无私奉献高考对二项式问题考查的十大题型

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二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(xx -展开式中9x 的系数是；（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6．（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；2．求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx -的展开式的中间项；3．求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx -的展开式中有理项共有项；4．求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例10．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；例13．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。

二项式定理的常考题型

二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。

在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。

下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。

1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。

这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。

2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。

这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。

3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。

这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。

4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。

这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。

除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。

因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。

二项式定理高考常见题型及其解法

第二讲二项式定理高考常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，虽解法灵活但较易掌握.二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系.二项式定理在每年的高考中基本上都有考查，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现. 本讲将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用. 【知识要点】1、二项式定理：∑=-∈=+nk kkn k nnn b aCb a 0*)()(N2、二项展开式的通项： )0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r +1项.3、二项式系数：).0(n r C r n ≤≤4、二项式系数的性质： ⑴ ).0(n k C C k n n k n ≤≤=-⑵ ).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n ⑶ 若n 是偶数，有n nn nn n nn C CC C C >>><<<-1210，即中间一项的二项式系数2nn C 最大.若n 是奇数，有n nn nn n n n nnC C C C C C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n n nn C C 和相等且最大.⑷ 各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++⑸在二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和即:021312n n n n n C C C C -++=++=【典型考题】一、求二项展开式：1．“（a +b ）n”型的展开式例1．求4)13(x x +的展开式.解：原式=4)13(xx +=24)13(xx +=])3()3()3()3([14434224314442CCCCC x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xxx x小结：这类题目直接考查二项式定理掌握，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中会有体现的. 2． “（a -b ）n ”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式.分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可.本题主要考察了学生的“问题转化”能力. 3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cC C C n nnnn n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nnnn n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质. 二、通项公式的应用：1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(x xa -的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为解：9239299912)1()2()(----+⋅⋅⋅-=-=r rr rr rr r r x aC x x aC T令3923=-r ，即8=r ，依题意，得492)1(894889=⋅⋅---aC ，解得1-=a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(x x -展开式中的常数项是解：rr rr rr r xCxx C T 65510310101)1()1()(--+⋅-=-= ，令0655=-r ，即6=r .所以常数项是210)1(6106=-C小结：可以讲2011陕西高考题—例1⑴ 3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）92)21(xx -展开式中x 9的系数是 .解：29191()()2rr rr T x xC -+=-=182911()()2rr r r x xC --=18391()2rr x x C --令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：339121()22C -=-，∴填212-三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，x 2的系数等于解：2x 的系数是四个二项展开式中4个含2x 的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002-=+++-=-+---+--C C C C C C C C例8．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，x 3项的系数是 . 解：在展开式中，3x 的来源有：⑴第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ⑵第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008.四、利用二项式定理的性质解题 1、求中间项例9．求101的展开式的中间项；解：,)1()(310101r r r r xx T C -=-+ ∴展开式的中间项为5555610(252x C =-.小结：当n 为奇数时，nb a )(+的展开式的中间项是212121-+-n n n n baC 和212121+-+n n n n baC ；当n 为偶数时，nb a )(+的展开式的中间项是222nnnnb a C . 2、求有理项例10．求103)1(xx -的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(r rr rrr r xxr T CC--+-=-=∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项.故展开式中有理项有4项.小结：⑴当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；⑵当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式.3、求系数最大或最小项 ⑴ 特殊的系数最大或最小问题例11．（2000上海）在二项式（x -1）11的展开式中，系数最小的项的系数是 . 解：rrr r xT C)1(11111-=-+∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为5511(1)462C-=- ⑵一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx +展开式中系数最大的项；解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有 ⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k T T T T 又1182.+--=r r r CT ，那么有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+--+--+--k k k k k k k k C C C C 2.2.2.2.8118228118即8!8!2(1)!.(9)!(2)!.(10)!8!8!2(1)!.(9)!!(8)!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪----⎪⎨⎪⨯≥⎪---⎩1212219k k k k ⎧≥⎪⎪--⇒⎨⎪≥⎪-⎩，解得43≤≤k ，故系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2747x T =. ⑶系数绝对值最大的项例13．在（x -y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是 .解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理，故此答案为第4项4347y x C ，和第5项5257y x C -.五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和（参考例题2）例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为 . 解： 443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+，令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+-故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++=44)32.()32(+-+=1)1(4=-小结：在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多.例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a .分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值. 解：rrr r x T C)1()2(661-=-+∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0六、利用二项式定理求近似值例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算.解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263<=-⨯=-=C T ，且第3项以后的绝对值都小于001.0，∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计.∴6998.0=6)002.01(-)002.0(61-⨯+≈=988.0012.01=-小结：由122(1)1...nn n n n n x x x x C C C +=++++，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nx x n+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力.所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值. 七、利用二项式定理证明整除问题例17．求证：5151-1能被7整除. 证明：15151- =1)249(51-+=12.2.49.....2.49.2.49.49515151505051249251501515151-+++++C C C C C=49P +1251-（*∈N P ）又 1)2(1217351-=-=（7+1）171-=01216171716151717171717.7.7.7.....71C C C C C +++++- =7Q （Q *∈N ）)(77715151Q P Q P +=+=-∴15151-∴能被7整除.小结：在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数. 八、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例18 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得 131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……二项式定理中的五大热点二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一，本文总结出了近年高考中的五大热点题型，供参考. 一、通项运用型凡涉及到展开式的项及其系数(如常数项，x 3项的系数等)及有理项，无理项，或逆向问题，常是先写出其通项公式1r T +＝r n r r n C a b -，然后再据题意进行求解，有时需建立方程才能得以解决. 例1 9)12(xx -的展开式中，常数项为．(用数字作答)．解：由99921991(2)(1)2rrr r rr r r r T C x C x ----+⎛⎫=-=-∙∙∙ ⎝．令9－r －2r ＝0，得r ＝6．故常数项为63679(1)2672T C =-∙∙=．故填672．练习：1．10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为_______．[15]2．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4－(x －1)5的展开式中，x 2的系数是_______．[－20]3．9a x ⎛-⎝展开式中x 3的系数为94，常数a ＝______．[4] 二、系数配对型是指求两个二项式的积或可化两个二项式的积的展开式中某项的系数问题，通常转化为乘法分配律问题来解决.例2 (x 2＋1)(x －2)7的展开式中x 3项的系数是______.解：由x 3项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：因此，x 3项的系数是()4472C -＋()6672C -＝1008．练习：(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）．[179]三、系数和差型是指求二项展开式系数的和或差等问题，常可用赋值法加以解决. 例3 若2004220040122004...(12)x a a x a x a x -=++++(x ∈R )，则=++++++++)(...)()()(20040302010a a a a a a a a (用数字作答)．解：取x ＝0，得a 0＝1；取x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004＝(1－2)2004＝1．故010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++ ＝2003a 0＋(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2004)＝2003＋1＝2004．评注：若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n．则有①a 0＝f (0)，②a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (1)；③a 0－a 1＋a 2－…＝f (－1)；④a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-；a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --．练习：若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为_________．[1]四、综合应用型应用意识是数学的归宿，二项式定理主要应用于近似计算、证明整除、证明不等式、证明组合数恒等式、求组合数及求余数等问题.例4 9192除以100的余数是_______．解：9192＝(90＋1) 92＝0929290C ＋1919290C ＋…＋9029290C ＋919290C ＋9292C＝M ×102＋92×90＋1(M 为整数) ＝100M ＋82×100＋81． ∴ 9192除以100的余数是81．练习：⑴求0.9986近似值(精确到0.001)．[0.998]⑵设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C _________．[1(71)6n-]五、知识交汇型在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势．二项式定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题．例5 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为2:3．分析：本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题，而本题的解题关键在于将表格语言转化为组合数语言．解：设所求的行数为n ，将条件转换为组合数语言，得第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……131423n nC C =，即142133n =-，解得n ＝34．练习：若(1－2x )9展开式的第3项为288，则2111lim ()nx xxx→∞+++的值是_________．[2]。

二项式定理的高考常见题型及解题对策

题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn n n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nn n nn n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(x x -展开式中9x 的系数是；解：r rr r x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221- （2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C；② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
二项式定理
1．二项式定理：
，
2．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数 .
③项数：共项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
3．注意关键点：
①项数：展开式中总共有项。
②二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为，
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项பைடு நூலகம்定理中，令，则，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。
如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。
题型一：二项式定理的逆用；
例：
练：
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
练：求展开式中的系数？
题型三：利用通项公式求常数项；
②顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于 .
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：
令
令
5．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···

高考数学专项总结：二项式题型总结

第 4页
9.解：∵ Tr +1 =
C
r
10( x )10 ຫໍສະໝຸດ r (− 31x
) r , ∴ 展开式的中间项为 C10 ( x ) 5 (− 3
5
1
x
)5
5
即： − 252 x 6 。当 n 为奇数时， (a + b) 的展开式的中间项是当 n 为偶数时， ( a + b) n 的展开式的中间项是 10.解：∵ Tr +1 =
令
3 r − 9 = 3 ，即 r = 8 2
8 C9 (−1) 8 ⋅ 2 − 4 ⋅ a 9−8 =
依题意，得
9 ，解得 a = −1 4
5 5− r 6
5.解： Tr +1 = C10 ( x ) 令5 −
r
10 − r
(− 3
1
x
r ) r = (−1) r C10 ⋅x
5 r = 0 ，即 r = 6 。 6
选修 2-3 二项式定理题型总结
二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。
一、求二项展开式
n 1． “ (a + b) ”型的展开式
2 7 3 2 3 4 5 2
四、利用二项式定理的性质解题 1．求中间项
【例 9】求（
x−3
1
x
)10 的展开式的中间项；
2．求有理项
【例 10】求 ( x −
1
3
x
)10 的展开式中有理项共有

二项式定理高考题型及解题(精编版)

二项式定理高考题型及解题（精编版）题型一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn n n n n n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：求二项展开式的特定项 1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．92)21(xx -展开式中9x 的系数是；解：r r rr x x T C )21()(9291-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r x C 3189)21(--令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：221)21(339-=-C ，∴填221-（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；解：在展开式中，3x 的来源有：① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为667)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为447)2(-C3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(447667C C 填1008。

二项式定理的高考常见题型及解题对策

二项式定理的高考常见题型及解题对策浙江省温州22中学高洪武 325000二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。

所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

题型一：求二项展开式1．“n b a )(+”型的展开式例1．求4)13(xx +的展开式；解：原式=4)13(xx +=24)13(x x + =])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2． “n b a )(-”型的展开式例2．求4)13(xx -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”例3．计算c C C C nn nn nn n 3)1( (279313)21-++-+-；解：原式=nn n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3332211-=-=-++-+-+-+小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

二项式定理九种常见的考查题型归纳

二项式定理常见的题型归纳吴友明整理题型一：指定项有关的问题例1.在12)13(xx -展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得1121212211212(3)(3(1)r r rr r r r rr T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123(1)rrrr C x--=⋅-⋅⋅.令31232r -=-可得10r =,即121010103311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.故3-x 项的系数为594.点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。

特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.练习.若n xx x )1(3+的展开式的常数项为84,则n = .解析:由二项式定理的通项公式得333321()r r n rrr n rr nnT C x C xx---+=⋅⋅=⋅⋅932n rr nC x-=⋅.令9302n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k kn k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.题型二：有理项有关的问题例2. 二项式24展开式中，有理项的项数共有（）项A. 3B. 4C. 5D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得241136424r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rrr r r C x x C x，其中0,1,2,,24r =L ，由题意得364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项点评: 有理项是指变量的指数是整数（可以是正整数，也可以是负整数和零）的项，所以此类问题的一般解题思路是：先求二项式的展开式的通项，化简后令x 的指数为整数解决问题。

二项式定理10种题型

二项式定理10种题型
二项式定理相关的10种题型如下：
1. 利用通项公式求某项的系数。

2. 利用通项公式求某项的值。

3. 利用通项公式确定有理项。

4. 利用通项公式确定系数和。

5. 求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和。

6. 求二项式定理中的最大系数和最大项。

7. 含有三项变两项的问题。

8. 两个二项式的乘法问题。

9. 奇数项的系数和与偶数项的系数和。

10. 利用赋值法求解二项式定理中的系数和或者特定项的值。

此外，常见的题型还有求展开式的各项系数和、求展开式的常数项等。

如需更多关于二项式定理的题型，建议咨询数学教师或查阅数学教材教辅材料，获取更全面的题型资料。

二项式9类必考题型

二项式9类必考题型1.运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n-r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C r n ，而后者是指字母外的部分2.求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求T r ＋1，有时还需先求n ，再求r ，才能求出T r ＋13.有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏4.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段5.近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项6.用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决题型1 二项式展开式式通项公式的应用例题1 已知当12x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <都有()201231(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则10a =（）A ．444-B ．455-C ．466-D ．以上答案都不对【解析】()31(12)x x x x =-+()()369122311248x x x x x xx +++++-+-+⋯①②要得出10x 的系数10a ,可取：(1)①式中的1乘以②式中的99(2)x -(2)①式中的3x 乘以②式中的66(2)x -；(3)①式中的6x 乘以②式中的33(2)x - (4)①式中的9x 乘以②式中的1，那么96310(2)(2)(2)1455a =-+-+-+=-，选B练习1.()()2611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为（） A ．2 B ．3C ．2-D ．2或3【解析】()222112ax ax a x -=-+()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=令3r =得展开式含3x 项的系数为3620C =令2r得展开式含2x 项的系数为2615C =令1r =得展开式含x 项的系数为1620C =所以()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数为22030616a a -+=-，解得2a =或3 选D练习2.二项式2nx ⎛ ⎝⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（） A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】二项式2nx ⎛ ⎝⎭的展开式第7项()6666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x -----⎛== ⎝⎭由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 选B题型2 二项式系数之和与系数之和的区别例题2 若()3nx y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（） A ．15B ．10C ．8D ．5【解析】设二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为m ，即x =1时满足题意，(13)4n n m ∴=+=，又设()107a b +的二项式系数之和为k则0121010101010102k C C C C =+++⋯+=因为m =k ，所以1042n =，解得n =5 选D练习1.已知二项式()2nx n N+⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求n 的值（2）求展开式中含3x 的项（3）计算式子0615243342516066666662222222C C C C C C C ++++++的值【解析】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即5(1)n n n =-，解得6n = （2）由（1）知6n =，∴6161(2)rrrr T C x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭366262rr rC x --= 由3632r -=，得2r ，∴展开式中含3x 的项2623362240C x x -=（3）令1x =得061524334251606666666622222223C C C C C C C ++++++=题型3 赋值法求系数之和例题3 若（2-3x ）6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+a 3+…+a 6等于（） A ．1-B ．1C ．64-D ．63-【解析】因为()626012623x a a x a x a x -=+++⋯+所以令0x =得到602a =，令1x =，得到()601261a a a a -=+++⋅⋅⋅+所以可得1260163a a a a ++⋅⋅⋅+=-=- 选D练习1.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则()()22024135a a a a a a ++-++=（） A ．-1B ．1C ．0D ．2【解析】由题得()()22024135a a a a a a ++-++=012345()a a a a a a +++++012345()a a a a a a -+-+-令x =1得5012345()=2+3a a a a a a +++++（），令x =-1时5012345()=23)a a a a a a -+-+-+（- 所以()()22024135a a a a a a ++-++=5552+3-2+3=[(23)(23)]1+-+=-（）（）选A 练习2.若，则（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020 【解析】令，得，令，得所以选A练习3. 若()22212212nn n n n x a x a x --+=++323210a x a x a x a ++++，*n N ∈.则13521n a a a a -++++的值为__________．【解析】()22212212nn n n n x a x a x --+=+++32*3210,a x a x a x a n N +++∈ 令1x =，得()22212211211nn n n n a a --+=+++2121011a a a ++=221210n n a a a a a -++++①令1x =-，得()()()22212211211nnn n n a a ---+=-+-++()1101a a -+=221210n n a a a a a --+-+②①-②可得()22212331312nnn n a a a a ---=++++，所以:213521312n n a a a a --++++= 题型4 两个因式积的问题例题4 若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为（）A ．2-B ．2C ．3D ．4【解析】()()442211ax xx ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444rr tttrr t r tr t r r r T C x ax C C x ax C C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩ 当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()314312C C a a ⋅⋅-=-，当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3433444C C a a ⋅⋅-=- 因为5x 系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2a =选B练习1.多项式()7111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 项的系数为_____________. 【解析】因为二项式()71x +的通项公式为：771771r r r r rr T C x C x --+=⋅⋅=⋅所以2x 的系数为：5721C =,3x 的系数为4735C =，因此2x 项的系数为：12113556⨯+⨯=练习2.(x 3+7)(1-1x)7的展开式中的常数项为______ 【解析】因为(1-1x )7的展开式中含31x 的项为37C (-1x )3，所以(x 3+7)(1-1x )7的展开式中的常数项为7+x 3×37C (-1x)3=7-35=-28练习3.已知()4121x a x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________ 【解析】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+- 所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+- 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a =题型5 杨辉三角例题5 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

(完整版)二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b1，则 C n 0 C n 1 C n 2 C n 3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，④奇数项的系数和与偶数项的系数和：如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项式系数⑥系数的最大项：求 (a bx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别专题一题型一：二项式定理的逆用；例： C n 1 C n 2 6 C n 3 62 L C n n 解：(1 6)n C 0C nC 1C n6C n 2 62C n 1 C n 2 6C 3C n62L C nn16(C n 06C 1C n6 C n 2 62L练： 12C 1n 3C n 29C 3 n L 3n1 Cn nn1C n 3 63 LC n n 6n 与已知的有一些差距，6n 1 1(C n 1 6 C n 2 62 L C n n 6n )6 n n nn n 1 n 1 nC n n 6n 1) [(1 6)n 1] (7n 1)66从而得到： C n 0 C n 2 C n 4C n 2rC n 1 C n 3 LCn 2r12 2n2n 1为 A 1, A 2, ,A n 1，设第 r 1项系数最大，应有A r 1A r 1Ar，从而解出 r 来。

A r 2(a nx)nCn 0a n x 0 Cn 1a n 1x C n 2a n 2x 2 n 0 n C na x a 0a 1x a 2x 2 2a 2x nL a n x 1a 1x a 0令x 1, 则 a 0 a 1a 2a 3La n(a1)n ① 令x 1,则a 0a 1 a 2a 3La n(a 1)n②① ②得,a 0 a 2a 4L a n(a1)n(a 1)n2 (奇数项的系数和 ①②得,a 1a 3 a 5La n(a 1)n (a 1)n2(偶数项的系数和nC n 2 取得最大值。

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

1学科教师辅导讲义1 •二项式定理：(a b)n C ：a n C ：a n 1b L C ：a n r b r LC ；b n (n N ),2 .基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。

②二项式系数：展开式中各项的系数 C ： (r 0,1,2, ,n). ③项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。

用 T r 1 C ：a n r b r 表示。

3 .注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项。

②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。

(a b)n 与(b a)n 是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。

b 的指数从0逐项减到n ,③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:是升幕排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,C ；,Cn, ,C ：, ,C ：.项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。

4 .常用的结论:令 a 1,b x, (1 x)n C O C 1x C 2x 2 L C ：x r LC ：x n (n N令 a 1,b x, (1 x)nC O C：XC'x 2L C：x rLn n n(1) C nX (n5.性质: ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 C 0nkC n，•…C n C i②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n 2C n rC n n 2n ,变形式C 1 Cn L C ： LC： 2n在二项式定理中，令 a 1,b 1，则C° C ； Coc ；1)nc ：(1 n1) 0 ,从而得到：c O c 2 c 4C n 2rc n c ； L2r 1C n2 2" 2：1⑥系数的最大项：求（a bx ）n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

名校必备高考对二项式问题考查的十大题型

天兵下北荒，胡马欲南饮。

横戈从百战，直为衔恩甚。

握雪海上餐，拂沙陇头寝。

何当破月氏，然后方高枕高考对二项式问题考查的十大题型二项式问题，尤其是二项式定理，是历年高考必考的内容之一，虽然课本内容不多，但考题涉及面广、综合性强、解法灵活，不易掌握。

下面结合一些高考题，介绍高考对二项式问题考查的十大题型，供同学们复习参考。

题型1——求常数项例1（2004年全国高考安徽、河北卷）在73)12(xx -的展开式中，常数项是（）A.14B.－14C.42D. －42解：,2)1()1()2(2721777371kk k k k kkk xC xx C T ---+⋅⋅-=-⋅⋅=令 ,02721=-k 则k=6，故展开式中的常数项是142)1(667=⋅-C ,选答案A. 例2（2005年全国高考湖北卷）5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项是解：5)212(++x x 展开式中的每一项具有形式k n m xx )2()1()2(，其中 .5=++k n m 当5,0,01,2,23,1,1=========k n m k n m k n m 或或时，k n m xx )2()1()2(均为常数项，因此5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项是 .2263)2(241)2(215232531415=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅C C C C 题型2——求二项式的指数例3（2002年上海春季高考题）若在n xx )1(5-的展开式中，第4项是常数项，则n=------------解：3353134)1()(xx C T T n n -⋅⋅==-+=51833)1(-⋅-⋅n n xC .由题意可知，518-n =0，18=∴n .题型3——求特定项的系数例4（2005年全国高考湖南卷）在632)1()1()1()1(x x x x ++⋅⋅⋅++++++的展开式中，x 2的系数是解：x 2的系数应是632)1(,,)1(,)1(),1(x x x x +⋅⋅⋅+++各展开式中x 2的系数之和，于是有，=++++2625242322C C C C C .35372625242333==++++C C C C C C即632)1()1()1()1(x x x x ++⋅⋅⋅++++++展开式中，x 2的系数是35。

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)

二项式知识点+十大问题+练习(含答案)011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈；2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项；是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b-叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b-+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0；是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ；是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等；即0n n nC C =；···1k k n nC C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnnn n n n n C C C C C ++++++=；变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-。

二项式定理高考题型归类及求解

二项式定理高考题型归类及求解二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。

本文就近年来高考试题中二项式定理题型进展归纳总结，并对解法进展探讨，供参考。

一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊项，如常数项、有理项、整式项、系数最大项等等，这些特殊项求解主要是利用二项展开式通项公式，然后依据条件先确定r值，进而求出指定项。

1. 求常数项例1 〔2006年山东卷〕展开式中第三项与第五项系数之比为，其中，那么展开式中常数项是〔〕A. －45iB. 45iC. －45 D. 45解：第三项、第五项系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为那么有得r=8故常数项为，选D。

2. 求有理项例2 展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有有理项。

解：展开式前三项系数分别为那么由题意可得即解得n=8〔n=1舍去〕于是假设为有理项，那么，且，所以r=0，4，8。

故展开式中所有有理项为3. 求幂指数为整数项例3 〔2006年湖北卷〕在展开式中，x幂指数是整数项共有〔〕A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x幂指数为整数，应选C。

4. 求系数最大项例4 展开式中，只有第五项二项式系数最大，求该展开式中系数最大项。

解：由只有第五项二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项系数最大，那么有解得又，所以r=2或r=3所以二项式展开式中系数最大项是二、求三项式或多项与或积展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项与或积二项式问题，可通过“搭配〞解决，但要注意不重不漏。

例5 〔2005年湖北卷〕展开式中整理后常数项为________。

解：对于二项式展开式中要得到常数项需10－r=5，那么r=5所以常数项为例6 〔2005年浙江卷〕在展开式中，含项系数是〔〕A. 74B. 121C. －74 D. －121解：展开式中，含项为，应选D。