2017-2018学年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2017-2018学年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题每小题5分共60分）1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．∅2．（5分）“a＞b”是“log3a＞log3b”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列命题是假命题的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则（）A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+4）=f（x），且f（x）﹣f（﹣x）=0，当﹣2≤x＜0时，f（x）=2﹣x，则f（2013）等于（）A．2 B．C．4 D．6．（5分）下列关系中正确的是（）A．（）＜（）＜（）B．（）＜（）＜（）C．（）＜（）＜（）D．（）＜（）＜（）7．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下列结论错误的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）的最小正周期为2πC．函数f（x）=在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=0对称9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由函数g（x）=sinx的图象（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位C．先向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．先向右平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的倍10．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本题共4小题每小题5分共20分）13．（5分）已知α，β均为锐角，sinα=，cosβ=，则α+β=．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=．15．（5分）由y=2x与曲线y=3﹣x2所围成的图形的面积为．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值是4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0，1，2，3，4．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．三、解答题（共6题总分70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，a∈R；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，或x2+2x﹣8＞0，（1）求命题p，q的解集；（2）若a＜0且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A；（2）若，求bc的取值范围．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．（12分）已知函数．（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．2017-2018学年湖南省长沙市浏阳二中、五中、六中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题每小题5分共60分）1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（1+x）}，则A∩B=（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．∅【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A={x|x≤1}，由B中y=ln（x+1），得到1+x＞0，即x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}．故选：C．2．（5分）“a＞b”是“log3a＞log3b”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“a＞b”推不出“log3a＞log3b”，比如a，b都是负数，不是充分条件，由“log3a＞log3b”能推出a＞b，是必要条件，故选：A．3．（5分）下列命题是假命题的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x2+x+1=0C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：对于A，条件结论同时否定并交换，故A是真命题；对于B，量词否定，结论否定，故B是真命题；由C选项中若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题，所以C选项命题是假命题；对于D，前者是后者的真子集，故D是真命题．故选：C．4．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则（）A．f（2）＞f（3）B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）【解答】解：∵y=f（x+4）为偶函数，∴f（﹣x+4）=f（x+4）令x=2，得f（2）=f（﹣2+4）=f（2+4）=f（6），同理，f（3）=f（5），又知f（x）在（4，+∞）上为减函数，∵5＜6，∴f（5）＞f（6）；∴f（2）＜f（3）；f（2）=f（6）＜f（5）f（3）=f（5）＞f（6）．故选：D．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+4）=f（x），且f（x）﹣f（﹣x）=0，当﹣2≤x＜0时，f（x）=2﹣x，则f（2013）等于（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以函数的周期是4．由f（x）﹣f（﹣x）=0，得f（﹣x）=f（x），所以函数为偶函数．则f（2013）=f（503×4+1）=f（1），又f（﹣1）=f（1）=2，所以f（1）=2，所以f（2013）=f（1）=2．故选：A．6．（5分）下列关系中正确的是（）A．（）＜（）＜（）B．（）＜（）＜（）C．（）＜（）＜（）D．（）＜（）＜（）【解答】解：由，，指数函数的单调性：∵∴（）＜（）＜（）．故选：D．7．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下列结论错误的是（）A．函数f（x）是奇函数B．函数f（x）的最小正周期为2πC．函数f（x）=在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象关于直线x=0对称【解答】解：函数f（x）=sin（x﹣）=﹣sin（﹣x）=﹣cosx（x∈R），∴f（x）=﹣cosx是偶函数，A错误；f（x）=﹣cosx的最小正周期为2π，B正确；y=cosx在[0，]上是减函数，∴f（x）=﹣cosx在区间[0，]上是增函数，C正确；由y=cosx的图象知，f（x）=﹣cosx的图象关于直线x=0对称，D正确．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由函数g（x）=sinx的图象（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位C．先向右平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍D．先向右平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的倍【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象可得A=1，=﹣，解得ω=2．再由图象过点（，1），可得2×+φ=2kπ+，k∈z，可得φ=2kπ﹣，故结合图象，可取φ=﹣．∴f（x）=sin（2x﹣）．把函数g（x）=sinx的图象先向右平移个单位，得到y=sin（x﹣）的图象，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得f（x）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．10．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．二、填空题（本题共4小题每小题5分共20分）13．（5分）已知α，β均为锐角，sinα=，cosβ=，则α+β=．【解答】解：∵α，β均为锐角，sinα=，cosβ=，∴α+β∈（0，π），∴cosα==，sinβ==，cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣=﹣，∴α+β=，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=且a＞b，则∠B=30°．【解答】解：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B=30°．故答案为：30°15．（5分）由y=2x与曲线y=3﹣x2所围成的图形的面积为．【解答】解：解方程组，解得：，，∴A（﹣3，﹣6），B（1，2），∴y=2x与曲线y=3﹣x2所围成的图形的面积S=（3﹣x2﹣2x）=（3x﹣x3﹣x2）=（3﹣﹣1）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]=，故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值是4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0，1，2，3，4．其中正确命题的序号是②⑤（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：∵函数的定义域为闭区间，而周期函数的定义域一定是无界的，故①为假命题；②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；∵函数f（x）在定义域为[﹣1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即④错，⑤为真命题．故答案为：②⑤．三、解答题（共6题总分70分）17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，a∈R；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，或x2+2x﹣8＞0，（1）求命题p，q的解集；（2）若a＜0且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由命题p得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，则①当a＞0时，a＜x＜3a；②当a＜0时，3a＜x＜a；③当a=0时，x∈ϕ由命题q得：{x|q}={x|x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0}={x|x2﹣x﹣6≤0}∪{x|x2+2x ﹣8＞0}={x|﹣2≤x≤3}∪{x|x＜﹣4或x＞2}={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．（2）由¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，设A=（3a，a），B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）∴A⊆B，∴a≤﹣4或3a≥﹣2，又∵a＜0，∴a≤﹣4或﹣≤a＜0．18．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．19．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A；（2）若，求bc的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理得：cos（A+C）=﹣cosB=﹣，∴已知等式变形得：=，即2sinAcosA=1，即sin2A=1，∵A为锐角三角形的内角，∴2A=，即A=；（2）∵a=，cosA=，∴sinA=，由正弦定理=2R，即2R==2，∴bc=2RsinB•2RsinC=4sinBsinC=4sinBsin（﹣B）=﹣4×=﹣2×[﹣﹣cos（2B﹣）]=+2cos（2B﹣），由45°＜B＜90°知，﹣＜2B﹣≤，∴＜2cos（2B﹣）≤2，∴2＜+2cos（2B﹣）≤+2，则bc∈（2，2+]．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．21．（12分）已知函数．（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=x﹣，若a=2时，有f′（1）=1﹣2=﹣1，f（1）=，∴在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1），化简得2x+2y﹣3=0；（2）由（1）知f′（x）=，因为a＞0且x＞0，令f′（x）=0，得x=，所以当x∈（0，）时，有f′（x）＜0，则（0，）是函数f（x）的单调递减区间，当x∈（，+∞）时，有f′（x）＞0，则（，+∞）是函数f（x）的单调递增区间，若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，只需，即，解得：e＜a＜；所以当e＜a＜时，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点．22．（12分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而a e﹣1＞e a﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而a e﹣1＜e a﹣1．。