中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第六节二次函数的应用试题

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二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)

二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）图1C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.图2ABCD图1菜园墙专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1） B.y=2a （1-x ） C.y=a （1-x 2） D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x<<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图2图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图1。

中考数学第三章课时12 二次函数的图象、性质及应用(知识清单重难点讲解中考真题演练)

中考数学一轮复习·学与练第三章函数课时12 二次函数的图象、性质及应用知识清单考点一二次函数的概念、图象和性质1．二次函数的概念(1)一般地，形如(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数．(2)特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．2．二次函数的图象和性质(1)二次函数的图象是一条．(2)二次函数的图象和性质y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)大致图象a＞0 a＜0开口方向..对称轴直线x＝.顶点坐标(－b2a，)增减性在对称轴左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而；在对称轴右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而.在对称轴左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而；在对称轴右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而.最值抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝.抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝.3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c之间的关系字母符号图象的特征a a＞0 开口. a＜0 开口 .a，bb＝0 对称轴为轴ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴侧ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴侧c c＝0 经过.c＞0 与y轴相交c＜0 与y轴相交b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有交点b2－4ac＜0 与x轴交点函数值a＋b＋c＞0 当x＝1时，对应的函数值y＞0 a－b＋c＞0 当x＝－1时，对应的函数值y＞0考点二二次函数解析式的确定及图象的平移1．二次函数解析式的确定(1)解析式的三种形式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；②顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；③交点式：(a，x1，x2为常数，a≠0)．(2)待定系数法求解析式的步骤：①巧设二次函数的解析式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式．2．二次函数图象的平移(1)平移的方法步骤：①将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．(2)平移的规律：平移前的解析式移动方向平移后的解析式规律y＝a(x－h)2＋k向左平移m个单位y＝a(x－h＋m)2＋k 左加向右平移m个单位y＝a(x－h－m)2＋k 右减向上平移m个单位y＝a(x－h)2＋k＋m 上加向下平移m个单位y＝a(x－h)2＋k－m 下减考点三二次函数的应用1．二次函数与一元二次方程和不等式的关系(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当函数值y＝0时，变为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，就是二次函数，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)．x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根．当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点(－b2a，0)，x＝－b2a是方程ax2＋bx＋c＝0的两个相等的实数根，即x1＝x2＝－b 2a.当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，即方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上的x轴上方的点都满足ax2＋bx＋c(a≠0)>0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上的x轴的点都满足ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．用二次函数的图象求一元二次方程的近似解根据二次函数与一元二次方程的关系，我们可以作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，它与x轴交点的就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．3．二次函数的实际应用主要考查利润最大化、方案最优化、面积最大等问题，一般步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)确定自变量取值范围；(3)分析所得函数的性质；(4)解决提出的问题．重难点讲解命题点1 利用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解．一般地，已知顶点坐标、对称轴或最大(小)值时，可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；若所给的条件是任意三点(或任意三对x，y的值)，可设一般式y＝ax2＋bx＋c，然后组成三元一次方程组来求解．经典例题1已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．(1)求该函数的关系式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标．【解析】(1)根据图象的顶点(－1，4)来设该二次函数的关系式，然后将点B代入，即用待定系数法来求二次函数关系式；(2)令x＝0，y＝0，然后将其代入函数关系式，解方程即可．解：(1)由顶点A(－1，4)，可设二次函数关系式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)，∵二次函数过点B(2，－5)，∴－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴二次函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋4.(2)令x＝0，则y＝－(0＋1)2＋4＝3，所以图象与y轴的交点坐标为(0，3)；令y＝0，则0＝－(x ＋1)2＋4，解得x1＝－3，x2＝1，故图象与x轴的交点坐标是(－3，0)，(1，0)．命题点2 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用1. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h为实数)交点的横坐标．2. 不等式问题可转化为图象的位置关系的比较．一元二次方程、二次三项式、二次函数及一元二次不等式——“四个二次”的等价转换关系如下表：经典例题2已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A ．当a ＝1时，函数图象过点(－1，1)B ．当a ＝1时，函数图象与x 轴只有一个交点C ．若a >0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a <0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大【解析】当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，其图象不过点(－1，1)，故A 错；由Δ＝8>0知函数y ＝x 2－2x －1的图象与x 轴有两个交点，故B 错；y ＝ax 2－2ax －1＝a (x －1)2－a －1，其图象关于直线x ＝1对称，若a >0，则图象开口向上，故当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，故C 错；若a <0，则图象开口向下，故当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，故D 正确．【答案】 D命题点3 利用二次函数解决实际问题在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际问题．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确定其自变量的取值范围．经典例题3 合肥利民商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%.现商场决定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天的销售数量y (件)与x 之间的函数关系为y ＝20＋4x (x >0)．(1)求M 型服装的进价；(2)求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润W 的最大值．【解析】(1)销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%，可得标价打8折等于(1＋0.5)乘进价；(2)开展促销活动，每件8折再降价x 元销售，则实际售价为(60－x )，利润W ＝(60－x )(20＋4x )．解：(1)设进价为a 元，则(1＋50%)a ＝75×0.8，解得a ＝40，答：M 型服装的进价为40元． (2)根据题意得W ＝y (75×0.8－40－x )＝(20＋4x )·(20－x )＝－4(x －152)2＋625，故当x ＝152时，W 的值最大，且W 最大值＝625. 答：当x ＝7.5时，利润的最大值为625元．命题点4 利用二次函数解决实际问题并求最值在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想. 在求与二次函数的解析式有关的问题时，经常要用方程思想.经典例题4 如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN .已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏.(1)若a ＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长； (2)求矩形菜园ABCD 面积的最大值.【解析】(1)设AD ＝x m ，则BC ＝100－x 2m ，利用矩形的面积公式得到x （100－x ）2＝450，解方程并计算后与20进行大小比较即可得到AD 的长；(2)利用矩形面积得到S ＝12x (100－x )，讨论当a ≥50时，当0＜a ＜50时的求值情况.解：(1)设AD ＝x 米，则AB ＝100－x 2米，依题意，得x （100－x ）2＝450，解得x 1＝10，x 2＝90，∵a ＝20，x ≤a ，∴x 2＝90不合题意，舍去，故所利用旧墙AD 的长为10米.(2)设AD ＝x 米，则0＜x ≤a ，∴矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （100－x ）2＝－12(x 2－100x )＝－12(x－50)2＋1250. 当a ≥50，则当x ＝50时，S 最大＝1250平方米；当0＜a ＜50，则当0＜x ≤a 时，S 随x 的增大而增大，故当x ＝a 时，S 最大＝(50a －12a 2)平方米. 综上所述，当a ≥50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250平方米；当0＜a ＜50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值是(50a －12a 2)平方米.中考真题演练一、选择题1. 抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是( )A ．(－2，5)B ．(－2，－5)C ．(2，5)D ．(2，－5) 2. 如图，一次函数y 1＝－x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于点M ，N ，则关于x 的一元二次方程ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上结论都正确3. 已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( )A ．1或－2B ．－2或 2C ． 2D ．1 4. 将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y ＝3的交点坐标是( )A ．(0，3)或(－2，3)B ．(－3，0)或(1，0)C ．(3，3)或(－1，3)D ．(－3，3)或(1，3)5. 若满足12＜ x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx ＞2成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜－1B ．m ≥－5C ．m ＜－4D ．m ≤－4 6. 将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析为( )A ．y ＝12(x －8)2＋5B ．y ＝12(x －4)2＋5C ．y ＝12(x －8)2＋3D ．y ＝12(x －4)2＋37. 如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( ) A ．y ＝－12x 2 B ．y ＝－12(x ＋1)2C ．y ＝－12(x ＋1)2－1D ．y ＝－12(x －1)2－1第7题第8题8. 如图，一次函数y 1＝mx ＋n (m ≠0)与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象相交于两点A (－1，5)，B (9，3)，请你根据图象写出使y 1≥y 2成立的x 的取值范围是( )A ．－1≤x ≤9B ．－1≤x ＜9C ．－1＜x ≤9D ．x ≤－1或x ≥99. 抛物线y ＝3(x －1)2＋1的顶点坐标是( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1) 10. 二次函数y ＝－x 2＋mx 的图象如图，对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程－x 2＋mx －t ＝0(t 为实数)在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．t ＞－5B ．－5＜t ＜3C ．3＜t ≤4D ．－5＜t ≤4第10题第11题11. 如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．下列结论错误的是( )A ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3mB ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2二、填空题12. 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 . 13. 如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝kx ＋t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是 .14. 已知二次函数y ＝x 2－2hx ＋h ，当自变量x 的取值在－1≤x ≤1的范围中时，函数有最小值n ，则n 的最大值是 .15. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y (元)关于x 的函数关系式为y ＝ .16. 飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是 m.17. 如图是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m.第17题第18题18. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有.三、解答题19. 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元，经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．20. 下表给出了代数式－x2＋bx＋c与x的一些对应值：x …－2－10123…－x2＋bx＋c …5n c 2－3－10…(2)设y＝－x2＋bx＋c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．21. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD ，点H 为BD 的中点．请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)在y 轴上找一点P ，使PD ＋PH 的值最小，则PD ＋PH 的最小值为．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝x 2－2(k －1)x ＋k 2－52k (k 为常数)．(1)若抛物线经过点(1，k 2)，求k 的值；(2)若抛物线经过点(2k ，y 1)和点(2，y 2)，且y 1＞y 2，求k 的取值范围；(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－32，求k 的值．23. 抛物线y 1＝ax 2＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 在抛物线上，过P (1，－3)，B (4，0)两点作直线y 2＝kx ＋b .(1)求a ，c 的值；(2)根据图象直接写出y 1＞y 2时，x 的取值范围；(3)在抛抛线上是否存在点M ，使得S △ABP ＝5S △ABM ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．24. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？25. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出每千克售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？26. 某商店销售一款进价为每件40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于40元且不高于80元时，该商品的日销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为44元时，日销售量为72件；当销售单价为48元时，日销售量为64件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设该护肤品的日销售利润为w(元)，当销售单价x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润是多少？27. 温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．(1)根据信息填表：产品种类每天工人数(人)每天产量(件)每件产品可获利润(元) 甲. . 15乙x x .(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．(3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙(每人每天只能生产一种产品)，丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W(元)的最大值及相应的x值．28. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．。

初三数学二次函数知识点总结与经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

中考数学第一轮复习(第三章《函数及其图象》第6节《二次函数的应用》)

第六节二次函数的应用课标呈现指引方向会利用二次函数解决简单的实际问题考点梳理夯实基础1．二次函数的实际应用问题(1)利用顶点坐标来求最值(2)最值不在顶点处取得(3)分段函数求最值问题2．解决二次函数的实际应用问题的关键在于：(1)理解问题；(2)分析问题中变量之间的关系；(3)建立二次函数模型，得到解析式：(4)运用二次函数的有关性质求解；(4)将所得结果结合实际情况进行检验．考点精析专项突破考点一二次函数与几何问题【例1】（2016四川内江）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．解题点拨：二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值．在此类实际问题中，最大（小）值有时会在顶点处取得，此时达到最大（小）值时的x即为顶点横坐标值，最大（小）值也就是顶点纵坐标值；有时会在端点取得．因此，对于实际问题中的最值问题要特别注意自变量的取值范围．考点二二次函数与利润问题【例2】（2016湖北随州）九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下:每天销售量p（件）198 140 80 20已知商品的进价为30元／件，设该商品的售价为y（单位：元／件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为W（单位：元）．(1)求出W与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润．解题点拨：(1)此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，建立函数并运用函数的性质是解题的关键；(2)分段函数的分类讨论是本题的考查重点，因此本题要分段考虑．课堂训练当堂检测1．函数y =x 2 +2x +3的最小值为 ( )A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B2．已知0≤x ≤，那么函数y = -2x 2+8x -6的最大值是( ) A ．- 10.5 B ．2 C ．-2.5 D ．-6【答案】C3．（2016四川成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树，橙子的总产量为W ．则W 与x 的关系式为．【答案】W =-5x 2+100x +600004．（2016云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函教关系图象．(1)求y 与x 的函数解析式；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值，中考达标模拟自测A 组基础训练一、选择题1．当x 取( )时，二次函数y = -x 2+1有最大值．A ．B ．0C ．1D ．2 2．如果二次函数y = x 2-2x +m 的最小值为非负数，则m 的取值范围是 ( )．A ．m <1B ．m >1C ．m ≤1D ．m ≥13．如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y ( m )与水平距离x (m )之间的关系为y =-（x -4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（）1212112A ．3mB ．7mC ．10mD ．14m4．如图，重庆某长江大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y =ax 2+bx ，小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需 ()秒．A ．12B ．18C ．24D ．36二、填空题5．已知二次函数y =-x 2+4x +5，其中-2≤x ≤1，则y 有最小值为，最大值为．6．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（40一x ）件．若使利润最大，每件的售价应为元．7．（2016浙江丽水改编）如图，地面BD 上两根等长立柱AB ,CD 之间悬挂一根近似成抛物线y =+3的绳子，则绳子最低点离地面的距离为m ．三、解答题8．（2016山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x （元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出：当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少l 辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？9．课本中有一道作业题：有一块三角形余料，记作△ABC ，它的边BC = 120mm ，高AD = 80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ?小颖解得此题的答案为48mm ．小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加T 的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ?请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.2143105x x -+B 组提高练习10．（2016山东青岛改编）如图，需在一面长度为l0m 的墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax 2+bx （a ≠0）表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为 m ，到墙边OA 的距离分别为m ， m ．则最多可以连续绘制( )个这样的抛物线型图案？ A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第10题1 1．（2016浙江台州）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．12．（2015年江苏南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单元：元）、销售价 y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？341232。

2019年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时训练16二次函数的实际应用练习

课时训练16 二次函数的实际应用限时：30分钟夯实基础1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米2．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(米)与时间t(秒)满足关系式h＝20t－5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为()A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒3．用60 m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长l的变化而变化，要使矩形的面积最大，l 的值应为()A．6 mB．15 mC．20 mD．10 m4．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x cm．当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为()A．6 cmB．12 cmC．24 cmD．36 cm5．用长6 m的铝合金条制成“日”字形矩形窗户，使窗户的透光面积最大(如图K16－1)，那么这个窗户的最大透光面积是()图K16－1A． m2B．1 m2C． m2D．3 m26．[2017·天门]飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．7．[2017·沈阳]某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是元时，才能在半月内获得最大利润．8．如图K16－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设P，Q同时出发，问：(1)经过几秒后P，Q之间的距离最短？(2)经过几秒后△PBQ的面积最大？最大面积是多少？图K16－2能力提升9．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为()A．20B．40C．100D．12010．[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．图K16－3记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为()图K16－3A．10 mB．15 mC．20 mD．22．5 m11．如图K16－4是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为()图K16－4A．3 mB．2 mC．3 mD．2 m12．[2017·金华]在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图K16－5①，若BC＝4 m，则S＝m2．(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正三角形CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．图K16－513．[2018·黔三州]某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图K16－6①所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图②所示(图①的图象是线段，图②的图象是抛物线)．(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少？(收益＝售价－成本)(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．(3)已知市场部销售该种蔬菜4，5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4，5两个月的销售量分别是多少万千克？图K16－6拓展练习14．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子，如图K16－7所示，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE＝()图K16－7A．17B．11C．8D．715．[2018·福建A卷]如图K16－8，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．图K16－8参考答案1．C2．B3．B4．A5．C6．20[解析] 滑行的最长时间实际上求s取最大值时t的值，当t＝20时，s的最大值为600．7．35[解析] 设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)(1000－20x)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，∵－20＜0，∴当x＝35时，y有最大值，故答案为35．8．解：(1)设经过t秒后P，Q之间的距离最短，则AP＝t，BQ＝2t，∴BP＝6－t，∵∠B＝90°，∴PQ＝，∴经过 s后，P，Q之间的距离最短．(2)设△PBQ的面积为S，则S＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝6t－t2＝－(t－3)2＋9，∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为9．即经过3 s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9 cm2．9．D10．B[解析] 由题意得解得从而对称轴为直线x＝＝15．故选B．11．B12．(1)88π(2)[解析] (1)如图①，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示．由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径长的圆，以C为圆心、6为半径长的圆和以A为圆心、4为半径长的圆的面积和，∴S＝·π·102＋·π·62＋·π·42＝88π．(2)如图②，设BC＝x，则AB＝10－x，∴S＝·π·102＋·π·x2＋·π·(10－x)2＝(x2－5x＋250)，∴当x＝时，S取得最小值，∴BC＝．故答案为．13．解：(1)当x＝6时，y1＝3，y2＝1，∵y1－y2＝3－1＝2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．(2)设y1＝mx＋n，y2＝a(x－6)2＋1．将(3，5)，(6，3)代入y1＝mx＋n，得解得：∴y1＝x＋7．将(3，4)代入y2＝a(x－6)2＋1，得4＝a(3－6)2＋1，解得：a＝，∴y2＝(x－6)2＋1＝x2－4x＋13．∴y1－y2＝x＋7－x2－4x＋13＝x2＋x－6＝(x－5)2＋．∵＜0，∴当x＝5时，y1－y2取最大值，最大值为，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．(3)当x＝4时，y1－y2＝x2＋x－6＝2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为(t＋2)万千克，根据题意得：2t＋(t＋2)＝22，解得：t＝4，∴t＋2＝6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．14．B15．解：(1)设AD＝m米，则AB＝米，依题意，得·m＝450，解得m1＝10，m2＝90．因为a＝20且m≤a，所以m2＝90不合题意，应舍去．故所利用旧墙AD的长为10米．(2)设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，则0＜x≤a，S＝·x＝(x2－100x)＝(x－50)2＋1250，①若a≥50，则当x＝50时，S最大＝1250;②若0＜a＜50，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，故当x＝a时，S最大＝50aa2．综上，当a≥50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是1250平方米;当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是平方米．。

中考数学总复习第1编知识梳理篇第3章函数及其图象第11讲二次函数及其应用(精练)试题(new)

第十一讲二次函数及其应用第1课时二次函数1．(2017随州中考）对于二次函数y＝x2－2mx－3,下列结论错误的是( C)A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是( A）A．y＝(x＋2)2B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图,点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( A）A．ac＋1＝b B．ab＋1＝cC．bc＋1＝a D．以上都不是,（第3题图））,（第4题图)）4．（2017齐齐哈尔中考)如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0）和(－4，0)之间，其部分图象如图所示,则下列结论：①4a－b＝0;②c＜0；③－3a＋c＞0;④4a－2b＞at2＋bt(t为实数);⑤点错误!，错误!，错误!是该抛物线上的点,则y1＜y2＜y3,正确的个数有( B）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2017安顺中考）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠1)，其中结论正确的个数是（C）A．1 B．2 C．3 D．4，(第5题图)）,(第6题图)) 6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，则下列说法:①a＞0;②2a＋b＝0;③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( C）A．1 B．2 C．3 D．47．若抛物线y＝（x－m）2＋（m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（B) A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1 D．－1＜m＜08．（2017扬州中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0)，C(2,1),若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分（含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（C)A．b≤－2 B．b＜－2C．b≥－2 D．b＞－29．(2017枣庄中考）已知函数y＝ax2－2ax－1（a是常数，a≠0)，下列结论正确的是（D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大10．(2017鄂州中考)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A（－2,0)和点B,交y 轴负半轴于点C,且OB ＝OC. 下列结论:①2b－c＝2；②a＝错误!;③ac＝b－1；④错误!＞0.其中正确的个数有（C)A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2017陕西中考)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C)A．(1，－5) B．（3，－13)C．(2，－8）D．(4，－20）12．抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点坐标是__(－1，2）__．13．二次函数y＝3x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上,点B，C在二次函数y＝错误!x2的图象上,四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°,则菱形OBAC的面积为__2错误!__．，(第13题图）) ,（第14题图)) 14．(2017乌鲁木齐中考）如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（－1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点（4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b,c取何值，抛物线都经过同一个点错误!；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．15．(2017鹤岗中考）如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A,B两点，与y 轴交于C点，点B的坐标为(3,0），抛物线与直线y＝－错误!x＋3交于C，D两点．连结BD，AD.（1)求m的值；(2）抛物线上有一点P,满足S△ABP＝4S△ABD,求点P的坐标．解：（1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过(3，0），∴0＝－9＋3m＋3,∴m＝2；(2）由错误!得错误!错误!∴D错误!.∵S△ABP＝4S△ABD，∴错误!AB×|y P|＝4×错误!AB×错误!，∴｜y P|＝9,y P＝±9，当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9,无实数解，当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，x1＝1＋13，x2＝1－错误!,∴P(1＋错误!，－9)或(1－错误!,－9)．16．（2017随州中考)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b,c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形"．备用图已知抛物线y＝－错误!x2－错误!x＋2错误!与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1）填空：该抛物线的“梦想直线”的表达式为________,点A的坐标为________,点B 的坐标为________；（2)如图，点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A,C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）y＝－错误!x＋错误!；（－2，2错误!）；（1,0）；（2)如答图①，过A作AD⊥y轴于点D。

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第一节函数及其图象精试题

第三章函数及其图象第一节函数及其图象怀化七年中考命题规律)标2021选择6函数自变量的取值范围求含有二次根式且位于分母的自变量的取值范围3填空13求函数值自变量的值，求函数的值36命题规律纵观怀化七年中考，有五年考察了此考点内容，并且以选择题、填空题的形式呈现，其中求函数自变量的取值范围考察了4次，平面直角坐标系考察了2次.命题预测预计2021年怀化中考，本课时的考察重点为求函数自变量的取值范围与函数图象的判断，可能会及其他知识结合，特别是及几何图形结合的图象，题型以选择题为主.,怀化七年中考真题及模拟)平面直角坐标系(2次)1．(2021怀化中考)在平面直角坐标系中，点(－3，3)所在象限是( B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2021怀化中考)如图，假设在象棋盘上建立直角坐标系，假设“帅〞位于点(－1，－2)，“馬〞位于点(2，－2)，那么“兵〞位于点( C)A．(－1，1) B．(－2，－1)C ．(－3，1)D ．(1，－2)求自变量的取值范围与函数值(5次)3．(2021怀化中考)函数y ＝x －1x －2中，自变量x 的取值范围是( C )A ．x ≥1B ．x>1C ．x ≥1且x≠2D ．x ≠24．(2021怀化中考)在函数y ＝2x －3中，自变量x 的取值范围是( D )A ．x>32B ．x ≤32C ．x ≠32D ．x ≥325．(2021怀化中考)函数y ＝1x －2中，自变量x 的取值范围是( A )A ．x>2B ．x ≥2C ．x ≠2D ．x ≤26．(2021怀化中考)函数y ＝x －3中，自变量x 的取值范围是__x≥3__．7．(2021怀化中考)函数y ＝－6x ，当x ＝－2时，y 的值是__3__．及实际相结合的函数图象(1次)8．(2021怀化一模)小敏家距学校1 200 m ，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开场她以v 1 m /min 的速度匀速行驶了600 m ，遇到交通堵塞，耽误了3 min ，然后以v 2 m /min 的速度匀速前进一直到学校(v 1<v 2)，你认为小敏离家的距离y 及时间x 之间的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )9．(2021沅陵模拟)一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km /h .轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h )，航行的路程为s(km )，那么s 及t 的函数图象大致是( C ),A ),B ),C ),D )10．(2021怀化考试说明)如图，在矩形中截取两个一样的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长与宽分别为y 与x ，那么y 及x 的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )11．(2021中考预测)如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE ＝EF ＝FB ＝5，DE ＝12，动点P 从点A 出发，沿折线AD —DC —CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停顿．设运动时间为t s ，y ＝S △EPF ，那么y 及t 的函数图象大致是( A ),A ) ,B ) ,C ) ,D )12．(2021怀化学业考试指导)在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中(铁块完全淹没于水中)，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直至铁块完全露出水面一定高度．如图能反映弹簧秤的读数y(单位：N )及铁块被提起的高度x(单位：cm )之间的函数关系的大致图象是( C ),A ) ,B ) ,C ) ,D )13．(2021 麻阳模拟)小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t(单位：s )，他及教练的距离为y(单位：m )，表示y 及t 的函数关系的图象大致如图2所示，那么这个固定位置可能是图1中的( D )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q14．(2021 中方模拟)点M(1－2m ，m －1)关于x 轴对称的点在第一象限，那么m 的取值范围在数轴上表示正确的选项是( A ),A ),B ),C ) ,D )15．(2021怀化二模)根据如下图的程序计算函数值，假设输入的x 的值为－1，那么输出的函数值为( A )A ．1B ．－2C .13 D ．3,中考考点清单)平面直角坐标系及点的坐标1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．【方法技巧】一般地，点P(a ，b)到x 轴的距离为|b|；到y 轴的距离为|a|；到原点的距离为a 2＋b 2.2．平面直角坐标系中点的坐标特征各象限点的坐标的符号特征第一象限(＋，＋)；第二象限①__(－，＋)__；第三象限(－，－)；第四象限②__(＋，－)__ 坐标轴上点的坐标特征x 轴上的点的纵坐标为③__0__，y 轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标④__互为相反数__对称点的坐标特征点P(a ，b)关于x 轴对称的点的坐标为(a ，－b)；点P(a ，b)关于y 轴对称的点的坐标为⑤__(－a ，b)__；点P(a ，b)关于原点对称的点的坐标为P′(－a ，－b) 平移点的坐标特征将点P(x ，y)向右或向左平移a 个单位，得到对应点的坐标P′是(x ＋a ，y)或(x －a ，y)；将点P(x ，y)向上或向下平移b 个单位，得到对应点的坐标P′是(x ，y ＋b)或(x ，y －b)；将点P(x ，y)向右或向左平移a 个单位，再向上或向下平移b 个单位，得到对应点P′的坐标是⑥__(x ＋a ，y ＋b)或(x －a ，y －b)__，简记为：左减右加，上加下减函数的相关概念3．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量． 4．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．5．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量，就能相应地确定y 的一个值，那么，我们就说y 是x 的函数．其中，x 叫做自变量．函数自变量的取值范围表达式取值范围整式型取全体实数分式型，如y ＝ax分母不为0，即x≠0 根式型，如y ＝x 被开方数大于等于0，即x≥0分式＋根式型，如y ＝ax同时满足两个条件：①被开方数大于等于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0函数的表示方法及其图象函数图象的判断近7年共考察3次，题型都为选择题，出题背景有：(1)及实际问题结合；(2)及几何图形结合；(3)及几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是〞．6．表示方法：数值表、图象、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观与便于抽象应用的特点．7．图象的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按以下步骤画出函数的图象．(1)取值．根据函数的表达式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表．(2)画点．根据自变量与函数的数值表，在直角坐标系中描点．(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．8．函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：假设点P(x，y)的坐标适合函数表达式，那么点P(x，y)在其图象上；假设点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，那么点P(x，y)不在其图象上．【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法(1)及实际问题结合：判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性；④看是否及坐标轴相交：即此时另外一个量为0.(2)及几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t，找因变量及t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．(3)分析函数图象判断结论正误：分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．,中考重难点突破)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】假设将点A(－4，3)先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到点A1，点A1的坐标为( )A．(－1，3) B．(－1，2)C．(－7，2) D．(－7，4)【解析】∵点A(－4，3)先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，∴点A1的坐标为(－1，2)．【学生解答】B1．在平面直角坐标系中，假设点P的坐标为(－3，2)，那么点P所在的象限是( B)A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限函数自变量的取值范围【例2】(2021原创)函数y ＝xx －3－(x －2)0中，自变量x 的取值范围是________．【解析】根据题意得，x ≥0且x －3≠0且x －2≠0，解得x≥0且x≠3且x≠2.【学生解答】x ≥0且x≠3且x≠2【方法指导】对于分式、根式、零指数幂相结合型求自变量取值范围的，先求出各自变量的取值范围，然后取公共解集即可．2．(2021娄底中考)函数y ＝xx －2中自变量x 的取值范围是( A )A ．x ≥0且x≠2B ．x ≥0C ．x ≠2D ．x>2函数图象的判断【例3】(2021 营口中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A→D→C→E 运动，那么△APE 的面积y 及点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是( ),A ) ,B ) ,C ) ,D )【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2.①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ·2＝x(0≤x≤3)；②点P 在CD 上时，S △APE ＝S四边形AECD－S△ADP －S △CEP ＝12×(2＋3)×2－12×3×(x －3)－12×2×(3＋2－x)＝5－32x ＋92－5＋x ＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92(3<x≤5)；③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×(3＋2＋2－x)×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7(5<x≤7)，纵观各选项，只有A 选项图形符合．【学生解答】A【方法指导】根据动点P 的运动路径A→D→C→E 可得，在计算△APE 的面积时应该分为3种情况，①当P 在AD 上时，②当P 在DC 上时，③当P 在CE 上时，分别计算出即可．要注意转折点有x ＝3时与x ＝5时．3．(2021广东中考)如图，在正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，那么△APC 的面积y 及点P 运动的路程x 之间形成的函数关系的图象大致是( C),A) ,B),C) ,D)。

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1；当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3；（3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。

中考数学总复习基础知识梳理第3单元函数及其图象 3.5 二次函数及其图象课件

Smax=-42 84=16.
12/9/2021
经典考题
【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，并且结合多边形的面积考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题.熟练掌握二次函数的性质，会合理分割不规则多边形是解决本题的关键.
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解：（1）将A（2,4）与B（6,0）代入y=ax2+bx，
得
4a 2b 4
3
6
a
6b
0
，解得
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要点梳理
3.c的作用：决定抛物线与y轴的交点位置. （1）c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上. （2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上. （3）c=0时，抛物线过原点.
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解析式的求法
学法指导
确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个解析式a，b，c（或a，h，k或a，x1，x2），因而确定二次函数解析式需要已知三个独立条件：
1.已知抛物线上三个任意点时，选用一般式比较方便.
2.已知抛物线的顶点坐标，选用顶点式比较方便.
3.已知抛物线与x轴两个交点的坐标（或横坐标x1，x2）时，选用交点式比较方便.
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经典考题
【例1】抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b
与反比例函数 y c 在同一平面直角坐标系内的图象大致为
3
3
【答案】D
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经典考题
【例3】将抛物线y=x2-4x-4向左平移三个单位，再向上平移五个单
位，得到抛物线的表达式为
（）
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-3 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-3

中考数学第三章课时12 二次函数的图象、性质及应用(知识清单重难点讲解中考真题演练)

参考答案考点清单考点一 1. (1)y ＝ax 2＋bx ＋c 2. (1)抛物线 (2)向上向下－b 2a 244ac b a减小增大增大减小 244ac b a 244ac b a 3. 向上向下 y 左右原点正半轴负半轴唯一的两个没有考点二 1. (1)②y ＝a (x －h )2＋k ③y ＝a (x －x 1)(x －x 2)考点三 1. (2)下方 2. 横坐标中考真题演练1. C 【解析】抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标为(2，5)，故选C ．2. A 【解析】 ∵一次函数y ＝－x 与二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有两个交点，∴ax 2＋＋c ＝－x 有两个不相等的实数根，ax 2＋bx ＋c ＝－x 变形为ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0，∴ax 2＋(b ＋1)x ＋c ＝0有两个不相等的实数根，故选项A 正确．3. D 【解析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，即a ＞0，然后由－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，可得x ＝1时，y ＝9，即可求出a .4. D 【解析】将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y ＝x 2＋2x ，当该抛物线与直线y ＝3相交时，x 2＋2x ＋3，解得x 1＝－3，x 2＝1，则交点坐标为(－3，3)或(1，3)．故选D ．5. D 【解析】 ∵2x 3－x 2－mx ＞2，∴ 2x 2－x －m ＞2x，抛物线y ＝2x 2－x －m 的开口向上，对称轴为直线x ＝14，而双曲线y ＝2x 分布在第一、三象限，∵12＜x ≤1，2x 2－x －m ＞2x ，∴ x ＝12时，2×14－12≥4，解得m －4，x ＝1时，2－1－m ＞2，解得m ＜－1，∴实数m 的取值范围是m ≤－4.故选D ．6. D 【解析】由题意可知，y ＝12x 2－6x ＋21＝12(x 2－12x )＋21 ＝12[(x －6)2－36]＋21＝12(x －6)2＋3，故y ＝12(x －6)2＋3向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为y ＝12(x －4)2＋3.故选D ． 7. D 【解析】由图象可知：二次函数顶点的坐标位于第三象限，选项A 的函数的顶点是(0，0)，故A 项错误；选项B 的函数的顶点是(－1，0)，故B 项错误；选项C 的函数的顶点是(－1，－1)，故C 项正确；选项D 的函数的顶点是(1，－1)，故D 项错误．8. A 【解析】由两个函数的图象知：当y 1≥y 2时，－1≤x ≤9.故选A ．9. A 【解析】 ∵抛物线y ＝3(x －1)2＋1是顶点式，∴ 顶点坐标是(1，1)，故选A ．10. D 【解析】由题意可知，抛物线的顶点坐标为(2，4)，而关于x 的一元二次方程－x 2＋mx －t ＝0的解就是抛物线y ＝－x 2＋mx 与直线y ＝t 的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．11. A 【解析】当y ＝7.5时，7.5＝4x －12x 2，整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x 1＝3，x 2＝5，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，故A 错误；y ＝4x －12x 2＝－12(x －4)2＋8，则抛物线的对称轴为x ＝4，∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，故B 正确；⎩⎨⎧ y ＝－12x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7，y 2＝72，则小球落地点距O 点水平距离为7米，故C 正确，∵斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，∴斜坡的坡度为1∶2，故D 正确．故选A ．12. k ＜4 【解析】 ∵二次函数y ＝x 2－4x ＋k 中a ＝1＞0，图象的开口向上，又∵二次函数y ＝x 2－4x ＋k 图象的顶点在x 轴下方，∴ Δ＝(－4)2－4×1×k ＞0，解得k ＜4.13. －1≤x ≤2 【解析】根据图象可得出：当y 1≥y 2时，x 的取值范围是－1≤x ≤2.14. 14【解析】二次函数y ＝x 2－2hx ＋h 图象的对称轴为直线x ＝h .当h ≤－1时，x ＝－1时y 取最小值，此时n ＝1＋2h ＋h ＝1＋3h ≤－2；当－1＜h ＜1时，x ＝h 时y 取最小值，此时n ＝h 2－2h 2＋h ＝－h 2＋h ＝－(h －12)2＋14≤14；当h ≥1时，x ＝1时y 取最小值，此时n ＝1－2h ＋h ＝1－h ≤0.综上所述，n 的最大值为14. 15. a (1＋x )2 【解析】一月份新产品的研发资金为a 元．二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，∴二月份新产品的研发资金为a (1＋x )元，∴三月份新产品的研发资金为a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2元．即y ＝a (1＋x )2.16. 24 【解析】由题意可知，当y 取得最大值时，飞机停下来，则y ＝60t －1.5t 2＝－1.5(t －20)2＋600，此时t ＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来. 因此t 的取值范围是0≤t ≤20，即当t ＝16时，y ＝576，所以600－576＝24(米)．17. (42－4) 【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可知O 为原点，抛物线以y 轴对称轴，且经过A ，B 两点，OA ＝OB ，抛物线顶点C 坐标为(0，2)，通过以上条件可设顶点式y ＝ax 2＋2，其中a 可通过代入A 点坐标(－2，0)到抛物线解析式得出：a ＝－0.5，所以抛物线解析式为y ＝－0.5x 2＋2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y ＝－2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y ＝－2与抛物线相交的两点之间的距离．可以通过把y ＝－2代入抛物线解析式得出：－2＝－0.5x 2＋2，解得x ＝±22，所以水面宽度增加到42米，比原先的宽度当然是增加了(42－4)米．18. ①②⑤ 【解析】 ∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2－4ac ＞0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3，故②正确，∵x ＝－b 2a＝1，即b ＝－2a ，而x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0，∴a ＋2a ＋c ＝0，故③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为(－1，0)，(3，0)，当－1＜x ＜3时，y ＞0，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故⑤正确．故答案为 ①②⑤.19. 解：(1)180 提示：由题意得，200－10×(52－50)＝200－20＝180(件)． (2)由题意得，y ＝(x －－10(x －50)]＝－10x 2＋1100x －28000＝－10(x －55)2＋2250.∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．20. 解：(1)根据表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧ －4－2b ＋c ＝5，－1＋b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝5.∴ －x 2＋bx ＋c ＝－x 2－2x ＋5x ＝－1时，－x 2－2x ＋5＝6，即n ＝6. (2)根据表中数据规律得，当0≤x ≤2时，y 的最大值是5.21. 解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (－1，0)，B (3，0)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.∴ 所求函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.整理得，y ＝－(x －1)2＋4，∴ 顶点D (1，4). (2)13提示：∵B (3，0)，D (1，4)，∴ 中点H 的坐标为(2，2)，其关于y 轴的对称点H ′坐标为(－2，2)，连接H ′D 与y 轴交于点P ，则PD ＋PH 最小，且最小值为221242＝13.22. 解：(1)把点(1，k 2)代入抛物线y ＝x 2－2(k －1)x ＋k 2－52k ，得k 2＝12－2(k －1)＋k 2－52k ，解得k ＝23. (2)( 2k ，y 1)代入抛物线y ＝x 2－2(k －1)x ＋k 2－52k ，得y 1＝(2k )2－2(k －1)·2k ＋k 2－52k ＝k 2＋32k 点(2，2)代入抛物线y ＝x 2－2(k －1)x ＋k 2－52k ，得y 2＝22－2(k －1)×2＋k 2－52k ＝k 2－132k ＋8，∵y 1＞y 2，∴ k 2＋32k ＞k 2－132k ＋8，解得k ＞1. (3)抛物线解析式y ＝x 2－2(k －1)＋k 2－52k 配方得y ＝(x －k ＋1)2＋(－12k －1)，将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为y ＝(x －k )2＋(－12k －1)，当k ＜11≤x ≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，∴ x ＝1时，y 最小＝(1－k )2－12k －1＝k 2－52k ，∴ k 2－52k ＝－32，解得k 1＝1，k 2＝32，都不合题意，舍去；当1≤k ≤2时，y 最小＝－12k －1，∴ －12k －1＝－32，解得k ＝1；当k ＞2时，1≤x ≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，∴ x ＝2时，y 最小＝(2－k )2－12k －1＝k 2－92k ＋3，∴ k 2－92k ＋3＝－32，解得k 1＝3，k 2＝32(舍去)．综上可知，k ＝1或3.23. 解：(1)将P (1，－3)，B (4，0)代入y ＝ax 2＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ 16a ＋c ＝0，a ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧ a ＝15，c ＝－165. (2)由图象得x＞4或x ＜1. (3)在抛物线上存在点M ，使得S △ABP ＝5S △ABM ，理由是：抛物线的解析式是y ＝15x 2－165，设M 点的纵坐标为h ，∵P (1，－3)，∴ 由S △ABP ＝5S △ABM 得：12×AB ×|－3|＝5×12AB ×|h |，解得|h |＝35，当h ＝35时，15x 2－165＝35，解得x ＝±19，当h ＝－35时，15x 2－165＝－35，解得x ＝±13 ，即M 点的坐标是(19，35)，(－19，35)，(13，－35)，(－13，－35)． 24. 解：(1)W 1＝(50＋x )(160－2x )＝－2x 2＋60x ＋8000，W 2＝[100－(50＋x )]×19＝(50－x )×19＝－19x ＋950. (2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950＝－2(x －414)2＋732818.∵x 取整数，∴当x ＝10时，总利润W 最大，最大总利润是9160元．25. 解：(1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200.∴所求函数表达式为y ＝－2x ＋200. (2)W ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8000(40≤x ≤80)． (3)由(2)可知，W ＝－2x 2＋280x －8000＝－2(x －70)2＋1800.其中40≤x ≤80.∵－2<0，∴当40≤x <70时，W 随x 的增大而增大；当70<x ≤80时，W 随x 的增大而减小；当每千克售价为70元时，获得最大利润，最大利润为1800元．26. 解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 44k ＋b ＝72，48k ＋b ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝160，所以y 与x 之间的函数关系式是y ＝－2x ＋160(40≤x ≤80)． (2)由题意得，w 与x 的函数关系式为w ＝(x －40)(－2x ＋160)＝－2x 2＋240x －6400＝－2(x －60)2＋800，当x ＝60元时，w 最大利润是800元，所以当销售单价x 为60元时，日销售利润w 最大，最大日销售利润是800元．27. 解：(1)65－x 2(65－x ) 130－2x 提示：由已知，每天安排x 人生产乙产品时，生产甲产品的有(65－x )人，共生产甲产品2(65－x )．在乙每件120元获利的基础上，增加x 件，利润减少2x 元每件，则乙产品的每件利润为120－2(x －5)＝130－2x . (2)由题意15×2(65－x )＝x (130－2x )＋550，∴ x 2－80x ＋700＝0，解得x 1＝10，x 2＝70(不合题意，舍去)，∴ 130－2x ＝110(元)．答：每件乙产品可获得的利润是110元． (3)设生产甲产品m 人，则W ＝x (130－2x )＋15×2m ＋30(65－x －m )＝－2(x －25)2＋3200，∵2m ＝65－x －m ，∴ m ＝65－x 3，∵x ，m 都是非负数，∴ 取x ＝26时，m ＝13，65－x －m ＝26，即当x ＝26时， W 最大值＝3198. 答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．28. 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700.(2)由题意，得－10x＋700≥240，解得x≤46，设利润为w ＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)，w＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000，∵－10＜0，∴抛物线的开口向下，∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w大＝－10(46－50)2＋4000＝。

中考数学总温习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第六节二次函数的应用试题

第六节二次函数的应用1．如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部份，栅栏的跨径AB间按相同距离m用5根立柱加固，拱高OC为m，则立柱EF的长为( C)A．m B．mC．m D．m2．(2016安顺中考)某校校园内有一个大正方形花坛，如图所示，它由四个边长均为 3 m的小正方形组成，且每一个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( A),A),B),C),D)3．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发觉铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－1(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是__10__m.12,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2016温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m宽的门．已知打算中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为__75__m2.5．(2015泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地打算新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请依照上面的信息，解决问题：(1)设AB ＝x m (x>0)，试用含x 的代数式表示BC 的长； (2)请你判定谁的说法正确，什么缘故？解：(1)72－2x ；(2)小英说法正确．矩形面积S ＝x(72－2x)＝－2(x －18)2＋648.∵72－2x>0，∴x<36，∴0<x<36，∴当x ＝18时，S 取得最大值．现在，x ≠72－2x ，∴面积最大的不是正方形．6.如图，等腰梯形花园ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40 m 的铁栏杆围成，设该花园的腰AB 的长为x m .(1)求出底边BC 的长；(用含x 的代数式表示) (2)若∠BAD＝60°，该花园的面积为S m 2.①求S 与x 之间的函数关系式(要指出自变量x 的取值范围)，并求当S ＝933时x 的值； ②若是墙长为24 m ，试问S 有最大值仍是最小值？那个值是多少？解：(1)BC ＝40－2x ；(2)①过点B ，C 别离作BE⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.在Rt △ABE 中，AB ＝x ，∠BAE ＝60°，∴AE ＝12x ，BE ＝32x.同理DF ＝12x ，CF ＝32x.又EF ＝BC ＝40－2x ，∴AD ＝40－x.∴S梯形ABCD＝12(BC ＋AD)·BE＝12(40－2x ＋40－x)·32x ，即S ＝－343x 2＋203x(0＜x ＜20)．当S ＝933时，－343x 2＋203x ＝93 3.解得x 1＝6，x 2＝2023(舍去)．∴x＝6.②由题意，得40－x≤24.解得x≥16.结合①得16≤x＜20.由①，S＝－343x 2＋203x ＝－343(x －403)2＋4003 3.∴当16≤x＜20时，S 随x 的增大而减小，∴当x ＝16时，S 取得最大值，现在S 最大值＝1283(m 2)．7．(2015南京中考)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 别离表示该产品每千克生产本钱y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x(单位：kg )之间的函数关系．(1)请说明图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，取得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)y 1＝－＋60(0≤x≤90)；(3)设y 2与x 之间的函数解析式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)，因此⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－，b 2＝120.那个一次函数的解析式为y 2＝－＋120(0≤x≤130)．设产量为x kg 时，取得的利润为W 元．当0≤x≤90时，W ＝x[(－＋120)－(－＋60)]＝－(x －75)2＋2 250，因此，当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90≤x≤130时，W ＝x[(－＋120)－42]＝－(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－<0知，当x>65时，W 随x 的增大而减小，因此90≤x≤130时，W ≤2 160.因此，当该产品产量为75 kg 时，取得的利润最大，最大利润是2 250元．8．(2016黄冈中考)东坡商贸公司购进某种水果的本钱为20元/kg ，通过市场调研发觉，这种水果在以后48天的销售单价p(元/kg )与时刻t(天)之间的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋30（1≤t≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t≤48，t 为整数），且其日销售量y(kg )与时刻t(天)的关系如下表：时间t(天)1 3 6 10 20 40 … 日销售量y(kg )1181141081008040…(1)已知y 与t 之间的转变规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg 水果就捐赠n 元利润(n ＜9)给“精准扶贫”对象．现发觉：在前24天中，天天扣除捐赠后的日销售利润随时刻t 的增大而增大，求n 的取值范围．解：(1)设y ＝kt ＋b ，把t ＝1，y ＝118；t ＝3，y ＝114代入取得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝118，3k ＋b ＝114，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120，∴y ＝－2t ＋120，当t ＝30时，y ＝60，即在第30天的日销售量是60 kg ；(2)设第x 天的销售利润为w 元．当1≤t≤24时，由题意W ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋30－20＝－12(t －10)2＋1 250，∴t ＝10时，W 最大值为1 250元．当25≤t≤48时，W ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋48－20＝t 2－116t ＋3 360，∵对称轴x ＝58，a ＝1>0，∴在对称轴左侧W 随x 增大而减小，∴x ＝25时，W 最大值＝1 085，综上所述，第10天利润最大，最大利润为1 250元；(3)设天天扣除捐赠后的日销售利润为m 元．由题意m ＝(－2t ＋120)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋30－20－(－2t ＋120)n ＝－12t 2＋(10＋2n)t ＋1 200－120n ，∵在前24天中，天天扣除捐赠后的日销售利润随时刻t 的增大而增大，∴－10＋2n2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥24，∴n ≥7，又∵n<9，∴n 的取值范围为7≤n<9.。

2020中考数学总复习第三章函数 3.6二次函数的应用

2020中考数学总复习第三章函数3.6二次函数的应用课标解读1.能运用二次函数的图象和性质解决有关数学问题及实际问题；知识梳理知识点一二次函数与几何图形的综合1.二次函数的综合应用常涉及待定系数法求解析式，与特殊三角形、相似三角形、四边形的相关探究，在解题过程中注意方程思想和分类讨论思想的应用.知识点二建立二次函数模型解决实际生活问题1.分析问题中的数量关系，找到其中的变量，设出变量，表示出两个变量之间的关系（函数）,利用函数的图象和性质求解，从而解决实际问题；注意：（1）在实际问题中自变量的取值范围要注意实际意义，在求最值时要注意顶点是否在取值范围内，若不在应根据函数的增减性进行分析求解；（2）建立平面直角坐标系时，遵从“避繁就简”的原则，力求计算简便.基础训练1.某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2018年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2020年的投资将达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x ，则可得CA. B. C.D.2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x 的关系式为BA. B.C. D.3.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x 之间的关系为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是DA. 第B. 第C. 第D. 第4.如图1，的顶点在抛物线上，将绕点O 顺时针旋转，得到，边CD与该抛物线交于点P，则点P 的坐标为CA.B.C.D.图15.如图2，在中，，，，点P从点A沿AC向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B 以的速度运动点Q运动到点B 停止，在运动过程中，四边形PABQ 的面积的最小值为215cm6. 如图3，有一座抛物线型拱桥，正常水位时水面宽AB=6m ，当水位上升1m 时，水面宽CD=，按如图所示的坐标系则对应的抛物线的解析式是 21y 3x =-7．科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时获得火箭的高度h(m)与时间t(s)的关系数据如下：时间t/s 1 5 10 15 2025 火箭高度h/m155635101011351010635(1) 请你确定h关于t 的函数解析式；(2) 请你求出该火箭能达到的最大高度及相应的时间. 解：（1）由表格中数据规律猜想是二次函数，设解得，经验证表格中其它三对值均满足，故h 关于t 的函数解析式.（2）,顶点（15，1135），图象开口向下，故火箭在15s 时达到最大高度1135米.8.如图4，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m ，宽是2m,抛物线可以用表示，为了安全起见，货车顶部隧道顶部至少要有0.5m 的安全距离.（1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？解：（1）当x=1时，y=3.75,图2图33.75+2=5.75>4+0.5, 故该卡车能通过隧道. （2）当x=2时，y=3,3+2=5>4+0.5,故该卡车能通过隧道.能力提升1.如图5，在等腰中，，，点P 从点B 出发，以的速度沿BC 方向运动到点C 停止同时，点Q 从点B 出发，以的速度沿方向运动到点C 停止若的面积为，运动时间为，则能表示y 与x 之间函数关系的图象是( D )．A.B.C. D.2. 如图6，正方形ABCD 边长为8，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且，则AN 的最小值是( C )A. 8B.C. 10D.3.校运动会上，一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是则他此次推铅球的成绩是 C．A. 12B. 9C. 10D. 114.某司机驾车行驶在公路上，突然发现正前方有一行人，他迅速采取紧急刹车制动已知，汽车刹车后行驶距离与行驶时间之间的函数关系式为，则这个行人至少在 20 米以外，司机刹车后才不会撞到行人． 5．如图7，抛物线的顶点为，与y 轴交于点若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点，点A 的对应点为，则抛物线上PA 段扫过的区域阴影部分的面积为 24 ．6.对某条路线的长度进行n 次测量，得到n 个结果如果用x 作为这条线路长度的近似值，当图5图6图7x=12nx x x n+++L 时22212)()()n x x x x x x -+-++-L （最小， x 所取的这个值是我们常用的统计量：平均数7. 为宣传2022年北京张家口冬季奥运会，小王在网上销售一种成本为20元件的本届冬季奥运会宣传文化衫，销售过程中的其他各种费用不再含文化衫成本总计百元，有关销售量百件与销售价格元件的相关信息如下：销售量百件销售价格元件求销售这种文化衫的纯利润百元与销售价格元件的函数关系式；销售价格定为多少元件时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：当时，；当时，；当时，，，抛物线开口向下，w 随x 的增大而增大，当x=40时w 取得最大值百元；当时，，，随x 的增大而增大，当时，百元，答：销售价格定为40元件时，获得的利润最大，最大利润是40百元． 8.已知，在以O 为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A ，且经过点，与x 轴分别交于C 、D 两点．求直线OB 以及该抛物线相应的函数表达式；如图8，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，求四边形A MON 的最大值；如图9，过点A 的直线交x 轴于点E ，且轴，点P 是抛物线上A 、D 之间的一个动点，直线PC 、PD 与AE 分别交于F 、G 两点当点P 运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：设直线OB 解析式为，由题意可得，解得，直线OB 解析式为，抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析式为，抛物线经过，，解得，抛物线为；设，，则N 的横坐标为，纵坐标为，轴，，得，=，．理由如下：如图9，过点P 作轴交x 轴于Q ，在中，令可得，解得或，，，设，则，，，， ∽，，，同理∽得，，，当点P 运动时，为定值8．中考真题1.（2019 襄阳）如图10，在直角坐标系中，直线y ＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y ＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，图10则x＝6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24），即﹣24a＝3，解得：a ＝﹣，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x2+x+3…①；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y ＝﹣x+3，则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝＝＝tanα，则cosα＝，设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3），则PH＝PG cosα＝（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵＜0，故PH有最小值，此时x＝3，则点P（3，）；（3）①当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（2，3）；②当点Q在x轴下方时，Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，当∠ABC＝∠ABQ′时，直线BC表达式的k值为﹣，则直线BQ′表达式的k值为，设直线BQ′表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得：直线BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②，联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6），故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）；当∠ABC＝∠ABQ′时，同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝x﹣…③，联立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6），故点Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12），由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，﹣12）；综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．2．（2019 黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得，∴，∴y＝﹣﹣x+2；（2）∵△PAM≌△PBM，∴PA＝PB，MA＝MB，∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB＝2，∴点P的纵坐标是1，∴1＝﹣﹣x+2，∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，MF＝MD＝4﹣t，∴BF＝4﹣4+t＝t，∴S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；当t＝时，S最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（，），∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，①当OK＝OH时，＝+，∴m2﹣4m﹣8＝0，∴m＝2+2或m＝2﹣2；②当OH＝HK时，+＝+，∴m2﹣8＝0，∴m＝2或m＝﹣2；③当OK＝HK时，＝+，不成立；综上所述：Q（2+2，0）或Q（2﹣2，0）或Q（2，0）或Q（﹣2，0）；3.（2019 鄂州）如图12，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F 的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图12解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c 中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点E、F关于直线x＝1对称，又E到对称轴的距离为1，∴EF＝2，∴F点的横坐标为2，将x＝2代入y＝﹣x+3中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC与△BMN 相似，则，即：，解得：t ＝或﹣或3或1（舍去、﹣、3），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t＝；第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中∵∠OBQ＝45°，∴BQ＝，∴BO＝，即3＝，∴t＝；第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意综上述，当t＝或秒时，△BOQ为等腰三角形．4.（2019 荆州）如图13，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．图13解：（1OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P∵C（4，3）∴OC＝∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7∴F（7，）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E'F：y＝﹣x+21当﹣x+21＝0时，解得：x＝∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2＝∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2 则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴＝7+4或7﹣4，即＝11或3当x＝3时，＝﹣×9+×9﹣＝∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴＝﹣×49+×7﹣＝4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．。

云南中考数学第一部分教材知识梳理第三章第四节二次函数-人教版初中九年级全册数学试题

函数第四节二次函数命题点1 二次函数的图象性质(省卷考查1次)1. (’13某某9题3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )第1题图A. a＞0B. 3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C. a＋b＋c＝0D. 当x＜1时，y随x的增大而减小2. (’14某某12题3分)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．命题点2 二次函数与几何图形结合(省卷考查1次，某某考查3次，某某考查3次)1. (’14某某24题12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A(－3，0)、B(1，0)、C(0，3)三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线解析式；(2)F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE＝12，求点O到直线AF的距离；(3)点P是x轴上一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. (’13某某24题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c，点D为AB上一动点，过点D作DC ⊥x轴于点C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝4时，求四边形OAEB的面积；(3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．第2题图3. (’15某某23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n(k≠0)经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC＝5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图4. (’15某某23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋32x＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝32.(1)求抛物线的解析式；(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H.当线段CM＝CH时，求点M的坐标；(3)在(2)的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．5. (’15某某24题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B(0，－2)，A 为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c与x轴交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；(3)判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．第5题图【答案】命题点1 二次函数的图象性质1. B 【解析】选项逐项分析正误 A二次函数图象开口方向的确定，a >0，开口向上，a <0，开口向下 ×B根据二次函数图象的对称性，图象经过点(－1，0)，对称轴是x ＝1，则二次函数图象必经过点(3，0)√C 当x ＝1时，与二次函数图象的交点在x 轴的上方，所以a ＋b ＋c >0 × D当x <1时，二次函数图象是上升趋势，y 随x 的增大而增大×2. (1，2) 【解析】本题可以利用配方法把二次函数的解析式化成顶点式得y ＝(x －1)2＋2，则可得其顶点坐标为(1，2)．命题点2 二次函数与几何图形结合 1.解：(1)根据题意，得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝－x 2－2x ＋3；(3分)第1题解图 (2)当x ＝－2ba＝－1时，y ＝4， ∴顶点D (－1，4)， ∴AE ＝－1－(－3)＝2， ∵在Rt△AEF 中，tan∠AFE ＝12， ∴AE EF ＝2EF＝12， ∴EF ＝4，∴F (－1，－4)，(5分)如解图，过O 作OH ⊥AF 于点H ，根据勾股定理得，AF =∵S △AOF ＝12OH ＝12×OA ×EF ＝12×3×4，∴OH ，即点O 到直线AF ；(7分) (3)若以点O 、F 、P 、Q 为顶点的平行四边形存在，则点Q (x ，y )满足|y |＝|EF |＝4， ①当y ＝－4时，－x 2－2x ＋3＝－4，解得x ，∴Q 1(－1－，－4)，Q 2(－1＋，－4)，∴P 1(－，0)，P 2，0)．(10分) ②当y ＝4时，－x 2－2x ＋3＝4，解得x ＝－1， ∴Q 3(－1，4)， ∴P 3(－2，0)．(11分)综上所述，符合条件的点有三个，即：P 1(－，0)，P 2，0)，P 3(－2，0)．(12分) 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝－4， ∴A (－4，0)、B (0，4)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过A 、B 两点，∴41640c b c =⎧⎨--+=⎩，解得34b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－3x ＋4；(3分) (2)如解图①：连接AE ，BE .设点D (x ，x ＋4)、E (x ，－x 2－3x ＋4)，则DE ＝CE －CD ＝－x 2－3x ＋4－(x ＋4)＝4，解得x1＝x2＝－2.当x＝－2时，y＝－x2－3x＋4＝6，即：E(－2，6)．∴S四边形OAEB＝S△ACE＋S梯形CEBO＝12×6×2＋12×(4＋6)×2＝16；(7分)第2题解图(3)存在，理由如下：设点E(x，－x2－3x＋4)，①当BE∥x轴时(如解图①)，△DBE∽△DAC.∵EC⊥x轴，∴EC＝BO，则－x2－3x＋4＝4，解得：x1＝0(舍去)，x2＝－3.当x＝－3时，y＝x＋4＝1，∴D1(－3，1)．(9分)②当BE⊥AB时(如解图②)，△DBE∽△DCA.过点B作BF⊥DE交DE于点F，则F(x，4)、D(x，x＋4)，由(1)知∠OAB＝45°，∴△BED是等腰直角三角形，∴EF＝FD，∴－x2－3x＋4－4＝4－(x＋4)，化简得x2＋2x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.当x2＝－2时，y＝x＋4＝2，∴D2(－2，2)．综上，点D的坐标为：(－3，1)或(－2，2)．(12分) 3.解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，∴OC＝3，∵在Rt△BOC中，OC＝3，BC＝5，∴OB4，∴点B的坐标为(4，0)，(1分)将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线y＝kx＋n(k≠0)中，得403k nn+=⎧⎨=⎩，解得343kn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝－34x＋3.(2分)∵点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，∴16403a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得341543abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为y＝34x2－154x＋3.(4分)(2)存在．由(1)知抛物线解析式为y＝34x2－154x＋3，对称轴l为直线x＝－154324-⨯＝52，第3题解图设点P的坐标为(52，t)，如解图，过点C作CD⊥l于点D，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为(52，3)，点M的坐标为(52，0)，则CD＝52，PD＝|t－3|，PM＝|t|，BM＝4－52＝32，∴PC2＝CD2＋PD2＝254＋(t－3)2，PB2＝PM2＋BM2＝t2＋94，BC2＝25.(5分)当△BCP是直角三角形时，则有：(i)当∠BCP＝90°时，即PC⊥BC，PC2＋BC2＝PB2，即254＋(t－3)2＋25＝t2＋94，解得t＝193，此时点P的坐标为(52，193)；(6分)(ii)当∠PBC＝90°时，即BP⊥BC，BP2＋BC2＝PC2，即t2＋94＋25＝254＋(t－3)2，解得t＝－2，此时点P的坐标为(52，－2)；(7分)(iii)当∠BPC＝90°时，即CP⊥BP，BP2＋PC2＝BC2，即t2＋94＋254＋(t－3)2＝25，解得t1＝3262+，t2＝3262-，此时点P的坐标为(52，362+)，(52，3262-)．(8分)综上可得，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为(52，193)，(52，－2)，(52，32+)，(52，32-)．(9分)4. 解：(1)解法一： ∵抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝32， b ＝32， ∴a ＝－12，(1分) 把A (4，0)，a ＝－12代入y ＝ax 2＋32x ＋c 中，解得c ＝2，(2分) ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2. 解法二：∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A (4，0)，A 、B 两点关于直线x ＝32对称， ∴B (－1，0)，把A (4，0)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2＋32x ＋c 中，得1660302a c a c ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，(2分) ∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.(3分) (2)当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (4，0)，C (0，2)代入y ＝kx ＋b 得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋2.(4分) ∵点M 在抛物线上，点H 在AC 上，MG ⊥x 轴，设点M 坐标为(m ，－12m 2＋32m ＋2)，则点H 坐标为(m ，－12m ＋2)，∴MH ＝－12m 2＋32m ＋2－(－12m ＋2)＝－12m 2＋2m ， HG ＝－12m ＋2，第4题解图①如解图①，连接CM ，过点C 作CE ⊥MH 于点E ， ∵CM ＝CH ，OC ＝GE ＝2，∴MH ＝2EH ＝2(GE －HG )＝2×[2－(－12m ＋2)]＝m ， ∴－12m 2＋2m ＝m ，(5分) 化简得m 2－2m ＝0，解得m 1＝2，m 2＝0(不符合题意，舍去)，当m ＝2时，y ＝－12m 2＋32m ＋2＝3， ∴M (2，3)．(6分)(3)存在点P ，使以P 、N 、G 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下：∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，A (4，0)，A 、B 两点关于直线x ＝32对称， ∴B (－1，0)，由第(2)问可得G (2，0)，∵AC 2242+5BC 2212+5AB ＝5，在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝52＋52＝25＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，线段MG 绕点G 旋转过程中，与抛物线交于点N . (i)当NP ⊥x 轴时，∠NPG ＝90°，设P 点坐标为(n ，0)，则N 点的坐标为(n ，－12n 2＋32n ＋2)，第4题解图② 分两种情况：①当111N P PG AC CB=时， ∵∠N 1P 1G ＝∠ACB ＝90°，∴△N 1P 1G ∽△ACB ， 213222255n n -++= 化简得n 2＋n －12＝0，解得n 1＝3，n 2＝－4(不符合题意，舍去)，∴P 1(3，0)．(7分)②当222N P P G BC CA=时， ∵∠N 2P 2G ＝∠BCA ＝90°，∴△N 2P 2G ∽△BCA ， 213222525n n -++= 化简得n 2－2n －6＝0，解得n 1＝17，n 2＝17(不符合题意，舍去)，∴P 2(17，0)．(ii)当NP ⊥NG 交x 轴于点P ，∠GNP ＝90°，分两种情况：①∵N 1P 3⊥N 1G 交x 轴于点P 3，此时△N 1P 3G ∽△P 1N 1G ，∴△N 1P 3G ∽△CAB ，∵N 1P 1⊥P 3G ，∴△N 1P 1P 3∽△BCA ， ∴1311PP N P BC CA=，当x ＝3时，N 1P 1＝－12×32＋32×3＋2＝2， ∴P 1P 3＝4，则OP 3＝3＋4＝7，∴点P 3(7，0)不在线段GA 上，不符合题意，舍去．②∵N 2P 4⊥N 2G 交x 轴于点P 4，此时△N 2P 4G ∽△P 2N 2G ，∴△N 2P 4G ∽△CBA ，∵N 2P 2⊥P 4G ，∴△N 2P 2P 4∽△ACB ， ∴2224N P P P AC CB=，当x ＝1时，N 2P 2＝－12)2＋32)＋2＝12，∴P 2P 4，则OP 4＝1＞4，∴点P 4，0)不在线段GA 上，不符合题意，舍去．综上所述，共有两个点满足条件，分别为P 1(3，0)，P 2(1，0)．5. (1)【思路分析】先由题中已知条件A 为OB 的中点，求出点A 的坐标，再根据抛物线的对称轴为y 轴，即可求得点C 1D 的坐标，再用待定系数法求解抛物线的解析式；(2)根据第(1)问得到的抛物线的解析式，可以表示出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，根据等腰三角形的性质求出OM ，再由OM 与P 点的纵坐标关系，列出方程进行解答；(3)过点P 作PN ⊥l 于点N ，交x 轴于点Q ，证明PN ＝PO ，从而得直线l 与⊙P 相切．解：(1)∵A 为OB 的中点，B (0，－2)，∴A (0，－1)，∵抛物线y ＝ax 2＋c 对称轴为y 轴，CD ＝4，∴C (－2，0)，D (2，0)，把A (0，－1)，D (2，0)代入抛物线y ＝ax 2＋c 得： 140c a c =-⎧⎨+=⎩，解得141a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝24x －1.(3分)第5题解图①(2)设点P (x ，24x －1)，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，如解图①，则OM ＝12OE ＝1， ∴|24x －1|＝1， ∴24x －1＝1或24x －1＝－1，解之得x 1＝22，x 2＝－22，x 3＝0，∴点P 坐标是P 1(22，1)，P 2(－22，1)，P 3(0，－1)．第5题解图②(3)直线l 与⊙P 相切．(9分)设点P (x ，24x －1)，过点P 作PN ⊥l 于点N ，交x 轴于点Q ，如解图②，在Rt△POQ 中，PO 2＝OQ 2＋QP 2＝ x 2＋(24x －1)2＝x 2＋416x －22x ＋1＝ 416x ＋22x ＋1， PN 2＝[24x －1－(－2)]2＝416x ＋22x ＋1， ∴PN ＝PO ，∴直线l 与⊙P 相切．(12分)。

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