分类讨论思想方法解决含参一元二次不等式问题
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中图分 类号 ：Ｇ ６ ３ ４ ．６ 文 献标 志码 ：Ａ 文章 编号 ： ２ ０ ９ ５— ９ ２ １ ４（ ２ ０ １ ６ ）１ ２ — ０ ０ ３ ６— ０ １
数学 中的分类 讨论 思想 方法 ，是指 有些 问 题 的结 论 在解 题 中不 能以统 一 的形式进 行研 究 ，或者些 问题 的已知 量是 用 字 母表 示 数 的
分析 ：题中并没有指 明关于 Ｘ 的方程是一次方程还是二次方程 ，所 以要分两种情况讨论。当 ｎ＝ Ｏ时 ， 一 ≤０，所以 ≥０；当 ０≠０ 时，
方程为一元二次方程 ，由开 口方向和 △决定 函数的图像 ， △＝ ４ （ １ —０ ２ ）。
当０＞ ０， △＜ ０ 时 ，即 口＞１， 解集为 ‘ ｐ ；△＝ ０ 时 ，即Ⅱ：１ ，解集
＝
ｆ Ｌ ｌ １ — － ￣ ／ — １ － ｏ ２ ≤ ≤ Ｌ ±
０
０
Ｊ
当 口 ＜ ０ ， ａ ≤ ０ 时 ， 即 ≤ 一
二 ＜ Ｌ＿ ＿
Ⅱ
，
１ 时， 解 集 为 ∈ Ｒ； △ ＞ ０时 ， 即 一１ ＜ 口 ＜ ０时 ， 两 根 为 。 ． ＝ Ｌ土 ＿
；当 。 ＝ １时，解 集 为 ＝ １ ；当 ０＜ｎ ＜１时 ，解 集 为 解 集 为
与Ｘ 轴有 交点 ， ＝０ 、 ｎ ， 解为 ［ ０ ， ｏ ］。 综合 上述 ：当 口＝ ０时 ，解集 为 Ｘ Ｅ Ｒ ；当 Ⅱ＞ ０ ，解 为 （ 一＊ ， ０ ］ ， ［ 口 ， ＋ ）。当 ０＜ ０时 ； Ⅱ＜ ０时 ，解为 ［ ０ ， ｎ ］。 本题 对方 程 的次数进 行 分类讨 论是 结论完 整 的关键 。 例２ ．求解 关 于 Ｘ 的不 等式 ： ３ ｘ 一。 一。＞０。 分 析 ：题 中并 指 明关 于 Ｘ的方 程 是 二 次 方 程 ，图像 开 口向上 ， 所 以要 根据 △分三 种情况 讨论 ， △ ＝。 ＋１ ２ ａ。当 △ ＜ ０时 ，即 口∈ （ 一１ ２ ， ０ ），解集 为 Ｘ∈Ｒ；当 △ ＝ ０时 ，即 ｎ＝一１ ２ 或 ０＝０，解 集
求解 时需 要注 意对 Ｘ的范 围取交集 。
综上所述 ，当 ０＝０ 或 Ⅱ＝ｌ， 解集为 ｛ ｎ ） ；当 。＜ Ｏ 或 ０＞ １ 时， 解集为 ｛ ｌ ０≤ ≤０ ， ２ ） ；当 ０ ＜０＜ １ 时， 解 集为 ｛ ｌ ａ ２≤ ≤口 ） 。 本题 对方程 的根 的大 小进行 分类讨 论是 结论 完整 的关键 。 例４ ．求解关 于 Ｘ的不等 式 ： ｎ 一 ２ ｘ＋０≤ ０。
．
为 ＝１ ；△＞ Ｏ时，即 ０＜。＜１， 两根为 Ｘ １ ＝ ± 一 ２
，
／ ＝ ——＿ 『
。需讨论
Βιβλιοθήκη Baidu
两 根 的 大 小， 可 知
ａ
＜ Ｌ
ａ
，
解 集 为
例１ ．求解关 于 ｘ的不等 式 ： ｏ 一。 ≥ ０。 分析 ：题 中并没 有指 明关 于 ｘ的方程 是一 次方程 还是 二次 方程 ， 所 以要分 两种情 况讨 论 。当 ｏ＝ ０时 ，方 程 恒成 立 ，解集 为 Ｘ Ｅ Ｒ； 当 。≠ ０时 ，方程 为一元 二次 方 程 ，由开 口方 向和 △ 决定 函数 的 图 像， △ ＝。 ≥Ｏ恒成立 。当 口＞ ０ ， △ｔ ＞０时 ，方 程与 ｘ 轴 有交 点
０
。
需 讨论 两根 的大小 ， 可 知Ｌ＋ 一
Ⅱ
０ 、 ０ ，解为 （ 一。 。 ， ０ ］ ， ［ 口 ， ＋。 。 ）。当 口＜ ０时 ， △ｔ ＞０时 ，方程
解 集 为 ｆ Ｌ Ｉ ｌ ≤ 一 ＋ Ⅱ 或 ≥ Ｌ ＿ 一 “ Ｊ １ 。
综上所述 ，当 ｏ＝０ 时， 解集为 ｛ ｌ ≥Ｏ ） ；当 口＞ １ 时，解集为
ｎ＞ １ 时 ，解集 为 ｛ １ ０≤ ≤０ １ ２ ） ；当 。＞。 时 ，即 ０＜Ⅱ ＜ １时 ，
解集 为 ｛ ｌ ０ ２ ≤ ≤ｎ ） 。
形 式 给出 的 ，这样 字母 的取值 不 同也会 影 响 问题 的解 决 ，虽 然 需要 讨论 ， 但 就 其解题 方法 及转化 手段 而 言都 是 一致 的，所 以在 解 题 过 程 中并 不复 杂 ，只需条 理清 晰 。 不 等式 是高 考的一 个重 要考 点 ，其 中解 一 元 二次 不 等式 是 重 点 考查 的 内容 ，在 近几年 的高 考试题 中 ，导 数一 直 是作 为 必考 的重 点 内容 出现 的。而 其 中 含参 一 元 二 次 不 等 式 更 是 高 考 导 数 内 容 的 难 点 ，由于参 数 的不确定 性和 任意 性加 大 了不 等式 求 解 的难 度 ，对 参 数 的值需要 分类 讨论 ，最后 综合 各类 结 果总 结 。下 面给 出 五道 例 题 分别 针对参 数 的 不 同 位 置 对 参 数 进 行 讨 论 ：例 １参 数 是 二 次 项 系 数 ，需 考虑 退化 为一 次函数 的情 况 ；例 ２参数 是 一次 项 系 数需 讨 论 △的 三种 情况 ；例 ３ 方 程 可 因式 分解 需讨 论 两根 的 大小 ；例 ４首 先 对二 次项 系数进 行 分 类讨 论 ，然 后 对 方 程 根 的个 数 进行 分 类 讨 论 ， 当 △ ＞０时又对 方程 的 根 的大 小 进 行分 类 讨 论 ；例 ５是 不 等 式 组 ，
ｌ 中学教育 Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ Ｉ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ… ｌ … ｌ … ｌ ｌ … … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ …… … … ｌ … ｌ … ｌ １ 隧… …ｌ 嘲… … … … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ ｌ 隧１
分类讨论 思想方法解决 含参一 元二次不等 式问题
文／ 栗 晓 倩
摘 要 ：新课 标 中明确提 出要 求 学生掌握 求解 一元二 次 不等式 的基 本 方 法 ，通 过对 不 等式 的研 究 ，将 不 等 式、 方程 与 函数 有机 地 结 合 起 来 。舍 参 一元二 次 不等式 问题 需要对 参数 的值进 行分 类讨论 ，在 解题过 程 中考察 学生 的逻辑性 、综 合性 、 探 索性 ，思维条 理性和 概括 性。 关键 词 ：含参 ；一 元二 次不等 式 ；分类讨 论思 想
数学 中的分类 讨论 思想 方法 ，是指 有些 问 题 的结 论 在解 题 中不 能以统 一 的形式进 行研 究 ，或者些 问题 的已知 量是 用 字 母表 示 数 的
分析 ：题中并没有指 明关于 Ｘ 的方程是一次方程还是二次方程 ，所 以要分两种情况讨论。当 ｎ＝ Ｏ时 ， 一 ≤０，所以 ≥０；当 ０≠０ 时，
方程为一元二次方程 ，由开 口方向和 △决定 函数的图像 ， △＝ ４ （ １ —０ ２ ）。
当０＞ ０， △＜ ０ 时 ，即 口＞１， 解集为 ‘ ｐ ；△＝ ０ 时 ，即Ⅱ：１ ，解集
＝
ｆ Ｌ ｌ １ — － ￣ ／ — １ － ｏ ２ ≤ ≤ Ｌ ±
０
０
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当 口 ＜ ０ ， ａ ≤ ０ 时 ， 即 ≤ 一
二 ＜ Ｌ＿ ＿
Ⅱ
，
１ 时， 解 集 为 ∈ Ｒ； △ ＞ ０时 ， 即 一１ ＜ 口 ＜ ０时 ， 两 根 为 。 ． ＝ Ｌ土 ＿
；当 。 ＝ １时，解 集 为 ＝ １ ；当 ０＜ｎ ＜１时 ，解 集 为 解 集 为
与Ｘ 轴有 交点 ， ＝０ 、 ｎ ， 解为 ［ ０ ， ｏ ］。 综合 上述 ：当 口＝ ０时 ，解集 为 Ｘ Ｅ Ｒ ；当 Ⅱ＞ ０ ，解 为 （ 一＊ ， ０ ］ ， ［ 口 ， ＋ ）。当 ０＜ ０时 ； Ⅱ＜ ０时 ，解为 ［ ０ ， ｎ ］。 本题 对方 程 的次数进 行 分类讨 论是 结论完 整 的关键 。 例２ ．求解 关 于 Ｘ 的不 等式 ： ３ ｘ 一。 一。＞０。 分 析 ：题 中并 指 明关 于 Ｘ的方 程 是 二 次 方 程 ，图像 开 口向上 ， 所 以要 根据 △分三 种情况 讨论 ， △ ＝。 ＋１ ２ ａ。当 △ ＜ ０时 ，即 口∈ （ 一１ ２ ， ０ ），解集 为 Ｘ∈Ｒ；当 △ ＝ ０时 ，即 ｎ＝一１ ２ 或 ０＝０，解 集
求解 时需 要注 意对 Ｘ的范 围取交集 。
综上所述 ，当 ０＝０ 或 Ⅱ＝ｌ， 解集为 ｛ ｎ ） ；当 。＜ Ｏ 或 ０＞ １ 时， 解集为 ｛ ｌ ０≤ ≤０ ， ２ ） ；当 ０ ＜０＜ １ 时， 解 集为 ｛ ｌ ａ ２≤ ≤口 ） 。 本题 对方程 的根 的大 小进行 分类讨 论是 结论 完整 的关键 。 例４ ．求解关 于 Ｘ的不等 式 ： ｎ 一 ２ ｘ＋０≤ ０。
．
为 ＝１ ；△＞ Ｏ时，即 ０＜。＜１， 两根为 Ｘ １ ＝ ± 一 ２
，
／ ＝ ——＿ 『
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Βιβλιοθήκη Baidu
两 根 的 大 小， 可 知
ａ
＜ Ｌ
ａ
，
解 集 为
例１ ．求解关 于 ｘ的不等 式 ： ｏ 一。 ≥ ０。 分析 ：题 中并没 有指 明关 于 ｘ的方程 是一 次方程 还是 二次 方程 ， 所 以要分 两种情 况讨 论 。当 ｏ＝ ０时 ，方 程 恒成 立 ，解集 为 Ｘ Ｅ Ｒ； 当 。≠ ０时 ，方程 为一元 二次 方 程 ，由开 口方 向和 △ 决定 函数 的 图 像， △ ＝。 ≥Ｏ恒成立 。当 口＞ ０ ， △ｔ ＞０时 ，方 程与 ｘ 轴 有交 点
０
。
需 讨论 两根 的大小 ， 可 知Ｌ＋ 一
Ⅱ
０ 、 ０ ，解为 （ 一。 。 ， ０ ］ ， ［ 口 ， ＋。 。 ）。当 口＜ ０时 ， △ｔ ＞０时 ，方程
解 集 为 ｆ Ｌ Ｉ ｌ ≤ 一 ＋ Ⅱ 或 ≥ Ｌ ＿ 一 “ Ｊ １ 。
综上所述 ，当 ｏ＝０ 时， 解集为 ｛ ｌ ≥Ｏ ） ；当 口＞ １ 时，解集为
ｎ＞ １ 时 ，解集 为 ｛ １ ０≤ ≤０ １ ２ ） ；当 。＞。 时 ，即 ０＜Ⅱ ＜ １时 ，
解集 为 ｛ ｌ ０ ２ ≤ ≤ｎ ） 。
形 式 给出 的 ，这样 字母 的取值 不 同也会 影 响 问题 的解 决 ，虽 然 需要 讨论 ， 但 就 其解题 方法 及转化 手段 而 言都 是 一致 的，所 以在 解 题 过 程 中并 不复 杂 ，只需条 理清 晰 。 不 等式 是高 考的一 个重 要考 点 ，其 中解 一 元 二次 不 等式 是 重 点 考查 的 内容 ，在 近几年 的高 考试题 中 ，导 数一 直 是作 为 必考 的重 点 内容 出现 的。而 其 中 含参 一 元 二 次 不 等 式 更 是 高 考 导 数 内 容 的 难 点 ，由于参 数 的不确定 性和 任意 性加 大 了不 等式 求 解 的难 度 ，对 参 数 的值需要 分类 讨论 ，最后 综合 各类 结 果总 结 。下 面给 出 五道 例 题 分别 针对参 数 的 不 同 位 置 对 参 数 进 行 讨 论 ：例 １参 数 是 二 次 项 系 数 ，需 考虑 退化 为一 次函数 的情 况 ；例 ２参数 是 一次 项 系 数需 讨 论 △的 三种 情况 ；例 ３ 方 程 可 因式 分解 需讨 论 两根 的 大小 ；例 ４首 先 对二 次项 系数进 行 分 类讨 论 ，然 后 对 方 程 根 的个 数 进行 分 类 讨 论 ， 当 △ ＞０时又对 方程 的 根 的大 小 进 行分 类 讨 论 ；例 ５是 不 等 式 组 ，
ｌ 中学教育 Ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ Ｉ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ… ｌ … ｌ … ｌ ｌ … … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ …… … … ｌ … ｌ … ｌ １ 隧… …ｌ 嘲… … … … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ … ｌ ｌ 隧１
分类讨论 思想方法解决 含参一 元二次不等 式问题
文／ 栗 晓 倩
摘 要 ：新课 标 中明确提 出要 求 学生掌握 求解 一元二 次 不等式 的基 本 方 法 ，通 过对 不 等式 的研 究 ，将 不 等 式、 方程 与 函数 有机 地 结 合 起 来 。舍 参 一元二 次 不等式 问题 需要对 参数 的值进 行分 类讨论 ，在 解题过 程 中考察 学生 的逻辑性 、综 合性 、 探 索性 ，思维条 理性和 概括 性。 关键 词 ：含参 ；一 元二 次不等 式 ；分类讨 论思 想