第四节 平面图的着色
图的平面图与图的着色
图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。
图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。
一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。
也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。
平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。
经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。
如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。
该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。
其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。
除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。
四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。
二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。
图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。
在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。
色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。
色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。
图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。
因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。
三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。
在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。
在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。
在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。
在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。
17,18平面图及图的着色
(3)设m＝k(k≥1)时成立，当m＝k+1时，对G进行如下讨论。 设 ＝ 时成立， 进行如下讨论。 时成立 ＝ 时 进行如下讨论 是树， 是非平凡的， 中至少有两片树叶。 若G是树，则G是非平凡的，因而 中至少有两片树叶。 是树 是非平凡的 因而G中至少有两片树叶 为树叶， 仍然是连通图， 设v为树叶，令G'=G-v，则G'仍然是连通图，且G'的边数 为树叶 ， 仍然是连通图 的边数 m'=m-1=k，n'=n-1，r'=r。 ， ， 。 由假设可知 n'-m'+r'=2，式中n'，m'，r'分别为 的顶点数， ，式中 ， ， 分别为G'的顶点数， 分别为 的顶点数 边数和面数。 边数和面数。 于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 于是 不是树， 中含圈。 若G不是树，则G中含圈。 不是树 中含圈 设边e在 中某个圈上 中某个圈上， 仍连通且m'=m-1=k 设边 在G中某个圈上，令G'=G-e，则G'仍连通且 ， 仍连通且 ， n'=n，r'=r-1。 ， 。 由假设有 n'-m'+r'=2。 。 于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=n'-m'+r'=2
定理16.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图 ，有 个连通分支的平面图G， 定理16.9 对于具有 个连通分支的平面图 n-m+r = k+1 其中n， 分别为G的顶点数 其中 ，m，r分别为 的顶点数，边数和面数。 分别为 的顶点数，边数和面数。
17平面图及图的着色
17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。
画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。
无平面嵌入的图称为非平面图。
K1(平凡图)，K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。
K5－e (K5删除任意一条边)也是平面图，它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。
图17.1中(1)，(2)，(3)分别为K4, K5－e, K2,3的标准画法。
请观看演示动画：(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图，有时是指平面嵌入，有时则不是，这要看是研究平面图什么性质而定，请读者根据上下文加以区分。
当然有时也特别指出平面嵌入。
现在就应该指出，在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。
还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。
定理17.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。
由定理17.1立刻可知，K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。
定理17.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。
推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。
n本推论由K5，K3,3不是平面图及定理17.2得证。
还有一个明显的事实也用定理给出。
定理17.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。
本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。
二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入)，由G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域都称为G的一个面。
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。
平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。
他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。
欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。
四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。
这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。
四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。
这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。
比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。
另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。
总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。
平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。
平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。
《平面图的面着色》课件
平面图的表示方法
总结词
平面图的表示方法有多种，包括几何表 示法和代数表示法等。
VS
详细描述
平面图的表示方法有多种，其中最常用的 是几何表示法。几何表示法是将平面图中 的顶点和边用几何图形表示出来，例如点 表示顶点，线段表示边。此外，代数表示 法也是一种常用的表示方法，它将平面图 中的顶点和边用代数符号表示出来，通过 建立代数方程来表示平面图的性质和关系 。
03
平面图面着色的算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望导致结果是全 局最优的算法。
详细描述
在平面图面着色问题中，贪心算法会从图的某个顶点开始，尽可能地使用最小数 量的颜色对所有面进行着色，直到无法继续进行。贪心算法并不保证得到最优解 ，但在某些情况下可以获得接近最优解的结果。
电路板的设计
要点一
总结词
电路板的设计中，平面图面着色被广泛应用于标识不同功 能的电路区域，提高电路板的可维护性和可靠性。
要点二
详细描述
在电路板设计中，不同功能的电路区域通常会使用不同的 颜色进行标识。这样可以帮助工程师快速识别和定位特定 电路区域，提高电路板的可维护性和可靠性，减少错误和 故障的发生。
详细描述
平面图是指将图形放置在平面上，使得图形中的点、线、面 等元素在平面上有对应的表示。平面图通常由顶点和边组成 ，顶点表示图形中的点，边表示图形中的线段。
平面图的性质
总结词
平面图的性质包括连通性、无环性、简单性等。
详细描述
平面图具有一些重要的性质，这些性质决定了图形的表示方式和可操作性。其中，连通性是指平面图中的任意两 点都可以通过一条路径相连；无环性是指平面图中不存在环路，即不存在一条路径可以从起点回到起点；简单性 是指平面图中的边和顶点都没有额外的标记或属性。
第一章 第四节 地形图的判读(七年级地理知识点 每张重点汇总)
第一章 第四节 地形图的判读第四节地形图的判读要点一:等高线地形图（难点）1.海拔和相对高度（1）海拔：地面某个地点高出海平面的垂直距离，又叫绝对高度。
如下图中甲的海拔为1500米，乙的海拔为500米。
（2）相对高度：某个地点高出另一个地点的垂直距离。
如图中甲高出乙1 000米，1 000米就是甲地对乙地的相对高度。
2．等高线地形图（1）等高线：在地图上，把海拔相同的各点连接成线，就是等高线。
（2）等高线地形图：用等高线表示地形的地图叫等高线地形图。
（3）等高线的特点：在地图上，根据等高线的疏密状况，可以判断地面的高低起伏。
一般来说，坡陡的地方，等高线密集；坡缓的地方，等高线稀疏。
（4）等深线：在地图上，把海洋中深度相同的各点连接成线，叫做等深线。
从等深线上所标注的深度，可以看出海洋的深浅；从等深线的疏密状况，可以看出海底坡度的大小。
3．等高线地形图上不同地形部位的山体名称①山峰：等高线闭合，数值从中间向四周逐渐降低。
②山脊：等高线弯曲时，凸出部分指向低处。
③山谷：等高线弯曲时，凸出部分指向高处。
④鞍部：两个山顶中间的低地，形似马鞍。
⑤陡崖：等高线发生重合的地方。
4.等高线地形图的基本特征及作用（1）等高线地形图的基本特征①同线等高：同一等高线上的各点，海拔高度相等。
②等高距全图一致：等高距即指两条相邻等高线之间的高度差。
③等高线均为闭合曲线。
④等高线一般不相交、不重叠；有时也会重合，那只有在陡崖处出现。
⑤等高线疏密反映坡度缓陡：等高线愈稀，则坡度愈缓；等高线愈密，则坡度愈陡。
（2）等高线地形图的作用①根据等高线数值判断地势高低。
等高线上的数值为海拔，数值大，即海拔高，地势高；数值小，即海拔低，地势低。
②根据等高线的疏密程度判断坡度缓陡。
在同一等高线地形图上，任意两条相邻等高线间的高度差相等。
因此，等高线密集，坡度陡；反之，坡度缓。
③根据等高线闭合的形状判断山地不同部位。
【例题1】某班学生计划分成四个登山活动小组，目标是图中等高线所示的山峰，沿图中的①②③④虚线方向进行攀登。
第四节平面图的着色
若G是n阶完全图,则x(G)=n;若G是至少有一边的二分 又在G的k染色中,或者u与v染为不同的颜色,或者为相同的颜色,故min{ (G+{u,v}), (G•{u,v})} x(G).
x(G) k1=x(G•e)
图,则x(G)=2;若G是长为奇数的圈,则x(G)=3.当x(G)3 时,G的特征至今尚未清楚,在下一节,将给出G的色素 x(G)的一个上界.
综（1）（2）所述,有 (G)=min{(G+{u,v}), (G•{u,v})}.
四色问题:连通简单平面图的色素不超过4.
四色问题是盖思里于1852年提出,后经众多数
学家尝试证明,均以失败告终.1976年,美国数学家
阿佩尔和黑肯宣布借助用计算机证明,但时间超过
了1000小时,其可靠性仍在置疑之中.
办法处理,即得图G的正常着色.
(a)
(b)
(c)
红v1
白v2 黄v3
v0
蓝v3 黑v4
例1求下图G和H的色数
b
e
d
g
a
c
f
G
H
a:红,b:蓝,c:绿,d:红,e:绿，f:蓝,g:红(3色)
例2.由n(n3)个顶点v1,v2,…,vn以及边{v1,v2}, {v2,v3}, …, {vn-1,vn} {vn,v1} 组成的图称为圈 图,记作Cn,试问圈图的Cn的色数是多少。（分n为 奇数，或偶数）
若G是n阶完全图,则x(G)=n;若G是至少有一边的二分图,则x(G)=2;若G是长为奇数的圈,则x(G)=3.
0
证明:记e={u,v},（1）设x(G)=k,并考虑G的K着色.
在图中删去顶点v 得图G’,由归纳假设知G’的色素 蓝v3 黑v4
图的着色
内容
1 问题的来源 2 基本的概念
3
算法
4
实例
问题的来源-----四色问题
•图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地图着色，使得 地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。 •四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同
的颜色。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一条边相 连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用城市名 表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
算法6.8 生成下一种颜色
procedure NEXTVALUE(k) // global integer m,n,X(1:n),boolean GRAPH(1:n,1:n) integer j,k
loop
X(k) (X(K)+1)mod(m+1) //试验下一个最高标值的颜色//
if X(k)=0 then exit endif //全部颜色用完了//
if X(k)=0 then exit endif//没有可用的颜色了//
if k=n then print(X)//至多用了m种颜色分配给n个结点//
else call MCOLORING(K+1)//所有m-着色方案均在此反
复递归调用中产生// endif repeat end MCOLORING
。
基本概念
图的m色判定问题: 给定无向连通图G和m种颜色。用这些颜色为 图G的各顶点着色.问是否存在着色方法,使得G中任意2邻接点有不 同颜色。 图的m色优化问题:给定无向连通图G,为图G的各顶点着色, 使图中
第4章 图形对象着色
12
4.2.4 编辑实时上色组
建立实时上色组后，每条路径都会保持完全可编辑 ，并且可以继续对填充属性进行调整。而除了通过调整 路径来改变实时上色组中的效果，还可以通过其他的方 式编辑实时上色组，比如释放、扩展、合并等。 1．扩展和释放实时上色 【释放】和【扩展】命令可将实时上色组转换为 普通路径。 2．封闭实时上色组中的间隙 间隙是路径之间的小空间。可以创建一条新路径 或编辑现有路径来封闭间隙，也可以在实时上色组中 调整间隙选项。
第4章 图形对象着色
平面作品中的效果主要是由不同的色块 形 成 形 状， 从而得到不同造型的图 形 。 在 Illustrator CS4中，虽然在绘制图形对象的同 时，就会显示出对象的填充与描边颜色，但 是效果较为单调。在此基础上，还可以为图 形对象进行单色、渐变、图案等不同形式的 填充，以及使用画笔工具绘制各种形状的图 形。 在该章节中，逐一介绍了单色、渐变、 图案与实时上色等各种填充方式，与图形对 象描边属性的各种设置方法，以及具有艺术 效果的画笔工具的使用方法。 1
22
4.4.2 创建图案色板
虽然在预设图案面板中包含多种不同主题的图 案，但是未必符合绘图效果，这时就可以自定义图 案。自定义图案包括两种方式，一种是从外部打开 现有的图形对象，将其选中后，执行【编辑】|【定 义图案】命令，在弹出的【新建色板】对话框中， 设置【色板名称】选项后，单击【确定】按钮即可 在【色板】面板添加图案。
1．使用面板中的样本 执行【窗口】|【色板】命令，弹出【色板】面板。
6
2．编辑【色板】面板 【色板】面板中的颜色样本只是样本库中的一 部分，要想打开更多的颜色样本，可以单击面板底 部的【“色板库”菜单】按钮，选择某个选项后， 即可打开一个具有主题的独立色板面板。
图着色问题 ppt课件
例子 ：
图着色问题
邻接矩阵：B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
图着色问题
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
图的着色问题
主讲人：XXX
图着色问题
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
图着色问题
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
图着色问题
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
G4平面图与图的着色
Lu Chaojun, SJTU
7
极大平面图的性质
• • • • • 性质1: G是连通的. 性质2: G没有割边. 性质3: G的域的边界数都是3. 性质4: 3d 2m. 定理:极大平面图G中,有 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G满足 m 3n – 6, d 2n – 4. • 定理:简单平面图G中存在度小于6的结点.
Lu Chaojun, SJTU
11
例:对偶图
对偶图的性质
• 性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
– 可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图.
• 性质2: G*是连通图.
– 即使G不连通.
• 性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. • 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n* • 性质5:设C是平面图G的初级回路,S*是G*中与C 的各边ei对应的e*i的集合,则S*是G*的割集.
Lu Chaojun, SJTU
8
非平面图
• 如果图G不能嵌入平面并满足任意两边只 能在结点处相交,那么G就称为非平面图. • 按平面性质进行划分,图分为两类:可平面 图和非平面图. • 定理: K5是非平面图.
– 记作K(1),是结点数最少的非平面图.
• 定理: K3,3是非平面图.
– 记作K(2),是n6时边数最少的非平面图.
– 有且只有一个无界域:即平面图G外的区域. – 其他的域都叫做内部域.
• 如果两个域至少有一条共同的边界，就 说它们是相邻的,否则是不相邻的.
图的着色详解演示文稿
设G是一个有p个顶点的平面图，则G有顶点v， degv≤5，G-v是一个p-1个顶点的平面图.
由归纳假设，G-v是6—可着色的，与v相邻的顶点 至多5个，所以与v相邻的顶点着色时至多用了5种色.
用另一种未用的颜色对v着色即得G的一个6—着色. 因此，G是6可着色的.
第十五页，总共十七页。
边着色的几个结果
定理2 如果G是偶图，则(G)=(G)，即偶图的 边色数等于它的顶点的最大度.
证 设w的度为(G)，则给w所关联的边至少得用 (G)种颜色，所以(G)≥(G).
只需证(G)≤(G). 对G的边数q用归纳法.
1、当q=1时定理成立. 2、设当q=k时结论成立. 当q=k+1时, 设e=uvE(G)，令G1=G-e，则G1中有k条边，由归 纳假设(G1)≤(G1)≤(G).
第七页，总共十七页。
色数的上界
定理3 (布鲁克斯定理) 如果G是一个连通图且不是 完全图也不是奇数长的圈，则G是(G)—可着色的.
第八页，总共十七页。
平面图的着色
定理4 每个平面图都是6可着色的.
证 对平面图的顶点数p用归纳法. 如果顶点数小于7，显然是6—可着色的.
假设对p-1个顶点的平面图是6—可着色的，只需
第十页，总共十七页。
图的边着色
定义1 图G的一个k—边着色是对G的每条边指定k种 色之一，使得任何两条相邻的边被指定色是不同的.
如果图G是k—边着色的，但不(k-1)—边着色的， 则称G的边色数为k，G的边色数记为(G).
1
3
4 2 2
314
右图存在一个4—边着色 不存在3—边着色 (G)=4
如果=(G)是图G的顶点的最大度数，则显然有
[理学]图论第四章 平面图及着色
![[理学]图论第四章 平面图及着色](https://img.taocdn.com/s3/m/3a2b5724f12d2af90342e605.png)
例2 指出下图所示平面图的面、面的边界及 面的度数。
3 e10 2 f2 e1 f1 f5
e7
f 3 e6 e8 7
e4
4 5 e2 e3
1
e9
f4 e5
6
解:面f1,其边界1e15e24e43e72e101,d(f1)=5. 面f2,其边界1e102e87e91,d(f2)=3. 面f3,其边界2e73e67e82,d(f3)=3. 面f4,其边界3e44e57e63,d(f4)=3. 外部面f5, 其边界1e15e24e36e34 e57e91,d(f5)=6.
~ ~ 有平面表示 G ',使 G ' 的每条边都是直线. ~ 考虑 G ' 中边Pz1和Pz2,将它分裂成两个三角形(图(b) ~ 就是G的平面表示,而且每条 和图(c)).这样得到的图 G
边都是直线段.定理得证.
z3
z3 z2 z1 y x
z3
z1
p z2 z1 (c) z2
x (a)
y
(b)
推论2 设G是带v个顶点，e条边的连通的平面简单图，其 中v3且没有长度为3的圈，则e2v-4。
证明:因为图G中没有长度为3的圈,从而G的每个面的度数 至少为4.因此有2e=d(f)4r (1) 其中r为G的面数.由欧拉公式 v-e+r=2 所以r=2-v+e,代入(1)中有: 2e4(2-v+e) 即e2v-4。 例3 K5和K3.3都是非平面图。
(b)H
e
i
h
(a)
(c)K3,3
说明:库拉图斯基给出了平面图的充要条件,但用它并不能 判别一个图是否是平面图的有效算法. 定义2 设G是阶大于等于3的简单可平面图，若在任意两 个不相邻的结点vi,vj之间加入边{vi,vj}，就会破坏图的 平面性，则称G是极大平面图。极大平面图的平面表示称 为三角剖分平面图. 定理2. 极大平面图的判别定理:v阶简单平面图G是极大平 面图的充要条件是: （1）G中每个面的度数都是3
第四章-平面图与图的着色I
F4= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
2024/10/12
4
4.1 平面图
v1
e1e6FF13ve4F42e3e5 F4
v2
e2
v3
(c)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
2024/10/12
44
4.4 图的平面性检验
例4.4.1 判断下图的可平面性。
v1
v2
G 所以图G是可平面图。
2024/10/12
45
4.4 图的平面性检验
图G的平面嵌入如下：
v1
v2
G
2024/10/12
46
4.4 对偶图
给定一个平面图G 定义4.5.1 满足下列条件的图 G* 称为 G 的对偶图。
16
4.2 极大平面图
设有n个结点和m条边的极大平面图G具有以下性质： 性质1. G是连通的。 性质2. G不存在割边。 性质3. G的每个域的边界数都是3（极大平面图也称为
平面三角剖分）。 性质4. 3d=2m。
2024/10/12
17
4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：由G是简单图，没有自环和重边，因此不
2024/10/12
7
4.1 平面图
定理4.1 设G是有n个结点和m条边的平面连通图， 则G的面的数目d是 d＝m－n＋2 （欧拉公式）
证明：设连通图G的支撑树是T。T包含n－1条边， 不包含回路，因此T只有一个无限域。
第四章平面图与图着色4.1平面图
平面图
推论 4.1.1 若平面图G有k个连通支，则 n – m + d = k + 1。
推论 4.1.2 对一般平面图G，恒有 n – m + d >= 2。
平面图
定理 4.1.2 设平面连通图G没有割边，且每个域的边界数 至少是t，则 m ≤ t ×(n - 2) / (t – 2) 证明：设G有d个区域，每个域的边界数至少 是t，且每条边都与两个不同的域相邻。因此 td≤2m。 代入欧拉公式： (2m / t) ≥ m - n + 2， 即， m ≤ t × (n - 2) / (t – 2)。
非平面图
定理 4.3.1 可平面图， 应该有m≤3n-6。而此时3n-6=9，矛盾。
定理 4.3.2 K3,3 是非平面图。 证明：假定 K3,3 是可平面图，由于n= 6，m=9。由 欧拉公式，d=5。但G中没有K3 子图，因此4d≤2m， 亦即20≤18，矛盾。
性质 4.5.1 如果G是平面图，G一定有对偶图G*，而且G*是 唯一的。 由D过程即可得证。
性质 4.5.2 G*是连通图。 在平面G里，每个域f都存在相邻的域，而且对G 的任何部分域来说，都存在与它们之中某个域相 邻的域。这样由对偶图的定义可知G *连通。
对偶图
性质4.5.3 若G是平面连通图，那么(G* )* G.
第四章 平面图与图的着色 4.1 平面图
定义 4.1.1 若能把图G画在一个平面上，使任何两条边都 不相交，就称G可嵌入平面，或称G是可平面 图。可平面图在平面的一个嵌入称为平面图。
如果G是可平面图，那么它的任何导出子图也 是可平面图。
平面图
定义 4.1.2 设G是一个平面图，由它的若干条边所构成的一个 区域内如果不含任何结点及边，就称该区域为G的 一个面或域。包围这个域的诸边称为该域的边界。
任何平面图都是4-面可着色的
任何平面图都是4-面可着色的（蒋友皎广西玉林市537000）0引言任何一个连通平面图都是五色图。
但是后来在平面图上经过多次试验，没有找到一种平面图一定要用5种颜色的。
在一百多年前，有人猜测只要用4种颜色就够了，这就是世界上著名的4色猜测问题。
这个猜测一经提出，迷住了许多数学家，但是谁都无法用数学的方法证明它。
直到1976年，Appel和Haken两人宣布了四色理论的证明方法。
他们用大型电子计算机分析了2000多种图包括几百万种情况，花了大量的机器时间，终于证明了这个问题，从而解决了一百多年来引人关注的难题[1]。
Since the proving of the theorem, efficient algorithms have been found for 4-coloring maps requiring only O(n2) time, where n is the number of vertices. In 1996, Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, and Robin Thomas created a quadratic time algorithm, improving on a quartic algorithm based on Appel and Haken’s proof[2] [3] [11]. This new proof is similar to Appel and Haken's but more efficient because it reduced the complexity of the problem and required checking only 633 reducible configurations. Both the unavoidability and reducibility parts of this new proof must be executed by computer and are impractical to check by hand[4] [11]. In 2001 the same authors announced an alternative proof, by proving the snark theorem[5] [11].In 2005 Benjamin Werner and Georges Gonthier formalized a proof of the theorem inside the Coq proof assistant. This removed the need to trust the various computer programs used to verify particular cases; it is only necessary to trust the Coq kernel[6] [11].显然这不是纯理论上的严格证明，在计算机的辅助工作下四色定理的证明完成了，但是是否存在不需要借助计算机的纯数学方法的证明呢？本文将运用纯数学方法的证明任何平面图都是4-面可着色的。
初中说明文 更为便捷的最大平面图四色着色方法-精品
更为便捷的最大平面图四色着色方法更为便捷的最大平面图四色着色方法浙江奉化焦永溢2019.2.18本人已于2019年5月18日得到灵感，用一个非常简单的“减少法”能证明最大平面（球面）图着色可以做到“四色足够”。
这个方法的原理是绝对正确的，按这个方法每次去掉若干个点（就是把多点包围一点的中心点去掉，再把周围的点进行合并）；但在具体的地图的着色时应用，就显得比较麻烦，每次去掉中心点时，必须用白纸把中心点（区域）盖上，再用与两旁一样的颜色填上，如例图1中所示，把左边车轮轮幅状改为右边斑马线状，这样的工作每一步都要做；为了避免遇到点与点的短路现象，还必须找整个平面图上最小度（就是外围点最少）的点来去掉。
用这种“减少法”虽然理论上行得通，去地图上实际操作着色也行，但比较费时费力，开头几步还可以，步数多了，盖上去的纸厚了，可能还容易出错。
过去的这几年里，我只知道自已的方法正确行得通，可以一步步的做下去，但从来没有用这这种方法去具体的给地图着色，因为做起来确实很麻烦。
最近几天，我在给具体的地图着色过程中发现了一个更为便捷的在最大平面（球面）上用四色着色的方法，我自己暂把这个方法命名为扩大（或缩小）包围圈着色法。
地图上多个区域连起来围成一圈时，也就是一条连续的线把多个点象项链一样串成一圈。
当圈上总点数是偶数时，用两种颜色就能相互隔开；当圈上总点数是奇数时，用两种颜色外加一点第三色就能相互隔开。
在球面图上用扩大（或缩小）包围圈着色法去四色着色时，一种方法可以从任一个点出发，一圈用红绿两色，一圈用黄蓝两色，再一圈用红绿两色……这样向外一圈圈扩大包围圈，再向球的另一面缩小包围圈（就如从地球一个极点出发，一圈圈扩大画纬线，直到过了赤道，再一圈圈缩小画纬线，直到缩小到另一个极点）。
另一种方法也可把任意一个围起来的圈当作开始，分别向两边缩小（把这开始的一圈当成赤道，分别向南北半球一圈圈缩小画纬线，直到缩小到两个极点）。
从一个极点到另一个极点连一条线，经过每个圈的一个点（就如一条经线穿越每一条纬线），只要这个点上着的色异于所在圈的两种颜色，就可使所有各圈间的颜色不会混乱，每圈只要两色，总共只要四种颜色。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）G是G+e的子图,显然x(G)x(G+e). 设(G•e)=k1,并把结点u和v重合所得的新结点记 为y,则在G•e的k1着色中,把分配给y的颜色分配给G 中u和v(u,v不相邻),即可得到G的一个k1着色.故 x(G)k1=x(G•e) 所以x(G) min{(G+e), (G•{u,v})}. 综（1）（2）所述,有 (G)=min{(G+{u,v}), (G•{u,v})}. 四色问题:连通简单平面图的色素不超过4. 四色问题是盖思里于1852年提出,后经众多数 学家尝试证明,均以失败告终.1976年,美国数学家 阿佩尔和黑肯宣布借助用计算机证明,但时间超过 了1000小时,其可靠性仍在置疑之中.
(a) 红v1 白v2 黄v3 (b) (c)
v0
蓝v3 黑v4
例1求下图G和H的色数
b d a
e
g
c
G
f
H
a:红,b:蓝,c:绿,d:红,e:绿，f:蓝,g:红(3色)
例2.由n(n3)个顶点v1,v2,…,vn以及边{v1,v2}, {v2,v3}, …, {vn-1,vn} {vn,v1} 组成的图称为圈 图,记作Cn,试问圈图的Cn的色数是多少。（分n为 奇数，或偶数）
例3.Kn和Km,n的色数分别是多少？
解:由于Kn的每两个顶点都相邻,而当两个相邻的顶 点必指定不同的颜色,故Kn的色素为n. Km,n的色数为2.用一种颜色着色m个顶点,用另 一种颜色着色n个顶点.
4 1 2 3
1
4
2
3
定义2 图的着色是对该图的每个顶点都指定一种颜 色，使没有两个相邻的顶点指定为相同的颜色。如果 这些顶点选自于一个有k种颜色的集合，而不管k种颜 色是否都用到，这样的着色称为k着色。
定义3 图G的色数是着色这个图G所需要的最少颜色数。 记作(G)。 图G的色素也称为图G的点色素.从定义可知,对于 G的任何子图H,均有x(H)x(G).若G是n阶完全图,
定理2（五色定理）连通简单平面图G的色数为不超过5.
证明:对图的顶点数n作归纳. n5时,结论显然.若n-1个顶点时结论成立.下证 有n个顶点时结论也成立.由于G是平面图,则(G) 5.故在G中至少存在一个顶点v0,其度数d(v0) 5. 在图中删去顶点v0得图G’,由归纳假设知G’的色素 为5.然后将v0又加回去,有两种情况: (1)d(v0)<5或d(v0)=5但和v0邻接的5个结点的颜色数 小于5.则v0极易着色,只要选择与四周顶点不同的 颜色着色即可.
若G是n阶完全图,则x(G)=n;若G是至少有一边的二分 图,则x(G)=2;若G是长为奇数的圈,则x(G)=3.当x(G)3 时,G的特征至今尚未清楚,在下一节,将给出G的色素 x(G)的一个上界.
定理1
设u和v是图G中两个不相邻的顶点,则
(G)=min{(G+{u,v}), (G•{u,v})},其中G•{u,v} 是把G中结点u与v重合成一个新结点，且G中分别与u 与v关联的边都与该新结点关联。 证明:记e={u,v},（1）设x(G)=k,并考虑G的K着色.假设 顶点u与v染不同的颜色,则G的k着色也是G+e的k着色. 此时x(G+e)k=x(G).现假设顶点u和v的染色相同,则G 的一个k染色可得到G•e的一个染色.故(G•e)k=x(G). 又在G的k染色中,或者u与v染为不同的颜色,或者为相 同的颜色,故min{(G+{u,v}), (G•{u,v})}x(G).
红v1
v0 (a) 蓝v3 黑v4 (b)
白v2
黄v3
(ii)v1和v3属于红黄集导出子图的同一块中,则v1和 v3之间必有一条属于红黄集的路P,P加上结点v0可 构成圈C:v0v1pv3v0,如下图©所示.由于C的存在, 将黑白集分成两个子集,一个在C内,一个在C外. 于是问题转化为(i)的类型,对黑白集按(i)型的 办法处理,即得图G的正常着色.
第四节 平面图的着色 定义1设G按下列过 程作G的对偶图G .
（1）在G的每个面内设置一个结点vi(1ik)。
（2）过Fi与Fj的每一条公共边ek作一条仅作一 条边{vi,vj}与ek相交。 （3）当且仅当ek只是Fi的边界时，vi恰有一自 回路与ek相交。 这样所得的图G*称为图G的对偶图.若G*与G 同构,称G是自对偶的.如下图G的对偶图为图 中虚线.
(2)d(v0)=5且和v0邻接着的5个结点着的颜色的是5 种颜色,如下图(a)所示.称G’中所有红黄色顶点为 红黄集,称G’中所有黑白色顶点为黑白集.故又有 两种可能. (i)v1和v3属于红黄集导出子图的两个不同块中,如 下图(b)所示.将v1所在块的红黄色对调,并不影 响G’的正常着色.然后将v0着上红色,即的图G的 正常着色.