2019秋九年级数学上册第四章图形的相似 7 相似三角形的性质同步练习(新版)新人教版

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北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步练习(含解析)

4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A．B．C．D．2．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15，则面积之和是（）A．39B．75C．76D．404．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．3：4B．4：3C．：2D．2：5．如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．6．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB＝4，AD＝5，若△ABD与△BCD相似，则BC的长（）A．或B．或C．D．7．如图，下面方格纸中小正方形边长均相等．△ABC和△DEP的各顶点均为格点（小正方形的顶点），若△ABC∽△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为（）A．P1 B．P2 C．P3D．P48．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（）A．9：16B．3：4C．9：4D．3：210．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OP A与△OAB相似，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD ＝．12．顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．13．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．14．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，则对应边＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P 在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．如图，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠ACB的度数；（2）求CD的长．参考答案1．解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：3．故选：C．2．解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故选：C．3．解：∵这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为15cm2，∴9x﹣4x＝15，解得：x＝3，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝39．故选：A．4．解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．解：∵△ABC∽△ADE，∴．故选：D．6．解：由勾股定理得，BD＝＝＝3，当△ABD∽△BCD时，＝，即＝，解得，BC＝，当△ABD∽△DCB时，＝，即＝，解得，BC＝，故选：A．7．解：如图，连接EP4．∵AB＝2，BC＝1，DE＝2，P4D＝4，∴＝＝，∵∠ABC＝∠D＝90°，∴△ABC∽△P4DE（不全等），故选：D．8．解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．9．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE：EC＝3：1，∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．故选：B．10．解：由点D的画法可知AD平分∠OAB．∵△OP A∽△OAB，∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，∴AP＝2OP．在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，∴OA＝＝OP，∴OP＝，∴点P的坐标为（，0）．故选：C．11．解：∵△ABC∽△ACD，∴＝，∵AB＝9，AC＝6，∴＝，解得：AD＝4．故答案为：4．12．解：因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故答案为：1：2．13．解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：9．故答案为：1：9．14．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝6，S△DEF＝3，∴其对应边＝＝．故答案为：．15．解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，此时P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，此时P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴＝，∵点A（8，0）和点B（0，6），∴AB＝＝10，∵点C是AB的中点，∴AC＝5，∴＝，∴AP＝，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，此时P点坐标为（，0），综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）16．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∠D＝117°，∴∠BAC＝∠D＝117°．∵∠B＝36°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣36°﹣117°＝27°．（2）∵△ABC∽△DAC，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∴＝，即＝，解得CD＝．。

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步练习(含答案)

4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）A．36°B．117°C．143°D．153°4．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A．16：81 B．4：9 C．9：4 D．2：35．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（）A．5 B．C．5或D．66．两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为（）A．10和14 B．9和15 C．8和16 D．11和137．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，6cm，另一个三角形的最短边长为4cm，则它的最长边长为（）A．B．8cm C．D．12cm8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（）A．2 B．C．3或D．3或9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8二．填空题11．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是．12．△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为．13．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为．14．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝．15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC 的面积为．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC （点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是△ABC的子三角形．（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°，若BE＝，求CF和AD的长．参考答案1．A2．A3．D4．D5．B6．B7．B8．D9．A10．B11．16或112．1：213．2414．15．1016．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE，∴△DAF≌△EBD≌△FCE，∴DE＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝∠B＝∠A＝60°，∴△DEF∽△ABC．∴△DEF是△ABC的子三角形．（2）如图2中，作EH⊥AB于H．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵△DEF是△ABC的子三角形，∴△DEF∽△ABC，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF+∠EDH＝90°，∴∠EDH＝∠AFD，∵∠DHE＝∠A＝90°，∴△DEH≌△DF A，∴AD＝HE，∵△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝×＝1，∴AD＝1，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∵∠B＝∠DEF＝45°，∴△BDE∽△CEF，∴＝＝，∴CF＝2．。

北师大版九年级数学上册第四章相似三角形的性质与判定同步测试题(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章相似三角形的性质与判定同步测试题一、选择题1．如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，交DC 延长线于点E ，则AE EF的值为(B) A.53 B.52 C.32 D ．22．如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F.若BF ＝10，则AB 的长为(C)A ．12B ．10C ．8D ．53．如图所示，在矩形ABCD 中，点F 是BC 的中点，DF 的延长线与AB 的延长线相交于点E ，DE 与AC 相交于点O ，若S △COD ＝2，则S △AOE ＝(C)A ．4B ．6C ．8D ．104.如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE ＝3ED ，DF＝CF ，则AG GF的值是(C)A.43B.54C.65D.765.如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DC AB等于(B)A.23B.14C.13D.356.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是(B)A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶257．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为(B)A ．(1，52) B ．(43，83) C ．(5，25) D ．(3，23) 二、填空题8．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，E 是边BC 延长线上一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中的相似三角形共有4对．。

2019-2020学北师大九年级数学上册4.7：相似三角形的性质同步练习 ( 无答案)

北师大九上《4.7 相似三角形的性质》同步练习一．选择题（共15 小题）1．两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm，则这两个多边形的相似比可能是（）3 5 A．B．4 61 3 C．D．2 22．（体验探究题）下列说法错误的个数有（）①边长不等的等边三角形相似；②长方形和正方形不一定相似；③所有的四边形都是相似的；④正方形和菱形不一定相似．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．若五边形ABCDE 与五边形A1B1C1D1E1 相似，且相似比为k1＝5，则五边形A1B1C1D1E1 与五边形ABCDE 的相似比k2 为（）1A．2 B．5C．1.2 D．14．将一张报纸对折后，如果对折后的半张报纸和整张报纸相似，则整张报纸的长和宽的比是（）A．4：1 B．1.5：1 C．2：15．经过矩形一组对边中点的直线把矩形分成相同的两个矩形，这两个矩形与原矩形的关系（）A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．以上说法都不对6．如图，DE∥BC，AD：DB＝2：1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为（）1 2 A．B．2 31C．D．2 47．两相似三角形对应高长的比为3：4，则对应中线长的比为（）A．3：4 B．9：16 C．√3：2 D．4：38．把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5 倍，则边长扩大（）；若边长扩大 5 倍，则面积扩大（） A ．5 倍，10 倍B ．10 倍，25 倍C ．√5倍，25 倍D ．25 倍，25倍9．两个相似三角形的相似比为 9：5，则它们的面积比为（） A ．9：5B ．81：25C ．3：√5D ．不能确定10．如图，△OED ∽△OCB ，且 OE ＝6，EC ＝21，则△OCB 与△OED 的相似比是（）3 5 A ．B ．7 2 8 3C ．D ．55 11．两个相似多边形一组对应边分别为 3cm ，4.5cm ，那么它们的相似比为（） 2 3 A ．B ．4 9 C ．D ．329412．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，D 是 AC 的中点，过点 D 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（）A ．1 种B ．2 种C ．3 种D ．4 种13．如图，在△ABC 中，已知 EF ∥BC ，1 = ，四边形 BCFE 的面积为 8，则△ABC 的2面积等于（）A ．9B ．10C ．12D ．1314．如图，在△ABC 中，点 D ，E 分别在 AB 和 AC 上，DE ∥BC ，M 为 BC 边上一点（不与点 B ，C 重合），连接 AM 交 DE 于点 N ，则（）A．= B．= C．= D．=15．如图，△ABC 与△AEF 中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB 交EF 于D．给出下列结论：①∠C＝∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE＝∠AFC；④FD＝FB．其中正确的结论是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二．填空题（共10 小题）16．任意两个菱形都相似．．（判断对错）17．、的两个多边形叫做相似多边形．18．两个正方形一定相似．．（判断对错）19．两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．20．已知△ABC∽△A′B′C′，且它们的周长比为1：2，它们的面积比为．21．两个相似五边形，一组对应边的长分别为1cm 和2cm，如果它们的面积之和是50cm2，则较大的五边形面积是cm2．22．已知△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的最长边为4cm，△ABC 的最长边为7cm，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为．23．如图，△ABC 与△ADB 中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．24．如图，△ABC 的面积为 36cm 2，边 BC ＝12cm ，矩形 DEFG 的顶点 D 、G 分别在 AB 、 AC 上，E ，F 在 BC 上，若 EF ＝2DE ，则 DG ＝cm ．25．如图，在▱ABCD 中，E 为 BC 边上一点，AC 与 DE 交于点 F ，若 S ▱ABCD ＝30，CE ＝2EB ，则 S △EFC ＝．三．解答题（共 7 小题）26．已知两个三角形相似，请完成下列表格27．如图，四边形 ABCD ∽四边形 EFGH ，连接对角线 AC ，EG ．求证：=．28．如图，四边形 ABCD 是菱形，AF ⊥BC 交 BD 于 E ，交 BC 于 F ．求证：29．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠AED ，AB ＝5，AD ＝3，CE ＝6，求证：（1）△ADE∽△ACB；（2）求AE 的长．30．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为AC 上的一点，DE⊥AB 于点E，AC＝4，BC ＝3．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）当DE＝DC 时，求AD 的长．31．如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝12，点E 在AD 边上，且AE＝8，EF⊥BE 交CD 于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF 的长．32．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N 分别是BD，CE 的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：△CAE≌△BAD；（2）求证：△AMN∽△ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN 的长．。

北师大版(2019)九年级数学上册第四章图形的相似同步检测试卷

北师大版（2019）九年级数学上册第四章图形的相似同步检测试卷4.1 成比例线段（1）一、选择题.1.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=2，b=3，c=2，d=3B.a=10，b=5，c=4，d=6C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=1 2.已知2x=3y ，则下列比例式成立的是（）A.32y x = B. 32=y x C.23yx = D.y x 32= 二、填空题.3.已知P 是直线AB 上的一点，且AP ：PB ＝3：5，则AB ：PB ＝ .4.已知DCBDEA BF =，且BD=3,DC=6,EA=4,则BF ＝ . 5.已知三个数1，2，3，请你添加一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是 . 三、解答题：6.在某市城区地图（比例尺1：9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 和10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？7.已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，c ＝9 cm ，求线段d 的长.4.1 成比例线段（2）一、选择题.1．已知2x ＝3 y ＝4z ，则x ：y ：z 是 ( )A ．2：3：4B ．4：3：2C ．7：6：5D ．6：4：3 2．已知k cba b c a a c b =+=+=+，则k 的值是 ( ) A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．无法确定二、填空题.3. 已知32=b a ，则b ba += .4. 若753zy x ==,则32x y z x y -++= .5. 若2===f ed c b a ，且23a b c ++=4,则23b d f ++= . 6.若235c b a＝＝，且8＝＋－c b a ，则a ＝ .三、解答题：7.（1）已知2=b a ，求a ab +；（2）已知25=b a ，求ba b a +-.8.已知151110ac c b b a +=+=+，求a :b :c .4.2平行线分线段成比例一、选择题.1. 如图1，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH=13AD ，AC 和BH 交于点K ，则 AK:KC 等于（） A. 1:2B. 1:1C. 1:3D. 2:32.如图2，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，DE//BC,下列结论中，正确的是（） A. AD AC AE AB ⋅=⋅ B. AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅二、填空题.3.如图3，△ABC 中， DE ∥BC ，23AD AE =,AB=6，则AC= 4 . 4.如图4，1l ∥2l ∥3l ，AM ＝2，MB ＝3，CD ＝4.5，则ND ＝，CN ＝ .三、解答题：图4A H DKB CAB CD E图1 图3图2图56.如图5，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD ＝ AD·FD4.3相似多边形一、选择题.1.下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（）A.两个等边三角形B.有一个角是45°的两个等腰三角形C. 有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个对角线相等的菱形2.下列各组图形中相似的图形是（）A.对应边成比例的多边形B.四个角都对应相等的两个梯形C.有一个角相等的两个菱形D.各边对应成比例的两个平行四边形二、填空题.3.六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，∠B=1020，则∠B1＝.4.将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见．如，我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值．这个比值是．三、解答题：5.以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，求新正方形与原正方形的相似比.6.已知矩形草坪长30 m，宽20 m，沿草坪四周外围有5m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？4.4探索三角形相似的条件（1）一、选择题.1.如图，D、E、F、G四点在△ABC的三边上，其中DG与EF相交于点H．若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝50°，则下列三角形相似的有( )对A．2 B．4 C．5 D．62.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形对数为 ( )A．1 B． 2 C．3 D．43.下列说法：①有一个角为50°的两个等腰三角形相似；②有一个角为100°的两个等腰三角形相似；③有一边对应相等的两个直角三角形相似；④两个等边三角形相似．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题.4.如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC＝∠ACB，则△____∽△_______，若AC＝4，AD＝2，则DB＝_______．.三、解答题：5.如图在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB于D.（1）请直接写出图中所有的相似三角形（2）你能得出AC2=AD·AB吗？为什么?6.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE 的长．4.4探索三角形相似的条件（2）一、选择题.1．如图,在△ABC 中，点D 在边AC 上，下列条件中，能判断△BDC 与△ABC 相似的是 ( ) A ．AB ·CB=CA ·CD B ．AB ·CD=BD ·BC C ．BC 2=AC ·DC D ．BD 2=CD ·DA2．△ABC 如图所示，则下列各个三角形中，与△ABC 相似的是 ( )3．如图，下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是 ( ) A ．BC DE AC AE = B.∠B=∠ADE C. ∠EDC=∠A+ ∠C D. ABACAD AE =二、填空题.4．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若BC=4 cm ，则DE= cm ．三、解答题：5．如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC =3 cm ．(1)在A B 上取一点D （D 不与A 、B 重合），当AD=_________cm 时，△ACD ∽△ABC ． (2)在AC 的延长线上取一点E ，当CE=________cm 时，△AEB ∽△ABC ．此时BE 与DC 有怎样的位置关系?为什么?6．已知：如图，AE 2=AD ·AB ，且∠ABE=∠ACB ．证明：（1）△ADE ∽△AEB ；（2）DE ∥BC ；（3）△BCE ∽△EBD ．4.4探索三角形相似的条件（3）一、选择题.1.下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是 ( )2.已知△ABC 的三边长分别为1、3、2，△A′B′C′的两边长分别为2和6．DBEAC如果△ABC ∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为 ( )A ．2B ．22 C ．26D ．23．下列说法中，不正确的是 ( ) A.两角对应相等的两个三角形相似 B.两边对应成比例的两个三角形相似C.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似D.三边对应成比例的两个三角形相似二、填空题.4.在△ABC 中，AB=4，BC=5，AC=6．如果DE=8．那么当EF= ，DF= 时，△ABC ∽△DEF ．5.在△ABC 中，AB=6，AC=8，在△DEF 中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF 相似，需添加的一个条件是(写出一种情况即可)．三、解答题：6.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上．请在图中画一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC (相似比不为1)，且点A 1、B 1、C 1都在单位正方形的顶点上．4.4探索三角形相似的条件（4）一、选择题.1.如右图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）A. ①和②B. ②和③C. ①和③D. ②和④二、填空题.2.一支铅笔长16 cm ，把它按黄金分割后，较长部分涂上橘红色，较短部分涂上浅蓝色，那么橘红色部分的长是 cm ，浅蓝色部分的长是 cm.三、解答题：3.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若AB ＝6cm ，求AC 的长度和AB AC的值.4.如图，在下列每个图形中（每个图形都各自独立），是否存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．*4.5相似三角形判定定理的证明（选学）解答题： 1.如图，BCAEAB DE AC AD ＝＝. 求证：AB=AE .2.如图，在△ABC 中（∠B ≠∠C ），AB =8cm ，BC =16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由.3.如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm /s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．C D4.6利用相似三角形测高一、选择题.1.小刚身高1.8m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.9m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.2m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A ．0.5mB ．0.7mC ．0.6mD ．2.2m2.如图1，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC 、 BC 分别取其三等分点M 、N.量得MN ＝38m ．则AB 的长是（）A ．152mB ．114mC ．76mD ．104m 二、填空题.3.高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长8 m ，此时测得附近一个建筑物的影长24 m ，则该建筑物的高是 m.4.旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近的小树影子长3米，那么小树高是米. 三、解答题：5. 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若AC=1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房MN 的高度. （精确到0.1m ）．图16.阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子。

2019-2020学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质同步练习A卷

2019-2020学年数学北师大版九年级上册4.7 相似三角形的性质同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共5题；共10分)1. （2分）如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A . 4：9B . 2：3C . 16：81D . 9：42. （2分）若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A . 1：2B . 1：4C . 1：8D . 1：163. （2分）数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（）m．A . 3.04B . 4.45C . 4.75D . 3.84. （2分）如图，，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（）A .B .C .D .5. （2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若=，则S△ABC=9S△BDF ，其中正确的结论序号是（）A . ①②B . ③④C . ①②③D . ①②③④二、填空题： (共5题；共5分)6. （1分）△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为________．7. （1分）将直角三角形的三条边都同时扩大m倍（m为正整数），得到的新三角形为________ 三角形．8. （1分）（2015•曲靖）若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC= ________ ．9. （1分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________。

2019秋九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质同步练习(新版)新人教版

4.7 相似三角形的性质1．若△ABC ∽△A`B`C`，则相似比k 等于（）A ．A`B`:AB B ．∠A: ∠A`C ．S △ABC ：S △A`B`C`D ．△ABC 周长：△A`B`C`周长2．把一个三角形改成和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的（）A ．10000倍B ．10倍C ．100倍D ．1000倍3．两个相似三角形，其周长之比为3：2，则其面积比为（）A ．2:3B ．3：2C ．9：4D ．不能确定4．把一个五边形改成和它相似的五边形，如果面积扩大到原来的49倍，那么对应的对角线扩大到原来的（）A ．49倍B ．7倍C ．50倍D ．8倍5．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积和为78cm 2，那么较大多边形的面积为（）A ．46.8 cm 2B ．42 cm 2C ．52 cm 2D ．54 cm 26．两个多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则m5为（） A ．1 B ．55 C ．5 D ．5 7．在一张1：10000的地图上，一块多边形地区的面积为6cm 2，则这块多边形地区的实际面积为（）A ．6m 2B ．60000m 2C ．600m 2D ．6000m 28．已知△ABC ∽△A`B`C`，且BC ：B`C`＝3：2，△ABC 的周长为24，则△A`B`C`的周长为_______.9．两个相似三角形面积之比为2：7，较大三角形一边上的高为2，则较小三角形的对应边上的高为_______.10．两个相似多边形最长的的边分为10cm 和25cm ，它们的周长之差为60cm ，则这两个多边形的周长分别为_______.11．四边形ABCD ∽四边形A`B`C`D`，他们的面积之比为36：25，他们的相似比_____,若四边形A`B`C`D`的周长为15cm ，则四边形ABCD 的周长为________.12．如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝2，S 矩形ABCD ＝3S 矩形ECDF 。

九年级数学上册第4章图形的相似7相似三角形的性质习题课件

第四章图形的相似
4.7 相似三角形的相似比；相似比 2C 3A 4B 5 相似比；相似比的平方
6B 7A 8B 9C 10 B
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11 D 12 B 13 见习题 14 见习题 15 见习题
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1．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于__相__似__比__，即相似三角形对应线段的比等于 ____相__似__比____．
*12.(中考·通辽)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，DE
平分∠ADC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，∠BCD＝60°，AD
＝12AB，连接 OE.下列结论：①S▱ABCD＝AD·BD；②DB 平分 ∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE.其中正确的个数有
学习延伸
一、与同学们讨论下各自的学习心得二、老师们指点下本课时的重要内容
课后延伸
给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。
学习延伸
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠CDB＝∠BDE. ∴DB 平分∠CDE.故②正确．在 Rt△AOD 中，AO＞AD，∴AO＞DE.故③错误．易知 OE 为△ABD 的中位线，∴OE∥AD，OE＝12AD. ∴△OEF∽△ADF.∴S△ADF＝4S△OEF，AF＝2OF. ∴S△AEF＝2S△OEF.∴S△ADE＝6S△OFE.故④错误．故选 B. 【答案】B
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【点拨】由题易知∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°. ∵DE 平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED. ∴△ADE 是等边三角形．∴AD＝AE＝12AB. ∴E 是 AB 的中点．∴DE＝AE＝BE. ∴∠BDE＝∠DBE＝12∠AED＝30°. ∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BD. ∴S▱ABCD＝AD·BD.故①正确．

北师大版九年级数学上册第四章图形的相似第7节相似三角形的性质课后练习

第四章图形的相似第7节相似三角形的性质课后练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．如图，在ABC中，2//,3AEEF BCEB，四边形BCFE的面积为21，则ABC的面积是（）A．913B．25C．35D．632．如图,ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则:EF FC等于()A．11:B．12:C．13:D．23:3．若两个三角形的相似比为1:3，则周长比为（）A．1:3B．3:1C．3:3D．:334．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()A．1：2：4B．1：4：16C．1：3：12D．1：3：75．如图，在∥ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则∥CMN 与∥CAB 的面积之比是( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:96．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若DE ：EC=2：3，则DEF S △：ABF S =△（）A ．4：9B ．4：25C ．9：4D ．3：27．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（）A ．30B ．25C ．22．5D ．208．如右图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，如果AD∥BC ，BC=3，AD=2，EF ：EH=2：3，那么EH 的长为（）A ．12B ．32C ．1213D ．29．在小孔成像问题中，如图所示，若为O 到AB 的距离是18 cm ，O 到CD 的距离是6 cm ，则像CD 的长是物体AB 长的（）A．13B ．12 C ．2倍 D ．3倍10．如图，点E 是ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则ABCD 的周长为（）A ．21B ．28C ．34D ．42评卷人得分二、填空题 11．如图，ABC 中，D ，E 两点分别在边,AB BC 上，若::3:4AD DB CE EB ==，记DBE 的面积为1S ，ADC 的面积为2S ，则12:S S =_________．12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是线段AD 的中点，连接AC ，BE ，交于点O ，若AOE S =1，则BOC S =____________．13．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A 处前进3米到达B 处时，测得影子BC 长的1米，已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D 处，此时影子DE 长为____米．14．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B 处向前走了8米到达点C 处时，发现自己在地面上的影子CE 长是2米，则路灯的高AB 为_____米．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=2：3，则AF ：AC=______.16．若∥ABC ∥∥A ′B ′C ′，相似比为1：3，则∥ABC 与∥A ′B ′C ′的面积之比为_____． 17．如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE 的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．18．如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 上一点，E F 、分别为PA PD 、上的点，且3,3,PA PE PD PF ==,,PEF PDC PAB 的面积分别记为12,S S S 、．若2,S =则12S S +=____．19．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________评卷人得分三、解答题20．如图，在ABC中，10AB=．现将ABC向右平移得到DEF，使得BE CF CE==，（1）求GE的长；（2）若四边形ABEG的面积是24，求ABC∆和DEF∆重叠部分的面积是多少？21．已知ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：AOE COF △≌△；（2）若:12AE AD =：，AOE △的面积为2，求ABCD 的面积．22．如图，矩形ABCD 中，点E为AD 边上一点，过点E 作CE 的垂线交AB 于点F .（1）求证：CDE EAF ∆∆∽；（2）若 1.5,0.5,3AF BF AE ===，求DE 的长.23．西安市的大雁塔又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，玄奘为保存由天竺经丝绸之路带回长安的经卷主持修建了大雁塔，最初五层，后加盖至九层，是西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，大雁塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得EC =4米，将标杆CD 向后平移到点G 处，这时地面上的点F ，标杆的顶端点H ，大雁塔的塔尖点B 正好在同一直线上(点F ，点G ，点E ，点C 与塔底处的点A 在同一直线上)，这时测得FG =6米，GC =53米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB ．24．如图，在△ABC中，∥C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm.动点P在线段AC上以5 cm/s的速度从点A运动到点C．过点P作PD∥AB于点D，以PD为一边向右作矩形PDEF，并且使DE＝AD．设点P的运动时间为t s，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形周长为y cm．(1)当点F落在边BC上时，求t的值；(2)求y与t之间的函数关系式；(3)当矩形PDEF的面积被线段BC平分时，t＝______．25．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF．（2）若BE＝4，EC＝6，△DGF的面积为8，求▱ABCD的面积．参考答案：1．B【解析】【分析】在ABC 中，//EF BC ，即可判断AEF ABC ∽，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．【详解】解：∥//EF BC∥AEF B AFE C ∠=∠∠=∠，∥AEF ABC ∽∥23AE EB = ∥25AE AB = ∥255242AEBABC S S⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∥421AEBBCFE S S =四边形 ∥21BCFE S =四边形∥AEB S=4 ∥=25ABC S故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．2．B【解析】【分析】如图，证明AD∥BC ，AD=BC ；得到△DEF∥∥BCF ，进而得到EF DE FC BC=；证明BC=AD=2DE ，即可解决问题．【详解】四边形ABCD 为平行四边形，//,AD BC AD BC ∴=；DEF BCF ∴∆∆∽，EF DE FC BC∴=；点E 是边AD 的中点，2BC AD DE ∴==，12EF FC ∴=．故选B ．【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质是关键．3．A【解析】【分析】利用两个三角形相似周长比和相似比的关系直接作答即可．【详解】解：如果两个三角形相似，那么它们的周长比等于相似比，∥相似比为1:3∥周长之比为：1:3；故选：A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．4．C【解析】【分析】由于DE∥FG∥BC ，那么∥ADE ∥AFG ABC ，根据AD ：AF ：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出∥ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积比.【详解】24DE FG BCADE ∴∥∥△△AFG △ABC AD:AF:AB=1：：1:4:16A A B D FG C E A S S S ∴=△△：：设∥ADE 的面积为a,则∥AFG 和∥ABC 的面积分别是4a 、16a;则DFGE FBCG S 四边形四边形和S 分别是3a 、12a;则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG = 1：3：12故选C.【点睛】本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出∥ADE ∥AFG ABC. 5．C【解析】【分析】由M 、N 分别为AC 、BC 的中点可得出MN ∥AB ，AB ＝2MN ，进而可得出△ABC ∽△MNC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】 ∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点，∴MN ∥AB ，且AB ＝2MN ，∴△ABC ∽△MNC ，∴MNCABC SS =（MN AB ）2＝14．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC ∽△MNC 是解题的关键．6．B【解析】【分析】先根据平行四边形的性质可得//,DE AB CD AB =，从而可得25DE AB =，再根据相似三角形的判定与性质可得2()ABF DEF D B S E S A =，由此即可得．【详解】四边形ABCD 是平行四边形//,DE AB CD AB ∴=:2:3DE EC =25DE CD ∴= 25DE AB ∴= //DE AB,EDF ABF DEF BAF ∴∠=∠∠=∠EDF ABF ∴~2224()()525AB D F EFDE SS AB ∴=== 故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相似三角形的判定与性质是解题关键．7．D【解析】【分析】首先判断出∥ADE∥∥ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出∥ABC 的面积．【详解】解：根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出∥ADE∥∥ABC ,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20 故本题选择D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断∥ADE∥∥ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题． 8．B【解析】【分析】设EH=3x，则EF=2x，∥AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．【详解】解：∥四边形EFGH是矩形，∥EH//BC，∥∥AEH∥∥ABC，∥AM∥EH，AD∥BC，∥AM EHAD BC=设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∥22323x x-=解得：x=12，则EH=3x=32．故答案为B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．9．A【解析】【分析】作OE∥AB于E，OF∥CD于F，根据题意得到∥AOB∥∥COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．作OE∥AB 于E ，OF∥CD 于F由题意得,AB∥CD∥∥AOB∥∥COD∥CD AB =OF OE=13 ∥像CD 的长是物体AB 长的13故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 10．C【解析】【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AB∥CF ，AB=CD ，∥∥ABE∥∥DFE ，∥12DE FD AE AB ==， ∥3,4DE DF ==，∥AE=6，AB=8，∥AD=AE+DE=6+3=9，∥ABCD 的周长为：（8+9）×2=34．故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和11．16∥21【解析】【分析】由::3:4AD DB CE EB ==、则::7:4ABDB CB EB ==结合∥B 公用可得∥ABC∥∥BDE,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方将1S 的面积用S △ABC ，然再将2S 的面积用S △ABC 表示出来，最后作比即可．【详解】解：∥::3:4AD DB CE EB ==∥::7:4AB DB CB EB ==∥∥B=∥B∥∥ABC∥∥BDE,∥2147BDEABC ABC S S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ,则：11649ABC S S =∥:7:3AB AD =∥::7:4AB DB CB EB ==∥12ABC SAB CF =⋅,12ADC S AD CF =⋅ ∥237ADCABC ABC S S AD S S AB ===,即237ABC S S = ∥12163:16:2147:9ABC ABC S S S S ==．故答案为16∥21．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形面积的问题，掌握相似三角形的面积之比为相似比的平方是解答本题的关键．12．4【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，通过证明△AEO∥∥CBO，利用相似三角形的性质可求解．【详解】解：∥四边形ABCD是平行四边形，∥AD=BC，AD∥BC，∥点E是线段AD的中点，∥AE=12AD=12BC，∥AD∥BC，∥∥AEO∥∥CBO，∥21,4 AEOCBOS AES BC⎛⎫==⎪⎝⎭∥S△BOC=4×1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是本题的关键．13．2【解析】【分析】根据题意可知，本题考查相似三角形性质，根据中心投影的特点和规律以及相似三角形性质，运用相似三角形对应边成比例进行求解．【详解】解：根据题意可知当小颖在BG处时，CBG CAP△△∥BG CBAP CA=，即1.514AP=∥AP=6当小颖在DH处时, EDH EAP△△∥DH DEAP AE=，即1.5633DEDE=++∥1.596DE DE+=∥DE=2故答案为：2【点睛】本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用，解题关键是运用相似三角形对应边相等．14．9【解析】【分析】根据CD∥AB，得出∥ECD∥∥EBA，进而得出比例式求出即可．【详解】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD//AB，则BE＝BC+CE＝10米，∥CD//AB，∥∥ECD∥∥EBA∥CDAB＝CEBE，即1.8AB＝210，解得AB＝9（米），即路灯的高AB为9米；故答案为：9．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∥ECD∥∥EBA是解决问题的关键．15．5:8【解析】【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD ，AB=CD ，由平行线得出△ABF∥∥CEF ，得出AF AB CF EC =，由已知得出CD ：EC=5：3，得出53AF AB CD CF EC EC ===，即可得出答案. 【详解】解：∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AB∥CD ，AB=CD ，∥∥ABF∥∥CEF ，∥AF AB CF EC=， ∥DE ：EC=2：3，∥CD ：EC=5：3，∥53AF AB CD CF EC EC ===， ∥58AF AC =，故答案为5:8.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．16．1：9．【解析】【详解】试题分析：∥∥ABC∥∥A′B′C′，相似比为1：3，∥∥ABC 与∥A′B′C′的面积之比为1：9．考点：相似三角形的性质．17．32 【解析】【分析】先根据三角形中位线定理得出1//,2DE BC DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质得出2()ADEABC SDE S BC=，从而可得ABC 的面积，由此即可得出答案．【详解】点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点1//,2DE BC DE BC ∴= ADEABC ∴ 21()4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABC ADE S S =△△ 又12ADE S= 1422ABC S ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE SS -=-= 故答案为：32．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．18．18【解析】【分析】证明∥PEF∥∥PAD ，再结合∥PEF 的面积为2可求出∥PAD 的面积，进而求出平行四边形ABCD 的面积，再用平行四边形ABCD 的面积减去∥PAD 的面积即可求解．【详解】解：∥3,3,PA PE PD PF ==∥3==PE PD PA PF，且∥APD=∥EPF ， ∥∥PEF∥∥PAD ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且∥PEF 的面积为2可知，22()39∆∆===PDA PFE S PD S PF， ∥2918∆=⨯=PDA S ，过P 点作平行四边形ABCD 的底AD 上的高PH ，∥1=182∆⨯=PDA S AD PH ， ∥ 36⨯=AD PH ，即平行四边形ABCD 的面积为36，∥12+=361818平行四边形∆-=-=PAD ABCD S S S S ．故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．19．100cm 2【解析】【分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∥∥ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【详解】设AF ＝x ，∥AF ：AC ＝1：3，∥AC ＝3x ，CF ＝2x ，∥四边形CDEF 为正方形，∥EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∥∥AEF ∥∥ABC ，∥EF BC ＝AF AC ＝13， ∥BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x ＝25，∥AC ＝65，BC ＝125，∥剩余部分的面积＝12×125×65﹣45×45＝100（cm 2）故答案为：100cm 2.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（1）5；（2）S △GCE =8．【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得GE∥AB ，然后根据BE=CE ，可得GE 是AB 边上的中位线，即可求出GE ；（2）先证明∥GCE∥∥ACB ，可得12EC BC =，然后可得GCE ACB S S ∆∆=14，设ABC ∆和DEF ∆重叠部分的面积为x ，即S △GCE 为x ，列出式子求解即可．【详解】解：（1）由平移的性质可得GE∥AB ，∥BE=CE ，∥E 是BC 中点，∥GE 是AB 边上的中位线，∥GE=12AB=5；（2）∥GE∥AB ，∥∥GCE∥∥ACB ，∥12EC BC =， ∥GCE ACB S S ∆∆=14，∥设ABC ∆和DEF ∆重叠部分的面积为x ，即S △GCE 为x ，∥1244x x =+，解得x=8，∥S △GCE =8．【点睛】本题考查了平移的性质，三角形中位线，相似三角形的判定和性质，得出GE 是AB 边上的中位线是解题关键．21．（1）见解析；（2）16.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC ，得出∥EAO ＝∥FCO ，由ASA 即可得出结论；（2）由于 2 : 1AE AD =：，O 为对角线AC 的中点，得出∥AEO∥∥ADC ，根据AOE △的面积为2，可得∥ADC 的面积，进而得到ABCD 的面积．【详解】解：（1）∥四边形ABCD 是平行四边形，∥AD∥BC ，∥∥EAO ＝∥FCO ，∥O 是AC 的中点，∥OA ＝OC ，在∥AOE 和∥COF 中，EAO FCO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∥∥AOE∥∥COF （ASA ）；（2）∥ AE AD ：=1：2，O 为对角线AC 的中点，∥AO:AC=1:2，∥∥EAO ＝∥DAC ，∥∥AEO∥∥ADC ，∥AOE △的面积为2，∥∥ADC 的面积为8，∥ABCD 的面积为16.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形面积比，要熟练掌握全等三角形的判定和相似三角形的判定.22．（1）证明见解析；（2）1DE =【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等推出∠=∠AFE CED ，结合90A D ∠=∠=︒即可判定相似；（2）根据条件可得CD=2，再利用相似三角形对应边成比例，建立方程即可求出DE.【详解】解：（1）⊥CE EF ，90∴∠+∠=︒CED AEF又90∠+∠=︒AEF AFEAFE CED ∴∠=∠90A D ∠=∠=︒CDE EAF ∴∆∆∽（2） 1.5,0.5==AF BF 2CD ∴=CDE EAF ∆∆∽，AF AE DE DC ∴= 1.532DE ∴= 1DE =∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型的证明方法是解题的关键.23．大雁塔的高度AB 为55米．【解析】【分析】易知∥EDC∥∥EBA ，∥FHG∥∥FBA ，可得GH FG BA FA =，DC EC BA EA=，因为DC ＝HG ，推出GF EC FA EA=，列出方程求出CA ＝106（米），由DC EC BA EA =，可得244106BA =+，由此即可解决问题．【详解】∥∥EDC ∥∥EBA ，∥FHG ∥∥FBA ，∥GH FG BA FA =，DC EC BA EA=， ∥DC =HG ，∥GF EC FA EA =， ∥64594CA CA=++， ∥CA =106(米)．∥DC EC BA EA =， ∥244106BA =+， ∥AB =55(米)，答：大雁塔的高度AB 为55米．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．(1) t ＝4041；(2)∥y ＝14t ；∥y ＝436t ＋203；∥y ＝－72t ＋20；(3) 8057．【解析】【分析】（1）如图1，由题意得出AB ＝10、AP ＝5t 、PC ＝8−5t ，利用∥APD∥∥ABC 求得AD ＝4t 、PD ＝3t ，据此知PF ＝DE ＝AD ＝4t ，由∥CPF∥∥CAB 得CP PF CA AB =，据此可得答案；（2）分0＜t≤4041，4041＜t≤54和54≤t≤85这三种情况，利用相似三角形的判定与性质求出重合部分图形的各边长度，从而得解；（3）根据（1）、（2）所求结果，表示出四边形PDEF 的面积为PD•DE ＝12t2、梯形PMBD的面积为12(PM ＋BD)·PD ＝12×[54(8－5t)＋10－4t]×3t ，，根据题意列出方程，解之可得．【详解】（1）如图1，当点F 落在BC 上时，∥AC＝8 cm，BC＝6 cm，∥C＝90°，∥AB＝10cm，由题意知，AP＝5t，∥四边形PDEF为矩形，∥∥PDA＝∥C＝90°，PF∥AB，PF＝DE，∥∥A＝∥A，∥∥APD∥∥ABC，∥APAB＝ADAC＝PDBC，即510t＝8AD＝6PD，则AD＝4t，PD＝3t，∥PC＝AC－AP＝8－5t，PF＝DE＝AD＝4t，∥PF∥AB，∥∥CPF∥∥CAB，∥CP PFCA AB=，即854810t t-=，解得t＝4041；（2）∥如图2，当0＜t≤4041时，由(1)知，PD＝EF＝3t，PF＝DE＝4t，则y＝2(3t＋4t)＝14t；∥如图3，当4041＜t≤54时，∥AP＝5t，AD＝DE＝4t，∥PC＝8－5t，BE＝10－8t，由△CPH∥∥CAB知，CP PH CHCA AB CB==，即858106t PH CH-==，解得PH＝54(8－5t)，CH＝34(8－5t)，由△BEG∥∥BCA知，BE EG BGBC CA BA==，即1086810t EG BG-==，解得EG＝43(10－8t)，BG＝53(10－8t)，则HG＝BC－CH－BG＝6－34(8－5t)－53(10－8t)＝20512t－503，∥y＝3t＋4t＋54(8－5t)＋20512t－503＋43(10－8t)＝436t＋203，∥如图4，当54≤t≤85时，∥AP＝5t，AD＝DE＝4t，PD＝3t，∥PC＝8－5t，BD＝AB－AD＝10－4t，由∥知，PM＝54(8－5t)，CM＝34(8－5t)，则BM＝BC－CM＝6－34(8－5t)＝154t，∥y＝3t＋10－4t＋54(8－5t)＋154t＝－72t＋20；（3）如图4，由(1)知，四边形PDEF的面积为PD·DE＝3t·4t＝12t2，由(2)得梯形PMBD的面积为12(PM＋BD)·PD＝12×[54(8－5t)＋10－4t]×3t，∥根据题意得：12×[54(8－5t)＋10－4t]×3t＝12×12t2，解得t ＝8057，故答案为：8057．【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点．25．（1）证明见解析；（2）ABCD 的面积为100．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质即可得证；（2）先根据平行四边形的性质得出DF 、AD 的长和//,//AB CD BD EF ，再根据平行线的性质得出,F ADB FDG A ∠=∠∠=∠，然后根据相似三角形的判定与性质得出2()DFG ADB S DF S AD=，从而可求出ADB △的面积，由此即可得ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∥四边形ABCD 是平行四边形∥//AD BC ，即//DF BE又∥DF ＝BE∥四边形BEFD 是平行四边形∥//BD EF ；（2）∥四边形ABCD 是平行四边形，4,6BE EC ==∥4,4610DF BE AD BC BE EC ====+=+=，//AB CD∥FDG A ∠=∠∥四边形BEFD 是平行四边形 //BD EF ∴∥F ADB ∠=∠∥DFG ADB ~∥2244()()1025DFGADB SDF S AD === ∥8DFG S= ∥50ADB S =S=⨯=．∥ABCD的面积为2250100ADB【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），利用平行四边形的性质得到两个三角形相似的条件是解题关键．。

北师大版九年级数学上第四章图形的相似同步练习含答案解析

第四章图形的相似同步练习(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下面四组线段中,能成比例的是( )A.3,6,7,9B.3,6,9,18C.2,5,6,8D.1,2,3,4【解析】选B.3∶6=9∶18.2.如图,有两个形状相同的星形图案,则x的值为( )A.15cmB.12cmC.10cmD.8cm【解析】选D.根据对应边成比例得:=,解得x=8cm.3.如图,AB∥CD,=,则△AOB的周长与△DOC的周长比是( )A. B. C.D.【解析】选D.由AB∥CD可得△AOB∽△DOC,又=,△AOB的周长与△DOC的周长比是.4.如图,AB∥CD∥EF,则图中相似三角形的对数为( )A.4对B.3对C.2对D.1对【解析】选 B.∵AB∥CD∥EF,∴△ACD∽△AEF,△ECD∽△EAB,△ADB ∽△FDE.∴图中共有3对相似三角形.5.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的横坐标是a,则点B的横坐标是( )A.- aB.-(a+1)C.-(a-1)D.-(a+3)【解析】选D.过点B和点B′分别作x轴的垂线,垂足分别是点D和点E,∵点B′的横坐标是a,点C的坐标是(-1,0).∴EC=a+1,又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍,∴DC=(a+1),∴DO=(a+3),∴B点的横坐标是-(a+3).6.如图,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线交AD于E,点F是AB的中点,连接EF,则S△AEF∶S四边形BDEF为( )A.3∶4B.1∶2C.2∶3D.1∶3【解析】选D.∵DC=AC,CE平分∠ACB,∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”).∵点F是AB的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD,EF=BD,∴△AFE∽△ABD,则S△AEF∶S△ADB===,∴S△AEF∶S四边形BDEF=1∶3.7.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是( )A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)【解析】选B.由题意得Rt△ABC的边AB=6,BC=3,AC=3,△CDE中CD=2,若CD的对应边为AB时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,0)或(6,2)或(4,0)或(4,2),不可能为(6,3);若CD的对应边为BC时,C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标是(6,5)或(6,-3)或(4,5)或(4,-3);若CD的对应边为AC时C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似;也可直接从网格上按上面的对应边来判断四个选项,易得点E的坐标不可能是(6,3),故选B.二、填空题(每小题5分,共25分)8.如图,直线A1A∥BB1∥CC1,若AB=8,BC=4,A1B1=6,则线段B1C1的长是.【解析】∵A1A∥BB1∥CC1,∴=.∵AB=8,BC=4,A1B1=6,∴B1C1=3.答案:39.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外任选一点C,连接AC,BC分别取其三等分点M,N.量得MN=38m,则AB的长为m.【解析】∵M,N分别为AC,BC的三等分点,∴==,又∠C为公共角,∴△CMN∽△CAB,∴=,∴AB=3MN=114m.答案:11410.如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别是PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2= .【解析】由于E,F分别是PB,PC的中点,根据中位线性质EF∥BC,EF=BC,易得△PEF∽△PBC,面积的比是1∶4,由S=2,得△PBC的面积为8.又根据平行四边形的性质,把S1+S2看作整体,求得S1+S2=△PBC的面积=8.答案:811.已知点D是线段AB的黄金分割点,且线段AD的长为2厘米,则最短线段BD的长是厘米.【解析】当线段BD最短时,由题意得=,解得BD=-1.答案:-112.如图,已知直线l:y=x,过点M(2,0)作x轴的垂线交直线l于点N,过点N作直线l的垂线交x轴于点M1;过点M1作x轴的垂线交直线l于N1,过点N1作直线l的垂线交x轴于M2,……按此作法继续下去,则点M10的坐标为.【解析】根据题意可知N的坐标为(2,2),所以OM=2,MN=2,因为△OMN和△NMM1相似,所以=,所以MM1=6.所以OM1=2+6=8,因此M1的坐标为(8,0).同理,可求得M2(32,0),M3(128,0),……,由此可得M n的横坐标满足(22n+1,0),所以当n=10时,代入(22n+1,0)中,得M10的坐标为(221,0).答案:(221,0)三、解答题(共47分)13.(10分)如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),D(6,4),在第一象限内,画出以原点为位似中心,与原四边形ABCD相似比为的位似图形A1B1C1D1,并写出各点坐标.【解析】如图所示:各点的坐标分别为:A1(1,3),B1(2,1),C1(3,1),D1(3,2).14.(12分)(·徐州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上的某一点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC,BC上).(1)若△CEF与△ABC相似,①当AC=BC=2时,AD的长为;②当AC=3,BC=4时,AD的长为.(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由. 【解析】(1)①;②1.8或2.5.(2)相似.连接CD,与EF交于点O,∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B.由折叠知,∠COF=∠DOF=90°,∴∠DCB+∠CFE=90°,∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A.又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA.15.(12分)(·宁波慈溪实验期中)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.(1)求证:△ABF∽△DFE.(2)若△BEF也与△ABF相似,请求出∠BEC的度数.【解析】(1)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=∠C=90°.∵△BCE沿BE折叠为△BFE,∴∠BFE=∠C=90°,∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°.又∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2,∴△ABF∽△DFE.(2)∵由(1)知,∠1+∠3=90°,∴△BEF与△ABF相似,分两种情况:△ABF∽△FBE;△ABF∽△FEB.①当△ABF∽△FBE时,∠2=∠4.∵∠4=∠5,∠2+∠4+∠5=90°,∴∠2=∠4=∠5=30°,∴∠BEC=90°-30°=60°.②当△ABF∽△FEB时,∠2=∠6,∵∠4+∠6=90°,∴∠4+∠2=90°,这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾,∴△ABF∽△FEB不成立.综上所述,∠BEC的度数是60°.16.(13分)(·永州中考)如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由.(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP 的长.(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP 的长.(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问在m,n,l满足什么关系时,存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P 点?两个P点?三个P点?【解析】(1)存在P点满足题意.设BP=x,则DP=10-x, 如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-10x+36=0,方程无解;所以BP=.(2)存在两个P点满足题意.设BP=x,则DP=12-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=,得方程:x2-12x+36=0,解得x=6;所以BP=6或.(3)存在三个P点满足题意.设BP=x,则DP=15-x,如果是△ABP∽△CDP,则=,即=,解得x=.如果是△ABP∽△PDC,则=,即=, 得方程:x 2-15x+36=0,解得x=3或12. 所以BP=,3或12.(4)设BP=x,则DP=x -x,如果是△ABP ∽△CDP,则=,即=x x -l ,解得x=m m n +l . 如果是△ABP ∽△PDC,则=,即m x -l =, 得方程:x 2-l x+mn=0,Δ=l 2-4mn.当Δ=l 2-4mn<0时,存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点;当Δ=l 2-4mn=0时,存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的两个P 点;当Δ=l 2-4mn>0时,存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的三个P 点.。

北师大版数学九年级上册同步练习课件-第4章图形的相似-第4章 7相似三角形的性质

16
5
▪ 知识点2 相似多边形的性质 ▪ 相似多边形具有对应角相等、对应线段(包括边、中线、高线、角平分
线等)之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方等性质． ▪ 【典例2】已知甲、乙两个多边形相似，其相似比为2∶3. ▪ (1)若多边形甲的周长为24，则多边形乙的周长为________； ▪ (2)若两个多边形的面积之和为117，则多边形甲的面积为________．
上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD
＝( B )
A． 5
B． 5＋1
C．4
D．2 3
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▪ 7．如图，已知E为□ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶2，若△AEF的周长为6，则△CBF的周长为_1_8________.
▪ 8．【北京中考】如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点．若S△C M N ＝1，则S四边形ABNM＝_________. 3
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▪ 13．某施工地在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被消去了一个角，即△ADE，变成了一个梯形 BCED，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成BD长18米，求被消去部分的面积有多大？它的周长是多少？
解：∵AB 的长由原来的 30 米缩短成 BD 长 18 米，∴AD＝12 米．由题意，得 DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AADB＝1320＝25，∴25＝CC△△AADBCE＝C△8A0DE，∴C△ADE＝32 米．∵SS△△AADBCE＝252＝245＝S1△0A0DE，∴S△ADE＝16 平方米．即被消去部分的面积有 16 平方米，它的周长是 32 米．

北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》相似三角形的性质同步练习试题及答案 (3)

相似三角形周长和面积的性质——典型题专项训练知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．图4－7－13图4－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( ) A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，∴△ABC的周长△DEF的周长＝31，∴△DEF的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE＝∠F，∠EAD＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝3.∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠F，∴△ABE∽△FCE，∴△ABE的周长△FCE的周长＝BECE＝2.∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝2 AB2－BG2＝4，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝16，∴△FCE的周长＝12×△ABE的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴S△ACDS△ABC＝(ADAC)2＝14.∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，∴AC∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD.∵S△ABC∶S△A′BD＝4，∴AB∶A′B＝2.∵AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝2－1＝1.8．3 [解析] ∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADES△ACB＝(AEAB)2.∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9.∵AE＝2，∴49＝(2AB)2，解得AB＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEF＝∠CDF，∠FAE＝∠FCD，∴△AEF∽△CDF.∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，∴△AEF与△CDF的周长的比为1∶3.(2)由(1)知，△AEF∽△CDF，相似比为1∶3，∴它们的面积比为1∶9.∵S△AEF＝6 cm2，∴S△CDF＝54 cm2.10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E”形图近似于正方形，∴P2D2∥P1D1，∴∠PP2D2＝∠PP1D1，∠P2D2P＝∠P1D1P，∴△PP2D2∽△PP1D1.∵l1＝14 cm，l2＝7 cm，∴P2D2∶P1D1＝1∶2.∵第②个小“E”形图是面积为4 cm2的正方形卡纸，∴第①个大“E”形图的面积＝4×4＝16(cm2)．故选B.13．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴CF是△ACD的中线，∴F是AD的中点．又∵E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEFS△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(AEAB))2.又∵AE＝12AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴S△ABD－6S△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(12))2，∴S△ABD＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC.因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC的面积是144.15．解：不够用．理由如下：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMDS△CMB＝(ADBC)2.∵AD＝10 m，BC＝20 m，∴S△AMDS△CMB＝(1020)2＝14.∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)．∴S△CMB＝50×4＝200(m2)．还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元，∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2，∴CPCA＝12)＝2)2，∴CP＝2)2·CA＝2 2.(2)∵△PQC∽△ABC，∴CPCA＝CQCB＝PQAB，即CP4＝CQ3，∴CQ＝34CP.同理：PQ＝54CP，∴C△PQC＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋54CP＋34CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝4－CP＋AB＋3－CQ＋PQ＝4－CP＋5＋3－34CP＋54CP＝12－12CP.由C△PQC＝C四边形PABQ，得3CP＝12－12CP，∴72CP＝12，∴CP＝247.(3)存在．∵CA＝4，AB＝5，BC＝3，∴△ABC中AB边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ＝90°且PM＝PQ时，∵△CPQ∽△CAB，∴PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝125125，∴PQ＝6037；②当∠PQM＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ＝90°且PM＝MQ时，过点M作ME⊥PQ，则ME＝12PQ，∴△CPQ中PQ上的高为125－ME＝125－12PQ.∵PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝1212125，∴PQ＝12049.综上可知，存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，此时PQ的长为6037或12049.相似三角形中特殊线段的性质——典型题专项训练知识点对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知ACA′C′＝32，B′D′＝4，则BD的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.图4－7－26．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．如图4－7－4，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD ＝2，EF＝23EH，则EH的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩形EFGH的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m的A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴ADA′D′＝BEB′E′.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴43＝6B′E′，解得B′E′＝92.3.834.65．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，∴0.04CD＝0.062，解得CD＝43.答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为43 m.6．C [解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，∴xy＝13，yz＝43，即x＝y3，z＝3y4，∴xz＝49，即△ABC与△A″B″C″的相似比为49.故选C.7．68．329．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm，∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240，解得NF＝24(cm)．∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC. ∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，∴AMAD＝HGBC；(证法二)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，∴HGBC＝AHAB，AMAD＝AHAB，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x cm，则HG＝2x cm，∵AD⊥BC，∴DM＝HE，∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.故矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.∵BC∥DE，∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AFAG，∴DE＝AF·BCAG＝200×0.080.4＝40(m)．答：敌方建筑物DE的高度为40 m.12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，∴CDCB＝DEBA，即2－x2＝x1.5，解得x＝67；如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P. AC＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.5(m)，BH＝AB·BCAC＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC＝BPBH，即y2.5＝1.2－y1.2，解得y＝3037.∵67＝3035>3037，即x>y，∴x2>y2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形．∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)由题意得△BCD∽△BAC，∴BCBA＝BDBC.∵AC＝AD＝2，BC＝2，设BD＝x，则AB＝x＋2，∴2)x＋2＝x\r(2)，解得x＝－1±3，∵x＞0，∴BD＝x＝3－1.∵△BCD∽△BAC，∴CDAC＝BDBC.∵AC＝2，BC＝2，BD＝3－1，∴CD＝BD·ACBC＝3)－1\r(2)×2＝6－2.。

北师大版九年级数学上册 4.7相似三角形的性质练习题

4.7相似三角形的性质练习题一、选择题1．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元2．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3C．4：9D．8：273．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm4．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：95．已知△ABC∽△DEF，相似比为△2，且ABC的面积为△16，则DEF的面积为（）A．32B．8C．4D．166．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2△B．ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：27．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b8．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点△P．若OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0）9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝14，AB＝4，CD＝6，P是AD上的动点，连接BP，CP，若△PAB∽△CDP，则这样的点P共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个△10．如图，在ABC中，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且A D＝3，AB＝8，AC＝△10，若ADE与△ABC 相似，则AE的长为（）A．B．或C．或D．二、填空题11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，△1），且CDE∽△ABC，则点E的坐标是．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P是线段BO、OA上的动点，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．13．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差是12cm，那么小三角形的周长为．14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．三、解答题△15．定义：在ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC（点D、E、F的对应点分别为点A、B、△C），则称DEF是△ABC的子三角形，如图．（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是△ABC的子三角形．（2）已知：如图△2，DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°，若BE＝，求CF和AD的长．△16．如图，ADE∽△ABC，＝，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EFA相似，求BE的长．18．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB＝9，AC＝6，AD＝△3，若使ADE与△ABC相似，求AE的长．。

精品2019-2020年最新北师大版数学九年级上册(新)第四章图形的相似练习题

新北师大版九年级上册第四章相似形练习题一、填空题1、两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是6040、，那么另一个三角形的最大角为，最小角为。

2、如图，△ABC∽△ADE，AE=3，EC=5，DE=1.2，则BC 的长度为。

3、如2题图，△ABC∽△ADE，AD=3，AB=5，则DE：BC= 。

4、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是。

5、如图，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有对。

6、仿4题图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=6，AC=3，则CD的长为。

7、在△ABC中，∠BAC= 90，AD⊥BC于D，BD=3，AD=9，则CD= ，AB2：AC2= 。

8、直角三角形的两条直角边分别为ba、，则它的斜边上的高与斜边之比为。

9、在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，若要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE= 。

二、选择题10、在△ABC和△A/B/C/中，∠A=68 ，∠B=40 ，∠A/=68 ，∠C/=72 ，这两个三角形（）A、既全等又相似B、相似C、全等D、无法判定11、下列说法正确的是（）A、相似三角形一定全等B、不相似的三角形不一定全等C、全等三角形不一定是相似三角形D、全等三角形一定是相似三角形12、等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（）A、3：4B、4：3C、1：2D、2：113、下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、①③B、①④C、①②④D、①③④14、下列命题中的真命题是（）A、两个等腰三角形相似B、两个直角三角形相似C、有一个锐角是30 的两个等腰三角形相似D、有一个内角是30 的两个直角三角形相似三、解答题15、如图，4∆DDE∠BC，∆∽ADE，（1）ABC=B，AB1=3∠=5∠==∠吗？说明理由。

北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

相似三角形的性质一、选择题1.两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们对应中线之比为（）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:82.若两个相似三角形的面积之比为14∶，则它们的周长之比为（）A ．12∶B ．14∶C ．15∶ D ．116∶ 3.三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（）A ．15cmB ． 18cmC ． 21cmD ． 24cm 4.已知，AB 是⊙O 的直径，且C 是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的B ∠（如图所示），那么下列关于A ∠与放大镜中的B ∠关系描述正确的是（）A.090A B ∠+∠=B.=A B ∠∠C.090A B ∠+∠＞D.A B ∠+∠的值无法确定 5.已知ABC DEF △∽△，且12AB DE =∶∶，则ABC △的面积与DEF △的面积之比为（）A ．12∶B ．14∶C ．21∶D ．41∶6.若ABC DEF △∽△，它们的面积比为41∶，则ABC DEF △∽△的相似比为（）A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:47.用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（）①三角形的每个角都扩大10倍； ②三角形的每条边都扩大10倍； ③三角形的面积扩大10倍； ④三角形的周长扩大10倍．A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③8.如图，已知D E 、分别是ABC △的AB AC 、边上的一点，DE BC ∥，且1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝，那么AD AB ∶等于（）A ．14 B ．13 C ．12 D ．23二、填空题9.在ABC △和DEF △中，2AB DE =，2AC DF =，A D ∠=∠．如果ABC △的周长是16，面积是，那么DEF △的周长、面积依次是．10.已知'''ABC A B C △∽△，它们的相似比是23∶，ABC △的周长为6，则'''A B C △的周长为．11.已知ABC △与DEF △相似且对应中线的比为2:3，则ABC △与DEF △的周长比5:4为．13.若两个相似三角形的相似比是2:3，则这两个三角形对应中线的比是．14.两个相似三角形的面积比12S S ∶与它们对应高之比12h h ：之间的关系ABC △与'''A B C △ 相似，则'''A B C △的第三条边长．16.如图，在ABC △中，,DE FG BC GI EF AB ∥∥∥∥．若ADE △、EFG △、GIC △的面积分别为220cm 、245cm 、280cm ，则ABC △的面积为．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，23DE CE =：∶，连结BE BD AE 、、，且AE BD 、交于点F ，则DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶ ．ABCDE12GIH FA BCDE18.如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123,,S S S 分别为1,1,2，则ABC △的面积是．三、解答题19.如图，若ABC AED △∽△,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．20.如图ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，求证：AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．21.如图ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． CDBFAS3S2S1IHGFED CBA ED CBAH 'H AB C C 'B 'A '22.如图ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，试证明：AB BC AC AMk A B B C A C A M====''''''''（k 为相似比）．23.已知P 为平行四边形ABCD 边BC 上任意一点，DP 交AB 的延长线于Q 点，求证：1BC ABBP BQ-=．24.如图所示．平行四边形ABCD 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ．若AB a =，BC b =，BF c =，求BE ．25.如图，在ABC △中，5,3,4,AB BC AC PQ AB ===∥，P 点在AC 上（与点,A C 不重合），Q 点在BC 上．（1）当PQC △的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；（2）当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．D 'D A 'B 'C B M 'MA 'B 'C 'C BAQPDCBAOFEDCBAGOFEDCBA相似三角形的性质答案解析一、选择题1.A2.A3.D;最长边为21cm 的三角形三边比例为357∶∶∵可设最长边为721x = 3x = ∴另外两边和3588324x x x +==⨯= 4.A 5.B 6.A 7.C8.C;∵1:3ADE DBCE S S △四边形∶＝∴1:4ADE ABC S S △∶＝△∴AD AB ∶=1:2二、填空题9.8；310.9 11.2:3 12.5:4 13.2:314.22112s h s h ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比即可求解．15.;∵ABC △的两边、与'''A B C △的两边1、对应成比例，即∴'''A B C △． 16.2405cm ;由三角形的面积，可知234AE EG GI =∶∶∶∶，所以29AE AC =∶∶，即481S ADE S ABC =△∶△∶，根据20S ADE =△，所以405S ABC =△．17.41025∶∶QPBA∵23DE CE =，四边形ABCD 为平行四边形 ∴25DE DE CD AB == ∴25DEF BEF S DF DE S BF AB ===△△，2425DEF ABF S DE S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ ∴41025DEF EBF ABF S S S =△△△∶∶∶∶【解析】根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，以及同高三角形的面积比等于底边的比，可以轻松解题18.6+设ABC △的面积为S，则1PD PE HG BH HG GCBC BC BC BC++=++==，故(22116S ==+=+．三、解答题19.ADE ACB ∠=∠，DAE CAB ∠=∠，AED ABC ∠=，AE AD DEAB AC BC==20.∵'''ABC A B C △∽△∴2'''ABC A B C S S k =△△∶，即有211''''22BC AH B C A H k ⋅⋅=∶又∵''BC k B C =，2''''BC AHk B C A H = ∴''AHk A H = 21.∵'''ABC A B C △∽△∴''','BAC B A C B B ∠=∠∠=∠又∵AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线∴11,''''''22BAD BAC B A D B A C ∠=∠∠=∠ ∴''','BAD B A D B B ∠=∠∠=∠ ∴'''ABD A B D △∽△ ∴''''AB ADk A B A D == 22.∵'''ABC A B C △∽△∴,'''''AB BCB B A B BC =∠=∠ 又∵AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线 ∴2''2''''''BC BM BM ABk B C B M B M A B ==== ∴ABM A B M '''∆∆∽ ∴AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''23.∵ABCD 为平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥， ∴BC AD AQBP BP BQ==， ∴1BC AB AQ AB AQ AB BQBP BQ BQ BQ BQ BQ--=-===． 24.过O 作OG BC ∥，交AB 于G ．显然，OG 是ABC ∆的中位线，所以112222b a OG BC GB AB ====，在FOG ∆中，由于GO EB ∥，所以BE FBOG FG=，则222FB c b bcBE OG a FG a c c =⋅=⋅=++25.167（1）∵PQC PABQ S S =△ ∴12PQC ABC S S =△△∴2PCAC=∴4PC PC AC ==∴PC =（2）PQC PABQ C C =△∴PC CQ QP AP AB BQ PQ ++=+++ 即PC QP AP AB BQ +=++ 设PC x = ∵PC AB ∥ ∴有PC CQ AC BC =，即43x CQ =，34CQ x = ∴根据周长相等的式子可列：3345344x x x x +=-++- 解得：167x =．【解析】根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以轻松解题．。

北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试

北师大版九年级数学上册第四章4.7相似三角形的性质同步测试一．选择题1如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BDAD的值为( )A．1 B．22 C．2－1 D．2＋12．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：163．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：14．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A．17 B．19 C．21 D．245．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．6．已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（）A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.57．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形8．一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第_______张．9．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E．F分别是PB．PC（靠近点P）的三等分点，△PEF．△PDC．△PAB的面积分别为S1．S2．S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（）A． B． C．D．410．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE．BE分别交于点G．H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC =4S△ADF．其中正确的有（）A．1个B．2 个 C．3 个 D．4个二．填空题11.如果两个相似三角形的周长分别为15 cm和25 cm，那么这两个相似三角形对应的角平分线的比为_______．12.一副三角板叠放如图所示，则△AOB与△DOC的面积之比为.13．已知两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为56 cm，则这两个三角形的周长分别为______________．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC =3，则S△BCF= ．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是_________16．如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB=12，EF=9，则DF的长是．17．已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.18．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．三．解答题19．如图，M是□ABCD的AB边的中点，CM与BD相交于点E，连接DM．设□ABCD 的面积为1，求图中阴影部分的面积．20．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN ，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．21．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A 端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高多少米？22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．23．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．24．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC．CD在同一条直线上，点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，连接AE．BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP．BD分别交于点G．H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．答案提示1.C 2．C． 3．C 4．D 5．D． 6．D 7．C 8．6 9．A．10．D．11. 3：5 12.1∶3 13．24 cm和80cm 14．4．15．7416．7． 17．5和20 18．．19．1 320．（1）解：由已知得MN=AB ， MD= AD= BC ，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴，∵MN=AB ， DM= AD ， BC=AD ，∴，∴由AB=4得，AD= ；（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为．21．1米22．（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．23．解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．24．解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M．N分别是斜边AB．DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P．M．N分别为AD．AB．DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．。

九年级数学(2019秋北师大版)上册校本作业：4.7相似三角形的性质(1)

4.7相似三角形的性质（1）1.下列说法：①相似三角形对应角的比等于相似比；②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比；③相似三角形对应中线的比等于相似比；④相似之比等于1的两个三角形全等。

其中正确的说法有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.如下图是一个照相机成像的示意图,如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m 外的景物的宽CD 为（）A ．12mB ．3mC ．m 23D ．m 343.如果两个相似三角形对应高的比为5:4，那么这两个相似三角形的相似比为。

4.已知两个相似的△ABC 与△A ’B ’C ’的对应角平分线的比为5：2，若△ABC 的最短边长是20㎝，则△A ’B ’C ’的最短边长是。

5.如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB =2m ，CD =6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是 m 。

6.两个相似三角形的对应高线之比为2:3，且第一个三角形的某一边长6，则第二个三角形中与之对应的边的长度为。

7.如图所示，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高。

（1）求图中有几对相似三角形；（2）若AD =9㎝，CD =6㎝，求BD ；（3）若AB =25㎝，BC =15㎝，求BD 。

8.如图所示，有一侦察员在距敌方200m的地方A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。

若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请写出你的推理过程。

2019秋九年级数学上册 第四章 图形的相似 7 相似三角形的性质同步练习(新版)新人教版

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质 同步练习(含解析)

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质 同步练习(含答案)

北师大版九年级数学上册第四章 相似三角形的性质与判定 同步测试题(含答案)

2019-2020学北师大九年级数学上册4.7： 相似三角形的性质 同步练习 ( 无答案)