点到直线的距离教学设计

课题:点到直线的距离 教学目标:
1、知识与技能：
（1）熟记点到直线的距离公式，了解公式的推导过程； （2）理解两平行线之间距离公式的推导方法，会求两平行线之间的距离；
（3）能灵活应用点到直线的距离公式来解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法：
本节课主要通过讲练结合以练为主的方法进行教学。

3、情感态度与价值观：
通过引导学生了解点到直线的距离公式的求解步骤和推导两平行线之间的距离公式，渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想，培养学生形成严谨的科学态度。

教学重难点：
重点：点到直线的距离公式及应用。

难点：灵活应用点到直线的距离公式解决实际问题。

课时安排：
1课时
教学过程
知识回顾：
1、 两点),(111y x p ，),(222y x p 间的距离公式是什么？
2
2122121)()(y y x x P P -+-=
2、已知两点的坐标，如何求过这两点的直线方程？
先根据已知两点的坐标，求出过这两点的直线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程。

3、直线的一般式方程的形式？
0=++C By Ax （其中A 、B 不全为零）
导入新课：
在平面直角坐标系中，如何求出一个已知点),(00y x P 到一条已知直线0:=++C By Ax l （其中A 、B 不全为零）的距离呢？这就是我们本节课要探究的内容。

新知探究1:
我们知道求点P 到直线l 的距离，先要过点P 作直线l 的垂线PH ，垂足为H ，再求出垂线段PH 的长度，这就是点P 到直线l 的距离。

所以在平面直角坐标系中求点),(00y x P 到直线
0:=++C By Ax l （其中
A 、B
第一步：确定直线l
的斜率k = -B
A
第二步：求与l 垂直的直线l '的斜率k ='第三步：运用点斜式求过点P 垂直于l 直线l '的方程
第四步：联立两直线方程，求l 与l '第五步：用两点间距离公式求点P 与点H 的距离
第六步：得到点P 到l 的距离PH d =
有兴趣的同学，下去以后可以按照上面步骤自己求一下。

用上述方法，我们就可以得到
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l （其中A 、B 不全为零）的距离公式为：
2
2
00B
A C
By Ax d +++=
（Ⅰ）
注意：
（1）、在用公式（Ⅰ）时，直线的方程为一般式方程。

（2）、公式（Ⅰ）中的A 、B 、C 分别为直线方程的一般式中的x 的系数，y 的系数和常数项。

（3）、公式（Ⅰ）中的0x ，0y 是已知点P 的横坐标和纵坐标。

巩固新知：
例1、求点P(2，-3)到直线2
1
+-=x y 的距离。

分析：求点到直线的距离时：（1）先检查直线的方程是否为一般式方程；若不是，则应先把直线的方程化为一般式；（2）确定直线的一般式方程中的A 、B 和C 的值；（3）确定0x ，0y 的值；（4）利用点到直线的距离公式（Ⅰ）进行计算。

解：将直线2
1+-=x y 化为一般式方程为：0122=-+y x 由公式（Ⅰ）得4
232
21
)3(2222
2
=
+--⨯+⨯=
d
下面我们来看另外一个问题：
例2、试求两条平行直线1l :043=+y x 与2l :0143=-+y x 之间的距离。

分析：由平面几何的知识知道，两条平行线间的距离，是其中一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离。

为运算方便，尽量选择坐标的数值比较简单的点。

解:点O(0,0)是直线043=+y x 上的点,点O 到直线0143=-+y x 的距离为：5
1
431-2
2=+=
d ， 所以这两条平行线之间的距离为5
1。

新知探究2:
求两条平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 之间的距离？ 解：设点),(00y x P 为直线1l 上的任意一点，则0100=++C By Ax ，所以B
C Ax y 1
00--=
,则),
(1
00B
C Ax x P --，由公式（Ⅰ）得点P 到直线
2l 的距离为：
2
2
122
2
2
1002
2
2
1
00B
A C C B
A C C Ax Ax B
A C
B
C Ax B Ax d +-=
++--=
++--⨯
+=
即两条平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 之间的距离为:
2
2
12B
A C C d +-=
(Ⅱ)
注意：（1）、在用公式(Ⅱ)时，首先必须把两条直线方程均化为一般式方程，且x 和y 的对应系数必须相同。

（2）、公式(Ⅱ)中的A 、B 分别为两平行直线方程的一般式中的
x 的系数和y 的系数，21C C 和分别为两平行直线方程的一般式中
的常数项。

（3）d 表示两条平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 之间的距离。

对于例2，我们也可利用两平行线之间的距离公式进行计算。

解：由公式（Ⅱ）得，两条平行直线043=+y x 与0143=-+y x 之间的距离为：5
1
430-1-2
2=
+=d 拓展提升：
例3、设ABC ∆的顶点坐标为点A(6，3)、B(0，-1)、C(-1，1),求
ABC
∆的面积S 。

分析：如右图所示,我们知 道，三角形的面积是
高底⨯=∆2
1
S ，所以首先
求出任意一条边的边长及
直线的方程,然后根据点到直线的距离公式求出这条边上高,再利用面积公式进行计算。

解：由点A(6，3)、B(0，-1)可得132)31()60(22=--+-=AB
，
直线AB 的斜率为3
26031=---=k , 则直线AB 的方程为
)0(3
2
)1(-=--x y ，即0332=--y x
又AB 边上的高为点C 到直线AB 的距离
13
8323
13)1(22
2=+-⨯--⨯=
d 故ABC ∆的面积为
813
813221=⨯⨯=
S
知能训练：
1、根据下列条件求点P 到直线l 的距离： （1）P(1,0)，直线0134-=-+y x （2）P(-2,1)，直线032=-y x （3）P(2，-3)，直线2
321-=x y
2、求两条平行直线02=+y x ，0742=-+y x 的距离。

3、设点P 为y 轴上一点，并且点P 到直线0643=+-y x 的距离为6，求点P 的坐标。

4、已知ABC ∆的三个顶点分别为A(0,1)、B(3,0)、C(5,2)，求
ABC
∆的面积。

课堂小结：本节课学习了
（1）点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l （其中A 、B 不全为零）的距离公式是：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
（2）两条两平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 之间的距离为: 2
2
12B
A C C d +-=
作业： 1、求下列点到直线的距离：
（1）点A(0,0)，0423=+-y x （2）点B(-1,2)，33-=x y （3）点C(2,-3)，x=y
2、求两条平行直线0123=--y x ，0623=+-y x 的距离。