高二数学期中(理科)参考答案

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自贡蜀光中学高中二年级下理科数学期中考试理科数学_人教新课标

x 1 ，令
f ( x ) 2ln x x ， f (x) 2 1 ，当 x (0,2) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，当 x (2, ) 时，
x
f (x) 0， f (x) 为减函数，所以 f (x) 的极大值为 f (2) 2ln 2 2 .
15 ．过抛物线 y 2=6 x 的焦点作直线，交抛物线于 A( x1 , y1), B(x2, y2) 两点，如果 x1+ x2=8 ，那么
C
y 2 4 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5⋯分
所求的抛物线的方程为
（2 ）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 y
由
y2 4x ，消 x 得 y2 2 y 2t 0
y 2x t
2x t
，
l
C
因为直线与抛物线有公共点，所以得
4 8t 0 ，解得 t
1 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9⋯分
OA l
d
，再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的
区域的面积，从而可求概率．解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 π3，正弦曲线 y=-sinx 与 x
π
轴围成的区域记为 M ，根据图形的对称性得：面积为 S=2 0 sin xdx =-2cosx| 0 =4 ，由几何概率的计算公
在点（，处的切线方程是
A. a 1,b 2 B.a 1,b 2 C.a 1,b -2 D.a 1,b 2
9．设 f (x)
1 x3 1 x2 2ax，若 f (x) 在 ( 2,
32
3
) 上存在单调递增区间
，则实数 a 的取值范围为

2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)

甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答案〗D〖解析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和．即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法，故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（）A. B.C.D.〖答案〗A 〖解析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答案〗B 〖解析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减；当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答案〗B〖解析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法，然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答案〗A〖解析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答案〗B〖解析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答案〗B 〖解析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．〖答案〗243〖解析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答案〗(e, 1).〖解析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答案〗12a -<<〖解析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）．令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞，则函数g x （）在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（）在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a < 时，令0gx '=（），解得12x a =-，令0gx '（）＞，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答案〗D〖解析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和．即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答案〗D〖解析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法，故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（）A. B.C.D.〖答案〗A 〖解析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答案〗B 〖解析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减；当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答案〗B〖解析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法，然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答案〗A〖解析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答案〗B〖解析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答案〗B 〖解析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．〖答案〗243〖解析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答案〗(e, 1).〖解析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答案〗12a -<<〖解析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）．令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞，则函数g x （）在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（）在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a < 时，令0gx '=（），解得12x a =-，令0gx '（）＞，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。

高二第二学期期中考试数学试题(理科),DOC

高二第二学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、复数1ii -的共轭复数的虚部为（）A .1B .1-C .12D .12-2、若2133adx a a =-+⎰，则实数a =（）A .2B .2-3、化简(为（）4、函数),a b 内的A .1个B 56A .157A .0B 8、4 A .129A .2-10A.6011、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（）12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（）A.1B.43C.2D.83二、填空题（每小题5分，共20分）13、若()102100121021x a a x a x a x -=++++，则3a =.14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值为. 15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()12f x '>，则不等式()12x f x +<的解集是.三、解答题（共计70分）17、（10n2倍.（1）求（218、（12（1）求（2）若19、（12（（20、（12（1）求（2（321、（1222、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.af x x x =+-（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案一、选择题（每小题5分，共60分）CBCACADBADBB二、填空题（每小题5分，共20分）13、1680-；14、2-；15、36a a <->或16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分） 17、（1）83n =分；01288888822565C C C C ++++==分.（2）848k k k --18、312分.19、6分；（212分. 20、（2)312x x =-令f '故(f 所以（33 ⎪⎝⎭3 ⎪⎝⎭故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2227c +，()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或12分.21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分（2）若两名老师傅只选派1人，则有13414325425460C C C C C C +=种；…7分（3）若两名老师傅都选派，则有224242233254254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分22、（1）当1a =时，()()1ln 1,0,,f x x x x=+-∈+∞所以()()22111,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞又f （2令f 若a 7若],a e 时，若a e 时，函(]0,e 上分。

河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)

求直线被曲线 ′ 截得的最短的弦长；
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1

(1)求的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是

A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]

C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7

高二下学期理科数学中期试题参考答案

高二下学期理科数学中期试题参考答案一、选择题（每题5分，共50分） 1. 解：()()()()003333lim lim '2h h f h f f h f f h h →-→-----11=-=-(3)=-222. 选B.2.解：设x=2,x=3时曲线上的点为A 、B,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ， T=-)2()3(f f AB k f f =--23)2()3(,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角 <∴BQ k <AB k AT k所以选B3.解：设切点为()00000,,|2,21,x x x y y ax k ax ='=∴== ①0,020000)1x y y ax y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 又点（在曲线与直线上，即：②由①、②得1a=4,选B4.解：∴=⋅=-.)(x xe x ex x f []=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f ()[]1,012<∴>⋅-x e e x x x，选A 或().1,0.0)1(11)(<∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x e e x e x e x f x x x x （理科要求：复合函数求导）5.200 2.a a a -=∴==2解：新课标教材上定义虚轴上的点表示纯虚数和原点,所以要求虚部为0即可.即a 或6.解答：B 每个小球都有4种可能的放法，即44464⨯⨯=7.解答：C 分两类：（1）甲型1台，乙型2台：1245C C ；（2）甲型2台，乙型1台：2145C C 1221454570C C C C +=8.解答：C 不考虑限制条件有55A ，若甲，乙两人都站中间有2333A A ，523533A A A -为所求9.解答：B 不考虑限制条件有25A ，若a 偏偏要当副组长有14A ，215416A A -=为所求10.123z z z i z ==-∴ 解：复数表示的点在第四象限.选D. 二、选择题（每题5分，共25分）11.解答：8640 先排女生有46A ，再排男生有44A ，共有44648640A A ⋅=12.解答：480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有14A ，其余的有55A ，共有1545480A A ⋅= 13.解答：189010110(r r r r T C x -+=，令466510106,4,91890r r T C x x -==== 14.解：（1）a x x y ++='22，因为函数的单调递减区间是（-3，1）{}(3,1)()0x f x '⇔-=<，所以-3,1是方程022=++a x x 的两个实数根,由韦达定理，()3,13-=∴=⋅-a a （草图略）15. 317三、解答题（需书写解答过程） 16.略17.解：（1）①是排列问题，共通了211110A =封信；②是组合问题，共握手21155C =次。

陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期中模拟理科数学试题及参考答案

2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．z 为复数，若216i z z -=+成立，则z 的虚部为（） A ．6- B ．6i - C ．2D ．2i2．反证法证明命题“若a R ∈，则函数3y x ax b =++至少有一个零点”时，正确的反设为（）A ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++恰好有一个零点 B ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有一个零点 C ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++至多有两个零点 D ．若a R ∈，则函数3y x ax b =++没有零点3．已知函数()i f x 的导函数为()(1,2,3)i f x i '=，若123()()()f x f x f x 、、的图象如图所示，则（）A ．123()()()f a f a f a '''>>B ．132()()()f a f a f a '''>>C ．213()()()f a f a f a '''>>D ．312()()()f a f a f a '''>>4．若()y f x =是奇函数，则11()f x dx -=⎰（）A ．1B ．0C ．012()f x dx -⎰D ．102()f x dx ⎰5．下列计算不正确．．．的是（）A ．()xxee--'= B ．2(ln(21))21x x +=+' C ．(cos )sin x x '=- D ．1()2x x'=6．用数学归纳法证明“()22,4n nn N n *≥∈≥”时，第二步应假设（）A ．当(),2n k k N k *=∈≥时，22kk ≥成立 B ．当(),3n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 C ．当(),4n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 D ．当(),5n k k N k *=∈≥时，22k k ≥成立 7．若函数()y f x =的导函数()()y x f x ϕ=='图象如图所示，则（）A ．3-是函数()f x 的极小值点B ．1-是函数()y f x =的极小值点C ．函数()f x 的单调递减区间为(2,1)-D ．()0x ϕ'<的解集为(,3)-∞- 8．函数()2ln f x x x =-的单调递减区间是（） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2)D ．(,0)-∞和(0,2)9．函数()2()2xf x x x e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．函数()cos (1)sin 1,[0,2]f x x x x x π=+++∈在点x =（）处取得最小值． A ．32π B ．22π+ C ．2 D ．32π-11．已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈在区间(,)e +∞内有最值，则实数a 的取值范围是（） A ．(,)e +∞ B ．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,]e -∞D ．(,)e -∞- 12．设2ln 21ln6,,412a b c e ===，则（） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．已知0x >，观察下列不等式：①12x x +≥，②243x x +≥，③3274,x x+≥⋅⋅⋅，则第n 个不等式为_________．14．一个小球作简谐振动，其运动方程为()2sin 3x t t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()x t （单位：cm ）是小球相对于平衡点的位移，t （单位：s ）为运动时间，则小球在2t =时的瞬时速度为_________cm/s ．15．设i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列关于复数的命题正确的有_________ ①z z =②若z 是非零复数，0z z +=，则||zi z = ③若12z z =，则2212z z =④若复数z 为纯虚数，则z i ⋅为实数16．如图：在平面直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积21130021212x V dx x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线2y x =与直线2y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =_________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知复数i z b =（b R ∈，i 是虚数单位），31iz +-是实数．（1）求b 的值；（2）若复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限，求实数m 的取值范围． 18．（本小题满分12分）（1）已知b 克糖水中含有a 克糖，再添加m 克糖(0)m >（假设全部溶解），则糖水变甜了．将这一事实表示为不等式：当0,0b a m >>>时，有a a mb b m+<+，请证明这个不等式．（2）设ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，请利用第（1）问已证不等式，证明：2c a b a b b c c a++<+++． 19．（本小题满分12分）已知函数432()8181f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值． 20．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e a x =-（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数），0为()f x 的一个极值点．（1）求a 的值；（2）证明：()f x x >恒成立． 21．（本小题满分12分）如图，在区间[0,1]上给定曲线2y x =，左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积记为2S ．（1）当12t =时，求1S 的值；（2）当01t ≤≤时，求12S S +的最小值． 22．（本小题满分12分）已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈．（1）若0m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围．2022-2023学年度第二学期期中质量检测高二数学（理科）模拟试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．当0x >时，()1n n n x n n N x*+≥+∈成立 14．π 15．①④ 16．2π三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）17．（本小题满分10分）解：（1）解法1：∵i z b = ∴33i (3i)(1i)(3)(3)i1i 1i (1i)(1i)2z b b b b ++++-++===---+ 因为31iz +-是实数，所以解集为30b +=，解得3b =- 解法2：因为31iz +-是实数，则令3()1i z k k R +=∈- 则有3i i b k k +=-由复数相等的概念得3k b k=⎧⎨=-⎩，解得3b =-（2）由（1）可知3i z =-∴()222()8(3i)8896i m z m m m m m m --=+-=--+ ∵复数2()8m z m --在复平面内对应点在第二象限∴289060m m m ⎧--<⎨>⎩，解得09m << 所以实数m 的取值范围为(0,9) 18．（本小题满分12分）解：（1）()()()()()a a m ab m b a m m a b b b m b b m b b m ++-+--==+++ 由00b a a b >>⇒-< 又∵0,0m b >>∴()0()m a b b b m -<+，即a a m b b m+<+得证．（2）ABC △的三边长分别为a ，b ，c根据三边关系有a b c +>由（1）已证不等式可得：c c ca b a b c+<+++ 同理可得,a a a b b b b c b c a c a c a b++<<++++++也成立将以上不等式左右两边分别相加可得：2()2c a b a b c a b b c c a a b c++++<=+++++成立．即命题得证．19．（本小题满分12分）解：（1）()3222()424364694(3)f x x x x x x x x x =-+=-+=-' 切点为(0,1)-，切线的斜率为(0)0k f ='=切所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10y += （2）令()0f x '=，解得0x =，或3x =当0x =时，函数()f x 取得极小值()01f =- 20．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的导函数为()cos xf x e a x '=-0为()f x 的一个极值点，则有0(0)cos00f e a =-=' 解得1a =（2）要证()f x x >，即证sin xe x x >+ 因为sin 1x ≤ 下面先证1xe x ≥+ 构造函数()1xg x e x =--()10x g x e -'==解得0x =当(,0)x ∈-∞时，有()0g x '<，则()g x 在(,0)-∞上单调递减当(0,)x ∈+∞时，有()0g x '>，则()g x 在(0,)+∞上单调递增所以当0x =时，()g x 取得最小值(0)0g = 即1xe x ≥+成立（当且仅当0x =时等号成立）又因为1sin x ≥（当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时等号成立）由于等号不具有传递性，所以有sin xe x x >+成立． 21．（本小题满分12分）解：（1）当12t =时，1221014S x dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰12301143x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭111183812=-⨯= （2）1S 面积等于边长分别为t 与2t 的矩形面积减去曲线2y x =与x 轴、直线x t =所围成的面积，即2231023tS t t x dx t =⨯-=⎰ 2S 面积等于曲线2y x =与x 轴、直线1x t x ==、所围成的面积减去矩形边长分别为1t -与2t 的矩形面积，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰所以阴影部分的面积321241()(01)33S t S S t t t =+=-+≤≤令2()422(21)0S t t t t t =-'=-= 解得0t =，或12t =解不等式()0S t '>得112t <<即()S t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增解不等式()0S t '<得102t <<即()S t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以当12t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为1422．（本小题满分12分）解：（1）当0m =时，()ln ,(0,)f x x x x x =-∈+∞()ln 0f x x =='解得1x =解()0f x '>得1x >，即函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞ 解()0f x '<得01x <<，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1) （2）由函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，可知()ln 0f x x mx =-≤'对任意(0,)x ∈+∞恒成立即对任意0x >，都有ln xm x≥恒成立构造函数ln (),0xg x x x => 由21ln ()0xg x x-'==解得x e = 解()0g x '>得0x e <<，即函数()f x 的单调递增区间为(0,)e 解()0g x '<得x e >，即函数()f x 的单调递减区间为(,)e +∞ 所以max ln 1()e g x e e== 所以1m e≥．。

怀仁县怀仁一中云东校区高二数学下学期期中试题理含解析

19.已知函数f(x）＝ex(ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f(x）在点（0,f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f(x）的单调性．
【答案】（1）a＝4，b＝4；（2)见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求导函数,利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f(0))处切线方程为y=4x+4,建立方程，即可求得a，b的值；
令 0,求得r＝2,故展开式中的常数项是 22 180，
故答案为180
【点睛】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题,是基础题．
16.由函数的图像在点处的切线直线直线（其中是自然对数的底数）及曲线所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数求得切线的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积.
【详解】，所以切线的方程为：。
故阴影部分面积为
.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题。
三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴,建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，的极坐标方程为 .
【答案】D
【解析】
【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离求得答案．
【详解】因为，所以，，即．圆心为（1，-2），半径，因为点O到圆上的最大距离，等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D．
【点睛】本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法．

安徽省蚌埠市第二中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

蚌埠二中2021—2022学年度高二第一学期期中考试数学（理科）试题（试卷分值：150分考试时间：120分钟）留意事项：第Ⅰ卷全部选择题的答案必需用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必需用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.推断圆1:221=+y x C 与圆9)2()2(:222=-+-y x C 的位置关系是A ．相离 B.外切 C. 相交 D. 内切2.若直线l 经过点)3,2(P ，且在x 轴上的截距的取值范围是)3,1(-，则其斜率的取值范围是A ． 1k 3>-<或k B. 311<<-k C. 13<<-k D. 311>-<k k 或3.以下结论正确的是A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线4.一条光线从点)4,2(A 射出，倾斜角为60角，遇x 轴后反射，则反射光线的直线方程为A ．03243=-+-y x B.03423=---y xC. 03243=-++y xD. 03423=---+y y x5.已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A ．若,//,//ααn m 则n m // B. 若γβγα⊥⊥,则βα// C. 若,//,//βαm m 则βα// D. 若,,αα⊥⊥n m 则n m //6. 若圆03222=+-+by ax y x 的圆心位于第三象限，那么直线0=++b ay x 肯定不经过 A ．第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限7. 已知点)3,1(P 与直线01:=++y x l ，则点P 关于直线l 的对称点坐标为 A.1,3(--） B.)4,2( C. )2,4(-- D. )3,5(--8. 如图，在四周体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中，错误的为A ．BD AC ⊥B ．BD AC =C. PQMN //截面ACD. 异面直线BD 与PM 所成的角为459. 已知棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的一个面1111D C B A 在半球底面上，四个顶点D C B A ,,,都在半球面上，则半球体积为A.π34B.π32 C. π3 D. 33π10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱椎的三视图，则该三棱锥的体积为A ．32 B. 34C. 38D. 411. 在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为棱11,CC AA 的中点，则在空间中与三条直线CDEF D A ,,11第10题图都相交的直线有A ．很多条B ．３条Ｃ．１条Ｄ． 0条12.设点)1,(a P ，若在圆1:22=+y x O 上存在点Q ，使得60=∠OPQ ，则a 的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.母线长为1的圆锥体，其侧面开放图是一个半圆，则该圆锥的体积为______________ 14.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为cm 1的正方形，则原图形的周长为________________cm15.已知P 点是圆0364x C 22=--++y x y ：上的一点，直线05-4y -3x :l =。

陕西省西安市第一中学2022-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试高二数学试题（理科）命题人：袁芹芹一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．已知向量a =(-1,1,-1)，b =(2, 0,-3)，则a b 等于（） A.2 B. -4 C. -5 D.12.不等式021≥+-xx的解集为（）A ．]1,2[-B ．]1,2(-C ．),1()2,(+∞--∞D ．),1(]2,(+∞--∞ 3. 下列命题中是假命题的是（） A ．若a > 0，则2a>1 B ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0 C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若a+c=2b ，则a ，b ，c 成等差数列4．已知{}n a 是等比数列，1414,2a a ==,则公比q 等于（）A ．21-B ．-2C ． 2D ．215. 命题“任意x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是（） A ．任意x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．存在x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．存在x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥0 6. 如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量1BD 等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －c D ．－a ＋b ＋c7. 若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b >8. 若命题))((q p ⌝∨⌝为真命题，则p ，q 的真假状况为（）A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 9. 已知变量x ，y 满足条件，则目标函数z=2x+y( )A ．有最小值3，最大值9B ．有最小值9，无最大值C ．有最小值8，无最大值D ．有最小值3，最大值810．已知数列{}n a 的前n 项和12+=+n n S n ，则3=a （）A. 321 B. 281 C. 241 D. 20111. 设2910n a n n =-++，则数列{}n a 前n 项和最大值时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．9或10D ．4或512. 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 ( )．A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知0,0,0>>>n y x ，41,x y +=则yx 41+的最小值为． 14. 若不等式22214x a x ax ->++对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________ 15.在数列{}n a 中，11a =，13(1)n n a S n +=≥，则数列{a n }的通项公式。

2021-2022学年河南省开封市五县高二(上)期中数学试卷(理科)(附详解)

2021-2022学年河南省开封市五县高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a2−y22=1有相同的焦点，则实数a为()A. 1B. −1C. ±1D. 不确定2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则cd(a+b)2的最大值为()A. 14B. 12C. 1D. 24.如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1，P2，……，P7，F是椭圆的左焦点，则|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=()A. 35B. 30C. 25D. 205.在抚顺二中运动会开幕式中，某班级的“蝴蝶振翅”节目获得一致称赞，其形状近似于双曲线，在“振翅”过程中，双曲线的渐近线与对称轴的夹角α为某一范围内变动，π6≤α≤π3，则该双曲线的离心率取值范围是()A. [43,4] B. [2√33,4] C. [2√33,2] D. [43,2]6.在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形7.已知x>0，y>−1，且4x +1y+1=3，则x+y的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 18.“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块10.下列五个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0<a<1，则log a(a+1)<log a(1+1a)”是真命题；⑤命题“集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}有2个子集”是假命题．其中正确命题的序号是()A. ②③B. ①②C. ④⑤D. ③④11.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中，阴影部分可表示为A ={(x,y)|x 2+(y −1)2≤1或{x 2+y 2≤4x 2+(y +1)2≥1x ≤0}，设点(x.y)∈A ，则z =3x +4y 的最大值与最小值之和为( ) A. −1B. 19C. 1D. 2012. 已知点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (1−√22,12) B. (1−√22,13] C. (0,1)D. [13,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．若两定点A ，B 的距离为3，动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹围成的区域的面积为______． 14. 记不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9；命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12.给出了四个命题：①p ∨q ：②￢p ∨q ：③p ∧￢q ；④￢p ∧￢q ，这四个命题中，所有真命题的编号是______.(把所有正确的命题序号都填上)15. 在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 边所对的角，若a ，b ，c 成等差数列，则B 的取值范围是______．16. 函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x −3a)(x −a −2)<0的解集为A.若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值．19.设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n=na n，已知a1，3a2，9a3成等差数3列．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和.证明：T n<S n．220.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21. 已知圆C 1：x 2+y 2−2mx −4my +5m 2−4=0，圆C 2：x 2+y 2=1．(1)若圆C 1、C 2相交，求m 的取值范围；(2)若圆C 1与直线l ：x +2y −4=0相交于M 、N 两点，且|MN|=4√55，求m 的值；(3)已知点P(2,0)，圆C 1上一点A ，圆C 2上一点B ，求|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围．22. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点为M(1,34)，求k 的值；(2)若OA ⊥OB ，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：椭圆x24+y2m2=1得∴c1=√4−m 2，∴焦点坐标为(√4−m 2,0)(−√4−m 2,0)，双曲线：x2m2−y22=1有则半焦距c2=√m 2+2∴√4−m 2=√m 2+2则实数m=±1故选：C．先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于拔高题．利用祖暅原理可得：A、B在等高处的截面积恒相等”，可得：A、B的体积相等，即可判断出p与q的关系．【解答】解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．由“A、B在等高处的截面积恒相等”，由祖暅原理，可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必然：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故答案选A．3.【答案】A【解析】解：∵x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，∴x+y=a+b，xy=cd．又x>0，y>0．∴cd(a+b)2=xy(x+y)2≤xy4xy=14，当且仅当x=y>0时取等号．故选：A．利用等差数列、等比数列的性质、基本不等式即可得出．熟练掌握等差数列、等比数列的性质、基本不等式是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：由椭圆x225+y216=1，得a=5．设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|=|P7F′|，|P2F|=|P6F′|，|P3F|=|P5F′|，∴|P1F|+|P2F|+⋯+|P7F|=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+|P4F|=7a=35．故选：A．由椭圆方程求得a，设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的对称性，可得|P1F|+|P2F|+⋯+ |P7F|=7a，则答案可求．本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=bax，则tanα=ba，∵π6≤α≤π3，∴√33≤tanα≤√3，即√33≤ba≤√3，∴13≤b 2a 2=c 2−a 2a 2≤3求得2√33≤ca ≤2，故选：C ．先表示出渐近线方程，利用求得tanα=ba ，根据α的范围确定tanα范围，进而确定ba 的范围，同时利用c =√a 2+b 2转化成a 和c 的不等式关系求得ca 的范围，即离心率的范围．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线基础知识的理解和运用．6.【答案】D【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB 化简已知的等式得：sinAcosA =sinBcosB ， ∴12sin2A =12sin2B ，∴sin2A =sin2B ，又A 和B 都为三角形的内角， ∴2A =2B 或2A +2B =π，即A =B 或A +B =π2，则△ABC 为等腰或直角三角形．故选D利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A =sin2B ，由A 和B 都为三角形的内角，可得A =B 或A +B =90°，从而得到三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．7.【答案】C【解析】解：因为x >0，y >−1，且4x +1y+1=3，所以x +y =x +y +1−1=13(x +y +1)(4x +1y+1)−1=13(5+4(y+1)x+xy+1)−1≥13(5+2√4y+4x⋅xy+1)−1=2，当且仅当4y+4x=xy+1且4x +1y+1=3，即y =0，x =2时取等号，此时x +y 取得最小值2．故选：C ．利用“乘1法”，结合基本不等式即可得出．本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是乘1法的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题，直线l1：2ax+4y+3=0，所以斜率k1=−a2，直线l2：x−(a−1)2y−5=0，所以斜率k2=1(a−1)2，因为直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直，所以k1k2=−1，即−a2×1(a−1)2=−1，解得a=12或a=2，所以“a=12”是“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”的充分不必要条件．故选：A．可先根据“直线l1：2ax+4y+3=0与直线l2：x−(a−1)2y−5=0垂直”计算出a的取值，再由充要条件进行判断即可．本题考查了命题的充分条件，必要条件，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，根据等差数列的性质即可求出n=9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d=9，a1=9，由等差数列的性质可得S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则n2d=729，则n=9，则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+27×262×9=3402块，故选：C．10.【答案】A【解析】解：对于①，“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；故①不正确；对于②，命题p：∃x∈R，x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0；故②正确；对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题p是假命题，命题q一定是真命题；故③正确；对于④，若若0<a<1，则1a >1，所以a<1a，所以a+1<1a+1，因为y=log a x单调递减，所以log a(a+1)>log a(1+1a)，故④不正确；对于⑤，集合{x|x2−2x+1=0,x∈R}={1}的子集为{1}和⌀，子集有2个故是真命题，所以⑤不正确；所以正确命题的序号是②③，故选：A．根据否命题是同时否定条件和结论可判断①；根据特称命题的否定变量词否结论可判断②；根据或与非命题真假的判断可判断③；根据不等式的性质以及对数函数的单调性可判断④；解方程求得集合中的元素，进而可得集合子集的个数可判断⑤；进而可得正确答案．否命题是同时否定条件和结论，命题的否定只否定结论，存在量词的否定是全称量词，本题属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图，作直线3x+4y=0，当直线上移与圆x2+(y−1)2=1相切时，z= 3x+4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z =3x +4y 的距离等于1，即√32+42=1，解得z 的最大值为：4+5=9，当下移与圆x 2+y 2=4相切时，3x +4y 取最小值，同理有√32+42=2，即z 的最小值为−10．∴z =3x +4y 的最大值与最小值之和是9+(−10)=−1．故选：A ．结合图形，平移直线z =3x +4y ，当直线与阴影部分相切时取得最值，分别求其最大最小值即可．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力，属于中档题目．12.【答案】A【解析】解：因为点A 是椭圆x 22+y 2=1的上顶点，F 1，F 2分别是椭圆左右焦点，所以a 2=2，b 2=1，从而有c 2=a 2−b 2=1，所以A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，由题意，三角形AF 1F 2的面积为12⋅F 1F 2⋅OA =1，设直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba ,0)，由直线y =ax +b(a >0)将三角形AF 1F 2分割为面积相等的两部分，可得b >0，所以−ba <0，故点M 在射线OF 1上，设直线y =ax +b 和AF 2的交点为N ，则由{y =ax +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b a+1,a+ba+1)，①若点M 和点F 1重合，如图：则点N 为线段AF 2的中点，故N(12,12)，把F 1、N 两点的坐标代入直线y =ax +b ，求得a =b =13， ②若点M 在点O 和点F 1之间，如图：此时b >13，点N 在点F 2和点A 之间，由题意可得三角形NMF 2的面积等于12，即12⋅MF 2⋅y N =12，即12×(1+ba )⋅a+ba+1=12，可得a =b 21−2b>0，求得b <12，故有13<b <12， ③若点M 在点F 1的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−ba <−1，求得b >a ，设直线y =ax +b 和AF 1的交点为P ，则由{y =ax +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b a−1,a−ba−1)，此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于12，即12(1−b)|x N −x P |=12，即12(1−b)|1−ba+1−1−ba−1|=12，化简可得2(1−b)2=|a 2−1|，由于此时13>b >a >0，所以2(1−b)2=|a 2−1|=1−a 2，两边开方可得√2(1−b)=√1−a 2<1，所以1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13，综上，b 的取值范围应是(1−√22,12)，故选：A ．由题意，A(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，先求出直线y =ax +b(a >0)与x 轴的交点为M(−ba,0)，由−ba<0，可得点M 在射线OF 1上．再求出直线y =ax +b(a >0)和AF 2的交点N 的坐标，分三种情况讨论即可得b 的取值范围．本题主要考查直线与椭圆的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．13.【答案】4π【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查．设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可．【解答】解：根据本题圆的定义知平面内到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0,λ≠1)的点P 的轨迹是圆．又动点P 满足|PA|=2|PB|，A ，B 的距离为3，所以PAPB =2，P 点的轨迹为圆．设A(−32,0)，B(32,0)，P(x,y)，|PA|=√(x +32)2+y 2，|PB|=√(x −32)2+y 2，∴(x +32)2+y 2=4(x −32)2+4y 2，化简得，(x −52)2+y 2=4． ∴r =2，S =πr 2=4π．故答案为4π．14.【答案】①③【解析】解：作出不等式组{x +y ≥62x −y ≥0表示的平面区域为D ，在图形可行域范围内可知：命题p ：∃(x,y)∈D ，2x +y ≥9，是真命题，则￢p 假命题，命题q ：∀(x,y)∈D ，2x +y ≤12，是假命题，则￢q 真命题，所以由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p ∨q 真；②￢p ∨q 假；③p ∧￢q 真；④￢p ∧￢q 假，故①③真命题．故答案为：①③．画出平面区域为D ，再去判断命题的真假即可．本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,π3]【解析】解：由题意可得：2b =a +c ．由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=3(a 2+c 2)−2ac8ac=38(a c +c a )−14≥38×2−14=12.当且仅当a =c =b 时取等号．又B ∈(0,π)，∴B ∈(0,π3]. 故答案为：(0,π3].由题意可得：2b =a +c.利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】√34【解析】解：y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和，所求最小值为距离和的最小值，点(0,2)关于x 轴对称的点为(0,−2)，(0,−2)和(−3,3)两点的距离为√32+52=√34，综上所述，函数y =√x 2+4+√x 2+6x +18的最小值为√34，故答案为：√34．y =√x 2+4+√x 2+6x +18=√(x −0)2+(0−2)2+√(x +3)2+(0−3)2，可看作点(x,0)与点(0,2)和(−3,−3)的距离之和，即可得出答案．本题考查函数的最值，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)命题p ：∃x 0∈{x|−1≤x ≤1}，x 02−x 0−m ≥0是假命题，所以命题￢p ：∀x ∈{x|−1≤x ≤1}，x 2−x −m <0是真命题．所以m >x 2−x ，−1≤x ≤1时，f(x)=x 2−x 有最大值为f(−1)=2，所以实数m 的取值集合B ={m|m >2}； (2)由题意可知，A ⊊B 且A ≠⌀，不等式(x −3a)(x −a −2)<0对应方程(x −3a)(x −a −2)=0的根为x =3a 或x =a +2，①若3a >a +2，即a >1时，A ={x|2+a <x <3a}，若x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，即A ⊊B ，所以2+a ≥2，解得a ≥0，此时a ∈(1,+∞)； ②若3a <a +2，即a <1时，A ={x|3a <x <2+a}，所以3a ≥2，得a ≥23，此时23≤a <1，综上所述，实数a的取值范围是[23,1)∪(1,+∞)．【解析】(1)根据命题p与它的否定命题一真一假，写出￢p，再求实数m的取值集合B；(2)根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，以及根据定义转化为集合关系的应用问题，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设asinA =bsinB=csinC=2R则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 方程两边同乘以2R∴2a2=(2b+c)b+(2c+b)c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA故cosA=−12，A=120°(Ⅱ)由(Ⅰ)得：sinB+sinC=sinB+sin(60°−B)=√32cosB+12sinB=sin(60°+B)故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理，设asinA =bsinB=csinC=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中A的值，可知c=60°−B，化简得sin(60°+B)根据三角函数的性质，得出最大值．本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．19.【答案】解：(1)∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2=a1+9a3，∵{a n}是首项为1的等比数列，设其公比为q，则6q =1+9q 2，∴q =13， ∴a n =a 1q n−1=(13)n−1，∴b n =na n 3=n ⋅(13)n ．(2)证明：由(1)知a n =(13)n−1，b n =n ⋅(13)n ， ∴S n =1×[1−(13)n ]1−13=32−12×(13)n−1，T n =1×(13)1+2×(13)2+⋯+n ⋅(13)n ，① ∴13T n =1×(13)2+2×(13)3+⋯+n ⋅(13)n+1，②①−②得，23T n =12[1−(13)n ]−n(13)n+1， ∴T n =34−14×(13)n−1−n 2(13)n ，∴T n −S n 2=34−14×(13)n−1−n 2⋅(13)n −[34−14×(13)n−1]<0， ∴T n <S n 2．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的性质，等比数列的前n 项和公式和利用错位相减法求数列的前n 项和，考查了方程思想和转化思想，属中档题．(1)根据a 1，3a 2，9a 3成等差数列，{a n }是首项为1的等比数列，求出公比q ，进一步求出{a n }和{b n }的通项公式；(2)分别利用等比数列的前n 项和公式和错位相减法，求出S n 和T n ，再利用作差法证明T n <S n 2．20.【答案】解：(1)设数列{an}的公比为q ，由a 32=9a 2a 6．得a 32=9a 42．所以q 2=19．由条件可知q >0，故q =13．由2a 1+3a 2=1，得2a 1+3a 1q =1，所以a 1=13．故数列{a n }的通项式为a n =13n ．(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n=log 3(a 1a 2…a n )=log 3(3−(1+2+3+⋯+n))=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2．故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，数列{1b n}的前n 项和：T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=−2n n+1．所以数列{1b n}的前n 项和为：T n =−2nn+1．【解析】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．(1)利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n }的通项公式．(2)利用对数运算法则化简b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，然后化简数列{1b n}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.【答案】解(1)圆C 1的圆心为C 1 (m,2m)，半径r 1=2，圆C 2的圆心C 2(0,0)，半径r 2=1，因为圆C 1，C 2相交，所以圆心距|r 1−r 2|<|C 1C 2|<|r 1+r 2|，即1<√m 2+(2m)2<3，解得−3√55<m <−√55或√55<m <3√55(2)圆心C 1到直线l ：x +2y −4=0的距离d =√5，结合d 2+(MN 2)2=r 12，即(5m−4)25+45=4，解得m =0或m =85(3)由向量加减运算得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|，由−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 联想到作出圆C 2：x 2+y 2=1关于定点P(2,0)的对称圆C 3：(x −4)2+y 2=1，延长BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与圆C 3交于点B 1，则−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −(−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |就是圆C 1上任意一点A 与圆C 3上任一点B 1的距离．所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =|C 1C 3|−3=√(m −4)2+(2m)2−3=√5m 2−8m +16−3=√5(m −45)2+645−3=8√55−3 所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值的取值范围是[8√55−3,+∞)【解析】(1)根据|r 1−r 2|<|C 1C 2|<r 1+r 2，即可求解m 的取值范围； (2)由C 1到直线l 的距离为√5，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解m 的值．(3)通过作圆C 2的对称圆C 3，找到B 的对称点B 1，然后将|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |转化为|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即圆C 1与圆C 3上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可．本题考查了圆的方程的综合引用．属难题．22.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12，得3(x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，解得k =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−1；证明：(2)当斜率k 存在时，设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{3x 2+4y 2=12y =kx +m ，得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0． ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，∵OA ⊥OB ，∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)⋅4m 2−123+4k 2−8k 2m 23+4k 2+m 2=7m 2−12−12k 23+4k 2=0，∴m 2=127(1+k 2)，原点O 到直线l 的距离d =√1+k2=2√217；当直线l 的斜率不存在时，设直线l 为x =m ，则A(m,√3(4−m 2)2)，B(m,−√3(4−m 2)2)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得m 2−3(4−m 2)4=0，解得|m|=2√217．综上可知，原点O 到直线l 的距离为定值2√217．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把A 、B 的坐标代入椭圆方程，利用作差法即可求得直线l 的斜率k 的值；(2)当斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积为0可得k与m的关系，再由点到直线的距离公式求解原点O到直线l的距离为定值；当直线l的斜率不存在时，设直线l为x=m，直接运算可得原点O到直线l的距离为定值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用作差法求直线的斜率，考查运算求解能力，是中档题．。

2021年高二下学期期中统一考试数学(理)试题含答案

2021年高二下学期期中统一考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，，那么A ＝（）A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、2011二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是。

理科高二年级数学上册期中考试卷

理科高二年级数学上册期中考试卷想要学习好就一定不可以偷懒哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，希望大家多多参考一下哦高二数学上期中理科联考试题第I卷共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若设，则一定有( )A. B. C. D.2、命题“对任意，都有”的否定为 ( ).对任意，都有 .不存在，使得.存在，使得 .存在，使得3、已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的( )A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、等差数列的前项和为，且，，则公差等于 ( ).-2 . -1 . 1 . 25、原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026、钝角三角形的面积是，，，则 ( ). 1 . 2 . . 57、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9、已知满足线性约束条件则的最大值为( )A、 B、 C、 D、10、若是等差数列，首项则使前n项和成立的最大自然数是( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 01511、已知函数f(x)=4x2﹣1，若数列前n项和为Sn，则S2015的值为( )A. B. C. D.12、若两个正实数x，y满足 + =1，且不等式x+A. B. C. D.第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13、在中，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，若1. 则c=14、中，角A,B,C成等差数列，则。

安徽省江淮名校20212021学年高二数学上学期期中试题理（含解析）

江淮名校高二年级〔上〕期中联考数学〔理科〕试卷一、选择题〔共12小题,每题5分,共60分〕1. 若是直线与直线垂直，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，所以，应选B.2. 假设某几何体的三视图如下图，那么这个几何体的直观图可以是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由中三视图的上局部有两个矩形，一个三角形，故该几何体上局部是一个三棱柱，下局部是三个矩形，故该几何体下局部是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，那么以为圆心，为半径的圆的方程为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，应选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，那么这个平面图形的面积是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】按照斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，恢复为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得这个平面图形的面积是，应选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是〔〕A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，应选A.6. ，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出以下四个命题：①，，，那么；②，，，那么；③，，，那么；④，，，那么其中正确命题的序号为〔〕A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，那么可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确；②，那么与相交、平行或异面，故②不正确；③假设，那么，③正确；④，，可知与共线的向量别离是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角，，故④正确，应选C.【方式点晴】此题主要考察线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图〔尤其是画长方体〕、现实实物判断法〔如墙角、桌面等〕、排除挑选法等；另外，假设原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 两点，，直线过点且与线段相交，那么直线的斜率的取值范围是〔〕A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如下图，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范围是或，应选B.8. 如下图，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，假设要使得平面平面，那么应补充的一个条件可以是〔〕A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有〔〕个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点组成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进展换底，那么三棱锥有四种表示形式，此时知足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即组成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，那么此时知足条件的平面个数是三个，所以知足条件的平面共有个，应选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，那么由〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，那么以下结论中错误的选项是〔〕A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，应选D.12. 如下图，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，那么与所成的角为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，应选C.【方式点晴】此题主要考察正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方式有两种：一是向量法，按照几何体的特殊性质成立空间直角坐标系后，别离求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方式找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13. 假设直线通过原点和，那么直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角〕，又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，那么直线的方程为__________．【答案】或【方式点睛】此题主要考察待定系数法求直线方程和直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：〔1〕判断，按照题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；〔2〕设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；〔3〕求参数，按照条件列方程求出参数；〔4〕将参数代入求解；〔5〕考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，那么的取值范围为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离知足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.假设为线段的中点，那么翻折进程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，那么MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，知足，从而DE⊥平面A1EC，那么DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，必然要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题〔本大题包括6小题，共70分〕17. 圆：.〔1〕假设直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；〔2〕求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】〔1〕或；〔2〕或【解析】试题分析：〔1〕设切线方程为：,按照圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；〔2〕设所求直线方程为，按照点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：〔1〕设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.〔2〕因为所求直线与直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.〔1〕求证：平面平面；〔2〕求证：平面平面.【答案】〔1〕观点析；〔2〕观点析【解析】试题分析：〔1〕由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；〔2〕取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：〔1〕∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面〔2〕取的中点，连接，，由〔1〕知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，所以，又，所以平面，所以平面，从而平面平面.【方式点晴】此题主要考察线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常常利用方式：①利用线面平行的判定定理，利用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或构造平行四边形、寻觅比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 此题〔1〕是就是利用方式①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，. 〔1〕求证：平面；〔2〕求直线与平面所成角的正弦值.【答案】〔1〕观点析；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由平面，得，由，得，再由，取得平面；〔2〕过点作的平行线交于点，连结，那么与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，取得为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：〔1〕证明：因为平面，直线平面，所以，又因为，所以，而，所以平面.〔2〕过点作的平行线交于点，连接，那么与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，由于，.故.由得，，又，故，在中，可得，在中，可得.所以，直线与平面所成的角的正弦值为【方式点晴】此题主要考察线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要按照条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进展转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进展推理；证明直线和平面垂直的常常利用方式有：〔1〕利用判定定理；〔2〕利用判定定理的推论；〔3〕利用面面平行的性质；〔4〕利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上. 〔1〕求矩形的外接圆的方程；〔2〕直线：〔〕，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，那么题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；〔２〕由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经查验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：〔1〕∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．〔2〕证明：直线的方程可化为，可看做是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，所以与圆恒相交，设与圆的交点为〔为到的距离〕，设与的夹角为，那么，当时，最大，最短．此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪别离是线段，的中点.〔1〕证明：；〔2〕在线段上是不是存在点，使得平面？假设存在，肯定点的位置；假设不存在，说明理由. 〔3〕假设与平面所成的角为.【答案】〔1〕观点析；〔2〕当为的一个四等分点〔靠近点〕时，平面；〔3〕【解析】试题分析：〔1〕利用的线面垂直关系成立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．〔2〕证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；〔3〕把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;〔4〕空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分熟悉形体特征，成立适当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：〔1〕∵平面，，，，成立如下图的空间直角坐标系，那么． 2分不妨令∵，∴，即． 4分〔2〕设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，那么，要使∥平面，只需，即，得，从而知足的点即为所求． 8分〔3〕∵，∴是平面的法向量，易患， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：〔1〕证明：连接，那么，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分〔2〕过点作交于点，那么∥平面，且有5分再过点作∥交于点，那么∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而知足的点即为所求． 8分〔3〕∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，那么，平面，在平面中，过作，连接，那么，那么即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：一、直线与直线垂直的判定；二、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图〔1〕，在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图〔2〕所示.〔1〕求证：平面；〔2〕求三棱锥的体积；〔3〕求二面角的正弦值.【答案】〔1〕观点析；〔2〕；〔3〕【解析】试题分析：〔1〕由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；〔2〕过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；〔3〕由〔2〕可知平面，过点作，交的延长线于，连接，那么为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：〔1〕∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.〔2〕过作，交于点，∴平面∴〔3〕由〔2〕可知平面，过点作，交的延长线于，连接，那么为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。

2021-2022年高二下学期期中考试数学(理科)试卷含答案

2021年高二下学期期中考试数学（理科）试卷含答案程远见丁勇数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 设i 为虚数单位，则复数5－6ii等于A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是 A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，至多有两个是偶数3. 已知积分，则实数A ．2B ．C ．1D ．4. 已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D.5. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 A.18B.24C. 36D. 726．某个自然数有关的命题，如果当时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立.现已知当时，该命题成立，那么，可推得A. 时，该命题成立B. 时，该命题成立C.时，该命题不成立D.时，该命题不成立 7．函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 A 、 B 、 C 、 D 、8. 记为函数的阶导函数，即.若且集合()*{|()sin ,,2013}m M m f x x m N m ==∈≤，则集合中元素的个数为（A ）（B ）（C ）（D ）9. 某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为A ．1860B ．1140C ．1320D ．102010. 已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数()()()1'13g x f x f x =----的零点所在区间是. B. C. .11. 已知函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为A ．B ．C ．D ．12.设函数=,其中a 1，若存在两个整数x 1,x 2，使得f(x 1),f(x 2)都小于0，则的取值范围是(A) (B)[-，） (C) (D) [，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13、设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为 ▲14.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第行第3个数字是 ▲ ．（用含的式子作答）15.如图，用五种不同的颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不ABCDE F同的涂色方法共 ▲_ 种。

广西北流市实验中学2024_2025学年高二数学下学期期中试题理

广西北流市试验中学2024-2025学年高二数学下学期期中试题理留意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必需运用2B 铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3．请依据题号依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知}{12|<<-=x x M ,⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤-=03|x x x N ，则M =N （） A. ()1,0 B. [)1,0C. (]3,1D. []3,02.复平面内，复数ii+-221的虚部为（）A iB.i -C. 1D. 1-3. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得知5户家庭收入的平均值10=x 万元，支出的平均值8=y 万元，依据以上数据可得线性回来方程为ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11．4万元B ．11．8万元C ．12．0万元D ．12．2万元4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．85.已知函数3,10()[(5)],10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中x N ∈，则(8)f =（）A ．2B ．4C ．6D ．76.要得到)32sin(π-=x y 的图象，只需将x x y cos sin 2=的图象（）A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位7.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆C:22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的最大值是（） A ．6B ．23C ． 2D ．28.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则5S =（）．A. 242B. 121C. 62D. 31 9.已知某几何体的三视图（如图），其中俯视图和侧（左）视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则几何体的体积V 的大小为（） A.340 B.335C. 12D. 16 10.球的表面上有A B C ，，三点，1AB =，2BC =，过A ，C 和球心O 作截面，截面圆中劣弧AC 长33π，已知该球的半径为3，则球心0到平面ABC 的距离为（） A. 1 B. 2 C.21 D. 23 11．已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，22tan 21=∠MF F ,则双曲线E 的离心率为（）A ．22B ． 2C ．2D ．3 12.已知偶函数y= f (x)对于随意的x [0,)2π∈满意f '(x)cosx ＋f(x)sinx>0(其中f ' (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中不成立的是（）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<420.πf f A ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛-432.ππf f B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-432.ππf f C ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛336.ππf f D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。