第七章 平稳时间序列模型预测

G2 l 1
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var Xtl Xt , Xt1, E Xtl E Xtl 2 Xt , Xt1,
E Xtl xˆt l 2
var et l
G02 G12

G2 l 1
lq
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xˆt l E X tl X t , X t1,

平稳时间序列模型预测
• 设平稳时间序列Xt是一个ARMA(p,q)过程，即
X t 1 X t1 p X t p t 1t1 qtq ,


t
~
WN
0, 2
, s t, E X s t 0
• 本章将讨论其预测问题，设当前时刻为t，已知
Xt 10 0.6Xt1 0.3Xt2 t , t ~ N 0,36
2006年第一季度该商场月销售额分别为： 101万元，96万元，97.2万元。求该商场 2006年第二季度的月销售额的95%的置信 区间。
Байду номын сангаас
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• 求第二季度的四月、五月、六月的预测值
分别为 xˆ3 1 E X4 X3, X2, X1
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• 对于AR(p)模型
X tl 1 X tl1 p X tl p tl
当 l 1时，当前时刻为t的一步预测为 xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E 1Xt p Xt1p tl Xt , Xt1, 1xt pxtp1
et l Xtl xˆt l
预测值xˆt l与真值 xtl 的均方误差
E et2 l E Xtl xˆt l 2
我们的工作就是寻找xˆt l，使上式达到最小。
• 下面我们证明最小均方误差预测就是
E Xtl Xt , Xt1,
2002年—2004年的常住人口数量及1步预 测数量见表
年份
人口数量
预测人口数量
2002
104
110
2003
108
100
2004
105
109
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• 预测未来5年该地区常住人口数量的95%的 置信区间。
xˆ2004 1 100 0.82004 0.62003 0.22002 109.2 xˆ2004 2 100 0.62004 0.22003 96 xˆ2004 3 100 0.22004 100.8 xˆ2004 4 100 xˆ2004 5 100
或者
xˆt l 1.96 G02 G12

G2 l 1
12
,
xˆt
l
1.96
G02 G12

G2 l 1
12
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§7.2 对AR模型的预测
• 首先考虑AR(1)模型
X tl X tl1 tl
当 l 1 时，即当前时刻为t的一步预测为
时我刻们t将和用以已前知时的刻观的察观值察对值时x刻t , tx后t的1, 观xt察2 ,值xt
，
l l

0
进行预测，记为xˆt l，称为时间序列Xt的第l 步
预测值。
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§7.1 最小均方误差预测
• 考虑预测问题首先要确定衡量预测效果的标准，
一方个误很 差自 达然 到的 最思 小想，就即是设预测值xˆt l与真值 xtl 的均
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§7.3 MA模型的预测
• 对于MA(q)模型 X t t 1t1 qtq
我们有 X tl tl 1tl1 qtlq
• 当预测步长 l q ，X tl 可以分解为 Xtl tl 1tl1 l 1 t1 lt qtlq
•
如果随机变量 f
E X n1
X1,
f X1
,
,
Xn
,X
使得
n 2
达到最小值，则f X1, , Xn E Xn1 X1, , Xn
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• 因为xˆt l可以看作为当前样本和历史样本
Xt , Xt1, 的函数，根据上述结论，我们得到，
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条件无偏均方误差最小预测
设随机序列 X1, X2,
，满足EXt
,
EX
2 t


，则
• 如果随机变量 f X1, , Xn 使得
E Xn1 f X1, , Xn 2 X1, , Xn
达到最小值，则 f X1, , Xn E Xn1 X1, , Xn
当
xˆt l E Xtl Xt , Xt时1, ，
使得E et2 l E Xtl xˆt l 2 达到最小。
• 对于ARMA模型，下列等式成立：
E Xk Xt , Xt1, xk , k t
E Xtl Xt , Xt1, xˆt l , l 0
xˆt 1 E Xt1 Xt , Xt1, E Xt t1 Xt , Xt1, xt
当 l 1 ，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, E Xtl1 tl Xt , Xt1, xˆt l 1 lxt
E k Xt , Xt1, k , k t
E k Xt , Xt1, 0, k t
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ARMA模型的预测方差和预测区间
• 如果ARMA模型满足因果性，则有
Xt

B B
t

GBt

Gjt j
• 所以，预测误差为 j0
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• 计算模型的格林函数为 G0 1,
G1 G01 0.6
G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66
• 四月、五月、六月的月销售额的95%的置信区间 分别为
四月：（85.36，108.88） 五月：（83.72，111.15） 六月：（81.84，113.35）
1.11.08 0.31.2
0.828
• 根据第三章，可以计算模型的格林函数为
G0 1,
G1 1G0 1.1
• 所以 X 56的95%的置信区间为（－1.076，3.236） X 57的95%的置信区间为 （－2.296，3.952）
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例7.2
• 已知某商场月销售额来自AR(2)模型(单位： 万元/月)
xˆt l E Xtl Xt , Xt1, lt qtlq
• 当预测步长l q ，X tl 可以分解为
xˆt l E Xtl Xt , Xt1,
0 E tl 1tl1 qtlq Xt , Xt1,
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• MA(q)模型预测方差为
var
et l


1 12

112

2 l 1
2
q2 2
lq lq
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例7.3
• 已知某地区每年常住人口数量近似的服从 MA(3)模型（单位：万人）
X t 100 t 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
2
• 由当件此前最，样小我本方们差X可预t和以测历看值史到。样在其本预预X测测t , X方方t差差1, 最只已小与知的预条原测件则步下下长得，xˆlt到有l是的关条X，tl
而与预测起始点t无关。当预测步长 l 的值越大时，预测
值的方差也越大，因此为了预测精度，ARMA模型的预
测步长 l 不宜过大，也就是说使用ARMA模型进行时间
序列分析只适合做短期预测。
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• 进一步地，在正态分布假定下，有
Xtl Xt , Xt1,
~ N xˆt l , G02 G12

G2 l 1
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• 由此可以得到 X tl 预测值的95%的置信区 间为
xˆt l 1.96 var et l, xˆt l 1.96 var et l
当l p ，当前时刻为t的 l 步预测
xˆt l E Xtl Xt, Xt1, E 1Xtl1 p Xtlp tl Xt, Xt1,
1xˆt l 1 pxˆt l p
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例7.1
1.1x55 0.3x54 1.11.2 0.30.8
1.08
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xˆ55 2 E X57 X55, X54, E 1.1X56 0.3X55 57 X55, X54,
1.1xˆ55 1 0.3x55
10 0.6xˆ3 1 0.3x3
97.432
xˆ3 3 E X6 X3, X 2, X1
E 10 0.6X5 0.3X 4 6 X3, X 2, X1
10 0.6xˆ3 2 0.3xˆ3 1
97.5952
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预测年份
2005 2006 2007 2008 2009
95%的置信区间
（99，119） （83，109） （87，115） （86，114） （86，114）
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§7.4 ARMA模型的预测
• 关于ARMA模型Xt 1Xt1 p Xtp t 1t1
有
qtq
Xtl 1Xtl1 p Xtlp tl 1tl1 qtlq

1
X
tl
1

p Xtlp tl 1tl1
l1t1 lt
qtlq
lq
1Xtl1 p Xtlp tl 1tl1 qtlq
E 10 0.6X3 0.3X 2 4 X3, X 2, X1
10 0.6x3 0.3x2
97.2
xˆ3 2 E X5 X3, X 2, X1
E 10 0.6X 4 0.3X3 5 X3, X 2, X1
• 设平稳时间序列Xt来自AR(2)模型
Xt 1.1Xt1 0.3Xt2 t
已知x54 0.8, x55 1.2, 2 1.21 ，求xˆ55 1和xˆ55 2以
及95%的置信区间。
解：xˆ55 1 E X56 X55, X54, E 1.1X55 0.3X54 56 X55, X54,


et l Xtl xˆt l
G j tl j
G Gl j t j
0
tl G1
t l 1
j0
j0
Gl1t1
Eet l 0
E et2 l var et l E Xtl xˆt l 2 G02 G12