初一数学绝对值典型例题精讲之欧阳数创编

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关于绝对值的几种题型及解题技巧之欧阳语创编

关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。

即0≥a 。

但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。

怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。

所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。

如：5=a ，则5=a 和5-=a 。

合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。

因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。

如2)2(=--。

因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。

我就绝对值a 0 a0 0=a的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a|=||||b a （b≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b||a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则（） A ：a b b a -- ； B ：a b a b -- ；C：abb-a-bb-；D：aa-这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

初一数学绝对值典型例题精讲汇编

第三讲绝对值绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

数轴与绝对值专题之欧阳治创编

专项训练：数轴的运用数轴：（1）数轴的三要素为、和；（2）在数轴上，负数在原点的边，正数在原点的边；（3）数轴上左边的数总是右边的数．运用一：表示数1、在数轴上表示有理数 2.5-，1.3，132，213-，427，3并用“<”连接起来.2、一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左平移5个单位长度，则终点表示的数是．拓展：一般的，如果点A表示的数为a，将点A先向左移动b个单位长度，再向右移动c个单位长度到达点B，那么点B表示的数是．3、数轴上点A表示-1，与点A距离4个单位长度的点B所表示的数是．变式：数轴上点A表示2，将点A沿数轴移动3个单位长度所得数为．运用二：比较大小4、数a 、b 在数轴上的位置如图所示，将a ，-a ，b ，-b 按由小到大排列为：能力提升：已知数a 、b 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，-a ，b ，-b ，a-b ，b-a 的大小，并用“>”连接.运用三：表示距离 5、已知0a <，0c <，0ab >，b c a >>，在数轴上画出a ，b ，c 的相对位置.6、若0m n <<且m n <，则下列结论正确的是（）A ．0m n +<B ．0m n -<C ．m n ->D ．m n ->-运用四：对称性7、已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．（1）若1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与数表示的点重合；（2）若-1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： a b0 ba 0①3表示的点与数表示的点重合； ②若数轴上A 、B 两点之间的距离为9（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？过关检测：1、已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则（）A 、a b b a <-<<-B 、b a b a -<<<-C 、a b b a -<<-<D 、b b a a -<<-<2、已知a ，b 为有理数，且0a >，0b <，a b <，比较a ，b ，-a ，-b 的大小.3、如图，A 表示的数为-10，B 表示的数为14，点C 在A 、B 之间，且AC=BC(1) 求AB 两点间的距离；(2) 求C 点对应的数；(3) 甲乙分别从AB 两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s ，乙的速度是2个单位长度/s ，求相遇点D 对应的数.专项训练2：绝对值代数意义： -10 A 0()()()0||00a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩0①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；即③零的绝对值是零。

初一数学绝对值计算题及答案过程-七年级下册数学去绝对值计算题之欧阳语创编

初一数学绝对值计算题及答案过程例1求下列各数的绝对值：(1)－38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：(1)｜－a｜＝｜a｜；( )(2)－｜a｜＝｜－a｜；( )(4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；( )(5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；( )(6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；( )(7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜；( )(8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b．( )例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”)(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0．( )(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0．( )(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．( )(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．( )(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．( )例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．例5填空：(1)若｜a｜＝6，则a＝______；(2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______；(4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数．例6 判断对错：(对的入“T”，错的入“F”)(1)没有最大的自然数．( )(2)有最小的偶数0．( )(3)没有最小的正有理数．( )(4)没有最小的正整数．( )(5)有最大的负有理数．( )(6)有最大的负整数－1．( )(7)没有最小的有理数．( )(8)有绝对值最小的有理数．( )例7 比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号(“＜”“＝”“＞”)(1)｜－0.01｜______－｜100｜；(2)－(－3)______－｜－3｜；(3)－[－(－90)]_______0；(4)当a＜3时，a－3______0；｜3－a｜______a－3．例8在数轴上画出下列各题中x的范围：(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．例9 (1)求绝对值不大于2的整数；(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．例10解方程：(1) 已知｜14－x｜＝6，求x；*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．*例11 化简｜a＋2｜－｜a－3｜1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况．2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的．说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．3，解：(1)T．(2)F．－1的倒数也是它本身，0没有倒数．(3)F．正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0．(4)T．任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的．(5)F．0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0．说明：解判断题时应注意两点：(1)必须“紧扣”概念进行判断；(2)要注意检查特殊数，如0，1，－1等是否符合题意．分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a－1)2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0 ∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．说明：对于任意一个有理数x，x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到．分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数．5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正数．说明：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：6，解：(1)T．(2)F．数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展．偶数包含正偶数，0，负偶数(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶数，偶数没有最小的．(3)T．(4)F．有最小的正整数1．(5)F．没有最大的负有理数．(6)T．(7)T．(8)T．绝对值最小的有理数是0．分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较．7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜；(2)－(－3)＞－｜－3｜；(3)－[－(－90)]＜0；(4)当a＜3时，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3．说明：比较两个有理数大小的依据是：①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于0，大于一切负数，负数小于0，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小．②两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大分数值越大；也可将分数化成小数来比较．。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题之欧阳美创编

巧用绝对值的“几何意义”求多个【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少？初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。

绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。

绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。

绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。

众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b （a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。

设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜，由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜，由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。

一般说来，设f(x)=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-an｜，其中a₁≤a₂≤…≤an，那么：当n为偶数时，fmin(x)=f(a)，其中an/2≤a≤an/2+1；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+•••+(an/2+1-an/2)=(an+an-1+••• an/2+1)-(a1+a2+•••+an/2)当n为奇数时，fmin(x)=f(a（n+1）/2)；且f(a)=(an-a1)+(an-1-a2)+•••+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】=【an+an-1+••• a(n+1）/2+1】-【a1+a2+•••+ a(n+1）/2-1】也就是说，偶数个绝对值相加，当x处于最中间的两个点所表示的数之间时，其值为最小，x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加，当x等于最中间那个点所表示的数时，其值为最小，x只有一个取值。

初一(七年级)数学绝对值练习题及答案解析之欧阳德创编

初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题时间：2021.03.07 创作：欧阳德基础检测：1．－8的绝对值是，记做。

2．绝对值等于5的数有。

3．若︱a︱= a , 则 a 。

4．的绝对值是2004，0的绝对值是。

5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点到的距离。

6．如果 x ＜ y ＜ 0, 那么︱x ︱︱y︱。

7．︱x － 1 ︱ =3 ，则 x ＝。

8．若︱x+3︱+︱y －4︱= 0，则 x + y = 。

9．有理数a ，b在数轴上的位置如图所示，则a b, ︱a︱︱b︱。

10．︱x ︱＜л，则整数x = 。

11．已知︱x︱－︱y︱=2，且y =－4，则 x = 。

12．已知︱x︱=2 ，︱y︱=3，则x +y = 。

13．已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数，则︱x ︱+︱y︱= 。

14. 式子︱x +1 ︱的最小值是，这时，x值为。

15. 下列说法错误的是（）A 一个正数的绝对值一定是正数B 一个负数的绝对值一定是正数C 任何数的绝对值一定是正数D 任何数的绝对值都不是负数16．下列说法错误的个数是（）（1）绝对值是它本身的数有两个，是0和1（2）任何有理数的绝对值都不是负数（3）一个有理数的绝对值必为正数（4）绝对值等于相反数的数一定是非负数A 3B 2C 1D 017．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则 a + b + c 等于（）A －1B 0C 1D 2拓展提高：18．如果a ， b互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子a ba b c +++ + m －cd 的值。

19．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A 地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）+10 ，— 5， —15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14（1）若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油多少升？（2）据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A 地的什么方向？距A 地多远？20．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数，低于标准重量的克数记作负数，现对5个乒乓球称重情况如下表所示，分析下表，根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标准？初一(七年级)数学上册绝对值同步练习答案基础检测：1．－8的绝对值是 8 ，记做︱－8︱。

有理数的绝对值及加减法(详细题型)之欧阳文创编

三人行教育陈老师教案——绝对值及有理数加减运算：请同学们认真答题，每一道题都经过精选３绝对值（满分100分）知识要点：1.绝对值的概念：在数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值，记作.2.绝对值的求法：由绝对值的意义可以知道：（１）一个正数的绝对值是；（２）零的绝对值是；（３）一个负数的绝对值是.即()()()⎪⎩⎪⎨⎧<=> =aaaa３.绝对值的非负性：数轴上表示数a的点与原点的距离零，所以，任意有理数a的绝对值总是一个，即a０．4.有理数大小的比较：一个有理数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点就离原点越，所以，两个负数比较大小，绝对值大的；正数都零；负数都；正数一切负数．5.绝对值等于()0>a a的有理数有两个，它们．（基础知识填空20分，每错一空扣2分）同步练习Ａ组（共40分）一、填空题（每空1分） 1.（１）=-2；（２）=+7；（３）=--323；（４）()=--6． 2. 212- 的绝对值是，绝对值等于５的数是和．3.绝对值最小的数是；绝对值小于2.5的整数是；绝对值小于３的自然数有；绝对值大于３且小于6的负整数有．4.如果a a =，那么a 是，如果a a -=，那么a 是．5.若a ≤０，则=a ；若a ≥０，则=+1a ．二、选择题（每题3分）6.下列说法中，正确的是（）A. 绝对值相等的数相等 B.不相等两数的绝对值不等C. 任何数的绝对值都是非负数D. 绝对值大的数反而小7. 下列说法中，错误的是（）A. 绝对值小于２的数有无穷多个B. 绝对值小于２的整数有无穷多个C. 绝对值大于２的数有无穷多个 (Ｄ) 绝对值大于２的整数有无穷多个8.有理数的绝对值一定是（）A. 正数 B. 整数C. 正数或零D. 非正数9.如果m 是一个有理数，那么下面结论正确的是（）A. m -一定是负数B. m 一定是正数C. m -一定是负数 D. m 不是负数10.如果甲数的绝对值大于乙数，那么（）A. 甲数大于乙数B. 甲数小于乙数C. 甲、乙两数符号相反 D. 甲、乙两数的大小不能确定11.设1--=a ，1-=b ，c 是１的相反数，则c b a ,,的大小关系是（）A. c b a ==B. c b a <<C. c b a <=D.c b a >>三、解答题（每题2分）12.比较下列各数的大小（要有解答过程）：（１）85,2413-- （２）2117,76,65---13.（3分））若一个数a 的绝对值是３，且a 在数轴上的位置如图所示，试求a 的相反数．Ｂ组（40分）一、填空题（每题3分）14.5--的相反数是；４的相反数的绝对值是；的相反数是它本身．15.若2-<a ，给出下面4个结论：①a a >；②a a ->；③a a <1；④a a >1．其中不正确的有（填序号）．16.若11-=-m m ，则m 1；若11->-m m ，则m 1； a若4-=x ，则=x ；若21-=-x ，则=x ．17.最小的自然数与绝对值最小的整数的和是．18.若a a -=，则数a 在数轴上对应的点的位置在．二、解答题（5分）19.分别写出a 为何值时，下列各式成立？（１）a a -=；（２）a a -=；（３）1=a a；（４）1-=a a20.已知3c ,2b ,2===a ，且有理数c b a , ,在数轴上的位置如图所示，计算c b a ++的值．（6分） 21.已知5=x ，3=y ，且y x y x -=-，求y x +的值．（6分）C 组22.已知甲数的绝对值是乙数的绝对值的3倍，且在数轴上表示这两个数的点位于原点的两侧，两点之间的距离是8，求这两个数。

初一上数轴绝对值拔高题之欧阳史创编

七年级数学数轴、相反数、绝对值（有理数及其运算）拔高练习时间：2021.02.10 创作：欧阳史单选题(本大题共15小题，共120分)1.(本小题8分) 代数式10-|x+y|的最大值是（），当取最大值时，x与y的关系是（）.• A. 10 ；互为相反数• B. 10；相等• C. 20 ；相等• D. 20；互为相反数2.(本小题8分) 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|b-a|+|a+c|+|c-b|=（）.• A. 2b-2c• B. 2c-2b• C. 2b• D. -2c3.(本小题8分) 已知x＜-3，化简：|x+|2-|1+x|||=（）.• A. -x• B. 1• C. 3• D. x4.(本小题8分) 当式子|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是（）.• A. x＞2• B. -1≤x≤2• C. -1＜x＜2• D. x＜-15.(本小题8分) 方程|x-2|+|x+3|=6的解的个数是（）.• A. 无数个• B. 3• C. 2.5或-3.5• D. 26.(本小题8分) a是最小的正整数，b的相反数还是它本身，c比最大的负整数大3，计算(2a+3c)b的值为（）• A. 0• B. 1• C. 2• D. 37.(本小题8分) |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为（）• A. 1• B. 2• C. 3• D. 48.(本小题8分) 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求为（）• A. 1• B. -1• C. 2• D. -29.(本小题8分) 若|a|=4，|b|=2，则|a+b|的值是（）• A. 2• B. 6• C. -6或-2• D. 6或210.(本小题8分) 如果a＞0，b＜0，，判断a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是（）• A. a<b<-a<-b• B. b<-a<-b<a• C. b<-a<a<-b• D. -a<-b<b<a11.(本小题8分) 若|x|=3，|y|=2，且|x-y|=y-x，则x+y=（）• A. -1• B. 1• C. 1或-1• D. -1或-512.(本小题8分) 一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定（）0.• A. >• B. <• C. =• D.13.(本小题8分) 若abc≠0，求的值是（）• A. -1• B. 3• C. 3或-3• D. 3或-3 或-1或114.(本小题8分) 若abc≠0，则的值是（）• A. 0• B. 4• C. 4或-4• D. 0或4 或-415.(本小题8分) 如果，那么x的取值范围是 ( ) ．• A.• B.• C.• D. x>2时间：2021.02.10 创作：欧阳史。

初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲绝对值内容概括绝对值是有理数中特别重要的构成部分，它此中有关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们经过学习、稳固对绝对值的有关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质绝对值简单的绝对值方程化简绝对值式，分类议论（零点分段法）绝对值几何意义的使用绝对值的定义及性质绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作绝对值的性质：（ 1）绝对值的非负性，能够用下式表示：|a|≥ 0，这是绝对值特别重要的性质；|a|。

a（a＞ 0）（ 2）|a|=0（ a=0）（代数意义）-a(a＜ 0)（3）若 |a|=a，则 a≥ 0；若 |a|=-a，则 a≤ 0；（ 4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥ a，且 |a|≥ -a；（5）若 |a|=|b|，则 a=b 或 a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|· |b|； | a|=| a |（ b≠ 0）；b| b |（ 7）|a| 2 =|a 2 |=a 2；（ 8）|a+b|≤ |a|+|b||a-b|≥ ||a|-|b|||a|+|b|≥ |a+b||a|+|b|≥ |a-b|[例 1]（ 1）绝对值大于而小于的整数有多少个？（ 2）若 ab<|ab|，则以下结论正确的选项是（）＜ 0，b＜ 0＞ 0， b＜ 0＜ 0， b＞ 0＜ 0（ 3）以下各组判断中，正确的选项是（）A ．若 |a|=b，则必定有 a=b B. 若 |a|＞ |b|,则必定有 a＞ bC. 若 |a|＞ b，则必定有 |a|＞ |b|D. 若 |a|=b，则必定有 a2 =(-b) 2（4）设 a， b 是有理数，则 |a+b|+9 有最小值仍是最大值？其值是多少？剖析：（ 1）联合数轴绘图剖析。

绝对值大于而小于的整数有±3，± 4，有 4 个（ 2）答案 C 不完美，选择 D. 在此注意复习稳固知识点3。

七年级数学上--绝对值练习及提高习题之欧阳道创编

七年级数学上 --有理数--绝对值练习一时间：2021.03.06 创作：欧阳道一、填空题：1、││=，│-│= 。

2、+│+5│= ，+│-5│=，-│+5│=，-│-5│=。

3、│0│= ，+│-0│= ，-│0│= 。

4、绝对值是6 ，符号是“-”的数是，符号是“+”的数是。

5、-0.02的绝对值的相反数是 ,相反数的绝对值是。

6、绝对值小于3.1的所有非负整数为。

7、绝对值大于小于的整数为。

8、计算的结果是。

9、当x=时，式子的值为零。

10、若a，b互为相反数，m的绝对值为2，则=。

11、已知，且为整数，则的值为。

12、若，则的值是。

13、若与互为相反数，则的值是。

14、若，，且，求的值是。

15、如图，化简：=。

16、已知，则=。

17、如图，则=。

18、已知，且，，则的值为。

19、若，，且，则=。

20、若，求的值为。

21、绝对值不大于2005的所有整数的和是，积是。

22、若，则的值为。

23、如果，，，那么m，n，－m，－n 的大小关系是。

24、已知，，，且，那么＝．25、已知，，那么_________．26、非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组．二、选择题27.a表示一个有理数,那么.( )A.∣a∣是正数B.-a是负数C.-∣a∣是负数D.∣a∣不是负数28．绝对值等于它的相反数的数一定是( )A.正数B. 负C.非正数D. 非负数29．一个数的绝对值是最小的正整数,那么这个数是( )A.-1B.1C.0D.+1或-130．设m,n是有理数,要使∣m∣+∣n∣=0,则m,n的关系应该是( )A. 互为相反数B. 相等C. 符号相反D. 都为零31、设a为有理数，则的值是（）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数32、若一个数的绝对值是正数，则这个数是（）A. 不等于0的有理数B. 正数C. 任何有理数D. 非负数33、若，，则等于（）A. 8B.C. 8和2D. 和34、如果，且，那么的值是（）A. 正数B. 负数C. 正数或负数D. 035、已知，，则m与n的差是（）A. B. C. D.36、下列等式成立的是（）A． B. C. D.37、如果，则m，n的关系（）A. 互为相反数B. 且C. 相等且都不小于0D. m是n的绝对值38、已知，，且，则的值等于（）A. 5或－5B. 1或－1C. 5或－1D. －5或－39、使成立的条件是（）A. B. C.D.40、是非零有理数，且，那么的所有可能值为( )A．0 B． 1或 C．2或 D．0或三、解答题：41.化简:（1）1+∣-∣＝（2）∣-3.2∣-∣+2.3∣＝（3）－（－│－２│）＝（4）－│－（＋３．３│）＝（5）－│＋（－６）│ ＝（6）－（－｜－２｜）＝（7）｜｜＝（8）｜＝（9）－（｜－４．２｜×｜＋）＝（10）｜－２｜－｜＋１｜＋｜０｜＝42．（1）若|a+2|+|b-1|=0,则a= b=;（2）若|a|=3,|b|=2,且a+b<0,则a-b=______________.七年级数学上 --有理数--绝对值练习一一、选择题1、如果m>0，n<0，m<|n|，那么m，n，-m，-n的大小关系（）A.-n>m>-m>nB.m>n>-m>-nC.-n>m>n>-mD.n>m>-n>-m2、绝对值等于其相反数的数一定是（）A．负数 B．正数 C．负数或零 D．正数或零3、下列说法中正确的是（）A．一定是负数B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C．若则与互为相反数D．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数4、给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有〖〗A．0个B．1个C．2个D．3个5、如果，则的取值范围是〖〗 A．＞OB．≥OC．≤OD．＜O6、绝对值不大于11.1的整数有〖〗 A．11个B．12个C．22个D．23个7、绝对值最小的有理数的倒数是（）A、1 B、－1 C、0 D、不存在8、在有理数中，绝对值等于它本身的数有（）A、1个B、2个C、3个D、无数多个9、下列数中，互为相反数的是（）A、│－│和－B、│－│和－C、│－│和D、│－│和10、下列说法错误的是（）A、一个正数的绝对值一定是正数B、一个负数的绝对值一定是正数C、任何数的绝对值都不是负数D、任何数的绝对值一定是正数11、│a│= －a,a一定是（）A、正数B、负数C、非正数D、非负数12、下列说法正确的是（）A、两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也一定不相等B、任何一个数的相反数与这个数一定不相等C、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等D、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数。

初一数学绝对值经典练习题之欧阳美创编

绝对值经典练习1、时间：2021.01.01 创作：欧阳美2、判断题：⑴、|-a|=|a|.⑵、-|0|=0.⑶、|-3|=-3.⑷、-(-5)›-|-5|.⑸、如果a=4,那么|a|=4.⑹、如果|a|=4,那么a=4.⑺、任何一个有理数的绝对值都是正数.⑻、绝对值小于3的整数有2, 1, 0.⑼、-a一定小于0.⑽、如果|a|=|b|,那么a=b.⑾、绝对值等于本身的数是正数.⑿、只有1的倒数等于它本身.⒀、若|-X|=5，则X=-5.⒁、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数.⒂、一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数.3、填空题：⑴、当a_____0时，-a›0;⑵、当a_____0时，‹0;⑶、当a_____0时，-›0;⑷、当a_____0时，|a|›0;⑸、当a_____0时，-a›a;⑹、当a_____0时，-a=a;⑺、当a‹0时，|a|=______;⑻、绝对值小于4的整数有_____________________________；⑼、如果m‹n‹0,那么|m|____|n|;⑽、当k+3=0时，|k|=_____;⑾、若a、b都是负数，且|a|›|b|,则a____b;⑿、|m-2|=1,则m=_________;⒀、若|x|=x,则x=________;⒁、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________;⒂、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则|a|=___;|b|=____;⒃、-2的相反数是_______，倒数是______，绝对值是_______；⒄、绝对值小于10的整数有_____个，其中最小的一个是_____；⒅、一个数的绝对值的相反数是-0.04，这个数是_______；⒆、若a、b互为相反数，则|a|____|b|;⒇、若|a|=|b|,则a和b的关系为__________.4、选择题：⑴、下列说法中，错误的是_____A．+5的绝对值等于5 B.绝对值等于5 的数是5C．-5的绝对值是5 D.+5、-5的绝对值相等⑵、如果|a|=||,那么a与b之间的关系是A.a与b互为倒数Ｂ．ａ与ｂ互为相反数Ｃ．ａ〮ｂ＝－１Ｄ．ａ〮ｂ＝１或ａ〮ｂ＝－１⑶、绝对值最小的有理数是_______A．1 B.0 C.-1 D.不存在⑷、如果a+b=0,下列格式不一定成立的是_______A．a= B.|a|=|b| C.a=-bD.a⑸、如果a,那么_______A．|a|‹0 B.-(-a)›0 C.|a|›0D.-a‹0⑹、有理数a、b在数轴上的对应点的位置，分别在原点的两旁，那么|a|与|b|之间的大小关系是_______A．|a|›|b| B.|a|‹|b| C.|a|=|b| D.无法确定⑺、下列说法正确的是________A．一个数的相反数一定是负数 B.两个符号不同的数叫互为相反数C．|-(+x)|=x D.-|-2|=-2⑻、绝对值最小的整数是_______A．-1 B.1 C.0 D.不存在⑼、下列比较大小正确的是_______A． B.-(-21)‹+(-21) C.-|-10|›8D.-|-7|=-(-)⑽、绝对值小于3的负数的个数有______A.2B.3C.4D.无数⑾、若a、b为有理数，那么下列结论中一定正确的是_____A．若a‹b,则|a|‹|b| B.若a›b,则|a|›|b|C.若a=b,则|a|=|b|D.若a≠b,则|a|≠|b|4、计算下列各题：⑴、|-8|-|-5| ⑵、（-3）+|-3| ⑶、|-9|（+5）D、15|-3|5、填表a12-a-57-(0.1)+|a|0126、比较下列各组数的大小：⑴、-3与-；⑵、-0.5与|-2.5|；⑶、0与-|-9|; ⑷、|-3.5|与-3.57、把下列各数用“‹”连接起来：⑴、 5， 0， |-3|， -3， |-|， -（-8）， -;⑵、1， -， 0， -6；⑶、|-5|， -6， -（-5）， -（-10）， -|-10|⑷（|+|）（-）=-10，求Ｏ、，其中O和表示整数.8、比较下列各组数的大小：⑴、-（-9）与-（-8）；⑵、|-|与50⑶、-与-3.14 ⑷、-与-0.273绝对值经典练习答案：1.⑴、√⑵、√⑶、×⑷、√⑸、√⑹、×⑺、×⑻、×⑼、×⑽、×⑾、×⑿、× ⒀、× ⒁、× ⒂、×2.⑴‹ ⑵‹ ⑶‹ ⑷≠ ⑸‹ ⑹= ⑺-a ⑻±1，±2，±3，0⑼、＞⑽3 ⑾‹ ⑿3或 1 ⒀≧0 ⒁1 ⒂-a、b ⒃2⒄19 -9 ⒅±0.04 ⒆⒇相等或互为相反数3.⑴B ⑵D ⑶B ⑷A ⑸C ⑹D ⑺D ⑻C ⑼A ⑽D ⑾C4.⑴3 ⑵0 ⑶45 ⑷55a50-70.1-0-12-a-|a|570.16.⑴‹ ⑵‹ ⑶› ⑷›7.⑴‹-3‹0‹|-|‹|-3|‹5‹-（-8）；⑵-6‹-5‹0‹1；⑶-|-10|‹-6‹-|-5|‹|-5|‹-（-10）；⑷5， 5， 1或1， 1， 5或-1， -1， 5或-5，-5， 18.⑴›⑵‹⑶‹⑷›时间：2021.01.01 创作：欧阳美。

初一数学绝对值典型例题精讲之欧阳术创编

第三讲绝对值巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7）|a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2（4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D 。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

(精品word)初一数学绝对值典型例题精讲

绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0）（代数意义）-a (a ＜0)（3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5）若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4）设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？分析：（1）结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2）答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

绝对值的三角不等式典型例题之欧阳术创编

欧阳术创编 2021.02.02欧阳美创编 2021.02.021.4 绝对值三角不等式时间：2021.02.02创作：欧阳术导☆过教程学；目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推3 4..理会解用绝绝对对值值三不角等2.掌不式握等解定式决理一王新奎新疆屯敞；些1 的简两单种问证题明。

思路及其几何意义；☆教学重点：定理 1 的证明及几何意义。

☆教学难点：换元思想的渗透。

☆教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1） a b a b（2） a b a b（3） a b a b（4） a a (b 0)bb请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质 a b a b 和 a a (b 0) 可以从正负数和零的bb乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

因此，只要能够证明 a b a b 对于任意实数都成立即可。

我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设 a 为实数， a 和 a 哪个大？欧阳术创编 2021.02.02欧阳美创编 2021.02.02欧阳术创编 2021.02.02欧阳美创编 2021.02.02显然 a a ，当且仅当 a 0时等号成立（即在 a 0时，等号成立。

在 a 0 时，等号不成立）。

同样， a a. 当且仅当 a 0 时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用 a a 、 a a 及绝对值的和的性质。

二、典型例题：例 1、证明（1） a b a b ，（2）ab a b 。

证明（ 1 ）如果 a b 0, 那么 a b a b. 所以a b a b a b.如果 a b 0, 那么 a b (a b). 所以a b a (b) (a b) a b（2）根据（1）的结果，有 ab b abb ，就是， ab b a 。

初中数学竞赛——绝对值之欧阳学文创作

第2讲绝对值欧阳学文知识总结归纳一. 绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩二. 绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．三. 去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论．（2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．四. 零点分段法的步骤（1）找零点；（2）分区间；（3）定正负；（4）去符号．五. 含绝对值的方程（1）求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解．（2）在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．六. 绝对值三边不等式:七. 含有绝对值的代数式的极值问题对于代数式123nx ax a x a x a -+-+-++-（123n aa a a ≤≤≤≤）（1）如果n 为奇数，则当12n x a +=时取最小值；（2）如果n 为偶数，则当122n na x a +≤≤时取最小值.典型例题一. 绝对值的化简【例1】已知0b a c <<<，化简：a a b c b a c-++-+-．【例2】已知a 、b 、c 的大小关系如图所示，求a b b c c a ab aca b b c c a ab ac-----++----的值.【例3】 a b c d 101a b c d <-<<<<<，11a b +=+,11c d -=-，求a b c d +++的值.【例4】化简：12x x -+-. 【例5】化简：525x x +--. 【例6】化简：23132x x x ++---. 【例7】化简：5423x x x ++-++；【例8】化简：21x x -+. 【例9】化简：121x x --++. 【例10】已知0x <，化简：23x x x x---.【例11】若25x <<，化简：5252x x x x x x---+--.【例12】若0a <，且ax a≤，化简：12x x +--.【例13】若245134x x x +-+-+的值恒为常数，求x 满足的条件及此常数的值.【例14】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值. 二. 绝对值方程【例15】解方程：（1）2(1)5x x --+=；（2）576x --=-；（3）4426x x -=+．【例16】 4329x x +=+. 【例17】解方程：（1）143x x -+-=；（2）324x x +-=；（3）13x x -=+．【例18】解方程：|||4|5x -=. 【例19】解方程：||48|3|5x x +-=. 【例20】解方程：324x x -+=. 【例21】解方程：3212x x x --+=+ 【例22】解方程：213x --=.【例23】已知关于x 的方程23x x a -+-=，试对a 的不同取值，讨论方程解的情况.三. 绝对值不等式【例24】解不等式： |35|10x +≤. 【例25】解不等式：23x x +>-. 【例26】解不等式：|3||21|2x x +--<. 【例27】解不等式：4231x x ---≤.【例28】求不等式20069999x x -+≤的整数解个数. 【例29】若不等式13x x a ++-≤有解，求a 的取值范围. 【例30】解关于x 的不等式：11ax ax ->-.四. 绝对值的几何意义和最值问题【例31】已知04a ≤≤，求23a a-+-的最大值.【例32】已知26141y x x x =++--+，求y 的最大值. 【例33】求35x x ++-的最小值.【例34】（1）试求1437x x x x ++++-+-的最小值. （2）试求1232013x x x x -+-+-++-的最小值.【例35】试求72231435100x x x x x -+-++++++的最小值．【例36】试求214253x x x x +-+-+-的最小值．【例37】如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值.五. 三角不等式【例38】证明三边不等式:a b a b a b -≤+≤+. 【例39】已知21951x x y y++-=---+，求x y +的最大值和最小值.【例40】已知(12)(21)(31)36x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值.【例41】已知a b c d、、、都是有理数，9a b -≤，16c d -≤，且25a b c d --+=，求b a d c-+-的值.【例42】已知0ab >，45P a b a b=-++，362Q a b a b =-++，试比较P 与Q 的大小.思维飞跃【例43】满足1ab a b ++=的整数对(a ，b )共有多少个？【例44】求24x y x y-+-+-的最小值．作业1.已知a a =-，0b <，化简：22442(2)24323a ba b a b b a +--+++--. 2. 化简：3223x x -++．3. 已知0a b c ++=，0abc >，化简：a b c a b c ++.4.已知0a <，0ab <，化简：15b a a b -+---．5.数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a b b a b a a++-+--．6.化简：2325x x x x--．7. 化简：123x x x -++--． 8. 解方程：100100300x x ++-=． 9. 解方程：116x x x +-++=. 10.解方程：（1）32368x x ++-=；（2）23143x x x +--=-.11. 解不等式：|2||3|2x x ++->.12.计算下列式子的的最小值.（1）123x x x -+++-；（2）31523x x x -+++-；（3）213243x x x x +-+-+-．13. 设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值. 14. 计算21563x x x ++-++的最小值．15.已知1223y x x x =++-+-，当x a =时，y 的最小值是b ，求baa b ⋅的值.。

初一数学绝对值难题解析之欧阳引擎创编

初一数学绝对值难题解析欧阳引擎（2021.01.01）绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a|＝a（当a≥0）, |a|＝－a （当a＜0）（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤ |a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤ |a－b|≤|a|＋|b|；思考：|a＋b|＝|a|＋|b|，在什么条件下成立？|a－b|＝|a|－|b|，在什么条件下成立？常用解题方法：（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1、在数轴上表示a、b两个数的点如图所示，并且已知表示c的点在原点左侧，请化简下列式子：（1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0，b＞0 ∴a－b＜0c＜0，b＞0 ∴c－b＜0故，原式＝（b－a）－(b－c) ＝c－a（2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0，c＜0 ∴a－c要分类讨论，a＋c＜0当a－c≥0时，a≥c，原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a当a－c＜0时，a＜c，原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2|| 。

解：∵x＜－1 ∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、设3＜a＜4，化简|a－3|＋|a－6| 。

解：∵3＜a＜4 ∴a－3＞0，a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6) ＝34、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数；哪个是正确的？答：当a－b≥0时，a≥b，|a－b|＝a－b，由已知|a－b|＝a＋b，得a－b＝a＋b，解得b＝0，这时a≥0；当a－b＜0时，a＜b，|a－b|＝b－a，由已知|a－b|＝a＋b，得b－a＝a＋b，解得a＝0，这时b＞0；综上所述，（1）是正确的。

绝对值及其几何意义之欧阳理创编

绝对值及其几何意义时间：2021.03.05 创作：欧阳理绝对值是初中代数乃至高中代数的重要内容，它伴随着我们学习代数知识的全过程。

我们知道：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。

这是绝对值的代数意义。

绝对值的几何意义可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，如表示数轴上表示数a的点到原点的距离，推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a、b 两点的距离之和。

对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。

下面通过几个例题谈谈绝对值的几何意义的妙用。

例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。

解：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示x到4的距离为3，结合数轴不难发现到4这个点的距离为3的点共有二个，分别是1和7，故x=1或7.例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。

分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。

解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到1的距离，∣x+2∣=∣x-（-2）∣表示数轴上点x到-2的距离。

实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上1到-2（含-2及1）当中的任一点，且最短距离为3，即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为3。

此题实际上也说明了这么一个结论：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为∣a-b∣。

通过分析我们亦不难理解，∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b 两点之间距离之差的绝对值，它有一个最大值∣a-b∣，即-3≤∣x-a∣-∣x-b∣≤3。

我们再看下面的一个问题：例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么？解：由∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的几何意义可知，它表示数轴上一点x到-1和2两点距离之差的绝对值，它有一个最大值为3即∣∣x+1∣-∣x-2∣∣≤3，而∣∣x+1∣-∣x-2∣∣恒小于k，所以k＜3例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？分析：本题就是在数轴上存在一个点x，它到3和-1的距离之和为4，由数轴可知符合条件的x应在3和-1（包括3和-1）之间，此时该点到3和-1的距离之和为4，即∣x-3∣+∣x+1∣=4，所以，-1≤x≤3。