二李高等数学讲义
高等数学老版教材推荐用书
高等数学老版教材推荐用书近年来，高等数学教育迎来了许多变革，新版教材层出不穷。
然而，对于一些老师和学生来说，使用老版教材仍然是一种选择。
毕竟，老版教材经过了岁月的洗礼，被广大师生认可和喜爱。
因此，本文对高等数学老版教材进行推荐，旨在帮助读者选择适合自己的教材。
一、《高等数学》（第五版）作者：李正元、郑建中、沈忠实《高等数学（第五版）》是一本经典的高等数学教材，由李正元、郑建中和沈忠实等人合著。
该教材分为上下两册，全面系统地介绍了高等数学的各个分支，内容详实，理论与实践相结合。
书中的例题和习题设计恰到好处，既考查了基础知识的掌握，又兼顾了实际问题的应用。
对于想要巩固基础，并追求深入学习高等数学的读者来说，这本教材是一个理想的选择。
二、《数学分析》（第二版）作者：俞弟麟《数学分析（第二版）》由著名数学教育家俞弟麟编写，是一本具有很高权威性和学术性的教材。
该书讲述了高等数学中的数学分析部分，内容翔实、深入，涵盖了微积分、数学分析等重要内容。
该教材主要适用于工科、理科等相关专业的学生，通过学习，读者可以培养出扎实的数学基础，为进一步研究和应用数学打下坚实的基础。
三、《高等数学》（第六版）作者：黄侃、刘晓霞《高等数学（第六版）》是由黄侃和刘晓霞等联合编写的教材，主要针对理工科专业的学生。
该教材内容扎实、通俗易懂，力求将高等数学的抽象概念以直观的方式呈现给读者。
书中的实例和习题丰富多样，可以帮助学生巩固知识，提高解题能力。
这本教材不仅适合高等数学的初学者，也适用于渴望提升自己数学水平的读者。
四、《高等数学》（第四版）作者：林晖《高等数学（第四版）》是一本由林晖编写的教材，特点是注重基本概念的引入和清晰的逻辑结构。
该教材对于具有一定数学基础的学生来说，是一个很好的选择。
书中的例题和习题设计全面覆盖了各个知识点，有助于读者提高解题的能力和理解数学的深度。
对于希望通过高等数学学习培养自己的逻辑思维和问题解决能力的读者来说，这本教材是一个不错的选择。
高等代数讲义ppt第五章二次型
二次型
§4 正定二次型
例题 1、 判别二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定。
2、 当 t 取什么值时，二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
z12 z22 zr2
而且这个规范型是唯一的。
二次型
推论：任意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：
1
1
0
0
其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。
§3 唯一性
推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次型
§3 唯一性
实数域上的二次型
定理：任意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性
行列式
§1 n阶行列式的定义
例题 1、 化下列二次型为标准型
（1） f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 （2） f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 6x2 x3 2x1x3
2、 化二次型
n
f (x1, x2 ,, xn ) xi2 xi x j
1
1
1
1
0
0
其中对角线上 1 和 -1 的个数都是唯一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。
问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。
二次型
§4 正定二次型
§4 正定二次型
正定二次型的定义和判定
定义：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) 是正定的，如果对任意一组不全为零的 的实数 c1, c2 ,, cn 都有 f (c1, c2 ,, cn ) 0 。 定理：实二次型 f (x1, x2 ,, xn ) d1x12 d2 x22 dn xn2 是正定二次型 的充要条件是 di 0, i 1, 2,, n 。
高等数学李天意讲义
高等数学李天意讲义Li Tianyi's Lecture Notes on Advanced MathematicsLi Tianyi's lecture notes on advanced mathematics are highly regarded among students and academics alike. His expertise in the field coupled with his unique teaching style has made these notes an invaluable resource for anyone studying advanced mathematics.The lecture notes cover a wide range of topics, including calculus, differential equations, linear algebra, and real analysis. Each topic is presented in a clear and concise manner, making it easy for students to grasp the underlying concepts and theories.One notable aspect of Li Tianyi's lecture notes is their emphasis on problem-solving techniques. Throughout the notes, he provides numerous examples and exercises that require students to apply the concepts learned to solve challenging problems. This approach not only helps students deepen their understanding of the material but alsoenhances their problem-solving skills—a crucial asset in any mathematics-related career.Moreover, Li Tianyi's lecture notes incorporate real-world applications of advanced mathematics. He often includes examples from physics, engineering, economics, and other fields to demonstrate how the concepts covered in the notes can be applied to solve practical problems. This interdisciplinary approach highlights the relevance of advanced mathematics in various domains and reinforces its importance as a fundamental subject.In addition to theoretical explanations and problem-solving techniques, Li Tianyi's lecture notes also include helpful visual aids. Graphs, diagrams, and illustrations are used extensively throughout the notes to supplement textual explanations. These visual representations make complex mathematical concepts more accessible by providing a visual understanding of abstract ideas.Another noteworthy feature of these lecture notes is Li Tianyi's writing style. He adopts a conversational tonethat engages readers and makes complex topics more approachable. His explanations are clear yet comprehensive —striking a balance between simplicity and depth that allows readers to grasp difficult concepts without feeling overwhelmed.Furthermore, Li Tianyi encourages active learning through his lecture notes. Instead of presenting information passively, he frequently poses questions or prompts readers to think critically about certain topics. This interactive approach fosters student engagement and promotes independent thinking—an essential skill for success in mathematics and beyond.Overall, Li Tianyi's lecture notes on advanced mathematics are an exceptional resource for students and educators alike. Their comprehensive coverage, problem-solving emphasis, real-world applications, visual aids, conversational tone, and interactive approach make them a truly valuable asset in the world of mathematics education.中文翻译：高等数学李天意讲义李天意的高等数学讲义在学生和学者中都享有很高的声誉。
高等数学二专升本教材讲解
高等数学二专升本教材讲解高等数学二是专升本考试中的一门重要科目，为了帮助准备参加专升本考试的考生更好地掌握该科目的知识，本文将对高等数学二的教材进行详细讲解。
第一章：多元函数微分学1.1 隐函数与多元函数的导数在高等数学二的多元函数微分学中，我们首先学习了隐函数与多元函数的导数。
隐函数的求导是一项重要的技巧，我们需要通过求偏导数的方法来确定隐函数的导数。
在具体的计算过程中，我们需要运用链式法则和隐函数定理等概念。
1.2 多元函数的微分和全微分多元函数的微分和全微分是高等数学二中的核心内容。
通过多元函数的微分和全微分，我们可以更好地理解多元函数的变化规律和性质。
在计算全微分时，我们需要运用到偏导数，以及导数在计算微分中的应用。
1.3 复合函数的导数复合函数的导数在高等数学二的多元函数微分学中也是一项重要的内容。
我们需要通过链式法则和复合函数的求导法则来计算复合函数的导数。
此外，还需掌握常见的复合函数导数计算方法，如指数函数、对数函数和三角函数等。
第二章：多元函数积分学2.1 重积分重积分是高等数学二中的重要概念，其主要应用于多元函数的积分。
我们需要学习二重积分和三重积分的计算方法，并了解其几何意义。
此外，还需掌握重积分在求取平均值、质心和质量等方面的应用。
2.2 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高等数学二中的重要知识点，对于多元函数的积分具有重要的意义。
我们需要学习曲线积分和曲面积分的计算方法，并了解其几何意义和物理应用。
2.3 用重积分计算物理量在高等数学二的多元函数积分学中，我们还需要运用重积分来计算物理量。
通过建立积分与物理问题之间的联系，我们可以更好地理解和运用重积分的概念和方法。
第三章：无穷级数3.1 数项级数数项级数是高等数学二中关键的内容，我们需要学习数项级数的收敛性和敛散性判别方法。
掌握级数的概念和应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
3.2 幂级数幂级数是高等数学二中的一个重要概念，其在数学和工程领域中具有广泛的应用。
高等数学二教材讲解
高等数学二教材讲解高等数学二是一门重要的数学课程，它是大学数学系列中的一部分。
本教材旨在系统讲解高等数学二的相关概念、理论和方法，帮助学生更好地掌握和应用高等数学的知识。
一、绪论高等数学二是高等数学的延伸和拓展，它主要包括多元函数微分学、多元函数积分学和级数等内容。
学习这门课程需要对高等数学一有扎实的理解和掌握，因为高等数学二是在高等数学一的基础上进行深入学习的。
二、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学二的一大重点内容。
它包括偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值等概念和理论。
学生需要掌握多元函数微分的计算方法和应用技巧，理解多元函数的极值和最小二乘法等数学模型与实际问题的联系。
三、多元函数积分学多元函数积分学是高等数学二的另一个重要内容。
它包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等概念和计算方法。
学生需要了解积分的几何和物理意义，掌握不同类型积分的计算技巧，并能灵活运用积分解决实际问题。
四、级数级数是高等数学二中的一项基础概念。
它包括数项级数、函数项级数和幂级数等内容。
学生需要理解级数的概念、性质和求和方法，并学会运用级数解决数学和物理问题。
五、微分方程微分方程是高等数学二的一大难点和亮点。
它包括常微分方程和偏微分方程两部分内容。
学生需要了解微分方程的基本概念和分类，学会解一阶和二阶常微分方程，以及掌握常系数线性齐次偏微分方程和波动方程等的求解技巧。
六、应用举例高等数学二的内容和理论经常被应用于其他学科和领域中。
本教材将适当地介绍一些高等数学二在物理学、工程学和经济学等领域的应用举例，帮助学生更好地理解和应用所学知识。
七、学习方法和策略高等数学二是一门理论与实践相结合的学科，学生需要通过大量的练习和实例来巩固和应用所学的知识。
本教材将提供一些学习方法和策略，帮助学生有效地学习和掌握高等数学二的知识。
总结：高等数学二是一门重要的数学课程，通过系统讲解多元函数微分学、多元函数积分学、级数和微分方程等内容，本教材旨在帮助学生全面理解和应用高等数学二的知识。
高等数学(二)教学大纲
第七节 隐函数的微分法 ............................................................................................................... 249 一、二元隐函数的概念 ........................................................................................................... 249 二、二元隐函数的微分法 ....................................................................................................... 249 三、方程组的隐含数问题 ....................................................................................................... 250
高等数学Ⅱ课程教案
lim_{n to infty} s_n$。
收敛与发散
03
若级数的和存在且有限，则称级数收敛；否则称级数发
散。
数项级数审敛法
01 比较审敛法
通过比较两个级数的通项 大小关系来判断其敛散性。
03 比值审敛法
利用级数通项的比值来判
断其敛散性，即达朗贝尔
定理。
02 根值审敛法
利用级数通项的根值来判
断其敛散性，即柯西定理。
唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03 极限存在的条件
左右极限存在且相等。
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义 以零为极限的变量。
无穷大量的定义 绝对值无界的变量。
无穷小量的性质
有限个无穷小量的和、差、积仍是无 穷小量；有界函数与无穷小量的乘积 是无穷小量。
无穷大量与无穷小量的关系
在同一变化过程中，如果f(x)为无穷 大量，那么1/f(x)为无穷小量；反之 亦然。
三重积分的计算
详细讲解三重积分的计算方法，包括直角坐标法、柱面坐标法、球面坐标法等，并通过 实例演示计算过程。
三重积分的应用
介绍三重积分在体积、质量、重心、转动惯量等方面的应用，并通过实例分析具体问题 的解决方法。
第一类曲线积分和第二类曲线积分简介
01
第一类曲线积分的定 义与性质
阐述第一类曲线积分的概念，介绍其物 理意义和几何意义，并讨论第一类曲线 积分的性质，如线性性、可加性等。
通过本课程的学习，学生将掌握数学分析的基本思想和方法，培养抽象思维和逻辑推理能力， 为后续专业课程的学习打下坚实基础。
教学目标与要求
知识目标
掌握微积分、常微分方程、向量代数与空间解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何 的基本概念、基本理论和基本方法。
李放歌版高等数学教材
李放歌版高等数学教材高等数学是大学数学的重要组成部分，广泛应用于科学技术、经济管理、工程技术等众多领域。
为了更好地适应学生的学习需求和教学方法的变革，李放歌版高等数学教材应运而生。
本教材以全新的教学理念和优化的内容安排，为学生提供了一种全面系统的高等数学学习方式。
第一章微分学微分学是高等数学的基础内容，它主要研究函数的变化规律和局部性质。
李放歌版高等数学教材在微分学这一章节的内容编排上，注重将基本概念与实际问题相结合，力求让学生理解和应用微分学的内涵。
第二章积分学积分学是微分学的互补部分，通过求解曲线下面的面积来研究函数整体性质。
李放歌版高等数学教材在积分学这一章节的设计上，注重将积分与微分紧密联系起来，阐述它们之间的内在关系，并通过实际应用来强化学生的掌握能力。
第三章级数与级数展开级数与级数展开是高等数学的扩展内容，它们广泛应用于物理、工程、经济等领域的实际问题中。
李放歌版高等数学教材在这一章节的编写上，注重引导学生理解级数的本质和收敛性判定条件，同时通过大量例题和习题来加深学生对级数展开的掌握。
第四章偏导数与多元函数微分学偏导数与多元函数微分学是高等数学中的重要内容，它们主要研究多变量函数的变化规律和局部性质。
李放歌版高等数学教材在这一章节的编排上，注重将理论知识与实际问题相结合，通过生动的示例和图表来加深学生对偏导数和多元函数微分学的理解。
第五章多元函数的积分学与曲线积分多元函数的积分学与曲线积分是高等数学中的重点和难点内容，它们是微积分学的高级形式。
李放歌版高等数学教材在这一章节的安排上，注重引导学生理解多元函数积分的几何意义和物理应用，同时通过大量的计算练习来提高学生的技巧。
第六章曲面积分与多元函数的应用曲面积分与多元函数的应用是高等数学中的扩展内容，广泛应用于工程、物理等领域的实际问题。
李放歌版高等数学教材在这一章节的设计上，注重让学生了解曲面积分的几何意义和物理应用，并通过生动的实例引导学生学会灵活应用多元函数的知识解决实际问题。
大二高数知识点总结ppt
大二高数知识点总结ppt一、引言大二高数是大学数学中的重要一门课程，通过学习这门课程，我们可以系统地学习数学的基本概念、理论和方法。
为了方便同学们的学习和总结，本文将对大二高数的知识点进行总结，并结合PPT的形式进行展示。
二、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的定义：自变量、因变量、函数值、定义域、值域1.2 常见函数类型：线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等1.3 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等2. 极限与连续2.1 极限的定义与性质2.2 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限2.3 连续的定义与性质2.4 连续函数的运算法则三、导数与微分1. 导数的概念与计算1.1 导数的定义与几何意义1.2 常规函数的导数计算：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等1.3 高阶导数与导数公式2. 微分的概念与应用2.1 微分的定义与微分近似计算2.2 微分中值定理与应用2.3 泰勒公式与应用四、定积分与不定积分1. 定积分的概念与计算1.1 定积分的定义与几何意义1.2 常规函数的定积分计算：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等1.3 定积分的性质与应用：面积、弧长、旋转体体积等2. 不定积分的概念与计算2.1 不定积分的定义与基本性质2.2 常规函数的不定积分计算：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等2.3 反常积分与应用五、级数与展开1. 级数的概念与性质1.1 数列的极限与收敛性1.2 级数的概念与收敛性1.3 常见级数类型：等比级数、调和级数、幂级数等2. 级数的运算与性质2.1 级数的加法与乘法2.2 级数的收敛判别法2.3 幂级数的展开与收敛域六、空间解析几何1. 直线与平面1.1 二维坐标系下的直线与平面 1.2 三维空间中的直线与平面1.3 直线与平面的位置关系与方程2. 球面与曲面2.1 二维坐标系下的圆与椭圆2.2 三维空间中的球面与曲面2.3 球面与曲面的位置关系与方程七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义与分类1.2 常微分方程的解与初值问题1.3 常见常微分方程类型：一阶线性方程、一阶可降阶方程等2. 常微分方程的解法与应用2.1 可分离变量方程的解法2.2 线性方程与齐次方程的解法2.3 常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用八、总结本文对大二高数的重要知识点进行了梳理与总结，并通过PPT 的形式展示，希望能够帮助同学们系统地学习与回顾大二高数的知识。
高数二知识点总结
高数二知识点总结高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中高数二作为高等数学的延续，包含了更多的数学知识点。
本文将对高数二中的一些重要知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
1. 多元函数与偏导数在高数二中，我们首先学习了多元函数与偏导数。
多元函数是指有多个自变量的函数，与一元函数相比，其求导的过程更加复杂。
为了求多元函数的导数，我们需要使用偏导数的概念。
偏导数表示多元函数在某一点上关于某个自变量的变化率，而其他自变量视为常数。
通过求取各个偏导数，我们可以得到多元函数的梯度，进而利用梯度来进行最优化等问题的求解。
2. 高阶导数与泰勒展开在高数二的学习中，我们会进一步研究高阶导数的概念。
高阶导数表示对一个函数进行多次求导的结果。
通过求取高阶导数，我们可以更加深入地了解函数的性质和特点。
此外，高阶导数还与泰勒展开有着密切的联系。
泰勒展开是通过多项式逼近函数的方法，它将函数在某个点处展开成无穷级数，以近似表示原函数。
泰勒展开在物理、工程等领域具有广泛的应用，它为我们提供了一种处理复杂函数的有效工具。
3. 重积分与曲线积分重积分也是高数二中的重要内容，它是对多元函数在某个区域上进行积分的概念。
重积分分为二重积分和三重积分，用于求解平面上和空间中的某些物理量。
曲线积分是对曲线上的某个向量场进行积分的概念。
它分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场沿曲线的弧长方向进行积分，而第二类曲线积分则是将向量场在曲线上的投影进行积分。
曲线积分可以帮助我们计算曲线所围成的面积、弧长以及向量场的流量等问题。
4. 曲面积分与高斯定理、斯托克斯定理曲面积分是对曲面上的某个标量场或向量场进行积分的概念。
它的计算方法分为两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是将标量场在曲面上的投影进行积分，而第二类曲面积分则是将向量场通过曲面上的法向量进行积分。
高斯定理是与曲面积分相关的一个重要定理，它将曲面积分与体积积分关联起来。
高等数学学习教材推荐
高等数学学习教材推荐高等数学作为一门重要的数学学科，在大学教育中占据着重要的地位。
选择一本合适的高等数学教材对学习者的学习效果起着至关重要的作用。
本文将就高等数学学习教材推荐进行探讨。
一、《高等数学教程》《高等数学教程》是一本经典的高等数学教材，由李文儒、陈秉钧等人编写而成。
这本教材系统地阐述了高等数学的各个分支，包括极限与连续、微分学、积分学等内容。
该教材以其严谨的推导过程和简洁清晰的表达方式，深受学生和教师的喜爱。
它的特点是思想严谨性强，适合求深入学习和钻研。
二、《数学分析》《数学分析》是一本难度较高的高等数学教材，由郭家良编写。
该教材在高等数学的基础上加入了数学分析的内容，全面而深入地介绍了实数、函数、极限、微分、积分等概念和理论。
与传统的高等数学教材相比，它更加注重理论分析和证明方法的讲解，对于培养学生的逻辑思维和数学推理能力有着独特的作用。
三、《高等数学教程扩展版》《高等数学教程扩展版》是在《高等数学教程》的基础上进行了扩充和修订的教材，由高等教育出版社出版。
该教材在保留原有内容的同时，增加了一些与时俱进的新内容，如多元函数与偏导数、曲线积分与曲面积分等。
它的特点是内容全面、更新迅速，适合作为高等数学教育的主要教材。
四、《数学分析引论》《数学分析引论》是一本经典的高等数学教材，由郭家良和沈炎宾合作编写。
该教材对高等数学的基础概念和理论进行了详细的介绍，从数学分析的视角深入浅出地解析了数学的本质和基本思想。
它的特点是内容深入，适合喜欢思考和探索的学生学习。
五、《高等数学辅导教材》《高等数学辅导教材》是一本针对高等数学学习的辅导教材，由多位数学教育专家合作编写。
该教材从解题方法和技巧出发，结合大量的例题和习题，帮助学生理解和掌握高等数学的基本概念和计算方法。
它的特点是突出实用性，适合作为辅导材料和习题集使用。
综上所述，选择一本合适的高等数学教材对于学习者来说至关重要。
《高等数学教程》、《数学分析》、《高等数学教程扩展版》、《数学分析引论》和《高等数学辅导教材》都是优秀的高等数学教材，具有不同的特点和适用范围。
统招专升本高等数学二教材
统招专升本高等数学二教材高等数学二教材是统招专升本考试中的重要科目之一，它作为大学专业课程的一部分，对学生在高等数学的理论和实践能力的培养具有重要作用。
本文将以高等数学二教材的内容为基础，结合实际案例来分析和讲解其中的重点知识点，以帮助学生更好地掌握这门课程。
首先，在高等数学二教材中，一元函数是一个重要的概念。
一元函数指的是只有一个自变量的函数。
在数学中，我们经常遇到这样的情况，要研究一个变量与其他变量之间的关系，而这个关系可以用一个函数进行描述。
一元函数是最简单的函数形式，也是我们初学高等数学时首先接触到的函数形式。
高等数学二教材中，对于一元函数我们需要掌握的重点内容包括函数的定义域和值域、函数的极值、函数的单调性和函数的图像等。
通过掌握这些内容，我们可以更好地理解一元函数的性质和特点，从而在实际问题中运用数学方法进行分析和解决。
接下来，高等数学二教材中有关多元函数的知识也是我们需要重点关注的。
多元函数是指自变量有两个或者更多的函数。
在实际问题中，我们常常会遇到多个变量之间的复杂关系，这时候我们就需要用到多元函数的概念来描述这种关系。
在高等数学二教材中，对于多元函数，我们需要学习的内容包括多元函数的定义域和值域、多元函数的偏导数和全微分、多元函数的极值和条件极值等。
掌握这些知识点，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的性质和特点，并在实际问题中运用数学方法进行求解。
此外，高等数学二教材还包括一些其他重要的内容，如微分方程、级数和常微分方程等。
微分方程是一种描述函数关系的数学工具，在自然科学和工程技术等领域都有广泛的应用。
级数是由一系列数相加而得到的结果，也是数学中常用的工具之一。
常微分方程是微分方程的一种特殊形式，它是描述连续系统演化规律的一种重要数学工具。
通过学习高等数学二教材中的这些内容，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高数学分析和解决问题的能力。
同时，我们还可以从中感受到数学的美丽和重要性，培养自己的数学思维和逻辑推理能力。
高等数学教材第二册
高等数学教材第二册高等数学是大学数学中的重要课程之一，是学习数理知识的基础和桥梁。
作为高等数学教材的第二册，本书内容丰富，涵盖了多个重要的数学分支，包括微积分、线性代数和常微分方程等。
本文将通过对第二册教材中各个章节的简要介绍，帮助读者全面了解这本教材的内容和特点。
第一章：多元函数微分学第二册的第一章主要介绍了多元函数微分学的基本概念和方法。
首先，对多元函数的偏导数进行了详细说明，包括一阶和二阶偏导数的定义和计算方法。
其次，介绍了隐函数及其偏导数的求法，以及全微分和多元复合函数的微分法则。
最后，对Taylor展开和极值问题进行了深入讨论，为后续章节的学习奠定了基础。
第二章：重积分学第二章是重积分学的学习内容。
本章主要介绍了二重积分的定义、性质和计算方法。
其中，包括变量替换法和极坐标法等重要的计算技巧。
此外，还介绍了三重积分的概念和计算方法，以及应用于物理和几何问题中的应用。
通过本章的学习，读者将掌握重积分的基本理论和实际应用方法。
第三章：曲线积分与曲面积分第三章的内容是曲线积分与曲面积分的学习。
本章首先介绍了曲线积分的概念和计算方法，包括第一类曲线积分和第二类曲线积分，以及格林公式和高斯公式等重要的定理。
接着，介绍了曲面积分的相关概念和计算方法，包括第一类曲面积分和第二类曲面积分。
最后，通过一些应用问题，展示了曲线积分和曲面积分在实际问题中的应用价值。
第四章：无穷级数第四章主要介绍了无穷级数的概念和性质。
首先，详细阐述了数项级数和函数项级数的收敛性判断方法，包括比较判别法、积分判别法和正项级数收敛判定法等。
其次，介绍了幂级数和泰勒级数的基本概念和性质，并讨论了级数的逐项积分和逐项求导等重要问题。
通过学习本章，读者将了解无穷级数的基本理论，并能够应用于工程和物理等实际问题中。
第五章：常微分方程第五章是常微分方程的学习内容。
本章首先介绍了常微分方程的基本概念和解的存在唯一性定理。
然后，介绍了一阶常微分方程的几何解释和可分离变量方程的解法。
高等几何讲义第4章
c// s
b//
q
共线．
c/
a
b/
§1. 配极与二次曲线
在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有
(ba; pc//) 1，
因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点．
又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭．
因此，p 的极线是 c/c//．
同理，q 的极线是 a/a//， p
➢3. 二次曲线方程的简化形式
➢ 因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标 准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为： b1x12 b2x22 b3x32 0．
➢ 下面是另一种简化形式： ➢ 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出
的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则 曲线方程可写为：
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是
无切点线．
➢ 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点．
解法1： 方程可改写为：
1 1 2x1
(x1, x2, x3) 1 3
➢ 下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．
➢ 例7 证明：直线为二次曲线的切线 此直线与 二次曲线交于二重点．
证明：选取如推论中的坐标系，则 的点坐标方 程为：x12 x2x3 0，其对应矩阵为
2 0 0 (aij) 0 0 1．
0 1 0
§1. 配极与二次曲线
1 0 0
此矩阵的伴随矩阵为：
两条切线 、 的切点分
别为 y、z．
y
因 y、z 的极线 、 过 x，
成教 高等数学二教材
成教高等数学二教材高等数学二教材高等数学二是成人教育中的一门重要课程，它是高等数学的延伸和拓展。
本教材旨在为成教学生提供全面而深入的高等数学知识，帮助他们掌握相关概念、理论和方法，并能够运用于解决实际问题。
第一章无穷级数1.1 序列和数列极限无穷级数的概念和性质，数列极限的定义和判准，特殊数列的收敛性判定。
1.2 数项级数的性质正项级数的性质，级数的收敛和发散判定，收敛级数的性质。
1.3 幂级数幂级数的概念和收敛域，常见幂级数的展开式。
第二章函数的多项式逼近2.1 泰勒级数函数的泰勒展开，常用函数的泰勒展开式。
2.2 函数的极限与连续性函数极限的定义和性质，连续函数的判定和性质。
2.3 微分学的应用函数的$n$阶导数和高阶导数，函数的凹凸性和拐点，函数图形的描绘。
第三章一元函数的积分学3.1 定积分定积分的概念和性质，微元法求定积分，定积分的计算公式。
3.2 不定积分不定积分的概念和性质，基本积分表和换元法，分部积分和分式积分法。
3.3 定积分的应用定积分的应用，曲线下面积及其计算，定积分的物理及几何应用。
第四章二元函数与偏导数4.1 二元函数的极限和连续性二元函数的极限定义和性质，二元函数的连续性和间断点。
4.2 偏导数偏导数的定义和几何意义，高阶偏导数，隐函数求导。
4.3 方向导数与梯度方向导数的定义和计算，梯度的定义和性质。
第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的微分多元函数的全微分和一阶微分近似，多元复合函数微分法。
5.2 隐函数及其导数隐函数存在定理，隐函数求导。
5.3 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定，条件极值的求解。
第六章多元函数的积分学6.1 二重积分二重积分的定义和性质，二重积分的计算方法。
6.2 三重积分三重积分的定义和性质，三重积分的计算方法。
6.3 广义积分广义积分的概念和性质，广义积分的计算方法。
通过对以上章节的学习及练习，学生将对高等数学的概念和方法有一个更加深入的了解，并能够运用所学知识解决实际问题。
[整理]《高数Ⅱ》教案16821.
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教学难点 教学方式
空间曲线参数方程的建立 研讨式
教学内容（板书）
复习曲面及其方程 导 入
演示与推导
时间
叙述曲面方程的概念，启发学生联想曲线 约
与曲面的关系
3
分
钟
一、空间曲线的一般方程
启发学生，导出空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可
大
约
以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线．
32
F(x, y, z) 0
i jk
Ⅱ.行列式表示式： a b ax a y az bx by bz
补充：
|
a
b
|
表示以
a
和
b
为邻边的平行四
边形的面积 5.三个例子
启发，讲解例子
向量的数量积（结果是一个数量），向量的
简要叙述
向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的
约
小 条件）收敛数列的有界性；
10
结
钟
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
1．向量的模与两点间距离公式 2. 方向角与方向余弦 3. 向量在轴上的投影
1.向量的概念 2.向量的线性运算 小 3.空间直角坐标系的概念 结 4.利用坐标作向量的线性运算
5.向量的模与方向余弦的坐标表示式
作
教材 P12 习题 8-1：4、14、15
教学准备 熟悉教案及讲稿
教学目标
让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为
空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点
1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
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第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．1()) n nx f x+=②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1 极限的重要性质1．不等式性质设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ． 设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞→lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且A ＞B ，则存在δ＞0，使得当00 <x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ．2．有界或局部有界性性质设A x n n =∞→lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．设，A x f x x =→)(lim 0则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2 求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，则；B A x g x f xx ±=±→)]()([lim 0；AB x g x f x x =→)()(lim 0．)0()()(lim 0≠=→B BA x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0x x f x x x x →→，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0”，“∞∞”，“0²∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→)()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时()g x 局部有界，（即0,0M δ∃>>，使得00x x δ<-<时()g x M <），则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时｜g （x ）｜局部有正下界，（即∃δ＞0，b ＞0使得0＜｜x － x 0｜＜δ时｜g （x ）｜≥b ＞0），则 ∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．3°设∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ，则()∞=→)()(lim 0x g x f x x ，又∃δ＞0使得0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）g （x ）＞0，则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．4°设0)(lim 0=→x f x x ，x →x 0时g （x ）局部有界，则()0)()(lim 0=→x g x f x x （无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设．A x f B x g A x f B x g x x x x x x ===→→→)()(lim )(lim ＞0)(lim 0则，lim ()ln ()()()ln ()ln (lim ()lim )x x g x f x g x g x f x B A B x x x x f x eee A →→→====只要设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln )(lim 0x f x g x x →是“0²∞”型未定式．1°设)(lim 0x f x x → = 0（0＜｜x －0x ｜＜δ时f （x ）＞0），0)(lim 0≠=→B x g x x ，则()(0)lim ()(0)g x x x B f x B →>⎧=⎨+∞<⎩2°设)(lim 0x f x x → = A ＞0，A ≠1，)(lim 0x g x x → = + ∞，则 0()0(0<1)lim ()(1)g x x x A f x A →<⎧=⎨+∞>⎩3°设)(lim 0x f x x → = + ∞，0)(lim 0≠=→B x g x x ，则 ⎩⎨⎧∞+=→＞0)()＜0(0)(lim )(0B B x f x g xx【例1】 设．，则，又________)(lim 0)(g lim )()(lim000===→→→x f x A x g x f x x x x x x【分析】 ．＝00))()()((lim )(lim 0=⨯=⋅→→A x g x g x f x f x x x x【例2】设｛a n ｝，｛b n ｝，｛c n ｝均为非负数列，且，，，∞===+∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim 1lim 0lim 则必有（A ）a n ＜b n 对任意n 成立． （B ）b n ＜c n 对任意n 成立．（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在． （D ）n n n c b ∞→lim 不存在．用相消法求00或∞∞型极限 【例1】求)cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→【解】作恒等变形，分子、分母同乘得x x sin 1tan 1+++x I →= x x x x x x x x sin 1tan 11lim )cos 1()cos 1(tan lim 00+++--=→→21211==⋅．【例2】求limx I →-=【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2x x x -=得1x I →===利用洛必达法则求极限【例1】设f （x ）在x = 0有连续导数，又 2)(s i nl i m 20=⎪⎭⎫⎝⎛+=→x x f xx I x 求(0)(0)f f '与．答案是—1和2【例2】求)1ln()cos 1(1cossin 2lim20x x x x x x +++→．5月30日【例3】求xx I xx e)1(lim 10-+=→．【例4】求xx I xx x sin e e lim sin 0--=→．【例5】若306sin ()lim 0x x xf x x →+=，则__________)(6lim 20=+→x x f x ．【例6】求)1ln(0)(tan lim x x x I -+→=．【例7】设α＞0，β≠0为常数且122lim [()]aa ax I xx x β→+∞=+-=，则（α，β） = __________．【分析】∞－∞型极限．210121)1(lim 1t ]1)[(1lim tt x x x I a a t aax -+=-+=+→-+∞→ tt a t a a aa t 2)1(1lim 1110--+→⋅+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+==+=--+→⋅)2＜＜0()2(21)＞2(0)1(21lim 2110a a a t t a a a t 因此（α，β） = )212(，．分别求左、右极限的情形，分别求n n n n x x 212lim lim +∞→-+∞→与的情形【例1】设||sin e1e 2)(41x xx f xx +++，求0lim ()x f x →．【例2】求nn n I n )1(1lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=利用函数极限求数列极限【例1】 求)1＞(lima an I nn +∞→=．【例2】求21lim (tan )n n I n n→+∞=．【解1】)11tan (11tan 12)11tan(1lim --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n nn n n n I转化为求2230021tan11tan 11tan lim (tan1)limlim lim n n x x n xx xnx n n nx xn +→+∞→+∞→+→----=== 123201cos 1lim e 33x x I x +→-==⇒= 【解2】用求指数型极限的一般方法．n nn n I 11tan ln2elim +∞→=转化为求2021tan tan 1lnlim lnlim1n x nx x nxn →+∞→= 201tan lim xx xx -=→（等价无穷小因子替换），余下同前．§3 无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系l i m ()()()x x f xA f x A x α→=⇔=+ 其中0lim ()0(()(1)).x x x f x A o x x α→==+→，o （1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u ≠0）⇒u 1是无穷大量．反之若u 是无穷大量，则u1是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义 同一极限过程中，α（x ），β（x ）为无穷小，设 0()()1()()()lim ()~()()()0()()()(())()l x x l x x x l x x x l x x x o x αβαβααββαβαβ≠⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义 设在同一极限过程中α（x ），β（x ）均为无穷小，α（x ）为基本无穷小，若存在正数k 与常数l 使得0)()(lim≠=l x x k αβ 称β（x ）是α（x ）的k 阶无穷小，特别有0)()(lim 0≠=-→l x x x k x x β，称x →x 0时β（x ）是（x －x 0）的k 阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，㏑（1 + x ） ~ x ，e x －1 ~ x ； a x －1 ~ x ln a ，arcsi nx ~ x ，arctan x ~ x ；（1 + x ）a ―1 ~ ax ，1―cos x ~ 221x ． （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1°若α ~ β，β ~ γ⇒α ~ γ． 2° α ~ β⇔α = β + o （β） 3°在求“0”型与“0²∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例1】 求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=→13cos 21lim 30x x x xI ． 【例2】 设__________)(lim 513]2sin )(1ln[lim 200==-+→→xx f x x f x x x ，则． 【分析】 由已知条件及02sin )(lim 0)2sin )(1ln(lim 0)13(lim 000=⇒=+⇒=-→→→x x f xx f x x xx ．又在x = 0某空心邻域f （x ）≠0⇒()()()ln(1)~~(0)sin 2sin 22f x f x f x x x x x+→，又3x －1 ~x ln 3．于是 22000()/2()()lim lim 5lim 10ln 3ln 32ln 3x x x f x x f x f x x x x →→→==⇒=． 【例3】 设x → a 时α（x ），β（x ）分别是x － a 的n 阶与m 阶无穷小，又0)(lim ≠=→A x h ax ，则x → a 时（1）α（x ）h （x ）是x － a 的__________阶无穷小． （2）α（x ）β（x ）是x － a 的__________阶无穷小．（3）n ＜m 时，α（x ）±β（x ）是x － a 的__________阶无穷小． （4）n ＞m 时)()(x x βα是x － a 的__________阶无穷小． （5）k 是正整数时，αk 是x － a 的__________阶无穷小．以上结论容易按定义证明。