等差、等比数列知识点总结
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一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n
n
二、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
d a a n n =--1、2
1
1-++=
n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=
当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。
3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=
d n n na S n 2
)
1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+
5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……
仍为等差数列。
6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，
7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题
利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列
1、等比数列及等比中项定义：
q a a n n
=-1
、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =
当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q
q
a a S n n --=11
4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅
5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……仍为等比数列
6、0=++=B A B Aq S n n ，则
四、求数列}{n a 的最大的方法：
1-1n n n n a a a a ≥≥+
五、求数列}{n a 的最小项的方法：
1
-1n n n n a a a a ≤≤+
例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。
例：已知数列}{n a 的通项公式为：n
n n n a 10)
1(9+=，求数列}{n a 的最大项。
数列求和方法总结
1、公式法
（1）等差数列
（2）等比数列
2、分组求和法
类型：数列{a n }的通项公式形如a n =b n ±c n ，而{b n }是等差数列，{c n }是等比数列。
例4：计算 的值
练习：求数列的前n 项和Sn ：
3、裂项相消法 常见裂项技巧：
(1)(2)13(3)11111122143181
2
2
313231323132312121412141
2234562121，，，…，，…；
，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．
()n n n n n ++++++--⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==11)1)1(1111
q q
q a a q q a q na S n n n 4)]1([...321)4(
2
3333+=++++n n n 6)12)(1(...321)3(2222++=++++n n n n d n n na n a a S n n
2
)1(211-+=+=1111
+3+5++(2-1)2482n n ;111)1(1)1(+-=+n n n n ;
111)2(n n n n -+=++);121
121(21)12)(12(1)3(+--=+-n n n n 1111)2(2n
例5、化简
练习
4、倒序相加法
例5、
例6、1、已知()x
f x =，
设123()()()()n n
S f f f f n n n n
=+++
+，求n S
5、错位相减法
常应用于形如{a n ·b n }的数列求和,其中{a n }为等差数列, {b n } 为等比数列.
例7、
练习：
练习：数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，121+=+n n S a （1≥n ） （1）求数列}{n a 的通项公式n a
（2）等差数列}{n b 的各项为正数，且52=b ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n b （3）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T
.11
341231121n
n +++++++++ .)12()12(1751531311的值求+⨯-++⨯+⨯+⨯=
n n S n ...
3
32211=+=+=+---n n n a a a a a a 特点：。 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++1221-328252-⋅++⨯+⨯+=n n n S ）（ 1
2)21
(1-3)21(82152-⋅++⨯+⨯+=n n n S ）（ ;321132112111)2(n +++++++++++ 12413410474)3(-⋅+++⨯+⨯+n n ）（