深圳市毕业班2018届高考数学一轮复习模拟试题(2)含答案
2018年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)
2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A={x|x−1<0}，集合B={x|x2<4}，则A∩B=()A.(−2, 1)B.(−∞, 2)C.(−∞, −2)D.(−∞, 1)∪(2, +∞)2. 已知i为虚数单位，则复数z=|√3−i|1+i的共轭复数z为（）A.2+2iB.2−2iC.1+iD.1−i3. 某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）A.3 5B.12C.25D.3104. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为（）A.−3B.0C.3D.65. 已知点P(1, m)在椭圆x24+y2=1的外部，则直线y=2mx+√3与圆x2+y2=1的位置关系为（）A.相离B.相交C.相切D.相交或相切6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.2 3B.1C.43D.537. 九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图1：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是哪种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图2所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为( )A.170B.256C.341D.6828. 已知椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2√3，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2√33D.√39. 已知定义在R上的偶函数f(x)对任意实数x都有f(x−4)=f(x+4)，当0≤x≤4时，f(x)=x2−2x，则f(x)在区间[12, 16]上（）A.有最小值f(16)B.有最小值f(15)C.有最小值f(13)D.有最小值f(12)10. 已知点P1，P2为曲线y=√2sinωx−cosωx(x∈R)（常数ω>0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则ω的值为（）A.√33B.√22C.√2D.√311. 如图，在四棱锥P−ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且AB=√2．设点M、N分别为线段PD、PO上的动点．已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.9π2B.16π3C.25π4D.64π912. 已知对∀n∈N∗，关于x的函数f n(x)=x+(1−a n)lnx(n<x<n+1)都不单调，其中a n(n=1, 2,…,k,…)为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[0.8]=0，[π]=3，设b n=[√a n3brack，记常数{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）A.310B.309C.308D.307二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知a <0，实数x ，y 满足{x +1≥0x +y +a ≤0x −y −2≤0 ，若z =x +2y 的最大值为5，则a =________．若(x −4x )n 的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为________．已知A 、B 、C 为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A 、B 相距600公里，且B 在A 的正东方向；A 、C 相距600√3公里，且C 在A 的东偏北30∘方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T ，若在T 站发射信号时，A 站总比B 站要迟200秒才能接收到信号，则C 站比A 站最多迟________秒可接收到该信号．（A 、B 、C 、T 站均可视为同一平面上的点）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B 为锐角，且acosB +bsinB =c ．（1）求角C 的大小；（2）若B =π3，延长线段AB 至点D ，使得CD =√3，且△ACD 的面积为3√34，求线段BD的长度．如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABD 和△BDC 均为等腰直角三角形，且∠BAD =∠BDC =90∘．已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且BC =4BG ，点M 是AG 上的动点． （1）证明：BC ⊥MF ；（2）当MF // 平面ACD 时，求二面角G −MF −E 的余弦值．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y ^=b ^t +a ^，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x 及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y ^=b ^x +a ^，其中b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑−i=1n xi2nx 2，a ^=y −b ^x ； ②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3； ③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．已知实数p >0，且过点M(0, −p 2)的直线l 与曲线C:x 2=2py 交于A 、B 两点． （1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=1，求p 的值；（2）设直线MT 1、MT 2与曲线C 分别相切于点T 1、T 2，点N 为直线T 1T 2与弦AB 的交点，且MA →=λMN →，MB →=μMN →，证明：1λ+1μ为定值．已知函数f(x)=xe ax ．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数） （1）求函数f(x)的极值；（2）当a =1时，若f(x)−lnx −bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=√31+2sin 2θ，点A(ρ1,π2)，B(ρ2,−π2)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（2）若点A、B在曲线C上，且点M（异于A、B两点）为曲线C上的动点．在直角坐标系中，设直线MA，MB在x轴上的截距分别为a，b，求|a+b|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]|(a≠0)．已知函数f(x)=|x−a|+|x+a+1a（1）证明：f(x)≥2√2；（2）若f(2)≤3，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】分别求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x−1<0}={x|x<1}，集合B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|−2<x<1}=(−2, 1)．故选A.2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】求出分子的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=|√3−i|1+i =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z=1+i．3.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：从五人中选出三人的选法有C53=10种，其中甲、乙均被选中的情况有C31=3种，所以所求概率P=310．故选D．4.【答案】B等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则S3=3a1+3×22×d=9+3d=3，解得d=−2，所以S4=4a1+4×32×d=12+(−12)=0．故选B．5.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：因为点P(1,m)在椭圆的外部，所以14+m2>1，即m2>34，因为圆心(0,0)到直线y=2mx+√3的距离d=√322=√3√4m2+1<√32<1，所以直线y=2mx+√3与相交．故选B．6.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱和一个四棱锥的组合体，进而得到答案．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱和一个四棱锥的组合体，V三棱柱=12×2×1×1=1，V四棱锥=13×2×1×1=23，∴该几何体的体积为1+23=53．7.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得i=1，S=1i=2，满足条件i为偶数，S=2不满足条件i>8，执行循环体，i=3，不满足i为偶数，S=5；不满足条件i>8，执行循环体，i=4，满足i为偶数，S=10；不满足条件i>8，执行循环体，i=5，不满足i为偶数，S=21；不满足条件i>8，执行循环体，i=6，满足i为偶数，S=42；不满足条件i>8，执行循环体，i=7，不满足i为偶数，S=85；不满足条件i>8，执行循环体，i=8，满足i为偶数，S=170；不满足条件i>8，执行循环体，i=9，不满足i为偶数，S=341；此时，满足条件i>8，退出循环，输出S的值为341．故选C.8.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】由题意求出c=2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2√3，求出b=√3，即可求出a=1，根据离心率公式计算即可【解答】∵椭圆x24+m2+y2m2=1与双曲线x2a2−y2b2=1有共同的焦点，∴4+m2−m2=a2+b2，∴双曲线的焦点坐标为(−2, 0)，(2, 0)设F=(2, 0)其渐近线方程为y=±bax，∵焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为2√3，∴2×√a2+b2=2√3，∴2bc=√3，∴b=√3，∴a2=c2−b2=1，∴e=ca=2，9.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(x−4)=f(x+4)知函数f(x)的周期为8，因为函数f(x)是定义在R的偶函数，部分图象，如图所示由图知函数f(x)在[12,16]有最小值f(15)．故选B．10.【答案】A【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】利用辅助角公式化简，求解相邻两个对称中心以及切线，根据切线互相垂直建立关系即可求解ω的值．【解答】；解：曲线y=√2sinωx−cosωx=√3sin(ωx−θ)，tanθ=√22y′=√2ωcosωx+ωsinωx．令ωx−θ=kπ，k∈Z．, 0)，由k=0，可得一个对称中心为P1(θωk=1时，可得相邻的对称中心为P2(π+θ, 0)，ω曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，即斜率k的乘积为−1，∴(√2ωcosθ+ωsinθ)[√2ωcos(π+θ)+ωsin(θ+π)]=−1，∴(√2ωcosθ+ωsinθ)2=1，2ω2cos2θ+2√2ω2sinθcosθ+ω2sin2θ=1，即2ω2+2√2ω2×tanθ+ω2tan2θ=tan2θ+1，解得：ω=√3．3故选A．11.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的面积求解【解析】此题暂无解析【解答】解：因为点O既是正方形ABCD的中心，又是点P在底面ABCD上的投影，所以AN= BN．由平面几何知识可知，当B,N,M三点共线且BM⊥PD时，AN+MN取得最小值，BD，又BD=√2AB=由此时点M恰为PD的中点知△PBD为等边三角形，所以PO=√322，所以PO=√3．设四棱锥P−ABCD的外接球的半径为R，球心为O′，显然O′在线段球的表面积S=4πR2=16π．3故选B．12.【答案】D【考点】数列的求和【解析】根据关于x的函数f n(x)=x+(1−a n)lnx(n<x<n+1)都不单调，其f n′(x)=0(n< x<n+1)有解．可得a n的范围，根据定义[x]为不超过实数x的最大整数，设b n=3brack，可得b1，b2，……b n的整数，即可求解数列{b n}的前100项和S100的值．[√a n【解答】根据关于x的函数f n(x)=x+(1−a n)lnx(n<x<n+1)都不单调，∴f n′(x)=1−a n+1=0在(n<x<n+1)有解．x可得：x=a n−1，∴n<a n−1<n+1∴n+1<a n<n+2当n=1时，可得2<a1<3，当n=2时，可得3<a2<4，……101<a100<102，3brack，设b n=[√a n可得：b1=b2=...=b6=1，b7=b8=...=b25=2．b26=b27=...=b62=3，b63=b64=……=b100=4．数列{b n}的前100项和为S100=b1+b2+……+b100=1×6+2×19+3×37+38×4=307．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据向量的数量积和向量的模即可求出．【解答】∵向量a→=(−3,4)，b→=(−1,t)，∴a→⋅b→=3+4t，|a→|=√(−3)2+42=5，∵a→∗b→=|a→|，∴3+4t=5，【答案】−2【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【解答】作出实数x，y满足{x+1≥0x+y+a≤0x−y−2≤0对应的平面区域如图：由图象可知z=x+2y在点A(−1, 1−a)处取得最大值，此时−1+2(1−a)=5，解得a=−2，【答案】96【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：令x=1，得(−3)n=81，解得n=4，所以(x−4x )n=(x−4x)4，所以(x−4x)4的展开式通项为T r+1=C4r x4−t(−4x )r=(−4)r C4r x4−2r，由4−2r=0，得r=2，所以该展开式中的常数项为(−4)2C42=96.故答案为：96．【答案】400【考点】轨迹方程【解析】求出T的轨迹方程，计算|BC|，从而当T，B，C三点共线时|TC|−|TA|取得最大值，求出此最大值即可得出答案．【解答】由题意可知|TA|−|TB|=200，∴T点轨迹为以A，B为焦点的双曲线的靠近B点的一支，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos30∘=360000，∴BC=600，∵|TC|−|TA|=|TC|−(|TB|+200)=|TC|−|TB|−200≤|BC|−200=400，∴当T，B，C三点共线时，|TC|−|TA|取得最大值400，故而C站比A站最多迟400秒可接收到该信号．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】解：(1)由题意及正弦定理可知sinAcosB+sin2B=sinC，∵ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sin2B=cosAsinB．∵ B∈(0,π2),∴ sinB>0,∴ sinB=cosA，即cos(π2−B)=cosA，∵ A∈(0,π),π2−B∈(0,π2),∴π2−B=A，即A+B=π2，∴ C=π2．(2)设BD=x,CB=a，∵ ∠ABC=π3,∠ACB=π2，∴ A=π6,∠DBC=2π3，且AC=√3a,AB=2a,AD=2a+x，∴S△ACD=12AC⋅AD⋅sinA=12×√3a×(2a+x)×12=3√34，即a(2a+x)=3在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠DBC，即x2+a2+ax=3联立可解得x=a=1，即BD=1．【考点】三角形求面积【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意及正弦定理可知sinAcosB+sin2B=sinC，∵ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，∴sin2B=cosAsinB．∵ B∈(0,π2),∴ sinB>0,∴ sinB=cosA，即cos(π2−B)=cosA，∵ A∈(0,π),π2−B∈(0,π2),∴π2−B=A，即A+B=π2，∴ C=π2．(2)设BD=x,CB=a，∵ ∠ABC=π3,∠ACB=π2，∴ A=π6,∠DBC=2π3，且AC=√3a,AB=2a,AD=2a+x，∴S△ACD=12AC⋅AD⋅sinA=12×√3a×(2a+x)×12=3√34，即a(2a+x)=3在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠DBC，即x2+a2+ax=3联立可解得x=a=1，即BD=1．【答案】(1)证明：∵ △ABD为等腰直角三角形，且∠BAD=90∘,∴ AB=AD.连结AF，∵点F是BD的中点，∴ AF⊥BD．∵侧面ABD⊥底面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD，∴ AF ⊥平面BDC ，∵ BC ⊂平面BDC ，∴ AF ⊥BC ． 取BC 的中点为N ，连结DN,FN ． 由BC =4BC 可知点G 是BN 的中点，又∵ 点F 是BD 的中点，∴ FG 是△BDN 的中位线， ∴ FG//DN ．∵ CD =BD,∴ BC ⊥DN,∴ BC ⊥FG.∵ BC ⊥AF,BC ⊥FG,AF ∩FG =F,∴ BC ⊥平面AFG ． 又∵ MF ⊂平面AFG ，∴ BC ⊥MF ．(2)解：连结MN ，∵ FN 是ΔBDC 的中位线，∴ FN//CD ． ∵ CD ⊂平面ACD ，FN 平面ACD ，∴ FN//平面ACD ． ∵ MF//平面ACD ，FN//平面ACD ，MF ∩FN =F ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴ 平面MFN//平面ACD ， 又平面MNF ∩平面AGC =MN ，平面ACD ∩平面AGC =AC ， ∴ MN//AC ，且GMGA =GN GC=13．∵ △BDC 为等腰直角三角形，且CD =BD,∴ CD ⊥BD.∵ FN//CD,∴ FN ⊥BD.又∵ AF ⊥平面BDC ，∴ FN,FD,FA 两两垂直．于是以F 为坐标原点，以FN,FD,FA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设FD =1，则F(0,0,0),D(0,1,0)，C(2,1,0),A(0,0,1),B(0,−1,0),N(1,0,0)， ∵ 点G 是BN 的中点，∴ G (12,−12,0),∴ CA →=(−12,12,1)， ∵GM GA =13， ∴ GM →=13GA →=(−16,16,13)，∴ M (13,−13,13)．∵ 点E 是AC 的中点，∴ E (1,12,12)，∴ FM →=(13,−13,13),FE →=(1,12,12)．设平面EMF 的一个法向量为n →=(a,b,c)，则有{13a −13b +13c =0,a +12b +12c =0,解得：a =−23c,b =13，令c =3，则n →=(−2,1,3)．由(1)可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFC 的一个法向量为BC →=(2,2,0)． ∵ cos⟨n →,BC →⟩=n →⋅BC→|n →||BC|=−√714，由图可知二面角G −MF −E 为钝角， ∴ 二面角G −MF −E 的余弦值为−√714．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：∵ △ABD 为等腰直角三角形，且∠BAD =90∘,∴ AB =AD. 连结AF ，∵ 点F 是BD 的中点，∴ AF ⊥BD ．∵ 侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD ∩平面BDC =BD ， ∴ AF ⊥平面BDC ，∵ BC ⊂平面BDC ，∴ AF ⊥BC ． 取BC 的中点为N ，连结DN,FN ． 由BC =4BC 可知点G 是BN 的中点，又∵ 点F 是BD 的中点，∴ FG 是△BDN 的中位线， ∴ FG//DN ．∵ CD =BD,∴ BC ⊥DN,∴ BC ⊥FG.∵ BC ⊥AF,BC ⊥FG,AF ∩FG =F,∴ BC ⊥平面AFG ． 又∵ MF ⊂平面AFG ，∴ BC ⊥MF ．(2)解：连结MN ，∵ FN 是ΔBDC 的中位线，∴ FN//CD ． ∵ CD ⊂平面ACD ，FN 平面ACD ，∴ FN//平面ACD ． ∵ MF//平面ACD ，FN//平面ACD ，MF ∩FN =F ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴ 平面MFN//平面ACD ， 又平面MNF ∩平面AGC =MN ，平面ACD ∩平面AGC =AC ， ∴ MN//AC ，且GMGA =GN GC=13．∵ △BDC 为等腰直角三角形，且CD =BD,∴ CD ⊥BD.∵ FN//CD,∴ FN ⊥BD.又∵ AF ⊥平面BDC ，∴ FN,FD,FA 两两垂直．于是以F 为坐标原点，以FN,FD,FA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设FD =1，则F(0,0,0),D(0,1,0)，C(2,1,0),A(0,0,1),B(0,−1,0),N(1,0,0)， ∵ 点G 是BN 的中点，∴ G (12,−12,0),∴ CA →=(−12,12,1)， ∵ GMGA =13，∴ GM →=13GA →=(−16,16,13)， ∴ M (13,−13,13)．∵ 点E 是AC 的中点，∴ E (1,12,12)，∴ FM →=(13,−13,13),FE →=(1,12,12)．设平面EMF 的一个法向量为n →=(a,b,c)，则有{13a −13b +13c =0,a +12b +12c =0,解得：a =−23c,b =13，令c =3，则n →=(−2,1,3)．由(1)可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFC 的一个法向量为BC →=(2,2,0)． ∵ cos⟨n →,BC →⟩=n →⋅BC→|n →||BC|=−√714，由图可知二面角G −MF −E 为钝角， ∴ 二面角G −MF −E 的余弦值为−√714．【答案】由题意求出t =3， y =1.04． 由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，b ^=∑−i=1n xiyi nx y ∑−i=1n xi 2nx 2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a ^=y −b ^x =1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x =20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72)∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由题意求出t ，y ，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x 和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．【解答】由题意求出t =3， y =1.04． 由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，b ^=∑−i=1n xiyi nx y ∑−i=1n xi 2nx 2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a ^=y −b ^x =1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x =20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5． 样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72)∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【答案】设直线AB 的方程为y =kx −p 2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立方程组{y =kx −p 2x 2=2py ，消y 可得x 2−2pkx +2p 3=0， ∴ x 1x 2=2p 3，x 1+x 2=2pk ，∴ y 1y 2=k 2x 1x 2−kp 2(x 1+x 2)+p 4=p 4， ∵ 直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，k 1k 2=1， ∴ y 2y 1x2x 1=1，即p 42p 3=1，证明由（1）可知x 2=4y ，M(0, −1)， 可设直线y =kx −4， 由（2）可得y 1y 2=16设过点M 与x 2=4y 的相切的切线的坐标为(x 0, 14x 02)， ∵ y′=12x ， ∴ k =12x 0=14x 02+4x 0，解得x 0=±4，∴ T 1(−4, 4)，T 2(4, 4)， ∴ 直线T 1T 2的方程为y =4， 由{y =4y =kx −4 ，解得x =8k ，y =4， ∴ N(8k , 4)，∵ MA →=(x 1, y 1+4)，MN →=(8k , 8)，MB →=(x 2, y 2+4)，∵ MA →=λMN →，MB →=μMN →，∴ (x 1, y 1+4)=λ(8k , 8)，(x 2, y 2+4)=μ(8k , 8)， ∴ {x 1=8λk y 1+4=8λ，{x 2=8μk y 2+4=8μ ，∴ y 1y 2=(8λ−4)(8μ−4)=64λμ+32λ−32μ+16=16∴ 2λμ−λ−μ=0， ∴ 1λ+1μ=2， 故：1λ+1μ为定值．【考点】【解析】（1）设直线AB 的方程为y =kx −p 2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立方程组{y =kx −p 2x 2=2py，根据韦达定理和斜率公式即可求出， （2）分别求出T 1、T 2的坐标，可得直线T 1T 2的方程为y =4，即可求出N 的坐标，再根据向量的运算即可证明． 【解答】设直线AB 的方程为y =kx −p 2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立方程组{y =kx −p 2x 2=2py ，消y 可得x 2−2pkx +2p 3=0， ∴ x 1x 2=2p 3，x 1+x 2=2pk ，∴ y 1y 2=k 2x 1x 2−kp 2(x 1+x 2)+p 4=p 4， ∵ 直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，k 1k 2=1， ∴ y 2y 1x2x 1=1，即p 42p 3=1，解得p =2， 证明由（1）可知x 2=4y ，M(0, −1)， 可设直线y =kx −4， 由（2）可得y 1y 2=16设过点M 与x 2=4y 的相切的切线的坐标为(x 0, 14x 02)， ∵ y′=12x ， ∴ k =12x 0=14x 02+4x 0，解得x 0=±4，∴ T 1(−4, 4)，T 2(4, 4)， ∴ 直线T 1T 2的方程为y =4， 由{y =4y =kx −4 ，解得x =8k ，y =4， ∴ N(8k , 4)，∵ MA →=(x 1, y 1+4)，MN →=(8k , 8)，MB →=(x 2, y 2+4)，∵ MA →=λMN →，MB →=μMN →，∴ (x 1, y 1+4)=λ(8k , 8)，(x 2, y 2+4)=μ(8k , 8)， ∴ {x 1=8λky 1+4=8λ，{x 2=8μk y 2+4=8μ ，∴ y 1y 2=(8λ−4)(8μ−4)=64λμ+32λ−32μ+16=16∴ 2λμ−λ−μ=0，∴ 1λ+1μ=2， 故：1λ+1μ为定值．【答案】f′(x)=e ax +axe ax =e ax (1+ax)， ①a =0时，f(x)=x 在R 上单调递增． ②a >0时，f′(x)=e ax (1+ax)=ae ax (x −−1a)，∴ 函数f(x)在(−∞,−1a )上单调递减，在(−1a ,+∞)上单调递增． ③a <0时，f′(x)=e ax (1+ax)=ae ax (x −−1a)，∴ 函数f(x)在(−∞,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减． 当a =1时，f(x)−lnx −bx ≥1恒成立， ∴b ≤xe x −lnx−1x，(x >0)．化为：bx +1≤xe x −lnx ．令g(x)=xe x −lnx ．g′(x)=e x +xe x −1x =u(x)，在(0, +∞)上单调递增，u(14)=54√e 4−4<0，u(12)=32√e −2>0， ∴ 存在x 0使得u(x 0)=0．∴ 函数g(x)在(0, x 0)内单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增． 令直线l ，y =bx +1，假设直线l 与曲线g(x)相切于点P(x 1, y 1)． 则g′(x 1)=e x 1(1+x 1)−1x 1=b ，x 1e x 1−lnx 1=bx 1+1，x 1满足x 12e x 1+lnx 1=0，x 1∈(12,1)．则b =1时，直线l 与曲线相切于点P(x 1, y 1)．g ″(x)=e x (2+x)+1x 2>0，因此直线l 与曲线相切于唯一切点点P(x 1, y 1)．∴ b <1时，bx +1<xe x −lnx =g(x)． 可得b ≤1．∴ b 的取值范围是(−∞, 1]．【考点】利用导数研究函数的单调性 导数求函数的最值 【解析】（1）f′(x)=e ax +axe ax =e ax (1+ax)，对a 分类讨论即可得出单调性．（2）当a =1时，f(x)−lnx −bx ≥1恒成立，化为：bx +1≤xe x −lnx ．令g(x)=xe x −lnx ．g′(x)=e x +xe x −1x =u(x)，在(0, +∞)上单调递增，u(14)=54√e 4−4<0，u(12)=32√e −2>0，存在x 0使得u(x 0)=0．函数g(x)在(0, x 0)内单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增．令直线l ，y =bx +1，假设直线l 与曲线g(x)相切于点P(x 1, y 1)．g′(x 1)=e x 1(1+x 1)−1x 1=b ，x 1e x 1−lnx 1=bx 1+1，x 1满足x 12e x 1+lnx 1=0，x 1∈(12,1)．可得b =1时，直线l 与曲线相切于点P(x 1, y 1)．g ″(x)>0，因此直线l 与曲线相切于唯一切点点P(x 1, y 1)．即可得出结论． 【解答】f′(x)=e ax +axe ax =e ax (1+ax)， ①a =0时，f(x)=x 在R 上单调递增． ②a >0时，f′(x)=e ax (1+ax)=ae ax (x −−1a)，∴ 函数f(x)在(−∞,−1a )上单调递减，在(−1a ,+∞)上单调递增． ③a <0时，f′(x)=e ax (1+ax)=ae ax (x −−1a)，∴ 函数f(x)在(−∞,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减． 当a =1时，f(x)−lnx −bx ≥1恒成立， ∴b ≤xe x −lnx−1x，(x >0)．化为：bx +1≤xe x −lnx ．令g(x)=xe x −lnx ．g′(x)=e x +xe x −1x =u(x)，在(0, +∞)上单调递增，u(14)=54√e 4−4<0，u(12)=32√e −2>0，试卷第21页，总23页∴ 存在x 0使得u(x 0)=0．∴ 函数g(x)在(0, x 0)内单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增．令直线l ，y =bx +1，假设直线l 与曲线g(x)相切于点P(x 1, y 1)．则g′(x 1)=e x 1(1+x 1)−1x 1=b ， x 1e x 1−lnx 1=bx 1+1，x 1满足x 12e x 1+lnx 1=0，x 1∈(12,1)． 则b =1时，直线l 与曲线相切于点P(x 1, y 1)．g ″(x)=e x (2+x)+1x 2>0，因此直线l 与曲线相切于唯一切点点P(x 1, y 1)．∴ b <1时，bx +1<xe x −lnx =g(x)．可得b ≤1．∴ b 的取值范围是(−∞, 1]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C 的极坐标方程为ρ=√31+2sin 2θ，化为：ρ2(1+2sin 2θ)=3，可得x 2+y 2+2y 2=3，可得：x 23+y 2=1，于是曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数）． 点A(ρ1,π2)，B(ρ2,−π2)，可得：A(0, 1)，B(0, −1)．设M(m, n)，则m 23+n 2=1.(−√3≤m ≤√3,−1≤n ≤1)．m ≠0．直线AM ，BM 的方程分别为：y =n−1m x +1，y =n+1m x −1．(m ≠0, n ≠±1)． 可得a =m 1−n ，b =m n+1．∴ |a +b|=|m 1−n +m n+1|=2|m|1−n 2=6|m|≥2√3．综上可得：|a +b|的最小值为2√3．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）曲线C 的极坐标方程为ρ=√31+2sin 2θ，化为：ρ2(1+2sin 2θ)=3，利用极坐标与试卷第22页，总23页 直角坐标方程的互化可得直角坐标方程与参数方程．（2）点A(ρ1,π2)，B(ρ2,−π2)，可得：A(0, 1)，B(0, −1)．设M(m, n)，则m 23+n 2=1.(−√3≤m ≤√3,−1≤n ≤1)．m ≠0．直线AM ，BM 的方程分别为：y =n−1m x +1，y =n+1m x −1．(m ≠0, n ≠±1)．可得a =m 1−n ，b =m n+1．可得：|a +b|的最小值．【解答】曲线C 的极坐标方程为ρ=√31+2sin 2θ，化为：ρ2(1+2sin 2θ)=3，可得x 2+y 2+2y 2=3，可得：x 23+y 2=1，于是曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数）． 点A(ρ1,π2)，B(ρ2,−π2)，可得：A(0, 1)，B(0, −1)．设M(m, n)，则m 23+n 2=1.(−√3≤m ≤√3,−1≤n ≤1)．m ≠0．直线AM ，BM 的方程分别为：y =n−1m x +1，y =n+1m x −1．(m ≠0, n ≠±1)．可得a =m 1−n ，b =m n+1．∴ |a +b|=|m 1−n +m n+1|=2|m|1−n 2=6|m|≥2√3．综上可得：|a +b|的最小值为2√3．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)=|x −a|+|x +a +1a |≥|x −a −x −a −1a |=|2a +1a |，a >0时，f(x)=2a +1a ≥2√2a ⋅1a =2√2， a <0时，f(x)=−2a −1a ≥2√(−2a)⋅(−1a )=2√2， 故f(x)≥2√2；若f(2)≤3，则|2−a|+|2+a +1a |≤3，故{a ≥2a −2+a +1a +2≤3 或{0<a <22−a +a +1a +2≤3 或{a <02−a −2−a −1a ≤3 ，解得：12≤a ≤1或−1≤a ≤−12．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，根据基本不等式的性质证明即可； （2）得到关于a 的不等式，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式组，解出即可．【解答】f(x)=|x −a|+|x +a +1a |≥|x −a −x −a −1a |=|2a +1a |，试卷第23页，总23页 a >0时，f(x)=2a +1a ≥2√2a ⋅1a =2√2， a <0时，f(x)=−2a −1a ≥2√(−2a)⋅(−1a )=2√2， 故f(x)≥2√2；若f(2)≤3，则|2−a|+|2+a +1a |≤3， 故{a ≥2a −2+a +1a+2≤3 或{0<a <22−a +a +1a +2≤3 或{a <02−a −2−a −1a ≤3 ，解得：12≤a ≤1或−1≤a ≤−12．。
2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．2．六组诱导公式简记口诀：把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式，奇变偶不变，符号看象限．1．辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin 23α＋cos 23α＝1，sinα2cosα2＝tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． 2．三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos α＝35，所以sin α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.3．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.4．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．由已知，θ在第三象限， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－（－45）2＝－35.－355.教材习题改编 已知tan θ＝2，则sin θ·cos θ＝________． sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度： (1)知弦求弦； (2)知弦求切； (3)知切求弦．(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1D.1625(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2【解析】 (1)法一：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 法二：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. (2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3，所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3， 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3， 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0，所以tan α＝22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．角度一 知弦求弦1．(2017·雅安模拟)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0，π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B.13 C ．－23D ．－13C (sin θ＋cos θ)2＝169，所以1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－79＝29，可得sin θ－cos θ＝±23.又因为θ∈(0，π4)，sin θ<cos θ，所以sin θ－cos θ＝－23.角度二 知弦求切2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B.34 C ．－34D ．±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34.角度三 知切求弦3．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________． 因为sin α＝2sin β，① tan α＝3tan β， tan 2α＝9tan 2β.②由①2÷②得：9cos 2α＝4cos 2β.③ 由①2＋③得sin 2α＋9cos 2α＝4. 又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝38，所以cos α＝±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．(2)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，则sin （－α＋3π2）cos （3π2＋α）tan 2（π－α）cos （π2＋α）sin （π2－α）等于________．(3)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，由题知cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－π2，所以α－2π3＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)－23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦，统一名． ②用诱导公式，统一角．③用因式分解将式子变形，化为最简．1．(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225C ．－1225D ．－2425D 由sin(π2＋α)＝cos α＝－35，且α∈(π2，π)，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，选项D 正确．2．sin(－1 071°)si n 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________． 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin (3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.3．已知cos(π＋α)＝－12，求sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n ∈Z )．因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________．【解析】 法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.又sin θcos θ＝－60169<0，所以sin θ>0，cos θ<0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.法二：同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169. 齐次化切，得tan θtan 2 θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0， 解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.【答案】 －125(1)本题利用方程思想法一：由sin θ＋cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程，把sin θ与cos θ看作此方程的两根，即可求出sin θ与cos θ的值，便可求解．法二：利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解．(2)所谓方程思想就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25 B.25C.25或－25D ．－15A 因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255cos α＝－55，所以sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255cos α＝55，所以sin αcos α＝－25，综上，sin αcosα＝－25，故选A.1．tan(－233π)的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33A A tan(－233π)＝tan(－8π＋π3)＝tan π3＝ 3.2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3D 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.3．(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α＋π2)＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79C.89D ．－89A 法一：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(±223)2－(－13)2＝79，故选A.法二：因为cos(α＋π2)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79，故选A.4．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C.15D.25D 依题意得tan α＋33－tan α＝5，所以tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 因为f (2 016)＝5.所以a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5， 即a sin α＋b cos β＝1.所以f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在D 由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan α＝sin αcos α＝－43，故选D.7．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）＝________． 原式＝cos αsin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 08．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________． 因为tan A ＝23>0，所以A 为锐角，于是1＋tan 2A ＝1＋29＝119＝1cos 2A ，cos 2A ＝911，cos A ＝31111，sin A ＝tan A cos A ＝2211. 2211 9．sin 43π·cos 56π·tan(－43π)的值是________． 原式＝sin(π＋π3)·cos(π－π6)·tan(－π－π3) ＝(－sin π3)·(－cos π6)·(－tan π3) ＝(－32)×(－32)×(－3)＝－334. －33410．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________． cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α， 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23. －2311．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．(1)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos 2θ＝925.又π2<θ<π，所以cos θ＝－35.所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.12．已知α为第三象限角，f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）.(1)化简f (α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．(1)f (α)＝sin （α－π2）·cos （3π2＋α）·tan （π－α）tan （－α－π）·sin （－α－π）＝（－cos α）·sin α·（－tan α）（－tan α）· sin α＝－cos α.(2)因为cos(α－3π2)＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.13．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为() A ．－32 B.32C ．－34 D.34B 因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， 所以cos α－sin α＝32. 14．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40° ＝1.115．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．(1)因为sin A ＋cos A ＝15，① 所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， 所以sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π， 可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925， 又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75，② 所以由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43. 16．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值． (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ]＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ，k ∈Z )；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2 ＝sin 2x (n ＝2k ＋1，k ∈Z )．综上得f (x )＝sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 21 007π2 016 ＝sin2π2 016＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 016 ＝sin2π2 016＋cos 2π2 016＝1.。
深圳市2018届高考数学模拟试题(2)及答案解析
值为
A． 6B． 7C．8D．9网
n 1, x a
第Ⅱ卷 （非选择题共 90 分）
二、填空题： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13.某程序框图如右图所示，若 a 3 ,则该程序运行后，输出的 x
值为 ;
a
1
14. 若 (2 x ) dx 3 ln 2( a 1) ，则 a 的值
1
一根．
（Ⅰ）当 n 3时 , 记事件 A {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等 }，求 P ( A) ；
（Ⅱ）当 n 2 时 , 若用 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）
②令
2
1， E ( ) 1，求实数 的取值范围．
,①求 的分布列；
19．（本小题满分 12 分）
如图，几何体 ABCD B1C1D1中，四边形 ABCD 为菱形，
2
5
时，求实数
t 的取值范围 .
3
6
深圳市 2018 届高考数学模拟试题 (2) 及答案解析
参考答案
一、选择题：本大题共 CBACD
二、填空题：本大题共
12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
ABBCA
CB
4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13. 3114. 2 15. 2 5 16 ．①③⑤
A ． 15
B ． 15
C． 30 D ． 30
1 D ． ( ,0]
4 1 )n 展开式中 x 2 项的系数为 x
11.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) = f (4 x) ，且当 x 2 时其导函数 f ( x) 满足
xf ( x) 2 f ( x),若 2 a 4 则
高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率2排列与组合课件理
A．60 种
B．63 种
C．65 种 答案 D
D．66 种
解析 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，
则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数 2 个偶数，故不同的
取法有 C54＋C44＋C52C42＝66 种．
第十一页，共55页。
6．(2018·上海春季高考题)某校组队参加辩论赛，从 6 名学 生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参 赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值 表示)．
第2课时(kèshí) 排列与组合
第一页，共55页。
…2018 考纲下载… 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题． 请注意 1．排列、组合问题每年必考． 2．以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分 类讨论的思想及解决问题的能力． 3．以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合 进行考查．
第二十四页，共55页。
(6)(捆绑法)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排 甲乙两人，有 A22 种方法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲乙 中间，有 A53 种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A33 种方法．故共有 A22·A53·A33＝720 种．
(7)(消序法)A277＝2 520. (8)(间接法)A77－2A66＋A55＝3 720. 位置分析法：分甲在排尾与不在排尾两类．
【解析】 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排 尾的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时 一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A52 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑” 进行排列有 A22 种方法，所以这样的排法一共有 A52A44A22＝960 种 方法．
广东省深圳市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题02(毕业班)
一轮复习数学模拟试题02满分150分，时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数21i ai++的实部和虚部相等，则实数a 等于 A ．12B ．2-C ．13-D ．3 2 设全集U ＝R ，集合A ＝{y|y=x 2+2x,x ∈R}则＝A {－1，+∞}B (－1，+∞)C {－∞，-1] D(∞，-1) 3 下列双曲线中，渐近线方程是y=2x 的是A2211248x y -= B 22163y x -= C 2214x y -= D 22163y x -= 4设O 为坐标原点，M （1，2），若N （x,y ）满足，则的最大值为A 4B 6C 8 D105. 3πα=“”是3sin α=“的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是7.定义某种运算a b ⊗,运算原理如图所示，则式子1100(131(2))43lne lg tanπ-⊗+⊗的值为正视图 侧视图D.图 图正视图侧视图 C.A ．13B ．11C ．8D ．48.在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、的中点，若24CD AB EF AB ==⊥，，则EF 与CD 所成的角为A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο309.对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为m n 、，如果m n +是偶数，则把1a 乘以2后再减去2；如果m n +是奇数，则把1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a .当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为34，则1a 的值不可能是A ．0B ．2C ．3D ．410.已知函数()lg()x xf x x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么()1f x >的解集为A ．(01)，B ．(1)+∞，C ．(110)，D ．(10)+∞，第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上. 11.已知向量a 是单位向量，若向量b 满足()0-⋅=a b b ，则b 的取值范围是 . 12.两圆相交于两点(13)，和(1)m -，，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，且m c 、均为实数，则m c += .13.已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是 .14.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 . 15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程0.412y x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量y 减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量2K 的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos 2A =m ，cos 1)2A-，向量(1=n ，cos1)2A+，且21⋅=-m n . (1)求A 的值； (2)若a =，三角形面积S =，求b c +的值．17．（本小题满分12分）在“2012魅力宿州”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：008(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80，90)之间的矩形的高，并完成直方图； (2)若要从分数在[80，100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．18.（本小题满分12分）设函数329(62)f x x x a x =-+-.(1)对于任意实数x ，'()f m x ≥在15（，]恒成立（其中'()f x 表示()f x 的导函数），求m 的最大值；(2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.19.（本小题满分13分） 如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面2ABE AE EB BC ===，，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE BE ⊥； (2)求三棱锥D AEC -的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点NDAE .20．（本小题满分12分） 椭圆22221(0)x y aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P a ，)b 满足212PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若直线2PF 与圆22(16(1)x y +=+相交于M N 、两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）已知函数2()x f x k kx b=-,(，N )b ∈*，满足(2)2f =，(3)2f >.(1)求k ，b 的值；(2)若各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有14()1n nS f a ⋅-=-，设2n n b a =，求数列{}n n b ⋅的前n 项和n T ；(3)在(2)的条件下，证明：ln(1)n n b b +<.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.[01]， 12.3 13.③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解：（1）∵向量2coscos122()A A =-，m ，向量(1cos1)2A =+，n ，且21⋅=-m n .∴221cossin 222A A -=-， …………………………………………………………………3分得1cos 2A =-，又(0)A π∈，，所以23A π=. …………………………………………5分 （2）112sin sin 223ABC S bc A bc π∆===4bc =. ………………………………7分 又由余弦定理得：2222222cos3a b c bc b c bc π=+-=++.……………………………9分 ∴216()b c =+，所以4b c +=. …………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：(1)由茎叶图知，分数在[5060)，之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[5060)，之间的频率为0.008100.08⨯=所以，参赛总人数为2250.08=(人)．………………………2分 分数在[8090)，之间的人数为25271024----=（人）, 分数在[8090)，之间的频率为40.1625=， 得频率分布直方图中[8090)，间矩形的高为0.160.01610=.………4分 完成直方图，如图.……………………………………………………………………………6分(2)将[8090)，之间的4个分数编号为1,2,3,4[90,100]；之间的2个分数编号为56和.则在[80100]，之间任取两份的基本事件为：(12),(13),(14),(15),(16),(23),(24),(25),(26),，，，，，，，，， (34),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为:(15),(16),(25),(26),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，，，，共9个. ………………………10分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是93155=.……………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：(1)2'()396f x x x =-+, 15x ∈（，].法一：'()f x m ≥在15（，]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15（，]恒成立.…………………3分00000由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15（，]的最小值为34-，所以,得34m ≤-，即m 的最大值为34-. …………………………………………………6分 法二：令()2396g x x x m =-+-，15x ∈（，].要使'()f x m ≥在15（，]恒成立，则只需()0g x ≥在15（，]恒成立. 由于()y g x =的对称轴为32x =,当15x ∈（，]时，min()(32727)60242g x g m =-+-≥=， 解得34m ≤-，所以m 的最大值为34-.……………………………………………………6分 (2)因为当1x <时, '()0f x >；当12x <<时, '()0f x <；当2x >时, '()0f x >； 即()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单增，在(1,2)单减.所以5()=(1)2f x f a =-极大值，()=(2)2f x f a =-极小值.………………………………9分故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根. 得2a <或52a >时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞.………………………………………………………………12分 19．（本小题满分13分）证明：（1）∵AD ⊥平面ABE ，且//AD BC∴BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥.………………………………………2分 又∵BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，且BF 与BC 交于B 点，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ∴AE BE ⊥.………………4分（2）由第（1）问得AEB ∆为等腰直角三角形，易求得AB，∴1433D AECE ADC V V --==⨯=.…………………………………………………7分 （3）在三角形ABE 中过M 点作//MG AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作//GN BC 交EC 于N 点，连MN . 由比例关系易得13CN CE =.………………………………………………………………9分 ∵//MG AE MG ⊄，平面ADE ,AE ⊂平面ADE ，∴//MG 平面ADE . 同理，//GN 平面ADE ，且MG 与GN 交于G 点， ∴平面//MGN ADE 平面.………………………………………………………………11分又MN MGN ⊂平面， ∴//MN ADE 平面.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.…………………………………………13分 20．（本小题满分12分） 解：(1)设12(,0)(,0)(0)F c F c c ->、，因为212PF F F =，2c =. …………………………………………………………………2分整理得22()10c c a a +-=，得1c a =-(舍)，或12c a =.所以12e =.……………………………………………………………………………………4分(2)由(1)知2,a c b ==，椭圆方程2223412x y c +=，2PF的方程为)y x c =-．,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 并整理，得2580x cx -=.解得1280,5x x c ==.得方程组的解110x y =⎧⎨=⎩，2285x cy ⎧=⎪⎨⎪=⎩.………………………7分不妨设338(),(0,3)55A cB c -，则2233816()(3)555AB c c c c =++=. 于是528MN AB c ==.圆心(-到直线2PF的距离d 10分因为222()4MN d +=，所以223(2)164c c ++=，整理得2712520c c +-=. 得267c =-(舍)，或2c =. 所以椭圆方程为2211612x y +=. ……………………………………………………………12分21．（本小题满分14分）解：(1)由 4(2)22229629(3)23f k b k bk b f k b ⎧==⎪-=⎧⎪-⇒⎨⎨-<⎩⎪=>⎪-⎩…①…②，由①代入②可得52k <，且*k N ∈.……………………………………………………2分当2k =时，2b =（成立），当1k =时，0b =（舍去）.所以2k =，2b =.…………………………………………………………………………4分(2)2114()4122n n n nna S f S a a ⋅-=⋅=---，即22n n n S a a =+…③. 2n ≥时， 21112n n n S a a ---=+…④.所以，当2n ≥时，由③-④可得22112()()n n n n n a a a a a --=-+-， 整理得，11()(1)0n n n n a a a a --+--=. 又0n a >得11n n a a --=，且11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =，2nn b =.2n n nb n ∴=⋅. ………………………………………………………………………………7分 1231122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，由上两式相减得 123122222nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-.1(1)22n n T n +∴=-+. ……………………………………………………………………10分(3)由(2)知2nn b =，只需证ln(12)2n n +<.设()ln(12)2x x f x =+-(1x ≥且x R ∈).则2ln 22ln 2'()2ln 2(2)01212x x x xx xf x =-=⋅-<++， 可知()f x 在[1,)+∞上是递减，max ()(1)ln 320f x f ∴==-<. 由*x N ∈，则()(1)0f n f ≤<，故ln(1)n n b b +<. …………………………………………………………………………14分。
深圳市毕业班2018届高考数学一轮复习模拟试题(4)--有答案
一轮复习数学模拟试题04第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ）（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞- 2．复数5i2i=+（ ）（A ）12i+（B ）12i-+（C ）12i--（D ）12i-3．执行如图所示的程序框图，则输出S =（ ） （A ）2（B ）6（C ）15（D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）（A ）53（B ）23（C（D 236．过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点)，则MA MB ⋅=（ ）（A （B ）52（C （D ）327．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =”是“627S S =”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()||f x x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是（ ）（A ）①（B ）③（C ）①②（D ）②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a ，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin(6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 2cos 0B B +=．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点．（Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN // 平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个顶点．||AB =，直线AB 的斜率为12-．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM 的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ija (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n = ；（Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B ；2．A ；3．C ；4．B ；5．C ；6．D ； 7．A ；8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．12； 11．y x =，32； 12．3-；13．1[,1]-，[,]ππ；14．4π．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=， ………………2分即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=． 解得 1cos 2B =，或cos 1B =-． ………………4分因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-． ………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-．………………8分将π3B =，7b =代入上式，整理得2()37a c ac +-=．因为 5a c +=，所以 6ac =． ………………11分所以 △ABC 的面积133sin 2S ac B ==．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1． …………2分所以，每组抽取的人数分别为：第3组：3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1616⨯=．所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ………………5分（Ⅱ）解：记第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ；第4组的2位同学为1B ，2B ；第5组的1位同学为C ． ………………6分则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：121311121232122231(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C A B 3231212(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B B B C B C ，共15种可能． ………………10分其中，111212122231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A B A C A B A B A C A B A B A C 12(,),(,)B C B C 这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ………………12分故所求概率为11P =．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接CN ． 因为 111C B A ABC -是直三棱柱， 所以 ⊥1CC 平面ABC ， ………………1分所以 1AC CC ⊥． ………………2分因为 BC AC ⊥， 所以 ⊥AC 平面11BCC B ．………………3分因为 1=MC ，22115CN CC C N =+=所以 6=MN ．………………4分（Ⅱ）证明：取AB 中点D ，连接DM ，1DB ．………………5分在△ABC 中，因为 M 为AC 中点，所以BC DM //，BC DM 21=． 在矩形11B BCC 中，因为 N 为11C B 中点，所以BC N B //1，BC N B 211=．所以 N B DM 1//，N B DM 1=．所以 四边形N MDB 1为平行四边形，所以 1//DB MN ． ………………7分 因为 ⊄MN 平面11A ABB ，⊂1DB 平面11A ABB ， ………………8分 所以 MN // 平面11A ABB ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段1CC 上存在点Q ，且Q 为1CC 中点时，有⊥B A 1平面MNQ ． ………11分证明如下：连接1BC ．在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥．又⊥11C A 平面C C BB 11，所以 QN C A ⊥11，从而⊥NQ 平面11BC A ．…………12分所以 1A B QN ⊥． ………………13分同理可得 1A B MQ ⊥，所以⊥B A 1平面MNQ ．故线段1CC 上存在点Q ，使得⊥B A 1平面MNQ ． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：222()()b x f x x b -'=+． ………………2分依题意，令(1)0f '-=，得 1b =． ………………4分经检验，1b =时符合题意．………………5分（Ⅱ）解：①当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………6分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+．令()0f x '=，得1x =2x = ………………8分()f x 和()f x '的情况如下：．………………11分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|}D x x b =∈≠-R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,b -∞--，(b b --，()b -+∞；无单调增区间．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，得 221,2 5.b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩………………2分解得 2a =，1b =．………………3分所以 椭圆的方程为2214x y +=．………………4分（Ⅱ）证明：由于l //AB ，设直线l 的方程为12y x m =-+，将其代入2214x y +=，消去y ，整理得2224440x mx m -+-=．………………6分设11(,)C x y ，22(,)D x y ．所以 22122121632(1)0,2,2 2.m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪=-⎩ ………………8分证法一：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．由(2,0)M m ，(0,)N m ， 则12S S =⇔1211|2|||||||22m y m x ⨯⨯=⨯⨯⇔12|2|||y x =． ………………10分因为 122x x m +=，所以 11121|2||2()||2|||2y x m x m x =⨯-+=-+=，………………13分从而12S S =．………………14分证法二：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．则12S S =⇔||||MC ND =⇔线段,CD MN 的中点重合． ………………10分因为 122x x m +=，所以122x x m +=，1212112222y y x x m m ++=-⋅+=．故线段CD 的中点为1(,)2m m ． 因为 (2,0)M m ，(0,)N m ，所以 线段MN 的中点坐标亦为1(,)2m m ． ………………13分从而12S S =．………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：134()()()1r A r A r A ===，2()1r A =-；124()()()1c A c A c A ===-，3()1c A =，所以4411()()()0i ji j l A r A cA ===+=∑∑．………………3分（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-．将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-．依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ．所以 ()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-，其中0,1,2,,k n = ．……………7分【注：数表k A 不唯一】（Ⅲ）证明：用反证法． 假设存在(,)A S n n ∈，其中n 为奇数，使得()0l A =． 因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 这2n 个数中有n 个1，n 个1-． 令1212()()()()()()n n M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这2n 个数中有n 个1，n 个1-，从而(1)1nM =-=-．①另一方面，12()()()n r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这2n 个实数之积为m ）；12()()()n c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==．②①、②相互矛盾，从而不存在(,)A S n n ∈，使得()0l A =． 即n 为奇数时，必有()0l A ≠．………………13分。
02集合中的新定义问题-2018版高人一筹之高一数学一轮复习特色训练含解析
专题2 集合中的新定义问题一、选择题1．【荆州中学2017月考】设集合,都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、（）都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（) A。
10 B。
11 C。
12 D。
13【答案】B【解析】试题分析:根据题意，对于，含个元素的子集有个，但、、只能取一个；、只能取一个;、只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有个；故选．考点：集合的包含关系判断及应用.2．【河北正定中学2016—2017学年月考】定义集合运算:，,。
设集合，，则集合的所有元素的平均数为（）A. 14 B。
15 C. 16 D。
17【答案】A3．【四川南充高级中学2016—2017学年期末】定义集合运算： (){}|,, A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈，设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊕的所有元素之和为( ）A 。
0B 。
6C 。
12D 。
18【答案】D【解析】01231340+6+12=18z =⨯⨯⨯⨯∴或或 ，选D 。
4．【2016-2017学年湖北襄阳市四校联考】非空集合A 中的元素个数用)(A 表示，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()()(B A A B B A B A B A ．若{}01，-=A ，{}a x x x B =--=|32||2,且1≤-）（B A ，则的所有可能值为（ )A 。
{}4|≥a aB 。
{}04|=>a a a 或C 。
{}40|≤≤a aD 。
{}04|=≥a a a 或【答案】D【解析】试题分析：集合A 中有2个元素,即()2A =，当()()A B ≥时，由()1A B -≤，则()()1B A ≥-,所以()1B ≥，又()()A B ≥,所以()1B =或()2B =，结合函数()223f x x x =--的图象（如下图）,所以0a =或4a >，当()()A B <时，由()1A B -≤，则()()1B A ≤+，即()3B ≤，又()()A B <,所以()23B <≤，只能()3B =，结合上图可知，4a =,所以综上所述：0a =或4a ≥，故选D 。
广东省深圳市2018届高考模拟测试二数学试题+Word版含解析
2018高考高三数学3月月考模拟试题02第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.1.是虚数单位，复数的实部为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简复数即得复数的实部.【详解】,所以复数的实部是 1.故答案为： C【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算，考查复数的实部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.（2）注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi.2.2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M,N,再求和.【详解】由题得M={x|x>1或x<-1},所以={x|-1≤x≤1}，所以=故答案为： B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和补集、交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 解答集合的问题，先要看“|”前的元素的一般形式，，由于“|”前是y,所以集合表示的是函数的值域. 集合由于“|”前是x,所以集合表示的是函数的定义域.3.3.下列函数中周期为且为偶函数的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.故答案为： A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.4.4.设是等差数列的前项和，,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知求出d,再求.【详解】因为，所以，故答案为： C【点睛】（1）本题主要考查等差数列通项和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式5.5.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若,,且,则B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一判断.【详解】对于选项A, 若,,且,则l不一定垂直平面，因为m有可能和n平行，所以该选项错误；对于选项B, 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则可能相交或平行，所以该选项错误；对于选项C, 若则n有可能在平面内，所以该选项错误；对于选项D,由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，所以该选项正确.故答案为： D【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)对于类似这种题目，可以举反例，也可以证明.6.6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2018届江苏高考数学模拟试题(2)数学之友
2018届江苏高考数学模拟试题（2）数学I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=， 则=N M ▲．2．已知复数z 满足＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为▲．3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为▲．4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是▲．5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是▲．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为．7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为▲．8．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是▲．9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1c mA BB C C D ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为▲2cm .10.已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=▲. 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为▲．(第3题)12．正五边形ABCDE的边长为AE AC ⋅的值为▲．13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为▲． 14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥， 则实数a 的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ， 记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =， 求角α的值. .16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点.（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C . 17．(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为探测器在静水中行进时的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200km ． （1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量； (ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．18．(本小题满分16分)如图，椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，右准线为l ，过点F 且与x 轴不重合的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是AB 的中点，过点B 作BM ⊥l 于M ，连AM 交x 轴于点N ，连PN . （1）若165AB =，求直线AB 的倾斜角； （2）当直线AB 变化时，求PN 长的最小值. 19．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC 为等腰直角三角形，t =，求(1)(1)a t --的值．20．(本小题满分16分)已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．数学Ⅱ（附加题）一个特征向量．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标． D ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足x +y+z =2，求22232z y x ++的最小值．(第21题A)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡．．．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率；（2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-． （1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2018高考数学模拟试题（2）数学I 答案一、填空题答案 1.{0}2.33.1204.215.216.－57.（0，1）8.y 2＝2x9.3π10.3π11.258解：因为直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，又因为圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>，所以25a b +=，52a b =+≥所以ab 的最大值为258． 12.6解：利用在上的投影得，221=⋅=6． 13．()[]6,40, ∞-解：①0<a0≤x 时，01e )(<-=x a x 'f ，所以)(x f 在)0(,-∞单调递减，且0)0(<=a f ，所以)(x f 在)0(,-∞有一个小于0的零点．0>x 时，)(x f 在)0(+∞,单调递增，因为1)1(=f ，所以)(x f 在)0(+∞,有一个小于1的零点． 因此满足条件． ②0>a（1）1≤0a <时，)(x f 在)0(,-∞单调递减，0)0(>=a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（2）41<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛01ln ,a上单调递增， 0ln 11ln >+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（3）4=a 时，⎩⎨⎧>+--=04404)(2x x x x x e x f x ,≤ ,，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）4>a 时，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，在)0(+∞,上有两个不相等的零点，且和为a ，故满足题意的范围是64≤a <． 综上所述，a 的取值范围为()[]6,40, ∞-． 14.a ≤或a ≥解：因为222()2a b a b -+≥对任意a 、b 都成立，所以，(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥(2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2， (2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2≥，即对任意θ∈[0，]，都有132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，因为132sin cos 512sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθ++=++⋅++,当θ∈[0，]时，1sin cos θθ≤+≤所以72a ≥，同理a ≤.因此，实数a 的取值范围是a ≤或a ≥． 二、解答题答案15.解：（1）由三角函数定义，1cos x α=，2cos()3x πα=+，因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以sin 3α==. 211cos()cos 3226x πααα-=+=-=.（2）依题意，1sin y α=，2sin()3y πα=+，所以111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=，)322sin(41-)3sin()3cos(2121222παπαπα+=++-==y x S ,依题意，2sin 22sin(2)3παα=-+，化简得cos20α=， 因为62ππα<<，则23παπ<<，所以22πα=，即4πα=.16.证明：（1）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，四边形ACC 1A 1为矩形，设AC 1∩A 1C =G ，则G 为AC 1中点，D 为AB 中点，连DG ，则DG ∥BC 1. 因为DG ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.（2）由（1）四边形BCC 1B 1为矩形，又BC =BB 1，则四边形BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ， 由（1）CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AC ， 又AC ⊥BC ，则AC ⊥平面BCC 1B 1，AC ⊥BC 1， 因此，BC 1⊥平面AB 1C .17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T， 又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4km/h ，即4v -，所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >； （2）(ⅰ)当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >， 3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ)当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ)该探测器消耗的最少能量为3200c ； (ⅱ)6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少． 18.解（1）显然)0,1(,21,3,2F e b a ===，当AB ⊥x 轴时，易得221635b AB a ==≠，不合题意.所以可设AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与椭圆方程联立得2222(43)84120k x k x k +-+-=，设A （x 1，y 1）,B （x 2，y 2）,则212221228,4341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因此2212(1)16435k k +=+，解得k =，所以直线AB 的倾斜角等于60o 或120o . （2）因为椭圆的右准线的方程为4x =，由（1），当AB 不垂直于x 轴时，点211(4,(1)),(,(1))M k x A x k x --，所以直线AM 的方程为12111()(1)()4k x x y k x x x x ---=--，令y =0，得1121254N x x x x x x --=- 2211221212412205454343k k x x k k x x x x ----++==--=1121255()522x x x x x -+=-. 当AB ⊥x 轴时，易得52N x =，所以无论AB 如何变化，点N 的坐标均为5(,0)2.因此，当AB ⊥x 轴时，PN 取最小值，PN min =53122-=.19.解（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾． 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =． 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数； 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数. 于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)，所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围.（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-， 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(ee )0ssg s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数，则有()(0)0g s g <=，而122e 02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<．（3）依题意有e 0ix i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C =90°，所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x x a x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=． 因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， 即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= 20.解：（1）因为{n a }是递增数列，所以n n n p a a =-+1， 又11=a ，1,1232++=+=p p a p a ，因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=223123,333144,34，解得0,31==p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p . （2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ， 于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a ① 由于1222121-<n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()122121222121----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n a a ③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()nn nnn a a 21222122121++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-.④ 由③④得()nn nn a a 2111++-=-，所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a()()()123122121211--++-+-+=n n()11213134211211211---+=+⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+=n nn ， 所以数列{n a }的通项公式为()1213134--+=n nn a ． 数学Ⅱ答案21．【选做题】答案 A ．选修4—1：几何证明选讲 解：连结OC ，BE ．因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE ．因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形．所以∠BOC ＝60?．又直线l 切⊙O 与于点C ，所以OC ⊥l ． 因为AD ⊥l ，所以AD ∥l ． 所以∠BAD ＝∠BOC ＝60?．在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90?－∠BAD ＝30°， 所以AE ＝AB ＝4． B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝＝(λ－1)(λ－x )－4．因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根， 所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1． 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝， 则从而y ＝－x ． 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝． C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题意得,曲线C 的普通方程为22143x y +=(1)00sin 2≤⇒≤⇒≤≤y θπθπ 直线OP的方程为y =(2)A D(第21题A)联立(1)(2)得55xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）或55xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点P的坐标为(D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z ++⋅≤++++,所以2222()24231111123x y zx y z++++≥=++,当且仅当1112,114,116===zyx时取等号.【必做题】答案22.解：（1）由已知有P(A)=C31C41+C32C102=13,所以事件A发生的概率为13.（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2P(X=0)=C32+C32+C42C102=415；P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715；P(X=2)=C31C41C102=415.所以随机变量X的分布列为23.解：（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =；当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n nn n n n f m ---=++++， 奇子集的个数11330()C C C C C C m m m n n n nn n g m --=+++， 所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=． 当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n nn n n n f m --=++++， 奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n n n nn n g m ---=+++， 所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+． 一方面，01220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n nn n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+；另一方面，2(1)(1)(1)nnnx x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C mm n-，故()F m =22(1)C m m n-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。
高考数学模拟试卷复习试题 解析几何圆的方程
高考数学模拟试卷复习试题 解析几何圆的方程A 基础巩固训练1. 【高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=2.【高考数学一轮配套特训】设圆的方程是x2＋y2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定3.【高考前30天】圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．x2+（y ﹣2）2=1 B ．x2+（y+2）2=1 C ．（x ﹣1）2+（y ﹣3）2=1 D ．x2+（y ﹣3）2=14.【高考数学全程总复习】若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x4y=0的圆心,则a 的值为( ) (A)1 (B )1 (C)3 (D)35. 【高考安徽，文8】直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（ ） （A ）2或12 （B ）2或12 （C ）2或12 （D ）2或126.【高考数学一轮配套特训】已知圆C 过点A(1,0)和B(3,0)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为________．B 能力提升训练（满分70分）1.【广州市普通高中毕业班综合测试一】圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ） A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-=C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=2. 【高考名师推荐】圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋2)2＋(y －1)2＝2C.(x －1)2＋(y －2)2＝2D.(x －2)2＋(y －1)2＝23.【河北衡水中学高三上学期第五次调研】能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是（ ） A ．3()4f x x x =+B ．5()15xf x n x-=+ C ．()tan2x f x =D ．()x x f x e e -=+ 4.【期中备考总动员高三理数学模拟卷】【山东】已知命题p ：k R ∃∈，使得直线l ：1y kx =+和圆C ：222x y +=相离；q ：若a b <，则22a b c c <．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧ 5.【汕头市潮南区高三5月高考模拟】圆上的点到直线的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．16. 【高考数学一轮配套特训】若圆的方程为x2＋y2＋kx ＋2y ＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．7.【北京市大兴区高三上学期期末】已知半径为2，圆心在直线2y x =-+上的圆C. （Ⅰ）当圆C 经过点A （2,2）且与y 轴相切时，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，3),若圆C 上存在点Q ，使2232QF QE -=,求圆心的横坐标a 的取值范围.C 思维扩展训练（满分30分）1.【高考数学全程总复习】已知圆C 经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋y2＝13 B ．(x ＋2)2＋y2＝17 C ．(x ＋1)2＋y2＝40 D ．(x －1)2＋y2＝202.【高考数学一轮配套特训】方程|x|－1＝()211y --所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆C ．半个圆 D ．两个半圆3.【江西师大附中，临川一中高三期末联考】已知点P(3,4)和圆C:(x -2)2+y2=4,A,B 是圆C 上两个动点,且|AB|=32,则)(OB OA OP +⋅(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9]B ．[1,11]C ．[6,18]D ．[2,22]4. 【山西大学附中高三9月月考】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（ ）A.[]52,22B.(]23,22C.(]52,23D.()()+∞⋃,5222,05.【高考数学一轮配套特训】已知圆C 经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点． (1)求圆C 的方程；(2)过点(0,1)作直线l1与l 垂直，且直线l1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．高考数学高三模拟试卷试题压轴押题质量管理考试数学试卷（满分150分，其中学业水平考试卷120分，附加题30分，完卷时间130分钟）.12考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2.本试卷共有 32道试题，满分 150 分．考试时间 130分钟．3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答．一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分．1.函数3tany x=的周期是．2.计算24 13=．3.计算limn→∞2123nn++++＝．4.二项式10(x1)+展开式中，8x的系数为．5．设矩阵241Ax⎛⎫= ⎪⎝⎭，2211B-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，若BA=2412⎛⎫⎪--⎝⎭，则x=.6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种.7．若1cos()2πα+=-，322παπ<<，则sinα=．8.若一个球的体积为π34，则它的表面积为__________．9.若函数sin(2)(0)y xϕϕπ=+≤≤是R上的偶函数，则ϕ的值是．10.正四棱锥ABCDP-的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于．11.直线20x y+=被曲线2262x y x y+--150-=所截得的弦长等于．12.已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=AxAxf的部分图像如图所示，则(x)y f=的解析式是(x)f=．ECDP二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3分，否则一律得 0 分． 13．已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限14．已知函数y x b α=+，(0,)x ∈+∞是增函数，则 （ ）（A ）0α>，b 是任意实数 （B ）0α<，b 是任意实数（C ）0b >，α是任意实数 （D ）0b <，α是任意实数15．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是（ ） （A ） 30或 60（B ） 45或 60（C ） 60或 120（D ） 30或 150 16.若log 3log 30a b <<，则（）()01()01()1()1A a b B b a C a b D b a <<<<<<>>>>17.双曲线24x 212y =1的焦点到渐近线的距离为（）（A ）B ）2 （C D ）118.用数学归纳法证明等式2135(21)n n +++⋅⋅⋅+-=（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k 时等式成立，则当n=k+1时应得到（） （A ）2135(21)k k +++⋅⋅⋅++=（B ）2135(21)(1)k k +++⋅⋅⋅++=+ （C ）2135(21)(2)k k +++⋅⋅⋅++=+ （D ）2135(21)(3)k k +++⋅⋅⋅++=+19.设1z i =+（i 是虚数单位），则复数22+z z 对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 20.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( ) （A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x21.“1tan -=x ”是“)(24Z k k x ∈+-=ππ”的（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件； （C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件.22.在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（ ）（A ）5（B ）25（C ）5 （D ）10 23．函数211(0)y x x =++<的反函数是（ ）（A ）22(0)y x x x =-<（B ）22(0)y x x x =--<（C ）22(2)y x x x =->（D ）22(2)y x x x =-->24．曲线21||y x =+的部分图像是（ ）（A ） （B ）(C) （D ）三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25.（本题满分 8 分）解不等式组|1|3213-<⎧⎪⎨>⎪-⎩x x26.（本题满分 8 分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ， 若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为21arctan ，求正四棱 柱1111D C B A ABCD -的体积.27．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．已知点F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，若点P 的纵坐标为(0)m m ≠， 点D 为准线l 与x 轴的交点． (1)求直线PF 的方程；(2)求DAB ∆面积S 的取值范围．28.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．已知函数2()()2x a f x x R x +=∈+．（1）写出函数()y f x =的奇偶性；（2）当0x >时，是否存实数a ，使()y f x =的图像在函数2()g x x=图像的下方，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．第26题D l PFA BOyx29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．已知抛物线24x y =，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ，，如此继续。
高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。
广东省深圳市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题05(毕业班)
一轮复习数学模拟试题05第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}12|{},1|{>=<=xx N x x M ，则M N =A.φB.}0|{<x xC. }1|{<x xD. }10|{<<x x2．命题“x e R x x>∈∀,”的否定是A ．x e R x x<∈∃, B ．x e R x x<∈∀, C ．x e R x x≤∈∀, D ．x e R x x≤∈∃,3. 已知等差数列b a ,,1，等比数列5,2,3++b a ，则该等差数列的公差为 A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-5. 已知圆的方程为086=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A.610B. 620C. 630D. 6406.已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是 A ．2 B. 22 C ．3 D. 328.已知函数)(2)()(2b a ab x b a x x f <+++-=的两个 零点为)(,βαβα<，则实数βα,,,b a 的大小关系是A.b a <<<βαB.b a <<<βαC.βα<<<b aD.βα<<<b a（7题图）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知1||=a，2||=b ，向量a 与b 的夹角为 60，则=+||b a .10. 若复数i m m m z )1()2(2+++-=（为虚数单位）为纯虚数， 其中m R ∈，则=m .11. 执行如图的程序框图，如果输入6=p ，则输出的S = . 12.在ABC ∆中，c b a ,,依次是角C B A ,,的对边，且c b <. 若6,32,2π===A c a ，则角=C .13. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ，若224y x z +=，则z 的取值范围是.14. 已知定义在正整数集上的函数)(n f 满足以下条件：（1）()()()f m n f m f n mn +=++，其中,m n 为正整数；（2）6)3(=f . 则=)2013(f .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分13分） 已知x x x f 2sin 22sin 3)(-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若]6,0[π∈x ，求)(x f 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，=∠ABC ，2==AB PA ，E 为PA 的中点.(Ⅰ)求证：//PC 平面EBD ；D（Ⅱ）求三棱锥PAD C -的体积PAD C V -；（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点M ，满足⊥PC 平面MBD ， 若存在，求PM 的长；若不存在，说明理由. 17. （本小题满分13分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果如图表所示．（Ⅰ）分别求出y x b a ,,,的值；（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率． 18. （本小题满分13分） 已知函数ax x x a x f ++-=2221ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ)当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性. 19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为21.过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8.过定点)3,0(M 的直线1l 与椭圆C 交于H G ,两点（点G 在点H M ,之间）. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线1l 的斜率0>k ，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.20. （本小题满分13分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：(1)对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ；(2)存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有-)2(|1x ϕ|)2(2x ϕ||21x x L -≤.(Ⅰ)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的.答案一、选择题：)0485('=⨯' D D C B B A D A 二、填空题：)0365('=⨯' 9. 7 10. 2 11. 3231 12. 120 13. ]253,54[ 14. 2027091三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）12cos 2sin 3)(-+=x x x f 1)62sin(2-+=πx …………4分ππ==22T ，)(x f ∴最小正周期为π. …………5分 由πππππk x k 226222+≤+≤+-)(Z k ∈，得 …………6分ππππk x k 232232+≤≤+- …………7分 ππππk x k +≤≤+-63…………8分)(x f ∴单调递增区间为)](6,3[Z k k k ∈++-ππππ. …………9分（Ⅱ）当]6,0[π∈x 时，]2,6[62πππ∈+x ， …………10分 )(x f ∴在区间]6,0[π单调递增， …………11分0)0()]([min ==∴f x f ，对应的x 的取值为0. …………13分16.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：设AC 、BD 相交于点F ，连结EF ，底面ABCD 为菱形，F ∴为AC 的中点，又 E 为PA 的中点，PC EF //∴. (3)又 ⊄EF 平面EBD ，⊂PC 平面EBD ，∴//PC 平面EBD . …………5分（Ⅱ）解：因为底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，所以ACD ∆是边长为2正三角形， 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA 为三棱锥ACD P -的高，∴PAD C V -332224331312=⨯⨯⨯=⋅==∆-PA S V ACD ACD P . …………8分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，所以BD PA ⊥， 又 底面ABCD 为菱形，BD AC ⊥∴，A AC PA = ，⊂PA 平面PAC ，⊂AC 平面PAC ，⊥∴BD 平面PAC ，PC BD ⊥∴. …………10分在PBC ∆内，易求22==PC PB ，2=BC ， 在平面PBC 内，作PC BM ⊥，垂足为M ， 设x PM =，则有22)22(48x x --=-，解得22223<=x . …………12分 连结MD ，BD PC ⊥ ，PC BM ⊥，B BD BM = ，⊂BM 平面BDM ，⊂BD 平面BDM ，⊥∴PC 平面BDM .所以满足条件的点M 存在，此时PM 的长为223. …………14分D17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）第1组人数105.05=÷， 所以1001.010=÷=n ， …………1分 第2组人数202.0100=⨯，所以189.020=⨯=a ， …………2分 第3组人数303.0100=⨯，所以9.03027=÷=x ， …………3分 第4组人数2525.0100=⨯，所以936.025=⨯=b …………4分 第5组人数1515.0100=⨯，所以2.0153=÷=y . …………5分 （Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为1:3:29:27:18=，所以第2,3,4组每组应各依次抽取2人，3人，人. …………8分（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为21,a a ，第3组的记为321,,b b b ，第4组的记为c ， 则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ， ),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a ， ),(21b b ，),(31b b ，),(1c b ， ),(32b b ，),(2c b ，),(3c b .…………10分其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(1c a ， ),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(2c a .…………12分 故所求概率为53159=.…………13分18. （本小题满分13分）解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞，a x xa x f ++-='22)(. …………2分 (Ⅰ) 当1=a 时，23)1(=f ，0112)1(=++-='f ，所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程为23=y . …………5分 （Ⅱ）xa x a x x a ax x x f ))(2(2)(22-+=-+='，…………6分（1）当0=a 时，0)(>='x x f ，)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增，……7分 （2）当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=（舍去），a x =2， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：此时，)(x f 在区间),0(a 单调递减，在区间),(+∞a 上单调递增； …………10分 （3）当0<a 时，令0)(='x f ，得a x 21-=，a x =2（舍去）， 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：此时，)(x f 在区间)2,0(a -单调递减，在区间),2(+∞-a 上单调递增.………13分19. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，离心率21==a c e ，2ABF ∆的周长为||||21AF AF +84||||21==++a AF AF ， …………1分解得1,2==c a ，则3222=-=c a b ， …………2分所以椭圆的方程为13422=+y x . …………3分 （Ⅱ）直线1l 的方程为)0(3>+=k kx y ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+313422kx y y x ，消去y 并整理得02424)43(22=+++kx x k （*）……5分 0)43(244)24(22>+⨯⨯-=∆k k ，解得26>k ， …………6分 设椭圆的弦GH 的中点为),(00y x N ，则“在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.”等价于“在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得1l PN ⊥”. …………8分设),(11y x G ，),(22y x H ，由韦达定理得，=+21x x 24324k k+-，……9分所以=0x 221x x +24312k k +-=， ∴=+=300kx y 2439k+= …………10分 ∴)439,4312(22k k k N ++-，)43(1292k m k k PN++-=， 所以，1)43(1292-=⋅++-k k m k ，解得)26(4332>+-=k k k m .………12分>++-='22)43()32)(32(3)(k k k k m 0)43()32)(36(322>++-k k ，所以， 函数)26(4332>+-=k kk m 在定义域),26(+∞单调递增，66)26(-=m ， 所以满足条件的点)0,(m P 存在，m 的取值范围为),66(+∞-. …………14分 20. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)对任意]2,1[∈x ，]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ，≤33)2(x ϕ35≤，253133<<<，所以)2,1()2(∈x ϕ对任意的]2,1[,21∈x x ，()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，<3()()()()32321321112121x x x x ++++++，所以0＜()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<， 令()()()()2323213211121212x x x x ++++++＝L ，10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ所以A x ∈)(ϕ.…………8分(Ⅱ)反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=，)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立. …………13分。
2018年高考数学一轮总复习 专题2.6 对数及对数函数练习(含解析)文
专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【考点】1.指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ． ()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误；又112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--（02x <<），在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3. 【2017高考全国卷文第8题】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D4.【2015高考上海卷文第8题】 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为 .【答案】2【解析】依题意)834(log )59(log 1212-⋅=---x x ，所以8345911-⋅=---x x ，令)0(31>=-t t x ，所以0342=+-t t ，解得1=t 或3=t ，当1=t 时，131=-x ，所以1=x ，而05911<--，所以1=x 不合题意，舍去；当3=t 时，331=-x ，所以2=x ，045912>=--，012312>=--，所以2=x 满足条件，所以2=x 是原方程的解. 【考点定位】对数方程.【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.5.【2015高考湖南卷文第8题】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( ) A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.6.【2015高考山东卷文第7题】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【答案】A 【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A .【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x 范围. 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识. 7.【2015高考天津卷文第7题】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ） (A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数()0,1x my ab a a -=+>≠的图像关于直线x m = 对称,本题中求m 的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:()log 0,1,0a Na N a a N =>≠>.考点分析融会贯通题型一 对数式计算 典例1(吉林省实验中学2016-2017学年高二下学期月考)化简． 【变式训练1】(湖南省醴陵二中、醴陵四中2016-2017学年高二下学期期中)求下列表达式的值 (1)(2)()00.5239-7.5()(0.5)lg 25lg 4log 4-+-++-34【解析】根据实数指数幂的运算公式，即可求解上式的值.考点：实数指数幂的运算.【变式训练2】 (江西省2017届百所重点高中高三模拟试题文)设函数()39xxf x =+，则()3log 2f =______．【答案】6 【解析】()2233log log 23log 39246f =+=+=知识链接： 对数的运算：①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnM a n a m log log =④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）典例 2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知0.12a =，72log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】A【解析】0.40.1221b =>>， 7772log 2log 4log 71=<=，所以c a b <<.【变式训练1】(2015-2016学年贵州花溪清华中学)设248log 3,log 6,log 9a b c ===,则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】A 【解析】:c b a >>,故选A.考点：对数【变式训练2】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】C知识链接：利用对数函数比较大小问题的处理方法：①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量． 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)324941log 7log 9log log 2a ⋅⋅=，则a =________【答案】2【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log 34·log 48·log 8m=log 416，则m= . 【答案】9【解析】由已知有lg4lg3·lg8lg4·lg lg8m=2⇔lg m=2lg 3⇔m=9.解题技巧与方法总结当对数函数的底数与指数之间有倍数或者次方数的关系时，此类题目需要巧妙运用对数函数的换底公式，从而达到分子分母相消的目的，简化计算 题型二 对数函数的图像与性质 命题点1 对数函数的图像典例1 (2015·梅州一中)若函数()()1,023log ≠>-=a a x y a 的图象经过定点A ，则点A 的坐标是 . 【答案】(1，0)【解析】当3x-2=1，即x=1时，无论a 为何值，y=0，故函数的图象过定点(1，0).知识链接：对数函数（1）对数函数定义：形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数． （2）对数函数的图象与性质【变式训练】(河北省廊坊市2016-2017学年高一上学期期末考试)函()log (23)4(01)a f x x a a =-->≠且的图象恒过定点（ ）A.B.C.D.【答案】D典例 2 (2015-2016学年海南省海南中学高二下学期期末数学（文）)函数()l o g 1(01)a f x x a =+<<的图象大致为（ ）【答案】A【解析】由对数函数性质可知函数过定点()1,1，当0x >时为减函数，且函数满足()()f x f x -=，函数为偶函数，因此A 正确考点：函数图像与性质 解题技巧与方法总结利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数学（文）)函数()af x x =满足()24f =，那么函数 ）A. B. C. D.【答案】C的定义域为{|1}x x ≠-，可知选项为C.典例 3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数学（理）)已知函数在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．【答案】4a ≤ 【解析】解题技巧与方法总结对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解.【变式训练】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数（1）若()f x 定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若()f x 值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在a R ∈，使()f x 在(),2-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；不存在，说明理由．【答案】（1（2（3）不存在这样的实数a ．考点：对数函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 知识链接： 对数函数图象特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图象关于y 轴对称；x x x y a aalog 1log log 1-===，x y a1log =与x y a log =的图象关于x 轴对称； 对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴，当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）． 命题点2对数函数的性质典例 若函数()ln(4)f x ax =+在区间(2,4)上是减函数，则a 的取值范围是________ 【答案】10a -≤<考点：对数函数的单调性【变式训练1】设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg 12axf x x+=-是奇函数(,,2)a b R a ∈≠-且，则ba 的取值范围是（ ）A. (B. 2⎣C. (D. ( 【答案】A【解析】由题，定义在区间(,)b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数，()()f x f x ∴-=- 11lglg 01212ax axx x -+∴+=+- 11lg()01212ax axx x-+∴⨯=+-2221142a x x a -=-∴= 12()lg12x f x x +=-，令12012x x +>-，可得1122x -<<，102b ∴<≤∴b a 的取值范围是(【变式训练2】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数211()log 1xf x x x+=--，求函数()f x 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性【答案】{}|110x x x -<<≠且 奇函数 在(1,0),(0,1)-是减函数 【解析】由0x ≠且101xx+>-得 定义域{}|110x x x -<<≠且 (-)()f x f x =-奇函数212()log (1)1f x x x=--+- ()f x ∴在(1,0),(0,1)-是减函数 命题点3对数函数的图像与性质典例1 (2016~2017高一数学人教A 版)已知(5)3,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________ 【答案】5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】()f x 是R 上的增函数，则当1x ≥时，log a y x =是增函数，1a ∴>当1x <时，函数(5)3y a x a =--是增函数，50,5a a ∴->∴< 由5)13log 1a a a -⨯-≤，得54a ≥，554a ∴≤< 考点：分段函数的单调性【变式训练1】(2017届江西鹰潭一中高三上学期月考二数学理)已知20.5()log ()f x x mx m =--．（1）若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）0m ≥或4m ≤-；（2【解析】2400m m m ⇒∆=+≥⇒≥或4m ≤-． （2考点：函数的值域，复合函数的单调性．【变式训练2】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文科)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）ABCD【答案】A考点：对数函数的图象和性质及运用.【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因10<<a ,故对数函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数这一性质,分别求出函数)10(log )(<<=a x x f a 的最大值和最小值a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====.最后通过典例 2 已知函数21log ,1()11,0.2xx x f x x ⎧⎛⎫≠0⎪⎪+⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩若()2(3)2f a f a －＞，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞)【解析】画图象可得()f x 是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由()2(3)2f a f a －＞，得232a a －＜，即2230a a ＋－＞，解得312a a <->或.【变式训练】已知函数3,()(1),0.x x f x ln x x ⎧≤0=⎨+>⎩若()2(2)f x f x －＞，则实数x 的取值范围是________． 【答案】(－2,1)【解析】画图象可知()f x 在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由()2(2)f x f x －＞，得22x x －＞，即220x x ＋－＜，解得21x -＜＜.解题技巧与方法总结解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域) 题型三 对数函数的综合运用典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，2016()2016log x f x x =+，则函数()f x 的零点的个数是________【答案】3【解析】作出函数1220162016,log x y y x ==-的图像，可知函数2016()2016log xf x x =+在(0,)x ∈+∞内存在一个零点，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(,0)x ∈-∞上也有一个零点，又(0)0f =，所以函数()f x 的零点的个数是3个典例2 (2016~2017高一数学人教A 版)函数2()log (32)xf x =+的值域为（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】322x+>Q22()=log (32)log 21xf x ∴+>=()f x ∴的值域为()1,+∞考点：指数、对数函数值域、复合函数值域【变式训练】函数()xf x a =+log (1)a x +在[01],上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 . 【答案】12典例3设函数12()421,()lg(4+1)xx f x g x ax x +=-+-=-，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ） 【答案】4a ≤【解析】2()(2)221x x f x =-+⋅-，令2xt =，则22()21(1)0f t t t t =-+-=--≤，设()g x 值域为A ，因为对任意1x R ∈都存在2x R ∈使12()()f x g x =，所以(],0A -∞⊆，设241y ax x =-+的值域为B ，则(]0,1B ⊆，显然当0a =时，上式成立；当0a >时，1640a =-≥V 解得04a <≤，当0a <时，max 41614a y a -=≥即max 411y a=-≥恒成立，综上4a ≤知识链接：对数函数与指数函数的关系对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）是指数函数xa y = )1,0(≠>a a 且的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称． 知识交汇1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理科)为（ ）A ．]2,(--∞B ．),2[+∞-C ．]2,(-∞D ．),2[+∞ 【答案】A当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), A.【交汇技巧】本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 2.(2015-2016学年河北省冀州市中学高一下开学考试)函数()lg(33)xxf x a -=+-的值域是R ,则实数a 的取值范围是________． 【答案】[)2,+∞ 【解析】考点：1、基本不等式；2、对数函数的性质． 【交汇技巧】本题主要考查基本不等式与对数函数的性质问题，本题解题的关键“是函数的值域为R ”这一条件的等价转换，求函数的值域问题转化为集合间的关系问题3. (2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知a b ＞，函数f x x ax b =--（）（）（）的图象如图所示，则函数a g x log x b=+（）（）的图象可能为（ ）A. B. C. D.【答案】B考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象． 【交汇技巧】本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x 轴交点的分布，从而得到a ，b 的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线4.(河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末)已知()()2l o g2l o g 3(0m mf x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（12【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求【交汇技巧】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.5.已知函数33,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，函数[]2()()()g x f x f x t =++，t R ∈，则下列判断不正确的是( )A ．若2t <-，则()g x 有四个零点B ．若2t =-，则()g x 有三个零点C ．若124t -<<，则()g x 有两个零点D ．若14t =，则()g x 有一个零点 【答案】A【解析】令(),1m f x m =≥时，()m f x =有两根，1m <时，()m f x =有一根【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究()f x m =的根的个数 练习检测1.(2017新疆乌什县二中高一数学测试)解下列对数方程（1）22log (1)log (21)x x -=+（2）22log (52)2x x --=（3）1642log log log 7x x x ++=（4）233log [1log (14log )]1x ++=【答案】-2 -1或2.比较下列各题中两个值的大小：（1）5log ,9log 76； （2）6.0log ,log 23π；（3）7.0log ,7.0log 32；【答案】（1）1>9log 6，1<5log 7，∴5log >9log 76；（2）0>log 3π，0<6.0log 2，∴6.0log >log 23π；（3）0<2log <3log 7.07.0，∴7.0log =2log 1>3log 1=7.0log 27.07.03． 3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数x y a log =，当43l o g )1(l og 2a a x x ≤+-成立时，a 的取值范围是_________.【答案】01a << 【解析】2314x x -+≥Q Q 函数x y a log =，1a >时，单调递增，01a <<时，单调递减∴当43log )1(log 2aa x x ≤+-成立时， 01a ∴<<4.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式1)3(log 221-≤-x x 的解集是___________________.【答案】33,,22x ⎡⎫⎛+∈+∞-∞⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)间为（ ）A ．（1，＋∞）C ．（－∞，1）【答案】A【解析】试题分析：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数（t ＞0）．令t 1，故函数y 的定义域为x ＞1}．本题即求t=（2x-1）（x-1）在区间（-1，+∞）上的增区间． 利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为（1，+∞），考点：复合函数的单调性6. 已知函数2x f x lnx =+（），若242f x （﹣）＜，则实数x 的取值范围 ． 【答案】（﹣，﹣2）∪（2，） 7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式2(log )0f x >的解集为________ 【答案】()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U8.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理科)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则）A ．3 C ．2 D ．4 【答案】D【解析】 试题分析：()3lg2lg8lg2lg 22lg231x y x y x y +=∴⋅=∴+=4 8.已知函数241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，2≤x≤8. (1)令t ＝log 2x ，求y 关于t 的函数关系式，并写出t 的范围；(2)求该函数的值域．【答案】解：(1) 241(log 2)log 2y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭即该函数的值域为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
深圳市毕业班2018届高考数学一轮复习模拟试题(6)--有答案
一轮复习数学模拟试题06第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．i 是虚数单位，复数21ii-+在复平面上的对应点所在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第三象限 2．如图设全集U 为整数集，集合{|18},{0,1,2}A x N x B =∈≤≤=则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．83．设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期为2π，命题q ：函数sin y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列判断正确的是A ．p 为真B ．q ⌝为真C ．p q ∧为真D ．p q ∨为真 4．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a ∧∧=+，据此模型来预测当x= 20时，y 的估计值为A ． 210B ．210．5C ．211．5D ．212．55．“a ∥b ”是“存在唯一实数λ，使得a =λb ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．函数51(1)y og x =-的大致图象是7．△ABC 中，若sinB 既是sinA ，sinC 的等差中项，又是sinA ，sinC 的等比中项，则∠B 的大小是A ．30B ．45C ．60D ．908．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“6sin cos 2x x +≥”发生的概率为A ．14B ．13C ．12D ．239．若运行如右图所示的程序，则输出S 的值是A ．20122011 B ．20112012 C ．20122013D ．2013201210．已知函数()sin()(0,0,||2f x M x M πωϕωϕ=+>><半个周期内的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为A ．()2sin()6f x x π=+B ．()2sin(2)6f x x π=-C ．()2sin()6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+11．若点A （m 、n ）在第一象限，且在直线235x y +=上，则23m n+的最小值为A ．245B ．265C ．4D ．512．能够把圆O ：x 2 +y 2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是 A ．3()f x x = B ．()tan2x f x =C ．()xxf x e e-=+D ．()1[(4)(4)]f x n x x =-+第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。
深圳市毕业班2018届高考数学一轮复习模拟试题(3)--有答案
一轮复习数学模拟试题03 第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。
1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）12或（D ）25 2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“∥b ”是“2k =-”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C两点，1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒ （C ）45︒ （D ）30︒4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ）（A ）(2,)3π- （B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π- （D ）4(2,)3π-5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7是（D ）8 否6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( )（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +>（C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<7.直线3y kx =+与圆()()42122=++-y x 相交于N M ,两点，若MN ≥k 的取值范围是( )（A ）12(,)5-∞- （B ）12(,]5-∞-（C ）12(,)5-∞ （D ）12(,]5-∞8.如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ,D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则⋅的最大值是 （ ） （A ）2（B ）1 （C ）π （D ）4第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一轮复习数学模拟试题02满分150分，时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 满分50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21i ai ++的实部和虚部相等，则实数a 等于A ．12B ．2-C ．13-D ．32 设全集U ＝R ，集合A ＝{y|y=x 2+2x,x ∈R}则＝A {－1，+∞}B (－1，+∞)C {－∞，-1] D(∞，-1) 3 下列双曲线中，渐近线方程是y=2x 的是A2211248x y -= B 22163y x -= C 2214x y -= D 22163y x -= 4设O 为坐标原点，M （1，2），若N （x,y ）满足，则的最大值为A 4B 6C 8 D105. 3πα=“”是sin α=“的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.如图，右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是7.定义某种运算a b ⊗,运算原理如图所示，则式子1100(131(2))43lne lg tanπ-⊗+⊗的值为正视图 侧视图D.图 图正视图侧视图 C.A ．13B ．11C ．8D ．48.在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AC BD 、的中点，若24CD AB EF AB ==⊥，，则EF与CD 所成的角为A ．ο90B ．ο60C ．ο45D ．ο309.对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为m n 、，如果m n +是偶数，则把1a 乘以2后再减去2；如果m n +是奇数，则把1a 除以2后再加上2，这样就可得到一个新的实数2a ，对2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a .当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为34，则1a 的值不可能是A ．0B ．2C ．3D ．410.已知函数()lg()x xf x x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么()1f x >的解集为A ．(01)，B ．(1)+∞，C ．(110)，D ．(10)+∞，第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上. 11.已知向量a 是单位向量，若向量b 满足()0-⋅=a b b ，则b 的取值范围是 . 12.两圆相交于两点(13)，和(1)m -，，两圆圆心都在直线0x y c -+=上，且m c 、均为实数，则m c += .13.已知a b >，且1ab =，则22a b a b+-的最小值是 .14.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“简易数”.则在[12012]，内所有“简易数”的和为 . 15.以下五个命题： ①标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大； ②两个随机变量相关性越强，则相关系数越接近1； ③在回归直线方程0.412y x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，则预报变量y 减少0.4个单位； ④对分类变量X 与Y 来说，它们的随机变量2K 的观测值k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ⑤在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.其中正确的命题是： （填上你认为正确的命题序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos 2A =m ，cos 1)2A-，向量(1=n ，cos1)2A+，且21⋅=-m n . (1)求A 的值； (2)若a =，三角形面积S =，求b c +的值．17．（本小题满分12分）在“2012魅力宿州”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下图，据此回答以下问题：５ ８ 008 0(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80，90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在[80，100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．18.（本小题满分12分）设函数329(62)f x x x a x =-+-.(1)对于任意实数x ，'()f m x ≥在15（，]恒成立（其中'()f x 表示()f x 的导函数），求m 的最大值；(2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.19.（本小题满分13分） 如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面2ABE AE EB BC ===，，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE BE ⊥； (2)求三棱锥D AEC -的体积；(3)设M 在线段AB 上，且满足2AM MB =，试在线段CE 上确定一点NDAE .20．（本小题满分12分） 椭圆22221(0)x y aba b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点(P a ，)b 满足212PF F F =．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线2PF 与椭圆相交于A B 、两点，若直线2PF 与圆22(16(1)x y +=+相交于M N 、两点，且58MN AB =，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）已知函数2()x f x k kx b=-,(，N )b ∈*，满足(2)2f =，(3)2f >.(1)求k ，b 的值；(2)若各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有14()1n nS f a ⋅-=-，设2n n b a =，求数列{}n n b ⋅的前n 项和n T ；(3)在(2)的条件下，证明：ln(1)n n b b +<.参考答案10550.11.[01]， 12.3 13. 14.2036 15.③⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 解：（1）∵向量2coscos122()A A =-，m ，向量(1cos1)2A =+，n ，且21⋅=-m n .∴221cossin 222A A -=-， …………………………………………………………………3分得1cos 2A =-，又(0)A π∈，，所以23A π=. …………………………………………5分 （2）112sin sin 223ABC S bc A bc π∆===4bc =. ………………………………7分 又由余弦定理得：2222222cos3a b c bc b c bc π=+-=++.……………………………9分 ∴216()b c =+，所以4b c +=. …………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：(1)由茎叶图知，分数在[5060)，之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[5060)，之间的频率为0.008100.08⨯=所以，参赛总人数为2250.08=(人)．………………………2分 分数在[8090)，之间的人数为25271024----=（人）, 分数在[8090)，之间的频率为40.1625=， 得频率分布直方图中[8090)，间矩形的高为0.160.01610=.………4分 完成直方图，如图.……………………………………………………………………………6分(2)将[8090)，之间的4个分数编号为1,2,3,4[90,100]；之间的2个分数编号为56和.则在[80100]，之间任取两份的基本事件为：(12),(13),(14),(15),(16),(23),(24),(25),(26),，，，，，，，，， (34),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为:(15),(16),(25),(26),(35),(36),(45),(46),(56)，，，，，，，，，共9个. ………………………10分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是93155=.……………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：(1)2'()396f x x x =-+, 15x ∈（，].法一：'()f x m ≥在15（，]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15（，]恒成立.…………………3分00000由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15（，]的最小值为34-，所以,得34m ≤-，即m 的最大值为34-. …………………………………………………6分 法二：令()2396g x x x m =-+-，15x ∈（，].要使'()f x m ≥在15（，]恒成立，则只需()0g x ≥在15（，]恒成立. 由于()y g x =的对称轴为32x =,当15x ∈（，]时，min()(32727)60242g x g m =-+-≥=， 解得34m ≤-，所以m 的最大值为34-.……………………………………………………6分 (2)因为当1x <时, '()0f x >；当12x <<时, '()0f x <；当2x >时, '()0f x >； 即()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单增，在(1,2)单减.所以5()=(1)2f x f a =-极大值，()=(2)2f x f a =-极小值.………………………………9分故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根. 得2a <或52a >时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞.………………………………………………………………12分 19．（本小题满分13分）证明：（1）∵AD ⊥平面ABE ，且//AD BC∴BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥.………………………………………2分 又∵BF ⊥平面ACE ，则BF AE ⊥，且BF 与BC 交于B 点，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ∴AE BE ⊥.………………4分（2）由第（1）问得AEB ∆为等腰直角三角形，易求得AB，∴1433D AECE ADC V V --==⨯=.…………………………………………………7分 （3）在三角形ABE 中过M 点作//MG AE 交BE 于G 点，在三角形BEC 中过G 点作//GN BC 交EC 于N 点，连MN . 由比例关系易得13CN CE =.………………………………………………………………9分 ∵//MG AE MG ⊄，平面ADE ,AE ⊂平面ADE ，∴//MG 平面ADE . 同理，//GN 平面ADE ，且MG 与GN 交于G 点， ∴平面//MGN ADE 平面.………………………………………………………………11分又MN MGN ⊂平面， ∴//MN ADE 平面.∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.…………………………………………13分 20．（本小题满分12分） 解：(1)设12(,0)(,0)(0)F c F c c ->、，因为212PF F F =，2c =. …………………………………………………………………2分整理得22()10c c a a +-=，得1c a =-(舍)，或12c a =.所以12e =.……………………………………………………………………………………4分(2)由(1)知2,a c b ==，椭圆方程2223412x y c +=，2PF的方程为)y x c =-．,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y cy x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 并整理，得2580x cx -=.解得1280,5x x c ==.得方程组的解110x y =⎧⎨=⎩，2285x cy ⎧=⎪⎨⎪=⎩.………………………7分不妨设8(),(0,)5A c B，则165AB c ==. 于是528MN AB c ==.圆心(-到直线2PF的距离d 10分因为222()4MN d +=，所以223(2)164c c ++=，整理得2712520c c +-=. 得267c =-(舍)，或2c =. 所以椭圆方程为2211612x y +=. ……………………………………………………………12分21．（本小题满分14分）解：(1)由 4(2)22229629(3)23f k b k bk b f k b ⎧==⎪-=⎧⎪-⇒⎨⎨-<⎩⎪=>⎪-⎩…①…②，由①代入②可得52k <，且*k N ∈.……………………………………………………2分当2k =时，2b =（成立），当1k =时，0b =（舍去）.所以2k =，2b =.…………………………………………………………………………4分(2)2114()4122n n n nna S f S a a ⋅-=⋅=---，即22n n n S a a =+…③. 2n ≥时， 21112n n n S a a ---=+…④.所以，当2n ≥时，由③-④可得22112()()n n n n n a a a a a --=-+-， 整理得，11()(1)0n n n n a a a a --+--=. 又0n a >得11n n a a --=，且11a =，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =，2nn b =.2n n nb n ∴=⋅. ………………………………………………………………………………7分 1231122232(1)22n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，由上两式相减得 123122222nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-.1(1)22n n T n +∴=-+. ……………………………………………………………………10分(3)由(2)知2nn b =，只需证ln(12)2n n +<.设()ln(12)2x x f x =+-(1x ≥且x R ∈).则2ln 22ln 2'()2ln 2(2)01212x x x xx xf x =-=⋅-<++， 可知()f x 在[1,)+∞上是递减，max ()(1)ln 320f x f ∴==-<. 由*x N ∈，则()(1)0f n f ≤<，故ln(1)n n b b +<. …………………………………………………………………………14分。