x10-3向量函数的微分

3.注意（1）r’(t)的几何意义 3.注意（ (t)的几何意义 注意 (t) r 向量值函数r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) (t ∈ (α , β ))的图象为R 3中的一条曲线，
r r0 r dr dsv = =v dt dt
r (t + ∆t )
r dv a= dt
uuur lim r (t ) = (2 lim cos t , 2 lim sin t , lim t ) π π π π
t→
t→
4
4
t→
4
t→
4
r π = ( 2, 2, ) = r ( ) 4 4
π
连续
二、 向量函数导数与微分
r 1.定义： 向量函数 r (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t )) 定义： 定义
起点定在O点，当t变化时终点 描绘出图形是一条空间曲线.
x = x(t ), x y = y (t ) 为曲线的参数表示式 z = z (t ),
o
y
直线： r（t）=(x0+at，y0+bt, z0+ct) 摆线： r（t） =( a(t-sint), a(1-cost) ,0)
r r 2 Q r (t ) ⋅ r (t ) = R
dr (t ) r 2 ⋅ r (t ) = 0 rdt dr (t ) r ⋅ r (t ) = 0 dt
如当我们跟踪以原点为中心的球面 上运动的质点时， 上运动的质点时，位置向量有一个 等于球面半径的固定长度，（如图） 等于球面半径的固定长度，（如图） ，（如图 r
第10章 10章 向量的数量积和向量积 向量函数微分法
知识逻辑关系图
向量函数 几何意义
向 量 函 数
向量函数 连续定义 向量函 数定义 极限 定义 极限计 算方法 导数和微分 运算法则 导数的几何 意义和物理 意义
导数和微 分定义
空间曲线 弧微分
空间弧长计算公式
重点：向量函数导数及其几何意义 难点：空间曲线弧微分
复习：
z
uuur r r r oM = (x, y, z) = xi + yj + zk
M 2
r j
Q
r k
r i
x
o
y
设 a =(ax , ay , az) b =(bx , by , bz), 且λ为常数 (1) a ± b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) (2) λ a = (λax , λay , λaz)
t → t0
r r 0 = ( x0 , y0 , z0 )
z
uuur r (t ) = ( x(t ), y(t ), z(t ))
3. 向量函数极限定义 r r r r 若 lim r (t ) − r 0 = 0则称 lim r (t ) = r 0
t → t0
即 lim ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 = 0
连续的向量函数和空间曲线有 着密切的联系
uuur r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
o
x
y
2.向量函数的几何意义 向量函数的几何意义 r
向量函数
z
uuur r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
t → t0
则称向量函数在t=t 则称向量函数在 0连续
r 向量函数 r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
是连续函数的充分必要条件为： 是连续函数的充分必要条件为： 分量函数
x(t ), y (t ), z (t )
都是数值连续函数
例 已知螺旋线 计算
uuur r (t ) = (2 cos t , 2sin t , t )
dr (t ) 运动路径的速度向量 dt 与运动路径相切
y θ
r(θ)
例 一质点以常角速度w0
0 x
在半径为R的圆上运动，
z
求其速度与加速度？ 解：r (θ )= (R cos θ , R sin θ，0 )
r r r d r d r dθ v= = dt dθ dt =（-R sinθ, R cos θ，0）W0
（1） 设空间曲线 Γ 的方程为 r = r (t ), t ∈ [α , β ] 。如果 r = r (t ) 在 [α , β ] 上连续， 则称 Γ 为连续曲线。
（2）如 Γ 为连续曲线，且对 ∀ t1 , t 2 ∈ (α , β ), t1 ≠ t 2 时，均有 r
/
(t ) ≠ r(t ) ，
t → t0
则称向量 rຫໍສະໝຸດ (t)的极限为r0o
r r 0 = ( x0 , y0 , z0 )
y
或称向量 r(t)按模收敛r0
定理
x r lim r (t ) = (lim x(t ), lim y (t ), lim z (t ))
t → t0 t → t0 t → t0 t → t0
r r 若 lim r (t ) = r (t0 )
x (t0 + ∆t ) − x (t0 ) lim y (t0 + ∆t ) − y (t0 ) lim z (t0 + ∆t ) − z (t0 ) = ( lim , ∆t →0 , ∆t →0 ) ∆t → 0 ∆t ∆t ∆t
r r '(t ) = ( x '(t ), y '(t ), z '(t ))
证（5） r ( s (t )) = ( x( s (t )), y ( s (t )), z ( s (t )) )
r r dr ( s ) dr ( s ) r dr [ s (t )] = ds (t ) = ds (t ) ds ds r
d r d d d r ( s (t )) = x( s (t )), y ( s (t )), z ( s (t )) dt dt dt dt
or
∆t > 0
uuur 例1 求螺旋线 r (t ) = (2 cos t , 2sin t , t )
在点（ ， 在点（0，2,π/2)处的切线方程 处的切线方程
z
o
x A
y
滑翔机的飞行）一个人在悬挂式滑翔机上 例 2 （滑翔机的飞行）uuur 2 由于快速上升气流沿 r (t ) = (3cos t ,3sin t , t )
解
x = a cos ω t y = a sin ω t 螺旋线的参数方程 z = vt
ωt
o
x A
M
•
uuur r (t ) = (a cos ωt , a sin ωt , vt )
y
M′
让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线
r r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
在t0处的导数
r dr dt
t = t0
r r r r ∆r r (t0 + ∆t ) − r (t0 ) = r '(t ) 0 lim lim = ∆t →0 = ∆t →0 ∆t ∆t
r 向量函数 r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))
r dr dt
t = t0
r r r r (t0 + ∆t ) − r (t0 ) r ∆r lim lim = r '(t0 ) = ∆t →0 = ∆t →0 ∆t ∆t
r r d v d v dθ a= = dt dθ dt
r dr r =v dt
= - (R cos θ, R sin θ，0）W02
三、弧微分 r
向量函数 r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t )) 起点定在O点，当t ∈ [αβ ]变化时终点描绘出图形 是一条空间曲线弧。
空间点 例 空间 点 M 在圆柱面 x + y = a 上以角速度ω 轴旋转， 绕 z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于 z 轴的正 方向上升（ 都是常数）， ），点 方向上升（其中ω 、v 都是常数），点 M 构成的图 形叫做螺旋线 螺旋线． 形叫做螺旋线．写出其向量函数表示式
2 2 2
z
取时间t为参数， 取时间 为参数， 为参数
r i (4) r r a × b = ax bx r j ay by k az bz
r r (3) a ⋅ b = axbx + ayby + azbz r
§10-3 10向量函数的微分和积分
一、向量函数
1.向量函数定义 向量函数定义
设x(t ), y (t ), z (t )是定义在集合I ⊂ R上的实值函数，对任一个 r r t0 ∈ I，按r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))就有唯一的向量r (t )与之对应， r 因此我们称r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ))为集合I上的一个向量函数， r x(t ), y (t ), z (t )称为r (t )的分量函数。 z
向上飞行， 向上飞行，求 （1）滑翔机速度和加速度 ） 速度和加速度 （2）滑翔机 t时刻的速率 （3）如果有的话，求滑翔机 的速度正交于加速度的时刻
定长度的向量函数的导向量与r(t)垂直 例3 证明 定长度的向量函数的导向量与 垂直 证明： 证明：
r r d r dr (t ) r dr (t ) r r ⋅ r (t ) + r (t ) ⋅ =0 [ r (t ) ⋅ r (t )] = dt dt dt r