第二十三届华杯赛试题(2018)

第二十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛2018年
一、选择题（每小题10分，共60分）
1.A、B均为小于1的小数，算式A×B+0.1的结果( )。

A.大于1 B．小于l C．等于1 D．无法确定和l的大小
2．小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等。

然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除。

那么，反面上的三个数的平均数是( )。

A．11 B．12 C．39 D．40
3．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有( )种。

A. 12 B．17 C．22 D．10
4．在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中的白色棋子的数目都相等，那么这个6×6的网格中共有( )枚黑色围棋子。

A. 18 B．14 C．12 D．10
5．数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n=( )。

A. 22 B．23 C．24 D．25
6．I型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑动，I型每5分钟跑1圈，Ⅱ型每3分钟跑1圈。

某同一时刻，I型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则I型比Ⅱ型提前( )分钟开始跑动。

A．32 B．36 C．38 D．54
二、填空题（每小题10分，共40分）
7．题图是某市未来十日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良。

从图上看，连续两天优良的是____号，____号。

8．如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形纸片。

第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移了3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ。

第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是____平方厘米。

9．有11个正方形方阵，每个方阵都由相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵。

原来的一个正方形方阵里最少要
有名士兵。

10.从四边形的4个内角取2个求和，共有6个和数，则大于
180的和最多有个。

一、选择题（每小题10分，共60分）
1．两袋面粉同样重，第一袋用去31，第二袋用去3
1
千克，剩下的面粉( )。

A.比第一袋重 B ．比第二袋重 C ．和两袋同样重 D ．无法确定哪袋重 2．题图是一个3×3的正方形网格。

如果小正方形的边长是1，那么阴影部分的面积是( )。

A.5 B ．4 C ．3 D ．2
3．在6×6的方格表中，摆放写有
的长方形，每个长方形恰好盖住2
个方格，如果任意两个长方形之间没有公共边（可以有公共顶点），那么棋盘中摆放的长方形的方格内所有数之和最大是( )。

A. 266 B ．304 C ．342 D ．380
4．在题图的三角形ABC 中，EB=ED ，FC=FD ，∠EDF= 72，则∠AED+∠AFD=( )。

200.A 216.B 224.C 240.D
5．从1—20这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于( )。

A. 19 B ．20 C ．21 D ．22
6．小王将一些同样大小的正三角形纸片摆放在桌上。

第一次放l 张纸片；第二次在这个小正三角形纸片四周再放3张纸片；第三次在第二次摆好的图形四周再摆放纸片……摆放要求是：每次摆放的每张纸片必须和上一次摆放的纸片至少有1条边重合，且纸片之间除边之外，无重合，如图所示。

第20次摆放后，该图形共用了( )张正三角形纸片。

A. 571 B ．572 C ．573 D ．574
二、填空题（每小题10分，共40分）
7．雷雷买了一本新书。

第一天读了这本书的5
1
还多12页，第二天读了剩余
的4
1
还多15页，第三天读了剩余的31还多18页，这时还剩42页未读。

那么这
本书的页数是____。

8．某五位号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母，、0不可用），最后一位必须为数字。

小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且l 在8的前面，那么小李的号码牌有 种不同的选择方式。

（英文共有26个字母）
9．在一个自然数的所有因数中，能被3整除的因数比奇因数多5个，那么这个自然数最小是 。

10. 一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点。

所有经过的中心排出的序列共有 种。

（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．计算1.9 +19.99×2+199.999×3+1999.9999×4+19999.99999×5= 。

2.(2×1+1)(2×2+1)(2×3+1)(2×4+1)…(2×2018+1)的个位数字是。

3．题图是由相同的小正方形组成的4×4方格网，以这些小正方形的顶点为端点可以连成的不同长度的线段共有____条。

4．有五个人A、B、C、D、E一起去看电影，他们从左到右坐在一排椅子上，发现：
(1)A和E都不和B相邻；
(2)A和E都不和D相邻；
(3)B和E都不和C相邻；
(4)D在C的右边与其相邻。

那么这五个人从左到右是________。

5．如图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，点C为线段FG的中点，E 在边AB上。

若三角形DCG的面积为4平方厘米，则四边形ABCD的面积为____平方厘米。

6．有6名同学平均分成A、B两组，玩传球游戏，每人只能把球传给不同组的人。

甲在A组，由甲开始传球，球再次回到甲的手里时已经发生了6次传球。

那么这6次传球共有种不同的传球顺序。

7．甲丙两人沿相同的路线从A地到B地，乙沿相反的路线从B地到A地，两地相距9千米。

已知甲的速度是乙的2倍。

三人同时出发，1小时后甲乙二人相遇。

甲到B地时，乙丙二人正好相遇，然后甲立即沿原路返回，问甲丙二人相遇时，甲离开B地分钟。

8．题图的8×8网格中的小方格中都填有奇数，有一类由网格线构成的长方形（包括正方形），它里面的数字之和是奇数。

那么这类长方形共有个。

二、简答题（每小题15分，共60分）
9．用每个面积为6平方米的正六边形地板砖铺砌地面，P是C、D为顶点的地板砖一条棱上的点，如图所示。

阴影六角形ABCPDE'的面积是多少？
10.将从0开始的一串连续自然数：0，1，2，3，…写在一些卡片上，每张卡片上写一个数，然后按照从小到大的顺序叠在一起（小的在上面）。

从最上面取走4张卡片，然后将这4张卡片上的数的和，写在一张新卡片上，并将新卡片放到这叠卡片的最下面。

重复同样的操作，直到这叠卡片不足4张。

如果最后剩下的这些卡片上的数的和是55，那么最后所写的那张卡片上的数是多少？
11.从一个正二十边形的20个顶点中任取九个，顺次连接得到起边形，其中是正多边形的有几个？（正多边形是指各边相等、各内角也相等的多边形）
12.由7×7的正方形方格纸沿着方格的边界剪出相等数量的2×2的正方形和l×4的长方形。

可以剪出这些图形的最大数量共有多少个？
一、填空题（每小题10分，共80分）
1．题图是一个4×4方形点阵，每个点与其相邻的上、下、左、右点的距离都相等。

以这些点为端点的、不同长度的线段共有____条。

2．a 、b 、c 、d 四个数，每次去掉2个数，将剩余2个数求平均数。

这样计算了6次，得到6个数分别是：23，26，29，32，24，31。

则四个数n 、6、c 、d 的平均数是____。

3．甲、乙两车从同一地点出发沿同一高速公路从A 地到B 地。

甲车先出发2小时，乙车出发后经5小时与甲车同时到达B 地。

如果乙车时速增加8千米，那么，出发后4小时可追上甲车。

A 地与B 地的距离是 千米。

4．题图是一个6×9的方格网。

先将其中的任意几个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与2个黑格都有公共边，那么就将这个方格染黑。

要按照这个规则将整个棋盘都染成黑色，所需要的最少初始染黑方格 是 个。

5．有五张标有A 、B 、C 、D 、E 的卡片，从左到右排成一行，已知： (1)C 和E 都不和B 相邻； (2)C 和E 都不和D 相邻； (3)B 和E 都不和A 相邻； (4)A 的右边是D 。

请问：这五张卡片从左到右的排列顺序是____。

6．题图是由6个正方形与12个等边三角形构成的图形，整个图形的面积是2018，阴影部分的面积是____。

7．圆周有101个格子，从某格A 开始，沿着逆时针方向，第一次移动1格，第二次移动2格……每次比前一次多移动1格，移动到的格子中放一枚棋子，最多有 个格子放有棋子。

8．从1到2018这2018个整数中，任取2个数x 、y ，使得|9)(33y x ，这
样的数对(x ，y)有____ 对。

二、解答下列各题（每小题10分，共40分）
9．求+-+++-++-++-++-+120163201615351434133312322222222222 1
20173
201722-+的整数部分。

10.题图是圆上的七个点连成的七边形ABCDEFG ，连接七边形的所有对角线，任意三条对角线在七边形内不共点，这些对角线在七边形内部共有多少个交点？以这些圆内交点为顶点，在该图中出现的三角形共有多少个？
11.已知abc 是27的倍数，试判断：bca 与cab 之和是否仍是27的倍数？并对你的结论加以证明。

12.图中图形的总面积是131平方厘米。

其中DH ⊥GF ，EK ⊥GF 。

GH=KF=6厘米，DH=EK=DE=7厘米。

又AB=8厘米，BC=10厘米，则∠ABC 的度数是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分）
13. 记l ×2×3×4×…×2018=n m A 1012⨯⨯，其中A 是使得式子成立的最小的整数，那么m 、n 的值分别是多少?A 是否被2和3整除？
14.任意写下k 个不同的两位数，其中必有3个构成某个三角形的三条边的长度，求是的最小值。

第一试
一、填空题（每小题20分，共60分）
1．数列l，1，2，2，4，8，12，96，108，…其中第3个数是前两个数的和，第4个数是前两个数的积，第5个数又是前两个数的和，第6个数又是前两个数的积，以此类推。

第2018个数的个位数字为。

2．题图中共有个不同的三角形。

3．计算：789×321321-123×987987= .
二、解答题（每小题20分，共60分）
4．如图，请将1、2、3、4、5、6、7、8、9填人等式，每个数字仅用一次，使等式成立。

（3、4、5已经填好，请将其他数字填入方格内。

）
5．选取一些各不相等的正整数，使其和为50。

将这些正整数分为三组，
每组都不少于2个，各组中的数相乘后可得到三组乘积，这三组积的总和最
大可能值是多少？
6．如图所示，图中的卡通人很苦恼，不知如何走这些阶梯，请带他走。

规定：每次能向同一层的前后左右移动一格，也可以向前后左右的上下一层移动一级，不能斜行，每格只能到一次。

从卡通人所在位置算起，最多能走多少格？
第二试
一、填空题（每小题20分，共60分）
1．题图中的三个圆分别以三角形ABC的三条边为直径。

在图中选一点P，使得三个三角形PAB、PBC和PCA都是钝角三角形。

（注：图中有三个圆，直径分别为AB、AC、BC。

画这些圆是为了帮助思考。

）
2．将l、2、3、4、5、6分别填入下面的6个格中，要求1、2、3相连（次序可变），4、5、6相连（次序可变）。

则总共有种不同的填法。

3. 2018年1月1日是星期一，由此算出2049年1月1日是星期____（填汉字）。

二、解答题（每小题20分，共60分）
4．在下面的三个空格中各填上一个数字，使得所组成的六位数没有两位数字相同，且能被37整除。

5．在1～100的整数中任取数对，不计先后次序（例如{3，5）与{5，3）看作同一个数对）。

其中和为偶数的数对一共有多少对？
6．图中有4行4列共16个边长相同的小正方形，这些小正方形的顶点都称为“格点”。

一个正方形的顶点如果都是题图中的格点则称为“格点正方形”（注意“格点正方形”的边不一定是图中的线）。

对每种边长的“格点正方形”各画一个草图，并计算总共有多少个“格点正方形”。

第一试
一、填空题（每小题20分，共60分）
1．华、杯、数、学、国、际、精、英、赛，分别代表l 、2、3、4、5、6、
7、8、9九个不同数字，其中：（华十杯）>（数十学），且：⨯华杯精英赛国际数学⨯= =3726，问：精英数学⨯= .
2．已知b 为两位数，c 是大于1000的质数，a 、b 、c 的最小公倍数[a ，b ，c]=1010009，a ：b=ll ：7，求4a-b+c=____。

3．带有数字9而且能被9整除的四位正整数共有 个。

二、解答题（每小题20分，共60分）
4．圆上两点连接的直线段称为弦。

一个有6条弦的圆中，最多可以有几个不同的三角形？请在题图的圆中画出并写出这些三角形名称。

5．已知七位数
能被2018整除，求所有可能的这种七位数。

6．每月的第13日如果是星期五，就被称为“黑色星期五”。

2015年3月5日星期四是元宵节，问：从2015年3月5日起到2018年8月11日星期六为止共出现几次“黑色星期五”？
第二试
一、填空题（每小题20分，共60分）
1．有大小两个圆纸片，小圆纸片的面积是50平方厘米，大圆纸片的周长比小圆纸片长20%。

则大圆纸片的面积比小圆纸片大平方厘米。

2．在长方框中填人适当的自然数使得等式成立。

3．在一次乒乓球训练赛中有红蓝两队，红队每个队员要与蓝队的5个队员比赛，而蓝队的每个队员仅与红队的2个队员比赛。

已知每2个红队队员恰有1个共同的蓝队对手。

则蓝队共有个队员。

二、解答题（每小题20分，共60分）
4．在-2018，-2017，…，-1，0，1，…，2017，2018中任取2020个数，取出的数中是否一定有三个不同的数的和为零？若肯定请说明理由，若否定请举出一个例子。

5．在1，2，…，2018中选出尽可能多的数（或最多能选多少个数），使得所选出的数中每两个都不互质，而且没有一个数是另一个的倍数。

写出你选的数。

6．银行的外汇牌价一般是5位有效数字，例如6. 7414元人民币兑换1美元，6. 4798元人民币兑换100日元；在计算价格时不足1分钱的部分四舍五入。

甲、乙、丙三人在银行按同一外汇牌价各自用人民币兑换了数十欧元（欧元数为整十数），甲用了人民币148.14元，乙用了人民币222.20元，丙用了人民币444.41元。

问当时的外汇牌价是多少人民币兑换1欧元？。