3.2三角函数的诱导公式(人教A版·数学理)

7 cos 10 ④ . 17 tan 9 sin
其中符号为负的是( (A)① ) (C)③ (D)④
(B)②
【解析】选 C.sin(-1000°)=sin80°>0; cos(-2200°)=cos(-40°)=cos40°>0; tan(-10)=tan(3π-10)<0;
7 7 cos sin 10 10 ,sin 7 0, tan 17 0, 17 17 10 9 tan tan 9 9 7 sin cos 10 0. 17 tan 9 sin 3 sin , 3.【解析】选 B.由题意 cos 4 2 sin cos 2 1, 9 . 又α∈( ,π), 25 2 3 3 所以 sinα= ,sin(α+π)=-sinα=- . 5 5
=-(tanx-
49 24 ,2sin αcos α= . 25 25 1 1 2 (sin α-cos α) = ,∴sin α-cos α=- , 25 5 3 4 3 sin α= ,cos α= ,tan α= . 5 5 4 3 答案： 4
11.【解析】(sin α+cos α) =
2
12.【解析】原式= 答案:cosα-sinα
=tan x+ta+ = . 9 3 9
4 9
14.【思路点拨】本题对 n 进行讨论,在不同的 n 值下利用诱导公式进行化简. 【解析】(1)当 n=2k,k∈Z 时, 原式
sin( 2k) sin( 2k) 2 . sin( 2k)cos( 2k) cos
cos 2 sin 2 =cosα-sinα. cos sin
13.【解析】由 f′(x)=cosx-sinx, ∴sinx+cosx=2(cosx-sinx), ∴3sinx=cosx,∴tanx=
1 , 3
所求式子化简得,
sin 2 x sin xcos x cos 2 x
.
三、解答题 15.已知 sinθ,cosθ是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根.
2
) sin 3 ( ) 的值. 2 2 1 (2)求 tan(π-θ)的值. tan
(1)求 cos (
3
答案解析 1.【解析】选 B.由已知得 sin α=-2cos α,即 tan α=-2,所以 sin α·cos α =
(2)当 n=2k+1,k∈Z 时,原式

sin［ 2k 1 ］ sin［ 2k 1 ］ 2 . sin［ 2k 1 ］cos［ 2k 1 ］ cos 2 . cos
n
1 综上,原式= 1 答案:
由此解得 sin α=
2
4.【思路点拨】将已知条件利用诱导公式化简后可得角 A,角 B,进而得角 C. 【解析】选 C.由已知化简得 3 cosA=3sinA. ①
cosA= 3 cosB.
②
由①得 tanA=
3 , 3 , 6
又∵0<A<π,∴A=
由②得 cosB=
1 1 ·cos = , 6 2 3
2 cos
n
【方法技巧】诱导公式中的分类讨论 (1)在利用诱导公式进行化简时经常遇到 nπ+α这种形式的三角函数,因为 n 没有说明是偶数还是奇数,所 以必须把 n 分奇数和偶数两种情形加以讨论. (2)有时利用角所在的象限讨论.不同的象限角的三角函数值符号不一样,诱导公式的应用和化简的方式也 不一样. 15.【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求 a 的取值范围，而后应用根与系数的关系及诱导公式求解. 2 【解析】由已知，原方程的判别式Δ≥0,即(-a) -4a≥0,∴a≥4 或 a≤0. 又
sincos tan 2 2 2 2 sin cos tan 1 4 1 2 . 5
2.【解析】选 A.原式= 1 2 sin 2 cos 2
1 2sin 2cos 2 =|sin2-cos2|,
∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin 2-cos 2. 【变式备选】给出下列各函数值: ①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10);
(A) (B) (C)
3
(D) )
2 3
2 3 3
(D)-
2 3 3
sin(
6.若 sinα是 5x -7x-6=0 的根,则
2
(A)
1 sin 1 cos ,则 的值是( ) cos 2 sin 1 1 1 (A) (B)2 (C) (D)-2 2 2 2 2 8.已知 cos( -α)= ,则 sin(α)等于( ) 6 3 3 2 2 1 (A) (B)(C) 3 3 3
∴tanα=-
12 12 ,而 tan(2π-α)=-tanα= . 5 5 cos xsin x sin 2 x cos 2 x
10.【解析】选 C.由已知得,f(x)= =tanx-tan x
2
1 2 1 )+ , 2 4 ∵x∈(0, ),∴tanx∈(0,1), 4 1 1 故当 tanx= 时,f(x)max= . 2 4
cos θ+cos2θ)= 1 2［1 1 2 ］ (2)tan(π-θ)-



2 2.
1 1 sin cos 1 ) =-tan θ= ( tan tan cos sin sincos

1 1 2. 1 2
11.设α∈(0, 13.设 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导数,
.
.
sin( x)cos( x) cos( x)cos x 2 2 若 f(x)=2f′(x),则 = cos 2 x
14.化简:
.
sin( n) sin( n) (n∈Z)= sin( n)cos( n)
又∵0<B<π,∴B= 6.【思路点拨】利用方程求出 sinα,把所给的式子化简,代入 sinα的值即可求. 【解析】选 B.由已知得所给方程的根为 x1=2,x2=-
3 3 ,∴sinα=- , 5 5
则原式=
cos(cos)tan 2 1 5 . sin(sin)(sin) sin 3 cos cos =t,又 =-2. sin 1 1 sin
,∴C=π-A-B= . 3 2 5.【思路点拨】构造角,由( +α)-(α- )= ,即 +α= +(α- )可解. 3 6 2 3 2 6 【解析】选 A.由 cos( +α)=cos[ +(α- )] 3 2 6 1 =-sin(α- )=- . 6 3 1 ∴sin(α- )= . 6 3
9.已知 cosα= ( (A)0 二、填空题 (B) )
1 2
(C)
1 4
(D)1
7 ),sin α+cos α= ,则 tan α= 4 5 5 7 sin 2 ( ) cos 2 ( ) 2 2 = 12.化简: 3 3 sin( ) cos( ) 2 2
7.【解析】选 C.令
∴
cos 2 1 2t, t . (sin 1)(1 sin) 2 2 2 )=-sin( -α) 3 3
8.【解析】选 B.∵sin(α=-sin(
+ -α)=-cos( -α), 2 6 6 2 2 而 cos( -α)= ,∴-cos( -α)=, 6 3 6 3 2 2 故 sin(α)=- . 3 3 5 9.【解析】选 C.∵cosα= , 角α是第二象限角, 13 12 故 sinα= , 13
一、选择题 1.已知 sin(π-α)=-2sin(
+α),则 sin α·cos α=( 2
)
2 5 2 2 C 或 5 5
A
B
2 5 1 D 5
) (B)cos 2-sin 2 (D)sin 2+cos 2
2. 1 2sin( 2)cos( 2) 等于( (A)sin 2-cos 2 (C)±(sin 2-cos 2) 3.已知α∈(
3 ,π),tanα=- ,则 sin(α+π)=( ) 2 4 3 3 4 4 (A) (B)(C) (D)5 5 5 5 4.在△ABC 中, 3 sin( -A)=3sin(π-A),且 cosA=- 3 cos(π-B),则 C 等于 2
( )
(C) 4 2 1 5.已知 cos( +α)=- ,则 sin(α- )的值为( 3 3 6 1 1 (A) (B)3 3
sin cos a, sincos a,
2
(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ, 则 a -2a-1=0,从而 a= 1 2 或 a= 1 2 (舍去),
2
因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ= 1 2 . (1) cos (
3
) sin 3 ( ) =sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θ· 2 2
7.已知
3 5
(B)
5 3
3 3 )sin( )tan 2 (2 ) 2 2 =( cos( )cos( )sin( ) 2 2 4 5 (C) (D) 5 4
)
(D)-
1 3
5 , 角α是第二象限角,则 tan(2π-α)等于( ) 13 12 12 12 12 (A) (B)(C) (D)13 13 5 5 cos( x)sin( x) cos 2 ( x) 2 10.已知 x∈(0, ),则函数 f(x)= 的最大值为 4 2 sin ( x) 2