专题一 集合论初步与简单函数论

专题一 集合论初步与简单函数论

学习要求：

1.了解和集合有关的基本概念，掌握元素和集合的关系，集合和集合之间的关系，掌握集合的基本性质。

2.可以熟练进行集合的交并补运算，能够用Venn 图表示集合的交并补运算，并能够利用Venn 图解决一些简单的问题或者证明一些简单的结论。

3.知道集合的元素个数和其子集、真子集、非空真子集的个数之间的关系。

4.了解函数的基本性质：单调性、周期性、有界性、（凹凸性）、奇偶性、对称性，能够用定义证明某个函数具有上述性质。

5.能够利用函数的单调性求解函数的最值，会求含参数的最值问题。

6.能够通过函数的基本性质绘制函数的大致图象，能够利用数形结合的思想解决问题。

7.掌握常见的基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质，知道反函数的概念，能够利用指数函数和对数函数的关系推测一般的原函数和反函数的关系，进而猜测反三角函数的性质。

8.会求通过常见的基本初等函数的组合构成的简单初等函数的定义域、值域。

9.可以通过函数的基本知识解决抽象函数问题。

10.能够解决基于上述知识点的新材料题或新定义题。

11.知道多项式函数n n x a x a a x P +++= 10)(的基本性质，掌握多项式除法，知道多项式除法定理。

参考资料：

1.《高中数学知识点学习材料》 3-16页,35-38页

2.《数学 必修1》.人民教育出版社

3.《数学 必修4》.人民教育出版社

4..Mathematics Higher Level(core) (3rd).Fabio Cirrito,Nigel Buckle,Iain Dunbar.2007:17-32, 67-94,115-147

课堂训练：

1.已知全集,U R =且{}{}

2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于 A.[1,4)- B (2,3) C (2,3] D (1,4)-

2.已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤集合{}

2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于 （A ）{}1,2,3 （B ）{}2,3 （C ）{}1,2 （D ）{}2

3.已知{}

2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A = ，则m 的取值范围是______

4.设{}2|40A x x x =+=，{}

22|2(1)10B x x a x a =+++-=且A B B = ，求实数a 的

值.

5.设()))(4,(),4,4(),0,4(,0,0R t t D t C B A ∈+．记)(t N 为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数)(t N 的值域为( ）

A.{9，10，11}

B.{9，10，12}

C.{9，11，12}

D.{10，11，12}

6.我们称集合A 的所有子集组成的集合为A 的幂集，记作P

A ,去除空集和集合A 本身的幂集称作奇异幂集,记作*P A 。已知集合M={1，3}，N={x|0＜x ＜3，x ∈Z }，又Q=M ∪N ，那么集合Q 的奇异幂集的阶（集合中元素的个数）||*P Q 为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

7.若函数))((R x x f ∈是奇函数，函数))((R x x g ∈是偶函数，则一定成立的是( ) A.函数))((x g f 是奇函数

B.函数))((x f g 是奇函数

C.

函数))((x f f 是奇函数

D.函数))((x g g 是奇函数 8.函数的图象是

A.

B. C. D.

9.A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

10.定义某种运算=⎩⎨⎧<+≥+b a a b b a b a ),1(),1(，则式子 的值为（ ） A ．13 B ．11 C ．8 D ．4

11在(),0-∞上是增函数，则()1f a +与()2f b +的 大小关系是（ ）

A ．()()12f a f b +=+

B ．()()12f a f b +>+

C ．()()12f a f b +<+

D ．不能确定

12．设)(x g 为R 上不恒等于0的奇函数，

（a ＞0且a ≠1）为

偶函数，则常数b 的值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．

D ．与a 有关的值 13.已知函数．

（1）求函数

的定义域； （2）若函数

在上单调递增，求的取值范围．

14.设函数2(),f x ax bx c =++满足且322a c b >>．

（1）求证0a >，并求 （2）证明函数()f x 在()0,2内至少有一个零点；

（3）设12,x x 是函数()f x 的两个零点，求

15.If 416=x and 6255=+y x ,then y is equal to ( )

16.If the parameter is eliminated from the equations 12+=t x and t y 2=,then the relation between x and y is ( )

17.Let )(x f be a polynomial function: +=5)(x x f .If f (1)=0 and f (2)=0,then f (x ) can be divided by

A.x-3

B.x 2-2

C.x 2+2

D.x 2+3x+2

E.x 2-3x+2

考点探究：请在上述17道题旁边标注每道题的考点以及难度标度（即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），如果有做错的题，请誊抄在练习本上，同时记录错误解法和正确解法，然后标明考点，易错点，写下自己的做题反思，如果有进一步思考，也请写出。

命题实践：请根据上面所分析的考点，结合命题思路，自己命题，要求参考母题为：6,9,10,14 命题要求：

1.不拘泥于所给的题目形式，结合经验，发挥想象，考点为主，形式为辅。

2.为了减轻压力，选择题不必强求给出选项，但尽量保证题目有解。

3.题目应当尽可能的考查较多的知识点，鼓励学科内交叉甚至学科间交叉出题。

4.题目应当标注难度标度。

课后练习：

1.定义集合A 的阶|A |表示集合A 中元素的个数，利用V enn 图我们可以很容易证明如下所示的二阶的容斥原理表达式：