四川省资阳市2016届高三第一次诊断性考试理科数学试题(含答案)

资阳市高中2013级第一次诊断性考试数 学（理工类）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|(2)(2)0}M x x x =+-≤，{|10}N x x =-<，则M N =(A) {x |－2≤x ＜1} (B) {x |－2≤x ≤1} (C) {x |－2＜x ≤1} (D) {x | x ＜－2}2．函数()f x = (A)(2,)+∞(B)[2,)+∞(C) (,2)-∞(D) (,2]-∞3．已知i 是虚数单位，复数5i 2i--= (A) －2(B) 2 (C) i －2 (D) 2＋i4．给出以下四个判断，其中正确的判断是 (A) 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题(B) 命题“若4x ≥且2y ≥，则6x y +≥”的逆否命题为“若6x y +<，则4x <且2y <” (C) 若x ≠300°，则cos x ≠12(D) 命题“∃x 0∈R ，0e 0x ≤”是假命题5．已知(0π)θ∈，，且sin θ＋cos θ=15，则tan θ的值为(A) 43-(B) 34- (C) 34(D)436．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=2a 3－a 1，则该数列的公比为 (A) 2 (B)12 (C) 4(D) 147．执行右图所示的程序框图，则输出的S = (A) 1023 (B) 512 (C) 511 (D) 2558．已知x 0是函数1()e 1x f x x =--的一个零点（其中e 为自然对数的底数），若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则 (A) 12()0()0f x f x ＜，＜ (B) 12()0()0f x f x ＜，＞ (C) 12()0()0f x f x ＞，＜(D) 12()0()0f x f x ＞，＞9．已知a ＞0，b ＞0，且2a b ab +=，则a ＋2b 的最小值为 (A) 5＋(B)(C) 5(D) 910．设函数2sin 20()20a x x f x x a x +≥⎧=⎨+<⎩，，，（其中a ∈R ）的值域为S ，若[1)S +∞⊆，，则a 的取值范围是 (A) 1(,)2-∞(B) 37[1,](,2]24(C) 1(,)[1,2]2-∞(D) 3(,)2+∞11．P 是△ABC 内一点，△ABC ，△ABP ，△ACP 的面积分别对应记为S ，S 1，S 2，已知344CP CA CB λλ=+，其中(0,1)λ∈，若13SS =，则21S S =(A) 1(B) 12(C)13(D)1412．设()f x 是定义在R 上的增函数，其导函数为()f x '，且满足()1()f x x f x +<'，下面的不等关系正确的是(A) 2()(1)f x f x <-(B) (1)()(1)x f x xf x -<+ (C) f (x )＞x －1 (D) f (x )＜0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a =(2，–1)，b =(m ，3)，若a ∥b ，则m 的值是________.14．已知A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域，则当a 从–1连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为________.15．已知数列{a n }满足a 1=20，12n n a a +=-(n ∈N *)，则当数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n 的值为________.16．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，B =2A ，则 c 的取值范围是___________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知命题p :实数x 满足不等式组132log 1680x x x >-⎧⎪⎨⎪-+<⎩，，命题q :实数x 满足不等式2290x x a -+<(a ∈R ).(Ⅰ) 解命题p 中的不等式组；(Ⅱ) 若p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．18（本小题满分12分）已知向量sin ))x x x =+a ，(cos sin cos ))x x x =-，b ，函数f (x )= a ·b .(Ⅰ) 求()y f x =的单调递增区间； (Ⅱ) 若将f (x )的图象向左平移4π个单位，再将各点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到函数()g x 的图象．写出()g x 的解析式并在给定的坐标系中画出它在区间[0]π，上的图象．19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-． (Ⅰ) 求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(Ⅱ) 令b n =2log (1)n n a a +，求数列{b n }的的前n 项和T n .20.（本小题满分12分）某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售．已知该特产的销量（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系：当零售价为80元/件时，销量为7万件；当零售价为50元/件时，销量为10万件．后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销量成反比．当销量为10万件，弹性批发价为1元/件．假设不计其它成本，据此回答下列问题．(Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？ (Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －x ，g (x )＝12ax ²－a (x ＋1) (其中a ∈R )，令h (x )＝f (x )－g (x )． (Ⅰ) 当a ＞0时，求函数y ＝h (x )的单调区间；(Ⅱ) 当a ＜0时，若 f (x )＜g (x ) 在(0)x a ∈-，上恒成立，求a 的最小整数值．请考生在22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。

22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC 的外接圆为⊙O ，延长CB 至Q ，再延长QA 至P ，使得22QC QA BC QC -=⋅．(Ⅰ) 求证：QA 为⊙O 的切线；(Ⅱ) 若AC 恰好为∠BAP 的平分线，AB =10，AC =15，求QA 的长度．23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为42x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（其中t 为参数）．现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(Ⅰ) 写出直线l 和曲线C 的普通方程；(Ⅱ) 已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最大值．24．(本小题满分10分) 选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-．(Ⅰ) 当2a =-时，解不等式()16|21|f x x --≥；(Ⅱ) 若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[02]，，求证：()(2)2f x f x a ++≥． 资阳市高中2013级第一次诊断性考试数学参考答案及评分意见（理工类）一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.C9.B 10.C 11.B 12.D 二、填空题13．–6；14．32；15．10或11；16．．三、解答题17．（Ⅰ）由13log 1>-，得1133log 1log 3x >-=，得0<x <3， ····································2分 由2680x x -+<，得2<x <4， ··········································································4分 所以不等式组的解集为{x |2<x <3}， ···································································6分 （Ⅱ）因为p 是q 的充分条件，所以2<x <3使关于x 的不等式2290x x a -+<恒成立， ············································8分 令2()29f x x x a =-+，则有(2)8180,(3)18270,f a f a =-+≤⎧⎨=-+≤⎩解之得a ≤9，故a 的取值范围是(－∞，9]. ············································································12分18．由题：f (x )=ab cos sin )(cos sin )x x x x x x +-222sin cos sin )x x x x --(sin 2cos 2)x x -=sin(2x －π4)． ·····························································································4分(Ⅰ) 由πππ2π22π242k x k -≤-≤+，得π3πππ88k x k -≤≤+，其中k ∈Z ，故单调递增区间为π3π[π,π]88k k -+，其中k ∈Z ． ···············································6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x )＝sin(2x －π4)，则g (x )＝2sin(2x ＋π4)． ········································8分列表得·················································································································12分 19．（I ）由2n n S a n =-，可得S 1＝2a 1－1，即a 1＝1， ···········································1分 又因为+1+12(1)n n S a n =-+，相减得1+1221,n n n a a a +=-- 即+121,n n a a =+ ·······················································2分 所以1122211n n n n a a a a +++==++， 故{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列． ······································4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得到a n ＋1＝2n ，则21,n n a =- ···················································5分 于是b n ＝2log (1)n n a a +=n (21n -)＝n ×2n －n ，令u n ＝n ×2n ， ···································6分 则 w n ＝1231122232(1)22n n n n -⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，2w n ＝2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，相减，整理得－w n ＝1231122222(1)22n n n n n ++++++-⨯=-⨯-，于是w n ＝1(1)22n n +-⨯+， ··············································································10分 又数列{n }的前n 项和为1(1)2n n +，所以T n =11(1)2(1)22n n n n +-⨯-++． ·································································12分 20．设销量y 与销售价x 的一次函数关系为y =kx ＋b ；弹性批发价δ与销量y 的反比例函数关系为a yδ=，由7801050k b k b =+⎧⎨=+⎩，，解得0.115k b =-⎧⎨=⎩，，于是y =15－0.1x ， ·························································································2分由110a=，得a =10，于是10y δ=． ···································································4分（Ⅰ）当销售价为100元/件时，销量为15－0.1×100=5（万件），此时的批发价为30＋105=32（元/件），获得的总利润为5×(100－32)=340（万元）. ·····6分（Ⅱ）设每一件的利润为d ，则1010(30)(30)30150.10.115d x x x x x δ=-+=-+=+---100(150)120(150)x x =-++-． ···········································································8分而由150.100x x ->⎧⎨>⎩，，可得0<x <150，于是100(150)120120100(150)d x x =-++≤-=-，当且仅当100(150)(150)x x -=-，即x =140时取“=”．所以当每件定价为140元时，每件的利润最大为100元． ·····································12分21．由题意知h (x )＝ln x －12ax ²＋(a －1)x ＋a ，且x ＞0，则21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x h x ax a x x x-+-+---'=-+-==， ································2分 （Ⅰ）当a ＞0时，(1)ax --＜0，由()0h x '>，得0<x <1；由()0h x '<，得x >1，所以单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．·······································4分 （Ⅱ）由题知f (x )＜g (x )在x ∈(0,－a )上恒成立，即h (x )= f (x )－g (x )＜0在x ∈(0,－a )上恒成立．由()0h x '=，得11x a=-，x 2=1，(1)当11a=-，即a =－1时，()0h x '>在x ∈(0，1)上恒成立，则h (x )在(0，1)上为增函数，h (x )＜h (1)=52-＜0，所以f (x )＜g (x )恒成立． ···········································································6分 (2)当11<-，即－1<a <0时，因为－a ＜1，在区间(0,－a )上，h (x )＜h (－a )＜h (1)=2a －1＜0． ····························8分 (3)当11a>-，即a <－1时，因为－a >1又h (1a -)=ln(1a -)－12a ×(1a -)²1a -(a －1) ＋a = ln(1a -)12a -－1＋1a ＋a = ln(1a -)＋2212a a +－1＜0，·················································································································10分 于是只需考虑h (－a )＜0即可，即考虑h (－a )= ln(－a )－12a (－a )²＋(a －1)(－a )＋a = ln(－a )－12a ³－a ²＋2a ＜0，下面用特殊整数检验，若a =－2，则h (2)=ln2＋4－8=ln2－4＜0；若a =－3，则h (3)=ln3＋272－15= ln3－32=231(ln3ln )2e -＜0；若a =－4，则h (4)=ln4＋32－24= ln4＋8＞0，而当a ≤－4时，ln(－a )＞0，现说明当a ≤－4时，－12a ³－a ²＋2a ＞0，令u (x )＝－12x ³－x ²＋2x ，则()u x '＝－32x ²－2x ＋2，它在(－∞，－4]为增函数且(4)u '-＜0，所以u (x )在(－∞，－4]为减函数，而u (－4)＞0，则当a ≤－4时，－12a ³－a ²＋2a ＞0恒成立．所以，使f (x )＜g (x )在x ∈(0,－a )上恒成立的最小整数为－3． ···································12分 22．选修4－1：几何证明选讲 （Ⅰ）因为22QC QA BC QC -=， 所以2QC QC BC QA -=（）即2QC QB QA =，于是QC QAQA QB =， 所以△QCA ∽△QAB ， 所以∠QAB =QCA ，根据弦切角定理的逆定理可得QA 为⊙O 的切线，证毕． ······································5分 （Ⅱ）因为QA 为⊙O 的切线， 所以∠P AC =∠ABC ，而AC 恰好为∠BAP 的平分线， 所以∠BAC =∠ABC ， 于是AC =BC =15，所以2215QC QA QC -=， ① 又由△QCA ∽△QAB 得 1510QC AC QA AB ==， ② 联合①，②消掉QC ，得QA =18． ····································································10分 23．选修4—4：坐标系与参数方程（Ⅰ）由题，消去直线l 的参数方程中的参数t 得直线l 的普通方程为2y x =+． 又由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，由cos ,sin x y ρθρθ⎧⎨⎩＝＝得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=． ··································5分（Ⅱ）曲线C ：2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，设与直线l 平行的直线为y x b =+，当直线l 与曲线C1=，即1b =-于是当1b =--P 为切点时，P 到直线l 的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即1=．1，即为P 到直线l 1+） 10分24．选修4—5：不等式选讲（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥，当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2－2x ＋1≥16，解之得x ≤173-； 当－2＜x ≤12时，原不等式可化为x ＋2－2x ＋1≥16，解之得x ≤－13，不满足，舍去；当x ＞12时，原不等式可化为x ＋2＋2x －1≥16，解之得x ≥5；不等式的解集为17{|5}3x x x ≤-≥或． ································································5分（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2， 所以10,12,a a -=⎧⎨+=⎩解得1a =，从而()1f x x =-于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证1+12x x -+≥，因为1+1=1+11+1=2x x x x x x -+-+≥-+，所以1+12x x -+≥，证毕． ···········································································10分。