离散数学 章节练习 4 KEY

2、代数系统<Z，×>的零元是 0
()
3、<{e},*>是<G,*>的子群。
()
4、小于 6 阶群都是可交换群。
()
5、设*是 S 上的二元运算，若存在零元和单位元 e，则|S| >1
()
6、代数系统<Z, ×>的单位元是 1。
()
7．若群<G,*>中的运算可交换，则称为交换群。 ( )
8、在代数系统<A,*>中如果元素 a A的左逆元 ae1 存在，则
(a)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为 a,没有
零元
a 1 a, b 1 b
(b)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律
a (b b) a a b, (a b) b a b a
a (b b) (a b) b
没有单位元, 没有零元 (c) 不满足交换律，满足结合律和幂等律
上关于的 同余关系 。
12．设<G, *>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素
都由 a 的幂
组成，则称该群为循环群。记成 G=<a>，
a 称为该群的生成元。
13．设与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算，若x,yS
都有 x*(xy)=x , x(x*y)=x, 则称*与是满足 吸收
律。
四、计算题 1 .判断自然数中的加法<N,+>是否是半群。 【参考答案】
2．判断整数中的加法<Z,+>是否是群，并证明。 【参考答案】
所以，〈S， 〉不构成群
8. 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算为 x,y∈Z,xoy=
x+y-2，问 Z 关于 o 运算能否构成群？为什么？
【参考答案】
( B)
A、半群，但不是独异点；
B、只是独异点，但不是群；
C、群；
D、环，但不是群。
8. 设 R 是实数集合，“ ”为普通乘法，则代数系统<R ，×>
是（ A ）。
A．群； B．环； C．半群 Ｄ.都不是
9. 设是集合 S 上的二元运算，如果集合 S 中的某元素 eL,对
xS 都有 eLx=x ,则称 eL 为 ( C )
得 ax=b。
()
17、设<G, *>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素
都由 a 的幂组成，则称该群为循环群。 ( )
18、设与*是集合 S 上的二种可交换的二元运算，若x,yS
都有 x*(xy)=x , x(x*y)=x 则称*与是满足吸收律
()
19、设是集合 S 上的二元运算，若xS 都有 xx=x,则称
所以， x 1 y 4 x
所以〈Z，o〉构成群
9. 令 S={a，b}，S 上有三个运算
分别如下表确定。
3. 判断自然数中的乘法<N,x>是否是半群。 【参考答案】
4. 证明：设<S, >是半群，集合 BS，且运算在 B 上封闭， 则<B, >是半群。
【参考答案】
5. 设 * 为 Z 上的二元运算 x, y Z ，X * Y = min ( x，
6．设是集合 S 上的二元运算，如果集合 S 中的某元素 eL
对xS 都有 eLx=x ,则称 eL 为 左单位元 。 7．某 xS 若有 yLS,使得 yLx=e，则称 yL 为 左逆元 。 8．H 是 G 的子群，aG,H 的右陪集 Ha = {x | x=ha, hH}，
其中 a 称为 Ha 的 代表元或特征元 。
在 S 上是幂等的,或者说运算 在 S 上满足幂等律。
()
20、设是集合 S 上的二元运算，若x,yS 都有 xy=yx,则称
在 S 上是可交换的,或者说运算 在 S 上满足交换律。
()
21、设<G,*>是群,若 G 存在一个元素 a，使得 G 中任意元素
都由 a 的幂组成，则称该群为交换群。 ( )
没有单位元, 没有零元
10 .设集合 A = {1 , 2 , 3 , 4} , * 是 A 上的二元运算, 其定义为: a * b = a+ ab , 请写出*的运算表。
【参考答案】 其运算表如表所示。
*1 2 3 4 12 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20
【参考答案】 其运算表如表所示。
* 123 4 11111 21222 31233 41234
13.设( A, * ) 是代数系统, A 是有限集, 那么 (1 ) 当运算* 对于 A 是封闭运算时, 其运算表有何特征? (2 ) 当运算* 是可交换运算时, 其运算表有何特征? 【参考答案】 (1 )当运算表中的元素都属于 A 时, * 对于 A 是封闭的。 (2 )当运算表中的元素关于运算表的对角线对称时, * 为可交 换运算。
9．设是 S 上的二元运算,若存在零元与单位元 e,且集合 S
中至少有 2 个元素，则与 e 的关系为 ≠e 。
10．设<A,R>是偏序集,BA, y0B, 若xB,均有<x,y0> R，
则 y0 是 B 的 最大元 。 11．设有代数系统<A,>,在 A 上定义了等价关系 RAA。如
果<a1,a2>，<b1,b2>R 时均有<a1b1, a2b2>R,称 R 为 A
3. 设 Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为 P(A),+、-、/为数的
加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代
数系统的有
(B)
A.〈Z，+，÷〉
B.〈Z，÷〉
C.〈Z，－，÷〉
D.〈P(A)，〉
4. 设 S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是
( B)
A、半群，但不是独异点；
离散数学 章节练习 4
范围：代数系统
一、单项选择题
1. <G,*>是群，则对*
(A)
A、有单位元，可结合
B、满足结合律、交换律
C、有单位元、可交换 D、有逆元、可交换
2. 设 N 和 Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭
的是
( B)
A、N
B、{x÷2|xZ}
C、{x|xN 且 x 是素数} D、{2x+1| xZ }
11.写出( N5 , ī 5 ) 的运算表, 其中 N5 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4} , ī 5 是模 5 加法运算。
【参考答案】
代数系统( N5 , ī 5 ) 的运算表如表所示。 ī5 0 1 2 3 4 001234 112340 223401 334012 440123
12 .设 A = {1 , 2 , 3 , 4} , * 是 A 上的二元运算, 其定义为: a * b = min( a, b) , 请写出*的运算表。
13.设( A, * ) 是代数系统, A 是有限集, 那么 (1) 当运算* 对于 A 是封闭运算时, 其运算表有何特征? (2) 当运算* 是可交换运算时, 其运算表有何特征? 【参考答案】 其运算表如表所示。
*1234 12345 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20
同理 x (y z) =(xyz)mod 4
所以，(x y) z = x (y z)，结合律成立。
(3) x∈S, (x 1)=(1 x)=x,，所以 1 是单位元。 (4)11 1, 31 3, 0 和 2 没有逆元
(a)
(b)
(c)
这三个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？
【参考答案】
解：(1) x,y∈Z, xoy= x+y-2 Z ,o 是 Z 上的代数运算。
(2) x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)&# xo(yoz)，结合律成立。
(3) 设 e 是 单 位 元 ， x ∈ Z, xo e = e ox=x, 即 x+ e -2= e +x-2=x, e=2 (4) x∈Z , 设 x 的逆元是 y, xoy= yox= e , 即 x+y-2=y+x-2=2,
B、只是独异点，但不是群；
C、群；
D、环，但不是群。
5. 设 f 是由群<G,☆>到群<G ,*>的同态映射，则 ker (f)是 ( B )
A、G 的子群
B、G 的子群
C、包含 G
D、包含 G
6. 在 整 数 集 Z 上 , 下 列 哪 种 运 算 不 是 封 闭 的
(C )
A+
B-
C÷
DX
7. 设 S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是
y ),即 x 和 y 之中较小的数.求 4 * 6，7 * 3，9 * 1，15 * 2 的 结果。 【参考答案】
4 312
6. 设 * 为 Z 上的二元运算 x, y Z ，X * Y = min ( x，y ),
即 x 和 y 之中较小的数，求*运算的单位元，零元及 Z 中
所有可逆元素的逆元。 【参考答案】 单位元 无，零元 1, 所有元素无逆元
7. 设 S={0，1，2，3}， 为模 4 乘法，即 " x,y∈S,
x y=(xy)mod 4 。问〈S， 〉是否构成群？为什么？
【参考答案】
解：(1) x,y∈S, x y=(xy)mod 4 S ,
运算。
(2) x,y,z∈S,设 xy=4k+r 0 r 3
是 S 上的代数