第七章 平稳时间序列模型预测
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。
时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。
通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。
平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。
平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。
以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。
可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。
收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。
步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。
为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。
选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。
步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。
在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。
平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。
如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。
步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。
模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。
ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。
第7章 平稳时间序列模型预测
et l
xˆt l
预测误差
预测值
特别当 l=1时有 Xt1 t1 xˆt 1 ，即 t1 Xt1 xˆt 1
MA(q)序列的预测
当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l >q时， Xt+l可以分解为：
X tl tl 1tl1 2tl2 L qtlq
即一期修正后第 l 步预测方差就等于修正前第 l 1步预测
方差。它比修正前的同期预测方差减少了Gl21 2，提高了预
测精度。
一般情况
假设获得k个新的观察值 Xt1,L , Xtk 1 k l ，则
X tl 的修正预测值为
Xˆ tk (l k ) Gl-k t+k L Gl1t+1 Glt Gl1t1 L
其中t+1=Xt1 Xˆt 1 是Xt+1的一步预测误差。
修正预测误差为 et1 (l 1) G0 tl Gl2 t2
修正预测原理
预测方差为
var[et1(l 1)] (G02 L
G2 l2
)
2
var et l 1
1
Xˆ
t
l
1
2
Xˆ
t
l
2
L
p Xˆ t l p
q
i tli , l q
il
1Xˆ t l 1 2 Xˆ t l 2 L p Xˆ t l p,
lq
例7.4
已知ARMA(1,1)模型为：
X t 0.8X t1 t 0.6t1, 2 0.0025
解: (1) 预测值计算
平稳序列的预测方法
平稳序列的预测方法平稳序列是时间序列分析中非常重要的一种序列类型，它具有一定的稳定性和规律性，因此对于平稳序列的预测方法也是非常值得研究的。
在本文中，我们将介绍一些常用的平稳序列预测方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。
首先，我们需要了解什么是平稳序列。
平稳序列是指在时间序列中，序列的均值和方差是常数，并且序列中任意时刻的协方差只与时间间隔有关，而与具体的时刻无关。
平稳序列的预测可以帮助我们分析序列的趋势和周期性，对未来的发展趋势进行预测。
一种常用的平稳序列预测方法是时间序列分解法。
这种方法将时间序列分解为趋势、季节性和随机成分三部分，然后分别对这三部分进行预测，最后将它们合并起来得到最终的预测结果。
时间序列分解法能够很好地反映序列的长期趋势和季节性变化，对于周期性比较强的序列有较好的预测效果。
另一种常用的平稳序列预测方法是移动平均法。
移动平均法是通过对时间序列的数据进行平均处理，得到一组平均值序列，然后利用这组平均值序列进行预测。
移动平均法能够有效地平滑序列的波动，对于周期性不强的序列有较好的预测效果。
除了上述两种方法外，还有一种常用的平稳序列预测方法是指数平滑法。
指数平滑法是通过对序列的加权平均处理，得到一组指数加权平均序列，然后利用这组指数加权平均序列进行预测。
指数平滑法能够较好地反映序列的趋势变化，对于趋势性比较强的序列有较好的预测效果。
在实际应用中，我们可以根据序列的特点和预测的要求选择合适的方法进行预测。
有时候也可以将多种方法进行组合，得到更加准确的预测结果。
同时，我们还需要注意对预测结果进行评估，选择合适的评估指标来评价预测的准确性，从而不断改进和优化预测方法。
总之，平稳序列的预测是时间序列分析中的重要内容，我们可以通过时间序列分解法、移动平均法、指数平滑法等多种方法来进行预测。
在实际应用中，我们需要根据序列的特点和预测的要求选择合适的方法，并不断改进和优化预测方法，以获得更加准确的预测结果。
平稳时间序列预测法
第七章 平稳时间序列预测法一、单项选择题3、移动平均模型MA(q)的平稳条件是（）A 、滞后算子多项式()p pB B B φφφ++-=...11的根均在单位圆外B 、任何条件下都平稳C 、视具体情况而定D 、()0=B φ的根小于1答：B二、选择题3、Box-Jenkins 方法（）A 、是一种理论较为完善的统计预测方法B 、 为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA 模型识别、估计和诊断的系统方法C 、 使ARMA 模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，D 、 具有统计上的完善性和牢固的理论基础。
E 、 其应用前提是时间序列是平稳的答：ABCDE三、名词解释1、宽平稳答：宽平稳时间序列的定义：设时间序列{}t y ，对于任意的t ,k 和m ，满足：()()m t t y E y E +=()()k m t m t k t t y y y y ++++=,cov ,cov则称{}t y 宽平稳.四、简答题4、协整检验的目的是什么？答：如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。
如果我们直接对有协整关系的变量之间进行回归分析等操作，尽管拟合的效果很好，但实际上变量之间可能根本不存在任何关系，即产生了谬误回归，这会影响分析的结果。
所以在进行分析之前，应该进行协整检验。
五、计算题a) 判断下列时间序列{}t y 是否为宽平稳，为什么？①x y t =，其中()1,0~N x ；②12-+=t t t y εε，其中{}()2,0~σεW N t ；③t t t t y y y ε+-=--215.0，其中{}()2,0~σεW N t ； ④()()ct ct y t t t sin cos 1-+=εε，其中{}()2,0~σεW N t ，c 为一非零常数； ⑤{}t y 独立同分布，服从柯西分布；答：①宽平稳；②宽平稳；③宽平稳；④不平稳；⑤不平稳；。
第七章时间序列分析
则称该时间序列是弱平稳的（stationary)。
3. 非平稳性
只要这三个条件不全满足，则该时间序列是 非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非 平稳的。
二、 几种有用的时间序列模型
1. 白噪声（ White noise）
白噪声通常用εt表示，是一个纯粹的随机过程， 满足:
(1) E(εt) = 0 , 对所有t成立； (2) Var(εt) = σ2，对所有t成立； (3) Cov (εt，εt+k) = 0，对所有t和k≠0成立。
白噪声可用符号表示为：
εt～IID(0，σ2)
（7.4）
标准正态白噪声序列时序图
Y2
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
250
500
750
1000
随机漫步过程（ Xt = Xt－1+εt）是最简单的非平 稳过程。它是
Xt=φXt－1+εt
（7.7）
的特例，（7.7）称为一阶自回归过程 (AR(1))，该 过程在－1＜φ＜1时是平稳的，其他情况下，则为 非平稳过程。
更一般地，（7.7）式又是
Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt
换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为
Φ=1或δ=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平 稳性的问题简化成在方程（7.10）的回归中，检验 参数Φ=1 是否成立或者在方程（7.12）的回归中， 检验参数δ=0是否成立。
Xt = Xt－1+ εt
Δx t =δx t－1+εt
H0 : 1 Ha : 1
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
时间序列 第7章修订版
对于ARMA模型，下列等式成立：
E X k Xt , Xt1, xk , k t
E Xtl Xt , Xt1, xˆt l , l 0
E k Xt , Xt1, k , k t
E k Xt , Xt1, 0, k t
G2 l 1
2
由此可以得到 Xtl 预测值的95%的置信区 间为
xˆt l 1.96 var et l , xˆt l 1.96 var et l Nhomakorabea或者
xˆt l 1.96 G02 G12
G2 l 1
12
,
xˆt
l
1.96
G02 G12
G2 l 1
12
7
§7.2 对AR模型的预测
平稳时间序列模型预测
设平稳时间序列Xt是一个ARMA(p,q)过程，即
X t 1 X t1 p X t p t 1t1 qtq ,
t
~ WN
0, 2
, s t, E X s t 0
本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知
时刻t和以前时刻的观察值 xt , xt1, xt2
首先考虑AR(1)模型
X tl X tl1 tl
当 l 1 时，即当前时刻为t的一步预测为
xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E Xt t1 Xt , Xt1, xt 当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, E Xtl1 tl Xt , Xt1,
们将用已知的观察值对时刻t后的观察值
,
xt
l
我
l
0
进行预测，记为 xˆt l ，称为时间序列 Xt 的第 l
预测与决策习题
预测与决策习题统计预测与决策试卷与习题（上财·徐国祥）试卷⼀⼀、单项选择题1 统计预测⽅法中，以逻辑判断为主的⽅法属于（）。
A 回归预测法B 定量预测法C 定性预测法D 时间序列预测法2 下列哪⼀项不是统计决策的公理（）。
A ⽅案优劣可以⽐较B 效⽤等同性C 效⽤替换性D 效⽤递减性3 根据经验D-W统计量在（）之间表⽰回归模型没有显著⾃相关问题。
A 1.0-1.5B 1.5-2.5C 1.5-2.0D 2.5-3.54 当时间序列各期值的⼆阶差分相等或⼤致相等时,可配合( )进⾏预测。
A 线性模型B抛物线模型C指数模型D修正指数模型5 （）是指国民经济活动的绝对⽔平出现上升和下降的交替。
A 经济周期B 景⽓循环C 古典经济周期D 现代经济周期6 灰⾊预测是对含有（）的系统进⾏预测的⽅法。
A 完全充分信息B 完全未知信息C 不确定因素D 不可知因素7 状态空间模型的假设条件是动态系统符合（）。
A 平稳特性B 随机特性C 马尔可夫特性D 离散性8 不确定性决策中“乐观决策准则”以（）作为选择最优⽅案的标准。
A 最⼤损失B 最⼤收益C 后悔值D α系数9 贝叶斯定理实质上是对（）的陈述。
A 联合概率B 边际概率C 条件概率D 后验概率10 景⽓预警系统中绿⾊信号代表（）。
A 经济过热B 经济稳定C 经济萧条D 经济波动过⼤⼆、多项选择题1 构成统计预测的基本要素有（）。
A 经济理论B预测主体C数学模型D实际资料2 统计预测中应遵循的原则是（）。
A 经济原则B连贯原则C可⾏原则 D 类推原则3 按预测⽅法的性质，⼤致可分为（）预测⽅法。
A 定性预测B 情景预测C时间序列预测D回归预测4 ⼀次指数平滑的初始值可以采⽤以下（）⽅法确定。
A 最近⼀期值B第⼀期实际值C最近⼏期的均值D最初⼏期的均值5 常⽤的景⽓指标的分类⽅法有（）。
A 马场法B时差相关法 C KL信息量法D峰⾕对应法三、名词解释1 同步指标2 预测精度3 劣势⽅案4 层次分析法（AHP法）四、简答题3 什么是风险决策的敏感性分析？4 ⼀家⾷品公司考虑向市场投放⼀种新⾷品，以增加供应品种。
平稳时间序列模型预测
解: (2)预测方差旳计算
计算Green函数: 根据递推公式
方差
G0 1
G1 1G0 0.6 G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66
var[e3 (1)] G02 2 36 var[e3 (2)] (G02 G12 ) 2 48.96 var[e3 (3)] (G02 G12 G22 ) 2 64.6416
设目前时刻为t，已知时刻t和此前时刻旳观察值xt-1,
xt-2, …，对观察值xt+l进行预测，用 xˆt l 表达时间序
列Xt旳第l步预测值(l>0)。
最小均方误差预测
用et(l)衡量预测误差： et l Xtl xˆt l
显然，预测误差越小，预测精度就越高。
最小均方误差预测原则：
var[e4 (1)] var[e3(1)] G02 2 36 var[e4 (2)] var[e3(2)] (G02 G12 ) 2 48.96
l步预测销售额旳95%置信区间为：
xˆ4 l 1.96 var e4 l , xˆ4 l 1.96 var e4 l
修正预测
预测时期 修正前置信区间 修正后置信区间 四月份 （85.36，108.88） 五月份 （83.72，111.15） （87.40，110.92） 六月份 （81.84，113.35） （85.79，113.21）
修正预测
定义
所谓旳修正预测就是研究怎样利用新旳信息去取得 精度更高旳预测值
措施
在新旳信息量比较大时——把新信息加入到旧旳信 息中，重新拟合模型；
在新旳信息量很小时——不重新拟合模型，只是将 新旳信息加入以修正预测值，提升预测精度。
修正预测原理
在旧信息旳基础上，Xt+l旳预测值为
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤一、什么是平稳时间序列平稳时间序列是指在统计意义下具有不变性的时间序列。
具体来说，平稳时间序列的均值、方差和自相关函数都不随时间变化而发生显著的改变。
二、为什么要建立平稳时间序列模型建立平稳时间序列模型可以对数据进行预测和分析，从而更好地理解数据背后的规律和趋势。
此外，平稳时间序列模型还可以用于信号处理、金融分析等领域。
三、建立平稳时间序列模型的步骤1.观察数据并进行预处理首先需要观察数据并进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等。
这有助于使数据更加平滑，并且减少噪声对模型的影响。
2.确定差分阶数如果原始数据不是平稳的，需要进行差分操作使其变成平稳的。
差分阶数可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
3.选择合适的模型根据差分后得到的数据，可以选择适合该数据集的ARIMA模型。
ARIMA模型包括AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三种类型。
4.估计模型参数使用最大似然估计（MLE）或最小二乘法（OLS）等方法来估计模型参数。
5.检验模型的拟合程度对于建立的模型，需要对其进行检验，包括残差的自相关性、正态性等。
如果存在问题，则需要调整模型或重新选择模型。
6.预测未来值使用建立好的模型进行未来值的预测，并对预测结果进行评估和修正。
四、总结建立平稳时间序列模型是一个复杂的过程，需要对数据进行观察和处理，选择合适的模型并估计参数，最后对模型进行检验和预测。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活运用这些步骤，并结合领域知识和经验来优化建模过程。
第七章平稳时间序列预测法 - 7 平稳时间序列预测法
ˆ 上述不等式之一的 ρk 的个数达到其相应的比
ˆ 例，则可以近似地判定 {ρk } 是 q0步截尾，平
稳时间序列 {yt } 为 M (q0 )。 A
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类似，我们可通过计算序列 {ϕkk } ，考察 ˆ 其中满足
ˆ ϕkk ≤ 1 n
或者
ˆ ϕkk ≤
2 n
的个数
是否占M个的68.3%或者95.5%。即可以近似
ˆ ρk =
∑( y
t= 1
n−k −k
t
− y)( yt+k − y)
( yt − y)2 ∑
t= 1
n
其中 y = ∑yt / n
t =1
n
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样本自相关函数可以说明不同时期的数 据之间的相关程度，其取值范围在-1到 1之间，值越接近于1，说明时间序列的 自相关程度越高。
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（1）自相关函数的定义 滞后期为k的自协方差函数为：
rk = cov( yt−k, yt )
则自相关函数为：
ρk =
σy σy
t −k
t
rk
t
σ 2 y = E( yt − E( yt ))2 其中
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当序列平稳时，自相关函数可写为：
rk ρk = r0
（2）样本自相关函数
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预测的置信区间 预测的95%置信区间：
ˆ yt (l) ±1.96σ ψ0 +ψ +... +ψ
2 2 1
(
2 l−1
)
1 2
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平稳时间序列预测法概述
平稳时间序列预测法概述平稳时间序列预测法是一种常用的时间序列分析方法，用于对平稳时间序列数据进行预测和建模。
这种方法基于时间序列的统计特性和历史模式，通过对过去时间点的观察和分析，来推断未来的趋势和模式。
平稳时间序列是指在统计意义下具有相同的均值、方差和自协方差的时间序列。
平稳时间序列的特点是其统计特性不会随时间而变化，即没有趋势、季节性和周期性。
由于平稳时间序列没有这些变化，因此通过对其进行建模和预测会更容易和准确。
平稳时间序列预测法通常分为两种主要方法：直观法和数学统计法。
直观法是一种基于观察和直觉的预测方法。
它主要是通过对时间序列的图形和趋势进行分析和观察，来预测未来的值。
直观法的优点是简单易懂，适用于简单的时间序列预测问题。
然而，直观法的缺点是主观性较强，可能受到个人经验和认知的影响。
数学统计法是一种基于数学模型和统计方法的预测方法。
它通过对时间序列数据进行分析和建模，来预测未来的趋势和模式。
常用的数学统计方法包括平均法、指数平滑法、自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
平均法是最简单的数学统计方法之一，它通过计算时间序列的平均值来预测未来的值。
指数平滑法是一种以指数加权平均值为基础的预测方法，适用于序列有较强的趋势性时。
ARMA 模型是一种常用的时间序列模型，它对序列的自相关性和移动平均性进行建模，用于预测未来的值。
SARIMA模型是对ARMA模型进行扩展，考虑了序列的季节性变化，适用于有季节性趋势的时间序列。
平稳时间序列预测法的主要目的是为了预测未来的值，以便辅助决策和规划。
它在经济学、金融学、管理学等领域都有广泛的应用，例如股票预测、销售预测、经济增长预测等。
需要注意的是，平稳时间序列预测法仅适用于平稳时间序列。
对于非平稳时间序列，需要先进行平稳性检验和转换，然后再进行预测建模。
此外，时间序列预测还需要考虑模型的选择和参数的确定，以及模型的评估和验证等问题。
平稳时间序列模型预测
当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
E X t l 1 t l X t , X t 1,
l ˆ x l 1 t xt
1 时，当前时刻为t的一步预测为 ˆ 1 E X X , X , E x X X X , X , x x 当 l p ，当前时刻为t的 l 步预测
条件无偏均方误差最小预测
，满足EX t , EX ，则 • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 设随机序列 X1 , X 2 ,
2 t
达到最小值，则 f X 1 , , X n E X n1 X 1 , , X n • 如果随机变量 f X1 , , X n 使得 2 E X n 1 f X 1 , , X n
Gl21 2
var X t l X t , X t 1 ,
E X t l E X t l X t , X t 1 ,
2
ˆt l E X t l x var et l
2
2 G0 G12 Gl21 2 ˆt l x • 由此，我们可以看到在预测方差最小的原则下， 是 X t l 当前样本 X t和历史样本 X t , X t 1 , 已知条件下得到的条 件最小方差预测值。其预测方差只与预测步长 l 有关， 而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测 值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预 测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间 序列分析只适合做短期预测。
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2
• 由当件此前最，样小我本方们差X可预t和以测历看值史到。样在其本预预X测测t , X方方t差差1, 最只已小与知的预条原测件则步下下长得，xˆlt到有l是的关条X，tl
而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测
值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预
测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间
E 10 0.6X3 0.3X 2 4 X3, X 2, X1
10 0.6x3 0.3x2
97.2
xˆ3 2 E X5 X3, X 2, X1
E 10 0.6X 4 0.3X3 5 X3, X 2, X1
• 设平稳时间序列Xt来自AR(2)模型
Xt 1.1Xt1 0.3Xt2 t
已知x54 0.8, x55 1.2, 2 1.21 ，求xˆ55 1和xˆ55 2以
及95%的置信区间。
解：xˆ55 1 E X56 X55, X54, E 1.1X55 0.3X54 56 X55, X54,
lq
上海财经大学统计学系
20
xˆt l E X tl X t , X t1,
et l Xtl xˆt l
预测值xˆt l与真值 xtl 的均方误差
E et2 l E Xtl xˆt l 2
我们的工作就是寻找xˆt l，使上式达到最小。
• 下面我们证明最小均方误差预测就是
E Xtl Xt , Xt1,
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• MA(q)模型预测方差为
var
et l
1 12
112
2 l 1
2
q2 2
lq lq
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例7.3
• 已知某地区每年常住人口数量近似的服从 MA(3)模型（单位：万人）
X t 100 t 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
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• 对于AR(p)模型
X tl 1 X tl1 p X tl p tl
当 l 1时，当前时刻为t的一步预测为 xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E 1Xt p Xt1p tl Xt , Xt1, 1xt pxtp1
1.11.08 0.31.2
0.828
• 根据第三章，可以计算模型的格林函数为
G0 1,
G1 1G0 1.1
• 所以 X 56的95%的置信区间为（－1.076，3.236） X 57的95%的置信区间为 （－2.296，3.952）
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例7.2
• 已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位： 万元/月)
•
如果随机变量 f
E X n1
X1,
f X1
,
,
Xn
,X
使得
n 2
达到最小值，则f X1, , Xn E Xn1 X1, , Xn
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• 因为xˆt l可以看作为当前样本和历史样本
Xt , Xt1, 的函数，根据上述结论，我们得到，
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, lt qtlq
• 当预测步长l q ，X tl 可以分解为
xˆt l E Xtl Xt , Xt1,
0 E tl 1tl1 qtlq Xt , Xt1,
当l p ，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt, Xt1, E 1Xtl1 p Xtlp tl Xt, Xt1,
1xˆt l 1 pxˆt l p
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例7.1
Xt 10 0.6Xt1 0.3Xt2 t , t ~ N 0,36
2006年第一季度该商场月销售额分别为： 101万元，96万元，97.2万元。求该商场 2006年第二季度的月销售额的95%的置信 区间。
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• 求第二季度的四月、五月、六月的预测值
分别为 xˆ3 1 E X4 X3, X2, X1
G2 l 1
2
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var Xtl Xt , Xt1, E Xtl E Xtl 2 Xt , Xt1,
E Xtl xˆt l 2
var et l
G02 G12
G2 l 1
当
xˆt l E Xtl Xt , Xt时1, ，
使得E et2 l E Xtl xˆt l 2 达到最小。
• 对于ARMA模型，下列等式成立：
E Xk Xt , Xt1, xk , k t
E Xtl Xt , Xt1, xˆt l , l 0
有
qtq
Xtl 1Xtl1 p Xtlp tl 1tl1 qtlq
1
X
tl
1
p Xtlp tl 1tl1
l1t1 lt
qtlq
lq
1Xtl1 p Xtlp tl 1tl1 qtlq
1.1x55 0.3x54 1.11.2 0.30.8
1.08
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xˆ55 2 E X57 X55, X54, E 1.1X56 0.3X55 57 X55, X54,
1.1xˆ55 1 0.3x55
xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E Xt t1 Xt , Xt1, xt
当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, E Xtl1 tl Xt , Xt1, xˆt l 1 lxt
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预测年份
2005 2006 2007 2008 2009
95%的置信区间
（99，119） （83，109） （87，115） （86，114） （86，114）
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§7.4 ARMA模型的预测
• 关于ARMA模型Xt 1Xt1 p Xtp t 1t1
2002年—2004年的常住人口数量及1步预 测数量见表
年份
人口数量
预测人口数量
2002
104
110
2003
108
100
2004
105
109
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• 预测未来5年该地区常住人口数量的95%的 置信区间。
xˆ2004 1 100 0.82004 0.62003 0.22002 109.2 xˆ2004 2 100 0.62004 0.22003 96 xˆ2004 3 100 0.22004 100.8 xˆ2004 4 100 xˆ2004 5 100
E k Xt , Xt1, k , k t
E k Xt , Xt1, 0, k t
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ARMA模型的预测方差和预测区间
• 如果ARMA模型满足因果性，则有
Xt
B B
t
GBt
Gjt j
• 所以，预测误差为 j0
平稳时间序列模型预测
• 设平稳时间序列Xt是一个ARMA(p,q)过程，即
X t 1 X t1 p X t p t 1t1 qtq ,
t
~
WN
0, 2
, s t, E X s t 0
• 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知
或者
xˆt l 1.96 G02 G12
G2 l 1
12
,
xˆt
l
1.96
G02 G12 来自G2 l 112
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§7.2 对AR模型的预测
• 首先考虑AR(1)模型
X tl X tl1 tl
当 l 1 时，即当前时刻为t的一步预测为
et l Xtl xˆt l
G j tl j
G Gl j t j
0
tl G1
t l 1
j0
j0
Gl1t1
Eet l 0
E et2 l var et l E Xtl xˆt l 2 G02 G12
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条件无偏均方误差最小预测
设随机序列 X1, X2,
，满足EXt
,
EX
2 t
，则
• 如果随机变量 f X1, , Xn 使得
E Xn1 f X1, , Xn 2 X1, , Xn
达到最小值，则 f X1, , Xn E Xn1 X1, , Xn
序列分析只适合做短期预测。
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• 进一步地，在正态分布假定下，有
Xtl Xt , Xt1,
~ N xˆt l , G02 G12
G2 l 1
2
• 由此可以得到 X tl 预测值的95%的置信区 间为