数学模型-耐用品销售

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建立耐用消费品（本文使用的是彩色电视机的数据）数学模型，并预测下一时期此类消费品的销售量。

二、使用到的数据：

1、产品的销售只受市场的影响。

2、市场发展在一段时间内是平稳的。

3、市场需求量是平稳的。

4、销售量和需求量是按时间连续变化的。

四、建模型, 设变量

（1）模型分析：初期彩色电视机销售量增长率会不断提高，由于彩色电视机在本地区的越来越普及，彩色电视机的销售量增长率会变小，最后销售量会趋于一个相对固定的值，增长率趋于0。因此，彩色电视机的销售量满足Logistic模型。

（2）变量假设：

彩色电视机的销售量为y(t)

彩色电视机的固有增长率：r（即彩色电视机数量很少时的增长率）

彩色电视机的增长率为：r(t)

该地区彩色电视机的最大数量为：y m ，其中r(y m)=0

则有：r(t)=r(1-y/y m) dy/dt=ry(1-y/y m) y(0)=y0

（3）因此建立模型： dy/dt=ry(1-y/y m)

y(0)=y0

五、参数估计

（1）将模型线性化：

此微分方程可化成如下形式：（dy/dt）/y=r-（r/y m）y

设z=(dy/dt）/y a=-（r/y m） b=r

这样，可得到一个线性关系式：z=ay+b

（2）数值微分法计算z的值

首先计算左端z,使用数值微分的方法（采用插值多项式）：

代码如下：

t=0:1:12;

y=[43.65,109.86,187.21,312.67,496.58,707.65,960.25,1238.

75,1560.00,1824.29,2199.00,2438.89,2737.71];

p=polyfit(t,y,5) %用5次多项式p拟合f(x)

dp=polyder(p) %对拟合多项式p求导数dp

dpt=polyval(dp,t) %求dp在假设点的函数值

z=dpt./y

解得：z =1.1489 0.6402 0.5658 0.4778 0.3916 0.3336 0.2816 0.2380 0.1975 0.1700 0.1373 0.1173 0.0973

我们可以得到下表：

(3)最小二乘法拟合，求线性方程的系数：

代码如下：

y=[43.65,109.86,187.21,312.67,496.58,707.65,960.25,1238.75, 1560.00,1824.29,2299.00,2538.89,2837.71];

z=[1.1489,0.6402,0.5658,0.4778,0.3916,0.3336,0.2816,0.2380, 0.1975,0.1700,0.1373,0.1173,0.0973];

result=polyfit(y,z,1) %最小二乘法回归求系数；

z1=result(1)*y+result(2)

plot(y,z,'*',y,z1,'-');

xlabel('y'); ylabel('z');

legend('实际z值','拟合z值',1);

得到如下结果：a=-0.0002 b=0.6536

即a=-( r/y m)=-0.0002 b=r=0.6536

下面是线性拟合的图像：

（4）求解销售模型：

由上面可以解得：r=0.6536 y m =3268

所以 dy/dt=0.6536y(1-y/3268)

y(0)=43.65

代入模型求解：dsolve('Dy=0.6536*y*(1-y/3268)','y(0)=43.65') 解得销售模型为：y(t)= 3268/(1+73.868e-0.6536t)

（5）销售模型与实际数据的比较

代码如下：

t=0:12;

y=[43.65,109.86,187.21,312.67,496.58,707.65,960.25,1238.75, 1560.00,1824.29,2199.00,2438.89,2737.71];

y1= 3268./(73.868*exp(-0.6536*t) + 1)

plot(t,y,'*',t,y1,'r--');

xlabel('时间');

ylabel('销售量');

title('实际销售量和预测销售量');

legend('实际数据','预测数据',1);

六、模型检验与分析：

由（5）所得模型解得销售量与实际销售量如下表：

此模型的平均误差为：（y1-y）./y*13=2%,但是后面误差比较大，可能与该地区的销售条件，居民的生活水平有关，总体来说该模型比较满意。

七、预测：

我们可以通过所建立的模型预测以后的销售量：

预测1994年得销售量为：y(13)=3268/(1+73.868e-0.6536*13)=3219.5 可以预计1994年得销售量为：3219.5