2012年江苏各地高考模考试题汇编第1部分 集合)
南京市2012年高三第一次模拟考试(word版有答案)
南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 2.若(12)(,i i a bi a b -=+∈R ,i 为虚数单位),则ab = . 3.若向量a (2,3),=b (,6)x =-,且∥a b ,则实数x = . 4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]⋅⋅⋅).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .6.在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = .7.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 .8.已知四边形ABCD 为梯形, ∥AB CD ,l 为空间一直线,则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB DC ”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 . 10.已知1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为 . 11.记等比数列{}n a 的前n 项积为*()n T n N ∈,已知1120m m m a a a -+-=,且21128m T -=,则m = .12.若关于x 的方程1ln kx x +=有解,则实数k 的取值范围是 .13.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .14.设a b c x y ===+,若对任意的正实数,x y ,都存在以,,a b c 为三边长的三角形,则实数p 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答第5题第7题题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)已知函数21()cos cos ()2f x x x x x R =-+∈. (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 在区间[0,]4π上的函数值的取值范围.16．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点. (1)求证:∥PD 面AEC ；(2)求证:平面AEC ⊥平面PDB . 17．(本小题满分14分)在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长6分米的材料弯折而成,BC 边的长为2t 分米(312t ≤≤)；曲线AO拟从以下两种曲线中选择一种:曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为cos 1y x =-),此时记门的最高点O 到BC 边的距离为1()h t ；曲线2C 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为98,此时记门的最高点O 到BC 边的距离为2()h t . (1)试分别求出函数1()h t 、2()h t 的表达式；(2)要使得点O 到BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?18．(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知点A 为椭圆222199x y +=的右顶点, 点(1,0)D ,点,P B 在椭圆上, BP DA =. (1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过,,P A B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以,PB PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由. 19．(本小题满分16分)对于函数()f x ,若存在实数对(b a ,),使得等式b x a f x a f =-⋅+)()(对定义域中的每一个x 都成立,则称函数()f x 是“(b a ,)型函数”.(1)判断函数()4xf x =是否为“(b a ,)型函数”，并说明理由； (2)已知函数()g x 是“(1,4)型函数”, 当[0,2]x ∈时,都有1()3g x ≤≤成立,且当[0,1]x ∈时,2()g x x =(1)1m x --+(0)m >,若,试求m 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足*1(0,)a a a a N =>∈,1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=*(0,1,)p p n N ≠≠-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ,若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最C BDP E 第16题第18题大值；若不存在,请说明理由．南京市、盐城市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.32. 23. －44.12 5.120 6.14- 7.21 8.充分不必要 9.(2,1)--(或闭区间)10.3113[,)(,]2222-- 11.4m = 12.21(,]e-∞2 14. (1,3)二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解: (1)因为1()2cos 222f x x x =-……………………………………………………………4分 sin(2)6x π=-……………………………………………………………………………………………6分故()f x 的最小正周期为π………………………………………………………………………………8分 (2)当[0,]4x π∈时,2[,]663x πππ-∈-…………………………………………………………………10分故所求的值域为1[2-………………………………………………………………………………14分 16．（1）证明:设AC BD O =,连接EO,因为O,E 分别是BD,PB 的中点,所以∥PD EO …………4分 而,PD AEC EO AEC ⊄⊂面面,所以∥PD 面AEC …………………………………………………7分 (2)连接PO,因为PA PC =,所以AC PO ⊥,又四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥…………10分 而PO ⊂面PBD ,BD ⊂面PBD ,PO BD O =,所以AC ⊥面PBD ……………………………13分 又AC ⊂面AEC ,所以面AEC ⊥面PBD ……………………………………………………………14分 17．解:(1)对于曲线1C ,因为曲线AOD 的解析式为cos 1y x =-,所以点D 的坐标为(,cos 1)t t -……2分 所以点O 到AD 的距离为1cos t -,而3AB DC t ==-,则13()(3)(1cos )cos 4(1)2h t t t t t t =-+-=--+≤≤…………………………………………………4分对于曲线2C ,因为抛物线的方程为294x y =-,即249y x =-,所以点D 的坐标为24(,)9t t -………2分所以点O 到AD 的距离为249t ,而3AB DC t ==-,所以2243()3(1)92h t t t t =-+≤≤……………7分(2)因为1()1sin 0h t t '=-+<,所以1()h t 在3[1,]2上单调递减,所以当1t =时,1()h t 取得最大值为3cos1-…………………………………………………………………………………………………9分又224939()()9816h t t =-+,而312t ≤≤,所以当32t =时,2()h t 取得最大值为52……………………11分因为1cos1cos 32π>=,所以153cos1322-<-=,故选用曲线2C ,当32t =时,点E 到BC 边的距离最大,最大值为52分米……………………………14分18．解: (1)因为BP DA =,且A(3,0),所以BP DA ==2,而B,P 关于y 轴对称,所以点P 的横坐标为1,从而得(1,2),(1,2)P B -……………………………………………………………………………………3分 所以直线BD 的方程为10x y +-=………………………………………………………………………5分 (2)线段BP 的垂直平分线方程为x=0,线段AP 的垂直平分线方程为1y x =-,所以圆C 的圆心为(0,－1),且圆C 的半径为r =8分又圆心(0,－1)到直线BD 的距离为d =所以直线BD 被圆C 截得的弦长为=……………………………………………………………………………………10分(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N,其中PB 是圆M 的弦,PA 是圆N 的弦,则点M 一定在y 轴上,点N 一定在线段PC 的垂直平分线1y x =-上,当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N 在一条直线上,且PM=PN …………………………………………………………………………………………12分 设(0,)M b ,则(2,4)N b -,根据(2,4)N b -在直线1y x =-上,解得3b =…………………………………………………………………………………………………14分所以(0,3),(2,1),M N PM PN ==,故存在这样的两个圆,且方程分别为22(3)2x y +-=,22(2)(1)2x y -+-=………………………………………………………………16分19．解: (1)函数()4xf x =是“(b a ,)型函数”…………………………………………………………2分 因为由b x a f x a f =-⋅+)()(,得16ab =,所以存在这样的实数对,如1,16a b ==………………6分 (2) 由题意得,(1)(1)4g x g x +-=,所以当[1,2]x ∈时, 4()(2)g x g x =-,其中2[0,1]x -∈,而[0,1]x ∈时,22()(1)110g x x m x x mx m =+-+=-++>,且其对称轴方程为2m x =,① 当12m>,即2m >时,()g x 在[0,1]上的值域为[(1),(0)]g g ,即[2,1]m +,则()g x 在[0,2]上的值域为44[2,1][,2][,1]11m m m m +=+++,由题意得13411m m +≤⎧⎪⎨≥⎪+⎩,此时无解………………………11分 ②当1122m ≤≤,即12m ≤≤时,()g x 的值域为[(),(0)]2mg g ,即2[1,1]4m m m +-+,所以则()g x 在[0,2] 上的值域为2244[1,1][,]4114m m m m m m +-+++-,则由题意得2431413m m m ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪+≤⎪⎩且2114411m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪≥⎪+⎩,解得12m ≤≤……………………………………………………………………13分③ 当1022m <≤,即01m <≤时,()g x 的值域为[(),(1)]2mg g ,即2[1,2]4m m +-,则()g x 在[0,2]上的值域为224[1,2][2,]414m m m m +-+-=224[1,]414m m m m +-+-, 则221144314m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨≤⎪⎪+-⎩,解得213m -≤≤. 综上所述,所求m 的取值范围是223m -≤≤…………………………………………………16分20．解:(Ⅰ)因为1210n n a a a pa +++⋅⋅⋅+-=,所以2n ≥时, 1210n n a a a pa -++⋅⋅⋅+-=,两式相减,得11(2)n n a p n a p ++=≥,故数列{}n a 从第二项起是公比为1p p+的等比数列…………………………3分 又当n=1时,120a pa -=,解得2a a p =,从而2(1)1()(2)n n a n a a p n p p -⎧=⎪=+⎨≥⎪⎩…………………………5分 (2)①由(1)得11123111(),(),()k k k k k k a p a p a p a a a p p p p p p-+++++++===,[1]若1k a +为等差中项,则1232k k k a a a +++=+,即11p p +=或12p p +=-,解得13p =-…………6分 此时1123(2),3(2)k k k k a a a a -++=--=--,所以112||92k k k k d a a a -++=-=⋅……………………8分[2]若2k a +为等差中项,则2132k k k a a a +++=+,即11p p +=,此时无解………………………………9分 [3]若3k a +为等差中项,则3122k k k a a a +++=+,即11p p +=或112p p +=-,解得23p =-, 此时11133131(),()2222k k k k a a a a -+++=--=--,所以11391||()82k k k k a d a a -++=-=⋅……………11分综上所述,13p =-, 192k k d a -=⋅或23p =-,191()82k k a d -=⋅…………………………………12分②[1]当13p =-时,9(21)kk S a =-,则由30k S <,得103(21)ka <-, 当3k ≥时, 1013(21)k<-,所以必定有1a <,所以不存在这样的最大正整数……………………14分 [2]当23p =-时,91(1())42k k a S =-,则由30k S <,得4013(1())2k a <-,因为4040133(1())2k >-,所以13a =满足30k S <恒成立；但当14a =时,存在5k =,使得4013(1())2ka >-即30k S <, 所以此时满足题意的最大正整数13a =……………………………………………………………16分。
江苏省2012年高考各地模拟试卷--数学
15．（本题满分14分）
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=2．
（1）求a·b的值；
（2）求|a+b|的值．
16．（本题满分14分）
如图，已知□ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
9．已知双曲线c： (a>0，b>o)的右顶点、右焦点分别为A，F，它的左准线与z轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为__▲___·
10．已知正数数列{an)对任意 ．若a2=4，则a9=__▲___
11．已知l,m是两条不同的直线，a，β是两个不同的平面．下列命题：
其中真命题是_ ___▲___ (写出所有真命题的序号)．
解不等式|2x—4|<4一|x|
必做题第22题、第23题，每题l0分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，在直三棱柱。BC-A1B1Cl中， ＝900， =300，BC=1，A，A= ，M是CC1的中点．
(1)求证：A1B1 AM；
(2)求二面角B—AM—C的平面焦的大小．
B．选修4—2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy，中，直线l：x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线m：x-y-4=0,求实数a,b的值．
C．选修444：坐标系与参数方程
在极坐标系中，蹰C：p=lOcosθ和直线l：3pcosθ-4psinθ-30=0相交于A，B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
3．已知实数x，y满足
则Z＝2x+y的最小值是___▲___
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)-A4
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学考试时间：120分钟；考试总分：26分学校：___________注意事项：2012年 江苏 高三 高考真卷第一部分一、填空题1．已知集合，，则 12．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 1 名学生3．设，（i 为虚数单位），则的值为 14．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 1 、5．函数的定义域为 16．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 17．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 1 cm 38．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m 的值为 19．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若，则的值是 110．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 111．设为锐角，若，则的值为 112．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 113．已知函数的值域为，若关于x 的不等式的解集为，则实数c 的值为 114．已知正数满足：则的取值范围是 1二、解答题15．在中，已知．（1）求证：；（2）若求A 的值．16．如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点． 求证：（1）平面平面；（2）直线平面．17．如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。
江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟考试(数学)
值域为▲.
*11.记等比数列an的前n项积为Tn(nN),已知am1am12am0,且T2m1128,
则m▲.
12.若关于x的方程kx1lnx有解,则实数k的取值范围Biblioteka ▲. 第1页 为▲.
8.已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰
AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的▲条件(填写“充分不必
要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).
9.函数f(x)(xx1)e(xR)的单调减区间为▲.2x第7题10.已知f(x)a1
3.若向量a(2,3),b(x,6),且a∥b,则实数x=▲.
4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、
“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个
球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是▲.
5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布
直方图如图所示(成绩分组为第5题[0,10),[10,20),,[80,90),[90,100]).则在本次竞赛中,得分不低
于80分以上的人数为▲.
6.在ABC中,已知sinA:sinB:sinC2:3:4,则cosC▲.
7.根据如图所示的伪代码,当输入a的值为3时,最后输出的S的值
江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟考试
数学试题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上.
1.已知集合A1,3,B1,2,m,若AB,则实数m=▲.
【ZM】2012年江苏高考物理试题模拟卷(附答题纸+答案)
2012年江苏高考物理试题（模拟卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第Ⅱ卷3至7页。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题没有的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3. 第I 卷共9小题，共31分一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分，每小题只有一个．．．．选项符合题意。
1．在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色．如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G ．现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从B 点沿支架缓慢地向C 点靠近（C 点与A 点等高）．则绳中拉力大小变化的情况是（ ）A ．先变小后变大B ．先变小后不变C ．先变大后不变D ．先变大后变小2．将一只苹果斜向上抛出，苹果在空中依次飞过三个完全相同的窗户1、2、3，图中曲线为苹果在空中运行的轨迹．若不计空气阻力的影响，以下说法正确的是（ ）A ．苹果通过第1个窗户所用的时间最长B ．苹果通过第3个窗户的平均速度最大C ．苹果通过第1个窗户重力做的功最大D ．苹果通过第3个窗户重力的平均功率最小3．15．如右图，轻弹簧上端与一质量为m 的木块1相连，下端与另一质量为M 的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木坂上，并处于静止状态。
现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a 1、a 2重力加速度大小为g 。
则有 A ．10a =，2a g = B ．1a g =，2a g = C ．120,m M a a g M +==D ．1a g =，2m Ma g M+= 4在运动的合成和分解的实验中，红蜡块在长1 m 的竖直放置的玻璃管中在竖直方向能做匀速直线运动。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．并集及其运算．考点：集合．专题：分由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：合的并集即可解解：答：故答案为点本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：义．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考分层抽样方法．点：专概率与统计．题：分根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本要从高二抽取故答案为：点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案解答：解：由题所以 故故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．循环结构．考点：算法和程序框图．专题：分利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：环 得到结果即可．解解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．评：．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．专函数的性质及应用．题：分根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞答：＞＞＞故答案为：（点本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．点：等差数列与等比数列；概率与统计．专题：分先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：典概论的计算公式即可求解解解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：）其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是故答案为：点本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：试题．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专空间位置关系与距离；立体几何．题：分过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．析：解解：过 作 于 是棱锥的高 所以答：的体积为 ．所以四棱锥 ﹣故答案为： ．点本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．评：．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．双曲线的简单性质．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得建立关于 的方程： 解之得 ．解解： ＞答：双曲线的焦点必在 轴上因此 ＞双曲线的离心率为可得所以 解之得故答案为：点本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解：﹣（）（） ﹣ ﹣故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．解答：解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）（） （﹣） ﹣ （） ；又﹣又 （﹣ ） （ ）由 解得 ﹣ ；﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．解答：解：设﹣（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．故答案为：．点本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．点：直线与圆．专题：分由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：与直线 ﹣ 有公共点即可．解解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为则 即 ﹣．的最大值是．故答案为：．点本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考一元二次不等式的应用．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）答：（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）即为 ＜ 解集为（ ）则 ﹣ 的两个根为﹣解得故答案为：点本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣则的取值范围是 ．导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．考点：导数的综合应用；不等式的解法及应用．专题：分由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由析：可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解解： ﹣ ＞答：＞﹣ ﹣．从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．又＜从而 设函数 （ ） （ ＞ ）（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．（ ） （ ） ．等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．从而的取值范围是 双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．（ ）求证： ；（ ）若 求 的值．解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考点：专三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．题：分（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．解解：（ ）答：即由正弦定理 得：又 ＜ ＜ ＞ ＞在等式两边同时除以 可得 ；（ ） ＜ ＜则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣﹣将 代入得： ﹣整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）解得： 或 ﹣又 ＞又 为三角形的内角则 ．点此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：（ ）平面 平面 ；（ ）直线 平面 ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到平面 从而平面 平面 ；（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ．解答：解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面平面又 、 是平面 内的相交直线平面平面平面 平面 ；（ ） 中 为 的中点平面 平面又 、 是平面 内的相交直线平面又 平面平面 平面直线 平面 ．点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．函数模型的选择与应用．考点：函数的性质及应用．专题：分（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：．由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立即关于 的方程 ﹣ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于故只需 ﹣ （ ） 得 ．此时 ＞ ．当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点．（ ）求 和 的值；（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．考函数在某点取得极值的条件；函数的零点．点：导数的综合应用．专题：分（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．解解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．答：和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣﹣ ．（ ﹣ ） （ ） 解得当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞﹣ 是 （ ）的极值点．当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．（ ）的极值点是﹣ ．（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．此时 （ ） 在（ ）无实根．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断（ ） 在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．现考虑函数 （ ）的零点：（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点．点评： 本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．（ ）若 ﹣ 求直线 的斜率；（ ）求证： 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解． （ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣ 用待定系数法求解；（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得 由此可求得 是定值．解答：（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得 ﹣ ．由点（ ）在椭圆上 得椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得 （﹣ ） （ ）又 直线 与直线 平行 设 与 的方程分别为 ﹣ ．设 （ ） （ ） ＞ ＞由可得（ ）﹣ ﹣ ．（舍）﹣同理（ ）由 得 ﹣解得 ．注意到 ＞ ． 直线 的斜率为．（ ）证明： 直线 与直线 平行即．由点 在椭圆上知 ．同理．由 得．是定值．点本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 评：属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：求证：数列是等差数列；（ ）设且 是等比数列 求 和 的值．（ ）设数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：从（ ）由题意可得而可得 可证（ ）由基本不等式可得 由是等比数列利用反证法可证明 进而可求解答：解：（ ）由题意可知从而数列 是以 为公差的等差数列（ ） ＞ ＞从而（ ）设等比数列 的公比为 由 ＞ 可知 ＞下证若 ＞ 则 故当时与（ ）矛盾＜ ＜ 则 故当时 与（ ）矛盾综上可得 所以数列 是公比的等比数列若 则于是 ＜ ＜又由可得至少有两项相同 矛盾 从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题 选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ 江苏） ． 选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 是圆 的直径 为圆上位于 异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接 ．求证： ．． 选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵 的逆矩阵 求矩阵 的特征值．． 选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．． 选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数 满足： ＜ ﹣ ＜ 求证： ＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法 选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：．要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵 的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵 的特征值．．根据圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：．证明：连接 ．是圆 的直径 （直径所对的圆周角是直角）．（垂直的定义）．又 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．（等腰三角形等边对等角的性质）．又 为圆上位于 异侧的两点（同弧所对圆周角相等）．（等量代换）．、解： 矩阵 的逆矩阵（ ） ﹣ ﹣﹣、解： 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点在 （ ﹣） ﹣中令 得 ． 圆 的圆心坐标为（ ）． 圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为 ．、证明： （ ）﹣（ ﹣ ） ﹣ ＜ ﹣ ＜＜点本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与评：参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ 江苏）设 为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ；当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ．（ ）求概率 （ ）；（ ）求 的分布列 并求其数学期望 （ ）．考离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．点：概率与统计．专题：分（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．析：（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶答：点恰有 条棱共有 对相交棱（ ） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（ ） （ ） ﹣ （ ）﹣ （ ） ．随机变量 的分布列是：其数学期望 （ ） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键． ．（ 分）（ 江苏）设集合 ．记 （ ）为同时满足下列条件的集合 的个数：； 若 则 ； 若 则 ．（ ）求 （ ）；（ ）求 （ ）的解析式（用 表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得符合条件的集合 为：故可求 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为 可知 若 则 为偶数；若 则 为奇数 可求解答：解（ ）当 时符合条件的集合 为：故 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为于是 其中 为奇数由条件可知 若 则 为偶数 若 则 为奇数于是 是否属于 由 是否属于 确定 设是中所有的奇数的集合因此 （ ）等于的子集个数 当 为偶数时（或奇数时）中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(江苏卷,理数).pdf
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（江苏卷） 数学（理科） 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式： 椎体体积，其中为椎体的底面积，为椎体的高． 若（x，y），（x，y）…，（x，y）为样本点，为回归直线，则 ， ， 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算． 第Ⅰ卷一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．若集合，则__________ 2．若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则_________ 3．的增区间是__________ 4．执行图1所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为__________ 5．某家庭电话，打进的电话响第一声被接的概率为，响第二声被接的概率为，响第三声或第四声被接的概率都是，则电话在响第五声之前被接的概率为__________ 6．设是定义在上的奇函数，且，则_________ 7．设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为__________ 8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数．则=__________ 9．光线从点出发，经轴发射到圆的最短路程为__________ 10．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__________ 11．已知，则的值为__________ 12．若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是___________ 13．长为的线段的两个端点在抛物线上滑动，则线段中点到轴距离的最小值是________． 14．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为_________第Ⅱ卷二?解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）第1小题7分，第2小题4分，第3小题4分 已知设函数 （1）当，求函数的的值域； （2）当时，若=8，求函数的值； （3）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数的图象，求函数的表达式并判断奇偶性． 16．（本小题满分14分）第1小题7分，第2小题4分，第3小题4分 如图，在底面是矩形的四棱锥中，，?分别是?的中点，，． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 17．（本小题满分14分）第1小题3分，第2小题5分，第3小题7分 已知函数（为常数，且），且数列是首项为4， 公差为2的等差数列． （1）求证：数列是等比数列； （2）若，当时，求数列的前项和； （3）若，问是否存在实数，使得中的每一项恒小于它后面的项?若存在，求出的范围；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分16分）第1小题10分，第2小题6分． 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知=3米，=2米． （1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内? （2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求出最小面积． 19．（本小题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分． 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6．椭圆的左焦点为，过左准线与轴的焦点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点为． （1）求椭圆的方程； （2）求证：； （3）求面积的最大值． 20．（本小题满分16分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题6分． 已知函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数． （1）求的取值范围； （2）求证：； （3）若函数，，的最大值为，求证：数学II（附加题）21．【选做题】本题包括A?B?C?D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 在中，是的平分线，的外接圆交于点，且 求证：． B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵的特征值及对应的特征向量． C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 把参数方程（是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线． D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知为正数，求证： 【必做题】第22题?第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 某校欲从两个素质拓展小组中选拔4个同学参加市教育局组织的2010年夏令营活动，已知甲组内有实力相当的1个女生和3个男生，乙组内有实力相当的2个女生和4个男生，现从甲?乙两个小组内各任选2个同学．（1）求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；（2）设为选出的4个同学中女生的个数，求的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分） 设数列，满足 证明为等差数列的充要条件是为等比数列． 2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（江苏卷） 数学（理科） 一．填空题 1． 2．-4 3． 4． 5．0．8 6．-2 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二．解答题 15．（1） ； 由， （2）， 所以=（3）由题意知 所以；，故为奇函数． 16．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 空间直角坐标系，则∴， ，，，，，，． （1）∵ ∴∥，即∥， 又平面，平面， ∴∥平面． （2）∵，， ∴，即． 又， ∴． ∵， ∴平面． （3）设平面的一个法向量，则 ∴，即，解得平面的一个法向量． 而平面的一个法向量是，设二面角为，则 ． 即二面角的余弦值为． 17．（1）证：由题意，即， ∴∴ ∵常数且，∴为非零常数， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）解：由（Ⅰ）知，， 当时，． ∴ ① ② ②-①，得 ∴ ． （3）解： 由（Ⅰ）知，，要使对一切成立， 即对一切成立． ①当时，，对一切恒成立； ②当时，，对一切恒成立，只需 ，∵单调递增， ∴当时，． ∴，且， ∴ 综上所述，存在实数满足条件． 18．（1）解：设的长为米（） 由题意可知：∵ 即 ∴ 由得 ∵ ∴，即 解得： 即长的取值范围是 （2）∵ ∴ 当且仅当，即时取“=”号 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 19．（1）设椭圆W的方程为，由题意可知 ，解得 所以椭圆W的方程为 （2）因为左准线方程为，所以点M的坐标为（-3，0） 于是可设直线的方程为，点A，B的坐标分别为 则点C的坐标为，， 由椭圆的第二定义可得 所以三点共线，即． （3）由题意知 当且仅当时“=”成立，所以面积S的最大值为 20．（1）按题意，得． ∴ 即． 又 ∴关于的方程． 在内有二不等实根=?．关于的二次方程 在内有二异根?． ． 故． （2）令， 则． ∴． （3）∵， ∴ ． ∵， ∴当（，4）时，；当（4，）是． 又在[，]上连接， ∴在[，4]上递增，在[4，]上递减． 故． ∵， ∴0<9a0．若M≥1，则． ∴，矛盾．故0<M<1． 数学II（附加题） 21．A．证明：连接 由圆内接四边形的性质定理可得： ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵，，是的平分线， ∴ ∴ ∴ ∴ B．特征多项式 由，解得． 将代入特征方程组，得 可取为属于特征值的一个特征向量 将代入特征方程组，得 可取为属于特征值的一个特征向量． 综上所属，矩阵有两个特征值 属于的一个特征向量为 属于的一个特征向量为． C．由，得，即 ①，又 ② ②÷①得： ③ 将③代入①得，整理得 因为，所以 所求普通方程为 D．证明：∵， 所以 22．（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男 同学，1个为女同学”为事件， “从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学， 1个为女同学”为事件， 由于事件?互斥，且 ∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为 （2）可能的取值为0，1，2，3， ∴的分布列为 0123P∴的数学期望 23．充分性：若为等比数列，设公比为，则 有为常数 所以为等差数列． 必要性：由得 ∴ 若为等差数列，设公差为 则 ∴， 为常数 ∴为等比数列 20070126。
2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版.pdf
2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第1部分 集合 苏教版
（2012年兴化）已知集合,集合，
则集合中所有元素之和为______▲______. 答案：
（苏锡常二模）.设集合，，则 .
答案：（-1,2）
（盐城二模）已知集合, , 若, 则整数=▲ .
答案：0
（南京二模）1.已知集合,若,则实数的取值范围是_______________
答案：(－∞，0]
（天一）2.已知全集，集合，，则集合=▲ .
答案：
（南京三模）1．已知集合A＝，B＝，且，则实数a的值是 ▲ ． 答案:1
（常州期末）1、已知集合，若,则实数的值为 。
（南通三模）已知集合，那么=▲ .
解析：考查集合中元素的互异性、集合的并集运算。
答案：。
（苏锡常一模）已知集合，集合，则 .
答案：
（南通一模）设全集Z，集合，则 ▲ （用列举法表示）.
答案：{0，1}。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ ❿江苏）已知集合✌❝❝则 ✌✉❝．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意 ✌两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解： ✌❝❝✌✉❝故答案为 ❝点评：本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定义．（ 分）（ ❿江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 要从高二抽取故答案为： 点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ ❿江苏）设♋♌ ♋♌♓（♓为虚数单位） 则♋♌的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 ♓再由进行计算即可得到♋♌♓♓再由复数相等的充分条件即可得到♋♌的值 从而得到所求的答案解答：解：由题 ♋♌ ♋♌♓所以♋♌故♋♌故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ ❿江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循环 得到结果即可．解答：解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点评：本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断． ．（ 分）（ ❿江苏）函数♐（⌧） 的定义域为（ ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解答：解：函数♐（⌧） 要满足 ﹣ ♏且⌧＞⌧＞⌧＞ ⌧＞ 故答案为：（ 点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ ❿江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） ⑤（﹣ ） 其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） 共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是 故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础试题．（ 分）（ ❿江苏）如图 在长方体✌﹣✌ 中✌✌♍❍✌✌ ♍❍则四棱锥✌﹣ 的体积为 ♍❍ ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过✌作✌于 求出✌然后求出几何体的体积即可．解答：解：过✌作✌于 ✌是棱锥的高 所以✌所以四棱锥✌﹣ 的体积为✞ ．故答案为： ．点评：本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力． ．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 若双曲线的离心率为 则❍的值为 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得⍓ 的分母❍ ＞ 所以双曲线的焦点必在⌧轴上．因此♋ ❍＞ 可得♍ ❍ ❍最后根据双曲线的离心率为 可得♍ ♋ 建立关于❍的方程：❍ ❍❍解之得❍．解答：解： ❍ ＞双曲线的焦点必在⌧轴上因此♋ ❍＞ ♌ ❍ ♍ ❍❍ ❍ ❍双曲线的离心率为可得♍ ♋所以❍ ❍❍解之得❍故答案为：点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在矩形✌中 ✌ 点☜为 的中点 点☞在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解： ﹣ （）（） ﹣ ﹣ 故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ ❿江苏）设♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 在区间☯﹣ 上 ♐（⌧） 其中♋♌ ．若 则♋♌的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 由♐（⌧）的表达式可得♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；再由♐（﹣ ） ♐（ ）得 ♋♌解关于♋♌的方程组可得到♋♌的值 从而得到答案．解答：解： ♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 ♐（⌧） ♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；又﹣♋♊又♐（﹣ ） ♐（ ）♋♌♋由♊♋解得♋♌﹣ ；♋♌﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到♋♌的方程组并求得♋♌的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）设↑为锐角 若♍☐♦（↑） 则♦♓⏹（ ↑）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设↓↑ 根据♍☐♦↓求出♦♓⏹↓进而求出♦♓⏹↓和♍☐♦↓最后用两角和的正弦公式得到♦♓⏹（ ↑）的值．解答：解：设↓↑♦♓⏹↓ ♦♓⏹↓♦♓⏹↓♍☐♦↓ ♍☐♦↓♍☐♦ ↓﹣♦♓⏹（ ↑） ♦♓⏹（ ↑﹣） ♦♓⏹（ ↓﹣） ♦♓⏹↓♍☐♦﹣♍☐♦↓♦♓⏹ ．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角↑的余弦值的情况下 求 ↑的正弦值 着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣⌧若直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆 的方程为（⌧﹣ ） ⍓ 由题意可知 只需（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．解答：解： 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣ ⌧整理得：（⌧﹣ ） ⍓ 即圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线⍓⌧﹣ 的距离为♎则♎♎即 ﹣ ♎♎♎．的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为❽（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点❾是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ） 若关于⌧的不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍） 则实数♍的值为 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出♋与♌的关系 然后根据不等式的解集可得♐（⌧） ♍的两个根为❍❍最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解答：解： 函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ）♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌只有一个根 即 ♋ ﹣ ♌则♌不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍）即为⌧ ♋⌧＜♍解集为（❍❍）则⌧ ♋⌧﹣♍的两个根为❍❍❍﹣❍ 解得♍故答案为：点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知正数♋♌♍满足： ♍﹣ ♋♎♌♎♍﹣♋♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍则的取值范围是☯♏．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得♎♎而 ﹣ ♎♎﹣ 于是可得♎；由♍ ●⏹ ♌♏♋♍ ●⏹ ♍可得 ＜♋♎♍●⏹ 从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ） 利用其导数可求得♐（⌧）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解答：解： ♍﹣♋♏♌＞＞♍﹣ ♋♎♍﹣♋♎．从而 ♎﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当♋：♌：♍： ： ．又♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍＜♋♎♍●⏹从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ）♐（⌧） 当 ＜⌧＜♏时 ♐（⌧）＜ 当⌧＞♏时 ♐（⌧）＞ 当⌧♏时 ♐（⌧） 当⌧♏时 ♐（⌧）取到极小值 也是最小值．♐（⌧）❍♓⏹ ♐（♏） ♏．等号当且仅当 ♏ ♏成立．代入第一个不等式知： ♎ ♏♎不等式成立 从而♏可以取得．等号成立当且仅当♋：♌：♍：♏： ．从而的取值范围是☯♏双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到♏ 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿江苏）在 ✌中 已知．（ ）求证：♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）若♍☐♦ 求✌的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时除以♍化简后 再利用正弦定理变形 根据♍☐♦✌♍☐♦♊利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）由 为三角形的内角 及♍☐♦的值 利用同角三角函数间的基本关系求出♦♓⏹的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出♦♋⏹的值 由♦♋⏹的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出♦♋⏹（✌）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入 得到关于♦♋⏹✌的方程 求出方程的解得到♦♋⏹✌的值 再由✌为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出✌的度数．解答：解：（ ） ❿ ❿♍♌♍☐♦✌♍♋♍☐♦即♌♍☐♦✌♋♍☐♦由正弦定理 得：♦♓⏹♍☐♦✌♦♓⏹✌♍☐♦又 ＜✌＜⇨♍☐♦✌＞ ♍☐♦＞ 在等式两边同时除以♍☐♦✌♍☐♦可得♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ） ♍☐♦ ＜ ＜⇨♦♓⏹♦♋⏹则♦♋⏹☯⇨﹣（✌） 即♦♋⏹（✌） ﹣ ﹣ 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入得： ﹣ 整理得： ♦♋⏹ ✌﹣ ♦♋⏹✌﹣ 即（♦♋⏹✌﹣ ）（ ♦♋⏹✌） 解得：♦♋⏹✌或♦♋⏹✌﹣又♍☐♦✌＞ ♦♋⏹✌又✌为三角形的内角则✌．点评：此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在直三棱柱✌﹣✌ 中 ✌ ✌ ☜分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且✌☜☞为 的中点．求证：（ ）平面✌☜平面 ；（ ）直线✌ ☞平面✌☜．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（ ）根据三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 得到 平面✌从而✌ 结合已知条件✌☜☜、 是平面 内的相交直线 得到✌平面 从而平面✌☜平面 ；（ ）先证出等腰三角形 ✌ 中 ✌ ☞ 再用类似（ ）的方法 证出✌ ☞平面 结合✌平面 得到✌ ☞✌最后根据线面平行的判定定理 得到直线✌ ☞平面✌☜．解答：解：（ ） 三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 平面✌✌②平面✌✌又 ✌☜☜、 是平面 内的相交直线✌平面 ✌②平面✌☜平面✌☜平面 ；（ ） ✌ 中 ✌ ✌ ☞为 的中点✌ ☞ 平面✌ ✌ ☞②平面✌✌ ☞又 、 是平面 内的相交直线✌ ☞平面 又 ✌平面 ✌ ☞✌✌ ☞④平面✌☜✌②平面✌☜直线✌ ☞平面✌☜．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 建立平面直角坐标系⌧⍓⌧轴在地平面上 ⍓轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标♋不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（ ）求炮的最大射程即求 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）与⌧轴的横坐标 求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（ ）在 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）中 令⍓得 ⌧﹣（ ）⌧ ．由实际意义和题设条件知⌧＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ♋＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ♋﹣（ ）♋ 成立即关于 的方程♋ ﹣ ♋♋ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于 故只需 ♋ ﹣ ♋ （♋ ）♏得♋♎．此时 ＞ ．当♋不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）若函数⍓♐（⌧）在⌧⌧ 处取得极大值或极小值 则称⌧ 为函数⍓♐（⌧）的极值点．已知♋♌是实数 和﹣ 是函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧的两个极值点．（ ）求♋和♌的值；（ ）设函数♑（⌧）的导函数♑（⌧） ♐（⌧） 求♑（⌧）的极值点；（ ）设♒（⌧） ♐（♐（⌧））﹣♍其中♍ ☯﹣ 求函数⍓♒（⌧）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（ ）由（ ）得♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧求出♑（⌧） 令♑（⌧） 求解讨论即可．（ ）先分 ♎和 ♎＜ 讨论关于的方程♐（⌧） ♎的情况；再考虑函数⍓♒（⌧）的零点．解答：解：（ ）由 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧得 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌． 和﹣ 是函数♐（⌧）的两个极值点♐（ ） ﹣ ♋♌♐（﹣ ） ♋♌解得♋♌﹣ ．（ ）由（ ）得 ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧♑（⌧） ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧（⌧﹣ ） （⌧） 解得⌧ ⌧ ⌧ ﹣ ．当⌧＜﹣ 时 ♑（⌧）＜ ；当﹣ ＜⌧＜ 时 ♑（⌧）＞ ﹣ 是♑（⌧）的极值点．当﹣ ＜⌧＜ 或⌧＞ 时 ♑（⌧）＞ 不是♑（⌧） 的极值点．♑（⌧）的极值点是﹣ ．（ ）令♐（⌧） ♦则♒（⌧） ♐（♦）﹣♍．先讨论关于⌧的方程♐（⌧） ♎根的情况 ♎ ☯﹣ 当 ♎时 由（ ）可知 ♐（⌧） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到♐（⌧）是奇函数♐（⌧） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ♎＜ 时 ♐（﹣ ）﹣♎♐（ ）﹣♎﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎♐（﹣ ）﹣♎﹣ ﹣♎＜ 一 ﹣ 都不是♐（⌧） ♎ 的根．由（ ）知 ♐（⌧） （⌧）（⌧﹣ ）．♊当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数 从而♐（⌧）＞♐（ ） ．此时♐（⌧） ♎在（ ）无实根．♋当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数．又 ♐（ ）﹣♎＜ ♐（ ）﹣♎＞ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．♌当⌧ （﹣ ）时 ♐（⌧）＜ 于是♐（⌧）是单调减函数．又 ♐（﹣ ）﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎＜ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（一 ）内有唯一实根．因此 当 ♎ 时 ♐（⌧） ♎ 有两个不同的根 ⌧ ⌧ 满足 ⌧ ⌧ ；当 ♎＜ 时 ♐（⌧） ♎ 有三个不同的根⌧ ⌧ ⌧ 满足 ⌧♓ ＜ ♓．现考虑函数⍓♒（⌧）的零点：（ ♓ ）当 ♍时 ♐（♦） ♍有两个根♦ ♦ 满足 ♦ ♦ ．而♐（⌧） ♦ 有三个不同的根 ♐（⌧） ♦ 有两个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．（ ♓ ♓ ）当 ♍＜ 时 ♐（♦） ♍有三个不同的根♦ ♦ ♦ 满足 ♦♓ ＜ ♓．而♐（⌧） ♦♓有三个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．综上所述 当 ♍时 函数⍓♒（⌧）有 个零点；当 ♍＜ 时 函数⍓♒（⌧）有 个零点．点评：本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在平面直角坐标系⌧⍓中 椭圆（♋＞♌＞ ）的左、右焦点分别为☞ （﹣♍） ☞ （♍）．已知（ ♏）和（♏）都在椭圆上 其中♏为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设✌是椭圆上位于⌧轴上方的两点 且直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 ✌☞ 与 ☞ 交于点 ．（♓）若✌☞ ﹣ ☞ 求直线✌☞ 的斜率；（♓♓）求证： ☞ ☞ 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ♏）和（♏） 都在椭圆上列式求解．（ ）（♓）设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣ ❍⍓与椭圆方程联立求出 ✌☞ 、 ☞ 根据已知条件✌☞ ﹣ ☞ 用待定系数法求解；（♓♓）利用直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 点 在椭圆上知 可得由此可求得 ☞ ☞ 是定值．解答：（ ）解：由题设知♋ ♌ ♍ ♏ 由点（ ♏）在椭圆上 得♌♍ ♋ ﹣ ．由点（♏）在椭圆上 得♋ 椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得☞ （﹣ ） ☞ （ ）又 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣❍⍓．设✌（⌧ ⍓ ） （⌧ ⍓ ） ⍓ ＞ ⍓ ＞ 由 可得（❍ ）﹣ ❍⍓ ﹣ ．（舍）✌☞ ﹣⍓ ♊同理 ☞ ♋（♓）由♊♋得 ✌☞ ﹣ ☞ 解得❍ ． 注意到❍＞ ❍．直线✌☞ 的斜率为．（♓♓）证明： 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 即．由点 在椭圆上知 ． 同理．☞ ☞由♊♋得☞ ☞ ． ☞ ☞ 是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知各项均为正数的两个数列 ♋⏹❝和 ♌⏹❝满足：♋⏹ ⏹ ☠✉（ ）设♌⏹ ⏹ ☠✉求证：数列是等差数列；（ ）设♌⏹ ❿ ⏹ ☠✉且 ♋⏹❝是等比数列 求♋ 和♌ 的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（ ）由题意可得 ♋⏹ 从而可得可证（ ）由基本不等式可得 由 ♋⏹❝是等比数列利用反证法可证明❑ 进而可求♋ ♌解答：解：（ ）由题意可知 ♋⏹从而数列 ❝是以 为公差的等差数列（ ） ♋⏹＞ ♌⏹＞从而（✉）设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑由♋⏹＞ 可知❑＞下证❑若❑＞ 则 故当时 与（✉）矛盾＜❑＜ 则 故当时 与（✉）矛盾综上可得❑♋⏹ ♋所以数列 ♌⏹❝是公比的等比数列若 则 于是♌ ＜♌ ＜♌又由可得♌ ♌ ♌ 至少有两项相同 矛盾从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题☎选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ ❿江苏）✌．☯选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 ✌是圆 的直径 ☜为圆上位于✌异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接✌✌☜☜．求证： ☜ ．．☯选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵✌的逆矩阵 求矩阵✌的特征值．．☯选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．．☯选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数⌧⍓满足： ⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜ 求证： ⍓＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法☎选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：✌．要证 ☜ 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 ☜是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵✌的逆矩阵 根据定义可求出矩阵✌从而求出矩阵✌的特征值．．根据圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：✌．证明：连接 ✌．✌是圆 的直径 ✌（直径所对的圆周角是直角）． ✌（垂直的定义）．又 ✌是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．✌✌（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）． （等腰三角形等边对等角的性质）．又 ☜ 为圆上位于✌异侧的两点 ☜（同弧所对圆周角相等）．☜ （等量代换）．、解： 矩阵✌的逆矩阵 ✌♐（↖） ↖ ﹣ ↖﹣ ↖ ﹣ ↖ 、解： 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点在⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣中令→得⇧． 圆 的圆心坐标为（ ）．圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为⇧♍☐♦→．、证明： ⍓⍓（⌧⍓）﹣（ ⌧﹣⍓） ♎⌧⍓⌧﹣⍓⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜⍓＜点评：本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ ❿江苏）设↘为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ↘；当两条棱平行时 ↘的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时↘．（ ）求概率 （↘）；（ ）求↘的分布列 并求其数学期望☜（↘）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶点恰有 条棱共有 对相交棱（↘） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（↘） （↘） ﹣ （↘）﹣ （↘） ．随机变量↘的分布列是：↘其数学期望☜（↘） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键．．（ 分）（ ❿江苏）设集合 ⏹ ⑤⏹❝⏹ ☠✉．记♐（⏹）为同时满足下列条件的集合✌的个数：♊✌⑥⏹；♋若⌧ ✌则 ⌧⇧✌；♌若⌧ ✌则 ⌧⇧✌．（ ）求♐（ ）；（ ）求♐（⏹）的解析式（用⏹表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故可求♐（ ）（ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数；若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数 可求解答：解（ ）当⏹时 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故♐（ ） （ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍于是⌧❍❿ 其中❍为奇数 ☠✉由条件可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数于是⌧是否属于✌由❍是否属于✌确定 设✈⏹是 ⏹中所有的奇数的集合因此♐（⏹）等于✈⏹的子集个数 当⏹为偶数时（或奇数时） ⏹中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012江苏各地高考模拟试题汇编-选修
（2）一列沿+x 方向传播的简谐横波在 t=0 时刻刚好传到 x=6m
（2 分）
（苏北四市 2012届高三第三次调研测试）A.(选修模块 3－3)（12 分）
⑴下列四幅图分别对应四种说法，其中正确的是 ▲
F
斥 力
O
引
r0
r
力
A.三颗微粒运动 位置的连线
B.分子间的作用力 与距离的关系
C.食盐晶体
D.小草上的露珠
A．微粒运动就是物质分子的无规则热运动，即布朗运动
B．当两个相邻的分子间距离为 r0 时，它们间相互作用的引力和斥力大小相等 C．食盐晶体的物理性质沿各个方向都是一样的
伏加德罗常数取 NA=6.02×1023mol-1。则 1m3
留一位有效数字）
可燃冰所含甲烷分子数为多少？（结果保
答案：12A.(共 12 分)
（1）BC （4 分）
（2）增大 吸收 (4 分，每空 2 分)
（3）
N V NA V0
2分
164 2.24 10 2
6.02 1023
4 1027
2分
12．【选做题】 本题包括A、B、C三小题，
体形成危害.矿物燃料燃烧的排放是形成 PM2.5 的主要原因.下列关于 PM2.5 的说法
中不正确的是 ▲
.（填写选项前的字母）
A．温度越高，PM2.5 的运动越激烈 B．PM2.5 在空气中的运动属于分子热运动 C．周围大量分子对 PM2.5 碰撞的不平衡使其在空中做无规则运动 D．倡导低碳生活减少化石燃料的使用能有效减小 PM2.5 在空气中的浓度 （2）一定质量的理想气体由状态 A 经状态 B 变化到状态 C 的 p-V 图象如图所示．在由状态 A 变化到状态 B 的过 程中，理想气体的温度 ▲ （填“升高”、 “降低”或“不变”）．在由状态 A 变化到状态 C 的
江苏省2012届各地高考数学模拟试卷
江苏省泰州市2011学年高三年级第一次质量调研数学试卷（文）本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．考试前，考生须将学校、姓名、考试号码等信息填写在答题纸的规定位置，并将考试号码下面相应编号的小方格涂黑．解答本试卷时请将答案写在答题纸上，写在试卷上或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设i a )1)(1(ai i -+=a ．2．函数)(x f =3．等差数列{a =____________．4．若2sin ⎝⎛+π5．设函数x f (_____________． 6，则异面直线1BD 与AD7．已知向量a 、b 满足1||=a ，2||=b ，且2)(=+⋅b a a ，那么a与b 的夹角大小为________．8．若9)21(x -展开式的第3项为288，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n x x x 111lim 2 __________．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试10．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________．11．在10件产品中有3件是次品，从中任取4件，恰好有1件次品的概率是_________．12．若关于x⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 1,1，则称这两1sin 422+⋅+θx x ．13．若函数x f )(=k 的值为__________．14．设*N n ∈)1(+n f ，则数列}{n a 前100项的和二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．△ABC 中，“B A >”是“B A cos cos <”的……………………………………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．有下列四个命题：①三个点可以确定一个平面；②四边相等的四边形一定是菱形；③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．其中正确命题的个数是……………………………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．317．方程22x x =的实数解的个数是………………………………………………………（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．对于函数)(x f y =，D x ∈，若存在常数C ，对任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =)()(21，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知x x f =)(，,2[=D A ．3 B ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知向量)1,(sin x a =（1）求满足a ∥b（2）设函数|)(a x f =21．（本题满分142小题满分8分． 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：53)(+=x kx C ．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设)(x f 为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及)(x f 的表达式，并写出)(x f 的定义域；（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用)(x f 最小？并求出最小总费用．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．已知函数m x x f +=2)(，其中R m ∈，定义数列{}n a 如下：01=a ，)(1n n a f a =+，*N n ∈．（1）当1=m 时，求a （2）是否存在实数m m （3）若正数数列{}n b *），n S 为数列}{n b 的前n 项和，求使23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．设函数x ax x f +=)(（R a ∈），函数)(x g 的图像与函数)(x f 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x g 的解析式；金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （2）若关于x 的方程a x g =)(有且仅有一个实数解，求a 的值，并求出方程的解； （3）若函数)(x f 在区间),2[∞+上是增函数，求a 的取值范围．嘉定区2010学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．答案：1．因i a a ai i )1(1)1)(1(-++=-+是实数，所以=a 1． 2．答案：]2,0[．由022≥-x x ，得022≤-x x ，所以]2,0[∈x ．3．答案：1．112+=a a ，314+=a a 4122a a a =，即)3()1(1121+=+a a a ，解得11=a ．4．答案：257-．由532sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ，得53cos =θ，所以2571cos 22cos 2-=-=θθ． 5．答案：2-．解法一：函数x x f -=)(的反函数为21)(x x f=-（0≤x ），由4)(1=-x f 得42=x ，因为0<x ，故2-=x ．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解法二：由4)(1=-x f ，得2)4(-==f x ． 6．答案：5arctan ．因为BC ∥AD ，所以BC D 1∠就是异面直线1BD 与AD 所成的角，连结C D 1，在直角三角形BC D 1中，0190=∠BCD ，1=BC ，51=C D ，所以5tan 11==∠BC CD BC D ．7．答案：3π（或060）．设a 与b 的夹角为θ，由2)(=+⋅b a a ，得22=⋅+b a a ，即2cos 21=+θ，21cos =θ．8．答案：2．9)21(x -展开式的第3所以211lim 2= ⎝⎛+++∞→n x x ．9．答案：1．三阶行列式xa x 1214532+中元素3的余子式为x a x x f 21)(+=，由0)(<x f 得022<-+ax x ，由题意得a b -=+-1，所以1=+b a ．10．答案：16．1=a ，满足3≤a ，于是4211==+b ；2=a ，满足3≤a ，8212==+b ；3=a ，满足3≤a ，则16213==+b ；4=a ，不满足3≤a ，则输出b ，16=b ．11．答案：21．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 21210105)(3101337===C C C A P ． 12．答案：32π．由题意，61cos 2>θ且21sin 2>θ，⎩⎨⎧==+2cos 34ab b a θ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+2111sin 211a b ab θ，所以θθsin 2cos 32-=，3tan -=θ，因⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，32πθ=．13．答案：1±．因为)(x f0=，212212=+-⋅+⋅+-xxx xk k k k 1．14．答案：100．])1()(2n f n f a n =++=，)12()1(+-=n n ，所以201)199(+-+100502=⨯=．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．C ．16．A ．17．D ．18．B ．15．因为A 、B 是三角形内角，所以A 、),0(π∈B ，在),0(π上，x y cos =是减函数．16．①错．不在同一直线上的三点才能确定一个平面；②错．四边相等的四边形也可以是空间四边形；③错．如果三棱锥的底面是等边三角形，一条侧棱垂直于底面且长度等金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 于底面边长，则三个侧面都是等腰三角形；④错．若这两点是球的直径的两个端点，过这两点可作无数个大圆．17．作出函数x y 2=与2x y =，可发现两函数图像在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点（第一象限的两个交点是)4,2(和)16,4(）． 18．若取1x 、2x 为区间]4,2[的两个`端点，则22)()(21=x f x f ．若22>C ，取21=x ，2)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，4)(2≤x f ，于是22)(2)()(221≤=x f x f x f ；若22<C ，取41=x ，4)(1=x f ，对任意]4,2[2∈x ，2)(2≥x f ，于是)()(21=x f x f19090=∠ACB ，连结OM ，则设r OM =，则因为OB OC BC +=，所以r BC 3=，即33=r ．………………（6分）130tan 0=⋅=BC AC ．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体为底面半径1=AC ，高3=BC 的圆锥中间挖掉一个半径33=r 的球．………………（8分）所以，圆锥V V =球V -πππ27353334313132=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅=．…………（12分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）由a ∥b 的充要条件知，存在非零实数λ，使得a b ⋅=λ，即⎩⎨⎧=⋅=λλx x cos sin 1，所以12sin =x 6)1(2ππ⋅-+=k k x ，所以x 的集合是⎩⎨⎧=x x （也可写成⎩⎨⎧=k x x π（2）2)cos (sin 2||)(2+++=x x b a x f3)cos (sin 2++=x x 因为⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππx ，……（10分） 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πx ，……………（12分） 所以函数)(x f 的值域为]223,1[+．………………（14分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解：（1）由已知，当0=x 时，8)(=x C ，即85=k ，所以40=k ，……（1分）所以5340)(+=x x C ，…………（2分）又加装隔热层的费用为x x C 6)(1=．所以5380066534020)()(20)(1++=++⨯=+⋅=x x x x x C x C x f ，…………（5分）)(x f 定义域为]10,0[．…………（6分）（2）1038006210800580038006)(-⨯≥⎫⎛+=x x f70=，…………（10当且仅当=⎪⎭⎫ ⎝⎛+356x 18800352=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，x 70万元．…（14分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．解：（1）1=m 时，1)(2+=x x f ，因为01=a ，所以1)0()(12===f a f a ，2)(23==a f a ，5)(34==a f a ．…………（3分，每求对一项得1分）（2）m x x f +=2)(，则m a =2，m m a +=23，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 m m m m m m m a +++=++=2342242)(，…………（5分）如果2a ，3a ，4a 成等差数列，则)()2(22342m m m m m m m m m +-+++=-+，02234=-+m m m ，……（6分） 若0=m ，则0432===a a a ，不合题意，故0≠m ．所以，0122=-+m m ，所以21282±-=±-=m ．…………（8分）当21+-=m 时，公差==-+=-=2223m m m m a a d 223-，…………（9分） 当21--=m 时，公差2232+==m d ．………………（10分）（3）11=b ，n n n b m m b b 22)(21=-+=+，…………（12分）所以}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12-=n n b ，…………（13分）201012>-=n n S ，20112>n ，10>n ．…………（15分）所以，使2010>n S 成立的最小正整数n 的值为11．…………（16分）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．23．解：（1）设),(y x P 为图像2C 上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，…………（2分）因为),(y x P '''在1C 上，所以x a x y '+'='，即x ax y -+-=-224，22-++=x ax y ．所以22)(-++=x ax x g ．…………（5分）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （2）由a x g =)(得a x ax =-++22，整理得0)43(2=-+-a ax x ① ………（7分）若2=x 是方程①的解，则0=a ，此时方程①有两个实数解2=x 和2-=x ，原方程有且仅有一个实数解2-=x ；…………（8分）若2=x 不是方程①的解，则由△016122=+-=a a ，解得526±=a ．……（9分）所以，当0=a 时，方程的解为2-=x ； …………（10分） 当=a 526+时，方程的解为53+=x ； …………（11分） 当=a 526-时，方程的解为53-=x ． …………（12分） （3）设1x 、2[2∈x 因为函数)(x f ．……（14分）0))()(2121212>-⋅+=-x x a x x x x f x f ，因为012>-x x ，1x 16分） 而421>x x ，所以a 因此a 的取值范围是江苏省海安县2011届高三第一学期期末考试试（数学文）卷 2011.01金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数x x y --=21的定义域为__________________.2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是__________________.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于__________________.4．方程0cos sin sin cos =x x xx 的解为__________________.5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是__________________.6．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱的上底为底,下底面的中心为顶点的圆锥，得到一个如图（1）所示的几何体，那么这个几何体的体积是__________________. 7．在等差数列}{n a 中，18,0654321=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式为__________________.8．在ABC ∆中，60,4,13=∠==ACB BC AB ，则AC 的长等于__________________.9．已知]32,6[ππα∈，则αsin 的取值范围是__________________.10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为__________________.11．方程024)4(2=++++i x i x 有实数根b ，则=b __________________.图（2）12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求一号出口必须安排2个人，其余每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有__________________种（用数值表示）.13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n nf n nn f ，)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-23a a __________________.14．在某条件下的汽车测试中，车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：平均油耗号)向前行驶的里程为80公里； 向前行驶的里程不足80公里； 平均油耗超过9.6升/100公里； 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 且只有一个选项是正确的，选对得 4分，否则一律得零分.15．若函数)sin()(ϕ+=x x f 是偶函数，则ϕ可取的一个值为 （ ） A ．πϕ-=B ．2πϕ-=C ．4πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为 （ ） A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且D ．若}{n a2kn m a a a =17（ ）A ．31D ．12118．点O 在ABC ∆（1）=++（2）⋅=⋅=⋅；（3）0=⎫⎛-⋅=⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA ；（4）0)()(=⋅+=⋅+BC OC OB AB OB OA ．则点O 依次为ABC ∆的 （ ） A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),,(),,(a a n a a m xx =-=，其中0>a 且1≠a ，（1）当x 为何值时，⊥； （2）解关于x20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练，将炊事锅看作一个点Q ，用吊金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 绳PQ 将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计）. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）设PQ 的延长线与地面ABC 的交点为O ，求PCO ∠cos 的值； （2）若使炊事锅Q 到各条斜杆的距离都等于30cm ，试求吊绳PQ 的长.16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分） ]2,1[,3∈-x x b（1）2=b 时，求)(x f 的值域；（2）2≥b 时，)(x f >0恒成立，求b 的取值范围．B图金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试163小 （1）若对于任意的n B A ,的值；（2）在数列}{n a 中，*N ），求证}11{++n a n （3）在（2）题的条件下，设n ，从数列n 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中*+∈==-N m k k k n n 11.试问是否存在正整数m ，使71)(lim 21=++++∞→n n c c c ？若存在，求出m 的值；不存在，说明理由.金星国际教育集团版权所有@金星教学考试金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 1．函数x x y --=21的定义域为______),2()2,1[+∞ _______.2．函数)1(log 3-=x y 的反函数是____13+=x y （R x ∈）____.3．若五个数3,2,1,0,a 的平均数为1，则这五个数的方差等于_____2______.4．方程0cos sin sin cos =x x x x 的解为_____Z k k x ∈+=,42ππ______.5．若“条件α：2x ≤4≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是___]4,(--∞___.6,这个几何体的体积是7．在等差数列}{n a }{n a 的通项公式为8．在ABC ∆中，=AB _____1或3_______.9．已知]32,6[ππα∈10．执行如图（2）所示的程序框图，若输入0=x ，则输出y 的值为_____23-______.11．方程024)4(2=++++i x i x 有实数根b ，则=b _____2-______.12．世博期间，5人去某地铁站参加志愿者活动，该地铁站有4个出口，要求一号出口必须安排2个人，其余每个出口都要有志愿者服务，不同安排方法有____60____种（用数值表示）.图（2）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 13．设定义*N 上的函数⎪⎩⎪⎨⎧=)()2()()(为偶数为奇数n nf n nn f ，)2()3()2()1(n n f f f f a ++++= ，那么=-23a a ____16_____.14．在某条件下的汽车测试中，车驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：平均油耗) ①行使了③平均油耗超过9.6升/100公里； ④平均油耗恰为9.6升/100公里； 平均车速超过80公里/小时． 解题过程：实际用油为7.38，行驶距离为875.761006.938.7=⨯<，所以①错误，②正确.设L 为已用油量，△L 为一个小时内的用油量，S 为已行驶距离，△S 为一个小时内已行的距离金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 ⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+=6.95.9S S L L S L得S S V V ∆+=∆+6.96.9S S V S ∆+=∆+6.96.95.9，S S V ∆+=∆6.91.0，6.96.91.0>+∆=∆∆S SS V .所以③正确，④错误.⑤由②知错误.15．若函数sin()(=x f （ B ）A ．πϕ-=D ．8πϕ-=16．关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为 （ C ） A ．若2≥n 且n n n a a a 211=+-+，则}{n a 是等差数列B ．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S +=12，则数列}{n a 的通项1)1(--=n n aC ．若2≥n 且211n n n a a a =-+，则}{n a 是等比数列D ．若}{n a 是等比数列，且k n m N k n m 2,=+∈*，，，则2k nm a a a =金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 17．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为a 、b ，使b a 2=的概率是 （ D ）A ．31B ．41C ．61D ．12118．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式： （1）=++；（2）⋅=⋅=⋅；（3）⎫⎛⎫⎛-⋅BA BC OB AB AC OA （4）)(⋅+AB OB OA 则点O 依次为ABC ∆A C三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量),,(),,(a a n aa m xx =-=，其中0>a 且1≠a ，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （1）当x 为何值时，n m ⊥； （2）解关于x 的不等式nm n m -<+.解：（1）因为0,=⋅⊥所以,…………………………………………………………2分 得022=-a ax，即22a a x =.……………………………………………………4分所以22=x ，即1=x ，∴当1=x 时，⊥.………………………………6分 （2<+，∴22)()(n m n m -<+，0<⋅∴n m .所以022<-a a x ，即22a a x <.…………………………………………………10分当10<<a 时，1>x ，当1>a 时，1>x , 综上，当10<<a 时，不等式的解集为),1(+∞;当1>a 时，不等式的解集为)1,(-∞.……………………………………14分20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 野营活动中，学生在平地上用三根斜杆搭建一个正三棱锥形的三脚支架ABC P -（如图3）进行野炊训练，将炊事锅看作一个点Q ，用吊将炊事锅吊起烧水（锅的大小忽略不计）. 已知cm PC 130=，A 、B 两点间距离为cm 350.（1）设PQ 的延长线与地面ABC 的交点为O ，求PCO ∠cos 的值； （2）若使炊事锅Q 到各条斜杆的距离都等于30cm ，试求吊绳PQ 解：（1）设P 点在平面ABC 上的射影为点O ，连接CO ，50=CO 在Rt △POC 中，135cos =∠PCO .………………………5分 即PCO ∠cos 的值为135.…………………………………6分金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试（2）在Rt △POC 中，解得120=PO ，作PC QD ⊥交PC 于D 点，由30=QD ，得781330sin ==∠=QPD QD PQ .…………12分故吊绳PQ 的长78cm .…………………………………14分16 ,3-x x b（1）2=b 时，求(x f （2）2≥b 时，)(x f 解：（1）当b=2时，因为)(x f 在]2,1[上单调递减，在]2,2[上单调递增,……………………２分 所以)(x f 的最小值为322)2(-=f .………………………………………４分 又因为0)2()1(==f f ,……………………………………………………………５分 所以)(x f 的值域为]0,322[-．………………………………………………6分（2）（ⅰ）当42<≤b 时，因为)(x f 在],1[b 上单调递减，在]2,[b 上单调递增,)(x f 最小值为32)(-=b b f ，)(x f >0，即032>-b .金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 得494>>b .…………………………………………………………………11分（ⅱ）4≥b 时，)(x f 在[1，2]上单调递减,)(x f 最小值为12)2(-=b f ，)(x f >0，即012>-b ，得b>2，因此4≥b . 综合（ⅰ）（ⅱ）可知49>b .……………………………………………16分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小 （1）若对于任意的*∈N n ，总有1)1(2++=++n Bn A n n n 成立，求常数B A ,的值； （2）在数列}{n a 中，211=a ，)1(221+++=-n n n a a n n （2≥n ，*∈N n ），求证}11{++n a n 是等比数列，并求通项n a ；金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 （3）在（2）题的条件下，设2)1(21+++=n n a n n b ，从数列}{n b 中依次取出第1k 项，第2k 项，…第n k 项，按原来的顺序组成新的数列}{n c ，其中n k n b c =，其中*+∈==-N m k k k n n 11.试问是否存在正整数m ，使71)(lim 21=++++∞→n n c c c ？若存在，求出m 的值；不存在，说明理由.解：（1）由题设得2)1(+=++n Bn n A 即2)(+=++n A n B A 恒成立，所以⇒⎩⎨⎧==+21A B A 2=A ，1-=B .…………………………………………4分 （211+-n 得，2111a n a n n +=++-即}11{++n a n 8分 所以211=++n n n a 9分 （3由（2）知21=-a n n ，显然n ， 又nk n b c =,得m k k k k n n n n n n b b c c 21)21(111===-+++，m k b c 2111==.即}{n c 是以m 21为首项，m 21为公比的等比数列.………………………………12分于是)(lim 21n n c c c S +++=+∞→金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 7112121121=-=-=m m m ，即3712=⇒=-m m.…………………………14分综上，存在正整数m 满足题设，3=m .…………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S-函数”.（1）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S-函数”；（2）若x x f tan )(3=是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ；（3）若定义域为R 的函数)(x f 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域. 解：（1）若x x f =)(1是“S-函数”，则存在常数),(b a 使得(a+x)(a-x)=b. 即x2=a2-b 时，对x ∈R 恒成立. 而x2=a2-b 最多有两个解，矛盾. 因此x x f =)(1不是 “S-函数”.……………………………………………………3分若x x f 3)(2=是“S-函数”，则存在常数a,b 使得a xa x a 2333=⋅-+， 即存在常数对（a, 32a ）满足.因此xx f 3)(2=是“S-函数”.……………………………………………………6分（2）x x f tan )(3=是一个“S-函数”，设有序实数对（a,b ）满足.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 则tan(a-x)tan(a+x)=b 恒成立.当a=Zk k ∈+,2ππ时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)不是常数.……………………7分因此Zk k a ∈+≠,2ππ，Zm m x ∈+≠,2ππ时，则有b x a xa x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan .即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立.…………………………………9分即⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅0tan 01tan 222b a a b ⎧π当Z m m x ∈+=,2ππ,因此满足x x f tan )(3=Zk ∈),1.…12分(3) 函数)(x f 是“S-)1,1， 于是,1)()(=-⋅f x f x f 即0[]0,1[∈--∈x x 时，当].2,21[)(]1,1[].1,21[)(]2,1[)()(1)(,1)()(∈-∈∴∈⇒∈--==-⋅x f x x f x f x f x f x f x f 时，，由……………………………………15分)()2()2(1)()(1)(1)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅.……………17分 因此)(x f 为以2为周期的周期函数.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 当]2012,2012[-∈x 时，函数)(x f 的值域为]2,21[. ……………………………18分江苏省南航附中高三年级数学月考试卷（10.4） （总分：160分 时间120分钟）一、填空题：每小题5分，共70分．1.已知R)N =R ð . 2.若等差数列{}n a 3.已知函数()f x = . 4.已知||1a = ，||b .5.将函数2sin(=y 坐标变为原来的21.6.若复数i iz -=1，则=|z | .7.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为 .8.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 . 9.已知a1＞a2＞a3＞0，则使得2(1)1(123)i a x i -<=，，都成立的x 取值范围是 . 10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos .金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 11.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是 .12.设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = . 13.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当2)(,0x x f x =≥时，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+14.设,,x y zxx①② ③④二、解答题：本大题共6小题，共90分15.函数y=lg （3－4x+x2）的定义域为M ，x ∈M 时，求f （x ）=2x+2－3×4x 的最值．（14分）16．（本小题满分14分）已知：,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，122)(-+⋅=m b a x f（R m x ∈,）.(1) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(2) 若]2,0[π∈x 时()f x 的最小值为5，求m 的值.17．（本小题满分14分）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m>0）有极大值9. (1)求m 的值；(2)若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 (1)求证：AF ∥平面PCE ； (2)求证：平面PCE ⊥平面PCD ； (3)求三棱锥C －BEP 的体积．19．（本小题满分16分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20．（本小题满分16分） 已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．（1）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．数学月考试卷解答题参考答案 15.（14分）金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 解：由3－4x+x2＞0得x ＞3或x ＜1，∴M={x|x ＞3或x ＜1}，f （x ）=－3×22x+2x+2=－3（2x －16）2 +2512．∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2∴当2x=16即x=log216时，f （x ）最大，最大值为2512． f （x ）没有最小值．16.（14分）(1) 2()cos 2cos 21f x x x x m =++-2cos22x x m =++2sin(2)26x mπ=++(2) ∵]2,0[π∈x ，∴2x ∴当6762ππ=+x 即x ∵512=-m ，∴3=m 17.（14分）解：(1) f ’(x)＝ 当x 变化时，f ’(x)与f(x)的变化情况如下表：从而可知，当x=－m 时，函数f(x)取得极大值9， 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m ＝2.金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 (2)由(1)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,依题意知f ’(x)＝3x2＋4x －4＝－5，∴x ＝－1或x ＝－31. 又f(－1)＝6，f(－31)＝2768， 所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1),或y －2768＝－5(x ＋31)，即5x ＋y －1＝0，或18.（16分）证明: （1）取PC ∴FG 为△CDP ∵四边形ABCD ∴AB21//CD ，∴FG //AE ∴四边形AEGF 又EG ⊂平面PCE ，AF ∴AF ∥平面PCE ；（2）∵ PA ⊥底面∴CD ⊥平面ADP ， 又°， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴PA ＝AD=2， ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD=D ， ∴AF ⊥平面PCD ，∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PCE ， 平面PCE ⊥平面PCD ； （3）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ，PA 是三棱锥P －BCE 的高，Rt △BCE 中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C －BEP 的体积金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 V 三棱锥C －BEP=V 三棱锥P －BCE=2221212121=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅∆PA BC BE PA S BCE19.（16分）解：（1）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2242k=·，于是有6k =， 所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （2）根据（112)． 故12x =时，()f x 301218-=20.（16分） （1）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得11()n n n n a a q a a +--=-，即12n n b qb n -=，≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．（2）解：由（1），211a a -=，32a a q -=， (2)1(2)n n n a a q n ---=≥． 将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，金星国际教育集团 版权所有@金星教学考试 11111 1.n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．（3）解：由（2），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，2131n n n n q q a a q +-+--=-6)q -．由①可得3n n n a a a ++-=所以对任意的n ∈*N ，。
2012江苏高考数学试卷(含答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ▲ ．★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号（第4题）7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率 m 的值为 ▲ ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若cos C =求A 的值． DABC1 1D 1A1B（第7题）（第9题）S 数学Ⅰ试卷 第 3 页 （共 16 页）16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．1A1C（第16题）FDCABE1B19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：1n a n *+∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．（第19题）S 数学Ⅰ试卷 第 5 页 （共 16 页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号（第21-A 题）B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð． （1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．S数学Ⅰ试卷第7页（共16页）S数学Ⅰ试卷第9页（共16页）S数学Ⅰ试卷第11页（共16页）S数学Ⅰ试卷第13页（共16页）S数学Ⅰ试卷第15页（共16页）。
2012年江苏省南京市高考数学一模试卷
2012年江苏省南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）计算：=_________．2．（5分）若复数为纯虚数，则m=_________．3．（5分）某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x，8，9，10，11．已知这组数据的平均数为10，则其方差为_________．4．（5分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=_________．5．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，若P={1，2，3，4}，，则P﹣Q=_________．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为_________．7．（5分）已知扇形的周长为8cm，则该扇形的面积S的最大值为_________cm2．8．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为_________．9．（5分）若方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为_________．10．（5分）如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘船之间的距离为_________海里．11．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_________．12．（5分）设p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log a2＜1，如果“¬p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．13．（5分）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是_________．14．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是_________．二、解答题（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：（1）该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．17．（14分）（2011•番禺区）已知函数f （x）=2cos2x+sinxcosx．（1）求函数f （x）定义在上的值域．（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．18．（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．19．（16分）设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．20．（16分）在数列{a n}中，已知a1=p＞0，且．（1）若数列{a n}为等差数列，求p的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）当n≥2时，求证：．21．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，EF∥CD，FG切⊙O于点G．求证EF=FG．22．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线2x﹣y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．24．不等式选讲已知a，b为正数，求证：．25．已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．26．已知：（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n（n≥2，n∈N*）（1）当n=5时，求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．（2）设，T n=b2+b3+b4+…+b n．试用数学归纳法证明：当n≥2时，．2012年江苏省南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）计算：=．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先利用诱导公式得出所求的式子等于cos，然后根据特殊角的三角函数值得出答案．解答：解：=cos=故答案为．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关公式可以提高做题效率．2．（5分）若复数为纯虚数，则m=2．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：先将a﹣i1+i 化简为代数形式，再根据纯虚数的概念，令其实部为0，虚部不为0，求出m值．解答：解：=+i，根据纯虚数的概念得出，解得m=2．故答案为：2点评：本题考查复数的除法运算，复数的分类，纯虚数的概念．属于基础题．3．（5分）某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x，8，9，10，11．已知这组数据的平均数为10，则其方差为2．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：根据题意，五个数据的平均数为10，可以利用平均数的公式，求出x=12，然后可以用方差的计算公式，求出这五个数的方差，即可得到正确答案．解答：解：∵五个数x，8，9，10，11的平均数为10，∴（x+8+9+10+11）=10∴x=12∴五个数的方差为：s2=[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2]=2故答案为：2点评：本题给出五个数，通过已知平均数的情况下求出未知数x的值，并且进一步求它们的方差，着重考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．4．（5分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6=57．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差中项的性质可知a1+a2+a3=3a2求得a2的值，进而数列的公差可求得，进而利用a4+a5+a6=a1+3d+a2+3d+a3+3d求得答案．解答：解：∵a1+a2+a3=3a2=21∴a2=7∴d=7﹣3=4∴a4+a5+a6=a1+3d+a2+3d+a3+3d=21+9d=57故答案为：57点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是灵活利用等差中项的性质．5．（5分）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，若P={1，2，3，4}，，则P﹣Q={4}．交、并、补集的混合运算．专题：新定义．分析：由题意通过解根式不等式求出集合B，由定义P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求P﹣Q可检验P={1，2，3，4}中的元素在不在中，所有在P中不在Q中的元素即为P﹣Q中的元素．解答：解：集合={x|﹣≤x＜}，由定义P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求P﹣Q可检验P={1，2，3，4}中的元素在不在Q中，所有在P中不在Q中的元素即为P﹣Q中的元素，故P﹣Q={4}．故答案为：{4}．点评：此题属于以其他不等式的解法及新定义为平台，考查了两集合差的运算，利用了转化的数学思想，其中确定出两集合，理解新定义是解本题的关键．6．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为5．伪代码．专题：计算题．分析：根据题意为伪代码，通过分析执行顺序发现为循环结构，通过执行输出结果即可．解答：解：根据题意，本伪代码为循环结构执行本程序如下：s=1 i=1s=1×2=2 i=2s=2×=3 i=3s=3×=4 i=4s=4×=5 i=5此时不满足循环条件，跳出输出i=5故答案为：5点评：本题考查伪代码，通过对题目的分析得到规律，经过运算得到结果，本题属于基础题．7．（5分）已知扇形的周长为8cm，则该扇形的面积S的最大值为4cm2．考点：扇形面积公式．专题：计算题．分析：由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，故可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，根据基本不等式做出面积的最大值即可．解答：解：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r+l=8，面积为s=lr，因为8=2r+l≥2 ，所以rl≤8，所以s≤4故答案为：4点评：本题考查扇形的周长和面积公式及利用基本不等式求最值，本题解题的关键是正确表示出扇形的面积，再利用基本不等式求解．8．（5分）过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若AM=MB，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：易知左顶点A的坐标为（﹣a，0），从而设直线l的方程为：y=x+a，与y轴相交得到B（0．a），再由AM=MB 知M为线段AB的中点得M（），最后由M在椭圆上求得a，c关系得到离心率．解答：解：根据题意：左顶点A（﹣a，0），直线l的方程为：y=x+a∴B（0．a），又∵AM=MB∴M（）又∵M在椭圆上∴整理得：a2=3b2=3（a2﹣c2）∴2a2=3c2∴故答案为：．点评：本题主要考查椭圆的顶点，离心率以及a，b，c间的转化关系，同时还考查线与线的关系，点与椭圆的位置关系．9．（5分）若方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为﹣1．根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数思想．分析：构造函数y=lg|x|，y=﹣|x|+5，画出图象，结合函数的奇偶性，推出结论．解答：解：由方程可令，y=lg|x|，y=﹣|x|+5，画出图象，两个函数都是偶函数，所以函数图象的交点，关于y轴对称，因而方程lg|x|=﹣|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，一根位于（﹣k﹣1，﹣k），另一根位于（k，k+1），则所有满足条件的k的值的和：﹣1，故答案为：﹣1点评：本题考查知识点是根的存在性及根的个数判断、函数的应用，函数与方程的思想，数形结合思想，是中档题．10．（5分）如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B，灯塔B位于灯塔A的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，则两艘船之间的距离为海里．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先连接AC，可得到BC的长度和∠CAD的值，再由余弦定理将题中数据代入即可得到答案．解：连接AC，由题意可知AB=BC=5，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠CAD=45°根据余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2×AC×AD×cos∠CAD=36+18﹣2×6×3×=13故答案为：点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．11．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为8．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：设AC=a，CC1=b，有截面△BC1D是面积为6的直角三角形，求出a，b然后求出体积．解答：解：设AC=a，CC1=b，则由（a2+b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又×a2=6，∴a2=8，∴V=×8×4=8．故答案为：8点评：本题考查棱柱的体积的求法，考查计算能力，是基础题．12．（5分）设p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log a2＜1，如果“¬p”是真命题，“q”也是真命题，求实数a的取值范围．命题的真假判断与应用；复合命题的真假．专题：计算题．分析：由已知中p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；q：log a2＜1，我们可以分别求出满足条件的a的取值范围，再由“¬p”是真命题，“q”也是真命题，构造关于a的不等式组，即可得到答案．解答：解：∵p：函数f（x）=|x﹣a|在区间（4，+∞）上单调递增；故a≤4又∵q：log a2＜1，∴0＜a＜1或a＞2如果“¬p”为真命题，则p为假命题，即a＞4又q为真，即0＜a＜1或a＞2∴a＞4故实数a的取值范围是a＞4点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，其中分别求出满足命题p和命题q的a的取值范围，是解答本题的关键．13．（5分）如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是6．平面向量数量积的运算．专题：计算题；数形结合．分析：在平面内建立合适的坐标系，将向量的数量积用坐标表示，再利用线性规划解决问题．解答：解：以A为坐标原点，以AD方向为x轴正方向，以AB方向为y轴负方向建立坐标系，则=（1，﹣2）设N点坐标为（x，y），则=（x，y），则0≤x≤2，﹣2≤y≤0令Z==x﹣2y，将A，B，C，D四点坐标依次代入得：Z A=0，Z B=4，Z C=6，Z D=2故Z=的最大值为6故答案为：6点评：向量的主要功能就是数形结合，将几何问题转化为代数问题，但关键是建立合适的坐标系，将向量用坐标表示，再将数量积运算转化为方程或函数问题．14．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈[，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是．导数的运算．分析：先对函数f（x）求导，然后根据≤a﹣4x3≤4在x∈[，1]上恒成立可得答案．解答：解：∵f（x）=ax﹣x4，∴f′（x）=a﹣4x3，x∈[，1]，由题意得≤a﹣4x3≤4，即4x3+≤a≤4x3+4在x∈[，1]上恒成立，求得≤a≤，则实数a的值是．故答案为：点评：本题主要考查导数的运算和导数的几何意义．属中档题．二、解答题（本大题共12小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：（1）该队员只属于一支球队的概率；（2）该队员最多属于两支球队的概率．等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件3个球队共有20名队员，满足条件的事件是随机抽取一名队员只属于一支球队，从图中看出结果数，根据古典概型概率公式得到结果．（2）随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队，它的对立事件是该队员属于三个球队，这样的队员只有2个，得到该队员属于三个球队的概率是，根据对立事件的概率公式得到结果．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件从图中可以看出，3个球队共有20名队员，满足条件的事件是随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队，共有3+4+5则P==．∴随机抽取一名队员该队员只属于一支球队的概率为．（2）记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B，它的对立事件是该队员属于三个球队，这样的队员只有2个，∴该队员属于三个球队的概率是∴P（B）=1﹣P=1﹣=．故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为．点评：本题考查古典概型，考查对立事件的概率，考查概率中经常用的至少和至多词语，这是题目容易出错的原因．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）PA=PD，连BD，四边形ABCD菱形，Q为AD中点，证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，即可证明平面PQB⊥平面PAD；（2）连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=的值，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，说明三角形相似，求出t=．解答：解：（1）连BD，四边形ABCD菱形∵AD=AB，∠BAD=60°∴△ABD是正三角形，Q为AD中点∴AD⊥BQ∵PA=PD，Q为AD中点AD⊥PQ又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD∴平面PQB⊥平面PAD（2）当t=时，使得PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，交BD于O，则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN∴PA∥MN即：PM=PC，t=．点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．17．（14分）（2011•番禺区）已知函数f （x）=2cos2x+sinxcosx．（1）求函数f （x）定义在上的值域．（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C），求tanA的值．正弦函数的单调性；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）先对函数f（x）根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求得2x+的范围，最后根据正弦函数的性质可求得f（x）的值域．（2）将C代入到函数f（x）中可求得C的值，进而可得到A+B的值，再结合2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）运用两角和与差的公式即可得到tanA的值．解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x=2sin（2x+）+1∵∴∴；∴f（x）∈[0，3]．即f（x）的值域为[0，3]（2）由f（C）=2得2sin（2C+）+1=2，∴sin（2C+）=．∵0＜C＜π∴∴∴C=∴A+B=．又∵2sinB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）∴2sinB=2sinAsinC∴即∴∴．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查正弦函数的值域的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，一定要加强基础知识的夯实．18．（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准方程；（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的定义及横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．可求得p，则抛物线方程可得．（2）设圆心C的坐标为，半径为r，根据圆心C在y轴上截得的弦长为4表示出r和y0的关系，代入圆的方程，根据对于任意的y0∈R，方程均成立进而得到关于x和y的方程组，求得x和y，进而推断圆C过定点．解答：解：（1）依题意，得：，∴p=2．抛物线标准方程为：y2=4x（2）设圆心C的坐标为，半径为r．∵圆心C在y轴上截得的弦长为4∴圆心C的方程为：从而变为：①对于任意的y0∈R，方程①均成立．故有：解得：所以，圆C过定点（2，0）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．19．（16分）设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（1）将a=1代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率=f'（1），切点为（1，2），从而得到切线方程．（2）分x≥e和x＜e两种情况讨论．分别对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断出函数f（x）的单调性后可得到答案．解答：解（1）当a=1时，f（x）=x2+|lnx﹣1|令x=1得f（1）=2，f'（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x﹣y+1=0．（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx﹣a，（x≥e）∵a＞0，∴f（x）＞0恒成立．∴f（x）在[e，+∞）上增函数．故当x=e时，y min=f（e）=e2②当1≤x＜e时，f（x）=x2﹣alnx+1，（1≤x＜e）（i）当，即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．故当x=1时，y min=1+a，且此时f（1）＜f（e）（ii）当，即2＜a＜2e2时，f'（x）在时为负数，在间时为正数所以f（x）在区间上为减函数，在上为增函数故当时，，且此时（iii）当；即a≥2e2时，f'（x）在x∈（1，e）时为负数，所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，当x=e时，y min=f（e）=e2．综上所述，当a≥2e2时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2．所以此时f（x）的最小值为f（e）=e2；当2＜a＜2e2时，f（x）在x≥e时的最小值为，而，所以此时f（x）的最小值为．当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e2，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a所以函数y=f（x）的最小值为点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）在数列{a n}中，已知a1=p＞0，且．（1）若数列{a n}为等差数列，求p的值；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）当n≥2时，求证：．考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意得[a1+（n﹣1）d]（a1+nd）=n2+3n+2对n∈N*恒成立，即，求出首项和公差，再由a1=p＞0，求得p的值．（2）由条件可得=，①当n为奇数，求得a n=p，即当n=1时也符合．②当n为偶数，由题意可得a n=a2 ，因为a1⋅a2=6，由此求得数列{a n}的通项公式．再用裂项法和放缩法证明两种情况下S n的值都大于．解答：解：（1）设数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd．由题意得，[a1+（n﹣1）d]（a1+nd）=n2+3n+2对n∈N*恒成立．即d2n2+（2a1d﹣d2）n+（a12﹣a1d）=n2+3n+2．所以，即或．因为a1=p＞0，故p的值为2．…（3分）（2）因为a n+1⋅a n=n2+3n+2=（n+1）（n+2），所以a n+2⋅a n+1=（n+2）（n+3）．所以=．…（5分）①当n为奇数，且n≥3时，=，=，…，=．相乘得=，所以a n=p．当n=1时也符合．②当n为偶数，且n≥4时，=，=，…，=．相乘得=，所以a n=a2．因为a1⋅a2=6，所以a2=．所以a n=，当n=2时也符合．所以数列{a n}的通项公式为a n=．…（7分）当n为偶数时，S n=p++2p++…+p+=p⋅+=p+．当n为奇数时，S n=p++2p++3p++…++p=p⋅+⋅=p+．所以S n=．…（10分）（3）当n为偶数时，=+++…++≥4（++…+）=4[++…+]＞2[+++…++]=2（﹣+﹣+…+﹣）=．…（13分）当n为奇数，且n≥2时，=+++…++≥4（++…+）+＞4（++…+）＞2（++…++）=．…（15分）又因为对任意n∈N*，都有＜，故当n≥2时，＞．…（16分）点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，数列与不等式综合，用裂项法进行数列求和，用放缩法证明不等式，属于难题．21．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，EF∥CD，FG切⊙O于点G．求证EF=FG．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆內接多边形的性质与判定．专题：计算题．分析：根据切割线定理得FG2=FB•FA，再利用两个三角形△EFD和△AFE相似，从而可求证得两线段相等．解答：解：因为FG切⊙O于点G，所以FG2=FB•FA．…（2分）因为EF∥CD，所以∠BEF=∠ECD．又A、B、C、D四点共圆，所以∠ECD=∠EAF，所以∠BEF=∠EAF．…（5分）又∠EFA=∠BFE，所以△EFA∽△BFE．…（7分）所以=，即EF2=FB•FA．所以FG2=EF2，即EF=FG．…（10分）点评：本题主要是运用了切割线定理定理以及相似三角形知识，属于基础题，如何证三角形相似是解题的关键．22．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，．在平面直角坐标系中，设直线2x﹣y+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．考点：矩阵变换的性质．专题：计算题．分析：先求MN，再利用点（x，y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x′，y′），得出坐标之间的关系，利用点（x，y）在直线2x﹣y+1=0上，即可求得曲线F的方程．解答：解：由题设得MN=．…（3分）设（x，y）是直线2x﹣y+1=0上任意一点，点（x，y）在矩阵MN对应的变换作用下变为（x′，y′），则有=，即，所以…（7分）因为点（x，y）在直线2x﹣y+1=0上，从而2x′﹣（﹣y′）+1=0，即2x′+y′+1=0．所以曲线F的方程为2x+y+1=0．…（10分）点评：本题考查矩阵变换，考查矩阵的乘法，考查代入法求曲线的方程，属于基础题．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．考点：直线的参数方程；点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题．分析：把参数方程化为普通方程，求出点P到直线l的距离d=，令θ=kπ+，即得d 的最大值．解答：解：直线l的参数方程为，（t为参数）故直线l的普通方程为x+2y=0．因为P为椭圆上任意点，故可设P（2cosθ，sinθ）其中θ∈R．因此点P到直线l的距离是d==，故当θ=kπ+时，d 取得最大值=．点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的最值．求出点P到直线l的距离d=，是解题的关键．24．不等式选讲已知a，b为正数，求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：欲证．即证：（a+b）（+）≥9，这个不等式的证明只要将左边展开利用基本不等式即可得到．解答：证明：∵a＞0，b＞0，所以∴点评：本题主要考查不等式的证明．从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．25．已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；转化思想．分析：（1）设出M的半径，依据题意列出关系MF1+MF2=4，可求轨迹C的方程．（2）根据椭圆性质以及△ABF1的面积为，可以求得A、B的坐标，再求直线l的方程．解答：解：（1）设圆M的半径为r．因为圆过点F2，且与圆F1相内切．所以MF2=r，所以MF1=4﹣MF2，即：MF1+MF2=4，所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为，其中2a=4，c=1，所以，所以曲线C的方程．（2）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，，因为，所以．不妨设点A（x1，y1）在x轴上方，则．所以，，即：点A的坐标为或．所以直线l的斜率为，故所求直线方和程为x±2y=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，是中档题．26．已知：（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a n（x﹣1）n（n≥2，n∈N*）（1）当n=5时，求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值．（2）设，T n=b2+b3+b4+…+b n．试用数学归纳法证明：当n≥2时，．考点：二项式定理的应用；数学归纳法．专题：综合题．分析：（1）通过给等式中的x赋值2求出展开式的系数和．（2）将二项式的底数写成（x﹣1）+2形式，利用二项展开式的通项公式求出a2，求出b n，利用数学归纳证明等式．解答：解：（1）当n=5时，原等式变为（x+1）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a5（x﹣1）5令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243（2）因为（x+1）n=[2+（x﹣1）]n所以a2=C n2•2n﹣2①当n=2时．左边=T2=b2=2，右边=左边=右边，等式成立．②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，即那么，当n=k+1时，左边===右边．故当n=k+1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，点评：本题考查赋值法是求展开式的系数和常用的方法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查利用数学归纳法证明恒等式．。