：y =x －4.当点P 在直线AB 上时，－2(1－m )－4=－1，解得：m =52；当点P 在直线AC 上时，(1－m ) －4=－1，解得：m =－2；又∵m ＞0，∴当点P 在△ABC 内时，0＜m ＜52.。

【附答案或解析】九年级数学上册20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象(北京课改版)

20.2 二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象自主学习主干知识←提前预习勤于归纳→ 认真阅读教材,完成下列各题 1.填空：答案：从左向右依次为： y=ax 2：向上向下 y 轴 (0，0) y=ax 2+c ：向上向下 y 轴 (0，c) y=a(x －h)2：向上向下 x=h (h ，0) y=a(x －h)2+k ：向上向下 x=h (h ，k)y=ax 2+bx+c ：向上向下 abx 2-= )44,2(2a b ac a b -- 2.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象是______. 答案：一条抛物线 3.二次函数5)3(212-+=x y 的图象可以看作是221x y =的图象向_____平移_____个单位长度,再向______平移______个单位长度而得到的. 答案：左 3 下 54.画函数图象的步骤是______、______、_______. 答案：列表描点连线点击思维 ←温故知新查漏补缺→1.如何根据c 的大小确定抛物线与y 轴的交点(0,c)与x 轴的位置关系? 答案：解析：c>0⇔抛物线与y 轴的交点在x 轴上方；c=0⇔抛物线与y轴的交点是原点；c<0⇔抛物线与y轴的交点在x轴下方.2.如何根据“b2－4ac的值”确定抛物线与x轴的交点个数?答案：解析：b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个不同的交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.b2－4ac=0⇔抛物线与x轴有且只有一个交点，此时一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)有两个相等的实数根. b2－4ac<0⇔抛物线与，轴没有交点，此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.3.当a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最______点；当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最_____点.(填“高”或“低”)答案：低高。

初中数学九年级上册二次函数练习题(含答案)

第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质22．1.1 二次函数01 基础题知识点1 二次函数的定义1．(兰州中考)下列函数解析式中，一定为二次函数的是(C)A ．y ＝3x －1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．s ＝2t 2－2t ＋1D ．y ＝x 2＋1x2．圆的面积公式S ＝πR 2中，S 与R 之间的关系是(C )A ．S 是R 的正比例函数B ．S 是R 的一次函数C ．S 是R 的二次函数D ．以上答案都不对3．若y ＝(a ＋2)x 2－3x ＋2是二次函数，则a 的取值范围是a ≠－2.4．已知二次函数y ＝1－3x ＋5x 2，则二次项系数a ＝5，一次项系数b ＝－3，常数项c ＝1. 5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2＋(b ＋2)x －3.(1)当a ≠2时，x ，y 之间是二次函数关系；(2)当a ＝2且b ≠－2时，x ，y 之间是一次函数关系．6．判断函数y ＝(x －2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由．解：y ＝(x －2)(3－x)＝－x 2＋5x －6，它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.知识点2 建立二次函数模型7．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为(C)A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)8．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x ，则直角三角形的面积y 与x 之间的函数关系式是(A )A ．y ＝－12x 2＋5x B ．y ＝－x 2＋10xC ．y ＝12x 2＋5x D ．y ＝x 2＋10x9．在半径为4 cm 的圆中，挖出一个半径为x cm 的圆，剩下的圆环的面积是y cm 2，则y 与x 的函数关系为(D )A ．y ＝πx 2－4B ．y ＝π(2－x)2C ．y ＝π(x 2＋4)D ．y ＝－πx 2＋16π10．某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式y ＝12x 2－12x ，它是(填“是”或“不是”)二次函数．02 中档题11．如果二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是(C )A ．5B ．3C ．3或－5D ．－3或512．(周口市期中)如果函数y ＝(k －2)xk 2－2k ＋2＋kx ＋1是关于x 的二次函数，那么k 的值是(D)A ．1或2B ．0或2C ．2D ．013．(省实验中学二模)如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是(A)A B C D14．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一对角线长x(cm )之间的函数关系为S ＝12x(26－x)，是二次函数，自变量x 的取值范围是0＜x ＜26．15．一辆汽车的行驶距离s(单位：m )与行驶时间t(单位：s )的函数关系式是s ＝9t ＋12t 2，经12 s 汽车行驶了多远？行驶380 m 需要多少时间？解：当t ＝12时，s ＝9×12＋12×122＝180.∴经12 s 汽车行驶了180 m . 当s ＝380时，9t ＋12t 2＝380.解得t 1＝20，t 2＝－38(不合题意，舍去)．∴该汽车行驶380 m 需要20 s .16．一块矩形的草地，长为8 m ，宽为6 m ，若将长和宽都增加x m ，设增加的面积为y m 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若要使草地的面积增加32 m 2，长和宽都增加多少米？解：(1)y ＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y ＝x 2＋14x. (2)当y ＝32时，x 2＋14x ＝32. 解得x 1＝2，x 2＝－16(舍去)．答：长和宽都增加2米．17．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长为多少米？解：(1)S＝x(24－3x)，即S＝－3x2＋24x.(2)当S＝45时，－3x2＋24x＝45.解得x1＝3，x2＝5.又∵当x＝3时，24－3x＝15＞10(舍去)，∴x＝5.答：AB的长为5米．03综合题18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172 mm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．解：(1)由运动可知，AP＝2x，BQ＝4x，则y＝12BC·AB－12BQ·BP＝12×24×12－12·4x·(12－2x)，即y＝4x2－24x＋144.(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，∴0<x<6.(3)当y＝172时，4x2－24x＋144＝172.解得x1＝7，x2＝－1.又∵0<x<6，∴四边形APQC的面积不能等于172 mm2.22.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2的图象1．下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y ＝－2x 2的图象上的是(－1，－2)． 2．点A(12，b)在二次函数y ＝x 2的图象上，则b ＝14．3．函数y ＝axa 2是二次函数，当a ＝2时，其图象开口向上；当a ＝－2时，其图象开口向下．4．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．抛物线开口方向对称轴[来源学科网]顶点坐标最值 y ＝x 2 向上 y 轴 (0，0) 最小值0 y ＝－x 2 向下 y 轴 (0，0) 最大值0 y ＝15x 2 向上 y 轴 (0，0) 最小值0 y ＝－15x 2向下y 轴(0，0)最大值05.已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－12)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．解：(1)y ＝－12x 2.图象如图．(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴．知识点2 二次函数y ＝ax 2的性质6．(毕节中考)抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是(B )A ．开口向上B ．对称轴是y 轴C ．都有最高点D ．y 随x 的增大而增大 7．关于函数y ＝3x 2的性质表述正确的一项是(C )A ．无论x 为任何实数，y 的值总为正B ．当x 值增大时，y 的值也增大C ．它的图象关于y 轴对称D ．它的图象在第一、三象限内8．(周口市期中)已知点A(1，y 1)，B(3，y 2)，C(2，y 3)，都在二次函数y ＝－12x 2的图象上，则(A)A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 1＞y 3＞y 29．分别求出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2的解析式：(1)经过点(－3，2)；(2)与y ＝13x 2开口大小相同，方向相反．解：(1)∵y ＝ax 2过点(－3，2)， ∴2＝a·(－3)2，则a ＝29.∴y ＝29x 2.(2)∵y ＝ax 2与抛物线y ＝13x 2开口大小相同，方向相反，∴a ＝－13.∴y ＝－13x 2.02 中档题10．已知二次函数y ＝x 2和y ＝2x 2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个提示：①②③正确，④错误．11．(宁夏中考)已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是(C )12．(深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则有y′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y′＝12的解是(B )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝23，x 2＝－2 313．若函数y ＝(1－m)xm 2－2＋2是关于x 的二次函数，且抛物线的开口向上，则m 的值为－2．14．二次函数y ＝ax 2(a<0)的图象对称轴右侧上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若y 1>y 2，则x 1－x 2＜0.(填“＞”“＜”或“＝”)15．下列四个二次函数：①y ＝x 2；②y ＝－2x 2；③y ＝12x 2；④y ＝3x 2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④.16．(菏泽中考)如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x ≥0)与y 2＝x 23(x ≥0)的图象于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，则DEAB＝3－3．17．二次函数y ＝ax 2与直线y ＝2x －1的图象交于点P(1，m)．(1)求a ，m 的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x 取何值时，该解析式的y 随x 的增大而增大？(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．解：(1)将(1，m)代入y ＝2x －1，得 m ＝2×1－1＝1.∴P 点坐标为(1，1)．将P(1，1)代入y ＝ax 2，得1＝a·12，解得a ＝1.故a ＝1，m ＝1.(2)二次函数的解析式为y ＝x 2，当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴．03 综合题18．已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与一次函数y ＝kx －2的图象相交于A ，B 两点，如图所示，其中A(－1，－1)，求△OAB 的面积．解：∵点A(－1，－1)在抛物线y ＝ax 2(a ≠0)上，也在直线y ＝kx －2上， ∴－1＝a·(－1)2，－1＝k·(－1)－2.解得a ＝－1，k ＝－1.∴本二次函数的解析式为y ＝－x 2，一次函数的解析式为y ＝－x －2.由⎩⎨⎧y ＝－x 2，y ＝－x －2，解得⎩⎨⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4.∴点B 的坐标为(2，－4)．∵y ＝－x －2与y 轴交于点G ，∴G(0，－2)． ∴S △OAB ＝S △OAG ＋S △OBG ＝12×(1＋2)×2＝3.22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝ax2＋k的图象1．在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是(A)A．(1，0) B．(0，0)C．(0，－1) D．(1，1)2．抛物线y＝x2＋1的图象大致是(C)3．(河南中考改编)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为(D) A．y＝(x＋2)2B．y＝x2＋2C．y＝(x－2)2D．y＝x2－24．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．抛物线开口方向对称轴顶点坐标最值y＝2x2＋2 向上y轴(0，2) 最小值2y＝－5x2－3 向下y轴(0，－3) 最大值－3y＝15x2＋1 向上y轴(0，1) 最小值1y＝－12x2－4 向下y轴(0，－4) 最大值－45.在同一直角坐标系中画出y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝－2x2＋3与抛物线y＝－2x2的图象有什么关系？解：如图所示：(1)抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2的图象向上平移3个单位长度得到．知识点2二次函数y＝ax2＋k的性质6．(河池中考)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(D) A．若y1＝y2，则x1＝x2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 27．对于二次函数y ＝3x 2＋2，下列说法错误的是(B )A ．最小值为2B ．图象与y 轴没有公共点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴8．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是上升(填“上升”或“下降”)．9．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为(0，－3)，对称轴为y 轴，当x>0时，y 随x 的增大而增大；当x<0时，y 随x 的增大而减小．因为a ＝3>0，所以y 有最小值，当x ＝0时，y 的最小值是－3．10．能否通过适当地上下平移二次函数y ＝13x 2的图象，使得到的新的函数图象过点(3，－3)，若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．解：设平移后的函数关系式为y ＝13x 2＋k ，把(3，－3)代入，得－3＝13×32＋k ，解得k ＝－6.∴把y ＝13x 2的图象向下平移6个单位长度，新的图象经过点(3，－3)．02 中档题11．(周口市期中)在同一直角坐标系中，二次函数y ＝－x 2＋m 与一次函数y ＝mx －1(m ≠0)的图象可能是(C)A BC D12．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是(A )A ．a>0B ．a<0C ．a ≥0D ．a ≤013．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为(D )A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c14．(郑州外国语中学质检)已知抛物线y ＝x 2－k 的顶点为P ，与x 轴交于点A ，B ，且△ABP 是正三角形，则k 的值是3．15．若抛物线y ＝ax 2＋k(a ≠0)与y ＝－2x 2＋4关于x 轴对称，则a ＝2，k ＝－4． 16．把y ＝－12x 2的图象向上平移2个单位长度．(1)求新图象的函数解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x 的值．解：(1)y ＝－12x 2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y 轴．(2)略．(3)x ＝0时，y 有最大值，为2.03 综合题17．(大连中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋14与y 轴相交于点A ，点B 在y 轴上，且在点A 的上方，AB ＝OA.(1)填空：点B 的坐标是(0，12)；(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b(其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC ，求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由．解：∵B 点坐标为(0，12)，∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12.令y ＝0，得kx ＋12＝0，解得x ＝－12k ，∴OC ＝－12k .∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12，∴PD ＝PC －CD ＝m －12.在Rt △PBD 中，由勾股定理可得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k )2，解得m ＝14＋14k 2，∴PB ＝14＋14k2.∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k2)．当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2，∴点P 在抛物线上．第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝a(x－h)2的图象1．(沈阳中考改编)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－2)2(a≠0)的图象可能是(D)2．(河南中考改编)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向右平移4个单位长度，则得到的抛物线解析式为(C ) A．y＝(x＋4)2B．y＝x2＋4C．y＝(x－4)2D．y＝x2－43．抛物线y＝－3(x＋1)2不经过的象限是(A)A．第一、二象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限4．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位长度后，经过点(－4，－4)，则a＝－1．5．在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．解：图象如图：抛物线y＝x2的对称轴是直线x＝0，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝(x＋2)2的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．抛物线y＝(x－2)2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为(2，0)．知识点2二次函数y＝a(x－h)2的性质6．(台州模拟)描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数y＝(x－2)2，下列说法：①图象经过(1，1)；②当x＝2时，y有最小值0；③y随x的增大而增大；④该函数图象关于直线x＝2对称．其中正确的是(B)A．①②B．①②④C．①②③④D．②③④7．如果二次函数y＝a(x＋3)2有最大值，那么a<0，当x＝－3时，函数的最大值是0.8函数开口方向对称轴顶点坐标增减性最值y＝－2x2向下y轴(0，0) 当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．y最大＝0y＝－2(x－5)2向下直线x＝5(5，0)当x＞5时，y随x的增大而减小；当x＜5时，y随x的增大而增大．y最大＝0y＝3(x＋3)2向上直线x＝－ 3(－3，0) 当x＞－3时，y随x的增y最小＝0大而增大；当x ＜－3时，y 随x 的增大而减小．9.已知抛物线y ＝－2(x －3)2，当x 1＞x 2＞3时，y 1＜y 2.(填“＞”或“＜”)10．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．解：当x ＝2时，有最大值，∴h ＝2. 又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2.解得a ＝－3.∴此抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2. 当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．02 中档题11．二次函数y ＝－14(x －2)2的图象与y 轴(B )A ．没有交点B ．有交点C ．交点为(1，0)D ．交点为(0，14)12．在同一直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋c 和二次函数y ＝a(x ＋c)2的图象大致为(B )13．若抛物线y ＝a(x －1)2上有一点A(3，5)，则点A 关于对称轴的对称点A′的坐标为(－1，5)．14．已知点P 在抛物线y ＝(x －2)2上，设点P 的坐标为(x ，y)，当0≤x ≤3时，y 的取值范围为0≤x ≤4．15．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为y 3<y 1<y 2．16．已知二次函数y ＝2(x －1)2的图象如图所示，则△ABO 的面积是1．17．已知一抛物线与抛物线y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．解：∵所求的抛物线与y ＝－12x 2＋3形状相同，开口方向相反，∴其二次项系数是12.又∵顶点坐标是(－5，0)，∴所求抛物线的解析式为y ＝12(x ＋5)2.18．二次函数y ＝a(x －h)2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．解：由题意，得C(h ，0)，y ＝12(x －h)2.∵OA ＝OC ，∴A(0，h)．将点A(0，h)代入抛物线的解析式，得12h 2＝h.∴h 1＝2，h 2＝0(不合题意，舍去)． ∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2.03 综合题19．如图，直线y 1＝－x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y 2＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A ，且经过点B.(1)求该抛物线的解析式；(2)直接写出当y 1≥y 2时x 的取值范围．解：(1)∵直线y 1＝－x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴点A 的坐标为(－2，0)，点B 的坐标为(0，－2)． ∵抛物线y 2＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为A ，设抛物线的解析式为y 2＝a(x ＋2)2， ∵抛物线过点B(0，－2)， ∴－2＝4a ，a ＝－12.∴y 2＝－12(x ＋2)2＝－12x 2－2x －2.(2)x ≤－2或x ≥0.第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质01基础题知识点1二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象1．(呼伦贝尔中考)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为(D)2．(洛阳市月考)抛物线y＝－(x＋2)2－5的顶点坐标是(C)A．(－2，5) B．(2，5)C．(－2，－5) D．(2，－5)3．(新疆中考)对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是(C)A．开口向下B．对称轴是x＝－1C．顶点坐标是(1，2)D．与x轴有两个交点4．(周口市期中)把抛物线y＝12(x－1)2＋2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为y＝12x 2.5．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1，0)．6．画出函数y＝(x－1)2－1的图象．解：列表：x …－2 －1 0 1 2 3 4 …y …8 3 0 －1 0 3 8 …描点并连线：知识点2二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质7．(台州中考)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B) A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)8．(义马市期中)若抛物线y ＝(x －m)2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为(B)A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．－1＜m ＜09．(河南中考)已知点A(4，y 1)，B(2，y 2)，C(－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 2＜y 1＜y 3．10．说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：抛物线开口方向对称轴顶点 y ＝－4(x ＋3)2＋5 向下直线x ＝－3 (－3，5) y ＝3(x ＋1)2－2 向上直线x ＝－1 (－1，－2) y ＝(x －5)2－7 向上直线x ＝5 (5，－7) y ＝－2(x －2)2＋6向下直线x ＝2(2，6)02 中档题11．已知二次函数y ＝2(x －3)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有(A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．若二次函数y ＝(x －m)2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(C )A ．m ＝1B ．m ＞1C ．m ≥1D ．m ≤1 13．如图，把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 平移2个单位长度后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物线的解析式是(C )A ．y ＝(x ＋1)2－1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝(x －1)2＋1D ．y ＝(x －1)2－114．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y ＝12(x＋1)2－1的图象．(1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向，对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数解析式为y ＝12(x ＋1－2)2－1－4，即y ＝12(x －1)2－5， ∴a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)它的开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5)．15．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得的图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．解：(1)设二次函数的解析式为y ＝a(x －1)2－4. ∵二次函数的图象过点B(3，0)，∴0＝4a －4.解得a ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)． ∴二次函数的图象向右平移1个单位长度后经过坐标原点，平移后所得的图象与x 轴的另一个交点的坐标为(4，0)．03 综合题16．(黄石中考)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x 表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧ax 2（0≤x ≤30），b （x －90）2＋n （30≤x ≤90），10：00之后来的游客较少可忽略不计． (1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？解：(1)由图象可知，300＝a ×302，解得a ＝13，n ＝700，b ×(30－90)2＋700＝300，解得b ＝－19.∴y ＝⎩⎨⎧13x 2（0≤x ≤30），－19（x －90）2＋700（30≤x ≤90）.(2)由题意，得－19(x －90)2＋700＝684，解得x ＝78. ∴684－6244＝15(分钟)． ∴15＋30＋(90－78)＝57(分钟)．答：馆外游客最多等待57分钟．周周练(22.1.1～22.1.3)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．二次函数y ＝ax 2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点(A )A ．(2，4)B ．(－2，－4)C ．(－4，2)D ．(4，－2)2．二次函数y ＝a(x －1)2＋b(a ≠0)的图象经过点(0，2)，则a ＋b 的值是(C )A ．－3B ．－1C ．2D ．33．(兰州中考)在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x ＝－2的是(A )A ．y ＝(x ＋2)2B ．y ＝2x 2－2C ．y ＝－2x 2－2D ．y ＝2(x －2)24．(河南模拟)如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C)A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2相同，但是顶点为(－2，0)的抛物线解析式为(B )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x －2)2D ．y ＝－12(x ＋2)26．若正比例函数y ＝mx(m ≠0)，y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y ＝mx 2＋m 的图象大致是(A )7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(A )A ．y ＝－3(x －1)2＋3B ．y ＝3(x －1)2＋3C ．y ＝－3(x ＋1)2＋3D ．y ＝3(x ＋1)2＋38．如图是相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是(B )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＞0，k ＞0二、填空题(每小题4分，共24分)9．已知y ＝mxm 2＋1的图象是不在第一、二象限的抛物线，则m ＝－1．10．(舟山中考)把抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是y ＝(x －2)2＋3．11．把二次函数y ＝x 2＋6x ＋4配方成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，得y ＝(x ＋3)2－5，它的顶点坐标是(－3，－5)． 12．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)为函数y ＝－2(x －1)2＋3图象上的两点，若x 1＞x 2＞1，则y 1，y 2的大小关系是y 1<y 2． 13．已知点A(x 1，10)，B(x 2，10)是函数y ＝3x 2＋18图象上不同的两点，当x ＝x 1＋x 2时，函数值y ＝18．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝13x 2于点B 、C ，则BC 的长为6．三、解答题(共44分)15．(10分)已知二次函数y ＝12(x ＋1)2＋4.(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；(2)画出此函数的图象，并说出此函数图象与y ＝12x 2的图象的关系．解：(1)抛物线的开口方向向上，顶点坐标为(－1，4)，对称轴为直线x ＝－1.(2)图象略，将二次函数y ＝12(x ＋1)2＋4的图象向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度可得到y ＝12x 2的图象．16．(10分)如图，已知▱ABCD 的周长为8 cm ，∠B ＝30°，若边长AB 为x cm .(1)写出▱ABCD 的面积y (cm 2)与x(cm )的函数关系式，并求自变量x 的取值范围； (2)当x 取什么值时，y 的值最大？并求出最大值．解：(1)过A 作AE ⊥BC 于E ， ∵∠B ＝30°，AB ＝x ， ∴AE ＝12x.又∵▱ABCD 的周长为8 cm ， ∴BC ＝4－x.∴y ＝AE·BC ＝12x(4－x)，即y ＝－12x 2＋2x(0＜x ＜4)．(2)y ＝－12x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2，∵a ＝－12，∴当x ＝2时，y 有最大值，其最大值为2.17．(12分)已知二次函数y ＝2x 2＋m.(1)若点(－2，y 1)与(3，y 2)在此二次函数的图象上，则y 1＜y 2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上，A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．解：∵二次函数y ＝2x 2＋m 的图象经过点(0，－4)，∴m ＝－4. ∵四边形ABCD 为正方形，又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y 轴为它们的公共对称轴， ∴OD ＝OC ，S 阴影＝S 矩形BCOE . 设点B 的坐标为(n ，2n)(n ＞0)．∵点B 在二次函数y ＝2x 2－4的图象上， ∴2n ＝2n 2－4.解得n 1＝2，n 2＝－1(舍去)． ∴B(2，4)．∴S 阴影＝S 矩形BCOE ＝2×4＝8.18．(12分)已知：如图，二次函数的图象与x 轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.(1)求二次函数的解析式；(2)设此二次函数图象的顶点为C ，与y 轴交点为D ，求四边形ABCD 的面积．解：(1)由抛物线的对称性知，它的对称轴是直线x＝－2＋42＝1.又∵函数的最大值为9，∴抛物线的顶点坐标为(1，9)．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋9，将B(4，0)代入，得a＝－1. ∴二次函数的解析式是y＝－(x－1)2＋9，即y＝－x2＋2x＋8.(2)当x＝0时，y＝8，即抛物线与y轴的交点D的坐标为(0，8)．过C作CE⊥x轴于E点．∴S四边形ABCD＝S△AOD＋S四边形DOEC＋S△BCE＝12×2×8＋12×(8＋9)×1＋12×3×9＝30.22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质第1课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质01 基础题知识点1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．(禹州市校级月考)抛物线y ＝－x 2＋4x －4的对称轴是(B)A ．直线x ＝－2B ．直线x ＝2C ．直线x ＝4D ．直线x ＝－42．(怀化中考)二次函数y ＝3x 2＋6x －1的开口方向、顶点坐标分别是(A )A ．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B ．开口向下，顶点坐标为(1，4)C ．开口向上，顶点坐标为(1，4)D ．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)3．(河南中考)在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是(A )A ．x<1B ．x>1C ．x<－1D ．x>－14．(天水中考)二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则a ＋b ＋1的值是(D )A ．－3B ．－1C ．2D ．35．(枣庄中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：x －1 0 1 2 3 y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为(D )A ．y 轴B ．直线x ＝52C ．直线x ＝2D ．直线x ＝326．(广东中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D )A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x<12，y 随x 的增大而减小D ．当－1<x<2时，y>07．(兰州中考)点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(D )A ．y 3>y 2>y 1B ．y 3>y 1＝y 2C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1＝y 2>y 38．(安阳市月考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过第二、三、四象限，则abc ≤0．9．(周口市期末)如图，已知抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x ＝2．10．(安阳月考)已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝－2x 与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象交于点A(－1，m)．(1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵点A(－1，m)在函数y ＝－2x 的图象上， ∴m ＝－2×(－1)＝2. ∴点A 坐标为(－1，2)． ∵点A 在二次函数图象上，∴－1－2＋c ＝2. 解得c ＝5.(2)∵二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋5， ∴y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6.∴对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，6)．知识点2 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象变换11．(临沂中考)要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2，下列平移方法正确的是(D )A ．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度12．(洛阳月考)抛物线y ＝2x 2＋3x －1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式是y ＝2(x －54)2＋78．02 中档题13．(安阳市月考)把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线y ＝x 2－3x ＋5，则有(A)A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝－9，c ＝－15C ．b ＝3，c ＝3D ．b ＝－9，c ＝2114．(义马市期中)对于二次函数y ＝－x 2＋2x.有下列四个结论：①它的对称轴是直线x ＝1；②设y 1＝－x 21＋2x 1，y 2＝－x 22＋2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0)；④当0＜x ＜2时，y ＞0.其中正确的结论的个数为(C)A ．1B ．2C ．3D ．415．(广元中考)设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为(A )A ．－1B ．1C .－1－52D .－1＋5216．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A 、B ，且过点C(5，4)．(1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a ，得25a －25a ＋4a ＝4，解得a ＝1. ∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－5x ＋4. ∵y ＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，∴顶点坐标为P(52，－94)．(2)答案不唯一，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为y ＝(x －52＋3)2－94＋4＝(x ＋12)2＋74，即y ＝x 2＋x ＋2.03 综合题17．(大连中考)如图，抛物线y ＝x 2－3x ＋54与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E.(1)求直线BC 的解析式；(2)当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．解：(1)令y ＝x 2－3x ＋54＝0，可得x ＝12或x ＝52，∴A(12，0)，B(52，0)．令x ＝0，则y ＝54，∴C(0，54)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎨⎧52k ＋b ＝0，b ＝54，解得⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝54.∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋54.(2)设点D(m ，m 2－3m ＋54)，则E(m ，－12m ＋54)．设DE 的长度为d ，∵点D 是直线BC 下方抛物线上一点，则d ＝－12m ＋54－(m 2－3m ＋54)＝－m 2＋52m＝－(m －54)2＋2516.∵a ＝－1＜0，∴当m ＝54时，d 最大＝2516.此时D 点的坐标为(54，－1516)．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式01 基础题知识点1 利用“三点式”求二次函数的解析式1．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表：x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y－27－13－3353则此二次函数的解析式为y ＝－2x －12x －13.2．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝6，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.4．(禹州校级月考)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(－1，0)．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A(3，0)，B(－1，0)， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －3)(x ＋1)，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．知识点2 利用“顶点式”求二次函数的解析式5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为(D )A ．y ＝2(x ＋1)2＋8B ．y ＝18(x ＋1)2－8C ．y ＝29(x －1)2＋8D ．y ＝2(x －1)2－86．已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y 轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式．解：∵抛物线的顶点坐标是(3，－1)，∴设二次函数解析式为y ＝a(x －3)2－1. 又∵图象过(0，－4)，∴－4＝a(0－3)2－1，解得a ＝－13.∴二次函数的解析式为y ＝－13(x －3)2－1.知识点3 利用“交点式”求二次函数的解析式 7．如图所示，抛物线的解析式是(D )A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋48．(河南校级模拟)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过点(－1，0)和点(3，0)，则抛物线的顶点横坐标是1．9．已知抛物线与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式．解：∵抛物线与x 轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1， ∴抛物线与x 轴的另一点坐标为(1，0)．设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)，将点(2，4)代入，得4＝a(2＋3)(2－1)，解得a ＝45.∴抛物线的解析式为y ＝45(x ＋3)(x －1)，即y ＝45x 2＋85x －125.02 中档题10．(南市期末)如图：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的一个交点是(－2，0)，顶点是(1，3)．下列说法中不正确的是(C)A ．抛物线的对称轴是x ＝1B ．抛物线的开口向下C ．抛物线与x 轴的另一个交点是(2，0)D ．当x ＝1时，y 有最大值是311．(河南一模)二次函数的图象如图所示，则其解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为直线x ＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为y ＝x 2－2x －3.13．(杭州中考)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的解析式为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2．14．(安阳月考)如图，抛物线y ＝－x 2＋5x ＋n 经过点A(1，0)，与y 轴交于点B.(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标．解：(1)由题意，得－1＋5＋n ＝0，解得n ＝－4.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋5x －4. (2)∵y ＝－x 2＋5x －4＝－(x －52)2＋94，∴抛物线对称轴为直线x ＝52，顶点坐标为 (52，94)．(3)∵点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，－4)，∴OA ＝1，OB ＝4.在Rt △OAB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝17， ①当PB ＝AB 时，PB ＝17， ∴OP ＝PB －OB ＝17－4.此时点P 的坐标为(0，17－4)， ②当PA ＝AB 时，OP ＝OB ＝4，此时点P 的坐标为(0，4)．综上：点P 的坐标为(0，17－4)或(0，4)．03 综合题15．(凉山中考)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标．。

数学(北京课改版)九年级上册课后零失误训练：20.2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象

零失误训练基础能力训练★回归教材注重基础◆二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象1.已知函数y =mx m 2+m ,当m =_____时,它的图象是开口向上的抛物线.2.已知抛物线的图象经过点(a ,4.5)和(－a ,y 1),则y 1的值是_____.221x y =3.函数的开口方向是______,对称轴是______,顶点坐标是_______.6)3(212++-=x y 4.抛物线y =x 2－2x －3的对称轴是______,顶点坐标是______.5.二次函数的图象由函数的图象先向_____平移_____个单位长253212++=x x y 221x y =度,再向_____平移_____个单位长度得到的.6.二次函数y =ax 2+bx +c 中,a >0,b <0,c =0,则其图象的顶点应在第_____象限.7.抛物线y =x 2－2mx +m +2的顶点坐标在第三象限,则m 的取值范围为_____.8.已知二次函数y =x 2－2x －3的图象与x 轴交于A 、B 两点,在x 轴上方,抛物线上有一点C ,且△ABC 的面积等于10,则C 点的坐标为______.9.已知二次函数y =ax 2与一次函数y =3x －4的图象都经过(b ,2),则a =_____,b =_____；试写出一个经过(a ,b )点的抛物线的表达式_______.10.函数y =ax 2+bx +c 的图象与y =2x 2－3x －1的图象形状、大小相同,开口方向相反,则下面结论正确的是( )A.a =2,6=3,c =1B.a =－2,b 、c 为任意实数C.b =3,a 、c 为任意实数D.c =1,a 、b 为不等于0的实数11.(2008·长春)二次函数y =kx 2－6x +3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是()A.k >3 B.k >3且k ≠0 C.k ≤3 D.k ≤3且k ≠012.已知y =ax 2+bx +c 的图象如图20－2－4所示,则a 、b 、c 的值满足( )A.a <0,b >0,c >0B.a <0,b >0,c <0C.a <0,b <0,c >0D.a <0,b <0,c <013.如图20－2－5,一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是( )14.已知二次函数y =a (x +h )2+k 的图象如图20－2－6所示,则一次函数y =ax +hk 的图象不经过哪个象限?15.用配方法求二次函数图象的顶点坐标和对称轴.45351252+-=x x y 16.(2008·南通)巳知点A (－2,－c )向右平移8个单位得到点A ′,A 与A ′两点均在抛物线y =ax 2+bx +c 上,且这条抛物线与y 轴交点的纵坐标为－6,求这条抛物线的顶点坐标.17.画出函数y =x 2+x －2的图象,并根据图象回答下列问题：(1)求抛物线与坐标轴交点的坐标；(2)当x 取何值时,y >0?当x 取何值时,y <0?(3)当x 取何值时,y 随x 的增大而增大?x 取何值时,y 随x 的增大而减小?(4)求抛物线y =x 2+x －2的对称轴；(5)该函数有最大值还是有最小值?x 取何值时,y 有最大值(或最小值)?最大值(或最小值)是多少?综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用18.某市场经营一批进价为2元一件的商品,在市场调查中发现此商品的销售单价x (元)与日销售量y (件)之间有如下关系：销售单价x (元)35911销售量y (件)181462(1)在所给的直角坐标系(如图20－2－7)中：①根据表中提供的数据描出实数对(x ,y )的对应点；②猜测并确定日销售量y (件)与日销售单价x (元)之间的函数关系式,画出图象.(2)设经营此商品的日销售利润(不考虑其他因素)为P 元,根据日销售量规律：①试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数关系式,并求出日销售利润的最大值,试问日销售利润P 是否存在最小值?若有,请求出；若无,请说明理由.②在给定的直角坐标系中,画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图象简图,观察图象,写出x 、P 的取值范围.◆开放探索19.阅读材料,解答问题.阅读材料：当抛物线的函数关系式中含有字母系数时,随着系数中的字母的取值不同,抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y =x 2－2mx +m 2+2x －1,①有y =(x －m )2+2m －1,②∴抛物线的顶点坐标为(m ,2m －1).即 ⎩⎨⎧-==.12,m y m x ③③当m 的值变化时,x 、y 的值也随之变化,因而y 的值随x 值的变化而变化,将③代人④得,y =2x －1. ⑤可见,不论m 取任何实数,抛物线的顶点的纵坐标y 与横坐标x 都满足关系式：y =2x －1.解答问题：(1)在上述过程中,由①到②所用的数学方法是_______,其中运用了_______公式,由③④得到⑤所用的数学方法是______.(2)根据阅读材料提供的方法,确定抛物线y =x 2－2mx +2m 2－3m +1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.参考答案1答案：1 解析：由题意知，该函数为二次函数，所以m 2+m =2，解得m 1=－2，m 2=1，又因为图象开口向上，所以m =－2舍去，只取m =1.2答案：4.5解析：由题意知，a 2=9，a =±3，将(－a ，y 1)代入，进一2215.4a =221x y =步求得y 1=4.5.3答案：向下 x =－3 (－3，6)4答案：x =1 (1，－4) 解析：利用配方法可以得到结论，也可直接用对称轴和顶点坐标公式来求出结果.5答案：左 3 下 2 解析：由及2)3(2125)6(2125321222-+=++=++=x x x x x y 可知平移情况.221x y =6答案：四解析：由，可知抛物线的顶点必须在第四02>-=a b x 044422<-=-a b a b ac 象限.7答案：m <－1 解析：易得顶点坐标为(m ,－m 2+m +2).∵顶点在第三象限，∴⎩⎨⎧<++-<,02,02m m m 解不等式组得：m <－1.8答案：(4，5)或(－2，5)解析：因为二次函数与x 轴相交，所以令x 2－2x －3=0，解得x 1=－1，x 2=3，所以AB 之间的距离为4，S △ABC =×4×h =10，得h =5，即点C 的纵坐标为5，所以有5=x 2－2x －3，解21得：x 1=－2，x 2=4，所以C 点坐标为(4，5)或(－2，5).9答案：2 y =8x 2(答案不唯一) 解析：直接代入，先求b ，再进一步求a ，符合条件21的表达式可以由y =8x 2，等(答案不唯一).21102-=x y 10答案：B11答案：D 解析：由题意知：即⎩⎨⎧≠≥-0042k ac b ⎩⎨⎧≠≥⨯⨯--0034)6(2k k 解得k ≤3且k ≠0.注意：这里与x 轴也可能只有一个交点，因此勿忘b 2－4ac =0的情况.12答案：A 解析：因为图象开口向下，所以a <0.又因为抛物线与y 轴的交点在正半轴上，所以c >0.又因为，所以b >0，故选A 02>-ab 13答案：D14答案：解析：由二次函数y =a (x +h )2+k 的图象可知，因为抛物线的开口向上，所以a >0，因为抛物线的对称轴在y 轴的左侧，所以h >0，又因为抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，所以k <0，所以hk <0，由此可知，直线y =ax +hk 经过第一、三、四象限，则一次函数y =ax +hk 的图象不经过第二象限.15答案：解析：)34(125453512522+-=+-=x x x x y ,125)2(125]1)2[(12522--=--=x x ∴该函数图象的顶点坐标是(2，)，对称轴是x =2.125-16答案：解析：抛物线的解析式是y =x 2－4x －6，顶点坐标为(2，－10).17答案：解析：(1)与x 轴交点坐标是(－2，0)和(1，0)，与y 轴交点的坐标是(0，－2).(2)当x <－2或x >1时，y >0，－2<x <1时，y <0.(3)当x >时，y 随x 的增大而增大，当x <时，y 随x 的增大而减小.21-21-(4)对称轴为直线.21-=x(5)有最小值，当时，.21-=x 49－最小值=y 18答案：解析：(1)①如图所示.②函数关系式为y =－2x +24(0≤x ≤12)，函数图象如图a 所示.(2)①因为销售利润=售价－进货价，所以P =xy －2y .又因为y =－2x +24，所以P =y (x －2)=(－2x +24)(x －2)=－2(x －7)2+50.所以当x =7时，P 最大=50，又当x >12时，即销售单价大于12元时，此时无人购买，所以此时利润为P =0(x ≥12)，由实际意义知，当销售单价x =0时，此时利润P =－48，即为最小值.②根据实际意义，当0≤x <2时，亏本卖出；当x =－2或x =12时利润P =0；当x >12时，即高价卖，无人购买，此时利润P =0，如图b ，由图象可知x ≥0，－48≤P ≤50.19答案：解析：(1)配方法完全平方代入法(2)由，，把m m a b x =⨯--=-=12221344)132(4442222+-=-+-=-=m m m m m a b ac y x =m 代入y =m 2－3m +1得y =x 2－3x +1，即为抛物钱y =x 2－2mx +2m 2－3m +1的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.。

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5份

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ，令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++；（2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7，联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）。

九年级数学上册19《二次函数和反比例函数》二次函数与一元二次方程(一)课后练习北京课改版

二次函数与一元二次方程(一）课后作业1。

二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A. -8B. 8 C。

±8 D。

62. 已知二次函数y=x2—3x+m(m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A. x1=1，x2=-1 B。

x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=33. 若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0）,（x2,0），且x1＜x2，图象上有一点M(x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A. a＞0B. b2—4ac≥0C。

x1＜x0＜x2 D. a（x0—x1)（x0-x2）＜04。

若关于x的一元二次方程（x—2）(x—3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞—错误！未找到引用源。

;③二次函数y=(x—x1）（x—x2）+m的图象与x轴交点的坐标为(2，0）和（3，0)．其中，正确结论的个数是( ）A。

0 B. 1 C。

2 D. 35。

已知函数y=x2—2x-2的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2—2x-2-m=0的两个根为x1和x2且x1＜0，x2＞0．则m的取值范围是( ）A。

-3≤m≤—2 B。

—3＜m＜0 C。

-3＜m D. —2＜m6。

对于抛物线y=—mx2-4mx—n（m≠0）与x轴的交点为A(—1，0)，B（x2，0），则下列说法:①一元二次方程mx2+4mx+n=0的两根为x1=—1，x2=-3；②原抛物线与y轴交于C点,CE∥x轴交抛物线于E点,则CE=4;③点D(2，y1)，点F（-6,y2)在原抛物线上，则y2≤y1；④抛物线y=mx2+4mx+n与原抛物线关于x轴对称．其中正确的说法有（ )A。

①②③④ B。

①③④ C. ②③ D。

①②④7. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ )A. k＜2 B。

数学(北京课改版)九年级上册课后零失误训练：20.1二次函数

基础能力训练★回归教材注重基础 ◆二次函数的概念 1、已知y =(m 2－1)x m 2－m是二次函数,则m =_______、2、下列函数表达式中不是二次函数的是( )A 、y =3(x －1)2－1 B 、22x y = C 、52-=x y D 、y =(x +1)(x －2)◆列二次函数的表达式3、(2008·福州)已知抛物线y =x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m ,0),则代数式m 2－m +2 008的值为( )A 、2 006B 、2 007C 、2 008D 、2 0094、某品牌的空调原价6 000元,如果每年的降价率为x ,则两年后这种空调的价位为y 元,那么y 与x 之间的函数关系表达式为( )A 、y =6000(1－x )2B 、y =6 000(1－x )C 、y =6000－x 2D 、y =6 000(1+x )25、一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察到小球滚动的距离s (米)与滚动的时间t (秒)之间的关系可用数据表示为:则s (米)与t (秒)之间的关系表达式为( )A 、y =2tB 、y =2t 2+2C 、y =2t 2D 、y =2(t －1)2 6、有一个长方体木块,其长和宽相等,高比长多2米、(1)若长方体的长和宽用x (米)表示,则长方体的表面积S (米2)如何表示?(2)如果将长方体的表面涂上油漆,每平方米所需要的费用是5元,那么给每个长方体涂漆的费用用y 元表示,则y 的表达式是什么?(3)如果长方体的长是1米,那么给10个这样的长方体涂漆需要多少费用? 7、已知函数k kx x k k y -+++=2)(22、 (1)当k 取何值时是二次函数? (2)当k 取何值时是一次函数? 综合创新训练★登高望远课外拓展8、银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量、在我国,利率的调整是中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的,设人民币一年定期储蓄的年利率是x ,一年到期后、银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存,如果存款额是l 000元,那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式(不考虑利息税)、若考虑利息税(利息税是利息的20％)呢? 9、某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,按每件25元销售时,每月能卖210件,假定每月销售的数量y (件)是价格x (元/件)的一次函数、 (1)试求y 与x 的函数关系式；(2)如果以每件x 元销售时,每月可获利润为w 元,试写出w 与x 之间的关系式、它是x 的二次函数吗? ◆开放探索10、如图20－1－1所示,等腰Rt △ABC 以2米/秒的速度沿直线l 向正方形移动,直到AB 与CD 重合、设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为y 米2、 (1)写出y 与x 的函数关系表达式、(2)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?11、(2008·湖州)对于二次函数y =ax 2+bx +c ,如果当x 取任意整数时,函数值y 都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y =x 2+x +2)、(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式(不必证明)； (2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在,请说明理由、参考答案1答案:2 解析:因为是二次函数，所以m 2－m =2，解得m 1=－1，m 2=2、但当m =－1时，二次项系数m 2－1=0，故舍去，只取m =2、 2答案:C3答案:D 解析:把(m ，0)代人y =x 2－x －1得:m 2－m －1=0，所以m 2－m =1，所以m 2－m +2008=1+2008=2009、4答案:A 解析:因为y =6000(1－x )×(1－x )=6000(1－x )25答案:C 解析:可将表格中数据代人四个选择支试试，也可从表格t 与s 的数量关系中总结出其所具有的特征、6答案:(1)S =6x 2+8x (2)y =30x 2+40x (3)700元解析:对于(1)S =x 2+x 2+x (x +2)×4=6x 2+8x ；对于(2)y =(6x 2+8x )×5=30x 2+40x ；对于(3)(30×1+40×1)×10=700(元)、7答案:解析:(1)由二次函数的定义可知k 2+k ≠0，解得k ≠0且k ≠－1、(2)若为一次函数，则k 2+k =0，解得k 1=0,k 2=－1，但当k =0时，原式变为2=y 显然不是一次函数，所以舍去，只取k =－1、8答案:y =1 000x 2+2 000x +1 000(不考虑利息税) y =640x 2+1 600x +1 000(考虑利息税)解析:对于第一种情况:y =1 000(1+x )×(1+x )=1 000(1+x )2整理即得答案；对于第二种情况，y =1 000x ·(1－20％)+1 000+[1 000x ·(1－20％)+1 000]·x ·(1－20％)，整理得y =640x 2+1 600x +1 000、9答案:解析:(1)设y 与x 的关系式为y =kx +B 、由题意知，x =20，y =360和x =25，y =210符合上述关系式，故⎩⎨⎧+=+=,25210,20360b k b k 有解得k =－30，b =960， ∴y 与x 的函数关系式为y =－30x +960、 (2)设每月的销售利润为w ，则 w =y ·(x －16)=(－30x +960)(x －16) w =－30x 2+1440x －15 360、显然，w 是x 的二次函数、10答案:解析:对于(1)设经过x 秒后的图形如图所示:则CC ′=2x ，△C 'CE ∽△C 'BA ，所以B C''CC AB CE =,即424x CE =，解得CE =2x ，所以，y =21CC ′·CE =21·2x ·2x =2x 2、 (2)由题意知84421=⨯⨯=y ，即8=2x 2，解得x =±2 (舍负)，取x =2(秒)、11答案:解析:(1)如:x x y 21212+=，x x y 21212-=－等等(只要写出一个符合条件的函数解析式即可)(2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y =ax 2+bx +c ，当x =0时，y =c ；当x =1时，y =a +b +C 、由整点抛物线定义可知:c 为整数，a +b +c 为整数，所以a +b 必为整数，又当x =2时，y =4a +2b +c =2a +2(a +b )+c 是整数，所以2a 必为整数，从而a 应为21的整数倍，因为a ≠0，所以21||≥a ,所以不存在二次项系数的绝对值小于21的整点抛物线、。

初三数学二次函数专题训练(含答案)-[1]

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二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ,接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是，最大值是 .3。

正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加y,那么y 与x 之间的函数关系是。

4。

二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 1与x 2的关系是。

6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是，当a ，b 同号时,对称轴在y 轴侧，当a ，b 异号时,对称轴在y 轴侧。

7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ,对称轴是，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是 .8.若a 0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第象限;当x 4a -时,函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a0时，图象的开口a 0时,图象的开口 ,顶点坐标是。

10。

抛物线2)(21h x y --=,开口 ,顶点坐标是，对称轴是 .11。

初中九年级数学上册《二次函数》同步测试附加答案

二次函数22.1__二次函数的图象和性质__ 22．1.1 二次函数 [见B 本P12]1．下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝x －22．二次函数y ＝3x 2－2x －4的二次项系数与常数项的和是( B ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－63．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)中，h 与t 之间的关系是( C )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对4．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( A ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－35．如图22－1－1所示，在直径为20 cm 的圆形铁片中，挖去了四个半径都为x cm 的圆，剩余部分的面积为y cm 2，则y 与x 间的函数关系式为( C )图22－1－1A ．y ＝400π－4πx 2B ．y ＝100π－2πx 2C ．y ＝100π－4πx 2D ．y ＝200π－2πx 2【解析】 S 剩余＝S 大圆－4S 小圆＝π·⎝⎛⎭⎫2022－4πx 2＝100π－4πx 2，故选C.6．二次函数y ＝2x (x －3)的二次项系数与一次项系数的和为( D ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4【解析】 y ＝2x (x －3)＝2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和＝2＋(－6)＝－4，故选D.7．下列函数关系式，可以看作二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)模型的是( D ) A ．圆的周长与圆的半径之间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，我国人口总数随年份的变化关系C ．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D ．正方体的表面积与棱长的关系【解析】 A 中，圆的周长C 与圆的半径r 是一次函数C ＝2πr ；B 中，若我国原有人口为a ，x 年后人口数为y ＝a (1＋1%)x 也不属于二次函数；C 中距离一定，速度与时间为反比例函数；只有D 中表面积S 与棱长a 的关系为S ＝6a 2，符合二次函数关系式．8．二次函数y ＝ax 2中，当x ＝－1时，y ＝8，则a ＝__8__．【解析】将x ＝－1，y ＝8代入y ＝ax 2中，解得a ＝8.图22－1－29．如图22－1－2所示，长方体的底面是边长为x cm 的正方形，高为6 cm ，请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S ＝__24x __，长方体的体积为V ＝__6x 2__，各边长的和L ＝__8x ＋24__，在上面的三个函数中，__V ＝6x 2__是关于x 的二次函数．【解析】长方体的侧面展开图的面积S ＝4x ×6＝24x ；长方体的体积为V ＝x 2×6＝6x 2；各边长的和L ＝4x ×2＋6×4＝8x ＋24，其中，V ＝6x 2是关于x 的二次函数． 10．若y ＝x m 是关于x 的二次函数，则(m ＋2 011)2＝__2__013__．【解析】由y ＝x m 是关于x 的二次函数，得m ＝2，所以(m ＋2 011)2＝( 2 013)2＝2 013. 11．已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x 的二次函数，则常数a 的取值范围是__a ≠－2__．【解析】 ∵二次函数中，二次项系数不能为0，∴a ＋2≠0，即a ≠－2. 12．已知函数y ＝(k 2－4)x 2＋(k ＋2)x ＋3， (1)当k __≠±2__时，它是二次函数； (2)当k __＝2__时，它是一次函数．【解析】根据一次函数、二次函数定义求解． (1)k 2－4≠0，即k ≠±2时，它是二次函数．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧k 2－4＝0，k ＋2≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2. ∴k ＝2. 13．把8米长的钢筋，焊成一个如图22－1－3所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请你写出钢筋所焊成框架的面积y (平方米)与半圆的半径x (米)之间的函数关系式．图22－1－3解：半圆面积：12πx 2，矩形面积：2x ×12×(8－2x －πx )＝8x －(2＋π)x 2，∴y ＝12πx 2＋8x －(2＋π)x 2，即y ＝－⎝⎛⎭⎫12π＋2x 2＋8x .14．若y ＝(m －1)xm 2＋1＋mx ＋3是二次函数，则m 的值是( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．2【解析】根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1＝2，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1，故选B. 15．如果函数y ＝(m －3)xm 2－3m ＋2＋mx ＋1是二次函数，求m .解：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝2，m －3≠0，解得m ＝0.16．如图22－1－4，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20 cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以2 cm/s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，求(1)重叠部分的面积y (cm 2)与时间t (s)之间的函数关系式和自变量的取值范围．(2)当t ＝1，t ＝2时，重叠部分的面积．图22－1－4解：(1)∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN ＝2t ，∴AM ＝MN －AN ＝20－2t ， ∴MH ＝AM ＝20－2t ，∴重叠部分的面积为y ＝12(20－2t )2＝2t 2－40t ＋200.所以自变量的取值范围为0≤t ≤10. (2)当t ＝1时，y ＝162(cm 2) 当t ＝2时，y ＝128(cm 2)．17．如图22－1－5，小亮家去年建了一个周长为80 m 的矩形养鱼池． (1)如果设矩形的一边长为x m ，那么另一边的长为________m ；(2)如果设矩形的面积为y m 2，那么用x 表示y 的表达式为y ＝________，化简后为y ＝________；(3)根据上面得到的表达式填写下表：x 5 10 15 20 25 30 35 y(4)请指出上表中边长x 为何值时，矩形的面积y 最大．图22－1－5【解析】 S 矩形＝长×宽，(1)另一边长为12(80－2x )＝(40－x )m.解：(1)40－x .(2)x (40－x )，－x 2＋40x .(3)175，300，375，400，375，300，175. (4)当x ＝20时，y 最大为400 m 2.18．如图22－1－6，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．图22－1－6第18题答图解：如图，把△ABC 绕A 逆时针旋转90°到△ADE ，则BC ＝DE ，AC ＝AE . 设BC ＝k ，则AC ＝AE ＝4k ，DE ＝k ，过D 作DF ⊥AC 于F ，则AF ＝DE ＝k ， CF ＝3k ，DF ＝4k ，由勾股定理得CF 2＋DF 2＝CD 2， ∴(3k )2＋(4k )2＝x 2， ∴x 2＝25k 2，∴k 2＝x 225. y ＝S 四边形ABCD ＝S 梯形ACDE ＝12(DE ＋AC )·AE ＝12(k ＋4k )·4k ＝10k 2＝10×x 225＝25x 2，故y 与x 之间的函数关系式为y ＝25x 2.数学选择题解题技巧1、排除法。

九年级数学上册19二次函数和反比例函数实际问题与二次函数一课后练习新版北京课改版

10.进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，天天可销售40件，售价每涨1元，天天少销售1件，当售价为55 元时天天销售该商品取得利润最大，最大利润是元.
三. 解答题
11.2020年5月9日，我市成立了首支食物药品犯法侦缉支队，专门冲击危害食物药品平安的违法犯法行为，食物平安已愈来愈受到人们的关注. 我市某食物加工企业严把质量关，踊跃生产“绿色健康”食物，由于受食物原料供给等因素的阻碍，生产“绿色健康”食物的产量随月份增加呈下降趋势. 今年前5个月生产的“绿色健康”食物y（吨）与月份（x）之间的关系如下表：
当EF2+FG2+GH2+HE2最小为8时，可得，
AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH，
即E、F、G、H为正方形ABCD四边的中点，
由此得出四边形EFGH为正方形，其面积为EF2=BF2+BE2=2.
故填2.
8.答案：4.5.
解析：设他用x分钟才能抵达队首，
依照题意得：（80-60）x=90，
解得：x=4.5，
那么他用4.5分钟才能抵达队首.
故答案为：4.5
9. 答案：57.5
解析：设售价为x，那么销售个数为500-20（x-50）
∴y=（x-40）×（500-20x+1000）
=-20（x-40）（x- 75）
=-20（x2-115x+3000）
=-20（x-57.5）2-60000+66125
经调查得知，假设咱们把每日租金定价为160元，那么可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人. 每间住了人的客房每日所需效劳、维修等项支出共计40元. 定价（）才能赚最多的钱.
A. 160B. 240C. 360D. 450

人教版九年级数学上册：二次函数的图象和性质同步练习附加答案

22.1.2 二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质（三）知识点:1、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的对称轴为，顶点坐标为。

2、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 的形状，位置，将抛物线)0(2≠=a ax y 进行平移可得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ，平移规律为：当0,0>>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0><k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<<k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；3、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象特点：0>a 时，抛物线开口向，左右，顶点最； 0<a 时，抛物线开口向，左右，顶点最；一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小 3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y 4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-1 6、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是，顶点坐标是；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最值为。

数学(北京课改版)九年级上册课后零失误训练：20.3二次

零失误训练基础能力训练★回归教材注重基础◆二次函数解析式的确定1.写出图象经过点(1,0)、(0,1)的三个不同的函数解析式_____、_____、_____.2.对称轴与y轴平行,顶点是(1,－1),且与二次函数y=－2x2的图象形状一样的抛物线的解析式是_____.3.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),当k取不同值时,其顶点在同一直线上移动,则此直线的解析式为_____.4.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和(5,0),则该抛物线的表达式为_______.5.如果一个二次函数的图象开口向下,其对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),试写出一个满足上述要求的函数表达式________.6.一个二次函数的图象经过A(0,0)、B(－1,－11)、C(1,9)三点,求这个二次函数的解析式.7.在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,二次函数y=x2+(k－5)x－(k+4)的图象交x轴于点A(x1,0)、B(x2,0),且(x1+1)(x2+1)=－8.(1)求二次函数的表达式.(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位长度,设平移后的图象与y轴的交点为C,顶点为P,求△POC的面积.8.(2008·宁波)如图20－3－2所示,ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A、B.(1)求点A、B、C的坐标；(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.9.设抛物线C1:y=ax2+bx+c经过A(－1,2)、B(2,－1)两点,且与y轴相交于点M.(1)求b和c(用含a的代数式表示)；(2)求在抛物线C2:y=ax2－bx+c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；(3)在第(2)小题所求出的点中,有一个点也在抛物线y=ax2+bx+c上,试判断直线AM和x轴的位置关系,并说明理由.综合创新训练★登高望远课外拓展◆创新应用10.(2008·大连)如图20－3－3所示,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)、B(3,2).(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x 2+bx+c>x+m 的解集(直接写出答案)◆开放探索11.阅读下面文字,解答问题：有这样一道题目：“已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A(0,a)、B(1,－2),,则这个二次函数图象的对称轴为x=2.”题目中的矩形部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.(1)根据现有信息,你能否求出题目中二次函数的表达式?若能,写出求解过程；若不能,说明理由.(2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,填加一个适当的条件,把原题补充完整.12.抛物线的表达式y=ax 2+bx+c 满足四个条件：abc=0,a+b+c=3,ab+bc+ca=－4,a<b<c.(1)求这条抛物线的表达式.(2)设该抛物线与x 轴的两交点分别为A 、B(A 在B 的左边),与y 轴的交点为C,P 是抛物线上第一象限内的点,AP 交y 轴于点D,OD=1.5,试比较S △AOD 与S △DPC 的大小.参考答案1答案：y=－x+1 y=－x 2+1 y=x 2－2x+1解析：本题是开放性题目，答案只要满足条件即可.2答案：y=－2(x －1)2－1或y=－2x 2+4x －33答案：y=－x 解析：抛物线的顶点坐标为(－k ，k).4答案：252212++-=x x y 5答案：y=－x 2 y=－3x 2等解析：本题答案不唯一，只要所给答案合理即可.6答案：y=－x 2+10x7答案：解析：(1)由题意知，x 1、x 2是方程x 2+(k －5)x －(k+4)=0的两个根，则x 1+x 2=5－k ，x 1·x 2=－(k+4)，由(x 1+1)(x 2+1)=－8，即x 1·x 2+(x 1+x 2)=－9，得－(k+4)+(5－k)=－9，解得k=5，则所求二次函数的表达式为y=x 2－9.(2)由题意，平移后的图象的函数表达式为y=(x －2)2－9，则点C 的坐标为(0，－5)，顶点P 的坐标为(2，－9)，所以△POC 的面积S=21×5×2=5. 8答案：解析：(1)点C 的坐标为(4，8)、点A 、B 的坐标分别为A(2，0)，B(6，0).(2)平移后抛物线的解析式为y=－2(x －4)2+40，即y=－2x 2+16x+8.9答案：解析：(1)∵抛物线经过A(－1，2)、B(2，－1)两点，∴⎩⎨⎧-=++=+-.124,2c b a c b a 解得b=－a －1，c=l －2a. (2)由(1)，得抛物线的解析式是y=ax 2+(a+1)x －2a.根据题意，得ax 2+(a+1)x －2a=x ，即ax 2+ax －2a=0.∵a ≠0，∴方程的解是x 1=1，x 2=－2.又y=x ，∴抛物线C 2上满足条件的点的坐标是P 1(1，1)，P 2(－2，－2).(3)由(1)得抛物线C 1的解析式是y=ax 2－(a+1)x+1－2a.①当P 1(1，1)在抛物线C 1上时，有a －(a+1)+1－2a=1，解得21-=a ，这时抛物线C 1的解析式是221212+--=x x y ，它与y 轴的交点是M(0,2).∵点A(－1,2),M(0,2)两点的纵坐标相等，∴直线AM 平行于x 轴. ②当P 2(－2，－2)在抛物线C 1上时，得45-=a ，这时抛物线C 1与y 轴的交点是M(0，27).显然，A 、M 两点的纵坐标不相等,∴直线AM 与x 轴相交.10答案：解析：(1)因为直线y=x+m 经过点A(1，0)，所以0=1+m ，所以m=－1,因为抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(1,0)、B(3,2),所以⎩⎨⎧++=++=c b c b 39210解得⎩⎨⎧=-=23c b ，∴抛物线的解析式为y=x 2－3x+2.(2)x>3或x<111答案：解析：(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2),故有⎩⎨⎧++=-=②.2①,c b a c a ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2, ∴22=-ab . ③ 由①、②、③组成方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++=,22,2,ab c b a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.1,4,1c b a ∴能求出此二次函数的表达式,且表达式为y=x 2－4x+1.(2)可补充的条件有(选其一即可)：①满足函数表达式的任一点的坐标,如“图象过点(3,－2)等”；②a=1或b=－4或c=1；③与y 轴的交点坐标为(0,1)；④顶点的坐标为(2,－3)；⑤b 2－4ac=12；⑥与x 轴的交点坐标为(32-,0)或(32+,0)等等.12答案：解析：(1)y=－x 2+4.(2)在y=－x 2+4中,当y=0时,x=±2∴A 、B 两点的坐标分别为A(－2,0)、B(2,0),过P 作PG ⊥x 轴于G ，设P(m ，n).∵OD ∥PG ，OD=1.5，∴PG OD AG OA =,即45.1222+-=÷m m ,解得：451=m ，m 2=－2(不合题意，舍去)，∴OG=45.∵当x=0时，y=4，∴点C 的坐标为(0，4)，∴DC=OC －OD=4－1.5=2.5. ∴S △PDC =162545252121=⨯⨯=∙OG CD . S △AOD =1624232232121==⨯⨯=∙OD AO ， ∴S △PDC >S △AOD .。

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20.1 二次函数
基础能力训练★回归教材注重基础 ◆二次函数的概念
1.已知y=(m 2－1)x m2－m
是二次函数,则m=_______. 2.下列函数表达式中不是二次函数的是( )
A.y=3(x －1)2
－1 B.2
2
x y = C.52-=x y D.y=(x+1)(x －2)
◆列二次函数的表达式
3.(2008·福州)已知抛物线y=x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m,0),则代数式m 2
－m+2 008的值为( )
A.2 006
B.2 007
C.2 008
D.2 009
4.某品牌的空调原价6 000元,如果每年的降价率为x,则两年后这种空调的价位为y 元,那么y 与x 之间的函数关系表达式为( )
A.y=6000(1－x)2
B.y=6 000(1－x)
C.y=6000－x 2
D.y=6 000(1+x)2
5.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察到小球滚动的距离s(米)与滚
则s(米)与t(秒)之间的关系表达式为( )
A.y=2t
B.y=2t 2+2
C.y=2t 2
D.y=2(t －1)2
6.有一个长方体木块,其长和宽相等,高比长多2米.
(1)若长方体的长和宽用x(米)表示,则长方体的表面积S(米2
)如何表示?
(2)如果将长方体的表面涂上油漆,每平方米所需要的费用是5元,那么给每个长方体涂漆的费用用y 元表示,则y 的表达式是什么?
(3)如果长方体的长是1米,那么给10个这样的长方体涂漆需要多少费用? 7.已知函数k kx x k k y -+++=2)(22.
(1)当k 取何值时是二次函数? (2)当k 取何值时是一次函数?
综合创新训练★登高望远课外拓展 ◆创新应用
8.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的,设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后.银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存,如果存款额是l 000元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).若考虑利息税(利息税是利息的20％)呢?
9.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,按每件25元销售时,每月能卖210件,假定每月销售的数量y(件)是价格x(元/件)的一次函数. (1)试求y 与x 的函数关系式；
(2)如果以每件x 元销售时,每月可获利润为w 元,试写出w 与x 之间的关系式.它是x 的二次函数吗?
◆开放探索
10.如图20－1－1所示,等腰Rt△ABC 以2米/秒的速度沿直线l 向正方形移动,直到AB 与
CD 重合.设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为y 米2
. (1)写出y 与x 的函数关系表达式.
(2)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?
11.(2008·湖州)对于二次函数y=ax 2
+bx+c,如果当x 取任意整数时,函数值y 都是整数,那么
我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2
+x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式(不必证明)； (2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于2
1
的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在,请说明理由.
参考答案
1答案：2 解析：因为是二次函数，所以m 2
－m=2，解得m 1=－1，m 2=2.但当m=－1时，二
次项系数m 2
－1=0，故舍去，只取m=2. 2答案：C
3答案：D 解析：把(m ，0)代人y=x 2－x －1得：m 2－m －1=0，所以m 2－m=1，所以m 2
－m+2008=1+2008=2009.
4答案：A 解析：因为y=6000(1－x)×(1－x)=6000(1－x)2
5答案：C 解析：可将表格中数据代人四个选择支试试，也可从表格t 与s 的数量关系中总结出其所具有的特征.
6答案：(1)S=6x 2+8x (2)y=30x 2
+40x (3)700元
解析：对于(1)S=x 2+x 2+x(x+2)×4=6x 2
+8x ；
对于(2)y=(6x 2+8x)×5=30x 2
+40x ；对于(3)(30×1+40×1)×10=700(元).
7答案：解析：(1)由二次函数的定义可知k 2
+k ≠0，解得k ≠0且k ≠－1.
(2)若为一次函数，则k 2
+k=0，解得k 1=0,k 2=－1，但当k=0时，原式变为2 y 显然不是一次函数，所以舍去，只取k=－1.
8答案：y=1 000x 2
+2 000x+1 000(不考虑利息税)
y=640x 2
+1 600x+1 000(考虑利息税)
解析：对于第一种情况：y=1 000(1+x)×(1+x)=1 000(1+x)2
整理即得答案；对于第二种情况，y=1 000x ·(1－20％)+1 000+[1 000x ·(1－20％)+1 000]·x ·(1－20％)，
整理得y=640x 2
+1 600x+1 000.
9答案：解析：(1)设y 与x 的关系式为y=kx+b.
由题意知，x=20，y=360和x=25，y=210符合上述关系式，故
⎩
⎨⎧+=+=,25210,20360b k b k 有解得k=－30，b=960， ∴y 与x 的函数关系式为y=－30x+960. (2)设每月的销售利润为w ，则
w=y·(x－16)=(－30x+960)(x －16)
w=－30x 2
+1440x －15 360. 显然，w 是x 的二次函数.
10答案：解析：对于(1)设经过x 秒后的图形如图所示：
则CC ′=2x ，△C'CE ∽△C'BA ，所以B C''
CC AB CE =,即4
24x CE =，解得CE=2x ，所以，y=
21CC ′·CE=2
1·2x ·2x=2x 2
. (2)由题意知8442
1=⨯⨯=y ，即8=2x 2
，解得x=±2 (舍负)，取x=2(秒).
11答案：解析：(1)如：x x y 2
1212+=，x x y 21
212-=－等等(只要写出一个符合条件的
函数解析式即可)
(2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线y=ax 2
+bx+c ，当x=0时，y=c ；当x=1时，y=a+b+c.由整点抛物线定义可知：c 为整数，a+b+c 为整数，所以a+b 必为整数，又当x=2时，y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c 是整数，所以2a 必为整数，从而a 应为2
1
的整数倍，因为a ≠0，所以21||≥a ,所以不存在二次项系数的绝对值小于2
1
的整点抛物线.。