工程数学教案12行列式的性质与计算
行列式知识点
行列式知识点
行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。
一、行列式的定义
行列式是一个与矩阵相关的数值。对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。
二、行列式的性质
1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。
2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。
3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。
4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。
三、行列式的计算方法
1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。
2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开
定理进行计算。具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行
列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。
四、行列式的应用
1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。若系数
矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无
解或有无穷解。
2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，
且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法
行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质
1. 行列式与转置矩阵
矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即
$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$
2. 行列式的行列互换
行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。行列互换会改变行列式的符号，即
$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$
其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合
如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即
$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法
行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质
1.1 行列式的定义
对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：
$$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-
1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots
a_{n\sigma(n)}$$
其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的
置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质
- 行列式的值不变性
行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性
组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号
将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$
将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以
行列式定义性质与计算
2023-11-06
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的计算方法 • 行列式在解线性方程组中的应用 • 行列式在矩阵运算中的应用
01
行列式的定义
二阶行列式定义
01
Βιβλιοθήκη Baidu
二阶行列式是由2行2列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
02
二阶行列式的一般形式为：D=a11a22-a12a21。
值。
05
行列式在矩阵运算中的应 用
矩阵乘法中行列式的应用
总结词
矩阵乘法中，行列式具有简化计算的作用。
详细描述
在矩阵乘法中，行列式可以用来简化计算过程。这是因为，当我们计算两个矩阵的乘积时，可以通过 对每行进行操作来获得结果矩阵的每个元素。而行列式就是对每行元素进行操作的简便方式。通过使 用行列式，我们可以更快地计算出矩阵乘积。
二阶行列式可以用来求解线性方程组、判断线性相关性等。
03
三阶行列式定义
三阶行列式是由3行3列组成的矩阵，其值由其元素的代数余子 式决定。
三阶行列式的一般形式为： D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31a12a21a33-a11a23a32。
三阶行列式可以用来求解三元一次方程组、判断线性相关性等 。
线性代数之行列式的性质及计算
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质
考虑11
1212122212n
n
n n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
将它的行依次变为相应的列，得 11
21112
222
12n n T
n
n nn
a a a a a a D a a a =
L L L L L L L
称T D 为D 的转置行列式 .
性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）
事实上，若记111212122212n
n
T n n nn
b b b b b b D b b b =
L
L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L
1212()
12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L
L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L
说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行(i j r r ↔)或两列(i j c c ↔)，行列式变号.
例如 123
123086351.351
086
=- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =.
性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212
n n i i in i i in n n nn n n nn
12行列式的性质与计算1111
x+1+…+n 2 3 n
x+ x x 0 0
x+ x 0 x 0
x+ x 0 0 x
x 00
(
x
n(n 2
1)
)
0
x
0
0 0x n1
xn1( x n(n 1)). 2
a b bb b a bb 例4: 计算n 阶行列式 D b b a b b b ba
an1 an2 (ani an i ) ann
a11 a1i a1n a11 a1i a1n a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 ani ann
如果
解: 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
a n 1b a b b
Biblioteka Baidu
D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
5 0 0 2 3 55
0 0 0 11 4
例3: 计算
x1 2 3 n
1.2行列式的性质与计算
1 3 2 = 12. 0 −6
举例P9 举例 1.8，1.9，1.10， ， ， ， 1.11，1.12，1.13 ， ，
1.5 行列式的某两行或列互换 行列式改变符号 行列式的某两行或列互换,行列式改变符号
a11 M ai1 M a j1 M an1 a12 M ai 2 M a j2 M an 2 L a1n M L ain M =− L a jn M L ann a11 M a j1 M ai1 M an1 a12 M a j2 M ai 2 M an 2 L a1n M L a jn M L ain M L ann
1 −2 −1 3 −2
−1 2 −2 1 2 0 0 −1 0 2 −1 2 −2 1 0 1 0 0 0 0
−3 1 −5 3 ⊕ 4 −1 0 −2 2 −2 −3 1 −5 3 −1 2 −1 0 ⊕ × 4 4 −6
1 0 =−0 0 0
−1 −2 0 0 0
2 1 1 0 0
−3 −5 −1 −1 0
1.6 行列式中某两行或列相同 则行列式为零 行列式中某两行或列相同,则行列式为零 1.7 行列式中某两行或列成比例 则行列式为零 行列式中某两行或列成比例,则行列式为零
1.8 行列式中某一行或列的元均可表示为两个元之和 则行列式可表示为如下两个行列式之和
L a11 a12 a1n a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n M M M M M M M M M bi1 + ci1 bi 2 + ci 2 L bin + cin = bi1 bi 2 L bin + ci1 ci 2 L cin M M M M M M M M M an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann an1 an 2 L ann
1.2 行列式的性质与计算
意义 行列式中的 “行” 与 “列” 具有同等的地位，
因此凡是对“行”成立的性质对“列”也同样成 立. 比如， 行列式 D 亦可依行展开，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ai n Ai n
P 8 推论
(1 i n) .
3
§1.2 行列式的性质与计算 第 证明 (利用数学归纳法证明) 对 1 阶行列式，性质显然成立； 一 假设对于 n 1 阶行列式成立，则对于 n 阶行列式有 章 行 列 式
11
P8
a21 a n1
a11 a 21 a n1
a22 (a2 i b2 i ) a2 n , an 2 (an i bn i ) an n
a1i a1n a11 a 2 i a 2 n a 21 a n i a nn a n1 b1i a1n b2 i a 2 n . bni a n n
§1.2 行列式的性质与计算 第 四、关于代数余子式的重要性质 一 a11 a12 a13 章 引例 已知 a11 A11 a 21 A21 a 31 A31 a 21 a 22 a 23 , a 31 a 32 a 33 行 列 式
4 a12 a13 5 a 22 a 23 ; 问 (1) 4 A11 5 A21 3 A31 ? 3 a 32 a 33 b1 a12 a13 b2 a 22 a 23 ; ( 2) b1 A11 b2 A21 b3 A31 ? b3 a 32 a 33 a12 a12 a13 a 22 a 22 a 23 0 . ( 3) a12 A11 a 22 A21 a 32 A31 ? a 32 a 32 a 33
行列式的性质与计算
行列式的性质与计算
行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个非常重要的工具，在数学和许多其他领域中都有广泛的应用。行列式的性质和计算是学习线性代数的基础之一。
一、行列式的定义
行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质
1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描
述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的
元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。即，如果i=j，那么
Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式
相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相
等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来
的行列式相等。
三、行列式的计算
行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。下面介绍几种常见的计算方法：
1.利用定义计算
根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数
行列式计算教学设计
行列式计算教学设计
介绍
本教学设计旨在帮助学生理解和掌握行列式的计算方法。通过合理的教学安排和教学策略，学生将能够正确地计算行列式并应用它们解决实际问题。
教学目标
- 理解行列式的概念和性质
- 掌握行列式的计算方法
- 能够应用行列式解决实际问题
- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力
教学内容
1. 行列式的定义和基本性质
2. 行列式的计算方法
3. 行列式的性质与应用
4. 利用行列式解决线性方程组
教学步骤
1. 介绍行列式的定义和基本性质，通过示例说明行列式的概念
和特点。
2. 讲解行列式的计算方法，包括按行展开和按列展开两种方法。通过实例演示和练，让学生掌握计算行列式的步骤和技巧。
3. 引导学生在解决实际问题时应用行列式，如求解二元线性方
程组、计算面积和体积等。通过实例讲解和练，培养学生的应用能力。
4. 强化学生对行列式性质的理解和应用，如行列式的性质与矩
阵运算的关系、行列式的性质与方程解的关系等。通过实例演示和
思考题让学生深入理解。
5. 针对行列式的应用领域，如数学、物理、工程等，引导学生
探索更多实际问题，并鼓励他们用行列式解决这些问题。
6. 总结教学内容，让学生回顾和巩固所学知识。
教学评估
1. 练题和作业：布置相关练题和作业，检验学生对行列式的计算和应用能力。
2. 课堂参与和回答问题：观察学生在课堂上的参与度和回答问题的准确性与深度，评估他们的理解和掌握程度。
3. 实际问题解决能力：观察学生在实际问题中是否能够灵活运用行列式进行解决，评估他们的应用能力。
教学资源
1. 教材：使用相关教材中的行列式章节作为主要教学内容的依据。
行列式的性质与计算
主要内容: 一、行列式的性质 二、行列式的计算 三、思考与练习
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
DT
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a12
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。
式乘积之和等于０.
ai1 A j1
ai2 Aj2
ain Ajn
D, i
0,
i
j j
a1i
A1 j
a2i
A2 j
ani
Anj
D, i
0,
i
j j
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。
an1 ani anj anj
a11
ci
kc j
a21
an1
(a1i ka1 j ) (a2i ka2 j )
(ani kanj )
a1 j a2 j
anj
a1n a2 j
anj
工程数学教案行列式的性质与计算
教案头
教学详案
一、 回顾导入（20分钟）
——复习行列式概念, 根据定义计算一个四阶行列式, 通常需要计算四个三阶行列式, 假如计算阶数较高行列式利用定义直接计算会比较麻烦, 为简化行列式计算, 我们需要研究行列式关键性质。
二、 关键教学过程（60分钟, 其中学生练习20分钟）
一、 行列式性质
定义 将行列式D 行换为同序数列就得到D 转置行列式, 记为T D 。
性质1 行列式与它转置行列式相等。
性质2 交换行列式两行（列）,行列式变号。
推论 假如行列式有两行（列）完全相同, 则此行列式为零。性质3 行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一数k , 等于用数k 乘此行列式。
推论 行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行列式符号外面。性质４ 行列式中假如有两行（列）元素成百分比, 则此行列式为零。性质5 若行列式某一列（行）元素都是两数之和。
性质６ 把行列式某一列（行）各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应元素上去, 行列式不变。二、 行列式按行（列）展开
定义 在n 阶行列式中, 把元素
ij a 所在第i 行和第j 列划去后, 留下来1-n 阶行列式叫做元素ij a 余子式, 记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(, 叫做元素ij a 代数余子式。引理 一个n 阶行列式, 假如其中第i 行
全部元素除ij a 外都为零, 那末这行列式等于ij a 与它代数余子式乘积, 即ij ij A a D =。定理 行列式等于它任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积之和, 即
行列式的基本性质与计算
3 1 1 2
5 1 3 4
D
.
2 0 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
解:
D c1 c2
1
5
3
4
0 2 1 1
5 1 3 3
1 3 1 2
r2 r1
0
8
4
6
r4 5r1 0 2 1 1
0 16 2 7
15
返回
1 3 1 2
1 3 1 2
r2 r3 0 2 1 1 r3 4r2 0 2 1 1
a11 a1n
a11 a1n
kai1 kain k ai1 ain .
an1 ann
an1 ann
证:当i=1时，由行列式的定义知
ka11 a21 an1
ka12 a22 an2
ka1n
a2n
n
(1)1 j (ka1 j )M1 j
j 1
ann
10
返回
n
k( (1)1 j a1 j M1 j ) j1 a11 a12 a1n
L
L
an1 an2 L
a1n
a11
L
a12
L
L
ain
ai1
L
ai 2
L
L
a jn kai1 a j1 kai 2 a j2 L
行列式的性质与计算行列式的性质有哪些行列式的计算方法
一、行列式的性质有哪些
(1) 行列式行列互换,其值不变；
(2) 互换两行(列),行列式的值变号;
(3) 某行(列)有公因子,可将公因子提出;
(4) 某行(列)的每个元素为两数之和,可以将行列式拆为两个行列式之和;
(5) 某行(列)的k倍加另一行(列),其值不变.
(6) 两行(列)成比例,其值为零;
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
二、行列式的计算方法是什么
1.若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
2.化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
3.原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
行列式性质与计算
当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.证毕
下边说明 （1）t与(1)t1的关系。
对换与排列的奇偶性的关系
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al bbaa b1 bm
an1 ani anj anj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri
krj
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
性质6 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
工程数学II第二节 行列式的性质和计算
性质1 行列式与其转置行列式相等，即 DT D
性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号． 推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为 零． 性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以
k k 同一数 ，等于用数 乘此行列式．
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面．
0156
解
1234
120 1
120 1
120 1
0 r2 r1 1 5 1 r4 r1 0 1 5 1 r3 r2 0 1 5 1
D
015 6
015 6
000 7
．
123 4
003 3
003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
000 7
例2 计算 a b b b
第二节 行列式的性质和计算
转置行列式:
Байду номын сангаас
设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
将 D 的行与列互换（顺序不变），得到的新行 列式，记为
a11 a21
an1
DT (或D ) a12 a22
an2
a1n a2n
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教案头
教学详案
一、回顾导入（20分钟）
——复习行列式的概念，按照定义计算一个四阶行列式，一般需要计算四个三阶行列式，如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦，为简化行列式的计算，我们需要研究行列式的主要性质。
二、主要教学过程（60分钟，其中学生练习20分钟）
一、行列式的性质
定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式，记为T
D 。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和。 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。二、行列式按行（列）展开
定义 在n 阶行列式中，把元素
ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(，叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即
ij ij A a D =。定理 行
列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
j
i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质：
⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,
,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
范德蒙德（Vandermonde ）行列式
二、克莱姆法则
定理 如果线性方程组(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数行列式不等于零，即
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为
D D x D D x D D x n n ===,,,2211 。
其中j D 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即
定理 如果线性方程组(1)的系数行列式0≠D ，则(1)一定有解,且解是唯一的。
定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理 如果齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (2)
的系数行列式0≠D ,则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则齐次线性方程组(2)的系数行列式必为零。
三、归纳总结（10分钟）
应用行列式的性质计算行列式特别是高阶行列式，可以简化计算；用克莱姆法则解线性方程组的基本步骤。
四、课后作业
练习：1．如果行列式有两行的对应元素成比例，则此行列式的值为 ；
2．如果行列式有两行的对应元素相同，则此行列式的值为（ ）
.0212222111211≠=nn
n n n n a a a a a a a a a D .1,1,111,111,111nn
j n n j n n n
j j j a a b a a a a b a a D +-+-=⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij 当，当其中δ∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n n
n n n n n x x x x x x x x x x x D
3．=c c b b a a 212121 ；=+++b a c a c b c
b a 111 ；