19高考数学一轮复习课时规范练29等差数列及其前n项和理新人教B版

课时规范练29 等差数列及其前n项和
基础巩固组
1.已知等差数列{a n}中,a4+a5=a3,a7=-2,则a9=()
A.-8
B.-6
C.-4
D.-2
2.(2017陕西咸阳二模,理4)《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,
每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?()
A.3
B.4
C.5
D.6
3.已知在每项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n∈N*,且n≥2),则a81等于()
A.638
B.639
C.640
D.641
4.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n取最大值时,n 的值是()
A.18
B.19
C.20
D.21
5.(2017辽宁沈阳质量检测)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则
n=()
A.5
B.6
C.7
D.8
6.(2017北京丰台一模,理10)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a2=2,S9=9,则
a8=.
7.已知在数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=.
8.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数
列的公差d=.
9.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:成等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式.
〚导学号21500542〛
10.S n为等差数列{a n}的前n项和,且a1=1,S7=28.记b n=[lg a n],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{b n}的前1 000项和.
综合提升组
11.若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N+),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()
A.6
B.7
C.8
D.9
12.(2017四川广元二诊,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,其中m≥2,则nS n的最小值为()
A.-3
B.-5
C.-6
D.-9
13.数列{a n}是等差数列,数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2(n∈N+),设S n为{b n}的前n项和.若a12=a5>0,则当S n取得最大值时,n的值等于.
14.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项公式a n;
(2)求S n的最小值;
(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.
〚导学号21500543〛
创新应用组
15.有两个等差数列{a n},{b n},其前n项和分别为S n和T n,若,则的值为()
A. B. C. D.〚导学号21500544〛
参考答案
课时规范练29等差数列及
其前n项和
1.B解法一:由已知可得
解得a1=10,d=-2,
所以a9=10+(-2)×8=-6.
解法二:因为a4+a5=a3,
所以a3+a6=a3,a6=0,
又a7=-2,所以d=-2,a9=-2+(-2)×2=-6.
2.C设第n天织布a n尺,则数列{a n}是等差数列,且S30=390,a30=21,
∴S30=(a1+a30),即390=15(a1+21),解得a1=5.故选C.
3.C由已知S n-S n-1=2,可得=2,
∴{}是以1为首项,2为公差的等差数列,
故=2n-1,S n=(2n-1)2,
∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.
4.C a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.
5.D解法一:由题知S n=na1+d=n+n(n-1)=n2,S n+2=(n+2)2,由S n+2-S n=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.
解法二:S n+2-S n=a n+1+a n+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.
6.0∵{a n}为等差数列,S n为其前n项和.a2=2,S9=9,
∴
解得d=-,a1=,
∴a8=a1+7d=0.
7.211由S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),∴数列{a n}从第二项起构
成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+×2=211.
8.5设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.
由题意得
解得
又S偶-S奇=6d,
所以d==5.
9.(1)证明当n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以=2.
又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由(1)可得=2n,∴S n=.
当n≥2时,a n=S n-S n-1==-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故a n=
10.解 (1)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.
所以{a n}的通项公式为a n=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因为b n=
所以数列{b n}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
11.B∵a1=19,a n+1-a n=-3,
∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k 项和数值最大,则有k∈N+.
∴
∴≤k≤.
∵k∈N+,∴k=7.
∴满足条件的n的值为7.
12.D由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,
∵S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,∵a m+a m+1=5,
∴a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,解得m=5.
∴a1=-=-2,nS n=n n3-n2,
设f(n)=n3-n2,则f'(n)=n2-5n,
令f'(n)=0,得n=或n=0,
由n∈N+,得当n=3时,nS n取最小值×27-×9=-9.故选D.
13.16设{a n}的公差为d,由a12=a5>0,得a1=-d,a12<a5,即d<0,
所以a n=d,从而可知当1≤n≤16时,a n>0;
当n≥17时,a n<0.从而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0, 故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15<S16,S16>S17>S18>….
因为a15=-d>0,a18=d<0,所以a15+a18=-d+d=d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,故S n中S16最大.故答案为16.
14.解 (1)∵数列{a n}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.
又公差d>0,∴a3<a4,
∴a3=9,a4=13,
∴
∴通项公式a n=4n-3.
(2)由(1)知a1=1,d=4,
∴S n=na1+d=2n2-n=2.
∴当n=1时,S n最小,最小值为S1=a1=1.
(3)由(2)知S n=2n2-n,
∴b n=,
∴b1=,b2=,b3=.
∵数列{b n}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,即×2=,∴2c2+c=0,
∴c=-(c=0舍去),故c=-.
15.D由题意,知a1+a2+a14+a19=2(a8+a10)=4a9,
同理b1+b3+b17+b19=4b10,
又∵,且S n和T n都是关于n的二次函数, ∴设S n=kn×3n=3kn2,设T n=kn×(2n+1),
a9=S9-S8=3k×17,b10=T10-T9=39k,
∴.。