第7.5节刚体平面运动的动力学

第7.5节 刚体平面运动的动力学
7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。

设倾倒时底部未移动。

可近似认为烟筒为均质杆。

解：烟筒的长度l =10m 。

设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。

在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ⋅½l 。

由刚体定轴转动的动能定理：
l
g
ml
I I l mg 32
31221
21=
∴==⋅ωω
烟筒上端到达地面时的线速度为：
s m gl l v /2.17108.933≈⨯⨯===ω
7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v。

以及框架作用于支点
的压力N ．
解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：
框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：212
10ml I =
，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21
，由平行轴定理：
234
2210])([4ml l m I I c =⋅+⋅=
再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：
237221)(4ml l m I I c =⋅+=
(1)求框架质心的线速度v c
框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。

选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得：
gl
l v l h m M I Mgh c l
g
c c 7
321712212
214=
==
∴===ωωω
（2）求框架对支点的压力N
以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：
c a M g M N =+
取自然坐标系，τ沿水平方向，n 铅直向上，得投影方程：
β
τττc n c c n n Mh Ma N mg
mg mg N mg l gl m h v M Ma Mg N n
===+=⇒=⋅===-73
7247
242173
2744:
ˆ:ˆ
在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度β=0，==〉N τ = 0
7.5.3 由长为l ，质量各为m 的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O ，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP 对角线与水平成450时P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力．
解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：
框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：212
10ml I =
，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21
，由平行轴定理：
23
4
2210])([4ml l m I I c =⋅+⋅= 框架的质心距o 点的距离为：
l 2
2
，由平行轴定理得框架通过o 点的转轴的转动惯量为
()
23
102
2
24ml l m
I I c =+= （1）求p 点的速度vp
框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。

选取对角线op 与水平成450角时框架质心位置为势能零点，得：
gl
l v l h m M I Mgh p l
g
c c 5
356212
212
24===
∴===ωωω
（2）求框架对支点的压力N
以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：
c a M g M N =+
取自然坐标系，n 沿op 方向，τ沿垂直于op 方向，得投影方程：
τ
τMa Mg N Ma Mg N n n =-=-0
045sin 45cos
β
ωτc l g c n l a g
l l a =⋅===5622
56222
mg mg mg N n 245
132
25212=⋅
+=∴ 由定轴转动定理:
=⇒=ββI l Mg 21
f 2
7.5.4 质量为m 长为l 的均质杆，其B 端放在桌上，A 端用手支住，
使杆成水平．突然释放A 端，在此瞬时，求： (1)杆质心的加速度, (2)杆B 端所受的力．
解：(1)βτI = →β⋅=⋅2
3
12ml l mg l g 23=∴β g l a 4
3
2=⋅=β
(2)由质心运动定理：
mg ma N mg 43=
=- →mg N 4
1
=
7.5.5 下面是均质圆柱体在水平地面上作无滑滚动的几种情况，求地面对圆柱体的静摩擦力
f .
(1)沿圆柱体上缘作用以水平拉力F ，柱体作加速滚动．
(2)水平拉力F 通过圆柱体中心轴线，柱体作加速滚动． (3)不受任何主动力的拉动或推动，柱体作匀速滚动．
(4)在主动力偶矩τ的驱动下加速滚动．设柱体牛径为R 解：规定前进方向和顺时针方向为正方向。

假设静摩擦力方向
向后，其余受力情况如图所示。

对每种情况，都可以根据质心
定理、绕质心轴的转动定理和无滑滚动条件，建立三个
方程求解。

⑴R a mR R f F ma f F c c ββ==+=-,)(,2
21
可求得f = - F/3,负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

⑵R a mR fR ma f F c c ββ===-,,2
21
可求得f = F/3,正号说明静摩擦力方向与假设方向相同，向后。

⑶ a c = 0 , f = 0
⑷R a mR fR ma f c c ββτ==+=-,,221,求得R f 32τ-=
负号说明静摩擦力方向与假设方向相反，应向前。

7.5.6 板的质量为M ，受水平力F 的作用，沿水平面运动．板与平面间的摩擦系数为μ．在板上放一半径为R 质量为M 2的实心圆柱，此圆柱只滚动不滑动．求板的加速度． 解：g M M f )(21+=μ 对圆柱：
F(1)F(2)
转动定理：ββ222
12R M I R f ==
质心运动定理：C a M f 22=
对板：质心运动定理：
Ma f f F =--12
由于圆柱在板上只滚不滑
C a R a +=β
联立解得：
23
12)(M M g
M M F a ++-=
μ
7.5.7 在水平桌面上放置一质量为m 的线轴，内径为b ，外径为R ，其绕中心轴转动惯量为
23
1mR ．线轴和地面之间的静摩擦系数为μ. 线轴受一水平拉力F ，如图所示．
(1)使线轴在桌面上保持无滑滚动之F 最大值是多少?
(2)若F 和水平方向成θ角，试证，cos θ>b/R 时，线轴向前滚动；cos θ<b/R 时，线轴向后滚动。

解：（1）当线轴在桌面上只滚不滑时
ββ2
3
1mR I fR Fb ==- ma F f =- mg f μ≤
βR a =
联立解得：b
R mgR
F 34+=
μ
（2）若线轴向前滚动，则有：
F f ττ> 且 f F ≥θcos
即：
Fb fR > →
R
b F f > f F ≥θcos →F
f
≥θcos
R b /cos >∴θ
若线轴向后滚动，则有：
F f ττ< 且 f F ≤θcos
即：
Fb fR < →
R
b F f < f F ≤θcos →F
f
≤θcos
R b /cos <∴θ
7.5.8氧分子总质量为5.30x10-26kg ，对于通过其质心且与二原子连线垂直的轴线的转动惯量为10x10-46kg ⋅m 2．设在气体中某氧分子运动的速率为500m/s ，且其转动动能为其平动动能的2/3，求这一氧分子的角速率．
7.5.9，一质量为m ，半径为r 的均质实心小球沿圆弧形导轨自静止开始无滑滚下，圆弧形导轨在铅直面内，半径为R ．最初，小球质心与圆环中心同高度．求小球运动到最低点时的速率以及它作用于导轨的正压力．
解：设小球运动到最低点时，其质心速度为v ，绕质心转动的角速度为ω，由机械能守恒，有
2252
21221)()(ωmr mv r R mg +=-
无滑滚动条件：ω=v/r , 代入上式，可求得 g r R v )(107
-=
在最低点应用质心运动定理： )/(2
r R mv mg N -=-
mg g g m r R v g m N 73
10722)()]/([=+=++=∴，
作用于导轨的正压力与此等大，方向向下。

7.5.10你用力蹬自行车，近似认为车匀速行驶于水平路面上．你能否估计研究一下所受的空气阻力是多少?(提示：参考(4.2.1)算输出给自行车轮盘的功率．设法通过简单的实验估计经链条传至后面驱动轮损失的功率．计算作用于驱动轮的功率．然后再设法估算空气阻力．因为是估算，你可以采用近似的手法)．。