山东省青岛市第58中学高二数学上学期期中试题

合集下载

2011-2022学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2011-2022学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角是 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线10x ++=的斜率为所以其倾斜角为150︒ 故选：D2．若方程222210x y y m m +-+-+=表示圆，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,1)- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(0,1)【答案】D【分析】根据()()22202410m m +---+>，解不等式即可求解.【详解】由方程222210x y y m m +-+-+=表示圆，则()()22202410m m +---+>，解得01m <<.所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：D3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（）A ．43B ．85C ．53D ．54【答案】C【分析】根据焦距可得c 的值，根据右焦点到渐近线距离可求得b 的值，由a a 的值，再由ce a=即可求解.【详解】因为焦距为210c =，所以5c =，右焦点()5,0，2225a b +=，双曲线2222:1x y C a b-=渐近线方程为：0bx ay -=，所以右焦点到它的一条渐近线的距离为55b d b ===，所以4b =，3a ，所以离心率53c e a ==，故选：C.4．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．()1,+∞ B ．()1,2C ．1(2，1)D ．()0,1【答案】D【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得22k>，求解此不等式可得k 的取值范围. 【详解】由方程222x ky +=，可得22122x y k+=，因为方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，可得22k>，解得01k <<. 所以实数k 的取值范围是0,1. 故选：D.5．已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是（） ABC ．32D【答案】B【分析】不妨取双曲线的渐近线为b y x a =，可得12b a =-，再由离心率c e a =.【详解】由条件可得双曲线的渐近线方程为by x a=±， ∵渐近线与直线:22l x y +=平行， ∴12b a =， ∴双曲线的离心率为c e a ===故选：B6．过x 轴上一点P 向圆22:(2)1C x y +-=作圆的切线，切点为A 、B ，则PAB 面积的最小值是（） A ．334B ．332C ．3D ．33【答案】A【分析】解法一由点P 离原点越远趋向无穷远处时，ABP 的面积趋向于无穷大；当点P 趋近于原点时，ABP 的面积逐渐变小，利用极限法，由点P 与原点重合求解；解法二设(,0)P x ，CPA θ∠=，由 21||sin 22PABSPA θ=⨯求解. 【详解】解法一（极限法）：如图所示，若点P 离原点越远趋向无穷远处时，CP 越来越长，AP 、BP 也随着越来越长，显然ABP 的面积趋向于无穷大；当点P 趋近于原点时，ABP 的面积逐渐变小，当点P 与原点重合时，3OA =ABP 为正三角形，面积最小，其最小面积为21333(3)2=解法二（直接解法）：设(,0)P x ，则22||4PC x =+，222||||3PA PB x ==+，设CPA θ∠=，则有2sin 4x θ=+223cos 4x x θ+=+，于是(()22222331||sin 2224PABx x SPA x θ++=⨯=+， ()222111333x xx =++++，显然上式是2x 的单调递增函数，当0x =时，PABS 33故选：A.7．三棱柱111ABC A B C 中，底面边长和侧棱长都相等，1160CAA BAA ∠=∠=︒，则异面直线1BC 与1AB 所成角的余弦值为（） A ．66B ．33C ．53D ．45【答案】A【分析】本题利用空间向量的线性运算和向量的夹角计算公式求解，首先选择一组基底1AB AC AA →→→，，，那么向量11=BC AB AC AA →→→→--，11AB AB AA →→→=+，然后利用夹角公式111111cos ,BC AB BC AB BC AB →→→→→→⋅〈〉=计算向量所成角，再利用向量所成角和异面直线所成角间的关系得出答案.【详解】三棱柱111ABC A B C 中，底面边长和侧棱长都相等，1160CAA BAA ∠=∠=︒, 设棱长为1，则111=BC AB AC AB AC AA →→→→→→-=--, 11AB AB AA →→→=+所以1111=()()BC AB AB AC AA AB AA →→→→→→→⋅--⋅+11111AB AB AB AA AC AB AC AA AA AB AA AA →→→→→→→→→→→→=⋅+⋅-⋅-⋅-⋅-⋅22111cos6011cos6011cos6011cos6011=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=-而2222211111=()222BC AB AC AA AB AC AA AB AC AC AA AB AA →→→→→→→→→→→→→--=++-⨯⋅+⨯⋅-⨯⋅111211cos60211cos60211cos602=++-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=22221111()21113AB AB AA AB AA AB AA →→→→→→→=+=++⨯⋅=++=所以111111cos,BC ABBC ABBC AB→→→→→→⋅〈〉===又因为异面直线是锐角，所以异面直线1BC与1AB故选：A.【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.8．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A-，()2,0B，圆C：()()()221204x y m m-+-=>，在圆上存在点P满足2PA PB=，则实数m的取值范围是（）A．⎣⎦B．54⎡⎢⎣⎦C．⎛⎝⎦D．⎣⎦【答案】D【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)P x y，由2PA PB=22(3)4x y-+=，即点P的轨迹是以点0(3,0)C为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心(2,)C m，半径为12，依题意，圆0C与圆C有公共点，即有0112222CC-≤≤+，即2925144m≤+≤，而0m>，解得m≤≤，所以实数m的取值范围是⎣⎦.故选：D二、多选题9．下列结论中正确的有（）A．过点()12-，且与直线210x y-+=平行的直线的方程为240x y-+=B．过点()12-，且与直线210x y-+=垂直的直线的方程为230x y+-=C．若直线1l：340ax y++=与直线2l：()2250x a y a+-+-=平行，则a的值为1-或3D．过点()32M-，，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为10x y++=【答案】AB【分析】对于选项A ，B ，D ，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C ，由给定条件求出a 值判断作答.【详解】对于A ，直线210x y -+=的斜率为2，则过点()12-，且与直线210x y -+=平行的直线的方程为()221y x -=+，即240x y -+=，A 正确；对于B ，直线210x y -+=的斜率为2，则过点()12-，且与直线210x y -+=垂直的直线的方程为()1212y x -=-+，即230x y +-=，B 正确；对于C ，直线1l ：340ax y ++=的斜率为3a-，因直线1l 与直线2l 平行，则直线2l 的斜率存在，且123aa -=--，解得1a =-或3，当1a =-时，两直线重合，当3a =，两直线平行，C 错误；对于D ，因过点()32M -，，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为23y x =-，截距不为0时，当直线方程为10x y ++=，D 错误. 故选：AB10．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角60θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（）A ．椭圆的长轴长为8B 3C ．椭圆的离心率为12D ．椭圆的一个方程可能为2216416x y +=【答案】BD【分析】根据条件求得短半轴长b 、长半轴长a ，从而求得半焦距c ，进而可求得结果. 【详解】由题意易知椭圆的短半轴长4b =， ∵截面与底面所成的角为60θ=︒，∴椭圆的长轴长为24216cos60a ⨯==︒，则8a =，所以22641643c a b =-=-=，离心率为43382c a ==，当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为x 轴，短轴为y 轴时，则椭圆的方程为2216416x y +=. 故选：BD.11．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的是（）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案. 【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[],a c a c -+，A 正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，B 正确； 12111a c e a c e e--==-+++，当比值越大，则e 越小，椭圆轨道越圆，C 错误. 根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.12．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，长方体的高为2，E ､F 分别在1A D ､AC 上，且1123A E A D =，13AF AC =.则下列结论正确的是（）A ．1EF A D ⊥B ．1//EF BDC ．异面直线EF 与CD 所成角的余弦值为66D ．二面角E AC D --的正切值为2 【答案】BCD【分析】以1DA DC DD 、、为x 、y 、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A ：利用10FE A D ⋅≠，即可判断；对于B ：利用13BD FE =，即可判断；对于C ：直接利用向量法求异面直线EF 与CD 所成的角；对于D ：直接利用向量法求二面角E AC D --的平面角余弦值，再求正切值. 【详解】以1DA DC DD 、、为x 、y 、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,2D ，12,0,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,,033F ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0,2A ，则()11,1,2BD =--，112,,333FE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,0,2A D =--，()1,1,0AC =-，()1,1,0BD =--，()0,1,0CD =-.因为11401033FE A D ⋅=+-=-≠，所以1EF A D ⊥不正确，即A 不正确；因为13BD FE =，且1BD 与FE 不在同一条直线上，所以1//EF BD ，即B 正确；因为100cos ,FE CD ++==C 正确； 112,,333EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0AC =-，令平面EAC 的一个法向量为(),,m x y z =，则11203330x y z x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩，不妨取1x =，则()1,1,1m =，又平面ACD 的一个法向量()0,0,1n =，显然二面角E AC D --的平面角为锐角，设为θ所以0cos cos ,m n θ+===，所以sin θ=tan θ=∴D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知直线20ax y +-=与圆()()22:116C x y a -+-=相交于A ，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为______．【答案】1-【分析】利用点到直线的距离公式,即可求解.【详解】∵由题意得到ABC 为等腰直角三角形，∴圆心()1,C a到直线20ax y+-=的距离sin45d r =︒=，解得：1a =-,故答案为：1-.14．已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12.PF PF ⊥若12PF F △的面积为9，则b =__________．【答案】3【分析】由椭圆的定义得到122PF PF a +=，在利用1PF 与2PF 垂直，得到222212124PF PF F F c +==，化简得到2122PF PF b =，在利用12PF F S ∆即可得到答案.【详解】由题意知122PF PF a +=，1PF 与2PF 垂直，所以222212124PF PF F F c +==，所以()22121224PF PF PF PF c +-=，所以222122444PF PF a c b =-=，所以2122PF PF b =，所以122212112922PF F S PF PF b b ∆==⨯==，所以3b =．故答案为：3.15．已知直线y ＝k （x +2）与曲线y k 的取值范围是 ___．【答案】0k ≤<##⎡⎢⎣⎭【分析】根据曲线的方程可得曲线y 1为半径的圆的x 轴的上半部分（含x 轴），求出直线与圆相切时k 的值，再根据已知即可的解.【详解】解：由y =()2210x y y +=≥，所以曲线y 1为半径的圆的x 轴的上半部分（含x 轴），直线y ＝k （x +2）过定点()2,0-，当直线直线y ＝k （x +2）与圆()2210x y y +=≥相切时，圆心到直线的距离1d ==，解得k =，因为直线y ＝k （x +2）与曲线y = 所以k的取值范围是0k ≤<.故答案为：0k ≤<16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是侧面11BB C C 内的一个动点（不包含端点），若点E 满足1D E CE ⊥；则BE 的最小值为________．【答案】51-【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设(),2,E x z ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，所以()1,2,2D E x z =-，(),0,CE x z =，因为1D E CE ⊥，所以()22210(2)011D E CE x z z x z ⋅=⇒+-=⇒+-=，BE =因为()2211x z +-=，所以令cos ,1sin x z θθ==+，代入上式得：BE ===其中tan 2((0,))2πϕϕ=∈，11BE BE ≤≤≤≤，因此BE 1，1【点睛】方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.四、解答题17．分别求解以下两个小题：(1)已知双曲线过点12P ⎫⎪⎭，渐近线方程为20x y ±=，求该双曲线的标准方程；(2)已知点P 为椭圆2212516x y +=上的任意一点，O 为原点，M 满足12OM OP =，求点M 的轨迹方程．【答案】(1)2214x y -=；(2)2241254x y +=.【分析】（1）根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答. （2）设出点M 的坐标，利用给定的向量关系表示出点P ，再代入椭圆方程作答.【详解】（1）因双曲线渐近线方程为20x y ±=，即02x y ±=，则设双曲线方程为22(0)4x y λλ-=≠，而点12P ⎫⎪⎭21()2λ=，解得1λ=，所以所求双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设点(,)M x y ，由12OM OP =得，点(2,2)P x y ，而点P 为椭圆2212516x y +=上的任意一点，于是得22(2)(2)12516x y +=，整理得：2241254x y +=，所以点M 的轨迹方程是2241254x y +=.18．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈. （1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点.【答案】（1）(,)-∞⋃+∞；（2）证明见解析.【解析】（1）直线l 与圆C 相交，则圆心到直线的距离小于半径，可得答案.（2）设点P 的坐标是()00,x y ，由条件,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+上，则MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，则直线MN 的方程是0014x x y y +=，再根据点P 在直线1y x =-上，可得答案. 【详解】（1）直线1y kx =-就是10kx y --=，圆C 的圆心是(0,0)C ，半径是12. 由题意得，圆心(0,0)C 到直线l12<，解得k <k >故k的取值范围是(,)-∞⋃+∞.（2）由（1）可知，当1k =时，直线l 与圆C 相离,设点P 的坐标是()00,x y ，则,M N 在OP 以为直径的圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 上所以MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，由两圆方程相减可得：0014x x y y +=所以直线MN 的方程是0014x x y y +=. 因为点P 在直线1y x =-上，所以001y x =-.代入0014x x y y +=中，得到()00114x x x y +-=，即01()04x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭.由0104x y y +=⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩得，1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故直线MN 恒过一个定点11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系和圆的切线问题，解答本题的关键是圆心(0,0)C 到直线l 的距离是21121k <+，MN 为圆221:4C x y +=与圆22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+的公共弦，从而得到直线MN 的方程是0014x x y y +=，属于中档题. 19．如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG=AD ，CD FG ∥且=2CD FG ，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)求平面EBC 与平面EFG 的夹角； (2)求直线AD 到平面EBC 的距离．【答案】(1)45 (2)2【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.【详解】（1）因为AD CD ⊥，DG ⊥面ABCD ，故可以D 为坐标原点， DA 为x 轴，DC 为y 轴，DG 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：由题可知：()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，易知面EFG 的一个法向量为()0,0,2DG =，设面EBC 的法向量为(),,n x y z =， ()1,0,0CB =，()1,2,2BE =-，故得00n CB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z =⎧⎨-+=⎩，不妨令y ＝1，则()0,1,1n =，22222cos ,DG n n DG DG n⋅=⋅==，所以平面EBC 与平面EFG 的夹角为45．（2）因为AD BC ∥，BC ⊂面BCE ，则AD ∥面BCE ，所以直线AD 到平面EBC 的距离与点D 到面EBC 的距离相等，如图，连接,CG BD ，由（1）可知AD ⊥平面CDGF ，CG ⊂平面CDGF ，所以AD CG ⊥，又因为AD BC ∥，所以BC CG ⊥，设点D 到平面EBC 的距离为h ，则11121223323D BCE EBC V S h h h -=⋅=⨯⨯⨯⋅=△，11121223323E BCD BCD V S GD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，又因为D BCE E BCD V V --=，所以2h =，所以直线AD 到平面EBC 的距离为2．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且1222F F =M 为椭圆C上一点，线段1MF 与圆C ：221x y +=相切于该线段的中点N ． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点1F 做直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且椭圆C 上存在点P ，使得四边形若OAPB 为平行四边形，求直线l 的方程．【答案】(1)22142x y += (2)21y =+【分析】（1）由几何关系与椭圆的定义得a 后求解，（2）设出直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理化简得P 点坐标，再代入椭圆方程求解，【详解】（1）∵1ON =，1ON MF ⊥，且ON 是12MF F △的中位线，∴222MF ON ==，12MF MF ⊥，112||2MF NF ==，而2124a MF MF =+=，2a =，2c =，∴2222b a c =-=，∴椭圆C 的方程为：22142x y +=．（2）存在，理由如下：①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =-，此时椭圆上不存在符合题意的点P ， ②当直线AB 的斜率存在且k ＝0时，此时O ，A ，B 三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P ， ③当直线AB 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，设直线AB 的方程为()2y k x =+，联立方程()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：()22222142440k x k x k +++-=，∴216160k ∆=+>，∴21224221k x x k -+=+，21224421k x x k -=+， ∴()12122222221kx y k x k y ++=+=+，∵四边形OAPB 是平行四边形， ∴()21212224222,,2121k k OP OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪ ⎪++⎝⎭，∴2224222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入椭圆方程得：222224222242121k k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简整理得：441k =，∴22k =±， ∴椭圆C 上存在三个点A ，B ，P ，满足题意，此时直线AB 的方程为212y x =±+ 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AC BD O =，底面ABCD 为菱形，边长为2，PO CD ⊥，PA PC =，且60ABC ∠=︒.（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）当异面直线PB 与CD 所成的角为60°时，在线段CP 上是否存在点M ，使得直线OM 与平面PCDCM 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）根据三线合一得出PO AC ⊥，PO CD ⊥，故而得到PO ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，依题意可得PBA ∠为异面直线PB 与CD 所成角，设PO a =，利用余弦定理求出a ，设CM CP λ=，根据线面角的正弦值得到方程，解得λ即可得解；【详解】解（1）证明：因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，又因为PO CD ⊥，AC CD C =，,AC CD ⊂面ABCD 所以PO ⊥平面ABCD（2）PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，//AB CD ，PBA ∴∠为异面直线PB 与CD 所成角，60PBA ∴∠=︒，在菱形ABCD 中，设2AB =，60ABC ∠=︒，1OA ∴=，OB =设PO a =，则PAPB =在PBA △中，由余弦定理得：2222cos PA BA BP BA BP PBA =+-⋅⋅∠，∴221143222a a +=++-⨯，解得a = ()0,1,0A ∴-，)B，()0,1,0C，(P，()D设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，()1,0CD =--，(0,CP =-，则300n CD y n CP y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得()2,n =-，设CM CP λ=，[]0,1λ∈则()(()0,1,00,0,1OM OC CM OC CP λλλ=+=+=+-=- 设直线OM 与平面PCD 所成角为θ，sin 3n OM n OMθ⋅∴==⋅⨯，解得17λ=，所以1177CM CP ===CM =22．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =，点33,M ⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）P 为椭圆C 上一点，射线1PF ，2PF 分别交椭圆C 于点A ，B ，试问1212PF PF AF BF +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为103.【分析】（1）根据122F F =，点33,M ⎭在椭圆C 上，由223322,14c a b =+=求解；（2）由点P 在x 轴上时，不妨设点()2,0P -求解；当点P 不在x 轴上时，设()()111,0P x y y >，直线1PF 的方程为1111x x y y +=-，与椭圆方程联立，利用韦达定理用1y 表示点A ，B 的纵坐标，再由12111223PF PF y yAF BF y y +=+--求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得2222222,331,4,c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）①当点P 在x 轴上时，由对称性不妨设点()2,0P -，此时，A ，B 两点重合，121PF F B ==，213PF F A ==，故1212103PF PF AF BF +=. ②当点P 不在x 轴上时，由对称性不妨设()()111,0P x y y >，()22,A x y ，()33,B x y ，此时直线1PF 的方程为1111x x y y +=-，联立112211,1,43x x y y x y +⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2121116113490x x y y y y ⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥+--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则221112222111111939363425134y y y y x x y x x y ---===++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故121325y y x -=+. 同理可得131325y y x -=-+.故1211111223252510333PF PF y y x x AF BF y y +-++=+=+=--. 综上，1212PF PF AF BF +为定值，且定值为103.。

山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期阶段性测试(第二次月考)数学试卷

山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期阶段性测试（第二次月考）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知{}na 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（）A ．{}1n a +B ．{}3na C ．{}2n a D ．{}1n n a a +-10．已知函数()sin x x x f -=，则（）A ．()f x 为其定义域上的增函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 的图象与直线1y =相切D ．()f x 有唯一的零点11．有一种被称为汉诺塔的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A 、B 、C ），在A 杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）．游戏10．AD【分析】求出()f x -判断函数奇偶性，通过对函数求导，即可求出其单调性，切线和零点是否唯一.【详解】由题意，在()sin x x x f -=中，定义域为R ，()1cos 0f x x ¢=-³，∴()f x 为R 上的增函数，A 正确；()()sin f x x x f x -=-+=-，∴()f x 为奇函数，B 错误；∵当()0f x ¢=时，解得：()2πZ x k k =Î，此时()()πsin 2π2Z 2π1k k f x k k -==¹Î，∴斜率为0的切线为()2πZ k k Î，不可能为直线1y =，∴C 错误；()f x 为R 上的增函数，()00f =，∴()f x 有唯一的零点，D 正确.故选：AD.11．ACD【分析】分析可得121n n a a +=+，推导出数列{}1na +是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}na 的通项公式，可判断AB 选项；利用等差数列的定义可判断C 选项；利用分组求和法可判断D 选项.。

山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题

山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．π6B ．π34．如图，在三棱锥-P ABC AC方向上的投影向量为（A ．34AC -B ．-5．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体A ．12B ．146．在正方体1111ABCD A B C D -中，点的取值范围是（）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角-P ABC 是由有公共端点线间的平面部分所组成的图形，设面BPC 所成的角为θ，由三面角余弦定理得-P ABC 中，6PA =，60APC ∠=棱锥-P ABC 体积的最大值为（A ．2724B ．2748．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为A ．22B ．1二、多选题A ．166AC =B ．1BC AB ⊥C ．111,120DA C B ︒=D ．直线1BD 与AC 所成角的余弦值为11．已知正方体111ABCD A B C D -A ．1AB AD AA ⨯= B ．AB AD AD AB⨯=⨯ C ．111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯D ．11111()ABCD C D B A V AB AD CC -=⨯⋅ 三、填空题13．已知,,i j k是不共面向量，,a i j k b =-+=- 个向量共面，则实数λ=.14．已知向量()()0,1,1,4,1,0,a b a b λ=-=+=15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -则△MAD 的重心到直线BN 的距离为16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为面角的余弦值为．四、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，线段11A C 上一点.若直线1AB 与平面BCM 18．如图，在棱长为1的正四面体OABC 在MN 上，且2MG GN =，设OA a = (1)试用向量a ，b ，c 表示向量(1)求二面角11A BD B --所成角的正弦值；(2)点P 是矩形11AA B B （包含边界）内任一点，且的正弦值的取值范围.20．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有①若1BE EB =，求向量1 ED 的斜60 坐标；埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为形n n n n A B C D ，1,2,3n =的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为记为,n n P Q ，将极点11,P Q ，分别与正方形2222A B C D 的顶点连线，1,2,3,4m =，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点们构造了其中两个四棱锥11122A P E P E -与22131A P E P F -(1)求异面直线12P A 与12QB 成角余弦值；(2)求平面111P A E 与平面122A E P 的夹角正弦值；(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.22．学习几何体结构素描是学习素描的重要一步.如图所示，这是一个用来练习几何体。

2022-2023学年山东省青岛第五十八中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（）A ．B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B【解析】根据直线方程求出直线的斜率，求出斜率的取值范围，由斜率与倾斜角的关系211k a =-+即可求解【详解】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝，211x a -+211a -+所以斜率k ＝，即tan α＝，所以－1≤tan α<0，211a -+211a -+解得≤α<π，即倾斜角的取值范围是.34π3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角以及正切函数的性质，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.2．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m 的值为（）31y x =-22:1C x my -=A ．B ．9C ．D ．31913【答案】A【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方22:1C x my -==x ±31y x =-程为，故3y x =±19m =故选：A3．已知点A （1，2）在圆C ：外，则实数m 的取值范围为（）22220x y mx y ++-+=A ．B ．()()3,22,--+∞ ()()3,23,--⋃+∞C ．D ．()2,-+∞()3,-+∞【答案】A【分析】由表示圆可得，点A （1，2）在圆C 外可得22220x y mx y ++-+=22(2)420m +--⨯>，求解即可22122220m ++-⨯+>【详解】由题意，表示圆22220x y mx y ++-+=故，即或22(2)420m +--⨯>m>22m <-点A （1，2）在圆C ：外22220x y mx y ++-+=故，即22122220m ++-⨯+>3m >-故实数m 的取值范围为或m>232m -<<-即()()3,22,m --∞∈+ 故选：A4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，13把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A BC D 【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则，13,4,,222A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线，整理为，:AB 142312422x y --=---702x y -+=原点O=故选：B5．直线的一个方向向量为，点为直线外一点，点为直线上一l m =()3,0,1P -l ()0,0,0O l 点，则点到直线的距离为（）P l A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出，再结合已知条件利用距离公式求解即可.(3,0,1)OP =-【详解】因为直线的一个方向向量为，，l m = (3,0,1)OP =-所以点到直线的距离为Pl，3==故选：C6．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a 的取值范围是（）221x y +=(,1)a A ．B ．(-⋃(-C ．D ．(1,0)(0,1)- (1,1)-【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，22()(1)4x a y -+-=221x y +=2121-<<+进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，(,1)a 22()(1)4x a y -+-=所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，22()(1)4x a y -+-=221x y +=即两圆相交，故，2121-<<+解得或，0a -<<0a <<所以实数a 的取值范围为，(-⋃故选：A ．7．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 2c )y x c =+C 的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于（）12212MF F MF F ∠=∠A B C D 1-1-【答案】A【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定)y x c =+1260MF F ∠=︒2130MF F ∠=︒21MF MF ⊥义得到，由勾股定理列出方程，求出离心率.)11MF a =(3a=【详解】因为，)y x c =+12tan MF F ∠=所以，所以，则，1260MF F ∠=︒2130MF F ∠=︒21MF MF ⊥设，则，1MF x =21tan 60MF MF =︒=由椭圆的定义可知：，即，212MF MF a +=2x a =解得：，)1x a =所以，)11MF a =(3a=由勾股定理得：，2221212MF MF F F +=故，)(22222134a a c +=解得：.224c a =-1c a ==-故选：A8．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线P 221:1169x y C -=Q ()222:51C x y -+=R 上，则的最大值是（）()223:51C x y ++=PQ PR-A ．B ．C ．D ．9101112【答案】B【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得1C 的最大值.PQ PR-【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，1C 4a =3b =5c =1C记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，()15,0F -()25,0F PQ PR-P 1C 所以，.()21211122210PQ PR PF PF PF PF a -≤+--=-+=+=故选：B.二、多选题9．已知双曲线，（）22:121x y W m m -=++A ．(2,1)m ∈--B ．若的顶点坐标为，则W (0,3m =-C ．的焦点坐标为W ()1,0±D ．若，则的渐近线方程为0m =W 0x =【答案】BD【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A 错误，然()()210m m ++>后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B 正确，再然后分为、两种情况，依次1m >-2m <-求出，即可判断出C 错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.2c 【详解】A 项：因为方程表示双曲线，22121x y m m -=++所以，解得或，A 错误；()()210m m ++>1m >-2m <-B 项：因为的顶点坐标为，W (0,所以，解得，B 正确；21m --=3m =-C 项：当时，，1m >-()()22123c m m m =+++=+当时，，C 错误；2m <-()()22123c m m m =-+-+=--D 项：当时，双曲线的标准方程为，0m =W 2212x y -=则渐近线方程为，D 正确，0x =故选：BD.10．已知直线与圆交于，两点，则（）:cos sin 1l x y αα+=22:6O x y +=A B A ．线段的长度为定值B ．圆上总有4个点到的距离为2AB O l C ．线段的中点轨迹方程为 D ．直线的倾斜角为AB 221x y +=l 2πα+【答案】AC【分析】对于A ，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；AB对于B ，由于圆心到直线的距离为1，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C ，由选项A 可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，AB (0,0)O 从而可得结论；对于D ，当时，设直线的倾斜角为，则，即，0α≠θ1tan tan θα-=tan tan()2πθα=+而当时，直线的倾斜角，2πα>2πθα≠+【详解】对于A ，因为圆心到直线的距离，所以(0,0)O :cos sin 1l x y αα+=1d =，所以A 正确；AB ==对于B ，由于圆心到直线的距离为上只有21d ==O 个点到的距离为2，所以B 错误；l对于C ，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距1d ==AB (0,0)O 离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以CAB (0,0)O 221x y +=正确；对于D ，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；0α=cos 1,sin 0αα==1x =2π2πα+当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则0α≠cos sin 1x y αα+=cos 1sin tan k ααα=-=-θ，即，当时，直线的倾斜角，而当时，1tan tan θα-=tan tan()2πθα=+02πα<<2πθα=+2πα>直线的倾斜角，所以D 错误，2πθα≠+故选：AC11．如图，已知正方体的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，的中点，以下1111ABCD A B C D -11B C 说法正确的是（）A ．三棱锥的体积为1B ．平面EFGC EFG -1A C ⊥C ．平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 11//A D 【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断C EFG -BCD 选项的正确性.【详解】A 选项，，111132211121241122222CEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=所以，A 选项正确.132132C EFG G CEF V V --==⨯⨯=建立如图所示空间直角坐标系，，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ,()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2A C A D EF EG =--=-==，所以，110,0A C EG A C EF ⋅=⋅= 11,A C EG A C EF ⊥⊥由于平面，所以平面，B 选项正确.,,EG EF E EG EF ⋂=⊂FEG 1AC ⊥EFG 平面的一个法向量为，EFG ()12,2,2A C =--，所以与平面不平行，C 选项错误.11140A D A C ⋅=≠11A D EFG 平面的法向量为，ABCD ()0,0,1n =设平面于平面的夹角为，EFG ABCD θ则，D 选项错误.cos θ=故选：AB12．已知双曲线C ：的左焦点为F ．过点F 的直线交C 的左支于M 、N 两点，直()22210x y a a -=>线l ：为C 的一条渐近线，则下列说法正确的有（）20x y -=A ．B ．直线l 上存在点Q ，使得2a=5QF =C ．的最小值为1D ．点M 到直线：距离的最小值为MNl '220220x y --=2022【答案】ABC【分析】A.根据渐近线公式，即可求解；B.首先求点到直线的距离，与F l 5C.分直线的斜率存在和不存在两种情况，求弦长，并结合函数关系求最小值；l MND.利用直线与，双曲线的位置关系，即可判断选项.l 'l 【详解】对于A 选项，直线l ：为的一条渐近线，故，故，故A 正确；20x y -=C 112a ==2a 对于B 选项，由A 可知，，则，点到直线的距离2,1ab ==c =()F F 20x y -=，所以直线上存在点Q，使得，故B正确；15d<l 5QF =对于C 选项当过点的直线斜率不存在时，方程为或，此时，F x =12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12MF MN ==当过点的直线斜率存在时，设方程为，F (y k x =故联立方程得，(22==14y k x x y ⎧⎪⎨⎪-⎩()2222241400k x x k ----=设，因为过点的直线交的左支于两点，()()1122,,,M x y N x y F C ,M N 所以，解得或，()()()12212222222+204=>014140Δ=+41420+4>0x x k x x k k k k ⎧⎪⎪⎪--⎪⎨-⎪-≠⎪⎪--⎪⎩12k >12k <-221441k k =+=⨯-，()222144541541k k k +=⨯=+--+因为或，所以，，，，即，12k >12k <-2514k +>()2540,41k -∈+241541k >-+1MN >因为过点的直线斜率不存在时，，F =1MN 综上，的最小值为1，故C 正确；MN对于D 选项，直线和的渐近线平行，且与的左支不相交，故上的点到直线的距离没l 'C l 'C C M l '有最小值，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题13．已知，若直线与直线平行，则m ＝__．R m ∈1:10l mx y ++=2:9230l x my m +++=【答案】3【分析】根据两直线平行，得到方程，计算求得m 值．【详解】由题意得：，且，290m -=()2390mm +-≠解得：m ＝3，故答案为：3．14．过点且与圆相切的直线的方程是______．()1,2221x y +=【答案】或1x =3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率:1l x =存在时，设斜率为k ，可得直线l 的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可1d r =求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点，()1,2所以直线，:1l x =此时圆心到直线的距离为1=r ，(0,0)1x =此时直线与圆相切，满足题意；:1l x =221x y +=当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以，即，:l 2(1)y k x -=-20kx y k --+=因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，1d r =34k =所以直线l 的方程为.3450x y -+=综上：直线的方程为或1x =3450x y -+=故答案为：或1x =3450x y -+=15．已知直线：与直线：相交于点，点是圆1l()0kx y k R +=∈2l 220x ky k -+-=A B 上的动点，则的最大值为___________.()()22232x y +++=AB【答案】5+【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，1l ()0kx y k R +=∈(0,0)O 2l 220x ky k -+-=(2,2)C 且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使12l l ⊥A OC D AB D A 最大，结合圆的性质即可求解AB【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点1l ()0kx y k R +=∈(0,0)O 2l 220x ky k -+-=，且，(2,2)C 12l l ⊥所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，A OC D 22:(1)(1)2D x y -+-=要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一AB22:(1)(1)2D x y -+-=A ()()22232x y +++=点，使最大，B AB，5=所以的最大值为AB5+故答案为：5+16．如图，棱长为2的正方体中，点E 是棱的中点，点P 在侧面内，1111ABCD A B C D -1CC 11ABB A 若垂直于，则的面积的最小值为____________．1D P 1A E PBC【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出的坐标，由可推出P 点11D P A E，11D P A E ⊥ 轨迹，确定P 点在何处时的面积取到最小值，由此可求得答案.PBC 【详解】以A 为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图所示：1,,AB AD AA ,,x y z则，11(22102),(),(0,0,22)E D A ，，，，设，则，，(0,)P a b ，1(,2,2)D P a b =-- 1(2,2,1)A E =-由 ,可得，故, 即,11D P A E ⊥11D P A E ⊥ 112420D P A E a b ⋅=--+=22b a =-取的中点N ，连结，则P 点轨迹为线段，AB 1B N 1B N过B 作,垂足为Q ,由于BQ BN ⊥1121BB BN B N ==∴==，，则BQ ==又平面,平面，故，BC ⊥11ABB A BQ ⊂11ABB A BC BQ ⊥当P 点位于Q 点位置时，由于 ,此时的面积最小，2BC =PBC即的面积最小值为，PBC 122QBC S =⨯=四、解答题17．已知直线过点和，直线：．1l()30A -，()34B ，l 10x y --=(1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．1ll 2l 2l (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.m B ()5,0C m 2m 【答案】(1)32110x y --=(2)或．=3x 34250x y +-=【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程.1l l 1ll 2l （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程.m C m m 【详解】（1）直线的方程为，即，1l 034033y x -+=-+2360x y -+=取直线上的一点，设关于直线的对称点为，1l()30A -,()30A -,:10l x y --=(),a b 则，解得.013301022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩1,4a b ==-由解得，102360x y x y --=⎧⎨-+=⎩9,8x y ==所以直线过点和点，2l ()1,4-()9,8所以直线的方程为，即.2l 894819y x --=---32110x y --=（2）直线斜率不存在时，可得，m 3x =点与直线的距离为，符合题意.()5,0C 3x =2当直线斜率存在时，设直线斜率为，m k 故可得直线的方程为，m ()43y k x -=-即，340kx y k --+=因为点到直线的距离为，()5,0C m 2，2=解得，34k =-故可得直线的方程为，即，m 3334044x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭34250x y +-=综上所述，直线的方程为：或．m =3x 34250x y +-=18．已知，是椭圆M ：的左右焦点．1F 2F 2212x y +=(1)若C 是椭圆上一点，求的最小值；12CF CF ⋅(2)直线与椭圆M 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．椭圆M 上存在点P 使得四边形OAPB y x m =+为平行四边形，求m 的值．【答案】(1)的最小值为012CF CF ⋅(2)m =【分析】(1)先由椭圆求出焦点坐标，再设点P ，然后写出的坐标表达式，根据椭圆的范围12CF CF ⋅ 即可求出最小值(2)先设A ，B 两点坐标，然后联立直线和椭圆方程，写出判别式求出m 的取值范围，再利用韦达定理，得出中点坐标，进而求出P 点坐标，然后代入椭圆方程即可求解【详解】（1）由椭圆方程，可得，，设，则2212x y +=1(1,0)F -2(1,0)F (,)C x y ，，1(1,)CF x y =--- 2(1,)CF x y =--所以，将原椭圆方程变形并代入，得，22121CF CF x y ⋅=+-2212x y =-222121122x x CF CF x ⋅=+--=又由椭圆的几何性质可得，[x ∈所以当时，的最小值为0.0x =12CF CF ⋅（2）设，，联立，得，11(,)A x y 22(,)B x y 2212y x m xy =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2234220x mx m ++-=判别式，解得222Δ(4)12(22)8240m m m =--=-+>m <<，1243m x x +=-，又四边形OAPB 为平行四边形，121223my y x m x m +=+++=A ，B 两点中点和O ，P 两点中点重合，即A ，B 两点中点坐标为，1212(,)22x x y y ++2(,)33m m -推出P 点坐标，又因为P 点在椭圆上，，解得，42(,33m m -∴224()23()123m m -+=(m =∴m =19．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，-P ABC 2AC =4BC =PAC △D AB ，.AC PD ⊥90PCB ∠=︒（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.BC ⊥PAC PD PBC 【答案】（1）证明见解析；（2）与平面PD PBC 【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面AC O ,OD OP OP AC ⊥AC PD ⊥AC ⊥，得到，再证明，然后证明平面；POD AC OD ⊥AC BC ⊥BC ⊥PAC （2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.O PBC PD【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，AC O ,OD OP PAC △OP AC ⊥又平面，所以平面，又平面，所以,,,AC PD PD OP P PD OP ⊥=⊂ POD AC ⊥POD OD ⊂POD ，AC OD ⊥因为∥，所以，又平面，所以平面OD BC AC BC ⊥,,,PC BC PC AC C PC AC ⊥=⊂ PAC BC ⊥；PAC （2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如O OA OD OP 、、,,x y z 图示，则，所以，()()()(1,0,0,0,2,0,1,4,0,C D B P --(()(,0,4,0,0,2,CP CB PD ===设平面的法向量为，则，取，PBC (),,m x y z = 040m CP x m CB y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x=)1m =- 设与平面所成角为，则.与平面所成角的PD PBCθsin m PD m PDθ⋅==⋅PD ∴PBC20．在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，，，P ABCD -//CD AB 90ABC ∠=︒，平面平面ABCD ，，E 为PA中点.224AB BC CD ===PAD ⊥2PA PD ==(1)求证：平面PBC ；//ED(2)已知平面PAD 与平面PBC 的交线为，在上是否存在点N ，使二面角的正弦值为l l P DC N --PN 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在点，N PN 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明；（2）根据线面平行的性质定理可证，则直线的方向向量可以是，建系，利用空间向量//ED l l DE处理二面角问题.【详解】（1）取的中点，连接，PB F ,EF FC ∵分别为的中点，则且，,E F ,PA PB //EF AB 1=2EF AB又∵且，//CD AB 12CD AB =∴且，则为平行四边形，∴，//EF CD =EF CD CDEF //ED CF 平面PBC ，平面PBC ，ED ⊄CF ⊂∴平面PBC ；//ED （2）由题意可得：AD BD ==则，即，222AD BD AB +=AD BD ⊥取的中点，连接，AD M PM ∵，则，=PA PD PM AD ⊥平面平面ABCD ，平面平面，平面PAD ⊥PAD ⋂=ABCD AD PM ⊂PAD ，∴平面ABCD ，PM ⊥以为坐标原点建立空间直角坐标系，则可得：D ()()()()0,0,0,0,,,,D A B C P E ，，(),DP DC ==设平面的法向量，则有，PCD (),,n a b c ==0==0n DP n DC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ 令，则，即，=1a 1,1b c ==-()1,1,1n =-由（1）可得：平面PBC ，//ED 平面PAD ，平面平面，ED ⊂PAD ⋂=PBC l ∴，则直线的方向向量可以是，//ED ll DE = 设，则，PN DE λ=N ⎫⎪⎪⎭，(),DN DC ⎫==⎪⎪⎭设平面的法向量，则有，DCN (),,m x y z==+=0==0m DN x z m DC ⎧⎫⎫⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎭⎭⎪⋅⎩令，则，即2x λ=+()2,32y z λλ=+=-+()()2,2,32m λλλ=++-+∵二面角的余弦值的绝对值为，则P DC N --P DC N --13，1cos ,3n m n m n m ⋅===解得或，1λ=-32λ=-当时，，此时，32λ=-PN ⎛= ⎝ PN当，，则PN 1λ=-PN ⎛= ⎝ 21．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，，过点A ，B 且与直线相切．AB 4=M 20x +=（1）若A 在直线上，求的半径；0x y +=M （2）求点M 的轨迹方程．【答案】（1）2或6；（2）.24y x =【分析】（1）设的方程为，在，根据又M 222()()x a y a R -+-=Rt OMB 24R +=与相切，得到，联立方程组，即可求解；M 2x =-2a R +=（2）设点M 的坐标为，得到，根据与直线相切，得到()x y ，222||||OM OA MA +=M 20x +=，化简，即可求解.2MA x =+22224x x y +=++【详解】（1）因为过点A ，B 且A 在直线上，M 0x y +=所以点M 在线段AB 的中垂线上，0x y -=设的方程为：，M 222()()(0)x a y a R R -+-=>则圆心到直线的距离(),M a a 0x y += d 又由，所以在中，，AB 4=Rt OMB 2221()2d AB R +=24R +=又因为与相切，可得，M 2x =-2a R+=联立可得或，所以的半径为2或6.02a R =⎧⎨=⎩46a R =⎧⎨=⎩M （2）因为线段AB 为的一条弦，所以圆心M 在线段AB 的中垂线上，M 设点M 的坐标为，则，()x y ，222||||OM OA MA +=因为与直线相切，所以，M 20x +=2MA x =+所以，所以的轨迹.222222||||4x OM OA x y +=+=++M 24y x =22．椭圆E：＋＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0).22x a 22y b （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，Q (1，0).22142x y +=【分析】（1）由顶点得，结合离心率求得，然后可求得，得椭圆方程；a cb （2）存在点Q (m ，0)满足题意，题意说明直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入求得参数，得定点．1212,x x x x +120k k +=m 【详解】（1）由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝，得c 22c a =由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2.∴所求椭圆的方程为；22142x y +=（2）若存在点Q (m ，0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°，则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由，22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以＞0.∆即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜.16设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，221621k k +2232421k k -+y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，令k 1＋k 2＝＋＝0，11y x m -22y x m -(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0，，2222324162(4)802121k k m m k k -⨯-+⨯+=++化简得，＝0，28(1)21m k -+所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1，0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1122(,),(,)x y x y （需要根据方便性，可能得），代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求1212,x x x x +1212,y y y y +得定点坐标．。

2022-2023学年山东省青岛五十八中高二(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省青岛五十八中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线x +（a 2+1）y +1＝0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（） A ．[0，π4]B ．[3π4，π）C ．[0，π4]∪（π2，π）D ．[π4，π2）∪[3π4，π）2．若直线y ＝3x ﹣1与双曲线C ：x 2﹣my 2＝1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（） A ．19B ．9C ．13D ．33．已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx ﹣2y +2＝0外，则实数m 的取值范围为（） A ．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣3，+∞）4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√245．直线l 的一个方向向量为m →=(1，√2，1)，点P （3，0，﹣1）为直线l 外一点，点O （0，0，0）为直线l 上一点，则点P 到直线l 的距离为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．若圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣2√2，0）∪（0，2√2）B ．（﹣2√2，2√2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣1，1）7．椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y =√3(x +c)与椭圆C的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于（） A ．√3−1B ．√2−1C ．√32D ．√228．若点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3：(x +5)2+y 2=1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（） A ．9B ．10C ．11D ．12二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知双曲线W ：x 22+m−y 2m+1=1．（）A ．m ∈（﹣2，﹣1）B ．若W 的顶点坐标为（0，±√2），则m ＝﹣3C ．W 的焦点坐标为（±1，0）D ．若m ＝0，则W 的渐近线方程为x ±√2y ＝010．已知直线l ：x cos α+y sin α＝1与圆O ：x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，则（） A ．线段AB 的长度为定值B ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2C ．线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1D ．直线l 的倾斜角为π2+α11．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，B 1C 1的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C ﹣EFG 的体积为1B ．A 1C ⊥平面EFG C ．A 1D 1∥平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 夹角的余弦值为√3612．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2=1(a ＞0)的左焦点为F ．过点F 的直线交C 的左支于M 、N 两点，直线l ：x ﹣2y ＝0为C 的一条渐近线，则下列说法正确的有（） A ．a ＝2B ．直线l 上存在点Q ，使得|QF|=5−√3C ．|MN |的最小值为1D ．点M 到直线l '：x ﹣2y ﹣2022＝0距离的最小值为2022 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知m ∈R ，若直线l 1：mx +y +1＝0与直线l 2：9x +my +2m +3＝0平行，则m ＝． 14．过点（1，2）且与圆x 2+y 2＝1相切的直线方程为．15．已知直线l 1：kx +y ＝0（k ∈R ）与直线l 2：x ﹣ky +2k ﹣2＝0相交于点A ，点B 是（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，则|AB |的最大值为．16．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于A 1E ，则△PBC 的面积的最小值为．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知直线l 1过点A （﹣3，0）和B （3，4），直线l ：x ﹣y ﹣1＝0．（1）若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．（2）已知直线m 是过点B 的直线，点C （5，0）到直线m 的距离为2，求直线m 的方程． 18．已知F 1，F 2是椭圆M ：x 22+y 2=1的左右焦点．（1）若C 是椭圆上一点，求CF 1→⋅CF 2→的最小值；（2）直线y ＝x +m 与椭圆M 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．椭圆M 上存在点P 使得四边形OAPB 为平行四边形，求m 的值．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，△P AC 为正三角形，D 为AB 的中点，AC ⊥PD ，∠PCB＝90°．（1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值．20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，CD ∥AB ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝2，E 为P A 中点．（1）求证：ED ∥平面PBC ；（2）已知平面P AD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P ﹣DC ﹣N 的正弦值为2√23？若存在，请求出PN 的长；若不存在，请说明理由．21．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）求点M 的轨迹方程． 22．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点A （﹣2，0），且离心率为√22．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （4，0）任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM +∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023学年山东省青岛五十八中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．直线x +（a 2+1）y +1＝0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（） A ．[0，π4]B ．[3π4，π）C ．[0，π4]∪（π2，π）D ．[π4，π2）∪[3π4，π）解：直线x +（a 2+1）y +1＝0（a ∈R ）的斜率等于−1a 2+1，由于 0＞−1a 2+1≥−1，设倾斜角为 α，则 0≤α＜π，﹣1≤tan α＜0，∴3π4≤α＜π，故选：B ．2．若直线y ＝3x ﹣1与双曲线C ：x 2﹣my 2＝1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（） A ．19B ．9C ．13D ．3解：C ：x 2﹣my 2＝1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y ＝3x ﹣1平行，所以渐近线方程为y ＝±3x ，故m =19．故选：A ．3．已知点A （1，2）在圆C ：x 2+y 2+mx ﹣2y +2＝0外，则实数m 的取值范围为（） A ．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣3，+∞）解：圆C ：x 2+y 2+mx ﹣2y +2＝0，方程可化为（x +m 2）2+（y ﹣1）2=m 24−1，∴m 24−1＞0，∴m ＜﹣2或m ＞2，∵点A （1，2）在圆C 外，∴(1+m 2)2+(2−1)2＞m 24−1，解得m ＞﹣3，∴﹣3＜m ＜﹣2或m ＞2，∴m 的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．故选：A ．4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A ．5√24B ．7√24C ．9√24D ．11√24解：以鼻尖所在为位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则A （12，4），B （−32，2），则直线AB ：y−42−4=x−12−32−12，化简整理可得，x −y +72=0，故原点O 到直线距离为|72|√1+1=7√24．故选：B ．5．直线l 的一个方向向量为m →=(1，√2，1)，点P （3，0，﹣1）为直线l 外一点，点O （0，0，0）为直线l 上一点，则点P 到直线l 的距离为（） A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为直线l 的一个方向向量为m →=(1，√2，1)，OP →=(3，0，−1)，所以点P 到直线l 的距离为√|OP →|2−(OP →⋅m →|m →|)2=√10−(3−12)2=3，故选：C ．6．若圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣2√2，0）∪（0，2√2） B ．（﹣2√2，2√2） C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣1，1）解：圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0），半径为1，圆x 2+y 2＝1上总存在两个点到点（a ，1）的距离为2，可得：1＜√(a −0)2+(1−0)2＜3，解得a ∈（﹣2√2，0）∪（0，2√2）．故选：A ． 7．椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y =√3(x +c)与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于（） A ．√3−1B ．√2−1C ．√32D ．√22解：∵y =√3(x +c)经过左焦点，且斜率为√3， ∴tan ∠MF 1F 2=√3，∴∠MF 1F 2＝60°， ∴∠MF 2F 1＝30°，∴MF 2⊥MF 1，设|MF 1|＝x ，则|MF 2|=|MF 1|tan60°=√3x ，由椭圆的定义可知|MF 2|+|MF 1|＝2a ， ∴x +√3x =2a ，解得x =(√3−1)a ，∴|MF 1|=(√3−1)a ，|MF 2|=√3x =(3−√3)a ，由勾股定理得|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2， ∴(√3−1)2a 2+(3−√3)2a 2=4c 2， ∴c 2a 2=4−2√3，故椭圆离心率c a=√√=√3−1．故选：A ．8．若点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：(x −5)2+y 2=1上，点R 在曲线C 3：(x +5)2+y 2=1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（） A ．9B ．10C ．11D ．12解：在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1（﹣5，0）、F 2（5，0），当|PQ |﹣|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以，|PQ |﹣|PR |≤|PF 2|+1﹣（|PF 1|﹣1）＝|PF 2|﹣|PF 1|+2＝2a +2＝10．故选：B ．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．已知双曲线W ：x 22+m−y 2m+1=1．（）A ．m ∈（﹣2，﹣1）B ．若W 的顶点坐标为（0，±√2），则m ＝﹣3C ．W 的焦点坐标为（±1，0）D ．若m ＝0，则W 的渐近线方程为x ±√2y ＝0 解：因为方程x 22+m−y 2m+1=1表示双曲线，所以（2+m ）（1+m ）＞0，解得m ＞﹣1或m ＜﹣2，故A 错误；若W 的顶点坐标为（0，±√2），则﹣m ﹣1＝（√2）2，解得m ＝﹣3，故B 正确；当m ＞﹣1时，c 2＝（2+m ）+（m +1）＝2m +3，当m ＜﹣2时，c 2＝﹣（2+m ）﹣（m +1）＝﹣2m ﹣3，故C 不正确；若m ＝0，则W 的标准方程为x 22−y 2＝1，渐近线方程为x ±√2y ＝0，故D 正确．故选：BD ．10．已知直线l ：x cos α+y sin α＝1与圆O ：x 2+y 2＝6交于A ，B 两点，则（） A ．线段AB 的长度为定值B ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2C ．线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1D ．直线l 的倾斜角为π2+α解：对于A ，线段AB 为直线l ：x cos α+y sin α＝1被圆O ：x 2+y 2＝6所截得的弦长，圆心O 到直线l 的距离d =√cos 2α+sin 2α=1，圆的半径r =√6，所以|AB|=2√r 2−d 2=2√6−1=2√5，为定值，故选项A 正确；对于B ，因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1，且r ﹣d =√6−1＜2，所以圆O 上有2个点到l 的距离为2，故选项B 错误；对于C ，设AB 的中点为M ，则由圆的几何性质可知，OM ＝1，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆，则线段AB 的中点轨迹方程为x 2+y 2＝1，故选项C 正确；对于D ，当α＝π时，直线l 为x +1＝0，此时直线的倾斜角为π2，不是π2+α，故选项D 错误．故选：AC ．11．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，B 1C 1的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C ﹣EFG 的体积为1B ．A 1C ⊥平面EFG C ．A 1D 1∥平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 夹角的余弦值为√36解：A 选项，S △CEF =2×2−12×1×1−12×1×2=32，所以V C−EFG =V G−CEF =13×32×2=1，A 选项正确；建立如图所示空间直角坐标系，A 1（2，0，2），C （0，2，0），D 1（0，0，2），E （1，0，0），F （2，1，0），G （1，2，2）， A 1C →=(−2，2，−2)，A 1D 1→=(−2，0，0)，EF →=(1，1，0)，EG →=(0，2，2)， A 1C →⋅EG →=0，A 1C →⋅EF →=0，所以A 1C ⊥EG ，A 1C ⊥EF ，由于EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面FEG ，所以A 1C ⊥平面EFG ，B 选项正确；平面EFG 的一个法向量为A 1C →=(−2，2，−2)，A 1D 1→⋅A 1C →=4≠0，所以A 1D 1与平面EFG 不平行，C 选项错误．平面ABCD 的法向量为n →=(0，0，1)，设平面EFG 于平面ABCD 的夹角为θ，则cos θ=|A 1C →⋅n→|A 1C →||n →||=√33，D 选项错误．故选：AB ． 12．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2=1(a ＞0)的左焦点为F ．过点F 的直线交C 的左支于M 、N 两点，直线l ：x ﹣2y ＝0为C 的一条渐近线，则下列说法正确的有（） A ．a ＝2B ．直线l 上存在点Q ，使得|QF|=5−√3C ．|MN |的最小值为1D ．点M 到直线l '：x ﹣2y ﹣2022＝0距离的最小值为2022解：对于A 选项，直线l ：x ﹣2y ＝0为C 的一条渐近线，故1a=12，故a ＝2，故A 正确；对于B 选项，由A 可知，a ＝2，b ＝1，则c =√5，所以F(−√5，0)，点F 到直线x ﹣2y ＝0的距离d =|−√5|√1+2=1＜5−√3，所以直线l 上存在点Q ，使得|QF|=5−√3，故B 正确；对于C 选项当过点F 的直线斜率不存在时，方程为x =−√5，M(−√5，12)或M(−√5，−12)，此时，|MF|=12，|MN|=1，当过点F 的直线斜率存在时，设方程为y =k(x +√5)，故联立方程{y =k(x +√5)x 24−y 2=1得(1−4k 2)x 2−8√5k 2x −20k 2−4=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），因为过点F 的直线交C 的左支于M ，N 两点，所以{ x 1+x 2=8√5k21−4k 2＜0x 1x 2=−20k 2−41−4k2＞01−4k 2≠0Δ=(−8√5k 2)2+4(1−4k 2)(20k 2+4)＞0，解得k ＞12或k ＜−12，所以|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(8√5k21−4k2)2−4×−20k 2−41−4k2=4×1+k24k 2−1=4×1+k24(k 2+1)−5=44−51+k2，因为k ＞12或k ＜−12，所以，1+k 2＞54，4−51+k2∈(0，4)，44−51+k 2＞1，即|MN |＞1，因为过点F 的直线斜率不存在时，|MN |＝1，综上，|MN |的最小值为1，故C 正确；对于D 选项，直线l '和C 的渐近线平行，且l '与C 的左支不相交，故C 上的点M 到直线l '的距离没有最小值，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知m ∈R ，若直线l 1：mx +y +1＝0与直线l 2：9x +my +2m +3＝0平行，则m ＝ 3 ．解：m ∈R ，若直线l 1：mx +y +1＝0与直线l 2：9x +my +2m +3＝0平行，则m ≠0且9m=m 1≠2m+31，则m ＝3，故答案为：3．14．过点（1，2）且与圆x 2+y 2＝1相切的直线方程为 3x ﹣4y +5＝0或x ＝1 ．解：设切线方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y +2﹣k ＝0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即√k 2+1=1，解得k =34，其方程为3x ﹣4y +5＝0．又，当斜率不存在时，切线方程为x ＝1．故答案为：3x ﹣4y +5＝0或x ＝1．15．已知直线l 1：kx +y ＝0（k ∈R ）与直线l 2：x ﹣ky +2k ﹣2＝0相交于点A ，点B 是（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，则|AB |的最大值为 5+2√2 ．解：直线l 1：kx +y ＝0（k ∈R ）恒过定点P （0，0），直线l 2：x ﹣ky +2k ﹣2＝0经过定点Q （2，2），由k •1+1•（﹣k ）＝0，可得l 1，l 2相互垂直，可得A 在以PQ 为直径的圆C 1：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2上，又B 是圆C 2：（x +2）2+（y +3）2＝2上的动点，可得|AB |的最大值为|C 1C 2|+2√2=√(1+2)2+(1+3)2+2√2=5+2√2．故答案为：5+2√2．16．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，点P 在侧面ABB 1A 1内，若D 1P 垂直于A 1E ，则△PBC 的面积的最小值为2√55．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则根据题意可得： E （2，2，1），D 1（0，2，2），A 1（0，0，2），设P （a ，0，b ），则 D 1P →=(a ，−2，b −2)，A 1E →=(2，2，−1)，由D 1P ⊥A 1E ，可得D 1P →⊥A 1E →，故D 1P →⋅A 1E →=2a −4−b +2=0，∴b ＝2a ﹣2，取AB 的中点N ，连结B 1N ，则P 点轨迹为线段B 1N ，过B 作BQ ⊥BN ，垂足为Q ，由于BB 1＝2，BN ＝1，∴B 1N =√4+1=√5，则BQ =1×25=2√55，又BC ⊥平面ABB 1A 1，BQ ⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥BQ ，当P 点位于Q 点位置时，由于BC ＝2，此时△PBC 的面积最小， ∴△PBC 的面积最小值为S △QBC =12×2×2√55=2√55，故答案为：2√55．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知直线l 1过点A （﹣3，0）和B （3，4），直线l ：x ﹣y ﹣1＝0．（1）若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．（2）已知直线m 是过点B 的直线，点C （5，0）到直线m 的距离为2，求直线m 的方程．解：（1）直线l 1的方程为y−04−0=x+33+3，即2x ﹣3y +6＝0，取直线l 1上的一点A （﹣3，0），设A （﹣3，0）关于直线l ：x ﹣y ﹣1＝0的对称点为（a ，b ），则{b−0a+3=−1a−32−b+02−1=0，解得a ＝1，b ＝﹣4．由{x −y −1=02x −3y +6=0解得x ＝9，y ＝8，所以直线l 2过点（1，﹣4）和点（9，8），所以直线l 2的方程为y−8−4−8=x−91−9，即3x ﹣2y ﹣11＝0．（2）直线m 斜率不存在时，可得x ＝3，点C （5，0）与直线x ＝3的距离为2，符合题意．当直线m 斜率存在时，设直线斜率为k ，故可得直线m 的方程为y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，因为点C （5，0）到直线m 的距离为2，即√k 2+1=2，解得k =−34，故可得直线m 的方程为−34x −y −3×(−34)+4=0，即3x +4y ﹣25＝0，综上所述，直线m 的方程为：x ＝3或3x +4y ﹣25＝0． 18．已知F 1，F 2是椭圆M ：x 22+y 2=1的左右焦点．（1）若C 是椭圆上一点，求CF 1→⋅CF 2→的最小值；（2）直线y ＝x +m 与椭圆M 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．椭圆M 上存在点P 使得四边形OAPB 为平行四边形，求m 的值．解：（1）由椭圆方程x 22+y 2=1，可得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设C （x ，y ），则CF 1→=(−1−x ，−y)，CF 2→=(1−x ，−y)，所以CF 1→⋅CF 2→=x 2+y 2−1，将原椭圆方程变形y 2=1−x 22并代入得，CF 1→⋅CF 2→=x 2+1−x 22−1=x 22，又由椭圆的几何性质可得x ∈[−√2，√2]，所以当x ＝0时，CF 1→⋅CF 2→的最小值为0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =x +mx 22+y 2=1，得3x 2+4mx +2m 2﹣2＝0，判别式Δ＝（4m ）2﹣12（2m 2﹣2）＝﹣8m 2+24＞0，解得−√3＜m ＜√3，由根与系数之间的关系得x 1+x 2=−4m3，y 1+y 2=x 1+m +x 2+m =2m3，又四边形OAPB 为平行四边形，A ，B 两点中点(x 1+x 22，y 1+y 22)和O ，P 两点中点重合，即A ，B 两点中点坐标为(−2m 3，m3)，推出P 点坐标(−4m 3，2m3)，又因为P 点在椭圆上， ∴(−4m 3)22+(2m3)2=1，解得m =±√32∈(−√3，√3)， ∴m =±√32．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，△P AC 为正三角形，D 为AB 的中点，AC ⊥PD ，∠PCB ＝90°．（1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求PD 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）证明：取AC 中点记为O ，连OP ，OD ， ∵OD ∥CB ，AC ⊥CB ，∴AC ⊥CD 又∵AC ⊥OD ，AC ⊥OP ，PO ∩OD ＝O ， ∴AC ⊥面POD ，∴AC ⊥OD ， ∴AC ⊥BC ，∵∠PCB ＝90°．所以BC ⊥PC ，又PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC ．（2）由（1）知BC ⊥平面P AC ，又BC ∥OD ，所以OD ⊥平面P AC ，所以OD ⊥OP ，以O 为原点，OA ，OD ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则P （0，0，√3），D （0，2，0），C （﹣1，0，0），B （﹣1，4，0）所以PB →=（﹣1，4，−√3），PC →=（﹣1，0，−√3），设平面PBC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），所以{n →⋅PB →=0n →⋅PC →=0，所以{−x +4y −√3z =0−x −√3z =0，令z =√3，则y ＝0，x ＝﹣3，所以平面PBC 的一个法向量为n →=（﹣3，0，√3），又PD →=（0，2，−√3）设PD 与平面PBC 所成角为θ， sin θ=|cos <n →，PD →>|=|n →⋅PD →||n→|⋅|PD→|=√2114，∴PD 与平面PBC 所成角的正弦值为√2114． 20．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，CD ∥AB ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝2，E 为P A 中点．（1）求证：ED ∥平面PBC ；（2）已知平面P AD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使二面角P ﹣DC ﹣N 的正弦值为2√23？若存在，请求出PN 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：取PB 的中点F ，连接EF ，FC ， ∵E ，F 分别为P A ，PB 的中点，∴EF 是△P AB 的一条中位线，则EF ∥AB 且EF =12AB ，又∵CD ∥AB 且CD =12AB ，∴EF ∥CD 且EF ＝CD ，则CDEF 为平行四边形， ∴ED ∥CF ，ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ， ∴ED ∥平面PBC ；（2）由题意可得：AD =BD =2√2，则AD 2+BD 2＝AB 2，即AD ⊥BD ，取AD 的中点M ，连接PM ， ∵P A ＝PD ，则PM ⊥AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PM ⊂平面P AD ， ∴PM ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则可得：D(0，0，0)，A(2√2，0，0)，B(0，2√2，0)，C(−√2，√2，0)，P(√2，0，√2)，E(3√22，0，√22)，则DP →=(√2，0，√2)，DC →=(−√2，√2，0)，设平面PCD 的法向量n →=(a ，b ，c)，则有{n →⋅DP →=0n →⋅DC →=0，即{√2a +√2c =0−√2a +√2b =0，则可取n →=(1，1，−1)，由（1）可得：ED ∥平面PBC ，ED ⊂平面P AD ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ， ∴ED ∥l ，则直线l 的方向向量可以是DE →=(3√22，0，√22)，设PN →=λDE →，则N (√2+3√22λ，0，√2+√22λ)，DN →=(√2+3√22λ，0，√2+√22λ)， DC →=(−√2，√2，0)，设平面DCN 的法向量m →=(x ，y ，z)，则有{m →⋅DN →=0m →⋅DC →=0，即{(√2+3√22λ)x +(√2+√22λ)z =0−√2x +√2y =0，则可取m →=(λ+2，λ+2，−(3λ+2))， ∵二面角P ﹣DC ﹣N 的正弦值为23√2，∴二面角P ﹣DC ﹣N 的余弦值的绝对值为13，则|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=|5λ+6|√3×√(λ+2)+(λ+2)+(3λ+2)=13，解得λ＝﹣1或λ=−32，当λ=−32时，PN →=(−94√2，0，−3√24)，此时PN 的长为32√5，当λ＝﹣1时，PN →=(−32√2，0，−√22)，此时PN 的长为√5．21．已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）求点M 的轨迹方程．解：因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的中垂线上，又A 在直线x +y ＝0上，且点A ，B 关于坐标原点O 对称，所以点M 在直线y ＝x 上，设M （a ，a ）因为圆M 与直线x +2＝0相切，所以圆M 的半径r ＝|a +2|，由|AB |＝4，所以可得2＝|OA |，因为OA ⊥OM ，所以OA 2+OM 2＝AM 2＝r 2，即22+2a 2＝（a +2）2，解得：a ＝0或a ＝4，所以⊙M 的半径为r ＝2或r ＝6；（2）∵线段AB 为⊙M 的一条弦，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M 的坐标为（x ，y ），则|OM |2+|OA |2＝|MA |2，∵⊙M 与直线x +2＝0相切，∴|MA |＝|x +2|，∴|x +2|2＝|OM |2+|OA |2＝x 2+y 2+4， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x ．22．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点A （﹣2，0），且离心率为√22．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点P （4，0）任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ．在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM +∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）x 24+y 22=1，（Ⅱ）若存在点Q （m ，0），使得∠PQM +∠PQN ＝180°，则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2．等价于k 1+k 2＝0，依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4）．由{y =k(x −4)x 24+y 22=1，得（2k 2+1）x 2﹣16k 2x +32k 2﹣4＝0，因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0．即（16k 2）2﹣4（2k 2+1）（32k 2﹣4）＞0，解得k 2＜16．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=16k22k 2+1，x 1x 2=32k 2−42k 2+1，y 1＝k （x 1﹣4），y 2＝k （x 2﹣4）．令k 1+k 2=y 1x 1−m +y2x 2−m =0，即（x 1﹣m ）y 2+（x 2﹣m ）y 1＝0，（x 1﹣m ）•k （x 2﹣4）+（x 2﹣m ）•k （x 1﹣4）＝0，当k ≠0时，2x 1x 2﹣（m +4）（x 1+x 2）+8m ＝0，所以2×32k 2−42k 2+1−（m +4）×16k22k 2+1+8m =0，化简得，8(m−1)2k 2+1=0，所以m ＝1．当k ＝0时，也成立．所以存在点Q （1，0），使得∠PQM +∠PQN ＝180°．。

山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

> 0,b > 0)
，
则双曲线的渐近线方程为：
y
=
±
b a
x
，又渐近线方程为
y
=
±
4 3
x
，所以
b a
=
4 3
，
c2
=
b2
+
a2
=
25 ，解得 a
=
3, b
=
4 ，所以双曲线的方程为
x2 9
-
y2 16
=1．
故选：B． 6．B 【分析】根据一般式中两直线平行满足的条件，即可求解.
答案第21 页，共22 页
所以 EF = a = r1 - r2 = 1Þ a = ±1 . 故选：B 5．B
c 【分析】由题得
=
5
a,b, c ，根据渐近线方程及
ìc2
关系得到方程组
ï í
b
= 25 4 ，解出即可.
ïî a = 3
【详解】双曲线的焦点在 x 轴上，且 c
= 5 ，设双曲线的方程为
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
(2)若过点 Q (2, 0) 作 QH ^ l ，垂足为 H（不与点 Q 重合），是否存在定点 T，使得 HT
为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由．
试卷第51 页，共33 页
1．D
参考答案：
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【详解】设直线的倾斜角为q ， 0π£ q < ，
A．3
B． ±1
C． ±3
D．1
5．若双曲线焦点的坐标为
(5,
0)

山东省青岛市高二上学期数学期中考试试卷

山东省青岛市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·孟津期末) 若p：φ= +kπ，k∈Z，q：f（x）=sin（ωx+φ）（ω≠0）是偶函数，则p是q的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2017高二下·湖北期中) 下列说法错误的是（）A . 若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题B . 已知命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0C . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件3. （2分）(2017·河南模拟) 已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C： =1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A . 1B . =1C . =1D . =14. （2分）椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点，四边形OMPN的周长为，则△PF1F2的周长是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·延边月考) 已知为坐标原点，椭圆方程为，斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为中点，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知命题“在△ 中，若，则”，则在命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A .B .C .D .8. （2分）过点（0，1）引x2+y2－4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（）.A .B .C .D .9. （2分）(2020·银川模拟) 已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）已知等比数列的首项公比，则（）A . 50B . 35C . 55D . 4612. （2分） (2019高二上·南通月考) 过点的直线与椭圆交于两点，若则直线的斜率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 已知p：∃x∈R，mx2+1≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．14. （1分）已知直线y=x+m被椭圆4x2+y2=1截得的弦长为，则m的值为________．15. （1分）(2020·湖南模拟) 已知向量满足，若，则的最小值为________.16. （1分） (2017高一上·惠州期末) 已知单位向量，的夹角为，那么| |=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知p若对任意x＞﹣1，不等式≥a恒成立，q：方程ax2﹣ax+1=0有实数解．若p且q 为假，p或q为真，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高二下·长沙期末) 已知动点G(x,y)满足（1）求动点G的轨迹C的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线交于不同的两点 ,且线段中点恰好为Q.求的面积；19. （10分） (2019高二上·南通月考) 已知椭圆C： 1（a＞b＞0）经过点（，1），F（0，1）是C的一个焦点，过F点的动直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程（2）是否存在定点M（异于点F），对任意的动直线l都有kMA+kMB＝0，若存在求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．20. （10分） (2019高三上·上海月考) 已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.（1）求圆的方程；（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.21. （10分）(2019·浙江模拟) 已知椭圆左顶点为，为原点，，是直线上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点（1）若，求的面积的最小值；（2）若，，三点共线，求实数的值.22. （10分） (2016高二上·淮南期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=90°，AB⊥侧面BB1CC1 ．（1）求直线C1B与底面ABC所成角的正弦值；（2）在棱CC1（不包含端点C，C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．（3）在（2）的条件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的大小．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

山东省青岛市高二上学期期中数学试题

山东省青岛市高二上学期期中数学试题姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高三上·烟台期中) 已知 0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A . ca＞cbB.C . bac＞abcD . logac＞logbc2. （2 分） (2018·邢台模拟)成等比数列，，且的内角，，的对边分别为，， .已知，则（），，A.B.C.D. 3. （2 分）在等差数列中，公差 d >0，项的和，那么满足条件 >0 的最小自然数 n＝（） A . 4018 B . 4017 C . 2009是方程第 1 页共 16 页的两个根，是数列的前 nD . 2010 4. （2 分）已知，则的最小值是（）A. B. C.D.5. （2 分）设是公差不为 0 的等差数列，成等比数列，则的前 n 项和（）A.B.C. D. 6. （2 分） (2019 高一下·慈利期中) 在△ABC 中，已知，∠B=30°，，则等于（）A.B.C.D. 7. （2 分） (2019 高一上·吐鲁番月考) 已知 A . a+b B . b-a，用 a,b 表示（）第 2 页共 16 页C . 2a+b D . a+2b 8. （2 分）已知正项数列中，al＝1，a2＝2，2 ＝＋ (n≥2)，则 a6 等于（） A . 16 B.8C.2 D.4 9. （2 分） (2018 高一下·安庆期末) 在△中，,则等于（）A.B.C. D.10. （2 分） (2019 高二上·洛阳月考) 已知实数值为则实数的值为（）满足A.2B.3C.4D.5，如果目标函数的最小11. （2 分） (2019 高三上·成都月考) 若数列成等比数列，则（）各项不相等的等差数列，，且，，第 3 页共 16 页A . 18 B . 28 C . 44 D . 4912. （2 分）已知，则的最小值是（）A. B.C. D.5二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一下·宿州期中) 设 x、y∈R 且 x+y=4,则 3x+3y 的最小值是________.14. （1 分） (2019 高二上·河南月考) 已知实数满 ________．，则的最大值为15.（1 分）(2019·通州模拟) 设是等比数列，且，，则的通项公式为________．16. （1 分） (2019 高一下·广东期中) 在的形状为________.中，若，则三角形三、解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，公差 d≠0，S5=4a3+6，且 a1 ， a3 ， a9 成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前 n 项和公式．第 4 页共 16 页18. （10 分） (2018 高一下·江津期末) 在 .中，角的对边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求角的大小.19. （5 分） (2018 高一上·泰安月考) 已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间上的最大值与最小值．20. （10 分） (2019 高一上·葫芦岛月考)（1）若（2）若，求的取值范围；（），求关于的不等式的解集.21. （10 分） (2019 高二上·绍兴期末) 从原点分别为 , ，记切线，的斜率分别为向圆，．（Ⅰ）若圆心，求两切线，的方程；（Ⅱ）若，求圆心的轨迹方程．22. （15 分） (2019 高二下·深圳期中) 已知数列的等比数列，，.为等差数列，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和 .作两条切线，切点；数列是公比为第 5 页共 16 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、考点：参考答案解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：第 6 页共 16 页答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：第 7 页共 16 页答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：第 8 页共 16 页解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、第 9 页共 16 页考点：解析：二、填空题 (共 4 题；共 4 分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：第 10 页共 16 页解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

山东省青岛市高二上学期期中数学试卷

山东省青岛市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）直线的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°2. （2分） (2016高二上·合川期中) 设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平的，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m∥n，n⊂α，则m∥α④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中正确命题的序号是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④3. （2分）已知直线x﹣y﹣2=0与直线mx+y=0垂直，那么m的值是（）A . -2B . -1C . 1D . 24. （2分） (2017高一上·滑县期末) 已知两条不同直线a，b及平面α，则下列命题中真命题是（）A . 若a∥α，b∥a，则a∥bB . 若a∥b，b∥α，则a∥αC . 若a⊥α，b⊥α，则a∥bD . 若a⊥α，b⊥a，则b⊥α5. （2分）已知三条直线a,b,c,若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 平行、相交或异面6. （2分）下列判断正确的是（）A . 棱柱中只能有两个面可以互相平行B . 底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱C . 底面是正六边形的棱台是正六棱台D . 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥7. （2分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．当A1 ， E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（）A . AC=BCB . VC⊥VDC . AB⊥VCD . S△VCD·AB=S△ABC·VO二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分） (2018高一上·深圳月考) 已知实数x,y满足，则的最小值为________ .10. （1分） (2017高三上·东莞期末) 轴截面是正三角形的圆锥的表面积与它的外接球的表面积的比是________．11. （2分）(2017·金华模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．12. （1分） (2019高一上·吉林月考) 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.13. （1分）已知M（﹣2，1），N（3，2），直线y=kx+1与线段MN有交点，则k的范围是________14. （1分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF 与GH所成的角等于________.15. （1分） (2016高二上·曲周期中) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则3a+b的最小值为________三、解答题 (共5题；共30分)16. （5分）如图，直线OA，OB方程分别为y=x和y=﹣ x，过点P（2，0）作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在与直线2x+y+m=0，（m∈R）垂直且过原点的直线上时，求直线AB的方程．17. （10分） (2015高二下·忻州期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD．（1）求证：平面PAB⊥平面PDC（2）在线段AB上是否存在一点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．若存在，求的值；若不存在，说明理由．18. （5分）如图，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若多面体ABCDP的体积是，求直线PD与平面ABCD所成的角．19. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．（Ⅰ）求证：平面AOC'⊥平面 ABD；（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．20. （5分） (2017高二上·临淄期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1 ， ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．请建立适当的坐标系，求解下列问题：（Ⅰ）求证：异面直线A1D与BC互相垂直；（Ⅱ）求二面角（钝角）D﹣A1C﹣A的余弦值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共30分)16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、。

山东省青岛市高二上学期期中数学试卷

山东省青岛市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知{an}为正项等比数列，Sn是它的前n项和．若a1=16，且a4与a7的等差中项为，则S5的值（）A . 29B . 31C . 33D . 352. （2分）不等式的解集为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）A .B .C . -D . -4. （2分）(2019·榆林模拟) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角 =（）A .B .C .D .5. （2分）已知a>b>0，则下列不等式中总成立的是（）A .B .C .D .6. （2分）在等差数列中，，则的值是（）A . 24B . 48C . 96D . 无法确定7. （2分）(2017高二上·南阳月考) 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（）A .B .C .D .8. （2分）函数在区间上恒为正值，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）已知数列中，，（），能使的可以等于（）.A . 14B . 15C . 16D . 1710. （2分）设函数的导函数则数列的前n项的和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高一下·宜宾期中) 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A . 130B . 170C . 210D . 26012. （2分） (2019高三上·广州月考) 已知离心率为e，焦点为的双曲线C上一点P满足，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________14. （1分）(2017·长沙模拟) 已知数列{an}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N* ，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．若，其中m为给定的正整数，则d的所有可能取值的和为________．15. （1分）不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是________．16. （1分） (2018高二上·西安月考) 在中，，，的角平分线，则 ________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2016高二上·黑龙江开学考) 已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2 ，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=anlog an ，求数列{bn}的前n项和Sn ．18. （10分）(2017·大连模拟) 设函数f（x）=|x+4|．（1）若y=f（2x+a）+f（2x﹣a）最小值为4，求a的值；（2）求不等式f（x）＞1﹣ x的解集．19. （5分）已知点（1，2）是函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn=f （n）﹣1．求数列{an}的通项公式.20. （5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．21. （5分）(2020·山东模拟) 已知数列的前项和为，且（），数列满足，（）．（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，证明：．22. （10分） (2016高一下·姜堰期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求的值；（2）若，求tanA及tanC的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。

山东省青岛市第58中学高二数学上学期期中试题

2016—2017学年第一学期期中模块考试高数学试卷2016．11第Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分） 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） AB ．C ．44π+D ．24π+2．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是（） A ．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B ．梯形的直观图可能不是梯形 C ．正方形的直观图为平行四边形 D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形3．直线与直线互相垂直，则的值为（） A ． B. C ． D ． 4．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =，BC AD ⊥，则三棱锥的外接球的表面积为（）B. 6πC. 5πD. 8π5．直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. B. C. D. 6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,AA C D 的中点，G 是侧面11BCC B 的中心，则空间四边形AEFG 在正方体的六个面上的射影图形面积的最大值是（）A 7．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则）A ．2BC ．3D 8．下列说法错误的是（）A ．若直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线a 不一定平行于直线bB ．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC ．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，l αβ=，则l 一定垂直于平面v9．若满足, 则直线过定点（） A ． B ． C ． D ．10．已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（） A ． B ．)21,61(-)21,61(-)61,21(-)61,21(03=++n y mx 012=-+n m n m ,224680x y x y +-+-=224680x y x y +-++=(2,3)-）（1,1-）（0,0）（1,1-P x y -=P B A 、y x 0632=-+y x 211-2-a (1)230a x y +-+=10x ay ++=C ．D ．11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A ．B ．C ．D ．12．如图在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 中点，则下列命题正确的是（） A ．//BE 面PAD ，且直线BE 到面PAD 距离为B ．//BE 面PAD ，且直线BE 到面PAD 距离为C ．BE 不平行于面PAD ，且BE 与平面PAD 所成角大于030 D ．BE 不平行于面PAD ，且BE 与平面PAD 所成角小于030二、填空题（共4题，每题5分）13．如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊥PA ⊙O ，C 为圆周上一点，若cm AB 5=，cm AC 2=，则B 点到平面PAC 的距离为。

山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

2022级高三调研测试4（期中）数学试题 2024.10注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则A ．{1，2，3} B ．{0，1，2}C ．{1，2，5}D ．{0，1，2，5}2．已知，则|z |＝A ．2B ．1CD3．已知，．若，则A ．B ． CD4．已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5，则此正四棱锥的体积为A．B ．C ．D ．6．已知函数则f （x ）图象上关于原点对称的点有A．1对B ．2对C ．3对D ．4对7．已知函数，函数f （x ）的图象各点的横坐标缩小为原来的6|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|15Q x x =-<≤P Q = i22iz =-||a = ||1b =()2a b a +⊥ cos ,a b ={}n a n S 31S ma =7m ={}n a ()21,0,2|2|,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+<⎩≥()2211cos sin cos 222222x x x x f x =-12（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．若方程在上有两个不同的解，，则的值为A ．B ．C ．D ．π8．若关于x 不等式恒成立，则当时，的最小值为A ．B ．C ．eD ．1二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

山东省青岛第五十八中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题

山东省青岛第五十八中学2022-2023学年高二上学期10月月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、填空题
13．已知(2,4)A --，(1,5)B 两点到直线: 10l a x y ++=的距离相等，则实数a 的值为. 14．如图：已知二面角l αβ--的大小为120°，点A α∈，B β∈，AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于D ，且1AC CD DB ===，则直线AB 与CD 所成角的正弦值为.
四、解答题
17．已知Rt ABC △的顶点(8,5)A ，直角顶点为()3,8B ，顶点C 在y 轴上，求： (1)顶点C 的坐标；
(2)Rt ABC △外接圆的一般方程. 18．已知直线l 过点()3,4P -
(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的一般式方程．
(2)若直线l 与x 轴负半轴、y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，求A O B V 的面积的最小值． 19．已知平行六面体1111ABCD A B C D -，11AD AA AB ===，
1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=o
，1113AC NC =u u u u r u u u u r ，
14D B MB =u u u u r u u u r ，设A B a u u r r =，AD b =u u u r r ，1AA c =u u u r r ；
(1)求MN 的长度；
(2)求异面直线11AC 与1D B 所成的角的余弦值．
20．已知圆心为C 的圆经过点()1,0A 和()1,2B --，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.。

2022-2023学年山东省青岛市高二年级上册学期期中考试数学试题

2022-2023学年度第一学期期中学业水平检测高二数学试题本试卷4页，22小题，满分150分．用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校把纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按50%、20%、30%的比例记入学期总评成绩，90分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表(单位：分)：纸笔测试实践能力成长记录甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙908890则学期总评优秀的是A ．甲B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、丙2．数列234513579，，，，的一个通项公式是A ．21n na n =+B ．21n na n =- C ．23n na n =- D ．23n na n =+ 3．某社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的月收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出人数是A ．100B ．50C ．40D ．254．已知一组数据：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6，则其第70百分位数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．从一批产品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列事月收入（元）件是互斥事件的是：①恰有一件次品和恰有两件次品 ②至少有一件次品和全是次品 ③至少有一件正品和至少有一件次品 ④至少有一件次品和全是正品 A ．①② B ．①④ C ．③④ D ．①③ 6．若数列916m x n --，，，，是等比数列，则x 的值是A ．12B ．12±C ．12-D ．12.5- 7．有6个相同的小球，分别标有数字123456，，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字为2”，乙表示事件“第二次取出的球的数字为3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则 A ．丙与丁相互独立 B ．甲与丙相互独立C ．乙与丙相互独立D ．乙与丁相互独立 8．集合论是德国数学家康托尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美表现之一”．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段，……，将这样操作一直继续下去，直至无穷．由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段的数目越来越多，长度越来越小，在极限情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在前n 次操作中共去掉的线段长度之和不小于2930，则n 的最小值为（参考数据：4771.03lg ,3010.02lg ==）A ．9B ．8C ．7D ．6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年山东省青岛市青岛高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知向量1)2(0a =，，，112()b =--，，，则a 与b 的夹角为（）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°C【分析】根据向量夹角的坐标运算公式可求得答案. 【详解】解：∵cos a b 〈，〉＝||||a ba b ⋅＝2256-⨯＝0，0180a b ︒≤≤︒〈，〉， ∴90a b =︒〈，〉.故选：C.2．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B 等于（）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．b a c -+D ．b a c --D【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】因为三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，所以四边形11ACC A 是平行四边形，故11AA CC =，所以()()1111A B CB CA CB CA AA CB CA CC a b c =-=-+=-+=-+-．故选：D ．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（） A ．31x y += B ．31x y -=C ．30x y +=D ．30x y -=C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边，所以其欧拉线方程为斜边上的中线，设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -，所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.4．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且=++NM xAB y AD z AP ，2=PM MC ，=PN ND ，则x y z ++的值为（）A ．23-B ．23C ．1D ．56B【分析】将PM 、PN 用AB 、AD 、AP 加以表示，利用空间向量的减法法则可得出NM 关于AB 、AD 、AP 的表达式，由此可求得x y z ++的值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，故AB 、AD 、AP 为空间向量的一个基底，2PM MC =，故()()222333PM PC AC AP AB AD AP ==-=+-， PN ND =，则()1122PN PD AD AP ==-，因此，()()2121132366NM PM PN AB AD AP AD AP AB AD AP =-=+---=+-，所以，23x =，16y =，16z =-，所以，21123663x y z ++=+-=. 故选：B.5．设1F 、2F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，动点P 在椭圆上，当12PF F △面积最大时，12PF PF ⋅的值等于（）A ．0B ．1C ．2D ．4C【分析】根据面积公式可知当P 为上或下顶点时，12PF F △面积取最大值，求出点P 坐标，由数量积公式即可求出结果．【详解】根据对称性不妨设点(),,0P x y y >，因为224,3,a b ==所以1c则12PF F △面积为1212S F F y cy cb =⨯⨯=≤=当y b ==12PF F △面积取最大值，此时(P ，又()()121,0,1,0F F -则()(121,3,1,PF PF =--=-，所以12132PF PF ⋅=-+= 故选：C ．6．设双曲线22221(0)x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点．已知原点到直线l 的距，则双曲线的离心率为（）A ．2 BC D A【分析】易得直线l 的方程为1x ya b +=，然后由原点到l 的距离d ==求解. 【详解】因为直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点．所以直线l 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，所以原点到l 的距离d ==①．又222(0)c a b a b =+<<②，所以2ab =，即224b c a a ⋅=，故2=，解得2e =或e =当e =223a b ，与a b <矛盾，所以2e =．故选：A7．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面11BCC B所成角的正弦值为（） A ．710B ．1510C ．8510D ．1510-B【分析】取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设2AC =，则()()()310,1,0,0,0,2,3,0,0,,22A M B N ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()0,1,2AM =，平面11BCC B 的一个法向量为33,,022n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设AM 与平面11BCC B 所成角为α，向量AM 与n 所成的角为θ，所以3152sin cos 53AM nAM nαθ⋅====⨯⋅ 即AM 与平面11BCC B 15 故选：B ．8．如果圆()()22:8C x a y a -+-=2a 的取值范围是（）A ．()()3,11,3--⋃B ．()3,3--C ．[]1,1-D ．(][)3,11,3--⋃A【分析】根据条件转化为圆221:2C x y +=与圆()()22:8C x a y a -+-=有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即可求a 的取值范围.221:2C x y+=，因此圆()()22:8C x a y a-+-=转化为圆221:2C x y+=与圆()()22:8C x a y a-+-=有两个交点，∵两圆的圆心和半径分别为()10,0C，1r=(),C a a，r=∴111r r C C r r-<<+，<解得实数a的取值范围是()()3,11,3--⋃.故选：A.二、多选题9．下列关于曲线22:1(0,0)C mx ny m n+=>>的说法正确的是（）A．当m n=时，曲线C表示圆；B．当m n>时，曲线C表示焦点在x轴的椭圆；C．点()0,0是曲线C的对称中心；D．曲线C表示椭圆时，其焦距为ACD【分析】根据给定的方程，结合圆、椭圆的定义、性质逐项判断作答.【详解】曲线22:1(0,0)C mx ny m n+=>>，对于A，当m n=时，方程为221x ym+=A正确；对于B，当m n>时，方程为22111x ym n+=，11m n<<，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B不正确；对于C，曲线22:1C mx ny+=上任意点(,)x y，显然有2222()()1m x n y mx ny=-+-+=，即点(,)x y--也在曲线C上，因此点()0,0是曲线C的对称中心，C正确；对于D，曲线C表示椭圆，则m n≠，令曲线22111x ym n+=的半焦距为c，则211||cm n=-，因此椭圆C的焦距2c=D正确.故选：ACD10．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =-，则（） A ．若//l α，则23m n -= B ．若l α⊥，则23m n -= C ．若//l α，则20mn += D ．若l α⊥，则20mn +=AD【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.【详解】若//l α，则a b ⊥，即有0a b ⋅=，即230m n -++=，即有23m n -=，故A 正确，C 错误；若l α⊥，则//a b ，即有b a λ=，可得2,,13m n λλλ-===，解得11,6,33m n λ==-=，则2220mn +=-+=，故B 错误，D 正确．故选：AD11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，且一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的方程可能为（） A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=AD【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为224x y λ-=()0λ≠，分0λ> 和0λ<两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．【详解】解：椭圆22194x y +=中，c == ∴焦距12||2F F c ==双曲线C 与椭圆22194x y +=有相同的焦距，一条渐近线方程为20x y -=， ∴设双曲线的方程为224x y λ-=()0λ≠，即2214x y λλ-=，当0λ>时，c ，解得1λ=， ∴双曲线的方程为2214x y -=；当0λ<时，c 1λ=-， ∴双曲线的方程为2214x y -=；综上，双曲线的方程可能为2214x y -=或2214x y -=．故选：AD.12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =，过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有（）A ．椭圆的方程为22194x y +=BC ．椭圆上存在2个点Q ，使得120QF QF ⋅=D ．直线l 的方程为89250x y -+= AD【分析】根据112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =，利用勾股定理和椭圆的定义求得a ，b ，c ,得得到焦距和椭圆方程判断选项AB ；然后根据120QF QF ⋅=，得到点Q 在以12F F 为直径的圆上，再根据c b >，判断选项C ；根据过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，得到点(2,1)M -为弦AB 的中点，利用点差法求解判断选项D.【详解】因为112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =，所以()12132c a PF PF ===+=，则2b =，所以椭圆的方程为22194x y +=，椭圆的焦距为A 正确；B 错误；由120QF QF ⋅=知：1290FQF ∠=，所以点Q 在以12F F 为直径的圆上，因为c b >，所以圆与椭圆有4个交点，故C 错误；因为过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，所以点(2,1)M -为弦AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112211194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：121212124899ABy y x x k x x y y -+==-⋅=-+，所以直线l 的方程为()8129y x -=+，即89250x y -+=，故D 正确，故选：AD三、填空题13．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．22(1)(1)5x y -++=【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，R ， 222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210x y +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.故22(1)(1)5x y -++=14．已知(2,1,2)=-a ，(2,2,1)b =，则a 在b 上的投影向量为_______（用坐标表示） 884(,,)999【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为(2,1,2)=-a ，(2,2,1)b =，所以4,3a b b ⋅==，设a 在b 上的投影向量为m ，则884,,999a b b m b b ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，故884(,,)99915．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===AB AD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．2【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解．【详解】11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯2=，12AC ∴=2．本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．四、双空题16．已知不经过坐标原点O 的直线l 与圆C ：22440x y x y +-+=交于A ，B 两点，若锐角ABC 的面积为23AB =___________，cos AOB ∠= ___________. 2233【分析】根据已知利用面积公式可求得60ACB ∠=︒，即可求得22AB r ==等于圆心角的一半及圆内接四边形的对角互补，可求得30AOB ∠=︒或150°，计算即可得出结果. 【详解】因为圆C 的半径22r = 所以ABC 的面积21sin 4sin 232S r ACB ACB =∠=∠= 所以3sin ACB ∠=.又ABC 为锐角三角形，所以60ACB ∠=︒， ∴22AB r ==因为点O 在圆C 上，所以30AOB ∠=︒或150°，故3cos AOB ∠=3故22；32或32-五、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为22．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值． 23【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V Sh h V S A A V ---=⋅===⋅==，解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-，则11cos ,22m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --18．已知点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,a AB b AC == (1)若||3,//c c BC =，求c ； (2)求cos ,a b ；(3)若ka b +与2ka b -垂直，求k ． (1)(2,1,2)c =--或(2,1,2)c =-(2)(3)52k =-或2k =【分析】（1）利用向量平行设c 的坐标，结合向量的模的坐标表示可得；（2）由向量夹角的坐标表示直接可求；（3）根据向量垂直其数量积为0可解. 【详解】（1）解：由题知(2,1,2)BC =--，因为c BC ∥，故设(2,,2)c λλλ=--，又因为3c =，3==，得1λ=±，故(2,1,2)c =--或(2,1,2)c =-（2）解：由题知，(1,1,0)a AB ==，(1,0,2)b AC ==-所以1cos ,2a b a b a b⋅-<>===⨯，（3）解：因为(1,1,0)a AB ==，(1,0,2)b AC ==-所以,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-，2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+- 又ka b +与2ka b -互相垂直，所以2()(2)(1)(2)80ka b ka b k k k +⋅-=-++-=，解得52k =-或2k =所以52k =-或2k =19．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 与x 轴相切，点(5,2)P --在圆C 上，点(4,5)Q --在圆C 外．（1）求圆C 的方程；（2）若过点(2,4)--的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且||AB =l 的方程．（1）22(3)(2)4x y +++=；（2）2x =-或34220x y ++=．【分析】（1）由题意设圆的方程为222()(1)(1)x a y a a -+--=+，再将点(5,2)P --的坐标代入方程中可求出a 的值，众而可求出圆的方程；（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可【详解】（1）设圆心(,1)+C a a ，半径|1|r a =+，则圆C 的方程可设为222()(1)(1)x a y a a -+--=+，因为点(5,2)P --在圆C 上，所以222(5)(3)(1)a a a +++=+，解得3a =-或11-．因为点(4,5)Q --在圆C 外，经检验11a =-不符，舍去．所以圆C 的方程为22(3)(2)4x y +++=．（2）由（1）可知圆C 的半径2r =，||AB =1d ==．当k 不存在时，直线方程2x =-，符合题意；当k 存在时，设直线方程为4(2)y k x +=+，整理得240kx y k -+-= 所以圆心C 到直线l 的距离1d ==，即22(2)1k k +=+，解得34k =-，所以34(2)4y x +=-+，所以直线l 的方程为34220x y ++=．∴综上，直线方程为2x =-或34220x y ++=．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，四边形11ABB A 为矩形，122BC BB AB ===，1120CBB ∠=︒，点E 为棱1CC 的中点，2AE =.(1)求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； (2)求平面AEB 与平面11A EB 夹角的余弦值. (1)证明见解析 21【分析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由AB ⊂平面ABC ，即可证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.【详解】（1）证明：由三棱柱的性质及12BC BB ==可知四边形11BCC B 为菱形又∵1120CBB ∠=︒ ∴1CBC △为等边三角形 ∴3BE =1AB =又∵2AE =，∴222AE BE AB =+，∴AB BE ⊥ 又∵四边形11ABB A 为矩形 ∴1AB BB ⊥ 又∵1BE BB B ⋂= ∴AB ⊥平面11BCC B 又∵AB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面11BCC B .（2）以B 为原点BE 为x 轴，1BB 为y 轴，BA 为E 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()0,0,1A ，)3,0,0E，()10,2,0B ，()10,2,1A ，()110,0,1A B =-，()13,2,0EB =-设平面11A EB 的法向量为(),,n x y z =. 则1110,0A B n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,320,z x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴()2,3,0n =，又∵平面ABE 的法向量为()10,1,0n =， ∴122321cos ,|2(3)0|1n n ==++⨯ ∴平面ABE 与平面11A EB 21. 21．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上．(1)求双曲线的方程；(2)是否存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． (1)2212x y -=(2)不存在，理由见解析【分析】（1）代入点(2,1)A 的坐标，解方程可得a 的值，即可得双曲线方程；（2）假设存在，设过11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线方程为：1(1)2y k x =--，A ，B 两点的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断．【详解】（1）解：已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上所以221114a a -=-，整理得：42440a a -+=，解得：22a =，则a =所以双曲线方程为.2212x y -=（2）解：由题可知若直线存在则直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为：1(1)2y k x =--且设交点1122(,),(,)A x y B x y则22112222=12=12x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ，两式相间得：()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+ 由于11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为AB 中点，则12122,1x x y y +=+=-则12121y y k x x -==-- 即有直线l 的方程：1(1)2y x =---，即12y x =-+2221=+224+5=0=12y x x x x y -⇒--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 检验判别式为()24425240∆=--⨯⨯=-<，方程无实根．故不存在过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点.22．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A B 、两点.（12，求线段AB 的长；（2）若OA OB ⊥（共中O 为坐标原点），当椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦时，求椭圆的长轴长的最大值.（1（2【分析】(1)根据椭圆中基本量的关系计算椭圆的方程,再联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求解线段AB 的长即可.(2) 设()11,A x y ,()22,B x y ,根据OA OB ⊥可得12120x x y y +=,再联立方程利用韦达定理表达出12120x x y y +=关于椭圆的基本量,a b 的关系,再根据椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦可列出不等式求解关于a 的不等式,从而得到长轴长的最大值.【详解】解：（1）e =22c =,a ∴=1c =,则b =∴椭圆的方为221 32x y+=,联立221,321,x yy x⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y得：25630x x--=,设()11,A x y,()22,B x y,则126 5x x+=123 5x x=-||AB∴=,（2）设()11,A x y,()22,B x y,OA OB⊥,0OA OB∴⋅=,即12120x x y y+=,由222211x ya by x⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩,消去y得()()222222210a b x a x a b+-+-=,由()()()2222222410a a ab b∆=--+->,整理得221a b+>,又212222ax xa b+=+,()2212221a bx xa b-=+,()()()12121212111y y x x x x x x∴=-+-+=-++,由12120x x y y+=,得：()1212210x x x x-++=,()222222221210a b aa b a b-∴-+=++,整理得：222220a b a b+-=,222222b ac a a e=-=-,代入上式得221211ae=+-,2211121ae⎛⎫∴=+⎪-⎝⎭,1222e,21142e∴,213124e∴-,241231e∴-,2711+331∴-e,27362a∴,适合条件221ab+>,62a ,26a,.本题主要考查了椭圆中基本量的计算以及联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理求解基本量参数的关系,进而求得基本量的最值问题.属于难题.23．在平面直角坐标系xOy中，过方程221(,,,0)mx ny m n m n+=∈≠R所确定的曲线C上点()00,M x y的直线与曲线C相切，则此切线的方程001mx x ny y.（1）若41m n ==，直线l 过(3,2)点被曲线C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）若1m =，13n =-，点A 是曲线C 上的任意一点，曲线过点A 的切线交直线130l x y -=于M ，交直线230l x y +=于N ，证明：0MA NA +=；（3）若14m =，12n =，过坐标原点斜率0k >的直线3l 交C 于P 、Q 两点，且点P 位于第一象限，点P 在x 轴上的投影为E ，延长QE 交C 于点R ，求PQ PR ⋅的值. （1）3x =33)2y x =+；（2）证明见解析；（3）0. 【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况；（2）设()00,A x y ,根据已知求得切线方程，联立方程组求得M ，N 的坐标，证明1202x x x +=,得到A 为线段MN 的中点，进而证得结论；（3）设P (x 1,y 1),R (x 2,y 2),则Q (-x 1,-y 1),E (x 1,0),写出EQ 的方程，与曲线C 的方程联立，根据Q ，R 的横坐标-x 1,x 2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得21121221124ny x x x mx ny -=+，进而计算可得0PQ PR ⋅=.【详解】（1）当41m n ==时，曲线C 的方程为224x y +=,这是以原点为圆心，r =2为半径的圆，直线l 过点)3,2,当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =代入圆的方程得21y =,1y =±，∴直线l 被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ,则直线l 的方程为(23y k x -=，即230kx y k -+=, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l 2213-=22331k k -+解得3k =所以直线l 的方程为：374y =+；（2）当11,3m n ==-时，设()00,A x y ,则过A 点的切线方程为：001mx xny y ,即00113x x y y -=,由直线l 1的方程得3y x =,代入切线方程得到0031x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设()11,M x y ,()22,N x y ,则0011x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,同理0021x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 在曲线C 上，2200113x y ∴-=,012022002213x x x x x y ∴+===-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以A 为线段MN 的中点，所以0MA NA +=; （3）设()()1122,,,P x y R x y ,则()111,,(,0Q x y E x --), 则直线EQ :()111,2y y x x x =- 代入曲线C 的方程221mx ny +=并整理得：()222222************mxny x ny x x nx y x +-+-=,Q ，R 的横坐标12,x x -是这个方程的两实数根，∴21121221124ny x x x mx ny -=+,∴()3112212211124y ny y x x x mx ny =-=+, 21121221144mx y y y mx ny -=-+,()()()()1121211211212,2,2[PQ PR x y x x y y x x x y y y =--⋅--=--+-⋅()222222111111222222111111224242444x y n m ny x mx y mx ny mx ny mx ny -⎡⎤=--=-⎢⎥+++⎣⎦, 由于11,,2411042m n n m ==∴-=-=,∴0PQ PR ⋅=本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据Q ，R 的横坐标-x 1,x 2是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求21x x -，要注意准确运算.。