具有反馈控制的竞争系统边界平衡点的稳定性

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上 ，随着 人类 对 自然 界资 源 开发 的力 度加 大 ， 越来 越多 的物种在 人类 的 干扰下走 向灭 绝 ， 而稳 定 的边 界 平
衡 点 的生 态学 含 义恰 恰表 示某 个种 群 最终 绝灭 ， 因此 ， 研 究 上述 系统 边界 平衡 点 的稳 定性 是 必 要 的． 对 上
ＺＨＡ０ Ｌｉ ａ ｎ ｇ， Ｃ ＨＥＮ Ｆ ｅ ｎ ｇ — ｄ ｅ
（ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｆ ｕ ｚ ｈ ｏ ｕ ３ ５ ０ １ ０ ８ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
具 有 反 馈 控 制 的 竞 争 系 统 边 界 平 衡 点 的 稳 定 性
赵 亮。 陈凤 德
３ ５ ０ １ ０ ８ ）
（ 福州 大 学 数 学 与计 算 机 科 学 学 院 ， 福建 福州
摘要： 研究具有反馈控制的两种群竞争系统边界平衡点的稳定 性 ， 通 过构造适 当的绝灭 函数获得 了保证 某个种 群绝 灭的充分性 条件 ， 通过构造 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数证明 ＿ 『边界平衡点 的全局稳定性． 关键词 ： 竞争 ； 反馈控制 ； 绝灭 ； 全局吸引性
统 具有 唯一 的全 局 吸引正平 衡 点的 充分性 条件 ， 但是 作者 并没 有探讨 上 述 系统 边 界平衡 点 的稳定性 ． 事实
收稿 １ ３ 期： ２ ０ ｌ ３ ４ ） ４ — ２ ９
基金项 目 ： 国家 幽然科学基金项 秘（ １ １ ２ ０ １ ０ ７ ５ ） ； 锔建省 自然科学基金项 目（ ２ ０ １ １ １ ． ０ １ ０ ０ ７ ） 作者简介 ： 赵 亮（ １ ９ ８ ８一） ， 男， 硕 研 究 生 ， 主 要 从 事 生 物 数学 研 究 ； 通 信作 苦 ： 陈风德 （ １ ９ ７ ４一） ， 男， 教授 ， 主要从事生物数学研 究．
ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ａ ｓ ｕ ｉ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕｎ ｏ ｖ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｓ ｏ ｍｅ ｓ ｕ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｈ ｉ ｃ ｈ ｅ ｎ ｓ ｕ ｒ ｅ ｔ ｈｅ ｇ ｌ ｏ ｂ ａ ｌ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎｅ ｄ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｃ ｏ ｍｐ ｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ｆ ｅ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｃ ｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｓ； ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｖ ｉ ｔ ｙ
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ ４ 文 献 标 志码 ： Ａ
Ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ Ｂｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ Ｅｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕ ｍ
ｏ ｆ Ｃｏ ｍ ｐｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ Ｆｅ ｅ ｄ ｂａ ｃ ｋ Ｃｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｓ
述 系统边 界平 衡 点 的稳定 性研 究 一个 直 观 的想 法 就 是 类 似 于文 献 ［ １ ］那 样 构 造适 当 的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数来 探讨 ， 然而 ， 研究 表 明这样 的手法 所得 的条 件 较为 粗糙 ， 有 的假设 比较 牵强． 本 文 的 目的 旨在通 过发 展文 献 ［ ２ － ３ ］的研 究方 法 ， 将绝 灭 函数 和 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ函数有 效 结合 ， 给 出保证 边 界平 衡 点全 局稳 定 的 精细 条件 ． 我 们 的条件 在 没有 反馈 控 制变 量 时刚好 退 化为 两种 群竞 争系 统绝 灭性 条件 ， 从 这个 角度 看 ， 得到 的结果 是 比 较 自然 的． 此外 ， 我们 的研 究 表 明原来 是双 稳 的系 统 ， 适 当的采 取 控制 后 使得 系 统 中给定 的某个 种 群绝 灭
０ｃ ｔ ． ２Ｏ１ ３ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ － ０ ５ １ ６ － ０ ４
Ｄ ＯＩ ： １ ０ ． １ １ ７ １ ３ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ９ － ４ ８ ２ ２ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ５ ． ０ ０ ５
一 …
（１ １
ｄ ｕ Ｉ （ ｔ ）
—
＝一叼 ． ｕ （ ￡ ）＋。 （ ｆ ） ，
ｔ ） ｄ ｕ ２ （
一
＝一叼 ｕ （ ￡ ）＋。 。 （ ￡ ） ，
其巾： ｂ ， ｎ
， 叼 ， ｎ （ ｉ ， ＝１ ， ２ ） 均 为正 常数． 通过 构造适 当的 Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ 函数 ， 作者 给 出 ｒ一组 保证 上述 系
１ 引
言
最近， Ｇ ｏ ｐ ａ ｌ ｓ ａ ｍ ｙ和 Ｗｅ ｎ ｇ Ｐ ｅ ｉ ｘ ｕ ａ ｎ ¨ 提 出如下 两种 群竞 争反馈 控制 模 型
（ ｆ ）
ｄｘ ２ （ ｔ ）
～ —
㈩
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：
，
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（ ￡ ） （ ６ 一。 （ ）一（ ｉ 丝 ｘ （ ￡ ）一 ｕ （ ￡ ） ） ，
第 １ ４卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 １ ０月
北华大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ Ｉ ＨＵ Ａ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ １ ． 】 ４ Ｎｏ ． ５
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｂｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｙ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｌ ｉ ｂｒ ｉ ｕ ｍ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｅ ｔ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｆ ｅ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｓ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ．Ｂｙ