等差、等比数列知识点总结
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理
一、等差数列的公式和相关性质
1.等差数列的定义：如果一个数列的后一项减去前一项的
差为一个定值，那么这个数列就是等差数列。记为：an-an-
1=d（d为公差）（n≥2，n∈N*）。
2.等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d
为公差。推广公式：an=am+(n-m)d。变形推广：d=(an-am)/(n-m)。
3.等差中项：（1）如果a、b、A成等差数列，那么A就
是a与b的等差中项，即b成等差数列，A=(a+b)/2；（2）等
差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或2an+1=an+an+2.
4.等差数列的前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=n^2+(a1-
d)n/2=An^2+Bn（其中A、B是常数，当d≠0时，Sn是关于n
的二次式且常数项为0）。特别地，当项数为奇数2n+1时，
an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项，Sn=
(2n+1)(a1+an)/2= (2n+1)an+1/2.
5.等差数列的判定方法：（1）定义法：若an-an-1=d或
an+1-an=d（常数n∈N*），则{an}是等差数列；（2）等差中项：数列{an}是等差数列，当且仅当2an=an-1+an+1(n≥2)，或
2an+1=an+an+2；（3）数列{an}是等差数列，当且仅当
an=kn+b（其中k、b是常数）；（4）数列{an}是等差数列，
当且仅当Sn=An^2+Bn（其中A、B是常数）。
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比
性质是数列中常见的两种规律。在数学中，掌握数列的等差与等比性
质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。本文将对数列的等差与
等比性质进行详细总结。
一、等差数列
1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项
公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：
a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-
1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等
差数列为等差数列。
二、等比数列
1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：
a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-
1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别
1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
(完整版)等差、等比数列公式总结
一、等差数列
1.定义：)(1常数d a a n n =-+
2.通项公式：d n a )1(a 1n -+=
3。变式:d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --=
4。前n 项和:2)(1n a a S n n +=
或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5。几何意义:
①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2
(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6。}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=
⇔+=⇔+=⇔++-11122 7。性质
① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+
② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+
③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差
⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则
n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=
-n S a n n 二、等比数列
1。定义：常数）(a 1q a n
n =+ 2。通项公式：11a -=n n q a
3。变式： m n m n q a -=a m n m
n q a a -=
4. ⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1( 1)1()1( 11q q
q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q
等差 等比知识点总结
等差等比知识点总结
一、等差数列
1. 定义
等差数列又叫等差数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的差都是相同的，这个差值称为公差。比如一个等差数列通常的形式是a，a+d，a+2d，a+3d，…其中a是首项，d 是公差。
2. 通项公式
设等差数列的首项为a，公差为d，那么它的通项公式为：an = a + (n - 1)d，其中n为数列的项数。
3. 性质
① 等差数列的任意一项可以表示成它的首项和公差的线性组合；
② 等差数列的前n项和为Sn = n(a + l)/2，其中l为数列的最后一项；
③ 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn+k = Sn + kn(k为常数)；
④ 若Tn为等差数列的前n项和，那么Sn = Tn - (n-1)d；
⑤ 若Tn为等差数列的前n项和，那么T1、T2、…、Tn为等差数列；
⑥ 等差数列的和与项数成正比例。
4. 应用
等差数列的应用非常广泛，它可以用在数学、物理、工程学等各个领域。在数学中，利用等差数列可以解决关于求和、求通项公式、求公差、求项数等各种问题。在物理中，等差数列可以用来描述各种运动的位移、速度、加速度等之间的关系。在工程学中，等差数列也可以用来描述一些周期性变化的规律。
二、等比数列
1. 定义
等比数列又叫等比数列，是一种特殊的数列，它的相邻两项之间的比值都是相同的，这个比值称为公比。比如一个等比数列通常的形式是a，ar，ar²，ar³，…其中a是首项，r是公比。
2. 通项公式
设等比数列的首项为a，公比为r，那么它的通项公式为：an = a * r⁽ⁿ⁻¹⁾，其中n为数列的项数。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列和等比数列是数学中的两个重要概念，它们在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。以下是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结：
等差数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个数列被称为等差数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d]$，其中 $S_n$ 是前$n$ 项的和。
4. 等差中项：任意两项的算术平均值等于第三项。
5. 等差数列的性质：如果两个数列都是等差数列，那么它们的和也是一个等差数列。
等比数列：
1. 定义：一个数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数，这个数列被称为等比数列。
2. 通项公式：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$，其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。
3. 求和公式：对于 $q \neq 1$，有 $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$；对于 $q = 1$，有 $S_n = na_1$。
4. 等比中项：任意两项的几何平均值等于第三项。
5. 等比数列的性质：如果两个数列都是等比数列，那么它们的乘积是一个等比数列。
以上是关于等差数列和等比数列的主要知识点总结。在学习这些内容时，可以通过做练习题来加深理解和巩固知识。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即
d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.
2.等差中项：
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=或
b a A +=2 （
2
）
等
差
中
项
：
数
列
{}
n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a
3.等差数列的通项公式：
一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：
()d n a a n 11-+=
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=； 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．
（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法
等差、等比数列知识点总结
一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n
n
二、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
d a a n n =--1、2
1
1-++=
n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=
当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=
d n n na S n 2
)
1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+
5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……
仍为等差数列。
6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，
7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题
利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列
1、等比数列及等比中项定义：
q a a n n
=-1
、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q
q
a a S n n --=11
4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的
集合。其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。本文将对
等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列
等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念
等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质
（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和
求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用
等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列
等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念
等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质
等差数列、等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理
第一节：等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。
2、等差数列通项公式：
1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差
推广公式：()n m a a n m d =+-
变形推广：m
n a a d m
n --= 3、等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：
2
b
a A +=
或b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a
4、等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=1(1)
2
n n na d -=+ 211
()22
d n a d n =
+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项
()()()12121121212
n n n n a a S n a +++++=
=
+（项数为奇数的等差数列的各项
和等于项数乘以中间项）
5、等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔{}n a 是等差数列．
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列
等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念
一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质
（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用
等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：
（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列
等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念
一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质
（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
等差数列及等比数列的性质总结
【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n
S =d 2
）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a a
c c c c 1-n n 1-n n ==
7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=
当n 为奇数时，n a S
中n
´=，中偶奇a S -S =，1
-n 1n S S 偶奇+
=
【说明】当n 为偶数时，d 2
n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 1
23-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21
-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，
，1-n 1n 2
1-n ）a a （2121
n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T S
b a
项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列
T 和S = 【说明】
n
n 中中1-2n 1-n 2b a
b ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a
，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +
=
9、1-d ，0a
），则q p （p a ，q a q
p q
p
==¹==+
q
--p a
），则q p （p S ，q S q
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。在数列中，
等差数列和等比数列是两种常见的形式。它们具有一些特定的性质和
规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。本文将对等
差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和
运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质
等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。每一项与它
的前一项之差称为等差d。等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：
1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。通
项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。求和
公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项
和末项的和。
二、等比数列的概念和性质
等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。每一项与它的前一项之比称为公比r。等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：
1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
等差数列与等比数列知识点复习总结
等差数列与等比数列知识点复习总结
的公比计算方法：
①后一项除以前一项：q = a
n+1
a
n
②前两项之比：q = a
2
a
1
③前一项与后一项的平方根之比：q = √(a
n+1
a
n
3、等比数列
a
n
的通项式：
①a
n
a
1
q^(n-1)
②a
n
a
m
q^(n-m)
③a
n
b*q^n （b为常数）
4、等比数列
a
n
的性质：
①两项性质：若m+n=p+q，则 a m
a
n
a
p
a
q
②等比中项性质：若x,A,y成等比数列，则 2A = x+y
③下标成等比数列的项仍成等比数列。若数列
a
n
是等比数列，公比为
q，则数列a
k
a
k+m
a
k+2m
a
k+3m
仍构成等比数列，公比为q^m。
5、等比数列
a
n
的前n项和：
S
n
a
1
q^n-1)/(q-1)
等比数列前n项和性质：
①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为
Sn=a1(q^n-1)/(q-1)
③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)
6、等比数列前n项和性质：
①首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
②首项为a1，公比为q的等比数列的前n项和为
Sn=a1(q^n-1)/(q-1)
③特别地，首项为1，公比为q的等比数列的前n项和为Sn=(1-q^n)/(1-q)
等差数列前n项和性质：
①片段和性质：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n。即a1+a2+。+am，am+1+am+2+。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列
1. 定义
等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点
（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质
（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列
1. 定义
等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点
（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质
（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
(完整版)高考等差等比数列知识点总结
高考数列知识点
等差数列
1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
2．等差数列通项公式：*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=
；
3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a S +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地()()()12121121212
n n n n a a S n a +++++=
=
+
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要
的应用。下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全
面总结。
**一、等差数列的基本概念**
等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的
数列。一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**
1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d
2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)
3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**
等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中
的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**
等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的
数列。一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**
1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立
3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
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一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n
n
二、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
d a a n n =--1、2
1
1-++=
n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=
当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=
d n n na S n 2
)
1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+
5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……
仍为等差数列。
6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，
7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题
利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列
1、等比数列及等比中项定义：
q a a n n
=-1
、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q
q
a a S n n --=11
4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅
5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列
6、0=++=B A B Aq S n n ，则
四、求数列}{n a 的最大的方法：
1-1n n n n a a a a ≥≥+
五、求数列}{n a 的最小项的方法：
1
-1n n n n a a a a ≤≤+
例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。
例：已知数列}{n a 的通项公式为：n
n n n a 10)
1(9+=，求数列}{n a 的最大项。
数列求和方法总结
1、公式法
（1）等差数列
（2）等比数列
2、分组求和法
类型：数列{a n }的通项公式形如a n =b n ±c n ，而{b n }是等差数列，{c n }是等比数列。
例4：计算 的值
练习：求数列的前n 项和Sn ：
3、裂项相消法 常见裂项技巧：
(1)(2)13(3)11111122143181
2
2
313231323132312121412141
2234562121，，，…，，…；
，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．
()n n n n n ++++++--⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==11)1)1(1111
q q
q a a q q a q na S n n n 4)]1([...321)4(
2
3333+=++++n n n 6)12)(1(...321)3(2222++=++++n n n n d n n na n a a S n n
2
)1(211-+=+=1111
+3+5++(2-1)2482n n ;111)1(1)1(+-=+n n n n ;
111)2(n n n n -+=++);121
121(21)12)(12(1)3(+--=+-n n n n 1111)2(2n
例5、化简
练习
4、倒序相加法
例5、
例6、1、已知()x
f x =，
设123()()()()n n
S f f f f n n n n
=+++
+，求n S
5、错位相减法
常应用于形如{a n ·b n }的数列求和,其中{a n }为等差数列, {b n } 为等比数列.
例7、
练习：
练习：数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，121+=+n n S a （1≥n ） （1）求数列}{n a 的通项公式n a
（2）等差数列}{n b 的各项为正数，且52=b ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n b （3）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T
.11
341231121n
n +++++++++ .)12()12(1751531311的值求+⨯-++⨯+⨯+⨯=
n n S n ...
3
32211=+=+=+---n n n a a a a a a 特点：。 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++1221-328252-⋅++⨯+⨯+=n n n S ）（ 1
2)21
(1-3)21(82152-⋅++⨯+⨯+=n n n S ）（ ;321132112111)2(n +++++++++++ 12413410474)3(-⋅+++⨯+⨯+n n ）（