2015高考数学一轮方法测评练：必考解答题——模板成形练4

合集下载

2015届高考理科数学解答题八个大题模板

方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人方达教育学科教师指导教学设计学员姓名年级指导科目数学高三讲课老师翟嘉课时数2h第次课讲课日期实时段2015年月日：—：解答题的八个答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，往常是高考的把关题和压轴题，具有好较的区分次层和选拔功能．当前的高考解答题已经由纯真的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题考考场上，可否做好解答题，是高考成败的要点，所以，在高考备考取学会如何解题，是一项重要的内．容“答题模板”就是第一把高考试题归入某一种类，把数学解题的思想过程区分为一个个小题，按一照定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．重申停题程序化，答题格式化，在最短的时间内定拟解决问题的最正确方案，实现答题效率的最优化．．在高模板 1三角变换与三角函数的性责问题已知函数 f (x) ＝ 2cos x ·sin x＋π2x＋sin xcos x＋1.－3sin3(1) 求函数f(x) 的最小正周期；(2) 求函数 f(x) 的最大值及最小值；(3) 写出函数f(x) 的单一递加区．间审题路线不图同角化同角→降幂扩角→化 f(x) ＝ Asin( ωx＋φ)＋ h→联合性质求解．规范解答示例建立答题模板13第一步化简：三角函数式的化简，一般化成y＝ A sin(ωx＋φ)＋ h 的形式，解 f( x)2cos x＝2sin x x)＋ 1 ＝ sin 2x ＋3cos 2x ＋ 1即化为“一角、一次、一函数”的形式．2＋cosx3sin－22＝ 2sin xcos x ＋ 3(cosx － sinπ＝ 2sin 2x ＋＋ 1.3(1) 函数 f(x) 的最小正周期为2 π＝ π.2ππ(2) ∵－ 1 ≤ sin 2x ＋＋1≤ 3. ≤ 1， ∴－ 1≤ 2sin 2x ＋ 33∴当 2x ＋ π ππ ＝＋ 2k π， k ∈Z ，即 x ＝＋ k π，k ∈Z 时， f( x)取3 212 得最大值 3；第二步整体代换：将 ωx ＋ φ看作一个整体，利用y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的性质确立条件．第三步求解：利用 ωx ＋ φ的范围求条件解得函数y ＝ A sin(ωx ＋ φ) ＋ h的性质，写出结果．ππ5 π第四步反省：反省回首，查察要点点，当 2x ＋＝－＋ 2k π， k ∈Z ，即 x ＝－＋ k π，k ∈Z 时， f(x) 易错点，对结果进行估，算检查规范性 .3212方达教育指导教学设计第 1 页（共16 页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人获得最小值－ 1.(3) 由－ππ π 5 ππ＋ 2k π≤ 2x ＋3≤＋ 2k π，k∈Z ，得－＋ kπ≤ x≤＋221212kπ，k∈Z .∴函数 f (x) 的单一递加区间为－(2014 福·建 )已知函数－π2，且 sin α＝，求(1) 若 0< α<225ππ＋ kπ，＋ kπ (k ∈Z ).12121f(x) ＝ cos x(sin x＋ cos x) 2.f( α)的值；(2) 求函数f(x) 的最小正周期及单一递加区间．π2222211解方法一(1) 因为 0<α<， sin α＝，所以 cos α＝.所以 f( α)＝×(＋)－＝222222.(2) 因为 f(x) ＝ sin xcos x ＋ cos11＋ cos 2x111222π2x－ 12x－ 12sin 2x ＋－＝ 2sin 2x ＋ 2cos 2x ＝2 sin(2 x＋ 4) ，22＝22π所以 T＝＝π.2由 2kπ－πππ3ππ≤ 2x ＋≤ 2k π＋， k∈Z ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈Z .2423 π88所以 f (x) 的单一递加区为间[k π－π， kπ＋]， k∈Z .88π1 11＋ cos 2x 1 1122x－－＝22sin(2 x＋)．方法二f(x) ＝ sin xcos x ＋ cos22sin 2x ＋cos 2x ＝24＝sin 2x ＋22π2 3 π 1π2π2， sin α＝，所以α＝，进而f( α)＝ 2 sin(2 α＋4)＝ 2 sin 2.(1) 因为 0< α<2244＝2π(2)T ＝＝π.2由 2kπ－πππ3ππ≤ 2x ＋≤ 2k π＋， k∈Z ，得 kπ－≤ x≤ kπ＋， k∈Z . 24288所以 f (x) 的单一递加区为间3 π[k π－π， kπ＋]， k∈Z .88模板2解三角形问题在△ABC 中，若 acos2C2 A3＋ ccos＝22 2b.(1) 求证：a ， b ， c 成等差数列； (2) 求角 B 的取值范围．审题路线图 (1)化简变形―→ 用余弦定理转变为边的关系 ―→ 变形证明(2) 用余弦定理表示角―→ 用基本不等式求范围―→ 确立角的取值范围方达教育指导教学设计第 2 页（共16 页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人规范解答示例构建答题模板2C2A1＋ cos C第一步定条件：即确立三角形中的已知和(1) 证明因为 acos＋＋ccos ＝ a·2221 ＋ cos A3所求，在图形中标明出来，而后确立转变的c·＝ b ，22所以 a＋ c＋ ( acos C ＋ ccos A) ＝ 3b ，方向．2＋ b2－ c22＋ c2－ a2第二步定工具：即依据条件和所求，合理a b＝ 3b ，故 a＋ c＋ a·选择转变的工具，实行边角之间的互化．＋c·2ab2bc整理，得 a ＋ c＝ 2b ，故 a ， b， c 成等差数列．第三步求结果．2＋ c2－ a ＋ c 2第四步再反省：在实行边角互化的时应候(2) 解cos B ＝2＋ c2－ b2a2注意转变的方向，一般有两种思路：一是全a＝2ac2ac3 a 2＋ c2－ 2ac1部转变为边之间的关系；二是所有转变为角26ac － 2ac，之间的关系，而后进行恒等变形.＝8acπ.3＝≥8ac因为 0< B<π，所以 0<B ≤(2014 )宁·辽在△ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分为别→ →＝ 2， cos B a， b ， c，且 a>c ，已知 BA ·BC＝13，b＝ 3.求： (1) a 和 c 的值；(2)cos( B－ C) 的值．→ →1解 (1) 由 BA＝2得c·acos B＝ 2.又cos B＝3·BC，所以 ac ＝ 6. 由余弦定理，得a2＋ c 2＝ b 2＋ 2accos B. 又 b ＝ 3， 2 ＋ c 2 ＝ b 2＋ 2accos B. 又 b ＝ac ＝ 6，a ＝ 2， a ＝ 3， 3，所以 a＝ 13.解2＋ c 2＝ 9 ＋ 2 ×6×12＋ c 2＝ 13，得或c ＝ 3c ＝ 2.2＋ c 2＝ 9＋ 2 ×6×1a3因为 a>c ，所以a ＝ 3 ， c ＝ 2.(2) 在 △ABC 中， sin B ＝ 1 － cos1 2＝22B ＝ 1－322B ＝1－，，c2 2 24 2 3由正弦定理，得sin C ＝3 × ＝ 9.因为 a ＝ b> c ，所以 C 为锐角，3bsin B ＝24 22＝7172242 所以 cos C ＝ 1－ sin99.于是 cos(B － C) ＝ cos Bcos C ＋ sin Bsin C ＝ × ＋ 39C ＝1－3 9 ×＝23.27模板 3数列的通项、乞降问题*)知足a b nn已知首项都是 1 的两个数列{ a n} ， {b n}( b n≠0 ， n∈N＋1－a n＋1 b n＋2b n＋1b n＝0.a n(1) 令 c n＝，求数列 { a n} 的通项公式；b nn－1，求数列{ a (2) 若 bn＝ 3方达教育指导教学设计第 3 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人审题路图线(1)＋＋＋1 b n ＝ 0 →a n＋ 1 ana nb n1－ a n1b n ＋ 2b n＋ 1－bn1 nn＝ 2 → c n ＋＝ 2 － 1b n ＋－ c → c ＝ 2n错位相减法得 S n1n － 1――→(2) c n ＝ 2n － 1 → a n ＝ 2n － 1 ·3规范解答示例建立答题模板解＋＋2b ＋，(1)因为a n bn1－ a n 1b n ＋n 1b n ＝ 0(b n ≠0n ∈N *) ，第一步找递推：依据已知条件确立数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式．所以a n ＋a n1＝ 2 ，即 c n ＋1n＝ 2，第二步求通项：依据数列递推公式转化为－ b n － c＋b n ＋ 11所以数列 {c n } 是以首项c 1＝ 1，公差d ＝2 的等差数等差或等比数列求通项公式，或利用累加法列，故 c n ＝ 2n － 1.n －1 知an－1，(2) 由 b n ＝ 3 n ＝ c n b n ＝ (2n － 1)3 于是数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1·3＋ 3·31＋ 5·32＋ ,＋ 3·31＋ 5·32＋,n －1，＋ (2n － 1) ·31 2＋ , ＋ (2n － 3) n －1n3S n ＝ 1·3 ＋ 3·3 ·3 ＋ (2n － 1) 3·，2S n ＝ 1 ＋ 2·(31＋ 32＋相减得－n －1)－ (2n －＋ 312 ＋ , n －1 )－ (2n－＋ 3＋ 31) 3·＝－ 2－ (2n － 2)3 ，nn所以S n ＝ (n － 1)3n＋ 1.n＋ 1.或累乘法求通项公式．第三步定方法：依据数列表达式的构造特征确立乞降方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等) ．第四步写步骤：规范写出乞降步骤．, 第五步再反省：反省回首，查察要点点、易错点及解题规范 .已知点 1， 1 是函数f( x)＝ a x(a>0 ，且 a ≠1) 的图象上的一点．等比数列{a n } 的前 n 项和为f(n)3－ c.数列 { b n } ( b n >0) 的首项为c ，且前n 项和－＝S n ＋ S nS n 知足S n － S n1－(n ≥ 2) ．1(1) 求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式；(2) 若数列1 的前 n 项和为T n ，问知足T n >1 001n 是多少？b n b n ＋的最小正整数112 012解 (1) ∵f(1) ＝ a ＝1 x. ， ∴f( x)＝ 33122由题意知，a 1＝ f(1) － c ＝－ c ， a 2＝ [ f(2) － c]－ [f(1) － c] ＝－ 93.3， a 3＝ [f (3) － c] － [f(2) － c]＝－4 2 1a 2 12 3 － c ， ∴c ＝ 1. 又公比 q ＝＝，23 a 1 3又数列 { a n } 是等比数列，a81＝∴a 1＝＝＝－a 32－2721n1＝－ 2·1n*∴a n＝－－33(n ∈N )．3·∵S n－ S n－1＝ ( S n－ S n－1)(S n＋ S n－1 )＝ S n＋ S n－1(n ≥ 2) ．方达教育指导教学设计第 4 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人－＝ 1.又 b n >0， S n >0 ，∴ S n－ S n 12. ∴数列 { Sn} 组成一个首项为1、公差为 1的等差数列，S n＝ 1＋ (n － 1) ×1＝ n ，即 S n＝ n当 n≥ 2时， b n＝ S n－ S n－1＝ n1＝ 1 也合适此通项公式．2－ (n － 1)2＝ 2n－ 1，当 n＝ 1 时， b*∴b n＝ 2n－ 1 (n ∈N) ．(2)T n＝111＋ ,1＋＋＋n n b1b 2b2b 3b3b 4 b b＋1＝111＋ ,1＋＋＋2n － 1 × 2n ＋ 1 1×3 3 ×55×7＝11＋1× 1 1＋11 1＋,＋11111n－2n ＋ 1＝232－2－22× 1 － 3 5× 5 7× 2n－ 1 2n ＋ 1 ＝.× 1－2n＋ 1 n 1 001 1 001由 T n＝，得 n>2n ＋ 1 2 01210>，1 001∴满 T足n>n 的值为 101.的最小正整数2 012模板 4利用空间向量求角问题(2014 ·山东)如图，在四棱柱ABCD － A1B1 C 1D 1中，底面 ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝ 60°，AB＝ 2CD ＝ 2， M 是线段AB 的中点．(1)求证： C 1 M∥平面 A1ADD 1；(2) 若 CD 1垂直于平面ABCD 且 CD 1＝ 3 ，求平面 C 1D 1M 和平面 ABCD所成的角 ( 锐角 )的余弦值．AB＝ 2CDCD∥AMCD ＝ AM ? ?AMC 1D 1审题路线图(1) M 是 AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→→C 1M ∥平面 A1 ADD 1(2) CA ， CB ， CD 1两两垂直→ 成立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面 ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转变为两个向量的夹角规范解答示例建立答题模板第一步找垂直：找出 (或(1) 证明因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AB ＝ 2CD ，所以 AB ∥DC.作出 )拥有公共交点的三又由 M 是 AB 的中点，所以CD ∥MA 且 CD ＝ MA.条两两垂直的直线．连结AD1，如图 (1) ．第二步写坐标：成立空在四棱柱ABCD － A1B1C 1D1中，间直角坐标系，写出特点因为 CD ∥C1 D 1，CD＝ C1D 1，可得 C1 D 1∥MA ，C 1D 1＝ MA ，所以四边形 AMC 1D 1点坐标．第三步求向量：求直线为平行四边形，因为 C 1M ∥D 1A.方达教育指导教学设计第 5 页（共 16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人又 C1平面11，1平面1 1 ，所以1∥ 平面11的方向向量或平面的法M? A ADD A ADD AADD .D A? C M(2)解方法一如图(2)，连结AC ， MC .由 (1) 知向量．CD∥AM 且 CD＝AM，第四步求夹角：计算向所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC ＝ AD ＝量的夹角．MC ，第五步得结论：获得所由题意得∠ ABC＝∠ DAB＝60°，所以△ MBC为正三求两个平面所成的角或角形，所以AB ＝ 2BC＝ 2，CA ＝3，所以CA⊥ CB.直线和平面所成的角.以 C 为坐标原点，成立如图(2) 所示的空间直角坐标系 C － xyz，所以A( 3，0,0) ， B (0,1,0)， D 1(0,0 ，3) ，所以M3131＝，2，－22→2→→， 0，所以 MD 1＝－， 3 ，D1C1＝ MB3 1－，，0 .22设平面 C 1D 1M 的一个法向量为n＝ (x ， y， z)，→3x－ y＝ 0，C1D 1M 的一个法向量 n由＝0 ，得可得平面3x ＋ y－ 2 3z ＝ 0 ，n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→→＝ (1 ， 3，1) ．又 CD 1＝ (0,0 ， 3) 为平面 ABCD 的一个法向量，所以 cos 〈 CD 1，→5CD 1·n 5 . 所以平面 C 1D 1M 和平面 ABCD所成的角 (锐角 )的余弦值为n〉＝＝→|CD1||n|5.5方法二由 (1) 知平面 D 1C1M∩平面ABCD＝AB，过点 C 向 AB 引垂线交AB 于点 N，连结 D 1N，如图(3) ．由 CD 1⊥平面 ABCD ，可得 D 1N⊥ AB，所以∠ D 1NC 为二面角C1－ AB－ C 的平面角．在 Rt △ BNC 中， BC ＝ 1，∠ NBC ＝ 60°，可得 CN ＝ 3.所以ND 1＝22＝15CD 21＋CN.23所以 Rt△ D 1CN 中， cos∠ D 1NC ＝CN25＝＝，D 1N1552方达教育指导教学设计第6页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人所以平面 C1D 1M 和平面ABCD 所成的角( 锐角 )的余弦值为5 . 5以下图，在直三棱柱A1B1C1－ ABC 中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC＝ 2， A1A＝ 4，点 D 是 BC 的中点．(1)求异面直线 A 1B 与 C 1 D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC 1与平面 ABA 1所成二面角的正弦值．→→→解(1) 以 A 为坐标原点，分别以AB ， AC ， AA 1为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向成立空间直角坐标系A－ xyz ，则 A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C (0,2,0) ， A 1(0,0,4) ， D (1,1,0) ， C 1(0,2,4) ．→→所以 A1B＝ (2,0 ，－ 4) ， C1D＝ (1，－ 1，－ 4)．→→→→18 3 10 A 1B·C1D＝所以 cos 〈 A 1B ， C 1D＝.〉＝→→10|A1B|× |C 1 D|20×18所以异面直线A1 B 与 C 1D 所成角的余弦值为310. 10→＝(0,2,0) 是平面 ABA 1的一个法向量．(2) 由题意，知AC→→设平面 ADC 1的法向量为m ＝ (x ， y， z)，因为 AD ＝ (1,1,0) ， AC 1＝ (0,2,4) ，→→x＋ y＝ 0，由 m⊥ AD ， m ⊥ AC12y ＋ 4z＝ 0.，得取 z＝ 1，得 y＝－ 2， x＝ 2，所以平面ADC 1的一个法向量为设平面 ADC 1与平面ABA 1所成二面角为θ，→－ 4→AC ·m2所以 |cos θ|＝ |cos 〈 AC ， m〉 |＝ |，得→|＝ ||＝m＝ (2 ，－ 2,1) ．5.3sin θ＝2×3 3|AC |× |m|5所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为.3模板 5圆锥曲线中的范围问题方达教育指导教学设计第7页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人椭圆 C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为2l 与 y 轴交于点，直线2→ →＝ 3PB P(0 ， m) ，与椭圆 C 交于相异两点A ，B ，且AP .(1) 求椭圆 C 的方程； (2) 求 m 的取值范围．审题路线图(1) 设方程 → 解系数 → 得结论→→＝ 3PB (2)设 l ： y ＝ kx ＋ m→l ， c 订交>0 得 m ， k 的不等式→ AP→ 代入 m ， k 的不等式消k → 得 m 范围规范解答示例2 2解 (1) 设椭圆 C 的方程为yx2＝ 1(a>b>0)2＋，a b设 c>0 ， c 2＝ a 2－ b 2，由题意，知 2b 2＝ 2， c 2＝ a 2－ b 2，由题意，知，2b ＝ 2， c 2＝a2所以 a ＝ 1， b ＝ c ＝2x2222.故椭圆C 的方程为y ＋＝ 1，即 y ＋ 2x ＝ 1.12(2) 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m( k ≠ 0) ， l 与椭圆 C 的交点坐标为A(x 1， y 1)，B(x 2 ， y 2 )，由y ＝ kx ＋ m ，得 (k2＋ 2) x 2＋ 2kmx ＋ (m 2－ 1) ＝ 0 ，＋ y2＝ 1，22 ＋ 2) x 2＋ 2kmx ＋ (m 2－ 1) ＝ 0，2x2－ 4( k 2＋ 2)(m 2 － 1) ＝ 4(k 2 － 2m 2＋ 2)>0 ， (*)＝(2 km)－2kmx 1＋ x 2＝2－m2＋ 2 ， xx ＝1＋k22k1 2 ＝－ 2x 2 ，所以x＋ x所以x 1x 2＝－ 3x22.－ 2km2－ 1所以3· 2＋2mk2＋ 4·2＋2＝k2m 2＋ 2m 2－ k 2－整理得 4k当 m2＝ 1 2＝ 1时，上式不可立；→得 m， k 关系式构建答题模板第一步提关系：从题设条件中提取不等关系式．第二步找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式．第三步得范围：经过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围．第四步再回首：注意目标变量的范41222－ 2m当 m42－1，≠时， k24m＝22>2 m2－ 2，又k≠ 0，所以k2＝ 2－ 2m由 (*) 式，得k2－ 1>0.4m解得－ 1< m<－1或111－1，－2∪<m<1. 即所求 m 的取值范围为222， 1 .方达教育指导教学设计第8页（共16页）围所受题中其余因素的限制.方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人22已知双曲线x y2－2 ＝1(a>1，b>0)的焦距为2c ，直线 l 过点 ( a,0) 和 (0， b)，且点 (1,0) 到直线l 的距a b4离与点 (－ 1,0) 到直线l 的距离之和s≥5c ，求双曲线的离心率 e 的取值范围．解设直线 l 的方程为x y＋＝1 ，即 bx＋ ay－ ab＝ 0.a bd1＝ b a － 1由点到直线的距离公式，且a>1 ，获得点(1,0) 到直线l 的距离，2＋b2b a ＋ 1a2ab2ab同理可得点(－ 1,0) 到直线l 的距离为d2＝，于是 s＝ d1＋ d2＝＝ c .2 ＋b 22＋b2a a42ab 42－ a2≥ 2c 2，可得 5e2－ 1≥ 2e 2，即4e 4－ 2 5e2＋ 25 ≤ 0，解得 5由s≥5c ，得≥≤ e c2≤ 5.5c ，即 5a c4因为 e>1 ，故所求 e 的取值范围是5， 5 .2模板6分析几何中的研究性问题已知定点C( － 1,0) 及椭圆x2＋ 3y 2＝ 5 ，过点 C 的动直线与椭圆相于交 A ， B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12AB 的方程；，求直线→ →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明原因．(2)在 x 轴上能否存在点M ，使 MA ·MB→→审题路线设图AB 的方程y＝ k(x ＋ 1) →待定系数法求k→写出方程；设M 存在即为(m,0) →求 MA·MB →在→ →为常数的条件下求m.MA ·MB规范解答示例建立答题模板解 (1) 依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝ k(x ＋ 1) ，将第一步先假定：假y ＝ k(x ＋ 1) 代入 x2＋ 3y 2＝ 5，消去 y 整理得 (3k 2＋ 1)x 2＋ 6k 2x ＋ 3k 2－ 5 ＝ 0.设结论成立．4－ 4 3k 2＋ 1 3k 2－ 5 >0，①第二步再推理：以＝ 36k设 A (x 1， y 1)， B(x 2， y 2) ，则2假定结论成立为条x 1＋ x 2＝－6k ②2＋ 1.3k件，进行推理求解．21 x 1＋ x 21 3由线段AB 中点的横坐标是－3k2＝－2，解得 k ＝ ± ，2＝－3，得 2＋ 13k第三步下结论：若合适 ①.推出合理结果，经验所以直线AB 的方程为x－3y ＋ 1＝ 0 或 x＋3y＋ 1 ＝ 0.证成立则一定假定；→→若推出矛盾则否认(2) 假定在 x 轴上存在点M (m,0) ，使 MA22－5·MB6k3k假定．为常数．， x1x2＝3k2＋12＋ 1.3k( ⅰ)当直线AB 与 x 轴不垂直时，由(1) 知 x1＋ x2＝－第四步再回首：查③方达教育指导教学设计第9 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人→→看要点点，易错点所以 MA＝ (x 1 － m)( x 2 － m) ＋ y 1y 2＝ (x 1－ m)( x 2－ m) ＋ k·MB2(x 1＋ 1)(x 2 ＋ 1)2 ＋ 1)x＝ (k1 2 ＋ (k 1 ＋ 2 ＋ k 2－ m)( x 2＋ m 2 . (特别状况、隐含条2＋ 1)x2－ m)( x2＋ m 2.件等 ) ，审察解题规→ →将 ③ 代入，整理得 MA·MB范性 .12－ 52＋ 1 － 2m － 14＝ 6m － 1 k2＝2m －3 3k3k 2＋ 1＋ m32＝ m 2＋ 2m － 12 ＋ 1＋ m－6m ＋ 143k37 → →是与 k 没关的常数，进而有 6m ＋ 14 ＝ 0，m ＝－32＋1 .注意到 MA，3 3k·MB4→ →此时 MA. ＝ 9·MB2( ⅱ ) 当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为－ 1，、3－1，－2，当 m ＝－ 74 33→ →4.时，也有 MA＝·MB－7→综上，在x 轴上存在定点M为常数 .→ ·MB， 0 ，使 MA322xy(2014 ·福建 )已知双曲线 E ：2＝ 1(a>0 ， b>0) 的两条渐近线分别为l 1： y2－2－ ba＝ 2x ， l 2： y ＝－ 2x.(1) 求双曲线 E 的离心率．(2) 如图， O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l 1 ， l 2 于 A ， B 两点 (A ， B 分别在第一、四象限 )，且 △ OAB 的面积恒为 8. 尝试究：能否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线 E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明原因．解 (1) 因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝ 2x ， y ＝－ 2x ，所以b2 － a2ca＝ 2，所以＝ 2，故 c ＝5a ，ac进而双曲线E 的离心率 e ＝＝ 5.a22(2) 方法一由 (1) 知，双曲线E 的方程为xy2 －2＝ 1.设直线l 与 x 轴订交于点 C.a4a当 l ⊥ x 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则 |OC |＝ a ， |AB|＝ 4a.又因为△ OAB 的面积为此时双曲线 E 的方程为2y＝1.168，所以 112|OC | |·AB|＝ 8，所以 2a ·4a ＝ 8 ，解得 a＝ 2，222 x － y x ＝ 1.若存在知足条件的双曲线E，则 E 的方程只好为－416422x y以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E ：＝1也知足条件．4 16－方达教育指导教学设计第10 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人m 设直线 l 的方程为y ＝ kx ＋ m ，依题意，得k>2 或 k<－ 2，则 C( －， 0)．k记 A(x 1， y 1 )， B( x 2， y 2y ＝ kx ＋ m ，得 y 1 ＝ 2m2m)．由，同理，得y 2＝y ＝ 2x ，.2－ k2 ＋ k11 m2m由 S2m2| ·|－|＝ 8，△OAB ＝ 2k 2－ k|OC||y ·－ y |，得|－2＋ k122＝ 4|4 － k 2|＝ 4( k 2－y ＝ kx ＋ m ，即 m222)x 2－ 2kmx － m 2－ 16 ＝ 0.4) ．由xy得 (4－ k2＝ 4|4 － k 2|＝4( k 2－ 4) ．由－＝ 1，4162<0 ，所以＝4k 2m 2＋ 4(4 －k 2 )(m 2＋ 16)＝－ 16(4k 2－ m 2 － 16)．因为 4 － k又因为 m2＝ 4( k 2－ 4) ，所以＝0 ，即 l 与双曲线E 有且只有一个公共点．22所以，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－＝ 1. 224 16方法二由 (1)知，双曲线E 的方程为xyx ＝ my ＋ t ， A( x 1 ， y 1 ) ， B(x 2 ， y 2 ) ．a 2－ 2＝ 1. 设直线 l 的方程为x ＝ my ＋ t ，4a－ 2t 依题意得－ 1 1 2t2<m< 2.由 y ＝ 2x ，得 y 1＝，同理，得 y 2 ＝ .设直线l 与 x 轴订交于点C ，则 C(t,0) ．1－ 2m 1＋ 2m由 S 1 1 2t 2t ＝ 8. 所以 t2＝ 4|1－ 4m 2|＝＋ △OAB ＝ 1－ y 2 |＝ 8，得2 |t| ·1－ 2m 1＋ 2m 4(1 － 4m 2) ．22|OC| |·y24|1－ 4m |＝ 4(1 －＝4m 2)．x ＝ my ＋ t ，22222 2由 xy得 (4m － 1)y ＋ 8mty ＋ 4(t － a2－2＝ 1，)＝0.a4a22 22 2 2因为 4m － 1<0 ，直线 l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当＝64m－ 16(4m － 1)(t － at)＝ 0，2a 2＋ t 2 － a 2＝ 0，即 4m 2 a 2＋ 4(1 － 4m 2) － a 2＝ 0，即 (1 － 4m 2)( a 2－ 4) ＝ 0，所以 a 2＝ 4 ，即 4m2 2所以，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－＝ 1.4 16方法三当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝ kx ＋ m ， A( x 1 ， y 1 )， B(x 2， y 2)．y ＝ kx ＋ m ，2)x 2－ 2kmx － m 2＝ 0.依题意，得k>2 或 k< － 2.由2－ y 2＝ 0，4x 得 (4 － k212<0 ， >0 ，所以 x 1 x 2－ m＝2.又因为 △ OAB的面积为8，所以 2因为 4 － k4－ k|OA | |OB|· sin · ∠ AOB ＝ 8，又易知 sin ∠ AOB ＝4222－ m55 x2＝ 4，得 m 2 ＝ 4(k2－ 4) ．，所以4－ ky＝ kx＋ m，22由 (1) 得双曲线 E 的方程为x y222222＝ 0.x y得 (4 － k)x － 2 kmx － m － 4a2 －2＝1，由 2 －a4a2＝1，a4a2 <0 ，直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当＝4k2m2＋4(4－k2)( m2＋4a2)＝0，因为 4 － k方达教育指导教学设计第11 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人22即 (k＝ 1.2－ 4)(a 2－ 4) ＝ 0，所以a 2＝ 4，所以双曲线E 的方程为 x－y416当 l ⊥ x 轴时，由 △ OAB的面积等于8 可得 l ： x ＝ 2 ，22又易知 l ： x ＝ 2 与双曲线E ：xy －＝ 1 有且只有一个公共点．41622综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且 E 的方程为xy－＝ 1.416模板7 失散型随机变量的均值与方差甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，依据规则，甲先从6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，而后由乙回答节余 3 题，每人答对此中2 题就停止答题，即闯关成功．已知在6 道备选题中，甲能答对此中的4道题，乙答对每道题的概率都是2 5.(1) 求甲、乙起码有一人闯关成功的概率；(2) 设甲答对题目的个数为 ξ，求 ξ 的散布列及均值．审题路线图(1) 标志事件→ 对事件分解→ 计算概率(2) 确立 ξ 取值 → 计算概率 → 得散布列 → 求数学希望规范解答示例构建答题模板1 2解(1) 设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，则 P( A )＝C4·C23C6＝41第一步定元：依据已知条件＝，确立失散型随机变量的取值．20572222 第二步定性：明确每个随机2＝ 19，3＋C 1＋＝ 27P( B)＝(1－ )(1－ )3·33 327变量取值所对应的事件．则甲、乙起码有一人闯关成功的概率是1 7128第三步定型：确立事件的概5＝率模型和计算公式．1－P( A ·B )＝1－P( A ) ·P( B )＝ 1－.× 27135(2) 由题意知ξ 的可能取值是1,2.第四步计算：计算随机变量1 22 1 34取每一个值的概率．C 4C 2 1C 4C 2＋ C 45P( ξ＝1) ＝， P( ξ＝2) ＝，则 ξ 的散布列为＝＝33C5C66ξ12第五步列表：列出散布列．P 1455第六步求解：依据均值、方差公式求解其值.∴ E(ξ)＝ 1×14955 3.＋ 2 ×＝方达教育指导教学设计第12 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人已知一个袋中装有3 个白球和 3 个红球，这些球除颜色外完整同样．(1) 每次从袋中取一个球，拿出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数 ξ的散布列和数学希望E( )ξ；(2) 每次从袋中取一个球，拿出后放回接着再取一个球，这样取3 次，求拿出红球次数η的数学希望E( η)．审题路线图到红球为止取 →取球次数的所有可能 1,2,3,4 →求对应次数的概率→列散布列 →求 E( )ξ．拿出后放回，这是条件→每次取到红球的概率同样→三次独立重复试验→利用公式 .规范解答示例11 解 (1) ξ的可能取值为1,2,3,4.P( ξ＝1) ＝ 3 ＝ 1， P(ξ＝2) ＝ A3 A 32构建答题模板第一步：确立失散型随3×3＝ 6×5机变量的所有可能值．6 2A6＝3第二步：求出每个可能，10值的概率．21A 3A33P( ξ＝3) ＝3×2×3第三步：画出随机变量3＝＝，A6×5×4206311的散布列．A 3A 3P( ξ＝4) ＝ 3×2×3.第四步：求希望和方差．4＝＝20A6×5×4×36故 ξ的散布列为1234 第五步：反省回首．查 ξ看要点点、易错点及解 1331P 210 20 20题规范．如此题可要点13 3 1 7查察随机变量的所有可数学希望E( )ξ＝ 1 ×＋ 2×＋3×＋4×＝ 6.2102020能值能否正确；依据分(2) 拿出后放回，取球3次，可看作 3 次独立重复试验，布列性质检查概率能否113所以η～B(3 ，2) ，所以E( η)＝ 3 × 4.正确 .2＝模板 8函数的单一性、极值、最值题问2＋ 1已知函数 f (x) ＝ 2ax － a2＋ 1(x∈R )．此中a∈R .x(1)当 a＝ 1 时，求曲线 y＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线方程；(2) 当 a≠0 时，求函数f(x) 的单一区间与极值．审题路线图方达教育指导教学设计第13页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人规范解答示例构建答题模板方达教育指导教学设计第14 页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人解 (1)当(2)f ′(x)＝＝－25y 320.－＝2＋1 － 2x ·2x2－ 2x2a ＝1 时，f(x) ＝2＋ 1 2＝2，f ′(2)2x 4 2 x2＋ 1 x2＋ 1，f(2) ＝，又 f ′(x) ＝x 5x646.所以，曲线y ＝ f( x)在点 (2 ， f(2)) 处的切线方程为y － 5(x － 2) ，即 6x ＋25＝－ 25f (x) 的导数f ′(x) ．注2 ax议论．①当 a＞ 0 时，令f′(x)＝ 0，获得 x1＝－1意 f( x)的定义域 .a第二步解方程：解， x2＝ a.当 x 变化时， f′(x) ， f (x) 的变化状况以下表：111f ′(x) ＝ 0，得方程的x( －∞，－根 .a a a)－， a)a(a ，＋∞)( －第三步列表格：利f′(x)－0＋0－用 f′(x)＝ 0 的根将f(x)极小值极大值所以 f(x) 在区间－∞，－1，(a ，＋∞)内为减函数，在区间－1 f (x)定义域分红若干a， a 内为增函数．函数 f(x) 在 x1＝－111a个小开区间，并列出2.函数 f(x) 在 x2＝ a 处获得极大表格 .a a a＝－ a处获得极小值 f －，且 f－第四步得结论：从值 f(a) ，且 f(a) ＝ 1.②当 a＜ 0 时，令f′(x) ＝ 0，获得 x1＝ a， x2＝－1表格察看f(x) 的单一a性、极值、最值等.，当 x 变化时， f′(x) ， f (x) 的变化状况以下表：第五步再回首：对111x( －∞， a)a(a ，－a)－a(－a，＋∞)需议论根的大小问题要特别注意，此外f ′(x)＋0－0＋察看f(x) 的中断点及f(x)极大值极小值1在区间a，－1内为减函数．函步骤规范性 .所以 f(x) 在区间 (－∞， a)，－，＋∞内为增函数，aa11数 f(x) 在 x1＝ a处获得极大值f(a) ，且 f(a) ＝ 1.函数f( x)在 x2＝－a a且 f －1处获得极小值f(－)，2.a＝－ a2x－be－ 2x－ cx( a，b，c∈R) 的导函数f′(x) 为偶函数，且曲线y＝ f (x) (2014重·庆)已知函数f(x) ＝ ae 在点 (0 ， f(0)) 处的切线的斜为率4 － c.方达教育指导教学设计第15页（共16页）方达教育个性化一对一指导学海方舟，教以达人(1) 确立 a ，b 的值；(2) 若 c ＝ 3 ，判断 f(x) 的单一性；(3) 若 f(x) 有极值，求c 的取值范围．解 (1) 对 f(x) 求导，得 f ′(x) ＝ 2ae 2x＋ 2b e －2x－ c ，由 f ′(x)为偶函数，知f ′(－ x)＝ f ′(x) 恒成立，即 2(a － b) ·(e) ＝ 0 恒成立，所以a ＝ b.2x －e－2x又 f ′(0) ＝ 2a ＋ 2b － c ＝ 4－ c ，故 a ＝ 1， b ＝ 1.2x － e － 2x － 3x ，那么(2) 当 c ＝ 3 时， f( x)＝e2x＋ 2e－2x－ 3＝ 1>0 ，f ′(x) ＝ 2e－2x － 3≥ 2 2e 2x ·2e故 f(x) 在 R 上为增函数．2x＋ 2e － 2x － c ，而 2e 2x ＋ 2e(3) 由 (1) 知 f ′(x) ＝ 2e2e 2x ·2e －2x＝ 4，当 x ＝ 0 时等号成立．－2x ≥ 2 下边分三种状况进行讨．论当 c<4 时，对随意 x ∈R ， f ′(x)＝ 2e2x＋ 2e －2x－ c>0 ，此时f(x) 无极值；当 c ＝ 4 时，对随意 x ≠0， f ′(x) ＝ 2e2x＋ 2e －2x－ 4>0 ，此时f(x) 无极值；当 c>4 时，令e－ c ＝ 0 有两根 t 1,2 ＝2－ 162x＝ t ，注意到方程2t ＋ 2c ± c2x＝ t ，注意到方程2t ＋ 2>0 ，即 f ′(0) ＝ 0 有两个根t4x 1＝11， x 2 ＝ ln t 2 .当 x 1<x<x 2 时， f ′(x)<0 ；ln t 122又当 x>x 2 时， f ′(x)>0 ，进而 f( x)在 x ＝ x 2 处获得极小值．综上，若 f(x) 有极值，则c 的取值范围为 (4 ，＋ ∞)．方达教育指导教学设计第16页（共16页）。

2015届高考数学一轮复习测评训练题(3)含答案(文,北师大版)

45分钟滚动基础训练卷(三)(考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中既是偶函数又在区间(0，1)上单调递增的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝|sin x|C ．y ＝2－xD ．y ＝－x 22．[2013·福建八市联考] 若a ＝30.2，b ＝log 0.32，c ＝0.23，则a ，b ，c 的大小顺序为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c3．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表所示，则不等式f (|x|)≤2的解集是( )A ．{x |B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0<x ≤2}4．[2013·山东潍坊二模] 函数y ＝（12）|x ＋1|的大致图像为( )图G3-15．[2013·江西重点中学联考] 已知f(x)为定义在R 上的偶函数，且对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)6．函数y ＝log 0.5（x ＋1x －1＋1）(x >1)的值域是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)7．[2013·山东菏泽二模] 已知函数①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的图像(部分)如图G32所示，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号排列正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①8．[2013·河南洛阳模拟] 定义在R 上的单调递减函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，且f (－1)＝2.若存在x ∈[－1，1]，使不等式f (x )≤x ＋a 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[－3，＋∞)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·湖南怀化三模] 计算log 29×log 34＝________．10．[2013·广东珠海二模] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________．11．[2013·浙江绍兴一中模拟] 定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]长度的最小值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．[2013·宁夏银川一中月考] 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b 为常数)，且方程f (x )＝32x 有两个实根为x 1＝－1，x 2＝2.(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心．13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．14．若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0，且a≠1)．(1)求f(log2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(log2x)>f(1)，且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(三)1．B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D9．4 10.14 11.3412．(1)f (x )＝x ＋1x －1(2)略13．(1)f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)(2)a ＝1214．(1)x ＝2时，f (log 2x )有最小值74 (2)0<x <1。

2015年高考数学模拟试题及答案(理科)

理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 2.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（A（B ）（C（D ） 833.下列命题错误的是（A ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” （B ）若命题2:,10p x R x x ∃∈++=，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≠ （C ）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题（D ） “2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件4.如图，该程序运行后输出的结果为（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）165.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）46.已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若12852=++a a a ，则9S 等于（A ）18 （B ）36 （C ）72 （D ）无法确定俯视图7. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在（A ）ABC ∆内部（B ）AC 边所在直线上（C ）AB 边所在直线上（D ）BC 边所在直线上8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（A ）（B ）（C ）2 （D 9. 定义行列式运算12212121b a b a b b a a -=，将函数xx x f cos 1sin 3)(=的图象向左平移)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为（A ）6π （B ）3π（C ）65π （D ）32π10. 设方程|)lg(|3x x-=的两个根为21,x x ，则（A ） 021<x x （B ）021=x x （C ） 121>x x （D ） 1021<<x x 11. 王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.（A ）300秒（B ）400秒（C ）500秒（D ）600秒12. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（A ）40 （B ）48 （C ）60 （D ）68第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 . 14.若等比数列}{n a 的首项为32，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .15. 已知)(x f 为奇函数，且当x >0时, 0)('>x f ，0)3(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为____________.16. 数列，，，，，，，，，，1423324113223112211，则98是该数列的第项. 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值.18. （本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.19. （本小题满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F AF 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.22. （本小题满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）附：答案及评分标准：一．选择题： BCCCB BBACD BB1.解析：B. 21(1)1111(1)(1)i i z i i i i -+--=-=-=-++-，故选B.2. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为22⨯=，其体积12233V =⨯⨯=. 3. 解析：C .由“且”命题的真假性知，p 、q 中至少有一个为假命题，则p q ∧为假，故选项C 错误. 4. 解析：D.每次循环对应的b a ,的值依次为11,1,2,112a b b a ====+=；22,24,213a b a ====+=；43,4,216,314a b b a =====+=. 5. 解析：B.根据面面平行的判定可知①是假命题；②是假命题； ③是真命题；④是真命题. 6. 解析：B. 2585312a a a a ++==，∴54a =,19592993622a a aS +=⨯=⨯=. 7. 解析：B. CB PA PB CB BP PA λλ=+⇒+=CP PA λ⇒=,∴C 、P 、A 三点共线.8. 解析：A. 抛物线212y x =-的准线方程为3x =，双曲线22193x y -=的渐近线为y x =，如图，它们相交得OAB ∆，则(3,A B ,∴132OAB S ∆=⨯=.9. 解析：C. 1sin ()sin sin )2cos xf x x x x x x==-=-2cos()6x π=+.函数()f x 向左平移65π后为55()2cos()2cos()2cos 666f x x x x ππππ+=++=+=-，所以5()2c o s 6f x x π+=-为偶函数. 10. 解析：D. 如图，易知231x x =，3120x x x <<<，∴1201x x <<.11. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥. 12. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有2344C C +=10种；若有一个小孩，则有11232444()C C C C ++=28种；若有两个小孩，则有1244C C +=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种.二．填空题13.6π；14.3；15. {|033x 0}x x <<-<<或；16.128. 13. 解析：6π.易知，在正方体内到点A 的距离小于a 的点分布在以A 为球心，以a 为半径的球的18部分内.故所求概率即为体积之比3341386a P a ππ⋅==. 14. 解析：3. 42224 14(12)()44(11)181a x dx x x =+=+=+-+=⎰；123a =，341a a q =⋅得公比3q =.15. 解析：{|033x 0}x x <<-<<或.根据题意，函数()f x 的图象如图，可得0)(<x xf 的解集为{|033x 0}x x <<-<<或.16. 解析：128.分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，…，为16的有15项.而98是分子、分母之和为17的第8项.故共有1511581282+⨯+=项. 三．解答题17. （本题小满分12分）已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2cos),cos(1B A B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos ,85B A n ,且89=⋅n m .（Ⅰ）求B A tan tan ⋅的值；（Ⅱ）求222sin cb a Cab -+的最大值. 解：（Ⅰ）由(1cos(),cos )2A B m A B -=-+,5(,cos )82A B n -=，且98m n ⋅=，即259[1cos()]cos828A B A B --++=.---------------------------------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,-------------------------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.--------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-------------------------------------------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-9384≥⨯=,即tan()A B +有最小值34.-----------------------------------------------------------------------------------------10分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-（当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号），所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-.-------------------------------------------------------------------------------12分18. （本题小满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A -DC -B （如图（2））. 在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E -DF -C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.解法一：（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）CD BD CD AD ⊥⊥,，∴ADB ∠是二面角A -CD -B 的平面角.-------------------------------------------------------------------------------------4分∴BD AD ⊥，∴⊥AD 平面BCD .取CD 的中点M ，则EM //AD ，∴EM ⊥平面BCD .过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，MNE ∠是二面角E -DF -C 的平面角.----------------------------------------------------6分在EMN Rt ∆中，EM =1，MN =23，∴721cos =∠MNE .----------------------------------8分（Ⅲ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD .-----------------11分 ∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33tan =∠DAQ .在等边ADE ∆中，,30 =∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,.------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(002(),2,0,0(F E C B A ），，，------------------------------------------4分平面CDF 的法向量)2,0,0(=DA .设平面EDF 的法向量为n =（x ,y ,z ）.则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE ，即⎩⎨⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=------------------------------------------6分 721||||cos =⋅>=⋅<n DA .二面角E -DF -C 的平面角的余弦值为721.------------------------------------8分（Ⅲ）在平面坐标系x D y 中，直线BC 的方程为323+-=x y ，设)0,332,(x x P -，则)2,332,(--=x x AP .--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分∵x DE AP 31340=⇒=⇒=⋅⇒⊥. ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .---------------------------------------------------------------12分.19. （本题小满分12分）张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为21. （Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.解法一：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为161)21(4=；----------------------------------------------------1分答5道题进入下一轮的概率为812121)21(334=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------------2分答6道题进入下一轮的概率为32521)21()21(2335=⋅⋅C ；--------------------------------------------------------------3分答7道题进入下一轮的概率为32521)21()21(3336=⋅⋅C ；-------------------------------------------------------------5分张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=.---------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7.当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.81)21()21()4(44=+==ξP ；类似有4121)21()21(21)21()21()5(334334=⋅⋅+⋅⋅==C C P ξ；)6(=ξP =+⋅⋅21)21()21(2335C 16521)21()21(2335=⋅⋅C ； )7(=ξP =+⋅⋅21)21()21(3336C 16521)21()21(3336=⋅⋅C .----------------------------------------------10分于是ξ的分布列为161671664584=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ---------------------------------------------------------------------12分解法二：（Ⅱ）设张明进入下一轮的概率为1P ，被淘汰的概率为2P ，则121=+P P ，又因为张明答对每一道题的概率都为21，答错的概率也都为21.所以张明答对4题进入下一轮与答错4题被淘汰的概率是相等的.即21P P =. 所以张明进入下一轮的概率为21.--------------------------------------------------------------------------------------6分20.（本小题满分12分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值；（Ⅱ）已知))((21*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------5分 1111122n n n n a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =. ---------------------------------------------------------------------------------------------7分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n n n b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------8分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅------------①2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅---------------------②① - ② 得213222222(21)2n n n S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+233222(21)2nnn n =++++-+⋅+14(12)3(21)212n n n n --=+-+⋅+-=(21)21nn n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------12分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n nn ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t ta a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------7分21. （本题小满分12分）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有13||||21：：=. （Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设F AF B F 222111λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b 22||=，13||||21：：=AF AF ，∴ab 213||=∴a ab 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e .-----------------------------------------3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=，代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=，--------------------------------------------------------------5分F AF 222λ=，bx b y y 020223-=-=λ.--------------------------------------------------7分同理bx b 0123+=λ，∴621=+λλ------------------------------------------------------9分 ②当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ；当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.综上可知21λλ+是定值 6.---------------------------------------------------------------12分22. （本题小满分14分）已知0>a ，）1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线.（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值；（Ⅲ）证明对任意的n a =)(*N n ∈，函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 单调递减区间的长度的取值范围.（区间],[21x x 的长度=12x x -）解：（Ⅰ）1)0(),1ln(12)(2=+++-=f x x ax x f ,11)22(21122)(2'+--+=++-=x x a ax x ax x f , 1)0('=f ，切点)1,0(P ，l 斜率为1-.∴切线l 的方程：1+-=x y ------------------------------------------------------３分（Ⅱ）切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点等价于方程1)1ln(122+-=+++-x x x ax 有且只有一个实数解.令)1ln()(2++-=x x ax x h ，则0)(=x h 有且只有一个实数解.---------------------------4分 ∵0)0(=h ，∴0)(=x h 有一解0=x .------------------------------------------------------5分1)]121([21)12(21112)(2'+--=+-+=++-=x a x ax x xa ax x ax x h --------------------------------６分 ①)(),1(01)(,212'x h x x x x h a ->≥+==在),1(+∞-上单调递增， ∴0=x 是方程0)(=x h 的唯一解；------------------------------------------------------7分 ②0)(,210'=<<x h a ，0121,021>-==a x x∴0)11ln(11)1(,0)0()121(2>++-⨯==<-a a aa a h h a h ， ∴方程0)(=x h 在),121(+∞-a上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一；--------------------8分③当0)(,21'=>x h a ，)0,1(121,021-∈-==a x x∴0)0()121(=>-h ah ，而当1->x 且x 趋向-1时，)1ln(,12++<-x a x ax 趋向∞-，)(x h 趋向∞-. ∴方程0)(=x h 在)1211(--a，上还有一解.故方程0)(=x h 的解不唯一.综上，当l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点时，21=a .-------------------------10分（Ⅲ）11)22(2)(2'+--+=x x a ax x f ；∵,1->x ∴0)('<x f 等价于01)22(2)(2<--+=x a ax x k .∵0)1(48)22(22>+=+-=∆a a a ，对称轴12121422->+-=--=aa a x ，011202(2)1(>=---=-a a k ，∴0)(=x k 有解21,x x ，其中211x x <<-.∴当),(21x x x ∈时，0)('<x f .所以)(x f y =的减区间为],[21x x22122121211214)222(4)(aa a a x x x x x x +=⨯+--=-+=---------------------------12分当)(*N n n a ∈=时，区间长度21211n x x +=-21112=+≤ ∴减区间长度12x x -的取值范围为)2,1(--------------------------------------------------14分。

2015高考数学一轮方法测评练：必考解答题——模板成形练

必考解答题——模板成形练(一) (对应学生用书P409)三角函数、平面向量及解三角形(建议用时：60分钟)1．在△ABC 中，cos A ＝63，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边． (1)求sin 2A ；(2)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，c ＝22，求△ABC 的面积．解 (1)因为cos A ＝63，A ∈(0，π)，∴sin A ＝33. ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝223.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B ＝－223，得cos B ＝223，由于B ∈(0，π)，∴sin B ＝13.则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63. 由正弦定理，得a ＝c sin Asin C ＝2， ∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝223.2．设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C 2，－sin C 2，m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的大小；(2)已知c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求a ＋b 的值．解 (1)由条件得m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C ，又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12，∴cos C ＝12，0＜C ＜π，因此C ＝π3. (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，得出(a ＋b )2＝1214，∴a ＋b ＝112.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ＝1－8b 2a 2. (1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)若tan B ＝815，求tan A 及tan C 的值．解 (1)∵cos 2C ＝1－8b 2a 2，∴sin 2C ＝4b 2a 2. ∵C 为三角形内角，∴sin C ＞0，∴sin C ＝2ba . ∵a sin A ＝b sin B ，∴b a ＝sin B sin A ∴2sin B ＝sin A sin C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C . ∴2sin A cos C ＋2cos A sin C ＝sin A sin C . ∵sin A ·sin C ≠0，∴1tan A ＋1tan C ＝12. (2)∵1tan A ＋1tan C ＝12， ∴tan A ＝2tan Ctan C －2.∵A ＋B ＋C ＝π， ∴tan B ＝－tan(A ＋C ) ＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C＝tan 2C2tan 2C －tan C ＋2. ∴815＝tan 2C 2tan 2C －tan C ＋2整理得tan 2C －8tan C ＋16＝0 解得，tan C ＝4，tan A ＝4.4．已知向量m ＝(3sin x －cos x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，12，若f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝32(C 为锐角)，2sin A ＝sin B ，求C ，a ，b 的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋π12＝sin C ＝32，∵0＜C ＜π2，∴C ＝π3， ∵2sin A ＝sin B ，由正弦定理得b ＝2a .①∵c ＝3，由余弦定理，得9＝a 2＋b 2－2ab cos π3，② 解①②组成的方程组，得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2 3.∴C ＝π3，a ＝3，b ＝2 3.必考解答题——模板成形练(二) (对应学生用书P411)立体几何(建议用时：60分钟)1．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB ＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明(1)在四边形ABCD中，因为BA＝BC，DA＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝3，DA＝DC＝1，所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥DC，因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，BC⊥平面P AB，∠APB＝90°，PB＝BC，N为PC的中点．(1)若M为AB的中点，求证：MN∥平面ADP；(2)求证：平面BDN⊥平面ACP.证明(1)设AC∩BD＝G，连接NG，MG，易知G是AC，BD的中点，又N 是PC 的中点，M 为AB 的中点， ∴NG ∥P A ，MG ∥AD ，∴平面GMN ∥平面APD .又MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面APD . (2)∵BC ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，∴BC ⊥P A ， ∵∠APB ＝90°，∴BP ⊥P A .∵BC ∩BP ＝B ，∴P A ⊥平面PBC ，∴BN ⊥P A . ∵PB ＝BC ，点N 为PC 的中点，∴BN ⊥PC . ∵PC ∩P A ＝P ，∴BN ⊥平面ACP .又BN ⊂平面BDN ，∴平面BDN ⊥平面ACP . 3.如图，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，E ，F 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：EF ⊥CD ；证明 (1)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .因为FG 为△PCD 的中位线，所以FG ∥CD ，且FG ＝12CD ，又AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以AE ∥FG ，且AE ＝FG ，故四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG . 又AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A⊥CD.在矩形ABCD中，AD⊥CD，又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.因为AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG.又EF∥AG，所以EF⊥CD.4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，连接A′C，A′B，F为A′C 的中点，A′C＝4.(1)求证：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求证：FB∥平面A′DE.证明(1)由题意得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成，∴△A′DE≌△ADE.∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝60°.又∵AD＝AE＝2，∴△A′DE和△ADE都是等边三角形．连接A′M，MC.∵M是DE的中点，∴A′M⊥DE，A′M＝ 3.在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DM·cos 60°＝42＋12－2×4×1·cos 60°，∴MC＝13.在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(3)2＋(13)2＝42＝A′C2.∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC.又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M，∴A′M⊥平面BCD.又∵A′M⊂平面A′DE，∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N，连接FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.必考解答题——模板成形练(三)(对应学生用书P413)直线与圆及圆锥曲线(建议用时：60分钟)1．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C 交于M、N两点．(1)求k的取值范围：(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2.请将n表示为m的函数．解(1)将y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4，得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0(*)，由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)×12＞0得k2＞3.所以k的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x1，kx1)，(x2，kx2)，则|OM|2＝(1＋k2)x21，|ON|2＝(1＋k2)x22，又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2，由2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|2得，2(1＋k2)m2＝1(1＋k2)x21＋1(1＋k2)x22，所以2m2＝1x21＋1x22＝(x1＋x2)2－2x1x2x21x22由(*)知x1＋x2＝8k1＋k2，x1x2＝121＋k2，所以m2＝365k2－3，因为点Q在直线l上，所以k＝nm，代入m2＝365k2－3可得5n2－3m2＝36，由m2＝365k2－3及k2＞3得0＜m2＜3，即m∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805，综上，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3)．2．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．解 (1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4＞23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件，故可设AB 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以y 1＝－m ＋23＋m 24＋m 2，y 2＝－m －23＋m 24＋m 2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1. 故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．3．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴y 1＝8＋p ＋p 2＋16p 4，y 2＝8＋p －p 2＋6p 4由已知AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，∴可得p 2＋16p －36＝0∵p ＞0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， ∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ＞0得k ＜－4或k ＞0，x ＝2k ±2k 2＋4k .∴x B ＋x C ＝2k∴x 0＝x B ＋x C2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . BC 中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴b ＝2(k ＋1)2，∴b ＞2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22.以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于A ，M ，N (A 点在椭圆右顶点的右侧)，且∠NF 2F 1＝∠MF 2A .求证直线l 过定点(2,0)，并求出斜率k 的取值范围．解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又∵b ＝21＋1＝1，∴a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 由Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＞0，得m 2＜2k 2＋1， ∵x 1＝－2km ＋4k 2－2m 2＋12k 2＋1，x 2－2km －4k 2－2m 2＋22k 2＋1则有x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.∵∠NF 2F 1＝∠MF 2A ，且∠MF 2A ≠90°，kMF 2＋kNF 2＝0. 又F 2(1,0)，则y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝0，即kx 1＋m x 1－1＋kx 2＋m x 2－1＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0.将x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1代入上式得m ＝－2k ，∴直线l 的方程为y ＝kx －2k ，即直线过定点(2,0)．将m ＝－2k 代入m 2＜2k 2＋1，得4k 2＜2k 2＋1，即k 2＜12，又∵k ≠0，∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，22.必考解答题——模板成形练(四) (对应学生用书P415)实际应用题(建议用时：60分钟)1．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 (1)设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x2(0＜x ＜a )，箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18x 3(0＜x ＜a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a 时，V ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )＜0，所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值．这个极大值就是函数V (x )的最大值：V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154a 3. 所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳地，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43.(1)当t ＝23时，求直路l 所在的直线方程；(2)当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解 (1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，149，l ：12x ＋9y －22＝0(2)M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t ) 即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2·2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，t ＝1时取到等号，S max ＝2.3．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb36－x ，其中k 为比例系数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb36－x (0＜x ＜36)．(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb36－x，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x 2＋b (36－x )2，令y ′＝0，得x ＝361＋b ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增；∴当x ＝361＋b时，函数取得最小值．又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ∥AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值； (2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．解 (1)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米． ∴cos B ＝BC AB ＝12，可得B ＝60° ∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ＝60°设CECB ＝λ(0＜λ＜1)，则CE ＝λCB ＝100λ米， Rt △CEF 中，EF ＝2CE ＝200λ米， C 到FE 的距离d ＝32CE ＝503λ米， ∵C 到AB 的距离为32BC ＝503米， ∴点D 到EF 的距离为h ＝503－503λ＝503(1－λ)米可得S △DEF ＝12EF ·h ＝5 0003λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤14[λ＋(1－λ)]2＝14，当且仅当λ＝12时等号成立，∴当λ＝12时，即E 为AB 中点时，S △DEF 的最大值为 1 2503米2(2)设正△DEF 的边长为a ，∠CEF ＝α，则CF ＝a ·sin α，AF ＝3－a ·sin α. 设∠EDB ＝∠1，可得∠1＝180°－∠B －∠DEB ＝120°－∠DEB ，α＝180°－60°－∠DEB ＝120°－∠DEB∴∠ADF ＝180°－60°－∠1＝120°－α 在△ADF 中，a sin 30°＝3－a sin αsin ∠ADF即a12＝3－a sin αsin (120°－α)，化简得a [2sin(120°－α)＋sin α]＝ 3 ∴a ＝32sin α－3cos α＝37sin (α－φ)≥37＝217(其中φ是满足tan φ＝32的锐角)．∴△DEF 边长最小值为217米．必考解答题——模板成形练(五) (对应学生用书P417)数列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n 1T k＜2.解 (1)当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎨⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)，∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列． ∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n2，∑k ＝1n1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)． (1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1. 所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3.所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1. 由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2. ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1， ∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1， ∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2. 又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2 ＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，c n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{c n }的通项公式．(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)c n ＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n ＝1－a 2n ＋11－a 2n ＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n}是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)所以c n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *) (2)解假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ，即2j －i ＋1－2k ＋j －i ＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在． (3)∵(n －2)c n －(n －1)c n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43，∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)c n }中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)c n ＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M ＝1符合题意．必考解答题——模板成形练(六) (对应学生用书P419)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3.当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a3. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a3＜x ＜0. 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，函数f (x )在x ＝2a 3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝4a327＋b ，由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，4a 327＋b ＞0，解得－4a 327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a 327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4，所以实数b 的取值范围是(－4,0)． 2．已知函数f (x )＝ax ＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x 2＋1x ， f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2. ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)． (2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立，即ax ＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立．即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立，设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]． g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值． ∴g (x )≤g (1)＝1－ln 1＝1，∴a 的取值范围是(1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx －3，y ＝f ′(x )为f (x )的导函数，满足f ′(2－x )＝f ′(x )；f ′(x )＝0有解，但解却不是函数f (x )的极值点． (1)求f (x )；(2)设g (x )＝x f ′(x )，m ＞0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值；(3)设h (x )＝ln f ′(x )，若对于一切x ∈[0,1]，不等式h (x ＋1－t )＜h (2x ＋2)恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ，∵f ′(2－x )＝f ′(x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，b ＝－1. 由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＋c ＝0中Δ＝4－4c ＝0，故c ＝1.所以f (x )＝13x 3－x 2＋x －3.(2)∵f ′(x )＝x 2－2bx ＋1 ＝(x －1)2， ∴g (x )＝x |x －1|＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x ＜1.当0＜m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2 当12＜m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，当m ＞1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ，综上g (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧m －m 2 (0＜m ≤12)14 (12＜m ≤1＋22)m 2－m (m ＞1＋22)(3)h (x )＝2ln|x －1|，h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|当x ∈[0,1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0＜|x －t |＜2x ＋1恒成立，解得－x －1＜t ＜3x ＋1，且x ≠t ，由x ∈[0,1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1,4]，所以－1＜t ＜1，又x ≠t ，∴t ∈[0,1]，∴所求的实数t 的取值范围是(－1,0)． 4．已知函数f (x )＝k [(log a x )2＋(log x a )2]－(log a x )3－(log x a )3， g (x )＝(3－k 2)(log a x ＋log x a )， (其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；(2)当∈(1，＋∞)时，若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的范围．解 (1)∵(log a x )2＋(log x a )2＝(log a x ＋log x a )2－2 ＝t 2－2，(log a x )3＋(log x a )3＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2－3]＝t 3－3t ， ∴h (t )＝－t 3＋kt 2＋3t －2k ，(t ＞2)． ∴h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解，欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞94.综上：当k ＞94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤94时h (t )在定义域内无极值．(2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3＋kt 2＋k 2t －2k ，(t ≥2)， ∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2＝0得t 1＝k ，t 2＝－k3.当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2；当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得17－12＜k ≤2；当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立．当－6≤k ＜0时，m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜－17－12；当k ＜－6时，m (t )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＞0得k ＜－6.综上得：k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－17－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17－12，＋∞. 必考附加题——模板成形练(一)1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝6，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE ＝13BB 1，C 1F ＝13CC 1. (1)求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值．解 (1)建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,6)，F (0,2,4)，从而AE →＝(2,0,2)，A 1F →＝(0,2，－2)．记AE →与A 1F →的夹角为θ，则有cos θ＝AE →·A 1F →|AE →|·|A 1F →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AE 与A 1F 所成角的范围为(0，π)，可得异面直线AE 与A 1F 所成的角为60°.(2)记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ，则由题设可令n ＝(1，y ，z )，且有平面ABC 的法向量为m ＝AA 1→＝(0,0,6)，AF →＝(0,2,4)，AE→＝(2,0,2)．由n ·AF →＝0，得2y ＋4z ＝0；由n ·AE →＝0，得2＋2z ＝0. 所以z ＝－1，y ＝2，即n ＝(1,2，－1)．记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，有cos β＝n ·m |n |·|m |＝－66·6＝－66.由图形可知β为锐角，所以cos β＝66.2．已知数列{b n }满足b 1＝12，1b n＋b n －1＝2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求b 2，b 3，猜想数列{b n }的通项公式，并用数学归纳法证明；(2)设x ＝b n n ，y ＝b n ＋1n ，比较x x 与y y的大小．解 (1)当n ＝2时，1b 2＋12＝2，解得b 2＝23；当n ＝3时，1b 3＋23＝2，解得b 3＝34.猜想b n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，b 1＝12.②假设当n ＝k (k ∈N *)时，即b k ＝kk ＋1，则当n ＝k ＋1时，1b k ＋1＋b k ＝2，即1b k ＋1＋kk ＋1＝2， ∴1b k ＋1＝2－kk ＋1＝k ＋2k ＋1，b k ＋1＝k ＋1k ＋2也成立．由①②得b n ＝n n ＋1.(2)x ＝b n n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1n， x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1ny ＝b n ＋1n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1， y y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1(n ＋1)n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n∴x x ＝y y .3．三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，A 1A ＝3.D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值．解 (1)由题意，A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3).A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)．设平面A 1C 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0. ∴x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵DB 1→＝(1，－2,3)， ∴sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3×1＋0×(－2)＋1×3|10×14＝33535. (2)设平面A 1B 1D 的法向量为m ＝(a ，b ，c )． A 1B 1→＝(2,0,0)，∵m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0. ∴a ＝0,2b ＝3c .令c ＝2，得b ＝3.m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， ∴|cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n | ＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565， ∴二面角B 1－A 1D －C 1的大小的正弦值为345565.4．已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3，…，n }的所有3个元素的子集记为A 1，A 2，…，A C (C ∈N *)．(1)当n ＝5时，求集合A 1，A 2，…，A C 中所有元素之和；(2)设m i 为A i 中的最小元素，设P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C ，试求P n (用n 表示)．解 (1)当n ＝5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C 24＝6个，所以含有数字1的集合有6个．同时含2,3,4,5的子集也各有6个．于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4＋5)×C 24＝15×6＝90.(2)证明不难得到1≤m i ≤n －2，m i ∈Z ，并且以1为最小元素的子集有C 2n －1个，以2为最小元素的子集有C 2n －2个，以3为最小元素的子集有C 2n －3个，…，以n －2为最小元素的子集有C 22个，则P n ＝m 1＋m 2＋…＋m C 3n ＝1×C 2n －1＋2C 2n －2＋3C 2n －3＋…＋(n －2)C 22 ＝(n －2)C 22＋(n －3)C 23＋(n －4)C 2n ＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)(C 22＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)(C 33＋C 23)＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋(n －3)C 34＋(n －4)C 24＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋C 34＋(n －4)(C 34＋C 24)＋…＋C 2n －1 ＝C 22＋C 34＋(n －4)C 35＋…＋C 2n －1＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 3n ＝C 4n ＋1.必考附加题——模板成形练(二) (对应学生用书P423)1．如图，圆锥的高PO ＝4，底面半径OB ＝2，D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点，F 为底面圆周上一点，满足EF ⊥DE . (1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值； (2)求二面角O －DF －E 的余弦值．解 (1)以O 为原点，底面上过O 点且垂直于OB 的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,2,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0，1,2)．设F (x 0，y 0,0)(x 0>0，y 0>0)，且x 20＋y 20＝4，则EF →＝(x 0，y 0－1，－2)，DE →＝(0,1,0)， ∵EF ⊥DE ，即EF →⊥DE →，则EF →·DE →＝y 0－1＝0，故y 0＝1.∴F (3，1,0)，EF→＝(3，0，－2)，BD →＝(0，－2,2)．设异面直线EF 与BD 所成角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪EF →·BD →|EF →||BD →|＝47×22＝147. (2)设平面ODF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥OD →，n ⊥OF →，即⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝－3，平面ODF 的一个法向量为n 1＝(1，－3，0)．设平面DEF 法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得平面DEF 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32.设二面角O －DF －E 的平面角为β，则|cos β|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝17＝77，∴sin β＝427.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n －(n ＋1)．(1)证明：a n >n (n ≥3)；(2)证明：2＋33＋44＋…＋nn <2.证明 (1)因为a 1＝2，a 2＝2，所以a 3＝a 32－3＝5>3. 假设当n ＝k 时，a k >k (k ≥3)，则a k ＋1k >kk ＋1>k 2·k ≥9k >2k ＋2，那么，当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝a k ＋1k －(k ＋1)>2k ＋2－(k ＋1)＝k ＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．所以当n ≥3时，a n >n .(2)当n ＝2时，2<2显然成立，由(1)知，当n ≥3时，a n ＝a n n －1－n >0，得a n n －1>n ，所以a n －1>n n ，所以a n －1n －2－(n －1)>n n ，即a n －1n －2>(n －1)＋n n ，所以a n －2>n －1n －1＋nn ，以此类推，得2＝a 1>2＋33＋44＋…＋nn ，问题得证．3．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点．(1)求直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值；(2)设直线BC 1上一点P 满足平面P AC ∥平面EFD 1，求PB 的长．解 (1)建立以D 点为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴的空间直角坐标系． D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， E (1,0,0)，C 1(0,2,2)，F (0,1,0)，BC 1→＝(－2,0,2)，D 1E →＝(1,0，－2)，EF →＝(－1,1,0)．设平面D 1EF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·EF →＝0⇒⎩⎨⎧x 1－2z 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则n ＝(2,2,1)， cos 〈n ，BC 1→〉＝－222×3＝－26，∴直线BC 1与平面EFD 1所成角的正弦值为26. (2)BP →＝λBC 1→＝(－2λ，0,2λ)， AP→＝AB →＋BP →＝(－2λ，2,2λ)， n ·AP→＝－4λ＋4＋2λ＝0，∴λ＝2. ∵AP 不在平面EFD 1内，AP ∥平面EFD 1，又AC ∥EF ，EF ⊆平面EFD 1， ∴AC ∥平面EFD 1. 又AP 与AC 相交于点A ， ∴平面P AC ∥平面EFD 1，BP →＝(－4,0,4)，|BP →|＝4 2.4．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中0≤a 1<a 2<…<a n ，且n ≥3，若∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a j ＋a i 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P .(1)分别判断数集{0,1,3}与数集{0,2,4,6}是否具有性质P ，说明理由；(2)已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，判断数列a 1，a 2，…，a 8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．解 (1)由于3－1和3＋1都不属于集合{0,1,3}，所以该数集不具有性质P ；由于2＋0,4＋0,6＋0,4＋2,6－2,6－4,0－0,2－2,4－4,6－6都属于集合{0,2,4,6}，所以该数集具有性质P .(2)∵A ＝{a 1，a 2，…，a 8}具有性质P ，所以a 8＋a 8与a 8－a 8中至少有一个属于A ，由0≤a 1<a 2<…<a 8，有a 8＋a 8>a 8，故a 8＋a 8∉A ，∴0＝a 8－a 8∈A ，故a 1＝0. ∵0＝a 1<a 2<…<a 8， ∴k ≥2时，a 8＋a k >a 8，故a 8＋a k ∉A (k ＝2,3，…，8)．由A 具有性质P 知，a 8－a k ∈A (k ＝2,3，…，8)，又∵a 8－a 8<a 8－a 7<…<a 8－a 2<a 8－a 1，∴a 8－a 8＝a 1，a 8－a 7＝a 2，…，a 8－a 2＝a 7，a 8－a 1＝a 8，即a i ＋a 9－i ＝a 8(i ＝1,2，…，8)．①由a 2＋a 7＝a 8知，a 3＋a 7，a 4＋a 7，…，a 7＋a 7均不属于A ，由A 具有性质P ，a 7－a 3，a 7－a 4，…，a 7－a 7均属于A ， ∴a 7－a 7<a 7－a 6<…<a 7－a 4<a 7－a 3<a 8－a 3，而a 8－a 3＝a 6，∴a 7－a 7＝a 1，a 7－a 6＝a 2，a 7－a 5＝a 3，…，a 7－a 3＝a 5，即a i ＋a 8－i ＝a 7(i ＝1,2，…，7)．②由①②可知a i ＝a 8－a 9－i ＝a 8－(a 7－a i －1)(i ＝2,3，…，8)，即a i－a i＝a8－a7＝a2(i＝2,3，…，8)．－1故a1，a2，…，a8构成等差数列．。

2015年高考数学答题模板(高分秘籍--绝密)

2015年高考数学答题策略技巧及答题模板一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15不等式题目注意绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。

2015高考数学一轮方法测评练：步骤规范练——三角函数.doc

步骤规范练——三角函数(建议用时：90分钟)一、填空题1．sin 600°的值为________．解析 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－32. 答案－322．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为________．解析 tan α＝－21＝－2， tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－2)1－4＝43. 答案 433．(2014·南京模拟)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________．解析因为tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3212＝－3，且sin 5π6＝12＞0，cos 5π6＝－32＜0，所以α为第四象限角，所以α的最小正值为5π3. 答案5π34．要使sin α－3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的范围是________．解析 4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，735．(2014·郑州模拟)将函数y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为________．解析函数y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度，得到函数为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，再向上平移1个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋1＝1＋sin x .答案 y ＝1＋sin x6．(2013·温岭中学模拟)函数f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期为________．解析 f (x )＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故最小正周期为T ＝2π2＝π. 答案 π7．(2014·浙江五校联盟)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x的图象向右平移________单位．解析 y ＝sin 2x ――→向右平移π8个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.答案 π88.已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为________．解析由函数的部分图象可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π3，故ω＝2πT ＝32；又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，2，代入y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ可求得φ＝5π4.答案 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π49．(2013·昆明模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________．解析因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 10．(2014·成都模拟)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )图象的对称轴方程是________．解析将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，即g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝k π＋π2时，解得x ＝k π＋π3.答案 x ＝k π＋π3，k ∈Z11．(2013·长沙一模)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是________．解析若函数向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，函数f (x )的周期的最大值满足T 2＝π3，所以T ＝2π3，所以T ＝2π3＝2πω，即ω＝3. 答案 312．(2013·宁波十校测试)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)(x ∈R )的最大值＝________.解析 y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°) ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°)－12sin(x ＋10°) ＝12sin(x ＋10°)＋32cos(x ＋10°) ＝sin(x ＋10°＋60°) ＝sin(x ＋70°)，故y max ＝1. 答案 113.如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图象的一部分，则其函数解析式是________．解析由图象知A ＝1，T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π2，得T ＝2π，则ω＝1，所以y ＝sin(x＋φ)．由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ，1，可得φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π314．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象与直线y ＝b (0＜b ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．解析根据分析可得函数的周期为6，即2πω＝6，得ω＝π3，由三角函数的对称性可知，函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，所以φ＝2k π－π2(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－π2，故函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2，令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3](k ∈Z )．答案 [6k,6k ＋3](k ∈Z )二、解答题15．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3.16．(2014·烟台期末考试)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，－1)． (1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调递增区间．解 (1)∵角α的终边经过点P (3，－1)， ∴sin α＝－12，cos α＝32，tan α＝－33， ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－36. (2)f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵0≤x ≤2π3，∴0≤2x ≤4π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.当－π6≤2x －π6≤π2时，即0≤x ≤π3时，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 17．(2014·南通模拟)已知函数f (x )＝1＋sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x ＝2，求f (x )的值．解 (1)已知函数可化为f (x )＝1＋12sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，则π4＋k π≤x ≤3π4＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由已知f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋cos 2xsin 2 x ＋cos 2x＝tan 2 x ＋tan x ＋1tan 2 x ＋1，∴当tan x ＝2时，f (x )＝22＋2＋122＋1＝75.18．(2014·江苏省七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x＝π12对称． (1)求a ，b 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上总有实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.①∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴b ＝32a ＋12b ，即b ＝3a . ②由①②得，a ＝2，b ＝2 3.(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴0≤2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]．又f (x )＋log 2k ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，即f (x )＝－log 2k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有解，∴－3≤log 2k ≤0，解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.。

【步步高】2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)专题一高考中的导数应用问题文档强练文新人

专题一高考中的导数应用问题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 答案 D解析函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值X 围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，得函数f ′(x )的草图如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，解得0<b <12.故选D.3．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.4．已知函数f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围为__________．答案 [e ，＋∞)解析 f ′(x )＝1x·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.5．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值X 围是__________．答案 [－2，－1]解析由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3，故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0，所以t ∈[－2，－1].题型一利用导数研究函数的单调性例1设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值X 围．思维启迪求出f ′(x )，分析函数的单调性，得出结论．解 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )，令g (x )＝e x －1－ax ，g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0. 若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0. 综合得a 的取值X 围为(－∞，1]．思维升华 (1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )>0或f ′(x )<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．(2)若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，某某数c 的取值X 围．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c .则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，列表如下： x (－∞，－13)－13 (－13，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )↗ 极大值↘极小值↗所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x ，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立．只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值X 围是[11，＋∞)．题型二利用导数研究与不等式有关的问题例2 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．思维启迪 (1)求f ′(x )，讨论参数t 求最小值； (2)分离a ，利用求最值得a 的X 围；(3)寻求所证不等式和题中函数f (x )的联系，充分利用(1)中所求最值．解 (1)由f (x )＝x ln x ，x >0，得f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；②当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1et ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)问题等价于证明x ln x >x e x －2e (x ∈(0，＋∞))．由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华 (1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解． (2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题．已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0)．(1)若f (x )≤g (x )恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3.(1)解令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)，则h ′(x )＝cos x －a .若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0，则sin x ≤ax (x ≥0)成立．若0<a <1，存在x 0∈(0，π2)，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意，结合f (x )与g (x )的图象可知a ≤0显然不合题意，综上可知，a ≥1.(2)证明当a 取(1)中的最小值1时，g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2，则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0，即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)单调递减．所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0，即x －sin x －16x 3≤0(x ≥0)，即x －sin x ≤16x 3(x ≥0)．所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3.题型三利用导数研究方程解或图象交点问题例3已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x .(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值X 围．思维启迪 (1)通过讨论a 确定F (x )的符号；(2)将方程f (x )＝g (x )变形为a ＝2ln x x 2，研究φ(x )＝2ln xx 2图象的大致形状．解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a. 由ax 2－1<0，得0<x <1a. 故当a >0时，F (x )在区间⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a ＝2ln xx 2＝φ(x )在区间[2，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1－2ln x )x 4在(2，e)上为增函数，在(e ，e)上为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，而φ(e)＝2e 2<φ(2)＝2ln 24＝ln 22＝φ(2)． ∴φ(x )min ＝φ(e)，如图当f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不等解时有 φ(x )min ＝ln 22，故a 的取值X 围为ln 22≤a <1e.思维升华对于可转化为a ＝f (x )解的个数确定参数a 的X 围问题，都可以通过f (x )的单调性、极值确定f (x )的大致形状，进而求a 的X 围．已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0)．(1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值X 围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．解 (1)f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x (0<x <2)，x －2＋b ln x (x ≥2).①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ，f ′(x )＝－1＋b x .由条件，得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2.②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ，f ′(x )＝1＋bx，由条件，得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2.综合①，②得b 的取值X 围是{b |b ≥2}． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x (0<x <2a)，ax －2＋ln x －1x (x ≥2a).当0<x <2a 时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.∵0<x <2a ，∴1x >a2.则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0.即g ′(x )>0，∴g (x )在(0，2a )上是递增函数．当x ≥2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0.∴g (x )在(2a ，＋∞)上是递增函数．又因为函数g (x )在x ＝2a 有意义，∴g (x )在(0，＋∞)上是递增函数． ∵g (2a )＝ln 2a －a2，而a ≥2，∴ln 2a ≤0，则g (2a )<0.∵a ≥2，∴g (1)＝a －3. 当a ≥3时，g (1)＝a －3≥0， ∴g (x )＝0在(0,1]上解的个数为1. 当2≤a ≤3时，g (1)＝a －3<0，∴g (x )＝0在(0,1]上无解，即解的个数为0.1．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数；当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.2．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)某某数a 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值．解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1. 因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3，所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，即k <x ＋x ln x x －1对任意x >1恒成立．令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2(x －1)2，令h (x )＝x －ln x －2(x >1)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－2ln 2>0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3,4)．当1<x <x 0时，h (x )<0，即g ′(x )<0，当x >x 0时，h (x )>0，即g ′(x )>0，所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，所以k <[g (x )]min ＝x 0∈(3,4)，故整数k 的最大值为3. 3．设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值X 围．解 (1)若a ＝0，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立，故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)． ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值X 围为(－∞，12]． 4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋1，g (x )＝a －1x －1＋x . (1)a ＝2时，求y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数；(2)a 为何值时，y ＝f (x )和y ＝g (x )的公共点个数恰为两个．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝1x －1＋x ，整理得x 3＋x 2－x －2＝0(x ≠1)．令y ＝x 3＋x 2－x －2，求导得y ′＝3x 2＋2x －1，令y ′＝0，得x 1＝－1，x 2＝13，故得极值点分别在－1和13处取得，且极大值、极小值都是负值．故公共点只有一个． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )，y ＝g (x )，得x 2＋3x ＋1＝a －1x －1＋x ，整理得a ＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，令h (x )＝x 3＋x 2－x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ，y ＝h (x )＝x 3＋x 2－x (x ≠1)，如图，求导h (x )可以得到极值点分别在－1和13处，画出草图， h (－1)＝1，h (13)＝－527，当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，故a ＝－527时恰有两个公共点． 5．定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f ′(x )是偶函数；③f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)设g (x )＝4ln x －m ，若存在x ∈[1，e]，使g (x )<f ′(x )，某某数m 的取值X 围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，(*)由f ′(x )是偶函数得b ＝0，①又f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，∴f ′(0)＝c ＝－1，②将①②代入(*)得a ＝13， ∴f (x )＝13x 3－x ＋3. (2)由已知得，若存在x ∈[1，e]，使4ln x －m <x 2－1，即存在x ∈[1，e]，使m >(4ln x －x 2＋1)min .设M (x )＝4ln x －x 2＋1，x ∈[1，e]，则M ′(x )＝4x －2x ＝4－2x 2x，令M ′(x )＝0，∵x ∈[1，e]，∴x ＝ 2. 当2<x ≤e 时，M ′(x )<0，∴M (x )在(2，e)上为减函数；当1≤x ≤2时，M ′(x )>0，∴M (x )在[1，2]上为增函数，∴M (x )在[1，e]上有最大值且在x ＝2处取到．又M (1)＝0，M (e)＝5－e 2<0，∴M (x )的最小值为5－e 2.∴m >5－e 2.6．(2013·某某)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a . (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a ；当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a. 因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a (x ＋2a )2<0， f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a (x ＋2a )2>0， f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a ；当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直．则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.即－3a(x 1＋2a )2·3a (x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3a x 2＋2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4＋2a ，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫0，12.。

2015年高考数学一轮复习课时训练第1节直线与方程

必考部分第八篇平面解析几何(必修2、选修11)第1节直线与方程课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.已知两点A(-3,),B(,-1),则直线AB的斜率是( D )(A) (B)-(C)(D)-解析:斜率k==-,故选D.2.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:①当a=0时,y=2不合题意.②a≠0,x=0时,y=2+a.y=0时,x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.3.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( D )(A)4 (B)(C)(D)解析:把3x+y-3=0转化为6x+2y-6=0,由两直线平行知m=2,则d==.故选D.4.(2013惠州二调)已知点A(1,-2),B(5,6)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( C )(A)-2或1 (B)2或1(C)-2或-1 (D)2或-1解析:法一由=得a2+3a+2=0,∴a=-1或-2,故选C.法二由题意知AB∥l或AB的中点在直线l上.若AB∥l,则k AB==2=-a,∴a=-2.若直线l经过AB的中点(3,2),则3a+2+1=0,∴a=-1,故选C.5.(2014皖南八校联考)直线2x-y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( C )(A)x+2y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)2x+y-5=0 (D)x+2y-5=0解析:由题意可知,直线2x-y+1=0与直线x=1的交点为(1,3),直线2x-y+1=0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补,因此它们的斜率互为相反数,直线2x-y+1=0的斜率为2,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线的方程是y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.故选C.6.(2013泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为( A )(A)x-2y+4=0 (B)2x+y-7=0(C)x-2y+3=0 (D)x-2y+5=0解析:直线2x+y-5=0的斜率为k=-2,∴所求直线的斜率为k'=,∴方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0.二、填空题7.(2013湘潭质检)若过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行,则m的值为.解析:∵过点A,B的直线平行于直线2x+y+2=0,∴k AB==-2,解得m=-8.答案:-88.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是.解析:由直线PQ的倾斜角为钝角,可知其斜率k<0,即<0,化简得<0,∴-2<a<1.答案:(-2,1)9.已知k∈R,则直线kx+(1-k)y+3=0经过的定点坐标是. 解析:令k=0,得y+3=0,令k=1,得x+3=0.解方程组得所以定点坐标为(-3,-3).答案:(-3,-3)10.(2013成都模拟)分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离,则l1的方程是.解析:由题意,l1,l2需与直线AB垂直才能符合题意,而k AB==1,∴=-1,∴直线l1的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.答案:x+y-4=0三、解答题11.(2013哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1.求直线l的方程.解:法一由题知直线在两坐标轴上的截距不为0,设直线方程为+=1,由题意有解得或∴直线方程为+y=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0.法二由题知直线l斜率存在且不为0,设直线l:y-2=k(x+2).当x=0时,y=2k+2,当y=0时,x=--2.则|(2k+2)(--2)|=1,解得k=-或k=-2.即直线l方程为2x+y+2=0或x+2y-2=0.12.已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2xsin α+y+1=0,试求α的值,使(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.解:(1)法一当sin α=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.当sin α≠0时,=-,=-2sin α.要使l1∥l2,需-=-2sin α,即sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l 1∥l2.法二由l1∥l2,得∴sin α=±,∴α=kπ±,k∈Z.故当α=kπ±,k∈Z时,l 1∥l2.(2)∵l1⊥l2,∴2sin α+sin α=0,即sin α=0.∴α=kπ,k∈Z.故当α=kπ,k∈Z时, l1⊥l2.13.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交;(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.证明:(1)假设l1与l2不相交,则l1∥l2即k1=k2,代入k1k2+2=0,得+2=0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1≠k2,即l1与l2相交.(2)法一由方程组解得交点P的坐标为(,),而2x2+y2=2()2+()2===1.即P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.即l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.法二交点P的坐标(x,y)满足故知x≠0.从而代入k1k2+2=0,得·+2=0,整理后,得2x2+y2=1.所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.B组14.若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( B )(A)[,) (B)(,)(C)(,) (D)[,]解析:由题意,可作直线2x+3y-6=0的图象,如图所示,则直线与x轴、y轴交点分别为A(3,0),B(0,2),又直线l过定点(0,-),由题知直线l与线段AB相交(交点不含端点),从图中可以看出,直线l的倾斜角的取值范围为(,).故选B.15.如图所示,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( A )(A)2(B)6 (C)3(D)2解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程为|CD|=2.故选A.16.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.解析:由题意知截距均不为零.设直线方程为+=1,由解得或故所求直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0.答案:x+y-3=0或x+2y-4=0。

2015高考数学一轮方法测评练：必考解答题——模板成形练5

必考解答题——模板成形练(五)数列(建议用时：60分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝1－a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 13a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证∑k ＝1n1T k＜2. 解 (1)当n ＝1时，2S 1＝1－a 1,2a 1＝1－a 1，∴a 1＝13；当n ≥2时，⎩⎨⎧2S n ＝1－a n ，2S n －1＝1－a n －1，两式相减得2a n ＝a n －1－a n (n ≥2)，即3a n ＝a n －1(n ≥2)，又a n －1≠0，∴a n a n －1＝13(n ≥2)， ∴数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列．∴a n ＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)由(1)知b n ＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝n ，∴T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2， ∑k ＝1n 1T k ＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＜2. 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N *成立，即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝2·1.所以a n ＝2n 对n ∈N *成立．所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N *成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)存在．由(1)，得a n ＝2n ，n ∈N *成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2，所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3. 所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.3．已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4.(1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1,2,3，…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1.由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2，由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2.∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n )＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n )．令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ，则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，∴2A ＝22＋2·23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1，∴－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2.又S 2n ＝2n (1＋a 2n )2＝4n 2， ∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2＝3＋4n 2＋(n －1)2n ＋1.4．已知数列{a n }满足：a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，c n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ∈N *)．(1)证明数列{b n }是等比数列，并求数列{b n }、{c n }的通项公式．(2)是否存在数列{c n }的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项c i ，c j ，c k (i ＜j ＜k )；若不存在，请说明理由．(3)是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *都有(n －2)c n ＜M 恒成立？若存在，求出M 的值，若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ≠±1，a 1＝12，3(1－a 2n ＋1)＝2(1－a 2n )，b n ＝1－a 2n ，所以b n ＋1b n ＝1－a 2n ＋11－a 2n＝23(n ∈N *)，b 1＝1－a 21＝34，所以{b n }是以34为首项，23为公比的等比数列，所以b n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，所以a 2n ＝1－b n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)所以c n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *) (2)解假设存在c j ，c j ，c k (i ＜j ＜k )满足题意，则有2c j ＝c i ＋c k 代入得 2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23j －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得2j －i ＋1＝3j －1＋2k ＋j －i ，即2j －i ＋1－2k ＋j －i ＝3j －1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．所以假设不成立，这样的三项不存在．(3)∵(n －2)c n －(n －1)c n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1×n －43， ∴(1－2)c 1＜(2－2)c 2＜(3－2)c 3＜(4－2)c 4，(4－2)c 4＝(5－2)c 5，(5－2)c 5＞(6－2)c 6＞(7－2)c 7＞……即在数列{(n －2)c n }中，第4项和第5项是最大项，当n ＝4时(n －2)c n ＝2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427，所以存在最小自然数M ＝1符合题意．。

2015届高考数学一轮复习单元测试题单元测试4含答案(文北师大版)

第四章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M＝{x|x＝sin nπ3，n∈Z}，N＝{x|x＝cosnπ2，n∈N}，则M∩N等于()A．{－1,0,1}B．{0,1} C．{0} D．∅答案 C解析∵M＝{x|x＝sin nπ3，n∈Z}＝{－32，0，32}，N＝{－1,0,1}，∴M∩N＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－7答案 A解析∵α∈(π2，π)，∴tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3. 已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案 B解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3 B ．1，－π3 C ．2，π3 D ．2，－π3答案 D解析由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x ＝π3 B ．x ＝π6 C ．x ＝－π3 D ．x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3) ＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)] ＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)．方法一把选项代入验证．方法二由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos π6t ＋10 B ．h ＝－8cos π3t ＋10 C ．h ＝－8sin π6t ＋10 D ．h ＝－8cos π6t ＋10答案 D解析排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是 ( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值答案 B解析令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋at ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at ，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C ．21.5 min D ．2.15 h答案 A解析如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°， DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507 min.9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z ) C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ) D ．[k π－π2，k π](k ∈Z ) 答案 C解析因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案－35解析由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________．答案 π2解析法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14(1－cos4x 2)＝78＋18cos4x .法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x 2＝34＋14cos 22x ＝78＋18cos4x .13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.14．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案 2 012解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 012.15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5解析如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点． ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像． ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点． ④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得 y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos 4(－x )＋5sin 2(－x )－4cos (－2x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数．当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时，f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝(2cos 2x －1)(3cos 2x －1)cos2x＝3cos 2x －1，所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12<y ≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求： (1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4) ＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x ) ＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4)．所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π4)的值．答案 (1)13 (2)－8＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以 sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4 ＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值．答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC→＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8. 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3. (2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1. ∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.1．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则 ( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是 ( ) A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝sin(2x ＋π6) D ．y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB→＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )， x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )， ∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin (π－β)sin (β－φ)＝a sin βsin (β－φ)；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin (β－φ).(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则 OE ＝3sin π3tan π6sin (π3－π6)＝ 3. 过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝(3)2＋(32)2＝212.5．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。

2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷四

阶段示范性金考卷四一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：选项A 中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种；选项B 中，只有m 、n 相交时成立；选项C 中，只有m 垂直于交线时成立．选D.答案：D2．如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，OP ，易得OE ∥P A ，∴所求角为∠BEO .∵PO ⊥OB ，OB ⊥OA ，∴OB ⊥平面P AC ，OB ⊥OE .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，在△OBE 中，tan ∠OEB ＝3，∴∠OEB ＝π3，选C.答案：C3．如图，三棱锥A －BCD 的底面为正三角形，侧面ABC 与底面垂直且AB ＝AC ，若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为( ) A.33B. 3C.23D.13解析：由题意可知，该四棱锥的正(主)视图为△ABC ，设底面边长为2a ，BC 中点为O ，则AO ⊥BC ，则AO ⊥平面BCD ，设AO ＝h ，则△ABC 的面积为12·2a ·h ＝ah ＝2，侧(左)视图为△AOD ，则面积为12OD·AO＝12·3a·h＝32ah＝ 3.答案：B4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是()A.212 B.224C.312 D.324解析：∵EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，易知AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD.由AB＝AC＝AD＝22，可得所求体积为13×12×22×22×22＝224. 答案：B5．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是( )A ．2π B.423 C. 2 D.23解析：设圆柱的底面半径为r ，故其侧面积S 侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)，当S 侧最大时，r 2＝R 2－r 2，r 2＝R 22，所以r ＝22R ，此时圆柱的高h ＝2R ，V 球V 圆柱＝43πR 3π×(22R )2×2R ＝423，选B. 答案：B6．[2012·长春一模]设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β； ③若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：在如图所示的长方体中，A1A⊥A1B1，A1A⊥平面ABCD，A1B1⊄平面ABCD，则A1B1∥平面ABCD，①正确；设A1B1为a，平面AC为α，平面A1B为β，显然有a∥α，α⊥β，但得不到a⊥β，②不正确；可设A1A为a，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足③的条件且得a∥α或a⊂α，③正确；设A1B1为a，平面A1D为α，A1A为b，平面AC为β，满足④的条件且得到α⊥β，④正确．答案：C7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A ．2 3B ．2 5 C.433 D.533解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V ＝12×2×3×2－13×12×2×3×1＝533.答案：D8．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：AB 与SC 所成的角是∠SCD ，DC 与SA 所成的角是∠SAB ，而这两个角显然不相等，故D 不正确．答案：D9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A. 292B. 135C. 175D. 1195解析：过A 作AE ⊥BD 于E .连接PE .因为P A ⊥平面AC ，BD ⊂平面AC ，所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥平面P AE ，所以BD ⊥PE ，即PE 就是点P 到BD 的距离，因为AE ＝AB ·AD BD ＝3×432＋42＝125，P A ＝1，所以PE ＝135.答案：D10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，且球心O 2为O 1O 的中点，则AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球O 2的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴该球的表面积S球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.答案：B11．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 解析：连接AC ，与BD 交于点O ，连接OE ，因为O ，E 分别是AC ，CC 1的中点，所以OE ∥AC 1，且OE ＝12AC 1，所以AC 1∥平面BED ，直线AC 1与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离．过C 作CF ⊥OE 于F ，则CF 即为所求距离．因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为22，所以AC ＝22，OC ＝2，CE ＝2，OE ＝2，利用等面积法得CF ＝OC ·CE OE ＝1，选D.答案：D12．如图，边长为a 的等边△ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE (A ′∉平面ABC )是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是( )A ．平面A ′FG ⊥平面ABCB ．BC ∥平面A ′DEC ．三棱锥A ′－DEF 的体积最大值为164a 3D ．直线DF 与直线A ′E 可能共面解析：A 项中，由已知可得四边形ADFE 是菱形，则DE ⊥GA ′，DE ⊥GF ，所以DE ⊥平面A ′FG ，所以平面A ′FG ⊥平面ABC ，A 项正确；又BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ，B 项正确；当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－DEF 的体积达到最大，最大值为13×14×34a 2×34a ＝164a 3，C 项正确；在旋转过程中DF 与直线A ′E 始终异面，D 项不正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体．圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33.答案：π＋3314．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．解析：底面△ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥底面ABC ，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴△ABC 的外接圆半径r ＝233，球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，故球的半径R ＝r 2＋d 2＝73＝213. 答案：21315．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．解析：取CC 1的中点F ，连接EF ，MF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，则EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小，此时AM ＋MF ＝AF ＝3a2.答案：3a 216．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N ，P ，Q 分别在棱A 1D 1，A 1B 1，B 1C 1，BC 上移动，则四面体MNPQ 的最大体积是________．解析：由图可知，四面体MNPQ 的体积就是三棱锥Q －MNP 的体积，而三棱锥的高是a ，当底面△MNP 的面积最大时体积最大，S △MNP 最大＝12a 2，所以四面体MNPQ 的最大体积是13×12a 2×a ＝16a 3.答案：16a 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)求证：平面PBD⊥平面PBE.证明：(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，又EC∩BC＝C，故平面BEC∥平面PDA.又∵BE⊂平面EBC，因此BE∥平面PDA.(2)连接AC交BD于点O，取PB的中点F，连接OF. 由于FO∥PD，又∵EC∥PD，∴FO∥EC，且FO＝EC，因此OCEF为平行四边形，于是OC∥EF.又∵OC ⊥平面PBD ，∴EF ⊥平面PBD ，又∵EF ⊂平面PBE ，故平面PBD ⊥平面PBE .18．(本小题满分12分)如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示．(1)求四面体PBFC 的体积； (2)证明：AE ∥平面PFC ； (3)证明：平面PFC ⊥平面PCD .解：(1)由侧视图可得F 为AB 的中点，BF ＝1，所以△BFC 的面积S ＝12 ×1×2＝1. 因为P A ⊥平面ABCD ，所以四面体PBFC 的体积V P －BFC ＝13S △BFC ×P A ＝13×1×2＝23.(2)取PC的中点Q，连接EQ，FQ. 由正视图可得E为PD的中点，所以EQ∥CD，EQ＝12CD.又因为AF∥CD，AF＝12CD，所以AF∥EQ，AF＝EQ.所以四边形AFQE为平行四边形，所以AE∥FQ. 因为AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，所以AE∥平面PFC.(3)因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD.因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD.所以CD⊥平面P AD.因为AE⊂平面P AD，所以CD⊥AE.因为P A＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD. 所以AE⊥平面PCD.由(2)知AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD.因为FQ⊂平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．(1)求证：P A∥平面BMD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．∵M为PC的中点，∴MO∥AP.∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD.(2)∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.∵∠BAD＝∠BCD＝60°，AB＝2AD，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝AB2＋AD2－2AD2＝AB2－AD2.∴AB2＝AD2＋BD2.∴AD⊥BD.∵PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD.∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB.20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A －BCD 中，AB ⊥BD ，AD ⊥CD ，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，且△BEC 为正三角形．(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若CD ＝3，AC ＝10，求点C 到平面DEF 的距离．解：(1)∵△BEC 为正三角形，F 为BC 的中点，∴EF ⊥BC . ∵EF ∥AB ，∴AB ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)设点C 到平面DEF 的距离为h ，∵AC ＝10，∴BE ＝BC ＝5，∴AB ＝2EF ＝53，在Rt △BDC 中，∵F 为BC 的中点，∴DF ＝12BC ＝52， ∴S △EFD ＝12DF ·EF ＝2538， ∴V C －EFD ＝13S △EFD ·h ＝25324h .在Rt △BCD 中，∵CD ＝3，BC ＝5，∴BD ＝4，∴S △DFC ＝12S △DBC ＝3， ∴V E －DFC ＝13S △DFC ·EF ＝532， ∵V C －EFD ＝V E －DFC ，∴h ＝125， ∴点C 到平面DEF 的距离为125.21．(本小题满分12分)如图(1)，△BCD 是等边三角形，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将△BCD 沿BD 折叠到△BC ′D 的位置，使得AD ⊥C ′B ，如图(2)．(1)求证：平面GNM ∥平面ADC ′； (2)求证：C ′A ⊥平面ABD .解：(1)因为M ，N 分别是BD ，BC ′的中点，所以MN ∥DC ′.因为MN ⊄平面ADC ′，DC ′⊂平面ADC ′，所以MN ∥平面ADC ′.同理，NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.△BC′D是等边三角形，AB＝AD，不妨设AB＝1，则BC′＝C′D＝BD＝2，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC；(3)求三棱锥C－PBD的体积．解：(1)连接AC，易知AC交BD于点F，∵四边形ABCD为正方形，F为AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥P A.又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥P A.又P A＝PD＝22AD，∴P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即P A⊥PD.∵CD∩PD＝D，且CD、PD⊂平面PDC，∴P A⊥平面PDC.又P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PDC.(3)取AD的中点O，连接OP，OF.∵P A＝PD，∴PO⊥AD.∵侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，∵O、F分别为AD、BD的中点，∴OF∥AB，又四边形ABCD是正方形，∴OF ⊥AD .∵P A ＝PD ＝22AD ，∴P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝1.故三棱锥C －PBD 的体积V C －PBD ＝V P －BCD ＝13×12×2×2×1＝23.。

湖南省郴州市2015届高考模拟数学理科试题(四)及答案

1 郴州市2015届高三理科数学高考模拟题四一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设复数z 满足z(1－2i)＝4+2i （i 为虚数单位），则|z| 为( C ) A.1 B. 23C. 2D.582.设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax+2y=0与直线l 2 ：x+(a+1)y+4=0平行”的（A ）A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的导函数()f x 的图象如图1所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是( A ) 4.为了了解某县今年高考准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的学生体重数据分组整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3小组的频率a ，b ，c 恰成等差数列，若抽取的学生人数是48，则第2小组的频数为(B )A ．6B ．12C ．18D ．245．在正项等比数列}{n a 中，11a ，前n 项和为n S ,且423,,a a a 成等差数列，则7S 的值为( C )A. 125B. 126C. 127D. 128 6．给四面体ABCD 的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( A )A ．96B ．144 C. 240 D. 360 7.已知图象不间断的函数f （x ）是区间[a ，b]上的单调函数，且在区间（a ，b ）上存在零点．如图是用二分法求方程f （x ）=0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①f （a ）f （m ）＜0；②f （a ）f （m ）＞0；③f （b ）f （m ）＜0；④f （b ）f （m ）＞0 其中能够正确求出近似解的是（C ）A.①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【解析】据二分法求方程近似解的步骤知当f （m ）f （a ）＜0，即f （m ）f （b ）＞0时，说明根在区间（a ，m ）内，令b=m ，图1。

高考数学一轮总复习必考解答题模板成形练函数与导数理苏教版

必考解答题——模板成形练(六)函数与导数(建议用时：60分钟)1．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a 3. 当a ＝0时，f ′(x )≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜2a3.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，令f ′(x )＞0，得2a3＜x ＜0.故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.综上所述，当a ＝0时，函数f (x )没有单调递增区间；当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0.(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23a ，单调递减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，＋∞，所以函数f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝b ，函数f (x )在x ＝2a3处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a3＝4a 327＋b ，由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，4a 327＋b ＞0，解得－4a327＜b ＜0，因为对任意a ∈[3,4]，b ＞－4a 327恒成立，所以b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 327max ＝－4×3327＝－4，所以实数b 的取值范围是(－4,0)．2．已知函数f (x )＝a x＋ln x －1，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (1，y 0)处的切线平行于直线y ＝－x ＋1，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a ＞0，且对x ∈(0,2e]时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)直线y ＝－x ＋1的斜率k ＝－1，函数y ＝f (x )的导数为f ′(x )＝－a x 2＋1x， f ′(1)＝－a ＋1＝－1，即a ＝2.∴f (x )＝2x ＋ln x －1，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2. ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＞0，得x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2.∴函数f (x )的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)．(2)∵a ＞0，f (x )＞0对x ∈(0,2e]恒成立，即a x＋ln x －1＞0对x ∈(0,2e]恒成立．即a ＞x (1－ln x )对x ∈(0,2e]恒成立，设g (x )＝x (1－ln x )＝x －x ln x ，x ∈(0,2e]． g ′(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，当1＜x ≤2e 时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )在x ∈(0,2e]上取到最大值．∴g (x )≤g (1)＝1－ln 1＝1，∴a 的取值范围是(1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx －3，y ＝f ′(x )为f (x )的导函数，满足f ′(2－x )＝f ′(x )；f ′(x )＝0有解，但解却不是函数f (x )的极值点．(1)求f (x )；(2)设g (x )＝x f ′x ，m ＞0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值；(3)设h (x )＝ln f ′(x )，若对于一切x ∈[0,1]，不等式h (x ＋1－t )＜h (2x ＋2)恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ，∵f ′(2－x )＝f ′(x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，b ＝－1.由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＋c ＝0中Δ＝4－4c ＝0，故c ＝1.所以f (x )＝13x 3－x 2＋x － 3.(2)∵f ′(x )＝x 2－2bx ＋1＝(x －1)2，∴g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x ＜1.当0＜m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2当12＜m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，当m ＞1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ，综上g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ m －m 2 0＜m ≤1214 12＜m ≤1＋22m 2－m m ＞1＋22(3)h (x )＝2ln|x －1|，h (x ＋1－t )＝2ln|x －t |，h (2x ＋2)＝2ln|2x ＋1|当x ∈[0,1]时，|2x ＋1|＝2x ＋1，所以不等式等价于0＜|x －t |＜2x ＋1恒成立，解得－x －1＜t ＜3x ＋1，且x ≠t ，由x ∈[0,1]，得－x －1∈[－2，－1]，3x ＋1∈[1,4]，所以－1＜t ＜1，又x ≠t ，∴t ∈[0,1]，∴所求的实数t 的取值范围是(－1,0)．4．已知函数f (x )＝k [(log a x )2＋(log x a )2]－(log a x )3－(log x a )3， g (x )＝(3－k 2)(log a x ＋log x a )，(其中a ＞1)，设t ＝log a x ＋log x a .(1)当x ∈(1，a )∪(a ，＋∞)时，试将f (x )表示成t 的函数h (t )，并探究函数h (t )是否有极值；(2)当∈(1，＋∞)时，若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立，试求k 的范围．解 (1)∵(log a x )2＋(log x a )2＝(log a x ＋log x a )2－2＝t 2－2，(log a x )3＋(log x a )3＝(log a x ＋log x a )[(log a x ＋log x a )2－3]＝t 3－3t ，∴h (t )＝－t 3＋kt 2＋3t －2k ，(t ＞2)．∴h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3设t 1，t 2是h ′(t )＝0的两根，则t 1t 2＜0，∴h ′(t )＝0在定义域内至多有一解，欲使h (t )在定义域内有极值，只需h ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋3＝0在(2，＋∞)内有解，且h ′(t )的值在根的左右两侧异号，∴h ′(2)＞0得k ＞94.综上：当k ＞94时h (t )在定义域内有且仅有一个极植，当k ≤94时h (t )在定义域内无极值． (2)∵存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＞g (x 0)成立等价于f (x )－g (x )的最大值大于0. ∵t ＝log a x ＋log x a ，∴m (t )＝－t 3＋kt 2＋k 2t －2k ，(t ≥2)，∴m ′(t )＝－3t 2＋2kt ＋k 2＝0得t 1＝k ，t 2＝－k 3. 当k ＞2时，m (t )max ＝m (k )＞0得k ＞2；当0＜k ≤2时，m (t )max ＝m (2)＞0得17－12＜k ≤2；当k ＝0时，m (t )max ＝m (2)＜0不成立．当－6≤k ＜0时，m (t )max ＝m (2)＞0得－6≤k ＜－17－12；当k ＜－6时，m (t )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＞0得k ＜－6. 综上得：k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－17－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫17－12，＋∞.。

2015届高考数学一轮复习测评训练题(8)含答案(文,北师大版)

45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第28讲～第30讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．352．[2013·成都一诊] 在等比数列{a n }中，8a 2n －1＝a 2n ＋2，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．83．数列{a n }满足a n ＋1＝1＋2a n(n ∈N *)，若a 2＝3，则a 1＋a 4＝( ) A.83 B.143C.165D.32114．[2013·长春四调] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 8S 4＝17，则公比q ＝( ) A ．12 B ．±12C ．2D ．±25．[2013·福建莆田质检] 已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )A ．312B ．632C ．63 D.12726．[2013·广东揭阳二模] 在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 15，则m 的值为( )A ．106B ．103C ．98D ．897．[2013·保定八校联考] 设f (n )＝2＋24＋27＋210＋213＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )等于( )A ．27(8n －1)B ．27(8n ＋1－1) C ．27(8n ＋3－1) D ．27(8n ＋4－1) 8．[2013·全国卷] 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则数列{a n }的前10项的和等于( )A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·杭州一模] 在等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 5＝－8，则a 8＝________．10．[2013·黄山质检] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·…·a k 为正整数的k (k ∈N *)叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为________．11．把1，3，6，10，15这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图G81所示)，则第7个三角形数是________．图G8三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．[2013·四川卷] 在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．13．[2013·广东惠州三调] 已知向量p＝(a n，2n)，q＝(2n＋1，－a n＋1)，n∈N*，向量p与q 垂直，且a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝log2a n＋1，求数列{a n·b n}的前n项和S n.14．已知数列{a n}满足a1＝1，2n－1a n＝a n－1(n∈N，n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始各项均小于1 1000？45分钟滚动基础训练卷(八)1．C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C9．64 10.2036 11.2812．数列{a n }的公比为3，首项为1，且数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1213．(1)a n ＝2n －1 (2)S n ＝1＋(n －1)2n 14．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫12n （n －1）2 (2)第5项开始各项均小于11000。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

必考解答题——模板成形练(四)
实际应用题
(建议用时：60分钟)
1．在边长为a 的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 (1)设箱底边长为x ，则箱高为h ＝33×a －x 2(0＜x ＜a )，
箱子的容积为V (x )＝12x 2×sin 60°×h ＝18ax 2－18
x 3(0＜x ＜a )．由V ′(x )＝14ax －38x 2＝0解得x 1＝0(舍)，x 2＝23a ，
且当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23a 时，V ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，a 时，V ′(x )＜0，所以函数V (x )在x ＝23a 处取得极大值．
这个极大值就是函数V (x )的最大值：V ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝18a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2－18×⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3＝154
a 3. 所以当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为154a 3.
2．如图，某小区有一边长为2(单位：百米)的正方形地块OABC ，其中OAE 是一个游泳地，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分，现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)
的图象，且点M 到边OA 距离为t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23≤t ≤43.
(1)当t ＝23时，求直路l 所在的直线方程；
(2)当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
解 (1)M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，149，l ：12x ＋9y －22＝0 (2)M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )
即y ＝－2tx ＋t 2
＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x ＝t 2＋1t ，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1712，116故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2＋1t ，0. ∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，
面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2·2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t ≤2，t ＝1时取到等号，S max ＝2.
3．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)．现已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．
(1)试将y 表示为x 的函数；
(2)若a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值．
解 (1)设点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb 36－x
，
其中k 为比例系数，且k ＞0.
从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb 36－x
(0＜x ＜36)． (2)因为a ＝1，所以，y ＝k x ＋kb 36－x
， y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x 2＋b (36－x )2，令y ′＝0，得x ＝361＋b
，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，361＋b 时，函数单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫361＋b ，＋∞时，函数单调递增； ∴当x ＝361＋b
时，函数取得最小值．又此时x ＝6，解得b ＝25，经验证符合题意．
所以，污染源B 的污染强度b 的值为25.
4．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB 、BC 、CA 上取点D ，E ，F ，如图(1)，使得EF ∥AB ，EF ⊥ED ，在△DEF 喂食，求△DEF 面积S △DEF 的最大值；
(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，如图(2)，建造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF 为正三角形，求△DEF 边长的最小值．
解 (1)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝200米，BC ＝100米．
∴cos B ＝BC AB ＝12，可得B ＝60°
∵EF ∥AB ，∴∠CEF ＝∠B ＝60°
设CE CB ＝λ(0＜λ＜1)，则CE ＝λCB ＝100λ米，
Rt △CEF 中，EF ＝2CE ＝200λ米，
C 到FE 的距离d ＝32CE ＝503λ米，
∵C 到AB 的距离为32BC ＝503米，
∴点D 到EF 的距离为
h ＝503－503λ＝503(1－λ)米
可得S △DEF ＝12EF ·h ＝5 0003λ(1－λ)米2
∵λ(1－λ)≤14[λ＋(1－λ)]2＝14，当且仅当λ＝12时等号成立，
∴当λ＝12时，即E 为AB 中点时，S △DEF 的最大值为
1 2503米2
(2)设正△DEF 的边长为a ，∠CEF ＝α，
则CF ＝a ·sin α，AF ＝3－a ·sin α.
设∠EDB ＝∠1，可得
∠1＝180°－∠B －∠DEB ＝120°－∠DEB ，α＝180°－60°－∠DEB ＝120°－∠DEB
∴∠ADF ＝180°－60°－∠1＝120°－α
在△ADF 中，a sin 30°＝3－a sin αsin ∠ADF
即a 12＝3－a sin αsin (120°－α)
，化简得a [2sin(120°－α)＋sin α]＝ 3
∴a ＝32sin α－3cos α＝37sin (α－φ)≥37
＝217(其中φ是满足tan φ＝32的锐角)．
21
∴△DEF边长最小值为
7米．。