2016-2017学年江西省景德镇一中高二上学期数学期中试卷带解析(15班)

2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（15班）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．62．（5分）已知命题P：函数y=sin x在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数y=与x=1，y轴和x=e所围成的图形的面积为M，N=，则程序框图输出的S为（）A．1 B．2 C．D．04．（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、④都可能为分层抽样B．①、③都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．②、③都不能为系统抽样5．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（）A．[0，]B．[，]C．[，]D．[，1]6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若nS n+（n+2）a n=4n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是以1为首项的等比数列B．数列{a n}的通项公式为C．数列是等比数列，且公比为D．数列是等比数列，且公比为8．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π10．（5分）函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）12．（5分）已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，定点F （，0），点Q为PF的中点，动点M满足•=0，=λ（λ∈R）．过点M 作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则•的最小值是（）A．B．C．D．﹣二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）．14．（5分）在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤2的概率为．15．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．三、解答题（共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{b n}的前n项和为S n，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．（12分）在△ABC中，sin2B=sinAsinC．（1）若，，成等差数列，求cosB的值；（2）若=4，求△ABC面积的最大值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．20．（12分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．21．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB的方程．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（15班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【解答】解：化简可得复数==，由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，解得a=6故选：D．2．（5分）已知命题P：函数y=sin x在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；故命题p：a=1+4k，k∈Z；若直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，则=2，解得：a=1，或a=9，即命题q：a=1，或a=9，故p是q的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）已知函数y=与x=1，y轴和x=e所围成的图形的面积为M，N=，则程序框图输出的S为（）A．1 B．2 C．D．0【解答】解：N==tan45°=，M==lnx=1．∴N＜M，∵程序的作用是输出较小者，故输出的S为．故选：C．4．（5分）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、④都可能为分层抽样B．①、③都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．②、③都不能为系统抽样【解答】解：①在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；②在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的； ③一定不是系统抽样和分层抽样；④在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的； 故选：A ．5．（5分）函数f （x ）=πx +log 2x 的零点所在区间为（ ） A ．[0，] B ．[，] C ．[，] D ．[，1] 【解答】解：∵f （）=＜0，f （）=＜0，f （）=＞0，f （1）=π，∴只有f （）•f （）＜0， ∴函数的零点在区间[，]上． 故选：C ．6．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C．7．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若nS n+（n+2）a n=4n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是以1为首项的等比数列B．数列{a n}的通项公式为C．数列是等比数列，且公比为D．数列是等比数列，且公比为【解答】解：当n=1时，有S1+3a1=4a1=4，得：a1=1，当n≥2，时，由nS n+（n+2）a n=4n，即S n+a n=4①，得：S n﹣1+a n﹣1=4②，=0，①﹣②得：a n+a n﹣a n﹣1即=，∴=••…•=•••…•=•n，即a n=．∴=，∴数列是等比数列，且公比为．故选：C．8．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选：B．9．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．32π【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．10．（5分）函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．【解答】解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选：D．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣4，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，故h（x）在[0，+∞）递减，若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，则h（x）=h（﹣x），则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，即h（x）＜h（2），故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：B．12．（5分）已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：x=﹣上一动点，定点F （，0），点Q为PF的中点，动点M满足•=0，=λ（λ∈R）．过点M 作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则•的最小值是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：如图，设P（，m），∵F（，0），点Q为PF的中点，∴Q（0，），再设M（x0，y0），∴，，由=λ，得，即，∴M（），则，．再由•=0，得，即，∴M（），则M在抛物线y2=2x上，设以（3，0）为圆心，以r为半径的圆为（x﹣3）2+y2=r2，联立，得x2﹣4x+9﹣r2=0．由△=（﹣4）2﹣4（9﹣r2）=0，解得r2=5．∴r=．则抛物线y2=2x上的点M到圆心距离的最小值为，切线长的最小值为，且sin，cos∠SMT=1﹣2sin2∠SMC=1﹣．∴•的最小值为=．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）8π+ln2﹣．【解答】解：根据定积分的几何意义表示以原点为圆心，以及半径为4的圆的面积的二分之一，故=×16π=8π，因为x3奇函数，故x3dx=0，因为（﹣x）dx=（lnx﹣x2）|=（ln2﹣2）﹣（ln1﹣）=ln2﹣，故原式=8π+0+ln2﹣=8π+ln2﹣，故答案为：8π+ln2﹣14．（5分）在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤2的概率为．【解答】解：在区间[﹣1，3]之间随机抽取一个数x，则﹣1≤x≤3，由|x|≤2得﹣2≤x≤2，∴根据几何概型的概率公式可知满足|x|≤1的概率为=，故答案为．15．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为﹣．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，且，可得从点A到点B正好经过了半个周期，即=π﹣，∴ω=2．再把点A、B的坐标代入可得2sin（2•+φ ）=﹣2sinφ=1，2sin（2•π+φ ）=2sinφ=﹣1，∴sinφ=﹣，∴φ=2kπ﹣，或φ=2kπ﹣，k∈Z．再结合五点法作图，可得φ=﹣，故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C 的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为[0，] ．【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．三、解答题（共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{b n}的前n项和为S n，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q：因为a2，a3+1，a4成等差数列，故a2+a4=2（a3+1），即a4=2a3，故q=2；因为，即a n=2n﹣1．（2）因为S n=n2+n，故当n=1时，b1=S1=2，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，综上所述b n=2n，故==﹣，故数列的前n项和为．18．（12分）在△ABC中，sin2B=sinAsinC．（1）若，，成等差数列，求cosB的值；（2）若=4，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1））若，，成等差数列，则=+===，故sinB=，cosB=±；（2）若=4，即=4，b2=16sin2B，∵sin2B=sinAsinC，∴ac=b2，∴S=b2sinB=8sin3B，（0＜B＜π），△ABC令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），则f′（x）=24sin2xcosx，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，π）递增，故f（x）在（0，）递增，在（，π）递减，f（x）max=f（）=8，故三角形面积的最大值是8．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图则Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）设，0＜λ＜1，则M（﹣2λ，，），平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），由，得=（，0，），∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，∴cos60°=|cos＜＞|=||=，解得，∴=，∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．20．（12分）设不等式组所表示的平面区域为D n，记D n内整点的个数为a n（横纵坐标均为整数的点称为整点）．（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记数列{a n}的前n项的和为S n，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a2==25．（3分）（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有a n==10n+5．（6分）（另解：a n=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）S n=5n（n+2）．（8分）∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）21．（12分）定圆M：=16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程；（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…（4分）（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2．…（5分）（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程得，所以|OA|2=．…（7分）由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC 的方程为，由解得，=，，…（9分）S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，由于，所以，…（11分）当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g （x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2．。