数学的语法规则——逻辑推理
小学一年级综合算式数学逻辑推理题
小学一年级综合算式数学逻辑推理题在小学一年级的数学学习中，综合算式数学逻辑推理题是一种常见的题型。
通过这种题目，学生可以提高自己的逻辑思维能力和数学运算水平。
本文将从几个方面介绍小学一年级综合算式数学逻辑推理题，帮助学生更好地理解和应对这类题目。
1. 什么是综合算式数学逻辑推理题综合算式数学逻辑推理题是在数学学习中，结合算术运算和逻辑思维的题目。
这种题目通常给出一些条件或规则，然后要求学生根据给定的条件进行逻辑推理，最后得出正确答案。
例如：“小明有3个苹果，他又拿了2个苹果，现在一共有几个苹果？”这道题结合了加法运算和逻辑思维，学生需要根据已知条件计算出答案。
2. 综合算式数学逻辑推理题的重要性综合算式数学逻辑推理题对于小学一年级的学生来说非常重要。
通过解答这类题目，学生可以培养自己的逻辑思维能力和数学计算能力。
同时，综合算式数学逻辑推理题也能够激发学生对数学的兴趣，增加他们对数学学习的积极性。
3. 如何解答综合算式数学逻辑推理题解答综合算式数学逻辑推理题需要学生掌握一些基本方法和技巧。
首先，学生需要仔细阅读题目，并理解题目中给出的条件和规则。
其次，学生需要将条件和规则进行整理和分析，确定解题的思路和步骤。
接下来，学生可以运用已学的数学知识进行逻辑推理和计算，得出最终的答案。
最后，学生需要检查自己的答案，确保答案的准确性和完整性。
4. 练习综合算式数学逻辑推理题的方法为了提高解答综合算式数学逻辑推理题的能力，学生可以进行一些练习。
首先，学生可以多做一些类似的题目，通过不断练习来熟悉题目的解题思路和方法。
其次，学生可以组织小组进行讨论和交流，通过互相学习和分享解题思路，共同进步。
此外，学生还可以参加一些数学活动或比赛，通过参与竞赛来提高自己的解题速度和准确性。
5. 总结综合算式数学逻辑推理题是小学一年级数学学习中的一种常见题型。
通过解答这类题目，学生可以提高自己的逻辑思维和数学运算能力。
为了更好地掌握综合算式数学逻辑推理题，学生需要通过多做练习、互相学习和参与竞赛等方式来提高自己的解题能力。
数学的语法规则——逻辑推理
主题1 数学的语法规则——逻辑推理同学们，我们知道语文和外语都有自己的语法规则，数学作为一门描述大自然和经济生活的语言，当然也有自己的语法规则，这就是逻辑推理.法国著名的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔曾经讲过：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达至结论.这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序.”这段话深刻地说明逻辑推理对于数学和生活中的重要作用.正因如此，宝爸宝妈们已经从娃娃开始培养孩子的逻辑推理能力.【数学史话】逻辑学的历史和现状大约在公元前6世纪左右，古代中国、古代印度和古希腊的学者，就各自独立地建立了自己的逻辑学说.他们分别是“名辨之学”、因明和古希腊的逻辑学.其中，古希腊的逻辑学最为系统，因而在世界逻辑学发展史上影响也最大、最深.古希腊学者亚里士多德被认为是古希腊逻辑学的创始人，他在其由后人整理并取名为《工具论》的著作中，第一次全面、系统地论述了传统形式逻辑，提出了有关范畴、命题、三段证明和谬误等一系列重要论述和思想.他所创立的逻辑学，逻辑史上称之为古典的或传统的形式逻辑（“形式逻辑”这一称呼是17世纪康德提出的）或古典的演绎逻辑.这一逻辑的主要特点在于：它是建立的对范畴的研究基础之上，即它主要涉及范畴、又范畴组成的命题、由命题组成的三段论和论证等.这是古代逻辑中较为完整地建立起来的一个三段论系统，它构成了逻辑的一个初等的、但是重要的部分.亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关假言命题、选言命题、连言命题等属于复合命题的问题，研究了由这些命题所组成的各种推理形式及其规则，奠定了命题逻辑的基础.这是传统形式逻辑的一个重大发展，极大地丰富了传统形式逻辑、主要是演绎逻辑的内容.在近代，法国的阿尔诺与尼科尔根据笛卡尔的哲学、逻辑和方法论观点，于1662年发表了《逻辑或思维的艺术》一书.该书成为欧洲近代逻辑的范本，是传统形式逻辑，主要是传统演绎逻辑的主要代表作之一.17世纪末，法国哲学家莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想，他在其1666年发表的《论组合术》一书中，提出了建立一种表意的普遍语言及思维演算，并成功地把命题表达为符号式，被公认为数理逻辑的先驱者.随后不到100年，英国数学家布尔用数学方法首倡了第一个逻辑演算系统-布尔代数，并把其中的符号解释为类时，布尔代数即为类代数，以及类逻辑的代表化，从而，把莱布尼茨的设想变成了现实，成为数理逻辑的早期形式.其后，再经德摩根、弗雷格等人的努力到 20世纪初，罗素和怀德合著《数学原理》，总结了前人的研究成果，建立了一个完全的命题演算与谓词演算系统，标志着数理逻辑作为一门独立的科学达到了成熟阶段.树立逻辑是再传统逻辑基础上发展起来的，因而被是为形式逻辑的现代类型，一般也称之为现代形式逻辑或简称现代逻辑.近几十年来，现代逻辑得到迅速发展，至今已成为拥有众多分支的学科.古代中国的逻辑学说形成于春秋战国时期，称为“名辨之学”.名家的邓析以及稍后的惠施和公孙龙，儒家的孔子，墨家的墨子，都对名辩逻辑的产生做出了重要贡献.后期墨家则在《墨经》中建立起一个逻辑体系，达到了中国古代逻辑发展的高峰.此后，荀子、韩非等也对名辩逻辑的发展起到了重要作用.可惜秦汉以后，由于种种原因，我国古代曾经兴起一时的逻辑学说却走向了衰落，没有获得进一步发展.直到近代，随着西方逻辑的传入，我国的逻辑研究才重又复兴，先秦时期的宝贵遗产也得到了重视.数学家、逻辑学家布尔布尔（Boole·George）是英国数学家及逻辑学家,1815年11月2日生于林肯，1864年12月8日卒于爱尔兰的科克.布尔是鞋匠之子，他完全靠自己的力量爬上去.他原想做牧师，但是他十六岁时在私立学校教数学，到1835年他自己开办一所学校.1849年，（尽管他没有学位）他被任命为科克的女王学院的数学教授，从此他才有了比较安稳的生活保证.他一直在此学院度其余生.布尔的大发现就是用一套符号来进行逻辑演算，大约二百年前莱布尼兹曾经摸索过一些.他通过仔细地选择使这些符号及运算类似于代数的符号及运算.在布尔代数中，符号可以按照固定的规则来处理.而得出合乎逻辑的结果. 布尔的前辈对是否进行这种研究一直犹豫不决.（它牵涉到改进亚里士多德的工作，、而人们对于改进亚里士多德的工作的尝试总有点犹豫不决.）然而布尔敢于这么干.1847年他出版了这方面的第一本书.书并不厚，但足以使他出名而使科克的学院聘他任教.1854年，他出版了《思维规律的研究》一书，其中完满地讨论了这个主题并奠定了现在所谓的符号逻辑的基础.逻辑的数学化（好比亚里士多德把音乐数学化）并没有很快给当时的数学家留下印象.或许人们认为它只不过是错综复杂的文字游戏而已.然而，后来发现，‘符号逻辑对于建立数学的哲学是非常有用的（并且叹实是必不可少的）.尝试把数学建立在严格逻辑基础上（从欧几里得时起，已经整整二十一个世纪了，对于古人和一直到洛巴切夫斯基时代的追随者们，欧几里得似乎已经成功地完成这项任务）首先是弗雷格在进行，而怀特黑德和罗素使之达到顶峰：布尔代数就是用于这个目的.【数学应用】逆否命题用处大四种命题间有两对互逆关系，两对互否关系，两对互为逆否的关系，互为逆否的两命题同真同假，在判断和证明中要注意由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题的真假有困难时，可通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．例 1.主人要邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了．”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来．”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人的离去原因．每道题选给出定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个最符合或最不符合该定义的答案.注意：假设这个定义是正确的，不容置疑的.1.集合概念是以事物的集合体为反映对象的概念.集合体是由许多个体组成的统一整体，集合体所具有的属性，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的某一个体所具有.集合概念所涉及的关系不同于类和分子的关系，也不完全同于整体和部分的关系.组成类的各个分子都必然具有类的属性，而组成集合体的个体却不具有集合体的属性；整体是由不同的部分组成的，而集合体则是由同类的个体组成的.根据上述定义，下列划线语词在当前语境下所反映的概念不是集合概念的是：A.人定胜天B.主权在民C.羊入虎口D.正义之师2.命题可以分为四种：①伪命题，指的是无真假可言的命题；②永真命题，指的是不论在何种情况下都不可能假的命题；③永假命题，指的是不论在何种情况下都不可能真的命题；④可满足命题，指的是在有些情况下为真在有些情况下为假的命题.根据上述定义，下列属于永真命题的是：A.存在即合理B.思想或者是可捉摸的，或者不可捉摸的C.人既能在不同时间跨进同一条河流，又不能在不同时间跨进同一条河流D.地球是一直围绕太阳旋转的3.相邻效应指的是个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致，但由此形成的费用差别和收益差别在社会上却没有相应的弥补来源.根据上述定义，下列不涉及相邻效应的是：A.某厂训练的熟练工跳槽到其他厂家工作B.工厂的生产活动中产生的允许范围内的噪音对周边居民的生活有影响C.甲厂生产的品牌电脑非常畅销，乙厂也盗用该品牌进行销售D.邻居甲家养护良好的草坪花木常常使得习惯早起的乙神清气爽4.直接证据是指能够直接证明刑事案件主要事实的证据，间接证据是指不能够单独地直接证明刑事案件主要事实，需要与其他证据相结合才能证明的证据.所谓刑事案件的主要事实，是指犯罪行为是否系犯罪嫌疑人、被告人所实施.根据上述定义，下列属于直接证据的是：A.小区监控拍摄下的犯罪嫌疑人李某盗窃车辆的视频B.被害人的邻居王某提供的犯罪嫌疑人在案发前到过案发现场的证言C.刑警在凶案现场提取到的男性鞋印D.诈骗案受害人姜某提供的自己所遭受的金钱损失的银行记录5.布利丹效应源于法国哲学家布利丹讲述的一个寓言故事：一头驴子外出觅食，发现两堆相距不远的草料.东边是一大堆干草料，西边是一小堆新鲜的嫩草.驴子很高兴，跑到大堆的干草料处，刚要吃，突然想到西边草料那么新鲜，肯定好吃，不去可能会被别的驴子吃掉.于是它就跑到嫩草堆前，刚要吃又想，这堆草虽然很嫩，可别的驴子把那一大堆干草料吃光的话自己就要饿肚子了，还是回去吃干草吧！就这样来来回回，这只可怜的驴子，最后饿死在草堆旁. 根据上述定义，下列不符合布利丹效应的是：A.弈者举棋不定，终之拜矣B.一山望着一山高C.凡事预则立，不预则废D.鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也答案：1.D此定义的关键词是“由许多个体组成的统一整体”，很显然A选项中的“人”、B选项中的“民”、C选项中的“羊”都符合这个定义要求.此题要求选择不是集合概念的，D选项中的“师”是对某类部队的定性，不是个体组成的整体，因而选择D.2.B此题属于定义匹配题.要选择属于“永真命题”的，此定义的关键词是“不论在何种情况下都不可能假”，B选项是或关系命题，对于或关系来说，只要一真则全真，因而符合该定义要求；A选项属于“可满足命题”；C选项属于“伪命题”；D选项属于“可满足命题”.所以此题选择B选项.3.B此定义的关键词是“个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致”，B选项不涉及“付出和利益的不一致”；A选项中“熟练工跳槽”、C选项中“乙盗用品牌”、D 选项中“甲养的花而获利的是乙，存在不一致”.此题选择不涉及该定义的，因而选择B 选项.4.A双定义题，要求选择属于“直接证据”的，此定义的关键词是“能够直接证明刑事案件主要事实”，A 选项符合定义的要求，监控视频可以直接证明案件事实；B 选项中“在案发前到过案发现场的证言”，只是“案发前的”不能直接证明事实；C 选项中的“在现场提取的脚印”也无法直接证明事实；D 选项中的“遭受损失的银行记录”需要结合其他证据方可证明事实，这三者属于间接证据.因而此题选择A 选项.5.C布利丹效应的寓言故事实质反映了“人们在做决策时犹豫不决、难作决定的现象”.A 、B 、D 选项很明显符合这一实质.而C 选项强调的是“提前制定计划的重要性”，此题要求选择不符合的，因而选择C 选项.【思维导航】 从集合角度理解充要条件充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p 的对象组成的集合为P ，满足条件q 的对象组成的集合为Q.（1） 若P Q ⊆，则p 为q 的充分条件，其中当P Q 时，p 为q 的充分不必要条件；（2） 若Q P ⊆，则p 为q 的必要条件，其中当Q P 时，p 为q 的必要不充分条件；（3） 若P Q ⊆且Q P ⊆，即P=Q ，则p 为q 的充要条件；（4） 如果以上三种关系均不成立，即P 、Q 之间没有包含或相等关系（P Q⊄且Q P ⊄），此时P Q =∅或P 、Q 既有公共元素，也有非公共元素，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.例1．已知p: x x 8202-≥，q: 22210(0)x x m m -+-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解析：由22210x x m -+-≤得11(0)m x m m -≤≤+>，所以“q ”所表示的集合为A= {}11(0)x m x m m -≤≤+>；由x x 8202-≥得210x -≤≤，所以“p ”所表示的集合为B={}210x R x ∈-≤≤，由非p 是非q 的必要不充分条件知，非p ⇒非q 但非q ⇒非p ，其逆否命题是：p q ⇒但q p ⇒，故B ⊂A0129110m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩，故m 的取值范围为9m ≥.评注：复杂的推理问题常采用等价转化思想，可使问题简单化，具体化，互为逆否命题是等价命题，再转化为集合包含关系求解，这种转化思想重要，要注意灵活应用.蜂窝猜想4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为"蜂窝猜想"，但这一猜想一直没有人能证明.美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想.蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好1200，形成一个完美的几何图形.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形. 1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢?陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小.他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的.加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者.【拓展提升】中国人数理逻辑思维领先世界背后的语言优势作用中国孩子的数学运算能力和逻辑思维能力向来在世界上广泛得到认可.原因有很多，今天可以站在我这个搞了N年第二语言教学教师的角度来探讨这个问题.中文在阿拉伯数字的发音是非常干净利落的，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全都是单音节词，而且中文的发音没有时间的概念，也就是说不需要长短音的差异，所以干净利落，全是短音.英文有长短音差异，比如sheet 和shit, sheep 和ship，发音虽然只是长短差异，但是意思相差万里.再看看英文的阿拉伯数字发音，one, two, three ,four, five, six, seven, eight, nine ,ten.其中two, three, four，是需要发长音的，而且还有seven这个双音节词汇.首先从数字的发音上，中国孩子就占了很大的优势.其次，从十进制以上的读法上会更有优势.刚开始学英语的时候，我学英文数字几乎搞得乱七八糟，云里雾里，当时真的是怀疑自己的智商是不是有问题，但是现在想想真不是学生的问题，而是英国人实在不擅长数理逻辑，把语言中表达数概念的数词搞得支离破碎.比如，中国人到了十以后，就是十一、十二、十三…然后是二十一，二十二，二十三.但是我们看看英文，ten 以后，是eleven, twelve, thirteen, fourteen, fifteen, sixteen, seventeen, eighteen, nineteen, twenty, twenty-one.如果暂且说到了二十以后是符合规律的（其实也有特例，比如twenty, thirty, forty, fifty等不符合规律的写法, 按逻辑seventy，sixty才是符合规律的写法）.我们看看英文对从11到19之间的逻辑是无比混乱的.如果我们能以中国人的智商来帮英国人重新建造英文读数体系的话，那么最符合逻辑的应该是tenone ,tentwo ,tenthree, tenfour… 直到twenty, 然后tewenty-one, twenty-two….或者沿用英国人的逻辑teen代表十几，那么可以是oneteen, twoteen, threeteen….嗨，纯粹搞笑一把了，老祖宗已经把错误犯下了，要把思维改过来就更难了.所以中国人在数字的读法和写法上又占了优势.其三中国人对于数字的表述更加直观，比如说分数：十分之一，读出来就懂了，是很形象的解释.但是英文的one tenth, two tenths 理解起来就转了很大一个圈了.既然中国人的数理逻辑思维有这么大的优势，那么应该说在数理化我们应该有很大的造诣.这句话没错，中国学生普遍的数理化水平要在世界上领先.但是我们在这些领域的大师却不多，尤其是按照我们的平均水平的比例.这是为什么？还是拉法法教育的观点，在一定的智商上，真正决定一个人成功的是他/她的SEL（Social and emotional learning）能力（社会和情感能力），正如上篇博客中的《异类》一书中提到的智商在195的兰根，正式因为没有和老师沟通和社会沟通的能力，而丧失掉了很多为成功做准备的机会.中国孩子可以凭借语言的先天优势形成数的敏感性，赢在起跑线.但是中国传统教育太注重孩子们记住数理化的知识、规律，前人发现的结果、公式、定理.而忽略了最重要的部分，就是如何带领孩子领略到前人发现这些规律的过程.没有让他们体验式、探究式的去悟道.没有反复让孩子感受到悟的过程，那么我们永远只能作为传承者，而无法作为开拓者，这就是我们缺乏大师的一点原因吧.【数学欣赏】罗素悖论19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础.1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格.”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B.这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论.之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论.理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子.那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？.如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子.同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子.这就是历史上著名的罗素悖论.罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑.罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决.罗素悖论的提出使数学家们面临着极大的困难.数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了.在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地.”可见罗素悖论使人们面临多么尴尬的境地.然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论.为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，许多数学家进行了不懈的努力.如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理.ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了.在消除悖论的过程中数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等.可以说悖论引起的第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”.哥德巴赫猜想简介克里斯蒂安•哥德巴赫（Christian Goldbach， 1690年3月18日－1764年11月20日），又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学上的研究以数论为主，作为哥德巴赫猜想的提出者而闻名.哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟.他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育.哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学克里斯蒂安•哥德巴赫哥德巴赫猜想手稿家，然后跟他们通讯.1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想.在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和.欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.今日常见的猜想陈述为欧拉的版本.把命题"任一充分大。
小学生数学思维逻辑推理
小学生数学思维逻辑推理数学思维逻辑推理是数学学习中重要的一部分，对小学生的发展至关重要。
通过培养小学生的数学思维逻辑能力，不仅可以帮助他们更好地理解和应用数学知识，还能够培养他们的分析问题、解决问题的能力，提高整体学习能力。
本文将从培养数学思维逻辑的重要性、培养数学思维逻辑的方法和小学生数学思维逻辑能力的发展等方面进行论述。
一、培养数学思维逻辑的重要性数学思维逻辑是数学学科中最基本的思维模式，它是数学思维的核心。
培养小学生的数学思维逻辑能力，对其德智体美全面发展具有重要意义。
首先，培养数学思维逻辑能力，有助于提高小学生的数学学习能力。
数学作为一门科学，强调逻辑推理和抽象思维能力，只有培养了这些能力，小学生才能更好地理解和运用数学知识。
其次，培养数学思维逻辑能力，也有助于小学生的认知发展。
数学思维逻辑能力的培养，需要小学生深入思考、分析和解决问题，这样可以提高他们的观察力、分析力和判断力，对他们的认知能力有着积极的影响。
最后，培养数学思维逻辑能力，还能够促进小学生的综合素质培养。
数学思维逻辑能力的培养需要运用各种思维方法和技巧，这些方法和技巧的学习过程中，也能够促进小学生的思维能力、创新能力等综合素质的培养。
二、培养数学思维逻辑的方法1. 提供适当的数学教材和学习资源。
为了培养小学生的数学思维逻辑能力，学校和家长要提供适当的数学教材和学习资源，让小学生有足够的材料进行思考和练习。
可以选择一些数学思维锻炼的题目，帮助小学生进行思维训练。
可以适时引导小学生使用互联网等现代技术，获取更多的数学学习资源。
2. 引导小学生进行探究学习。
在数学学习中，引导小学生进行探究学习是培养数学思维逻辑的有效方法之一。
通过提出问题、搜集信息、分析问题、解决问题等步骤，培养小学生的思维能力和逻辑推理能力。
可以通过小组合作、课堂讨论等方式，鼓励小学生独立思考和表达自己的观点。
3. 培养小学生解决问题的能力。
解决问题是培养小学生数学思维逻辑的核心目标之一。
谓词逻辑的推理规则和证明方法
谓词逻辑的推理规则和证明方法谓词逻辑是一种用于描述命题关系以及推理过程的数学逻辑系统。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来表示性质或关系，通过逻辑连接词进行命题的组合和推理。
本文将介绍谓词逻辑中常用的推理规则和证明方法。
一、谓词逻辑的基本符号与概念在谓词逻辑中，我们使用以下基本符号：1. 命题变量：用大写字母（如P，Q，R）表示命题变量，表示一个命题。
2. 常量：用小写字母（如a，b，c）表示常量，表示一个具体的个体。
3. 谓词：用小写字母或小写字母加括号（如P(x)，Q(y)）表示谓词，表示一个性质或关系。
4. 量词：∀表示全称量词（对于所有的），∃表示存在量词（存在一个），用于描述一组对象。
在谓词逻辑中，我们还会用到以下概念：1. 公式：一个命题是谓词逻辑中的公式。
2. 全称量化：∀xP(x)表示谓词P(x)对于所有的x成立。
3. 存在量化：∃xP(x)表示谓词P(x)存在一个x使得成立。
二、推理规则在谓词逻辑中，我们常用以下推理规则进行逻辑推理：1. 求取命题的否定：将命题的否定写为¬P(x)，表示该命题不成立。
2. 逻辑与的消除：若已知P(x)∧Q(x)，则可以得到P(x)和Q(x)。
3. 逻辑或的消除：若已知P(x)∨Q(x)，则可以得到P(x)或Q(x)。
4. 蕴含的引入：若已知P(x)成立，则P(x)→Q(x)也成立。
5. 蕴含的消除：若已知P(x)→Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
6. 等价的引入：若已知P(x)↔Q(x)成立，则P(x)和Q(x)等价。
7. 等价的消除：若已知P(x)↔Q(x)和P(x)，则可以得到Q(x)。
三、证明方法在谓词逻辑中，我们可以使用以下证明方法进行推理证明：1. 直接证明：假设命题P(x)为真，通过推理规则逐步推导出Q(x)为真，从而得到P(x)→Q(x)。
2. 反证法：假设命题P(x)为假，通过推理规则逐步推导出Q(x)为假，从而得到¬P(x)→¬Q(x)。
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
数学的游戏规则掌握数学逻辑推理
数学的游戏规则掌握数学逻辑推理在学习数学的过程中，我们常常被提醒要掌握数学的游戏规则。
这是因为数学是一门基于逻辑推理的学科，准确理解并应用游戏规则有助于我们解决数学难题。
本文将探讨数学的游戏规则，并说明它们在培养数学逻辑推理能力方面的重要性。
一、基本运算规则数学中最基本的游戏规则是基本运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。
这些规则是数学运算的基础，无论是解决简单的数学题还是解决复杂的问题，都必须正确地应用这些规则。
加法是将两个或多个数值相加以求和的过程。
可以通过数学游戏来提高加法技能，例如给出一些数字，要求快速计算它们的和。
准确掌握加法规则有助于我们在解决实际问题中进行有效的数值计算。
减法是将一个数值从另一个数值中减去以求差的过程。
同样，通过数学游戏来提高减法技能是很有帮助的。
例如，在游戏中给出一个数字序列，要求我们逐步减去指定的数值，直到最后的差为零。
这样的练习能够加深对减法规则的理解。
乘法是将两个或多个数值相乘以求积的过程。
乘法的规则非常重要，尤其是当我们解决涉及多步计算的问题时。
通过数学游戏，我们可以提高乘法技能，例如给出一个单词问题，要求我们将不同的数值组合相乘来得出答案。
除法是将一个数值除以另一个数值以求商的过程。
除法规则不仅限于整数除法，还包括小数除法和分数除法。
通过数学游戏，我们可以加强对除法规则的理解，例如给出一个实际问题，要求我们通过除法计算出最终的答案。
二、数学证明的规则数学证明是数学推理的重要组成部分。
在数学证明中，我们需要运用数学的逻辑推理来证明某个结论的正确性。
虽然数学证明看起来有点像一场严肃的游戏，但它却是培养数学逻辑推理能力的有效方式。
在进行数学证明时，我们需要遵循以下游戏规则：1. 充分性：要证明一个命题，我们需要提供充分的依据，确保每个步骤都是正确的。
2. 必要性：证明一个命题不仅需要提供充分的依据，还需要证明这些依据是必要的。
3. 推理链：在证明的过程中，我们需要遵循逻辑推理链，确保每个步骤都是基于前一个步骤的正确推断。
数学的底层逻辑
数学的底层逻辑
数学的底层逻辑是指数学的基本原则和推理规则，用于建立和验证数学定理的系统。
数学的底层逻辑包括以下几个方面：
1. 公理系统：数学建立在一组公理或基本假设上。
公理是没有证明的基本陈述，它们作为数学推理的起点。
不同的数学分支有不同的公理系统，如集合论的ZFC公理系统和数理逻辑的自然演绎公理系统。
2. 推理规则：数学使用逻辑推理规则来推导新的命题。
逻辑推理规则包括假设、演绎、蕴含、否定、析取和合取等。
推理规则使得通过已知的数学命题可以推导出新的数学命题，从而建立数学定理。
3. 证明方法：数学的底层逻辑也涉及不同的证明方法。
常见的证明方法包括直接证明、反证法、数学归纳法、构造法、对证法等。
通过运用逻辑推理规则和证明方法，数学家可以在逻辑上严格地证明一个数学命题的真假。
4. 逻辑语言：数学使用形式化的逻辑语言来描述和表达数学命题。
逻辑语言的符号和语法规则借鉴自数理逻辑，例如符号∈表示属于关系，∧表示合取，∃表示存在量词等。
逻辑语言使得数学的表达更加精确和准确。
通过运用底层逻辑，数学家可以建立并验证各种数学定理，从而推动数学的发展和应用。
数学的底层逻辑为数学体系的严密性和准确性提供了坚实的基础。
五年级数学思维训练——逻辑推理
逻辑推理知识导航1.在近年来的许多竞赛试题中,常常会见到这样的一类题目，没有或很少给出什么数量关系;他们的解决方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，较少用到专门的数学知识,而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题。
2。
逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性命且没有一定的解题模式。
因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终抱地灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律—————-同一律、矛盾律和排中律。
（1）“矛盾律"指的是在逻辑推理过程中，对同一结论的推理不能自相矛盾.(2)“排中律”值的是在逻辑推理过程中,一个思想或为真或为假,不能既不真或为假，不能既不真也不假。
(3）“同一律”指的是在逻辑推理过程中，同一对象的内涵必须是确定的，在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用，不许偷换。
3。
逻辑推理问题解题的方法一般有：（1）列表画图法（2)假设推理法（3)枚举筛选法精典例题例1：一次网球邀请赛，来自湖北,广西,江苏，北京,上海的五名运动员相遇在一起，据了解：（1)王平仅与另外两名运动员比赛过；（2）上海运动员和另外三名运动员比赛过；（3）李兵没有和广西运动员比赛过;（4）江苏运动员和凌华比赛过;（5）广西，江苏，北京的三名运动员相互之间都比赛过；（6)赵林仅与一名运动员比赛过.问：张俊是哪个省市的运动员？思路点拨“赵林仅与一名运动员比赛过”，说明赵林只比赛过1场,由（2）、此题可用列表画图法来解答。
（5)可得知上海、广西、江苏、北京运动员至少都比赛过2场或以上,赵林只能是湖北运动员；由（3）、（5）知李兵不是广西运动员，也不是江苏、北京运动员,李兵只能是上海运动员;又由（2）、(3)、(6）知，赵林(湖北）与李兵（上海)比赛过,李兵（上海)与赵林（湖北)、江苏、北京运动员比赛过，可以知道王平肯定是广西运动员；由（4）知凌华不是江苏运动员,只能是北京运动员（如下表）；据此采用列表法如下（用“×”表示否定，用“√”表示肯定）.模仿练习红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有A、B、C、D、E五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。
推理理论中的推理规则(离散数学)
推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。
推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。
在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。
1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。
即P⇔Q。
这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。
例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。
2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。
即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。
例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。
3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。
例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。
等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。
4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。
例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。
5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。
例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。
今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。
6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。
例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。
7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。
例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。
8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。
离散数学逻辑推理
常见的蕴涵规则表
P∧QP P∧QQ P P ∨ Q
P,Q P ∧ Q ¬P, P ∨ Q Q P, P → Q Q
QP∨Q
¬Q, P → Q ¬P
¬P P → Q QP→Q ¬(P → Q ) P ¬(P → Q ) ¬Q
P → Q, Q → R P → R P ∨ Q, P → R, Q → R R A → B (A∨ C ) →(B ∨ C) A → B (A ∧ C ) →(B ∧ C)
T (1) I1 T (1) I2 P
(5) (Q∧Ｒ (6) Q∨R (7) Q (8) P→Q
T(3)(4) I12 T (5) E8 T (2)(6) I10 P
(9) P
T (7)(8) I12
(10)(R∧S)→P CP
【example】 A→ (B→C), D ∨ A, B D → C。
【example】求证 P→Q，Q→R，P R Proof：
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1)
P
P
(2)
PQ P
(3)
Q
T
(4)
Q→R P
(1)(2) I11
(5)
R
T
(3)(4)
I11
（注公式I11为： P,P→Q Q ）
【example】证明(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → S) S ∨ R.
CP规则
间接证法的另一种情况是：
若要证H1∧H2∧....∧Hm (R →C)。设H1∧H2∧....∧Hm为S ，即证S (R →C)或S (R ∨ C)，故S → (R ∨ C)为永真 式。
因为S → (R ∨ C) S ∨ (R ∨ C) (S ∨ R) ∨ C (S∧R) ∨ C (S∧R) → C ,
高等数学中的集合论与逻辑推理
集合论和逻辑推理是高等数学中的两个重要观念，对于数学的发展和应用影响深远。
集合论是作为一种基础理论出现的，它研究的是由两个及以上的对象组合在一起形成的整体。
逻辑推理则是根据已知条件，通过推理和演绎得出结论的过程。
这两个概念在高等数学中的应用非常广泛，不仅在数学本身，也能在其他领域发挥重要的作用。
集合论在高等数学中起到了重要的桥梁作用。
在数学的各个分支中，集合论都是基础的工具和观念。
例如，在数学分析中，集合论被用来定义实数的性质和运算规则。
通过集合的概念，我们可以将实数看作是一组无限多个元素构成的整体。
在线性代数中，集合论被用来定义向量空间和矩阵的运算规则。
通过集合的概念，我们可以将向量和矩阵看作是一组有特定性质和运算规则的对象。
在概率论中，集合论被用来定义事件的概念和概率的计算规则。
通过集合的概念，我们可以将事件看作是一组可能发生的结果的集合，并通过概率的计算规则来刻画事件的发生概率。
逻辑推理是高等数学中的另一个重要概念。
它通过已知条件和逻辑规则，根据推理和演绎的方法得出结论。
逻辑推理在高等数学中不仅用来证明定理和推导公式，还用来解决实际问题。
例如，在数学分析中，我们通过演绎法来证明函数的连续性和导数的存在性。
通过逻辑推理，我们可以将已知条件转化为推理规则，并从中得出结论。
在离散数学中，逻辑推理被用来证明定理和推导结论。
通过逻辑推理，我们可以从已知的命题和条件出发，推导出其他相关的命题和条件，从而得到求解问题的方法。
集合论和逻辑推理在高等数学中的应用不仅限于数学本身，也能在其他学科领域发挥重要的作用。
例如，在计算机科学中，集合论和逻辑推理被广泛应用于数据结构和算法的设计。
通过集合的概念，我们可以将数据看作是一组对象的集合，并通过集合运算的方法进行数据操作和计算。
通过逻辑推理，我们可以通过已知条件和规则，推导出算法的正确性和效率。
在人工智能领域，集合论和逻辑推理被用来建立知识库和推理机制。
通过集合的概念，我们可以将知识看作是一组事实和规则的集合，并通过逻辑推理的方法，从中得出有关问题的结论和决策。
学习简单的数学逻辑
学习简单的数学逻辑数学逻辑是一门研究数学问题的学科，它通过推理和证明的方式，来解决各种数学难题。
学习数学逻辑可以帮助我们提高思维能力，锻炼逻辑思维，培养分析和解决问题的能力。
本文将介绍一些简单的数学逻辑概念，并探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、命题与联结词在数学逻辑中，命题是指具有确定真值（真或假）的陈述句。
常见的命题有：1. 格拉斯哥是苏格兰的首都。
2. 2加2等于4。
3. 圆周率是一个无理数。
命题可以使用联结词来建立复合命题。
联结词包括合取词（"且"，用∧表示）、析取词（"或"，用∨表示）、蕴含词（"如果...，则..."，用→表示）和否定词（"非"，用¬表示）。
通过使用这些联结词，可以连接多个命题形成复合命题。
例如，通过结合两个命题可以形成以下复合命题：1. 格拉斯哥是苏格兰的首都且2加2等于4。
2. 圆周率是一个无理数或月亮是一个地球卫星。
在数学逻辑中，通过分析复合命题的真值可以推断出整个命题的真值。
这种推断过程常用于证明数学定理或解决逻辑问题。
二、命题逻辑的推理规则命题逻辑是数学逻辑中的一种基本理论。
它通过使用推理规则来判断复合命题的真值。
下面介绍几种常用的推理规则：1. 消解律：通过使用析取范式（A∨B）和否定范式（¬A∨¬B），可以推导出逻辑等价的语句（¬A→B）。
例如，如果已知"小明不会去游泳或者他不带游泳圈"（¬A∨¬B）和"小明会去游泳"（A），那么可以通过消解律推导出"小明不带游泳圈"（¬B）。
2. 模态词逆否律：通过使用模态词逆否律，可以推导出等价的语句。
例如，如果已知"只要天晴，我就去跑步"（A→B），那么可以通过模态词逆否律推导出"如果我不去跑步，那就是因为天不晴"（¬B→¬A）。
离散数学逻辑推理规则
离散数学逻辑推理规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊离散数学里的逻辑推理规则。
啥是离散数学的逻辑推理规则呢？简单说，就是在离散数学这个领
域里，咱们怎么根据已知的条件和信息，有理有据地推出新的结论。
先来说说允许的行为哈。
比如说，咱们可以根据给定的命题和已经
证明过的定理，一步一步地推导。
就像搭积木一样，一块一块稳稳地
往上加，只要每一步都有理有据，那就是被允许的。
再说说禁止的行为。
可千万别乱猜！不能毫无根据就得出结论，这
就像闭着眼睛走路，容易摔跟头。
也不能随便否定已经被严格证明过
的定理和规则，不然整个推理的大厦可就要摇摇欲坠啦。
举个例子哈，如果已知“所有的猫都会抓老鼠”，又知道“小花是一只猫”，那咱们就能得出“小花会抓老鼠”的结论。
这就是合理的推导。
但
要是说“因为我觉得小花长得可爱，所以它会抓老鼠”，这可就不行啦，这完全没逻辑嘛！
为啥要有这些规则呢？这就好比咱们玩游戏得有游戏规则，不然就
乱套啦。
在离散数学里，有了明确的逻辑推理规则，才能保证咱们得
出的结论是可靠的，是能站得住脚的。
而且哦，掌握好这些规则，能让咱们的思维更加清晰，解决问题更
加有条理。
就像在迷宫里有了地图，能更快找到出口。
总之呢，离散数学的逻辑推理规则很重要，咱们要遵守允许的，避开禁止的，这样才能在离散数学的世界里畅游，得出准确又靠谱的结论！好啦，希望大家都能玩转这些规则，在离散数学里玩得开心！。
数学逻辑中的量词与推理规则
数学逻辑中的量词与推理规则在数学逻辑中，量词和推理规则是两个重要的概念。
量词用于描述命题中的变量范围，而推理规则则用于推导出新的命题。
在本文中，我将详细介绍数学逻辑中的量词和推理规则，并探讨它们在数学推理和证明过程中的作用。
一、量词量词是数学逻辑中用于描述命题中的变量范围的符号。
在数学中，我们常用的量词有全称量词 (∀) 和存在量词 (∃)。
全称量词 (∀) 表示一个命题对于所有的元素都成立，而存在量词 (∃) 则表示存在至少一个元素使得命题成立。
举个例子来说明。
假设我们有一个集合 S = {1, 2, 3, 4, 5}，并定义命题 P(x) 为 "x 是偶数"。
我们可以使用量词来描述这个命题：∀x ∈ S, P(x) （对于集合 S 中的所有元素 x，都有命题 P(x) 成立）∃x ∈ S, P(x) （存在一个元素 x 属于集合 S，使得命题 P(x) 成立）通过使用量词，我们可以对集合中的元素进行全面和特定的描述，使得数学推理更加准确和严谨。
二、推理规则推理规则是根据已知条件和逻辑关系，从一些命题中推导出新的命题的方法。
在数学逻辑中，常用的推理规则有以下几种：1. 全称引入规则 (∀-intro)：如果我们能证明一个命题对于任意一个元素都成立，即∃x P(x)，则可以使用全称量词 (∀) 引入这个命题，得到∀x P(x)。
2. 全称消去规则 (∀-elim)：如果我们有一个全称量词 (∀x P(x)) 命题成立，我们可以使用任意一个元素代入这个命题，得到 P(a) ，其中 a是集合中的一个元素。
3. 存在引入规则 (∃-intro)：如果我们能找到一个特定的元素 a，使得命题 P(a) 成立，则可以使用存在量词 (∃) 引入这个命题，得到∃xP(x)。
4. 存在消去规则 (∃-elim)：如果我们有一个存在量词 (∃x P(x)) 命题成立，我们可以使用一个新的变量来代替这个量词(∃x P(x)) 中的元素，得到新的命题 P(b)，其中 b 是一个新的变量。
命题逻辑的推理规则和证明方法
命题逻辑的推理规则和证明方法命题逻辑是一种对简单命题和命题之间关系的形式化推理系统，广泛应用于数学、计算机科学和哲学等领域。
在命题逻辑中，推理规则和证明方法被用来推导出真实或假设的命题之间的关系。
本文将介绍命题逻辑的一些常见推理规则和证明方法。
1. 推理规则命题逻辑的推理规则是用来推导命题之间关系的规则。
以下是一些常见的推理规则：（1）析取引入规则（Disjunction Introduction Rule）：如果命题P 成立，则P或Q成立。
表示为P -> (P ∨ Q)。
（2）析取消去规则（Disjunction Elimination Rule）：如果P或Q 成立，且根据P和Q均能推导出命题R，则R成立。
表示为((P ∨ Q), (P -> R), (Q -> R)) -> R。
（3）合取引入规则（Conjunction Introduction Rule）：如果P和Q 成立，则P且Q成立。
表示为(P, Q) -> (P ∧ Q)。
（4）合取消去规则（Conjunction Elimination Rule）：如果P且Q 成立，则P和Q均成立。
表示为(P ∧ Q) -> (P, Q)。
（5）蕴含引入规则（Implication Introduction Rule）：如果根据P 能推导出Q，则P蕴含Q成立。
表示为((P -> Q) -> Q) -> (P -> Q)。
（6）蕴含消去规则（Implication Elimination Rule）：如果P和P蕴含Q成立，则Q成立。
表示为((P, (P -> Q)) -> Q)。
2. 证明方法证明是在命题逻辑中用于证明命题之间关系的方法。
以下是一些常见的证明方法：（1）直接证明法：假设前提命题成立，通过适当的推理规则证明出结论命题成立。
这种方法常用于证明蕴含关系。
（2）间接证明法（反证法）：假设结论命题不成立，通过适当的推理规则推导出与已知事实相矛盾的命题，从而得出结论命题成立的结论。
小学数学点知识归纳数学思维与逻辑推理
小学数学点知识归纳数学思维与逻辑推理数学是一门理性而又充满智慧的学科，小学数学作为数学学科的开端，也是培养学生数学思维与逻辑推理能力的重要阶段。
在小学数学中，有许多重要的知识点需要归纳整理，以帮助学生更好地理解和掌握数学。
本文将对小学数学中的一些重要知识点进行归纳，帮助读者了解数学思维与逻辑推理的一些基本原则和方法。
一、数的概念和计数方法数的概念是数学学科的基础，小学数学从幼儿园就开始培养孩子们的数的概念。
在小学数学中，学生将学到自然数、整数、分数、小数等各种类型的数，并学习不同的计数方法和运算规则。
通过学习数的概念和计数方法，学生能够更好地理解数学中的各种运算和应用问题。
二、算术运算和数学运算规则小学数学的核心内容是算术运算，包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算不仅是数学学科重要的基本运算，也是培养学生数学思维和逻辑推理能力的重要手段。
通过学习算术运算和数学运算规则，学生能够提高解决实际问题的能力，并培养逻辑思维和创造力。
三、几何图形和空间思维几何学是数学学科的一个重要分支，它研究图形的性质、变换和空间关系等。
在小学数学中，学生将学习各种几何图形的基本性质和分类，并通过几何变换来认识图形的变化和规律。
几何学不仅培养学生的观察能力和想象力，还通过解决几何问题来培养学生的逻辑推理能力。
四、数据统计和概率数据统计和概率是数学中比较实用的概念和方法之一。
在小学数学中，学生将学习如何收集、整理和分析数据，并从中得出结论。
同时，学生还将学习概率的基本概念和运算规则，以了解事件发生的可能性。
数据统计和概率的学习，培养学生的观察和思考能力，并帮助学生更好地分析和解决实际问题。
五、数学思维与逻辑推理小学数学是培养学生数学思维和逻辑推理能力的重要阶段。
在学习小学数学的过程中，学生需要运用数学语言和符号，进行逻辑推理和证明。
通过培养学生的数学思维和逻辑推理能力，可以让他们更好地理解和应用数学知识。
总结起来，小学数学点知识之归纳数学思维与逻辑推理，涵盖了数的概念和计数方法、算术运算和数学运算规则、几何图形和空间思维、数据统计和概率等多个知识点。
数学逻辑中的语义与语法
数学逻辑中的语义与语法数学逻辑是一门研究数学推理和证明的学科，它涉及到语义和语法两个重要概念。
语义是指逻辑中命题的真假关系，而语法则是指逻辑中符号和表达式的组合规则。
在数学逻辑中，语义和语法密切相关，共同构成了该学科的基础。
一、语义在数学逻辑中的重要性在数学逻辑中，语义是研究命题或表达式的含义和真假关系的核心概念。
语义的研究主要围绕命题逻辑和谓词逻辑展开。
1. 命题逻辑的语义命题逻辑是研究命题之间的关系和推理规则的数学系统。
在命题逻辑中，命题是指可以判断为真或假的陈述句。
语义在命题逻辑中用真值赋值函数来表示。
真值赋值函数是指对命题中的变元进行真假赋值的函数。
根据真值赋值函数，可以确定命题在不同赋值下的真假情况。
通过对不同赋值下的命题真假情况进行分析，可以推导出命题之间的逻辑关系和推理规则，从而实现了对命题逻辑语义的研究。
2. 谓词逻辑的语义谓词逻辑是进一步推广命题逻辑的一种数学系统，它可以处理更复杂的命题形式和更复杂的逻辑结构。
在谓词逻辑中，除了命题变元外，还引入了谓词、量词和个体变元等概念。
谓词逻辑的语义研究主要涉及到对谓词与项的赋值关系和量词的解释。
通过对谓词与项的赋值关系和量词的解释，可以确定谓词逻辑表达式的真假关系。
语义的研究为谓词逻辑的推理和证明提供了基础。
二、语法在数学逻辑中的重要性语法是数学逻辑中另一个重要的概念，它是研究逻辑符号和表达式的组合规则和形式化语法的集合。
语法的研究对于正确应用逻辑规则、进行推理和证明是非常关键的。
1. 逻辑符号的语法规则逻辑符号是数学逻辑中使用的基本符号，包括命题变元、逻辑联结词、量词、谓词符号等。
语法规则规定了这些逻辑符号在表达式中如何组合和组织。
例如，在命题逻辑中，语法规则规定了命题变元如何通过与、或、非等逻辑联结词结合，构成复合命题。
在谓词逻辑中，语法规则规定了谓词符号和个体变元如何组合和形成谓词表达式。
逻辑符号的语法规则是保证逻辑表达式合法性和准确性的重要保障。
数学推理的推理规则
数学推理的推理规则数学推理是数学思维和逻辑的重要组成部分，它是通过逻辑推理从已知事实出发，得出未知结论的过程。
数学推理的推理规则指导着我们在数学问题中正确推导和解决问题的方法和步骤。
本文将介绍数学推理的一些常见推理规则，并以例子进行说明。
一、命题与逻辑连接词在数学推理中，命题是可以判断为真或假的陈述句。
逻辑连接词则用来表示命题之间的逻辑关系，常见的逻辑连接词包括“与”、“或”、“非”等。
1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个复合命题才为真。
例如，若命题P为“2是偶数”，命题Q为“3是奇数”，则命题P∧Q为假，因为2既不是奇数也不是奇数。
1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个复合命题就为真。
例如，若命题P为“2是偶数”，命题Q为“3是奇数”，则命题P∨Q为真，因为2是偶数同时也是奇数。
1.3 非运算（¬）非运算表示取反命题的真假。
例如，若命题P为“2是偶数”，则命题¬P为假，因为2是偶数。
二、条件命题推理条件命题是一种常见的逻辑命题，它包含一个条件部分和一个结论部分。
条件命题推理是根据已知条件，利用推理规则得出结论的过程。
2.1 假言命题（→）假言命题是一种条件命题的推理形式，表示如果条件成立，就会发生结论。
例如，若命题P为“如果今天下雨，那么我会带伞”，命题Q为“今天下雨”，则命题P→Q为真，表示如果今天下雨，我会带伞。
2.2 逆命题、逆否命题、逆否等价式逆命题是将条件命题的条件和结论互换得到的新命题。
例如，原命题为P→Q，则逆命题为Q→P。
逆命题与原命题的真假性相同。
逆否命题是在逆命题的基础上取反得到的新命题。
例如，原命题为P→Q，则逆否命题为¬Q→¬P。
逆否等价式指原命题与逆否命题的等价性。
即P→Q与¬Q→¬P是等价命题。
三、等价命题推理等价命题是在逻辑上等价的两个命题，它们的真假性相同。
等价命题推理是根据已知等价命题，通过推理规则得出结论的过程。
数理逻辑的推理及形式证明
数理逻辑的推理及形式证明数理逻辑是一种研究命题、谓词、量词等逻辑结构以及它们之间关系和推理规则的数学分支。
它在数学、计算机科学、哲学、语言学等领域中有广泛的应用。
在数理逻辑中，形式证明是一种推理方法，它通过一系列严格的推理规则以及一定的符号规则来证明数学命题的真实性。
接下来，我将详细介绍数理逻辑的推理过程和形式证明的基本原理。
在数理逻辑中，推理是指从一些前提出发，通过应用推理规则得出结论的过程。
推理过程可以分为直接推理和间接推理两种类型。
直接推理是基于一些已知事实和推理规则，通过逻辑关系直接得出结论的方法。
例如，对于命题A蕴含B，如果我们知道A为真，那么根据蕴含的定义，我们可以直接得出B为真的结论。
间接推理是通过反证法或假设推理来得出结论的方法。
反证法是指假设一些命题为假，然后通过推理规则逐步推导，最终导致矛盾的出现。
这时我们可以得出原先假设的命题是真的结论。
假设推理是指我们假设一些命题为真，然后根据这个假设推出其他的结论，如果这些结论与我们的预期相符，那么我们就可以认为原先的命题是真的。
形式证明是数理逻辑中一种严格而形式化的推理过程。
它基于一定的符号规则和推理规则，通过一系列逻辑推理来证明一个命题的真实性。
形式证明的过程可以用一系列推理步骤来表示，每个步骤都遵循推理规则。
在形式证明中，我们使用符号代表命题，通过逐步应用推理规则来推导出要证明的结论。
形式证明的过程中使用的推理规则包括假设引入、假设消除、蕴含引入、蕴含消除、析取引入、析取消除、合取引入、合取消除、否定引入和否定消除等。
这些规则定义了如何从已知命题出发，逐步推导出要证明的目标命题。
形式证明的理论基础是逻辑公理和推理规则的正确性。
逻辑公理是数理逻辑中不需要证明的基本命题，它们被认为是正确的。
推理规则是一些逻辑操作的规则，它们描述了如何根据已知命题推导出新的命题。
形式证明的正确性依赖于逻辑公理和推理规则的正确性，以及证明过程中每一步的合法性。
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数学的语法规则——逻辑推理主题1 数学的语法规则——逻辑推理同学们，我们知道语文和外语都有自己的语法规则，数学作为一门描述大自然和经济生活的语言，当然也有自己的语法规则，这就是逻辑推理.法国著名的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔曾经讲过：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达至结论.这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序.”这段话深刻地说明逻辑推理对于数学和生活中的重要作用.正因如此，宝爸宝妈们已经从娃娃开始培养孩子的逻辑推理能力.【数学史话】逻辑学的历史和现状大约在公元前6世纪左右，古代中国、古代印度和古希腊的学者，就各自独立地建立了自己的逻辑学说.他们分别是“名辨之学”、因明和古希腊的逻辑学.其中，古希腊的逻辑学最为系统，因而在世界逻辑学发展史上影响也最大、最深.古希腊学者亚里士多德被认为是古希腊逻辑学的创始人，他在其由后人整理并取名为《工具论》的著作中，第一次全面、系统地论述了传统形式逻辑，提出了有关范畴、命题、三段证明和谬误等一系列重要论述和思想.他所创立的逻辑学，逻辑史上称之为古典的或传统的形式逻辑（“形式逻辑”这一称呼是17世纪康德提出的）或古典的演绎逻辑.这一逻辑的主要特点在于：它是建立的对范畴的研究基础之上，即它主要涉及范畴、又范畴组成的命题、由命题组成的三段论和论证等.这是古代逻辑中较为完整地建立起来的一个三段论系统，它构成了逻辑的一个初等的、但是重要的部分.亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关假言命题、选言命题、连言命题等属于复合命题的问题，研究了由这些命题所组成的各种推理形式及其规则，奠定了命题逻辑的基础.这是传统形式逻辑的一个重大发展，极大地丰富了传统形式逻辑、主要是演绎逻辑的内容.在近代，法国的阿尔诺与尼科尔根据笛卡尔的哲学、逻辑和方法论观点，于1662年发表了《逻辑或思维的艺术》一书.该书成为欧洲近代逻辑的范本，是传统形式逻辑，主要是传统演绎逻辑的主要代表作之一.17世纪末，法国哲学家莱布尼茨提出了逻辑数学化的思想，他在其1666年发表的《论组合术》一书中，提出了建立一种表意的普遍语言及思维演算，并成功地把命题表达为符号式，被公认为数理逻辑的先驱者.随后不到100年，英国数学家布尔用数学方法首倡了第一个逻辑演算系统-布尔代数，并把其中的符号解释为类时，布尔代数即为类代数，以及类逻辑的代表化，从而，把莱布尼茨的设想变成了现实，成为数理逻辑的早期形式.其后，再经德摩根、弗雷格等人的努力到 20世纪初，罗素和怀德合著《数学原理》，总结了前人的研究成果，建立了一个完全的命题演算与谓词演算系统，标志着数理逻辑作为一门独立的科学达到了成熟阶段.树立逻辑是再传统逻辑基础上发展起来的，因而被是为形式逻辑的现代类型，一般也称之为现代形式逻辑或简称现代逻辑.近几十年来，现代逻辑得到迅速发展，至今已成为拥有众多分支的学科.古代中国的逻辑学说形成于春秋战国时期，称为“名辨之学”.名家的邓析以及稍后的惠施和公孙龙，儒家的孔子，墨家的墨子，都对名辩逻辑的产生做出了重要贡献.后期墨家则在《墨经》中建立起一个逻辑体系，达到了中国古代逻辑发展的高峰.此后，荀子、韩非等也对名辩逻辑的发展起到了重要作用.可惜秦汉以后，由于种种原因，我国古代曾经兴起一时的逻辑学说却走向了衰落，没有获得进一步发展.直到近代，随着西方逻辑的传入，我国的逻辑研究才重又复兴，先秦时期的宝贵遗产也得到了重视.数学家、逻辑学家布尔布尔（Boole·George）是英国数学家及逻辑学家,1815年11月2日生于林肯，1864年12月8日卒于爱尔兰的科克.布尔是鞋匠之子，他完全靠自己的力量爬上去.他原想做牧师，但是他十六岁时在私立学校教数学，到1835年他自己开办一所学校.1849年，（尽管他没有张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的，所以走了．李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没有走的人是该走的”，李四觉得自己是应该走的．例2.判断命题“已知a ,x 为实数，若关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，则1a ≥”的逆否命题的真假.分析1：写出原命题的逆否命题，直接判断其真假.解法1：原命题的逆否命题为“已知a ，x 为实数，若1a <，则关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集”.判断如下：抛物线22(21)2y x a x a =++++开口向上，判别式22(21)4(2)47a a a ∆=+-+=-.因为1a <，所以470a -<，即抛物线22(21)2y x a x a =++++与x 轴无交点，所以关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集为空集.故逆否命题为真.分析2：先判断原命题的真假，再利用原命题与其逆否命题的等价关系判断原命题的真假.解法2：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤的解集非空，所以22(21)4(2)470a a a ∆=+-+=-≥，所以74a ≥. 因为714a ≥>，所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.分析3：因为问题涉及到不等式的解集，可利用集合的包含、相等关系求解.解法3：命题p ：关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤有非空解集，命题q ：1a ≥.所以p ：{A a =关于x 的不等式22(21)20x a x a ++++≤有实数集}227{(21)4(2)0}{}4a a a a a =+-+≥=≥，q ：1a ≥. 因为A B ⊆，所以“若p ，则q ”为真，所以其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真，所以原命题的逆否命题为真.公务员考试中的常用逻辑问题每道题选给出定义，然后列出四种情况，要求你严格依据定义，从中选出一个最符合或最不符合该定义的答案.注意：假设这个定义是正确的，不容置疑的.1.集合概念是以事物的集合体为反映对象的概念.集合体是由许多个体组成的统一整体，集合体所具有的属性，只为该集合体所具有，而不必为这个集合体中的某一个体所具有.集合概念所涉及的关系不同于类和分子的关系，也不完全同于整体和部分的关系.组成类的各个分子都必然具有类的属性，而组成集合体的个体却不具有集合体的属性；整体是由不同的部分组成的，而集合体则是由同类的个体组成的.根据上述定义，下列划线语词在当前语境下所反映的概念不是集合概念的是：A.人定胜天B.主权在民C.羊入虎口D.正义之师2.命题可以分为四种：①伪命题，指的是无真假可言的命题；②永真命题，指的是不论在何种情况下都不可能假的命题；③永假命题，指的是不论在何种情况下都不可能真的命题；④可满足命题，指的是在有些情况下为真在有些情况下为假的命题.根据上述定义，下列属于永真命题的是：A.存在即合理B.思想或者是可捉摸的，或者不可捉摸的C.人既能在不同时间跨进同一条河流，又不能在不同时间跨进同一条河流D.地球是一直围绕太阳旋转的3.相邻效应指的是个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致，但由此形成的费用差别和收益差别在社会上却没有相应的弥补来源.根据上述定义，下列不涉及相邻效应的是：A.某厂训练的熟练工跳槽到其他厂家工作B.工厂的生产活动中产生的允许范围内的噪音对周边居民的生活有影响C.甲厂生产的品牌电脑非常畅销，乙厂也盗用该品牌进行销售D.邻居甲家养护良好的草坪花木常常使得习惯早起的乙神清气爽4.直接证据是指能够直接证明刑事案件主要事实的证据，间接证据是指不能够单独地直接证明刑事案件主要事实，需要与其他证据相结合才能证明的证据.所谓刑事案件的主要事实，是指犯罪行为是否系犯罪嫌疑人、被告人所实施.根据上述定义，下列属于直接证据的是：A.小区监控拍摄下的犯罪嫌疑人李某盗窃车辆的视频B.被害人的邻居王某提供的犯罪嫌疑人在案发前到过案发现场的证言C.刑警在凶案现场提取到的男性鞋印D.诈骗案受害人姜某提供的自己所遭受的金钱损失的银行记录5.布利丹效应源于法国哲学家布利丹讲述的一个寓言故事：一头驴子外出觅食，发现两堆相距不远的草料.东边是一大堆干草料，西边是一小堆新鲜的嫩草.驴子很高兴，跑到大堆的干草料处，刚要吃，突然想到西边草料那么新鲜，肯定好吃，不去可能会被别的驴子吃掉.于是它就跑到嫩草堆前，刚要吃又想，这堆草虽然很嫩，可别的驴子把那一大堆干草料吃光的话自己就要饿肚子了，还是回去吃干草吧！就这样来来回回，这只可怜的驴子，最后饿死在草堆旁. 根据上述定义，下列不符合布利丹效应的是：A.弈者举棋不定，终之拜矣B.一山望着一山高C.凡事预则立，不预则废D.鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也答案：1.D此定义的关键词是“由许多个体组成的统一整体”，很显然A选项中的“人”、B选项中的“民”、C选项中的“羊”都符合这个定义要求.此题要求选择不是集合概念的，D选项中的“师”是对某类部队的定性，不是个体组成的整体，因而选择D.2.B此题属于定义匹配题.要选择属于“永真命题”的，此定义的关键词是“不论在何种情况下都不可能假”，B选项是或关系命题，对于或关系来说，只要一真则全真，因而符合该定义要求；A选项属于“可满足命题”；C选项属于“伪命题”；D选项属于“可满足命题”.所以此题选择B选项.3.B此定义的关键词是“个体或者组织的付出和其应该获得的利益之间存在不一致”，B 选项不涉及“付出和利益的不一致”；A 选项中“熟练工跳槽”、C 选项中“乙盗用品牌”、D 选项中“甲养的花而获利的是乙，存在不一致”.此题选择不涉及该定义的，因而选择B 选项.4.A双定义题，要求选择属于“直接证据”的，此定义的关键词是“能够直接证明刑事案件主要事实”，A 选项符合定义的要求，监控视频可以直接证明案件事实；B 选项中“在案发前到过案发现场的证言”，只是“案发前的”不能直接证明事实；C 选项中的“在现场提取的脚印”也无法直接证明事实；D 选项中的“遭受损失的银行记录”需要结合其他证据方可证明事实，这三者属于间接证据.因而此题选择A 选项.5.C布利丹效应的寓言故事实质反映了“人们在做决策时犹豫不决、难作决定的现象”.A 、B 、D 选项很明显符合这一实质.而C 选项强调的是“提前制定计划的重要性”，此题要求选择不符合的，因而选择C 选项.【思维导航】 从集合角度理解充要条件充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p 的对象组成的集合为P ，满足条件q 的对象组成的集合为Q.（1） 若P Q ⊆，则p 为q 的充分条件，其中当P Q 时，p 为q 的充分不必要条件；（2） 若Q P ⊆，则p 为q 的必要条件，其中当Q P 时，p 为q 的必要不充分条件；（3） 若P Q ⊆且Q P ⊆，即P=Q ，则p 为q 的充要条件；（4） 如果以上三种关系均不成立，即P 、Q 之间没有包含或相等关系（P Q ⊄且Q P ⊄），此时P Q =∅或P 、Q 既有公共元素，也有非公共元素，则p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.例1．已知p: x x 8202-≥，q: 22210(0)x x m m -+-≤>，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解析：由22210x x m -+-≤得11(0)m x m m -≤≤+>，所以“q ”所表示的集合为A= {}11(0)x m x m m -≤≤+>；由x x 8202-≥得210x -≤≤，所以“p ”所表示的集合为B={}210x R x ∈-≤≤，由非p 是非q 的必要不充分条件知，非p ⇒非q 但非q ⇒非p ，其逆否命题是：p q ⇒但q p ⇒，故B ⊂A0129110m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩，故m 的取值范围为9m ≥.评注：复杂的推理问题常采用等价转化思想，可使问题简单化，具体化，互为逆否命题是等价命题，再转化为集合包含关系求解，这种转化思想重要，要注意灵活应用.蜂窝猜想4世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表.他猜想，人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的.他的这一猜想称为"蜂窝猜想"，但这一猜想一直没有人能证明.美密执安大学数学家黑尔宣称，他已破解这一猜想.蜂窝是一座十分精密的建筑工程.蜜蜂建巢时，青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡，每片只有针头大小而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置，以形成竖直六面柱体.每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小.6面隔墙宽度完全相同，墙之间的角度正好1200，形成一个完美的几何图形.人们一直疑问，蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面，而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑，但每一个蜂巢都是六面柱体，而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关.由此引出一个数学问题，即寻找面积最大、周长最小的平面图形. 1943年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的.但如果多边形的边是曲线时，会发生什么情况呢?陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一点.而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小.他已将19页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明，认为黑尔的证明是正确的.加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称，经过1600年努力，数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者.【拓展提升】中国人数理逻辑思维领先世界背后的语言优势作用中国孩子的数学运算能力和逻辑思维能力向来在世界上广泛得到认可.原因有很多，今天可以站在我这个搞了N年第二语言教学教师的角度来探讨这个问题.中文在阿拉伯数字的发音是非常干净利落的，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全都是单音节词，而且中文的发音没有时间的概念，也就是说不需要长短音的差异，所以干净利落，全是短音.英文有长短音差异，比如sheet 和shit, sheep 和ship，发音虽然只是长短差异，但是意思相差万里.再看看英文的阿拉伯数字发音，one, two, three ,four, five, six, seven, eight, nine ,ten.其中two, three, four，是需要发长音的，而且还有seven这个双音节词汇.首先从数字的发音上，中国孩子就占了很大的优势.其次，从十进制以上的读法上会更有优势.刚开始学英语的时候，我学英文数字几乎搞得乱七八糟，云里雾里，当时真的是怀疑自己的智商是不是有问题，但是现在想想真不是学生的问题，而是英国人实在不擅长数理逻辑，把语言中表达数概念的数词搞得支离破碎.比如，中国人到了十以后，就是十一、十二、十三…然后是二十一，二十二，二十三.但是我们看看英文，ten 以后，是eleven, twelve, thirteen, fourteen, fifteen, sixteen, seventeen, eighteen, nineteen, twenty, twenty-one.如果暂且说到了二十以后是符合规律的（其实也有特例，比如twenty, thirty, forty, fifty等不符合规律的写法, 按逻辑seventy，sixty才是符合规律的写法）.我们看看英文对从11到19之间的逻辑是无比混乱的.如果我们能以中国人的智商来帮英国人重新建造英文读数体系的话，那么最符合逻辑的应该是tenone ,tentw o ,tenthree, tenfour…直到twenty, 然后tewenty-one, twenty-two….或者沿用英国人的逻辑teen代表十几，那么可以是oneteen, twoteen, threeteen….嗨，纯粹搞笑一把了，老祖宗已经把错误犯下了，要把思维改过来就更难了.所以中国人在数字的读法和写法上又占了优势.其三中国人对于数字的表述更加直观，比如说分数：十分之一，读出来就懂了，是很形象的解释.但是英文的one tenth, two tenths 理解起来就转了很大一个圈了.既然中国人的数理逻辑思维有这么大的优势，那么应该说在数理化我们应该有很大的造诣.这句话没错，中国学生普遍的数理化水平要在世界上领先.但是我们在这些领域的大师却不多，尤其是按照我们的平均水平的比例.这是为什么？还是拉法法教育的观点，在一定的智商上，真正决定一个人成功的是他/她的SEL（Social and emotional learning）能力（社会和情感能力），正如上篇博客中的《异类》一书中提到的智商在195的兰根，正式因为没有和老师沟通和社会沟通的能力，而丧失掉了很多为成功做准备的机会.中国孩子可以凭借语言的先天优势形成数的敏感性，赢在起跑线.但是中国传统教育太注重孩子们记住数理化的知识、规律，前人发现的结果、公式、定理.而忽略了最重要的部分，就是如何带领孩子领略到前人发现这些规律的过程.没有让他们体验式、探究式的去悟道.没有反复让孩子感受到悟的过程，那么我们永远只能作为传承者，而无法作为开拓者，这就是我们缺乏大师的一点原因吧.【数学欣赏】罗素悖论19世纪70年代,德国数学家康托尔创立了集合论,集合论是数学上最具革命性的理论,初衷是为整个数学大厦奠定坚实的基础.1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国大数学家庞加莱兴奋的宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格.”然而，正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时,一串串数学悖论却冒了出来，又搅得数学家心里忐忑不安,其中英国数学家罗素1902年提出的悖论影响最大,“罗素悖论”的内容是这样的：设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B？若B属于B，则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B，则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于B.这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合B不属于B当且仅当集合B属于B时成立的悖论.之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即理发师悖论.理发师宣布了这样一条原则：他只为村子里不给自己刮胡子的人刮胡子.那么现在的问题是，理发师的胡子应该由谁来刮？.如果他自己给自己刮胡子，那么他就是村子里给自己刮胡子的人，根据他的原则，他就不应给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是村子里不给自己刮胡子的人，那么又按他的原则他就该为自己刮胡子.同样有产生了这样的悖论：理发师给自己刮胡子当且仅当理发师不给自己刮胡子.这就是历史上著名的罗素悖论.罗素悖论的出现，动摇了本来作为整个数学大厦的基础——集合论，自然引起人们对数学基本结构有效性的怀疑.罗素悖论的高明之处，还在于它只是用了集合的概念本身，而并不涉及其它概念而得出来的，使人们更是无从下手解决.罗素悖论的提出使数学家们面临着极大的困难.数学家弗雷格在他刚要出版的《论数学基础》卷二末尾就写道：“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了.在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地.”可见罗素悖论使人们面临多么尴尬的境地.然而科学面前没有人会回避，数学家们立即投入到了消除悖论的工作中，值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论.为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，许多数学家进行了不懈的努力.如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯•诺伊曼等人的补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个不加定义的原始概念，另外还有十条公理.ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了.在消除悖论的过程中数理逻辑也取得了很大发展，证明论、模型论和递归论相继诞生，出现了数学基础理论、类型论和多值逻辑等.可以说悖论引起的第三次数学危机大大促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性，而且也因此直接造成了数学哲学研究的“黄金时代”.哥德巴赫猜想简介克里斯蒂安•哥德巴赫（Christian Goldbach， 1690年3月18日－1764年11月20日），又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学上的研究以数论为主，作为哥德巴赫猜想的提出者而闻名.哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟.他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育.哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学克里斯蒂安•哥德巴赫哥德巴赫猜想手稿家，然后跟他们通讯.1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想.在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明.因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和.欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和.今日常见的猜想陈述为欧拉的版本.把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b 个的数之和"记作"a+b".1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和".今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”.从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想.后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”.若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的.弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”.费马大定理简介费马猜想﹝Fermat's conjecture﹞又称费马大定理或费马问题，是数论中最著名的世界难题之一.1637年，法国数学家费马在巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写道：「将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的.关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下.」费马去世后，人们找不到这个猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣.欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也没有得到普遍的证法.300多年以来，无数优秀学者为证明这个猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及分支.。