数理统计习题

数理统计习题答案（前六章）
1．一盒中有五枚纪念章，编号为1，2，3，4，5，从中任取3枚，用X 表示取出的纪念章的最大号码，求X 的分布律。

解：由题意知：X 的取值为3，4，5，
P {X =3}=
1.010513
5
==C ， P {X =4}=3.010
3
3523==C C ，
P {X =5}=6.010
63524
==C C
故X 的分布律为
或 X 的分布律为
P {X =k }=3
5
21
11C C C k -, k=3,4,5。

2．进行某种试验，成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，以X 表示直到试验成功所需试验的次数，（1）试写出X 的概率分布；（2）求X 取偶数的概率。

解：（1）X 的概率分布律为
k k k X P 4
3
43)41(}{1===-，k =1,2,…
（2）X 取偶数的概率
P {X =偶数}= P { X =2}+ P { X =4}+…+ P{ X =2k }+…
2.01531434
1143
43434322
2242==-=-=++++= k X 0 1 2 P
0.1 0.3 0.6
3．设随机变量X 的分布列为：
X 0 1 2 3 P
0.4
0.2
p 3
0.1
求：（l ）p 3；（2）P {0<X <3}；（3）分布函数F (x )。

解：（1）由p k 的性质知
11.02.04.034
1
=+++=∑=p p
k k
，
故 p 3=1－0.7=0.3。

（2）P {0<X <3}= P { X =1}+ P{ X =2}=0.2+0.3=0.5。

（3）则当x <0时，F (x ) = P {X ≤x } = 0； 当0≤x <1时，F (x )=P {X ≤x }= P {X =0}=0.4；
当1≤x <2时，F (x )= P {X ≤x }= P {X =0} + P {X =1}=0.4+0.2=0.6；
当2≤x <3时，F (x )= P {X ≤x }= P {X =0} + P {X =1}+ P {X =2}=0.4+0.2+0.3=0.9； 当x ≥3时，F (x )= P {X ≤x }= P {X =0} + P {X =1} + P {X =2}+ P {X =3} =1。

故X 的分布函数为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3
,13 2 ,9.02
1 ,6.01 0 ,4.00
,0)(x x x x x x F
4．设随机变量X 的概率分布
P (X =k ) =
N
a
, k =1, 2,… ,N 试确定常数a ，共计算E (X )及D (X )。

解：因 11
===+++=
∑=a N
a
N N a N a N a p N
k k ， 故a =1。

E (X )=2
1
2)1(11
11
1
1+=+=
==∑∑∑===N N N N k N N k p x N
k N
k k N k k ；
E (X 2
)=6
)
12)(1(6)12)(1(11
11
2
1
2
12
++=++=
==∑∑∑===N N N N N N k
N N k
p x N
k N
k k N
k k
D (X )=
E (X 2
)－[E (X )]2
=
121
)21(6)12)(1(22-=+-++N N N N
5. 设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧<<=其他
,01
0 ,)(x Cx x f 试求：（1）常数C ；（2）X 落在（0.3，0.7）内的概率；（3）分布函数F (x )；（4）E (X )。

解：（1）⎰
+∞
∞
-dx x f )(12
]2[10210==⋅==⎰C
x C Cxdx , 故C=2。

（2）4.03.07.0][d 2)d (}7.0{0.32
27
.03.0 7.03.02.70 .3
0 =-====<<⎰⎰
x x x x x f X P
（3）当x <0时，0d 0)d ()( ===⎰⎰∞
-∞
-x
x
x x x f x F ；
当0≤x <1时，2020
][d 2d 0)d ()(x x x x x x x f x F x x
x
==+==⎰⎰⎰∞
-∞
-；
当x ≥1时，1][d 0d 2d 0)d ()(1010
2 1
0 ==++==⎰⎰⎰⎰
∞
-∞
-x x x x x x x f x F x
x 。

即 X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1 ,11 0 ,0
,0)(2x x x x x F
（4）3
2
]32[2)()(101
03=⋅=⋅==⎰⎰∞
+∞-x xdx x dx x xf X E 。

6．设随机变量X 的分布函数为
1e , 0
()0, 0
x x F x x -⎧-≥=⎨<⎩
试求：（1）P {X ＜4}，P {X ＞1}；（2）概率密度函数f (x )。

解：（1）P {X ＜4}=F (4)=1－e -4，
P {X ＞1}=1－P {X ≤1}=1－F(1)= 1－(1－e -1)= e -1
（2）⎩
⎨⎧<≥='=-0 0,0 ,e )()(x x x F x f x
7．设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤=其他 ,021,210
,)(x x x x x f
试求（1）分布函数F (x );（2）数学期望E (X )。

解：（1）当x <0时，0d 0)d ()( ===⎰⎰∞
-∞
-x
x
x x x f x F ；
当0≤x <1时，⎰⎰⎰
=
+==∞-∞
-x
x x x x x x x f x F 0 2
2
d d 0)d ()(； 当1≤x <2时，⎰⎰⎰⎰
-++==∞
-∞
-10
1
0 )d 2(d d 0)d ()(x
x
x x x x x x x f x F
x x x x 12102]22[]2[-+=122
)212()22(212
2-+-=---+=x x x x 当x ≥2时，⎰⎰⎰⎰⎰
+-++==∞
-∞
-10
2
2 1
0 d 0)d 2(d d 0)d ()(x
x
x x x x x x x x f x F
1]2
2[]2[2
12102=-+=x x x 。

即X 的分布函数为
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=2
,12 1 ,1221 0 ,2
,0)(22
x x x x x x x x F
（2）1]3
[]3[)d 2(d )()(1
2132
1032 1
2
=-+=-+==⎰⎰
⎰∞
+∞
-x x x x x x x x dx x xf X E 。

8．设随机变量X 在（0，5）上服从均匀分布，求方程4t 2 + 4Xt + (X +2)=0中，t 有实根的概率。

解：随机变量X 服从的均匀分布为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,其它
,050
,5
1
)(x x f 为使方程4t 2 + 4Xt + (X +2)=0中的t 有实根的充要条件是
Δ= (4X )2－4×4(X +2)=16X 2－16X －32≥0,
即 X 2－X －2≥0
则所求概率为
P { X 2－X －2≥0}= P { (X －2)(X +1)≥0}= P {X ≥2且X ≥﹣1} +P { X ≤2且X ≤﹣1}
=P {X ≥2} +P { X ≤﹣1}=dx ⎰5251+0=6.05
3
=。

9．某车间有20台车床独立工作，每台车床开车时间占总工作时间的0.3，又开车时每台车床需用电力是1单位，问：(1)车间需要电力的最可能值是多少单位？（2）若供给车间9单位电力，则因电力不足而耽误生产的概率等于多少？（3）供给车间至少多少单位电力，才能使因电力不足而耽误生产概率小于1％？
解：设X 为20台车床中开车的车床数，则X 服从二项分布B (20, 0.3)。

（1）因为
(n +1)p =21×0.3=6.3
非整数，故对6.3取整得[6.3]=6，即车间需要电力的最可能值是6单位电力。

（2）所求概率为(查附表2) P {X ＞9}= P {X ≥10}=04796.0)7.0()3.0(}{2020
10
20
20
10==
=-==∑∑k k k k
k C
k X P
（3）设供给车间m 单位电力, 则电力不足的概率为 P {X ＞m }= P {X ≥m +1}=
01.0)7.0()3.0(}{2020
1
20
201
<==-+=+=∑∑k k m k k m k C
k X P
对n =20, p =0.3, 查附表2得 m +1=12, 故m =11，即至少供给车间11单位电力。

10．某地胃癌的发病率为0.01％，现普查5万人，试求（1）没有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。

解：设X 为胃癌患者人数，则X 服从二项分布B (50000，0.0001)。

因为n =50000很大，而p =0.0001非常小，λ=np =50000×0.0001=5，故可利用泊松近似公式进行计算。

(1) 所求概率为
P {X =0}=0.9999
50000
≈
λλ-e !
00
=e -5=0.00674
(2)所求概率为
P {X <5}=1－P{X ≥5}=1－
k k k k
C
-=∑50000500005
50000
)9999.0()0001.0(
4405.05595.01!515
50000
5
=-=-
≈-=∑
e k k k
12．某工厂生产的螺栓长度（cm ）服从参数μ=10.05, σ=0.06的正态分布，如果规定长度在10.05±0.12内为合格品，求任取一螺栓为不合格品的概率。

解：螺栓为合格品的概率
P {10.05－0.12<X <10.05+0.12}=)06
.005.1012.005.10()06.005.1012.005.10(--Φ--+Φ
= Φ(2)－Φ(﹣2)=2Φ(2)－1=2×0.9773－1=0.9546 则螺栓为不合格品的概率
P =1－0.9546=0.0454。

13．设随机变量X ～N (60，32)，求分位数x 1，x 2，使X 分别落在区间(﹣∞，x 1)，（x 1，x 2），（x 2，+∞）内的概率之比为3∶4∶5。

解：设X 落在(﹣∞，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，+∞)内的概率分别是p 1、p 2和p 3，由题意p 1+p 2+p 3=1，且
p 1:p 2:p 3=3:4:5
由此计算得
p 1=
41123=，p 231124==，p 3=12
5
则 P {X <x 1}=25.04
1
)360(
11===-Φp x , 75.04
1
1)360(1)360(
11=-=-Φ-=-Φx x , 即
68.03
601
=-x ， 故 x 1=60－3×0.68=57.96
又 P {X >x 2}=1－P {X ≤x 2}=1－12
5
)360(
32==-Φp x , 5833.012
7
1251)360(
2==-=-Φx 则
21.03
60
2=-x ， 故 x 2=60+3×0.21=60.63。

因此所求分位数是x 1=57.96，x 2=60.63。