2014届高三北师大版文科数学课时作业第24讲平面向量的概念及其线性运算 Word版含解析]

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高考数学一轮复习课后限时集训24 平面向量的概念及线性运算理(含解析)北师大版-北师大版高三全册

课后限时集训(二十四) 平面向量的概念及线性运算(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列各式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D ．PA →＋AB →－BQ →D [AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝PA →＋AQ →＝PQ →；(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →－QC →)＝PC →＋CQ →＝PQ →； QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →，显然由PB →－BQ →得不出PQ →，所以不能化简为PQ →的式子是D ．]2．(2019·某某调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →D [由题意可得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →， ∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.]3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12B [由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )B ．由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.]4．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD ．13a －23b C [由△CEF ∽△ABF ，且E 是CD 的中点得CE AB ＝EF BF ＝12，则BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝－13a ＋23b ，故选C.] 5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B ．12 C.13D ．23D [∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.]6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上B [因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B ．] 7．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58 B ．14 C ．1D ．516A [DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.]二、填空题8．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.2 [因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →. 已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.]9．(2019·某某模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．－94 [由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2) ＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又因为e 1与e 2 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ3－k ，2＝－λ2k ＋1，解得k ＝－94.]10．下列命题正确的是________．(填序号)①向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λa ； ②在△ABC 中，AB →＋BC →＋CA →＝0；③不等式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中两个等号不可能同时成立； ④只有方向相同或相反的向量是平行向量；⑤若向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线． ⑤ [易知①②③④错误．∵向量a 与b 不共线，∴向量a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量．若a ＋b 与a －b 共线，则存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，1＋λ＝0，此时λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不共线．]B 组能力提升1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心B [作∠BAC 的平分线AD ．因为OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，所以AP →＝λ′|AD →|·AD →，所以AP →∥AD →，所以P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选B ．]2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [如图，∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.]3．(2019·某某调研)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________．13 [由N 是OD 的中点，得AN →＝12AD →＋12AO → ＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，又AB →与AD →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.]4．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．7＋434 [AC →＝AD →＋DC →＝14AB →＋AD →， BC →＝AC →－AB →＝－34AB →＋AD →，设BP →＝λBC →＝－3λ4AB →＋λAD →(0≤λ≤1)，则AP →＝AB →＋BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3λ4AB →＋λAD →.因为AP →＝mAB →＋nAD →，所以m ＝1－3λ4，n ＝λ.所以1m ＋1n＝44－3λ＋1λ＝λ＋4－3λ2＋4λ ＝128－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3λ＋4＋64λ＋4≥128－23×64＝7＋434. 当且仅当3(λ＋4)＝64λ＋4，即(λ＋4)2＝643时取等号．]。

一轮复习课时训练§4.1：平面向量的概念及其线性运算

第四章§1：平面向量的概念及其线性运算(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－2e 2D ．3e 1－e 22．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于A ．8B ．4C ．2D ．13．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若P A →＋P B →＋P C →＝A B →，则A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上4．已知向量a ，b 不共线，c ＝ka ＋b(k ∈R)，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足O P →＝O A →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C.若O A →－3OB →＋2OC →＝0，则|A B →||B C →|等于________．7．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．8．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若A B →＝mAM →，A C →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）如图，已知在▱ABCD 中，AH ＝HD ，BF ＝MC ＝14BC ，设AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b分别表示AM →，MH →，AF →.10．（本小题满分18分）设i 、j 分别是平面直角坐标系Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且OA →＝－2i ＋mj ， OB →＝ni ＋j ，OC →＝5i －j ，若点A 、B 、C 在同一条直线上，且m ＝2n ，求实数m 、n 的值．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：a －b ＝A B →＝e 1－2e 2.答案：C2．解析：∵|BC →|2＝16，∴|BC →|＝4，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|＝|BC →|＝4，而|AB →＋AC →|＝2|AM →|，∴|AM →|＝2. 答案：C3．解析：∵P A →＋P B →＋P C →＝A B →，∴P A →＋P B →＋P C →－A B →＝0，∴P A →＋(PB →＋BA →)＋P C →＝0∴P A →＋P A →＋P C →＝0，∴2PA →＝C P →， ∴点P 在线段AC 上．答案：D4．解析：由已知得ka ＋b ＝m(a －b)，由a ，b 不共线可得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝mm ＝－1⇒k ＝－1.而当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b)＝－d ，c 与d 反向．答案：D5．解析：∵O P →＝O A →＋λ(AB →＋AC →)∴O P →－O A →＝λ(AB →＋A C →)，λ∈[0，＋∞) ∴A P →＝λ(AB →＋A C →)．以AB ，AC 为斜边作平行四边形ABDC(如图)则A P →＝λAD →，又λ≥0所以P 的轨迹是射线AD ，又AD 平分BC ，所以AD 过△ABC 的重心．答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：由已知得O A →－O B →＝2(OB →－O C →)，∴B A →＝2CB →，∴|AB →||BC →|＝2. 答案：27．解析：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →.OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，由已知|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴以AB 、AC 为邻边的平行四边形的对角线相等，∴此平行四边形为矩形. ∴△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形8．解析：方法一：如图，过点O ，作OE ∥AM 且交AC 于点E ，则|EO →||AM →|＝|EN →||AN →|，又因为点O 是BC 的中点，所以EO →＝12AB →＝12mAM →，EN →＝AN →－AE →＝AN →－12AC →＝2－n 2AN →，故有12m ＝2－n 2，所以m ＋n ＝2.方法二：(特殊值法)：当点M 、N 分别与点B 、C 重合时，易知m ＋n ＝2. 答案：2三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：∵在▱ABCD 中，BF ＝MC ＝14BC ，∴FM ＝12BC ＝12AD ＝AH ，∴FM 与AH 平行且相等， ∴四边形AHMF 也是平行四边形， ∴AF ＝HM ，又∵BM →＝34BC →＝34AD →＝34b ，而FB →＝－14BC →＝－14b ，∴AM →＝AB →＋BM →＝a ＋34b ，MH →＝FA →＝FB →＋BA →＝－14b －a ，AF →＝－FA →＝－(－14b －a)＝14b ＋a.10.（本小题满分18分）解：AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2)i ＋(1－m)j ， BC →＝OC →－OB →＝(5－n)i －2j. ∵点A 、B 、C 在同一条直线上， ∴AB →∥BC →，即AB →＝λBC →，∴(n ＋2)i ＋(1－m)j ＝λ[(5－n)i －2j]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2＝λ(5－n )1－m ＝－2λm ＝2n，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝32.。

第1节平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。

高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算课件文北师大版

向量坐标的求法设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A→B＝__(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1_) ___
7.向量共线的坐标表示
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ __x_1_y2_－__x_2_y_1____＝0.
1．与向量 a 共线的单位向量为±|aa|. 2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则． 3．A，B，C 三点共线，O 为 A，B，C 所在直线外任一点，则O→A＝λO→B＋μO→C且 λ ＋μ＝1. 4．若A→B＝λA→C，则 A，B，C 三点共线．
[解析] 设 a＝kb，
∴e1＋λe2＝2ke1，∴2λ＝k＝0.1，当 λ＝0 时，a＝e1，∴b＝2e1. a 与 b 共线，
当 e1∥e2 时，a 与 b 也共线． [答案] D
[破题技法] 两向量共线有两种应用形式： (1)几何形式：a＝λb.
(2)代数形式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其实质都是等式关系．故 a∥b 等价于存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝0 成立．
a－b＝a＋(－b)
与 b 的差
__三__角__形___法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当 λ>0 时，λa 与 a 的
(1) _λ_(_μ_a_)_____＝(λμ)a；
实数 λ 与向量 a 的积方向___相__同_____；数乘
(2)(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a____；
的运算
法则(或几何意义)
运算律
加法求两个向量和 __三__角__形____法则的运算 __平__行__四__边__形_____法则

平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

+ + = ,所以 = −,所以为的中点. 又因为为
的中点，所以△ =

△
=

,
△
△
则
△
= .
考点一平面向量的有关概念
例1 （多选）下列命题中的真命题是(
)
A.若 = ，则 =
B.若,,,是不共线的四点，则“ = ”是“四边形为平行四边
√
形”的充要条件
C.若 = , = ��,则 =
√
D. = 的充要条件是 = 且//
解析：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确;因为
= ,所以 = 且//,又,,,是不共线的四点，所以四
边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则
2025届高考数学一轮复习讲义
平面向量、复数之
平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
方向
（1）向量：既有大小又有①______的量叫做向量，向量的大小叫做向量
模
的②____.
0
（2）零向量：长度为③___的向量，其方向是任意的.
1个单位长度
（3）单位向量：长度等于④_____________的向量.
定义
法则（或几何意义）
运算律

=⑩______，当
> 时,

=⑭_______;
相同
求实数
与的方向⑪______；
+ =⑮
数乘与向量的当 < 时,与的方向⑫
+
_________;
相反
积的运算 ______；
+

超实用高考数学专题复习(北师大版)：第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算

[答案] B
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零．
④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点． ②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误．当 a＝0 时，不论 λ 为何值，λa＝0.
[四基自测]
1．(基础点：向量共线与三点共线)已知A→B＝(－m，－5n)，B→C＝(－2m，8n)，C→D＝
(3m，－3n)，则( )
A．A，B，D 三点共线
B．A，B，C 三点共线
C．B，C，D 三点共线答案：A
D．A，C，D 三点不共线
2．(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量 a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝( )
第四章平面向量与复数
第一节平面向量的概念及线性运算
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考
，能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
(1) _λ_(_μ_a_)_____＝(λμ)a；
实数 λ 与向量 a 的积方向___相__同_____；数乘
(2)(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a____；

【北师大版】高三数学一轮课时作业【24】(含答案)

课时作业24平面向量的概念及其线性运算一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2014·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA→＋OB →＋OC →＝0，那么()A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD→D ．2AO →＝OD→解析：由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →.答案：A2．(2014·诸城模拟)已知a ，b ，c 是共起点的向量，a ，b 不共线，且存在m ，n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a ，b ，c 的终点共线，则必有()A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a ，b ，c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1.答案：C3．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则()A ．a －b ＋c －d ＝0B ．a －b －c ＋d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析：依题意，得AB →＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A.答案：A4．(2014·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C 若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为()A.12B.13C.14D.16解析：由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.答案：A5．(2014·临沂调研)下列命题正确的是()A ．向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b ＝λaB ．在△ABC 中，AB→＋BC →＋CA →＝0 C ．不等式||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立D ．向量a ，b 不共线，则向量a ＋b 与向量a －b 必不共线解析：∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为0. 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b )，即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ，∴λ－1＝0，1＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选 D. 答案：D6．(2014·东城模拟)对于非零向量a 与b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：“a ＋2b ＝0”?“a ∥b ”，但“a ∥b ”?/“a ＋2b ＝0”，所以“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：A7．(2012·四川卷)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是()A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：因a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以a ＝2b 可得出a|a |＝b|b |. 答案：C8．(2014·烟台模拟)在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形解析：如图，由cAC →＋aP A →＋bPB →＝0知c(PC →－P A →)＋aP A →－bPC →＝(a －c)P A →＋(c －b)PC →＝0，而P A →与PC →为不共线向量，∴a －c ＝c －b ＝0，∴a ＝b ＝c.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)9．(2013·江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由已知DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA→＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12. 答案：1210．(2013·四川理，12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，∴λ＝2. 答案：211．(2013·山东理，15)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为BC →＝AC →－AB →，又AP →·BC →＝0，所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，整理得(λ－1)AB →·AC →－λ|AB →|2＋|AC →|2＝0，即(λ－1)·|AB →||AC →|cos120°－λ|AB →|2＋|AC →|＝0，(λ－1)×3×2×(－12)－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.答案：712三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．(2014·滨州模拟)在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →.(1)用向量AB →，AC →作为基底表示向量BE →；(2)求AD →·BE →.解：(1)BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋23AC →.(2)AD →·BE →＝AD →·(－AB →＋23AC →)＝AD →·(－AB →)＋23AD →·AC →＝|AD →|·|AB →|cos150°＋23|AD →|·|AC →|cos30°＝32×1×(－32)＋23×32×1×32＝－14. 13．(2014·山东莱芜一模，17)如图，已知△OCB 中，点C 是以A为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分成的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA→＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE→＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b.(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.14．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA→＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.解：(1)∵GA→＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)证明：显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG→＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m)a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －13)b ，所以(13－m)a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －13)b ]．又因为a ，b 不共线，所以13－m ＝－13λ，13＝λn －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。

14年高考数学基础+突破第24讲平面向量的概念及其线性运算

课时作业(二十四) [第24讲平面向量的概念及其线性运算](时间：35分钟分值：80分)基础热身图K24－11．如图K24－1，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a＋b＋c可表示为( )A．3e1－2e1B．－3e1－3e2C．3e1＋2e2D． 2e1＋3e22．给出下面四个命题：①AB→＋BA→＝0；②AB→＋BC→＝AC→；③AB→－AC→＝BC→；④0·AB→＝0.其中正确的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．[2012·东北师大附中二模] 已知a，b是两个向量，则“a＝3b”是“|a|＝3|b|”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分不必要条件4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC→＝5e1，DC→＝3e2，则OC→＝( )A.12(5e1＋3e2) B.12(5e1－3e2)C.12(3e2－5e1) D.12(5e2－3e1)能力提升5．[2012·济南二模] 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→＝1312OA→＋12OB→＋2OC→，则点P一定为△ABC的( )A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点6．[2012·银川模拟] 已知a，b是两个不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a ＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝17．[2013·河北五校联考] 已知点P为△ABC所在平面上的一点，且AP→＝1 3 AB→＋tAC→，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是( )A．0<t<14B．0<t<13C．0<t<12D．0<t<238．[2012·北京海淀区期末] 如图K24－2，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么EF→＝( )图K24－2A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→9．在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且AB→＝4AF→.若AD→＝xAF→＋yAE→，则实数x＝________，实数y＝________．10．化简：AB→＋BC→－DC→＝________．图K24－311．在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →，在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →，DC与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →＝________，DC →＝________．12．(13分)已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，求证：O 为△ABC 的重心．难点突破13．(12分)若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，求△ABM 与△ABC的面积之比．课时作业(二十四)【基础热身】1．C [解析] a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋(e 1－2e 2)＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2. 2．B [解析] ①对；②对；AB →－AC →＝CB →，③错；④0·AB →＝0，错． 3． A [解析] 由a ＝3b 可得|a |＝3|b |；反之，由|a |＝3|b |不一定得到a ＝3b ，方向不确定，故选A.4．A [解析] 因为矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝12(BC →＋DC →)，故选A.【能力提升】5．B [解析] ∵O 是△ABC 的重心，∴OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OP →＝13－12OC →＋2OC→＝12OC →，∴点P 是线段OC 的中点，即是AB 边中线的三等分点(非重心)．故选B. 6．D [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC→(t ∈R )，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，所以⎩⎨⎧λ＝t ，1＝tμ，即λμ＝1.7．D [解析] 在AB 上取一点D ，使得AD →＝13AB →，在AC 上取一点E ，使得AE →＝13AC →，则由向量的加法的平行四边形法则，AP →＝13AB →＋tAC →，结合图形可知若点P落在△ABC 的内部，则0<t <23，选D.8．D [解析] 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为E 为DC 的中点，故EC →＝12DC →，因为点F 为BC 的一个三等分点，故CF →＝23CB →，∴EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 9．2 1 [解析] AD →＝12(AC →＋AB →)＝AE →＋2AF →，∴x ＝2，y ＝1. 10.AD → [解析] AB →＋BC →－DC →＝AC →－DC →＝AC →＋CD →＝AD →.11．2a －b 2a －53b [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .12．证明：因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以OA →＝－(OB →＋OC →)，即OB →＋OC →是与OA →方向相反且长度相等的向量，如图所示，以OB ，OC 为相邻两边作平行四边形OBDC .则OD →＝OB →＋OC →，所以OD →＝－OA →. 在平行四边形OBDC 中，设BC与OD相交于E，则BE→＝EC→，OE→＝ED→，所以AE是△ABC的BC边的中线，且|OA→|＝2|OE→|，根据平面几何知识知O是△ABC的重心．【难点突破】13．解：∵AM→＝34AB→＋14AC→，∴AM→＝34(MB→－MA→)＋14(MC→－MA→)，∴34MB→＋14MC→＝0，∴MC→＝3BM→，∴S△ABMS△ABC＝14.。

高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第四章第一节平面向量的概念及其线性运算(33张PPT)

• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021 7:55:58 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/312021/7/312021/7/31Jul-2131-Jul-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/312021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/312021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
第一节平面向量的概念及其线性运算
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月31日星期六2021/7/312021/7/312021/7/31
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
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第一节平面向量的概念及其线性运算结束
[试一试]
1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定
()
A．有不相等的模
B．不共线
C．不可能都是零向量
D．不可能都是单位向量
答案：C 2．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB－CB＋CD|＝________.
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高中数学(文)统考版复习课时作业 24平面向量的概念及其线性运算

课时作业24 平面向量的概念及其线性运算 [基础达标]一、选择题1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( ) A ．共线 B ．不共线 C ．共线且同向 D ．不一定共线解析：可举特例，当n ＝0时，满足m ∥n ，n ∥k ，故A ，B ，C 选项都不正确，故D 正确．答案：D2．[2020·通州模拟]已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( )A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D3．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a －b 可表示为( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 2解析：向量a －b 是以b 的终点为始点，a 的终点为终点的向量．由图形知，a －b ＝e 1－3e 2. 答案：C又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②7．[2020·广西南宁联考]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝μ(a ＋2b )(μ∈R )，∴⎩⎨⎧λ＝μ，1＝2μ，∴λ＝μ＝12.答案：128．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0.则|AB →||BC →|等于________．解析：由已知得，OA →－OB →＝2(OB →－OC →)，∴AB →＝2BC →，∴|AB →||BC →|＝2.答案：2 三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →， BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →) ＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．答案：A12．[2020·清华大学自主招生能力测试]O 为△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△OBC 和△ABC 的面积比S △OBC S △ABC＝________.解析：如图所示，设AB 的中点为M ，连接OM ，则OA →＋OB →＝2OM →，∴OA →＋OB →＋2OC →＝2OM →＋2OC →＝0，即OM →＋OC →＝0，∴点O为线段MC 的中点，则S △OBC ＝12S △MBC ＝14S △ABC ，所以S △OBC S △ABC ＝14.答案：1413．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形。

高考数学总复习课时作业(二十四)第24讲平面向量的概

课时作业(二十四)第24讲平面向量的概念及其线性运算基础热身1.下列说法中正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量与共线,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量2.下列四项中不能化简为的是()A.+-B.(+)+(+)C.(+)+D.-+3.已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且+-=0,则△ABC的内角A等于 ()A.30°B.60°C.90°D.120°4.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为.5.已知四边形OABC中,=,若=a,=b,则= .能力提升6.[2017·赣州二模]如图K24-1所示,已知=a,=b,=3,=2,则= ()图K24-1A.b-aB.a-bC.a-bD.b-a7.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则= ()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈8.[2017·北京海淀区期末]如图K24-2所示,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ-μ= ()图K24-2A.3B.2C.1D.-39.[2017·鞍山第一中学模拟]已知△ABC的外心P满足3=+,则cos A=()A. B.C.-D.10.[2017·湖南长郡中学月考]设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是.12.[2017·哈尔滨三模]在△ABC中,已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足=t+(1-t),若∠BAM=,则t= .13.(15分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.14.(15分)如图K24-3所示,在△OCB中,点A是BC的中点,点D满足OD=2BD,DC与OA交于点E.设=a,=b.(1)用向量a,b表示,;(2)若=λ,求实数λ的值.图K24-3难点突破15.(5分)[2017·太原三模]在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点P是△ABC内一点(含边界),若=+λ,则的取值范围为()A.B.C.D.16.(5分)如图K24-4所示,将两个直角三角形拼在一起,当E点在线段AB上移动时,若=λ+μ,则当λ取得最大值时,λ-μ的值是.图K24-4课时作业(二十四)1.D[解析] 当b=0时,a与c不一定共线,∴A错误;如图所示,a=,c=,b=,b与a,c均不共线,但a与c共线,∴B错误;在▱ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,∴C错误;若a与b中有一个为零向量,则a与b一定共线,∴当a与b不共线时,a与b一定都是非零向量,故D正确.2.A[解析] 根据向量的线性运算可知,+-=2+≠,故选A.3.A[解析] 由+-=0得+=,如图所示,由O为△ABC的外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故A=30°.故选A.4.-2[解析] 因为D是BC的中点,所以+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点(如图所示),因此=+=2=-2,所以λ=-2.5.-a+b [解析] =-,=+=b+a,所以=b+a-a=b-a.6.D[解析] 由平面向量的三角形法则可知,=+=+=(-)-=-+=-a+b,故选D.7.A[解析] 根据向量的平行四边形法则,得=+.因为点P在对角线AC上(不包括端点A,C),所以与共线,所以=λ=λ(+),λ∈(0,1),故选A.8.D[解析] ∵E是DC的中点,∴=(+),∴=-+2,∴λ=-1,μ=2,则λ-μ=-1-2=-3.9.A[解析] 设点D为BC的中点,则+=2,结合题意可得2=3,据此可知△ABC 的外心与重心重合,则△ABC是等边三角形,所以cos A=cos =,故选A.10.A[解析] 因为=2,所以=,则=-=-,同理=+,=-,则++=-,即++与反向平行,故选A.11.梯形[解析] 由已知得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故与共线,且||≠,所以四边形ABCD是梯形.12.[解析] 由题意可得=t+-t,所以-=t-t,即=t,所以与共线,即B,M,C三点共线,且t=.又由条件知=,所以t=.在△ABC 中,由正弦定理知===,所以t==.13.解:(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,∴与共线.又与有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)若ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a与b是不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.14.解:(1)∵=(+),∴=2-=2a-b,∴=-=-=2a-b.(2)∵D,E,C三点共线,∴=m=2ma-mb(0<m<1)①.在△ODE中,=-=λ-=λa-b②.由①②得2ma-mb=λa-b,即解得15.D[解析] 在AB上取一点D,使得=,过D作DH∥AC,交BC于H.∵=+λ,且点P是△ABC内一点(含边界),∴点P在线段DH上.当P在D点时,||取得最小值2;当P 在H点时,||取得最大值,此时B,P,C三点共线,∵=+λ,∴λ=,∴=+,∴=++·=,∴||=.故||的取值范围为2,.故选D.16.-2[解析] 如图所示,作BM∥AD交AC于M,作BN∥AC交AD于N,则AM∥BN且AM=BN.由题意知,当λ取得最大值时,点E与点B重合.在Rt△ABC中,=,在△ABM中,由正弦定理得==,则λmax==.又在Rt△ABD中,=||,在△ABN中,由正弦定理得==||,则μ==,∴λ-μ=-2.。

高考数学一轮复习第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算课时规范练文含解析北师大版

第四章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算课时规范练 A 组——基础对点练1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故正确命题的个数为0. 答案：D2．(2020·威海模拟)设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案：B3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B ，C ，D B ．A ，B ，C C ．A ，B ，DD ．A ，C ，D 解析：因为BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．答案：C4．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：由已知得，向量a 与b 为同向向量，即存在正实数λ，使a ＝λb . 答案：D5．在下列选项中，“a ∥b ”的充分不必要条件是( ) A ．a ，b 都是单位向量 B ．|a |＝|b | C ．|a ＋b |＝|a |－|b |D ．存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0解析：a ，b 都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故A 错误；|a |＝|b |，但方向不定，故B 错误；|a ＋b |＝|a |－|b |，若a ，b 都是非零向量，则a ，b 反向共线，且|a |＞|b |；若a ，b 中恰有一个零向量，则a ≠0，b ＝0；若a ＝b ＝0，则a ，b 也符合|a ＋b |＝|a |－|b |，所以“|a ＋b |＝|a |－|b |”⇒“a ∥b ”，而“a ∥b ”“|a ＋b |＝|a |－|b |”，故C 正确；D 选项中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa ＋μb ＝0”⇔“a ∥b .” 答案：C6．已知a ＝(3，－2)，b ＝(－2，1)，c ＝(7，－4)，则( ) A ．c ＝a ＋2b B ．c ＝a －2b C ．c ＝2b －a D ．c ＝2a －b解析：设c ＝x a ＋y b ，所以(7，－4)＝(3x －2y ，－2x ＋y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .答案：B7.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b解析：连接OC 、OD 、CD ，由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .答案：D8．在△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A.13a ＋23b B ．23a ＋13bC.35a ＋45b D ．45a ＋35b解析：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得|AD ||DB |＝|CA ||CB |＝21，所以D 为AB 的三等分点，且AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，所以CD →＝CA →＋AD →＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b .答案：B9．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值为________．解析：因为AB →＝2e 1＋k e 2，BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，由A ，B ，D 三点共线，得AB →∥BD →，所以2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，－4λ＝k ，则k ＝－8.答案：－810．若a 与b 不共线，已知下列各向量：①a 与－2b ；②a ＋b 与a －b ；③a ＋b 与a ＋2b ；④a －12b 与12a －14b .其中可以作为基底的是________(填序号)．解析：对于①，因为a 与b 不共线，所以a 与－2b 不共线；对于②，假设a ＋b 与a －b 共线，则有a ＋b ＝λ(a －b )，所以λ＝1且λ＝－1，矛盾．所以a ＋b 与a －b 不共线；对于③，同理a ＋b 与a ＋2b 不共线；对于④，因为a －12b ＝2⎝⎛⎭⎫12a －14b ，所以a －12b 与12a －14b 共线．由基底的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以．答案：①②③B 组——素养提升练11．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：因为向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，所以a －2b ＝(4，－1)，m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以4(3m ＋2n )－(－1)(2m －n )＝0，所以m n ＝－12.答案：A12．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) A.15 B ．25C.35D ．45解析：如图所示，设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，所以CM →＝23MD →，所以C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，所以△ABM 与△ABC 公共边AB 上的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.13．(2020·湖南省八校联考)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3 解析：法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB ＝AE ＋EM AE ＋EM ＋MB ＝AE EM ＋1AE EM ＋1＋MB EM ＝1n －1＋11n －1＋1＋12＝nn ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λm AB →＋(1－λ)nAC → ①，又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC →－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB → ②，由①②知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.14.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至点E ，使得DE ＝CD .若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A ，其中AP →＝λAB →＋μAE →(λ，μ∈R )，下列判断正确的是( )A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点B ．满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个C ．满足λ＋μ＝a (a ＞0)的点P 最多有3个D ．λ＋μ的最大值为3 答案：D15．(2020·海口模拟)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 316．(2020·长沙模拟)矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________．解析：以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (3，0)，D (0，2)，根据AP →＝xAB →＋yAD →可知，P (3x ，2y )，因为AP ＝1，所以(3x )2＋(2y )2＝1，x ＞0，y ＞0，那么(3x ＋2y )2＝(3x )2＋(2y )2＋2×3x ×2y ＝1＋2×(3x )×(2y )，而2×3x ×2y ≤(3x )2＋(2y )2＝1，所以1＜(3x ＋2y )2≤2，即3x ＋2y 的取值范围是(1，2]．答案：(1，2]。

2014届高考数学文一轮复习(浙江省专用)作业手册24平面向量的概念及其线性运算(附详细解析)

课时作业(二十四) [第24讲平面向量的概念及其线性运算](时间：35分钟分值：80分)基础热身图K24－11．如图K24－1，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a ＋b ＋c 可表示为( ) A ．3e 1－2e 1 B ．－3e 1－3e 2 C ．3e 1＋2e 2 D ．2e 1＋3e 22．给出下面四个命题：①AB →＋BA →＝0；②AB →＋BC →＝AC →；③AB →－AC →＝BC →；④0·AB →＝0.其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．[2012·东北师大附中二模] 已知a ，b 是两个向量，则“a ＝3b ”是“|a |＝3|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分不必要条件4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)能力提升5．[2012·效实中学模拟] 两个非零向量OA →，OB →不共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n >0)，直线PQ 过△OAB 的重心，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝32B ．m ＝1，n ＝12C.1m ＋1n ＝3D.1m ＋1n ＝136．[2012·银川模拟] 已知a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17．[2013·河北五校联考] 已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13AB →＋tAC →，其中t 为实数，若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )A ．0<t <14B ．0<t <13C ．0<t <12D ．0<t <238．[2012·北京海淀区期末] 如图K24－2，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点．那么EF →＝( )图K24－2A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 9．在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且AB →＝4AF →.若AD →＝xAF →＋yAE →，则实数x ＝________，实数y ＝________．10．化简：AB →＋BC →－DC →＝________．11．在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →，在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →，DC 与OA 交于E ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →＝________，DC →＝________．12．(13分)已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，求证：O 为△ABC 的重心．难点突破13．(12分)如图K24－3，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M .设OA →＝a ，OB→＝b .试用a 和b 表示向量OM →.图K24－3课时作业(二十四)【基础热身】1．C [解析] a ＋b ＋c ＝e 1＋2e 2＋(e 1－2e 2)＋e 1＋2e 2＝3e 1＋2e 2.2．B [解析] ①对；②对；AB →－AC →＝CB →，③错；④0·AB →＝0，错．3．A [解析] 由a ＝3b 可得|a |＝3|b |；反之，由|a |＝3|b |不一定得到a ＝3b ，方向不确定，故选A.4．A [解析] 因为矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝12(BC →＋DC →)，故选A.【能力提升】5．C [解析] 设△OAB 的重心为G ，边AB 的中点为M ，则2OM →＝OA →＋OB →.又OM →＝32OG →，所以3OG→＝OA →＋OB →＝1m OP →＋1n OQ →.又直线PQ 过△OAB 的重心，利用P ，Q ，G 三点共线，可得1m ＋1n＝3.6．D [解析] 由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝tAC →(t ∈R )，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，即λμ＝1.7．D [解析] 在AB 上取一点D ，使得AD →＝13AB →，在AC 上取一点E ，使得AE →＝13AC →，则由向量的加法的平行四边形法则，AP →＝13AB →＋tAC →，结合图形可知若点P 落在△ABC 的内部，则0<t <23，选D.8．D [解析] 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为E 为DC 的中点，故EC →＝12DC →，因为点F 为BC的一个三等分点，故CF →＝23CB →，∴EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.9．2 1 [解析] AD →＝12(AC →＋AB →)＝AE →＋2AF →，∴x ＝2，y ＝1. 10.AD → [解析] AB →＋BC →－DC →＝AC →－DC →＝AC →＋CD →＝AD →.11．2a －b 2a －53b [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .12．证明：因为OA →＋OB →＋OC →＝0，所以OA →＝－(OB →＋OC →)，即OB →＋OC →是与OA →方向相反且长度相等的向量，如图所示，以OB ，OC 为相邻两边作平行四边形OBDC .则OD →＝OB →＋OC →，所以OD →＝－OA →. 在平行四边形OBDC 中，设BC 与OD 相交于E ，则BE →＝EC →，OE →＝ED →，所以AE 是△ABC 的BC 边的中线，且|OA →|＝2|OE →|，根据平面几何知识知O 是△ABC 的重心．【难点突破】13．解：设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线．故存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① ∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又C ，M ，B 三点共线，∴CM →与CB →共线，同理可得4m ＋n ＝1.②联立①②，解得m ＝17，n ＝37，故OM →＝17a ＋37b .。

北师版高中数学必修第二册精品课件第2章平面向量及其应用习题课——向量的线性运算

第二章平面向量及其应用
习题课——向量的线性运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随堂练习
课标定位
素养阐释
1.进一步掌握向量的线性运算、向量加法、向
量减法的运算法则.
2.熟练掌握平面向量基本定理,会用基表示向量.
3.掌握向量共线的条件,并会运用.
4.加强逻辑推理、数学运算素养的培养.
一、向量的线性运算
【例4】设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(
).
A.(2,6)
B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析:由题意可知,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,
∴d=-6a-4b+4c.
反思感悟 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用
平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基,
并运用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的
运算来解决.
【变式训练 2】在平行四边形 ABCD 中,=e1,=e2, =
(3)平面内的任何两个向量都可以作为一组基.( × )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成

=
.( × )
(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的
坐标.( √ )
探究一平面向量的线性运算
【例 1】在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,

2014届高三北师大版文科数学课时作业 第24讲 平面向量的概念及其线性运算 Word版含解析]

高考数学一轮复习 课后限时集训24 平面向量的概念及线性运算 理(含解析)北师大版-北师大版高三全册

一轮复习课时训练§4.1：平面向量的概念及其线性运算

第1节 平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析