2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)

2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）给出命题：“已知x，y∈R，若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定3．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B6．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣2，0），B（2，0），△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是（）A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．8．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．a3＞b3B．a＞b+1 C．a2＞b2D．a＞b﹣19．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=4，若棱AB上存在点M使得D1M⊥MC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A，命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集为B，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，1]D．[﹣2，+∞）11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）A．60°B．75°C．90°D．105°12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上13．（5分）若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系内，已知曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为的点的轨迹是曲线C，则曲线C围成的面积是．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角为．16．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．（1）求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆x2+y2=4外切，求a的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO⊥平面ABC，PO=OB=2．（1）求三棱锥P﹣ABC体积V的最大值；（2）若，点D在线段PB上，求OD+CD长度的最小值．22．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）给出命题：“已知x，y∈R，若x2+y2=0，则x=y=0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：“若x2+y2=0，则x=y=0”，是真命题，其逆命题为：“若x=y=0，则x2+y2=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为3．故选：D．2．（5分）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定【解答】解：直线ax﹣y+2a=0恒过定点（﹣2，0），而（﹣2，0）满足22+02＜9，所以直线与圆相交．故选：B．3．（5分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据该几何体的直观图、正视图和俯视图，可得它的侧视图为直角三角形PAD及其PA边上的中线，故选：B．4．（5分）已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m【解答】解：对于A，由线面垂直的定义可知A正确；对于B，若l⊂α，则结论错误；对于C，若l⊂α，则结论错误；对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，可能异面，故D错误．故选：A．5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：C．6．（5分）在平面直角坐标系内，已知A（﹣2，0），B（2，0），△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是（）A．一个点B．两个点C．一条直线D．两条直线【解答】解：如图，A（﹣2，0），B（2，0），则|AB|=4，设C到AB边所在直线的距离为d，由△ABC的面积为10，得，即d=5．∴顶点C的轨迹是与AB所在直线平行的两条直线．故选：D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=；∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．8．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．a3＞b3B．a＞b+1 C．a2＞b2D．a＞b﹣1【解答】解：A．a3＞b3⇔a＞b；B．a＞b+1⇒a＞b，反之不成立；C．a2＞b2⇔|a|＞|b|⇐a＞b．D．a＞b⇒a＞b﹣1，反之不成立．综上可得：使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b+1．故选：B．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=4，若棱AB上存在点M使得D1M⊥MC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：如图建立坐标系，设AD=a（a＞0），AM=x（0＜x＜4），则M（a，x，4），C（0，4，4），∴=（a，x，4），=（a，x﹣4，0），∵D1M⊥MC，∴•=0，即a2+x（x﹣4）=0，a=，当0＜x＜4时，a∈（0，2]．故选：D．10．（5分）已知命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A，命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集为B，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，1]D．[﹣2，+∞）【解答】解：命题p：不等式（x﹣1）（x﹣2）＞0的解集为A=（﹣∞，1）∪（2，+∞），命题q：不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0，即（x﹣（﹣a））（x﹣1）＞0，﹣a＞1时，B=（﹣∞，1）∪（﹣a，+∞）；﹣a＜1时，B=（﹣∞，﹣a）∪（1，+∞）；﹣a=1时，B=（﹣∞，1）∪（1，+∞）．若p是q的充分不必要条件，则，或，或﹣a=1．解得﹣2＜a≤﹣1．故选：A．11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（）A．60°B．75°C．90°D．105°【解答】解：设|BB1|=m，则==∴∴CA1与C1B所成的角的大小是90°故选：C．12．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．2【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC 的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选：D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上13．（5分）若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则实数a的取值范围是a＞2．【解答】解：若命题“∀x∈R，sinx+a＞1”为真命题，则a＞1﹣sinx在R恒成立，故a＞2，故答案为：a＞2．14．（5分）在平面直角坐标系内，已知曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离之比为的点的轨迹是曲线C，则曲线C围成的面积是4π．【解答】解：设曲线C上任意一点为M（x，y），由已知可得，两边平方并整理得（x+1）2+y2=4，∴曲线C表示以（﹣1，0）为圆心，以2为半径的圆，所围成的图形的面积是π×22=4π．故答案为：4π．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角为30°．【解答】解：连接B1D1取其中点H连接C1H，BH则由正方体的性质知C1H⊥D1B1∵BB1⊥面A1B1C1D1且C1H⊂面A1B1C1D1∴C1H⊥BB1∵BB1∩D1B1=B1∴C1H⊥面B1D1DB∴C1H⊥BH∴∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角设BC=1则则在Rt△BHC1中sin v．，∴∠HBC1=30°故答案为：30°16．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+π．【解答】解：该几何体由左右两部分组成：左边是三棱锥，右边是圆柱的一半．∴该几何体的体积=+=．故答案为：+π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减，Q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（）上为增函数，“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解：∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“P∧Q”为假，“P∨Q”为真，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|＜c＜1}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|＜c＜1}．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F 分别为A1C1和BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】证明：（1）∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥BB1 又AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1而AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1（2）取AC的中点G，连结C1G、FG，∵F为BC的中点，∴FG∥AB又E为A1C1的中点∴C1E∥AG，且C1E=AG∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥C1G∴平面C1GF∥平面EAB，而C1F⊂平面C1GF，∴C1F∥平面EAB．19．（12分）已知圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0．（1）求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；（2）若该圆与圆x2+y2=4外切，求a的值．【解答】（1）证明：圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即x2+y2﹣20+a（﹣4x+2y+20）=0，由，求得，可得圆恒过一定点（4，﹣2）（2）解：圆x2+y2﹣4ax+2ay+20a﹣20=0，即（x﹣2a）2+（y+a）2 =5a2﹣20a+20，由于该圆和圆x2+y2=4外切，故两圆的圆心距等于半径之和，即=2+|a﹣2|，解得a=1+．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列是公比为2的等比数列．求证：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．【解答】证明：根据题意，数列是公比为2的等比数列，其首项为，则=×2n﹣1，变形可得：S n=（a1+1）×4n﹣1﹣1=（a1+1）×4n﹣2﹣1，则S n﹣1则n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3（a1+1）×4n﹣2，①、充分性：若a1=3，当n≥2时，有a n=3（a1+1）×4n﹣2=3×4n﹣1，a1=3符合a n=3×4n﹣1，则数列{a n}的通项公式为a n=3×4n﹣1，是等比数列；②、必要性：若数列{a n}成等比数列，=4，=，则有=4，解可得a1=3，综合可得：数列{a n}成等比数列的充要条件是：a1=3．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO⊥平面ABC，PO=OB=2．（1）求三棱锥P﹣ABC体积V的最大值；（2）若，点D在线段PB上，求OD+CD长度的最小值．【解答】解：（1）∵点C在圆O上，∴当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为2，又AB=4，∴△ABC面积的最大值为×4×2=4，又∵三棱锥P﹣ABC的高PO=2，故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：×4×2=；（2）在△POB中，PO=OB=2，∠POB=90°，∴PB=，同理PC=，则PB=PC=BC，在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，则当O，D，C′共线时，CD+OD取得最小值，又∵OP=OB，C′P=C′B，∴OC′垂直平分PB，即D为PB中点．从而OC′=OD+DC′=+亦即CD+OD的最小值为：+．22．（12分）已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．（1）证明：PD⊥平面PAB；（2）求二面角P﹣CB﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：取AB得中点E，连接PE，DE．∵AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形∴AE⊥AB，AE=，BE=CD，EB∥CD∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE=CB=2，DE∥CD∴AB⊥ED，∴AB⊥面PED⇒AB⊥PDDE2=PD2+AE2，∴PD⊥AE，∴PD⊥面PAB（2）解：由（1）得面PED⊥面ABCD，过P作PO⊥ED于O，则PO⊥面ABCD，过O作OH⊥CB于H，连接PH，则∠PHO为二面角P﹣CB﹣A的平面角．在Rt△PED中，PO•ED=PE•PD，可得PO=在Rt△PED中，OH=1，PH=，=∴二面角P﹣CB﹣A的余弦值为。