数列综合讲义

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高二数学：数列(讲义)

高考数学基础知识复习：数列概念

知识清单

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n

a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n

a ；

数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n

a ，……，简记作

{}n

a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n

a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +

∈），数列②的通项公式是n

a = 1n

（n N +

∈）。

说明：

①{}n

a 表示数列，n

a 表示数列中的第n 项，n

a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n

a =

(1)n

-=1,21()1,2n k k Z n k

-=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公

式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替

()f n ，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1

数列专题讲义

教师辅导讲义（2）

讲义编号：

学员编号年级高三课时数

学员姓名

辅导科目

数学

学科教师

戴老师

课题数列专题

授课时间：教学目标

教学内容

备考策略：

数列问题历来是江苏卷压轴题的必考内容，解答题中难度很大，填空题基本上为基础题，所以在今后的复习中需要关注以下几点：

1．等差、等比数列的基本量的求解．

2．等差、等比数列的性质如等差(比)中项． 3．多采取从特殊到一般研究问题的角度． 4．恒等问题和不等关系基本论证的训练．

数列通项及求和主干知识整合：

1．数列通项求解的方法

(1)公式法；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即

从特殊到一般的归纳法；(4)用a n ＝⎩⎨⎧

S 1(n ＝1)

S n －S n －1(n ≥2)

求解．

2．数列求和的基本方法：

(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法． ► 探究点一公式法

如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出a 1，d 或q 后，直接代入公式求出a n 或

S n .

例1 (1)已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，若a 2＝4，则a n ＝________. ,(2)数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前n 项和S n ＝________.

(1)2n (2)2n －1－1

2 【解析】 (1)由a p ＋q ＝a p ·a q ，a 2＝4，可得a 2＝a 21＝4⇒a 1＝2，所以a p ＋1＝a p ·a 1，即a p ＋1

数列知识点归纳总结讲义

数列是数学中常见的一个概念，它在各个领域都有广泛的应用。正

如其名称所示，数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。在学习

和应用数列时，我们需要了解一些基本概念和常见的数列类型。本文

将对数列的知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握相关概念。

一、数列的基本概念

1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一组数，用字母表示

为{a₁，a₂，a₃，...}。

2. 项与序号：数列中的每个数称为项，对应的位置称为序号。第一

项为a₁，第二项为a₂，以此类推。

3. 通项公式：数列中每个项与它所在的序号之间存在着一定的关系，这种关系用通项公式来表示，通常用aₙ表示第n个项的值。

4. 数列的有穷与无穷：当数列中的项有限个时，称其为有穷数列；

当数列中的项无限多时，称其为无穷数列。

二、常见的数列类型

1. 等差数列：等差数列是一种最为常见的数列类型，其特点是每个

项之间的差值相等。

通项公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d

其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。

例如：2，5，8，11，14...就是一个以3为公差的等差数列。

2. 等比数列：等比数列是指数列中每个项与它前一项的比值相等的数列。

通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)

其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。

例如：1，2，4，8，16...就是一个以2为公比的等比数列。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每个项都是前两项的和。

通项公式：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁

其中，a₁和a₂为斐波那契数列的前两项。

数列综合讲义十三种题型归纳梳理

数列综合讲义

第1讲累加法、累乘法、差商法求通项题型1 累加法

1．已知数列{}n a 满足11a =，213

a =，若1111(2)3(2,*)n n n n n a a a a a n n N -+-++=∈，则数列{}n a 的通项n a = ．

【解析】111123(2,)n n n n n n a a a a a a n n N +-+-++=∈，∴

1111112()n n n n a a a a +--=-，21

11312a a -=-= ∴数列111{

}n n a a +-是等比数列，首项与公比都为2，∴111

2n n n

a a +-= 2n ∴时，12

12122212121n n n n n a ---=++⋯⋯++==--，则数列{}n a 的通项121

n n a =-

∴则数列{}n a 的通项1

n n a =

- 2．若数列{}n a 满足11a =，且对于任意*n N ∈都有11n n a a n +=++，则12201720182019

11111a a a a a ++⋯+++= ．【解析】由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，

112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋯+-+(1)

(1)(2)212

n n n n n +=+-+-+⋯++=

∴

12112()(1)1

n a n n n n ==-++ 则

1220172018201911111111111120192(1)22334201920201010

高二数学数列(讲义)

数列的一般形式： a ， a ， a ，……， a ，……，简记作 {a }。

n ， ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， (-1) = ⎨ (k ∈ Z ) ；

③

+1,n = 2k ⎩ f (n )，其图象是一群孤立点。

a =⎨ ⎩S n - S n -1 (n ≥ 2)

数列{ a }的前

n 项和 S 与通项 a 的关系： n

高考数学基础知识复习：数列概念

知识清单

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项）在 n

第二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a ； n

（2）通项公式的定义：如果数列{a } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这 n

个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是 a = n （ n ≤ 7， n ∈ N ），

n +

数列②的通项公式是 a = （ n ∈ N ）。

n +

说明：

① {a }表示数列， a n

表示数列中的第 n 项， a = f (n )表示数列的通项公式；

⎧-

1,n = 2k -1 n

不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f (n ) 当自变量 n 从 1 +

高中数学复习讲义第五章数列

高中数学复习数列

【知识图解】

一、基础知识回顾

1、从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.

2、对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有⎩⎨⎧≥-==-).

2(),1(11

n S S n S a n n n

3．等差数列与等比数列

A ．等差数列1）定义：.2

)(2

11++++=

=-n n n n n a a a d a a 或常量（2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2)

1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=

（4）等差中项：.2

21+++=n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. 等差数列{}n a 的性质

a.若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 即：首尾颠倒相加，则和相等

b 等差数列中连续m 项的和，组成的新数列是等差数列。即：232,,,m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅也是等差数列；

c 、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列）

d 、{}{},n n a b 等差，则{}2n a ，{}21n a -，{}n ka b +，{}n n pa qb +也等差。

e 、等差数列{}n a 的通项公式是n 的一次函数，即：n a dn c =+(0≠d )；

人教版高中数学必修2数列综合专项练习讲义

专题数列综合

知识梳理

1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：

（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：

分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。等差数列{n a }中，1(1)=+-n

a a n d ，

等比数列{n a }中，n 1n 1a a q -=⋅ ，

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则⎩⎨⎧≥-==-2111

n S S n S a n n

n （注意：不能忘记讨论

1=n ）

（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，

求n a 用累加法

（5）逐项作商求积法（累积法）; 已知

)2)((1

≥=-n n f a a n n

，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法

2 几种特殊的求通项的方法（一） 1n n a ka b +=+型。

（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=⇔是等差数列，1()n a bn a b =++

（2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m + 构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。

()()d n n na

n a a S n n 212

11-+

=+=

()()

()⎪⎩⎪

⎨⎧≠--==111111

q q q a q na S n

（二）、1()n n a ka f n +=+型。

（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。（2）当1k ≠时，可设[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则{}()n a g x +构成等比数列，求出{}()n a g x +的通项，进一步求出{}n a 的通项。（注意()g x 所对应的函数类型）（三）、1()n n a f n a +=型。

数列教师讲义

一、数列概念

1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项 •

⑴数列中的数是按一定 “次序”排列的，在这里,只强调有“次序”，而不强调有“规律” •因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列.

⑵在数列中同一个数可以重复出现.

数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

① 递增数列：对于任何n N ,均有a n 1 a n . ② 递减数列：对于任何n

N ,均有a n

a n .

③ 摆动数列：例如：1,1, 1,1, 1,.

④ 常数数列：例如：6,6,6,6,……. ⑤ 有界数列：存在正数M 使a n M , n N . ⑥无界数列：对于任何正数 M ，总有项a n 使得a n M

课堂练习 1、已知

N ），则在数列｛a n ｝的最大项为

（答：

）；

n 156

、

数列｛a n ｝的通项为a n an

，其中a,b 均为正数，则

bn 1

a n

与 a n 1的大小关系为

（答：

a n a n 1 ）；

、已知数列｛a n ｝中，a n n 2

n ，且｛a n ｝是递增数列，求实数的取值范围（答： 3 ）；

课后练习一、选择题

1 •下列有关数列的说法正确的是（）

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念.

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不 2. 通项公式：如果数列这个数列的通项公式，即 a n

数列教师讲义

一、数列概念

1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．

⑵在数列中同一个数可以重复出现．

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.

3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.

4.数列的前n 项和与通项的公式

①n n

a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n .

5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.

6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.

①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.

数列专题讲义(带答案)

个性化辅导授课教案

+-，特别的，当

()

n m d

⋅⋅⋅。

例如：a，a，a，a⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比3q的等比数列

50(3199)⨯+

1(1x -2101++项的和为常数2101++22101++

既不是等差数列，也不是等比数列，

2n ++22n a n =+

中学数学竞赛讲义数列

中学数学竞赛讲义——数列

一、基础知识

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1.

定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.

定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：

S n =

d n n na a a n n 2

)

1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .

定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a

n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

高二数学：数列(讲义)

数列是数学中极为重要的一个概念，它通常用来描述一组事物的性质，是数学上组织一系列数的有效方式。它可以概括出许多数学性质，例如等差数列的等差性质。数学中使用数列的许多应用，几乎无处不能被见，科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。

通常情况下，数列可分为两类：等差数列和等比数列。

等差数列，又称等差级数，即每两项之差（公差）相等。它大多数情况下是由某个初始数（首项）和某个常量公差组成的，每一个数的值都是比前面数要大的。通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。等差数列的构成要素有三个：首项、公差、项数，因此，它又可分为等差等比数列。

许多数学性质可以作为数列的研究内容，如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。

数列在多方面涉及到数学研究，也提供了许多应用，例如计算机编程中使用数列来实现，统计学中使用数列推断，物理学中描述物质运动规律也可使用数列，数学中常涉及到数列的比较、计算等。几乎在所有数学应用中，都可以看到数列的存在。

(完整word版)高中数学数列讲义

数列讲义

授课教师：

听课学生：

2015-6-20

Part I 基础达标一、数列

数列的基本概念及性质

● 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

● 通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么

这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n

（n N +∈）。注意：

①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n

-=1,21

()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩

；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

● 数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

数列讲义

数列讲义（共五讲）

第一讲数列的概念及简单表示方法

考点自测

1．(课本改编题)已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为__________． 2．(课本改编题)已知数列2，5，22，…，根据数列的规律，25应该是该数列的第________项． 3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝__________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．

4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋156

n (n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是

( )

A ．a 12

B ．a 13

C ．a 12或a 13

D ．不存在

5．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于

(

)

A ．1

B ．－1

C ．5

D ．－5

题型一由数列的前几项归纳数列的通项公式

例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，61

，…；

(4)32，1，710，9

，…； (5)0,1,0,1，…. 练习：写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，3

，…；(4)3,33,333,3 333，….

数列讲义(精华版)

数列

一、数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式

的关系：

{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥（必要时请分类讨论）．

注意：

112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+

+-+；

112

n n n n n a a a a a a a a ---=

⋅⋅⋅

⋅．

二、等差数列{}n a ：

定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，

（n ≥2，n ∈N +

），那么这个数列就叫做等差数列。性质：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性．单调性：{}n a 的公差为d ，则：

ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；

（2）

1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+⇒+=+．

（3）1.

1(1){}n k m a +-（k ，m 为正整数）即下标为等差数列的项仍组成等差数列；

2.数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；

3.若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n n ka pb +(k .p 为不同时为零的常数)成等差数列。（4）两等差数列对应项和（差）组成的新数列仍成等差数列．（5）

1211,,

m k k k m a a a a a a ++-++++++仍成等差数列．

高一数列复习讲义

数列复习讲义（一）

知识点

一、数列的概念

1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

2．数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系．

二、等差数列

1相关公式：

（1）定义：),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+

（2）通项公式：d n a a n )1(1-+=；d m n a a m n )(-+=

（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=

2.等差数列}{n a 的一些性质

（1）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么r q p a a a a +=+ （2）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+

（3）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列

三、等比数列

（1）定义：)0,1(1≠≥=+q n q a a n

n （2）通项公式：11-=n n q a a ；m n m n q a a -=

（3）前n 项和公式：⎪⎩

⎪⎨⎧≠--==q 1)1(1q 11q q a na S n n 2.等比数列}{n a 的一些性质

（1）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则r q p a a a a =

（2）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则2

q r p a a a = (3)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，

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