42微积分基本定理课件1北师大选修2-2
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4.2.1 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
0 ������ ( ������������������������ ������ )������������ -������
=
0 -������
0 -������
������������������ ������������������-
������ ������ ������������ = ������ -1.
3
B.F(x)=x
1
3
C.F(x)=3 x +1
3 2
3
D.F(x)=3 x +c(c 为常数)
3
3
【解析】因为(x )'=3x ,所以 F(x)=x 不正确.
2
1 -1
������|������������等于( C ).
1
A. B. C. D.
-1 1 -1 0 -1 0
������ ������������ ������������������ ������������������ +
【解析】
������ ( 2������-1)������������=6,则 0
2
t=
������
2
3
.
������ ( 2������-1)������������ 0
= (������ -������) =t -t=6,解得
0
t=3(t=-2 舍去).
4
计算定积分:
1 3
1 2 ( ������ -1
微积分基本定理
导.学. 固. 思
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.
导.学. 固. 思
1664年秋,牛顿开始研究微积分问题,他反复阅读笛卡儿《几何学》,对
4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
复习回顾
＊ 定积分： f ( x )dx A
a b
＊ 定积分的性质： 性质1 性质2
性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
0
cos xdx 的值就是区间 [0, ]
其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y
o
x
y cosx
返回
分析： 被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分
的性质可知，和的定积分等于定积分的和：
f ( x) g ( x)dx
b a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b
b a b a
b
b
b
a
a
a
引入
通过学习发现，虽然被积函数 y x 2 很简单，但 直接用定积分定义计算 对于定积分
1
2
1
么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x
x dx 的值却比较麻烦，而
2
前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的
概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联
a
b
解：
2
1
2
(e x 3 x )dx
x 2 x 2 1
3 22 e dx 3 xdx e x 1 1 1 2 3 9 2 2 ( e e) (4 1) e e 2 2
＊ 定积分： f ( x )dx A
a b
＊ 定积分的性质： 性质1 性质2
性质3 性质4
1dx b a kf ( x )dx k f ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx b c b a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
0
cos xdx 的值就是区间 [0, ]
其中 x 轴上方的面积为正值，x 轴下方面积为负值。 y
o
x
y cosx
返回
分析： 被积函数是由两个函数的和构成的，由定积分
的性质可知，和的定积分等于定积分的和：
f ( x) g ( x)dx
b a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b
b a b a
b
b
b
a
a
a
引入
通过学习发现，虽然被积函数 y x 2 很简单，但 直接用定积分定义计算 对于定积分
1
2
1
么有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
0 1 dx ，直接用定义计算几乎不可能。那 x
x dx 的值却比较麻烦，而
2
前面我们学习了微积分学中的最基本、最重要的
概念：导数和定积分，那么二者之间有没有内在的联
a
b
解：
2
1
2
(e x 3 x )dx
x 2 x 2 1
3 22 e dx 3 xdx e x 1 1 1 2 3 9 2 2 ( e e) (4 1) e e 2 2
42微积分基本定理课件1北师大选修2-296958培训教材
ss(b)s(a)
则有：abv(t)dts(b)s(a) s'(t) v(t)
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
b
b
Sav(t)d tas'(t)d ts(b ) s(a )
一般地，如果函数f(x)在区间上连续，并且
F’ (x)=f(x)，那么
b
a f(x)dxF(b)F(a)
b
c
a
o x s dx (s
i n ） ' xx 1 1 2x 1 d （ xln x ） |1 2 ln 2 l1 n ln 2
解3、
12(12 x)d x121d x122 xd x121dx2
2 1
1d x
x
x|122(lnx)|12（ 2 1 ） （ 2 l2 n l1 ） n 1 2 l2 n
3.3 微积分基本定理
【一、微积分基本定理】
一汽车沿直线作变速运动的规律是s=s(t)
在t时刻时物体的速度为v(t) v(t)≥0,则汽车在时 间间隔［a, b]内经过的位移可用速度表示为
b
s a v(t)dt
另一方面，这段位移还可以通过位移函数s=s(t) 在［a,b]上的增量s(b) –s(a) 来表达，即
这个结论叫微积分基本定理又叫做牛顿—莱布尼兹公式。
为了方便起见，还常用 F ( x ) |ba 表示 F(b)F(a)
a bf(x)dxF (x)|b aF (b)F (a)
例2 计算下列定积分
1、 2 x 2dx 1
2、 2 x 1dx 1
3、 2 (1 2)dx
1
x
解1、 （ x 1 ） ' x 2 1 2x 2 d （ x x 1 ） |1 2 （ 2 ） 1 （ 1 ） 1 1 2
4.2 微积分基本定理 课件(北师大选修2-2)63571
[精解详析] (1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3， ∴∫10(2x＋3)dx＝(x2＋3x)| 01＝1＋3＝4. (2)∵(sin x＋ex)′＝cos x＋ex， ∴∫0－π(cos x＋ex)dx ＝(sin x＋ex)| －0 π＝1－e－π. (3)∵x2＋1x′＝2x－x12， ∴∫312x－x12dx＝x2＋1x| 31＝7＋13＝232.
1dx＋
＝(－cos x)
2
＋x
2
＋12x2－x|42
0
2
＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.
[一点通] (1)分段函数在区间[a，b]上的定积分 可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的 分段标准进行．
(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然 后求解．
[例 3] 已知函数 f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt 为奇函数，且 f(1)－f(－1)＝13，试求 a，b 的值．
[精解详析] f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt ＝a3t3＋b2t2＋t |x0＝a3x3＋b2x2＋x. ∵f(x)为奇函数，∴b2＝0，即 b＝0. 又∵f(1)－f(－1)＝13，∴a3＋1＋a3＋1＝13.∴a＝－52.
3．求下列定积分：
(1)
2 0
sin2x2dx；(2)23(2－x2)·(3－x)dx.
解：(1)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
∴2 0
sin2x2dx＝
2 0
12－12cos
xdx
＝12x－12sin
∫abf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．
优课系列高中数学北师大版选修22 4.2微积分基本定理 课件(共17张)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
(三)活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题
21
1
dx x
1 x 3 dx 0
找出f(x)的原 函数是关健
解（1）∵
( l n x ) = 1 x
定积分的几何意义：
b f(x) dx
在几何上表示由yf
(x)、xa、xb
与
a
x 轴所围成的曲边图形面积的代数和(即x轴上
方的面积减去x轴下方的面积).
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家 和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格 兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。
• 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的 创建。
莱布尼茨
• 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人； 1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。
• 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广 泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习 几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工 作使他成为数理逻辑的创始人。
• 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文 学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制 定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡 斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移 居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王 安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。
•
(三)活学活用: 利用微积分基本定理解决前面的问题
21
1
dx x
1 x 3 dx 0
找出f(x)的原 函数是关健
解（1）∵
( l n x ) = 1 x
定积分的几何意义：
b f(x) dx
在几何上表示由yf
(x)、xa、xb
与
a
x 轴所围成的曲边图形面积的代数和(即x轴上
方的面积减去x轴下方的面积).
牛顿
• 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家 和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格 兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。
• 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的 创建。
莱布尼茨
• 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人； 1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺威。
• 他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广 泛的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习 几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写 的论文《论组合的技巧》已含有数理逻辑的早期思想，后来的工 作使他成为数理逻辑的创始人。
• 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文 学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制 定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后 当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡 斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移 居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王 安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。
4.2 微积分基本定理课件 北师大版选修2-2课件
1
0
1
1 1 3 ＝ [ x＋3x]dx＋ [(2－x)＋3x]dx
1 0
1
2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 ＝(3x ＋6x )|0＋(2x－2x ＋6x )|1 2 1 1 2 3 ＝3＋6＋(2x－3x )|1 5 1 1 13 ＝6＋6－3× 9－2＋3＝ 6 .
a b a (3)① f ( x )d x ＝ F ( a ) － F ( a ) ＝ 0 ；② f ( x )d x ＝－ f(x)dx；
a a b
a ③若 f(x)在[－a，a]上连续，则当 f(x)是偶函数时， a 2 f(x)dx；当 f(x)是奇函数时， a－a f(x)dx＝0.
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[ 分析 ]
从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为
一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出
面积．为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求
出两条曲线的交点的横坐标．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1 求由曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－3x围成的图形面积．
[分析]
本题考查定积分在几何中的应用，可以先画出
草图，求得其交点后，确定出积分的上限及下限，从而转化 为定积分问题求解．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[解析] 图形如图所示，
y＝ x， 由 y＝2－x
y＝ x， 与 1 y＝－3x y＝2－x， 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 1 y＝－3x，
0
1
1 1 3 ＝ [ x＋3x]dx＋ [(2－x)＋3x]dx
1 0
1
2 3 1 2 1 1 2 1 2 3 2 ＝(3x ＋6x )|0＋(2x－2x ＋6x )|1 2 1 1 2 3 ＝3＋6＋(2x－3x )|1 5 1 1 13 ＝6＋6－3× 9－2＋3＝ 6 .
a b a (3)① f ( x )d x ＝ F ( a ) － F ( a ) ＝ 0 ；② f ( x )d x ＝－ f(x)dx；
a a b
a ③若 f(x)在[－a，a]上连续，则当 f(x)是偶函数时， a 2 f(x)dx；当 f(x)是奇函数时， a－a f(x)dx＝0.
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[ 分析 ]
从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为
一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出
面积．为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求
出两条曲线的交点的横坐标．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
1 求由曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－3x围成的图形面积．
[分析]
本题考查定积分在几何中的应用，可以先画出
草图，求得其交点后，确定出积分的上限及下限，从而转化 为定积分问题求解．
第四章 §2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
[解析] 图形如图所示，
y＝ x， 由 y＝2－x
y＝ x， 与 1 y＝－3x y＝2－x， 及 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 1 y＝－3x，
高中数学北师大版选修2-2 4.2微积分基本定理 课件(17张)
x)
0
2
②
1 1 x2 dx 0
4
③设
f
(
x)
x 1
2, x 0,（1为自然对数的底数），
x , x 1,e
则
e f xdx 0
1
f (x)dx
e
f (x)dx
x2
1 ln | x |
e
4
0
1
30
13
13
2、①求曲线 y x2与 y x所围成图形的面积，
其中正确的是（ B）
b
f
(
2
x) dx
.
a
若非匀速运动物体的速度为v(t)，则此物体从t=a到t=b时刻所
走过的路程S=
b v(t)dt. a
7
题型一、定积分的计算
例1、①
（ 1(ex 2x)dx 0
A、1 B、e-1
） C、e
解：
D、e+1
1(ex 2x)dx 0
(ex x2 ) |10
(e1 12 ) (e0 02 )
定积分与微积分基本定理
1
高考要求
• （1）了解定积分的实际背景，了解定积分 的基本思想，了解定积分的概念；
• （2）了解微积分基本定理的含义。
2
常见题型预览
题一：下列积分值等于1的是（ ）C
A．
1
0
题二:曲线
1
xdBx. 0 (x 1)Cdx.
y 与1直线
x
x
011dDx.
11
0 2 dx
1, x及 4 轴x所围成的区域
(4, 2)
y x 2
由草图知所求面积
y=x-2
【数学】4.2 微积分基本定理 课件(北师大版选修2-2)
第四章 定积分 §2 微积分基本定理
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
复习回顾
定积分的概念：
b
a
f ( x )dx lim f i △xi
n i 1
b
n
定义求定积分：
分割→近似代替→求和→取极限（得定积分 f ( x )dx ）
即①分割： n 等分区间 a , b ；
ba f ( i ) ； ③求和： n i 1
ba Si t s (ti 1 ) v(ti 1 ) n
'
由定积分的定义得
S v(t )dt s(b) s(a)
a b
牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a
或 f ( x )dx F ( x ) |b F (b) F (a ) a
2 2 （ 2 x |1 2(ln x) |1 2 1） （ln2 ln1） 1 2 ln 2
公式1: 公式二：
b
a
1 b dx = lnx|a x
例3 计算下列定积分
(1)
2 0
cos xdx
(2)
2 0
sin xdx
(3) 2
0
cos 2 xdx
' 解(1) sin x） cos x （
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
n n
b b ba S lim Si lim v(t ) v(t )dt s ' (t )dt s(b) s(a) a a n n n i 1 i 1 n n
高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大版选修2_2
(1)
1 0
(2x+3)dx;(2)
1 -2
(1-t )dt;(3)
3
2 1
(t+2)dx.
分析:根据微积分基本定理,关键是求相应被积函数的一个原函 数. 解:(1)∵(x2+3x)'=2x+3,
∴ ∴
1 0 1 -2
(2x+3)dx=(x2+3x)|1 =1+3=4. 0 (1-t3)dt= ������- ������ 4 |1 -2
(3)若 (4)若
������ ������ ������ ������
f(x)dx=F(x) f(x)dx=
������ ������
������ ������
,则 f(x)是 F(x)的导数. ( √ )
g(x)dx,则 f(x)=g(x).( × )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求简单的定积分 【例1】 求下列定积分的值:
������ + 2������
20 3
3 2
1 2
|4 1
= × 4 +2×4 − (3)∵cos ������π 6 π 6
×1+2×1 = cos x+ sin x,
π π
π 3
.
=
∴
=
√3 2 √3
π
π 3
cos ������π 3
dx=
1 2
2 √3 2
cos������ + sin������ dx
(4x+5)dx=(2x +5x)
答案:7
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)运用微积分基本定理求定积分与求导数运算是互逆运算. ( × ) ������ (2)因为被积函数f(x)的原函数不唯一,所以 f(x)dx也不唯 ������ 一.( × )
《4.2 微积分基本定理》课件 3-优质公开课-北师大选修2-2精品
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
菜
单
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
2．过程与方法 通过对变速直线运动物体位移问题的探究，发现微积分 基本定理这一过程，培养学生发现数学规律的思维方法与能 力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力，体 会用联系的观点认识问题． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对微积分基本定理的探究学习， 经历数学的探究 活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物 的规律，培养探索精神和创新意识．
课 S·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 本节内容安排在定积分的概念之后，是对定积分的应 用；同时，也是对导数与定积分的关系的探究与延伸．这一 过程中，学生既经历了微积分基本定理的发现过程，又直观 了解了微积分基本定理的含义．因此本节课宜采取发现式课 堂教学模式．即在教师精心设计的问题的引导下，通过学生 的作答、交流、探究，发现定理、应用定理．
●重点难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关 系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用 基本定理计算简单定积分． 难点：微积分基本定理的含义．
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
北师版数学高二选修2-2课件 4.2 微积分基本定理
解析 答案
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0).若 ʃ 10f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
3 为__3__.
解析 ∵ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx|10＝a3＋c.
又 f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
本课结束
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
答案
梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； ②结论：ʃ baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ baf(x)dx＝_F_(_x)_|_ba ＝ F(b)－F(a) .
＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，
∴
π
2 (sin
x
cos
x )2dx =
π
2 (1 sin x)dx
0
2
2
0
π
＝(x＋cos x) |02
＝(π2＋cos π2)－(0＋cos 0)＝π2－1.
解答
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝(13x3－72x2＋12x)|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝227.
解答
命题角度2 求分段函数的定积分
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0).若 ʃ 10f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值
3 为__3__.
解析 ∵ʃ 10f(x)dx＝ʃ 10(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx|10＝a3＋c.
又 f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
本课结束
答案
思考2
对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)? 答案 不唯一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数 c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
答案
梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； ②结论：ʃ baf(x)dx＝ F(b)－F(a) ； ③符号表示：ʃ baf(x)dx＝_F_(_x)_|_ba ＝ F(b)－F(a) .
＝1－2sin
x 2cos
2x＝1－sin x，
∴
π
2 (sin
x
cos
x )2dx =
π
2 (1 sin x)dx
0
2
2
0
π
＝(x＋cos x) |02
＝(π2＋cos π2)－(0＋cos 0)＝π2－1.
解答
(4)ʃ 30(x－3)(x－4)dx. 解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12， ∴ʃ 30(x－3)(x－4)dx＝ʃ 30(x2－7x＋12)dx ＝(13x3－72x2＋12x)|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝227.
解答
命题角度2 求分段函数的定积分
高中数学北师大版选修2-2第4章《微积分基本定理》(第2课时)ppt参考课件
微积分基本定理 （二）
一：教学目标 1、知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理
的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。 2、过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分
的方法。 3、情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会
事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物 主义观点，提高理性思维能力。 二、教学重难点：
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
并且F’(x)=f(x),则
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
Байду номын сангаас
或
b a
f ( x)dx
F ( x) |ba
F(b) F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
蝌b
f (x )dx =
a
b F '(x )dx
a
=
f (x )|ba
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
一：教学目标 1、知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理
的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。 2、过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分
的方法。 3、情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会
事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物 主义观点，提高理性思维能力。 二、教学重难点：
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
并且F’(x)=f(x),则
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
Байду номын сангаас
或
b a
f ( x)dx
F ( x) |ba
F(b) F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
蝌b
f (x )dx =
a
b F '(x )dx
a
=
f (x )|ba
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
最新北师大版选修2-2高考数学4.2《微积分基本定理》ppt课件
−
2 3
×
1
+
2
×
1
= 230.
(3)∵cos
������-
π 6
= 23cos x+12sin x,
| | ∴ π
=
3 2
πcos
3
������-
π 6
dx=
π
π 3
π
πcos
3
xdx+12
π πsin
3
3 2
cos������
+
1 2
sin������dxxd来自=23sinx
π
π 3
−
12cos
的值.
2.求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.
典例提升 2
求下列定积分:
(1)
-1 -2
(2+x2)2dx;
(2)
4 1
������+������1dx;
(3)
π πcos
3
������-
π 6
dx.
思路分析:将被积函数适当变形,确定原函数,再运用微积分基本定理求
解.
探究一
探究二
探究三
解:(1)∵(x2+2)2=x4+4x2+4,
探究一
探究二
探究三
解:(1)∵(x3)'=3x2,∴x2=
1 3
������
3
',
∴F(x)=13x3+c(c 为常数).
(2)∵(cos x)'=-sin x,
∴sin x=(-cos x)',
∴F(x)=-cos x+c(c 为常数).
2021学年高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理课件北师大版选修2_2
2
2
6
,
5
=
2
.
5
①
1
2
3
0
( − e)d等于(
)
-1
1
e
A.-1− B.−1
3
1
3
C.− 2 + e D. − 2
1 2
解析: ∵
-e
2
0
∴
-1
′
= − e,
1 2 0
1 1
3 1
( − e)d =
-e |-1 = −1 − + = − + .
2
2 e
2 e
2
0
cos 4xdx.
分析利用微积分基本定理解决,其中计算定积分
找到满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x).
2-6, ≥ 3,
4
解(1)∵y=|2x-6|=
∴ 0 |2x-6|dx=
-2 + 6, < 3,
3
0
(-2x+6)dx+
(2)∵
∴
π
2
0
1
sin4
4
4
3
2
(2x-6)dx=(-x +6x)
题型一
题型二
题型三
3
1
解由定积分的性质知 0 f(x)dx= 0
1 3
2
3 x
= 0 x dx+ 1 dx+ 2 2 dx
f(x)dx+
2
1
f(x)dx+
3
2
f(x)dx
4 1
2 32
2 3
= 4 |0 + 3 2 |1 + ln2 |2
2
6
,
5
=
2
.
5
①
1
2
3
0
( − e)d等于(
)
-1
1
e
A.-1− B.−1
3
1
3
C.− 2 + e D. − 2
1 2
解析: ∵
-e
2
0
∴
-1
′
= − e,
1 2 0
1 1
3 1
( − e)d =
-e |-1 = −1 − + = − + .
2
2 e
2 e
2
0
cos 4xdx.
分析利用微积分基本定理解决,其中计算定积分
找到满足 F'(x)=f(x)的函数 F(x).
2-6, ≥ 3,
4
解(1)∵y=|2x-6|=
∴ 0 |2x-6|dx=
-2 + 6, < 3,
3
0
(-2x+6)dx+
(2)∵
∴
π
2
0
1
sin4
4
4
3
2
(2x-6)dx=(-x +6x)
题型一
题型二
题型三
3
1
解由定积分的性质知 0 f(x)dx= 0
1 3
2
3 x
= 0 x dx+ 1 dx+ 2 2 dx
f(x)dx+
2
1
f(x)dx+
3
2
f(x)dx
4 1
2 32
2 3
= 4 |0 + 3 2 |1 + ln2 |2
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