高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式精品学案新人教B版必修

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高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式1．向量内积的坐标运算已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.知识拓展非零向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是：(1)θ为锐角或零角⇔x 1x 2＋y 1y 2＞0； (2)θ为直角⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (3)θ为钝角或平角⇔x 1x 2＋y 1y 2＜0.【自主测试1】若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且a ·b ＝43，则x 等于( )A ．3B ．13C ．－13 D ．－3解析：由题意，得2x －6x ＝43，解得x ＝－13.答案：C2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.名师点拨解决两向量垂直的问题时，在表达方式上有一定的技巧，如a ＝(m ，n )与b ＝k (n ，－m )总是垂直的，当两向量的长度相等时，k 取±1.【自主测试2】已知a ＝(2,5)，b ＝(λ，－3)，且a ⊥b ，则λ＝__________.解析：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即2λ－15＝0，∴λ＝152.答案：1523．向量的长度、距离和夹角公式(1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)两点之间的距离公式：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)向量的夹角的余弦公式：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则两个向量a ，b 的夹角的余弦为cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.你会求出与向量a ＝(m ，n )同向的单位向量a 0的坐标吗？答：a 0＝a |a |＝1m 2＋n 2(m ，n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋n 2，n m 2＋n 2.【自主测试3－1】已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判断解析：由AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,2)，CA →＝(3，－3)，得AB →2＝2，BC →2＝20，CA →2＝18. ∵AB →2＋CA →2＝BC →2，即AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形．答案：B【自主测试3－2】已知m ＝(3，－1)，n ＝(x ，－2)，且〈m ，n 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．－4D ．4 解析：cos π4＝3x ＋210×x 2＋4，解得x ＝1. 答案：A【自主测试3－3】已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝__________. 解析：由|a |2＝9＋x 2＝25，解得x ＝±4.答案：±41．向量模的坐标运算的实质剖析：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量模的运算其实质即为平面直角坐标系中两点间距离的运算．2．用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”不恒成立剖析：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2, b·c ＝x 3x 2＋y 3y 2.∴(a·b )·c ＝(x 1x 2＋y 1y 2)(x 3，y 3)＝(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)，a·(b·c )＝(x 1，y 1)(x 3x 2＋y 3y 2)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)．假设(a·b )·c ＝a·(b·c )成立，则有(x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3)＝(x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 2x 3 y 1＋ y 1y 2y 3)， ∴x 1x 2x 3＋y 1y 2x 3＝x 1x 3x 2＋x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＋y 1y 2y 3＝x 2x 3 y 1＋y 1y 2y 3.∴y 1y 2x 3＝x 1y 2y 3，x 1x 2y 3＝x 2x 3 y 1. ∴y 2(y 1x 3－x 1y 3)＝0，x 2(x 1y 3－x 3y 1)＝0. ∵ b 是任意向量， ∴x 2和y 2是任意实数． ∴y 1x 3－x 1y 3＝0. ∴a ∥c .这与a ，c 是任意向量，即a ，c 不一定共线相矛盾． ∴假设不成立．∴(a·b )·c ＝a·(b·c )不恒成立． 3．教材中的“思考与讨论”在直角坐标系xOy 中，任作一单位向量OA →旋转90°到向量OB →的位置，这两个向量的坐标之间有什么关系？你能用上述垂直的条件，证明下面的诱导公式吗？cos(α＋90°)＝－sin α，sin(α＋90°)＝cos α.反过来，你能用这两个诱导公式，证明上述两个向量垂直的坐标条件吗？把两向量垂直的坐标条件可视化．有条件的同学可用“几何画板”、“Scilab”等数学软件进行可视化研究．剖析：如图所示，在平面直角坐标系中，画出一单位圆，有A (cos α，sin α)，B (cosβ，sin β)，且β－α＝90°，也就是β＝α＋90°.过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则△BNO ≌△OMA ． ∴|OM →|＝|NB →|，|ON →|＝|MA →|.当点A 在第一象限时，点B 在第二象限， ∴|ON →|＝－cos β，|NB →|＝sin β， |OM →|＝cos α，|MA →|＝sin α，从而有－cos β＝－cos(α＋90°)＝sin α， sin β＝sin(α＋90°)＝cos α，即cos(α＋90°)＝－sin α， sin(α＋90°)＝cos α.题型一向量数量积的坐标运算【例题1】已知a ＝(－6,2)，b ＝(－2,4)，求a ·b ，|a |，|b |，〈a ，b 〉．分析：直接套用基本公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，|a |＝x 21＋y 21，cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22即可．解：a ·b ＝(－6,2)·(－2,4)＝12＋8＝20. |a |＝a ·a ＝－6，2×－6，2＝36＋4＝210， |b |＝－22＋42＝20＝2 5.∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝20210×25＝22，且〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π4.反思如果已知向量的坐标，则可以直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；如果向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．〖互动探究〗设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， (1)求a －2b 的坐标表示和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |. 解：(1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58. (2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1，∴c ＝a ＋b ＝(1,6)，∴|c |＝12＋62＝37. 题型二平面向量垂直的坐标运算【例题2】在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．分析：对△ABC 的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， ∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23.当B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113.当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.因此，△ABC 有一个角为直角时，k ＝－23，或k ＝113，或k ＝3±132.反思(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．题型三数量积的坐标运算在几何中的应用【例题3】已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．解：(1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)若四边形ABCD 为矩形，则AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2),∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →| |BD →|＝1625×25＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边用向量表示，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．题型四利用向量数量积的坐标运算证明不等式【例题4】证明：对于任意的a ，b ，c ，d ∈R ，恒有不等式(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．分析：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，用m ·n ≤|m |·|n |即可，要注意等号成立的条件．证明：设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，两向量夹角为θ，则m ·n ＝|m ||n |cos θ，∴ac ＋bd ＝a 2＋b 2·c 2＋d 2·cos θ，∴(ac ＋bd )2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)cos 2θ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，当且仅当m 与n 共线时等号成立． ∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)得证．反思本题直接利用代数方法也易得证．若从不等式的特征构造向量，利用向量的数量积和模的坐标运算来证，显得比较灵活，体现了向量的工具性．题型五易错辨析【例题5】设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(λ，－1)(λ∈R )，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 错解：由a 与b 的夹角为钝角，得a ·b ＜0，即－2λ－1＜0，解得λ＞－12.故选C ．错因分析：a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a 与b 的夹角为平角的情况舍去．正解：a ·b ＜0⇒(－2,1)·(λ，－1)＜0⇒λ＞－12.又设b ＝t a (t ＜0)，则(λ，－1)＝(－2t ，t )，所以t ＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a 和b 反向，且共线，所以λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．故选A ．1．设m ，n 是两个非零向量，且m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则以下等式中，与m ⊥n 等价的个数为( )①m ·n ＝0；②x 1x 2＝－y 1y 2；③|m ＋n |＝|m －n |；④|m ＋n |＝m 2＋n 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①②中的等式显然与m ⊥n 等价；对③④中的等式的两边平方，化简，得m ·n ＝0，因此也是与m ⊥n 等价的，故选D ．答案：D2．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(－2，－3)，则向量a 在向量b 方向上的投影的数量为( )A ．－1313 B ．1313C ．0D ．1 答案：B3．(2012·广东广州测试)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(n,1)，其中n ≠±1，则下列结论正确的是( )A ．(a －b )∥(a ＋b )B ．(a ＋b )∥bC ．(a －b )⊥(a ＋b )D ．(a ＋b )⊥b解析：∵a －b ＝(1－n ，n －1)，a ＋b ＝(1＋n ，n ＋1)， ∴(a －b )·(a ＋b )＝0， ∴(a －b )⊥(a ＋b )．答案：C4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝b －k a ，若c ⊥a ，则c ＝__________.解析：根据a 和b 的坐标，求c 的坐标，再利用垂直建立关于k 的方程，求出k 后可得向量c .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－155．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，a ＝i －2j ，b ＝i ＋m j ，给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则m ＜12；②当且仅当m ＝12时，a 与b 互相垂直；③a 与b不可能是方向相反的向量；④若|a |＝|b |，则m ＝－2.其中正确的命题的序号是__________．答案：①②③6．设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数，证明：使|x |最小的向量x 垂直于向量b .证明：因为|x |2＝x ·x ＝|a |2＋λ2|b |2＋2λa ·b ，所以x 2＝25λ2＋14λ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5λ＋752＋125.当5λ＋75＝0，即λ＝－725时，|x |最小．此时x ＝a －725b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫425，325. 又425×3－325×4＝0，所以向量x 与b 垂直．。

高中数学新人教版B版精品教案《2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》

向量数量积的坐标运算与度量公式（课前预习案）学习目标：1通过自学课本能推导出向量数量积的坐标表达式，并写出两向量垂直的坐标公式。

2通过自学课本能够准确写出向量的长度、距离和夹角余弦的坐标公式并会熟练地应用解决有关问题。

3通过合作探究一学会向量垂直条件坐标形式的应用，通过合作探究二学会求已知向量夹角为锐角和钝角时参数的取值范围。

通过合作探究三体会向量的工具性以及函数思想的应用。

4根据学习的内容，完成思维导图案。

自学指导一）阅读课本P112至思考讨论前思考以下问题1、在正交基底{}21,e e 下，已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出它们的正交分解式吗？{}21,e e 的模与数量积分别是多少？由此你能推出a ·b 坐标表达式吗？2、向量b a ,垂直的等价条件是什么？你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？（二）阅读课本P112下3、向量的长度、距离和夹角公式至P113例题2并思考思考以下问题1. 你能写出a ·b 的定义式吗？2、根据a ·b 的定义式你能快速写出|a |以及><b a ,cos 的表达式吗？3.若已知向量已知向量b a ,的坐标分别为),(),(2211y x b y x a == 你能写出|a |以及><b a ,cos 的坐标表达式吗？4已知),(),(2211y x B y x A ==则AB =自学检测中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝1，－2，错误!＝2,1，则错误!·错误!＝A ．5B ．4C ．3D ．22已知向量a =（-1,2），b =（3,），若a ∥b ，则=_______;若a ⊥b ，则=_______3已知向量a =（4,5），b =（-4，3），求a ·b ，|a |，|b |,cos a b4 夹角的余弦值为与则若b b a a ),12,5(),4,3(=-=（1,2），B （-5,8），C （-2，-1），求证：AB ⊥AC 。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》

向量数量积的坐标运算与度量公式一．教学目标：1知识与技能：（1）掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算（2）会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角2过程与方法：经历数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题﹑解决问题的能力。

3情感﹑态度﹑与价值观：（1）通过用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明世间事物可以相互联系与转化。

（2）用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地。

通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律。

二．教学重点﹑难点重点：掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算难点：会判断两个平面向量的垂直关系，会计算向量的长度，能运用数量积求两个向量的夹角三．学情分析：本章学生首先学习了向量的线性运算几何法及坐标法，以及平面向量数量积，学生以这些知识为基础，学习向量数量积的坐标运算与度量公式，相对来说比较轻松。

在授课过程中，可以充分以学生为主体，通过平面向量数量积及前面向量线性运算的坐标法，启发学生自己推导出向量数量积的坐标公式及度量公式。

四课型分析：新授课五．教学方法:本节内容教学中设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究，使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。

六．教学过程及时间分配：（一）导入新课：（5分钟）复习向量数量积公式，垂直的条件以及求模和夹角公式。

结合前面向量的线性运算中几何法和坐标法引出本节课向量数量积的坐标运算及度量公式。

（二）讲授新课：（10分钟）解决课前案中的引导问题，大屏幕展示平面向量数量积坐标公式的推导过程，得出向量数量积的坐标公式，由学生说出向量有关应用的公式。

（三）例题讲解：（10分钟）学生讲解例题，变式1，变式2，引导学生总结判断三角形形状的方法：（1）数量积的方法，（2）求模的方法，（3）求夹角的方法。

（四）体验发现：（18分钟）探究部分：学生小组合作探究一变式3，探究二变式1,2,3，到黑板展示，点评，质疑，总结。

高中数学第2章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教案新人教B新人教B高一数学教案

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学习目标核心素养1．掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)2．能运用数量积表示两个向量的夹角．计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系．(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养(1)向量内积的坐标运算：已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0. 2．向量的长度、距离和夹角公式 (1)向量的长度：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22. (2)两点间的距离：如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)两向量的夹角：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. 思考：与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标如何表示？[提示] 由于单位向量a 0＝a |a |，且|a |＝a 21＋a 22，所以a 0＝a |a |＝1a 21＋a 22(a 1，a 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 1a 21＋a 22，a 2a 21＋a 22，此为与向量a ＝(a 1，a 2)同向的单位向量的坐标．1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝( ) A ．5B ．4C ．－2D ．－1D [a·b ＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.] 2．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________.－210 [∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a |＝22＋22＝22，|b |＝－82＋62＝10.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－422×10＝－210.]3．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________. ±4 [|a |＝32＋x 2＝5，∴x 2＝16.即x ＝±4.]平面向量数量积的坐标运算则x 的值等于( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则a·b ＝________，a·(a －b )＝________.(3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b·c ＝5，则向量c ＝________.[思路探究] 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解．(1)D (2)1 4(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47 [(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1,2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32.(2)a·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a －b )＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(3)设c ＝(x ，y )，因为a·c ＝2，b·c ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝2，3x ＋2y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97，y ＝47，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫97，47.]1．进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a ；(a ＋b )(a －b )＝|a|2－|b|2；(a ＋b )2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.2．通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系．3．向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11C[依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a ＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.]向量的模的问题则|2a－b|等于( )A．4 B．5C．3 5 D．45(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.[思路探究](1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)D(2)2 5 4 [(1)由a∥b，得y＋4＝0，y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D. (2)由题意知，a ＋b ＝(－2,4)，a －b ＝(4,0)，因此|a ＋b |＝25，|a －b |＝4.] 向量模的问题的解题策略：(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a 2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算．(2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则|a|＝x 2＋y 2. 2．已知向量a ＝(2x ＋3,2－x )，b ＝(－3－x,2x )(x ∈R )，则|a ＋b|的取值范围为________．[2，＋∞) [∵a ＋b ＝(x ，x ＋2)， ∴|a ＋b|＝x 2＋x ＋22＝2x 2＋4x ＋4＝2x ＋12＋2≥2，∴|a ＋b|∈[2，＋∞)．]向量的夹角与垂直问题1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，当a 与b 的夹角α为钝角时，λ的取值范围是什么？[提示] ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1. ∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，21＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？[思路探究] (1)可利用a ，b夹角为锐角⇔⎩⎪⎨⎪⎧a·b>0a ≠λb求解．(2)可利用两非零向量a ⊥b ⇔a·b ＝0来求m .(1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)解：a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)，因为(a ＋m b )⊥(a－b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a ⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．3．若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[2a －3b ＝2(k,3)－3(1,4)＝(2k －3，－6)．因为2a －3b 与c 的夹角为钝角，则(2k －3，－6)·(2,1)<0且不反向，即4k －6－6<0，解得k <3.当2a －3b 与c 反向时，k ＝－92，所以k 的范围是k <3且k ≠－92.](教师用书独具)1．向量垂直的坐标表示 (1)记忆口诀和注意问题注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平行的条件不要混淆，“a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0”可简记为“对应相乘和为0”；“a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．(2)可以解决的问题应用公式可解决向量垂直，两条直线互相垂直等问题． 2．区分向量平行与垂直的坐标公式(1)向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模(长度)、角度、垂直等问题用坐标运算来解决尤为简单．(2)注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别.1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( )A. 2 B ．2 C ．5 2D ．50A [∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝－12＋12＝ 2.故选A.]2．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x 等于( )A ．1B ．－1C ．4D ．－4A [∵a ·b ＝|a |·|b |cos π4，∴3x ＋2＝10×x 2＋4×22，解得x ＝1或x ＝－4.又∵3x ＋2>0，∴x >－23，故x ＝1.]3．设a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1,2)且a ⊥b ，则x ＝________. －23 [∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0.即x ＋2(x ＋1)＝0. 解得x ＝－23.]4．已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，求：(1)a·b ；(2)(a ＋b )2；(3)(a ＋b )·(a －b )． [解] (1)因为a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，所以a·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5. (2)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，所以(a ＋b )2＝|a ＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)a ＋b ＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.。

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算学案新人教A版

2.3.3平面向量的坐标运算课前预习学案一、预习目标：通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算二、预习内容：1、知识回顾：平面向量坐标表示2.平面向量的坐标运算法则：若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)则a ＋b ＝____________________,a －b ＝________________________,λa ＝_____________________.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它课内探究学案一、学习目标：1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.二、学习内容1. 平面向量的坐标运算法则：思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？平面向量的坐标运算法则：（1）两向量和的坐标等于_______________________；（2）两向量差的坐标等于_______________________；（3）实数与向量积的坐标等于__________________________；思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？2．典型例题例1 ：已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b ，3a ＋4b 的坐标.例2：已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标。

高中数学第二章平面向量 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4-新人教

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的长度，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？答若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12吗？答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.[预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的长度(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.要点一向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )； (3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a [(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．要点二两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos∠ACB . 解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点， ∴向量OC →与OP →共线，设OC →＝tOP →(t ∈R )，则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )， ∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)． (2)由(1)知OC →＝(4,2)， ∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8. ∴cos∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.规律方法应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值； (2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1， |a ＋b |＝4＋12＋3－12＝25＋4＝29.(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.要点三向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝1－22＋1＋12＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b . 解设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|. ∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |， ∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.又∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即⎝ ⎛x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2 答案 D解析易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋－82＝8 2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________．答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5.4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算，为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．一、基础达标1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 答案 D解析由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17C ．－16 D.16答案 A解析由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的坐标为( ) A.322 B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的正射影的坐标为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|C D →|＝1552＝322，选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73答案 D解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________．答案 {x |x <85且x ≠－52}解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝－12＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1答案 B解析因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B.9．与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13D.⎝⎛⎭⎪⎫223，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13答案 B10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3. ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋－4×1－32＋－42×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )，∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝1－2m2＋2－3m 2， ∴cos 45°＝c ·d|c ||d |＝2－3m1－2m2＋2－3m2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝a ·c ，试判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝－c 2，a ＋c2＝－b2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2.∵a ·b ＝b ·c ＝a ·c ，∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形.2.4 向量的应用。

高中数学第二章平面向量 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版必修4

即2x＋y－3＝0.
②
由①②可得x＝1， y＝1，
∴|A→D|＝ 1－22＋1＋12＝ 5，即|A→D|＝ 5，点 D 的坐标为(1,1).
规律方法将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
跟踪演练 3 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB
则A→D＝(x－2，y＋1)，B→C＝(－6，－3)，
B→D＝(x－3，y－2)，
∵D
在直线
BC
→→ 上，即BD与BC共线，
∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
跟踪演练2 已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝ (1,0)，e2＝(0,1). (1)试计算a·b及|a＋b|的值；解 a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝ 4＋12＋3－12＝ 25＋4＝ 29.
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解 ∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0·b＝0.
规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系. (2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充.
跟踪演练1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1).求： (1)a·b；解 a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.

高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B必修4

2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|u u u rAB|＝x2－x12＋y2－y12.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )A．23 B．7 C．－23 D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )预习课本P112～114，思考并完成以下问题A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6} 答案：C4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，u u u rAB ＝(1，－2)，AD u u u r ＝(2,1)，则AD u u u r ·AC u u u r＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] (1)a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC u u u r ＝u u u r AB ＋AD u u u r＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD u u u r ·AC u u u r ＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案] (1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a . 解：(1)因为a 与b 同向，又b ＝(1,2)，所以a ＝λb ＝(λ，2λ)．又a ·b ＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x y a x,b y c a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量u u u r AB 与a ＝(2,3)同向，|u u u rAB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设u u u rAB ＝λa (λ＞0)， ∴u u u r AB ＝(2λ，3λ)．又|u u u rAB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．∴u u u rAB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)．[答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝2cos θ－32＋2sin θ2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________. (2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)．又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0，解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)，由cos π4＝22得2－k ×1＋1－k ×02－k2＋1－k2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋－4×1－32＋－4272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积 [典例] 已知点A ，B ，C 满足|u u u r AB |＝3，|u u u r BC |＝4，|u u u r CA |＝5，求u u u r AB ·u u ur BC ＋u u u r BC ·u u u r CA ＋u u u r CA ·u u u rAB 的值．[解] [法一定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴u u u r AB ·u u u r BC ＋u u u r BC ·u u u r CA ＋u u u r CA ·u u u rAB ＝u u u r BC ·u u u r CA ＋u u u r CA ·u u u r AB＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴u u u rAB ＝(－3,0)，u u u r BC ＝(0,4)，u u u r CA ＝(3，－4)．∴u u u r AB ·u u ur BC ＝－3×0＋0×4＝0， u u u r BC ·u u u rCA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， u u u r CA ·u u u rAB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴u u u r AB ·u u u r BC ＋u u u r BC ·u u u r CA ＋u u u r CA ·u u u rAB ＝0－16－9＝－25.[法三转化法]∵|u u u rAB |＝3，|u u u r BC |＝4，|u u u r AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴u u u r AB ·u u ur BC ＝0，∴u u u r AB ·u u u r BC ＋u u u r BC ·u u u r CA ＋u u u r CA ·u u u r AB ＝u u u r CA ·(u u u r AB ＋u u ur BC ) ＝u u u r CA ·AC u u u r ＝－|u u u r AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得u u u r OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，u u u r OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝u u u r OD ·u u u r OE | u u u r OD |·|u u u r OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵u u u r OD ＝uuu r OA ＋u u u r AD ＝uuu r OA ＋12u u u rOC ，u u u r OE ＝u u u r OC ＋uuu r CE ＝u u u r OC ＋12uuu r OA ，∴|u u u r OD |＝52，|u u u r OE |＝52，u u u r OD ·u u u r OE ＝12uuu r OA 2＋12u u u r OC 2＝1，∴cos ∠DOE ＝u u u r OD ·u u u r OE | u u ur OD ||u u u r OE |＝45.答案：45层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D. 2．设x ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知u u u r AB ＝(8，－4)， u u u r AC ＝(2,4)，u u u r BC ＝(－6,8)，∴u u u r AB ·u u u rAC＝2×8＋(－4)×4＝0，即u u u r AB ⊥u u u rAC .∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·2a ＋b |a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，故b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)．(1)；(2)设实数t 满足t 的值．解：(1)(－3，－1)(1，－5)，(－1)×(－5)＝2.(－2，－6)，∴＝4＋36＝210.(2)(－3－2t ，－1＋t )(2，－1)，且∴0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2(2,2)(4,1)，在x 轴上有一点P 则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)(x －2，－2)(x －4，－1)，(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103.4(－3,1)(0,5)O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝⎛⎭⎪⎫3，294D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294解析：选B 设C (x ，y )(x ，y )．(－3,1)，(x ＋3，y －1)．∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3.∵uuu rOB ＝(0,5)， ∴u u u r BC ＝u u u r OC －uuu r OB ＝(x ，y －5)，u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(3,4)． ∵u u u r BC ⊥u u u r AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则u u u r DE ·uuur CB 的值为______；u u u r DE ·u u u rDC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以u u u r DE ·uuur CB ＝(1，a )·(1,0)＝1， u u u r DE ·u u u rDC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1，故u u u r DE ·u u u rDC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知uuu r OA ＝(4,0)，uuu r OB ＝(2,23)，u u u r OC ＝(1－λ)uuu r OA ＋λuuu r OB (λ2≠λ)．(1)求uuu r OA ·uuu r OB 及uuu r OA 在uuu rOB 上的射影的数量；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当u u u r AB ＝u u ur BC 时，求λ的值；(3)求|u u u rOC |的最小值．解：(1)uuu r OA ·uuu r OB ＝8，设uuu r OA 与uuu rOB 的夹角为θ，则cos θ＝uuu r OA ·uuu r OB |uuu r OA ||uuu r OB |＝84×4＝12， ∴uuu r OA 在uuu r OB 上的射影的数量为|uuu r OA |cos θ＝4×12＝2.u u u rAB uuu r OB uuu r OA (－2,23)u u u r BC ＝u u u r OC uuu r OB (1－λuuu r OA (1－λ)uuu r OB ＝(λ－1)u u u rAB ，所以A ，B ，C 三点共线．当u u u r AB ＝u u ur BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|u u u r OC |2＝(1－λ)22u u u u r OA ＋2λ(1－λ)uuu r OA ·uuu r OB ＋λ22u u u u r OB＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，∴当λ＝12时，取到最小值，为2 3.。

高中数学第二章平面向量2.3.3平面向量的坐标运算学案含解析新人教A版必修

学习资料2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3平面向量的坐标运算内容标准学科素养1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示。

2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则。

3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来。

应用直观想象提升数学运算授课提示：对应学生用书第57页[基础认识]知识点一平面向量的正交分解阅读教材P94～97,思考并完成以下问题力可以在不同方向上进行分解，那么向量是否可以分解为不共线的两个向量的和?（1)如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？提示：可作为基底．(2）在平面直角坐标系中,取x轴同向的单位向量i，取y轴同向的单位向量j作为基底，坐标平面上的任一向量a可用(i，j）唯一表示吗？提示：a可以写为λ1i＋λ2j且唯一．知识梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，每个点都有唯一一对坐标表示，那么平面直角坐标系中的向量可用坐标表示吗？(1)如图，在平面直角坐标系中，A(3,2），那么向量错误!用x轴，y轴上的单位向量i，j如何表示?提示：错误!＝3i＋2j。

(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，平面内的向量a用i，j如何表示？提示:a＝x i＋y j.知识梳理(1）平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得a＝x i＋y j.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定,我们把有序数对（x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y)．②在直角坐标平面中,i＝(1，0),j＝（0,1），0＝（0，0）．知识点三平面向量的坐标运算思考并完成以下问题已知a＝(x1，y2)，b＝（x2,y2)，能得出a＋b,a－b，λa的坐标吗？设a＝错误!＝（3，0)，b＝错误!＝(1,2）,用几何法求a＋b,a－b。

2017_2018学年高中数学第二章平面向量2_3_3向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4

2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．向量数量积及向量垂直的坐标表示设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)(1)数量积a·b＝a1b1＋a2b2.(2)若a，b为非零向量，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝a21＋a22.(2)两点间的距离公式：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(3)向量的夹角公式：a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )A．23 B．7 C．－23 D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( )预习课本P112～114，思考并完成以下问题A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0C．1 D．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝( )A．5 B．4C．3 D．2[解析] (1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案] (1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a . 解：(1)因为a 与b 同向，又b ＝(1,2)，所以a ＝λb ＝(λ，2λ)．又a ·b ＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x y a x,b y c a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝2cos θ－32＋2sin θ2＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________. (2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)．又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0，解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)，由cos π4＝22得2－k ×1＋1－k ×02－k2＋1－k2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋－4×1－32＋－4272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积 [典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)． ∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0，BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16，CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5，∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52， OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE | OD ||OE |＝45.答案：45层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D. 2．设x ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865C.1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)， AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·2a ＋b |a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，故b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)AB AC AB AC ；(2)设实数t 满足AB OC OC t 的值．解：(1)AB (－3，－1)AC (1，－5)， AB AC (－1)×(－5)＝2. AB AC (－2，－6)， ∴AB AC ＝4＋36＝210.(2)AB OC (－3－2t ，－1＋t )OC (2，－1)，且AB OC OC ∴AB OC OC 0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2OA (2,2)OB (4,1)，在x 轴上有一点P AP BP 则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)AP (x －2，－2)BP (x －4，－1)，AP BP (x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3AP BP P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103.4OA (－3,1)OB (0,5)AC OB BC AB O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝⎛⎭⎪⎫3，294D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )OC (x ，y )． OA (－3,1)，AC OC OA (x ＋3，y －1)． AC OB∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1，故DE ·DC 的最大值为1. 答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20. 由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的射影的数量；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值； (3)求|OC |的最小值．解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB |OA ||OB |＝84×4＝12，∴OA 在OB 上的射影的数量为|OA |cos θ＝4×12＝2.AB OB OA (－2,23)BC ＝OC OB (1－λOA (1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22OB＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，∴当λ＝12时，OC 取到最小值，为2 3.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》0

向量数量积的坐标运算与度量公式课内探究学案学习目标：1学会两个平面向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出两个向量的数量积。

2掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断或证明两个向量垂直。

3能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决有关长度，角度，垂直等问题。

学习重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件。

学习难点：对向量的长度公式，夹角公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用。

学习过程：（一）创设问题情景，引出新课（1）向量的坐标运算有哪几种应怎样计算？（2）与的数量积的定义？如何求模，求夹角？（二）合作探究，精讲点拨问题1：已知两个非零向量),(),,(2121b b a a ==,怎样用a 与b 的坐标表示数量积b a ⋅呢？写出推导过程。

问题2：怎样用向量的坐标表示两个向量垂直的条件？设),(),,(2121b b a a ==,则⇔// ____________;⇔⊥b a ________⇔______________问题3：怎样根据所学知识推导出用坐标表示向量的长度，平面两点间的距离和两个向量的夹角公式？（1）向量的模：),(y x a ==____________（2）平面两点间的距离公式：设()),(,,2211y x B y x A ==则=AB ________________（3）两个向量的夹角公式：已知),(),,(2211y x b y x a ==，设与的夹角为θ，则θcos =______________例1:已知()(),32,2,3,1-==（1）求⋅；（2）求与的夹角θ变式1：已知()(),4,2,3,2-== 求()()-⋅+例2 ：已知()()()5,2,3,2,2,1-C B A ，试判断ABC ∆的形状。

变式2：已知()()()0,5,4,3,2,1C B A ，求BAC ∠的正弦值。

（三）反思总结四当堂检测1若()()x x 2,,3,2=-=，且34=⋅，则______________=x ； 2设()()m b a ,1,2,1==，若与的夹角为钝角，则m 范围是_______________；3在ABC ∆中， 90=∠C ，()1,k AB =，()3,2=AC ，则k =_________________;4设,是两个非零向量，且()()2211,,,y x y x ==，则以下关系式中写出与⊥等价的是__________10=⋅ 22121y y x x -= 3-=+ 4=+。

高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课前导引
情景导入
已知△ABC 中，a =5，b =8,∠C=60°,求·.
对此题，有位同学求解如下：
解析:如下图，∵||=a=5，||=b=8，∠C=60°,
∴BC ·CA =|BC ||CA |cosC=5×8cos60°=20.请问：这位同学的解答是否正确？如果不正确，错在何处？
思路分析：不正确.原因在于没能正确理解向量夹角的定义.由于向量BC 与向量CA 的起点不同，因此，∠C 并不是它们的夹角，而正确的应是∠C 的补角为120°,所求数量积为-20. 知识预览
1.已知两个非零向量a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y
2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
2.若a =(x,y ），则|a |2=x 2+y 2
,|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别是（x 1,y 1),(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1)，|a |=212212)()(y y x x -+-.
3.设a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，则a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0.
4.设a 、b 都是非零向量，a =（x 1,y 1),b =(x 2,y 2)，θ
是a 与b 的夹角，则cos θ=
222221212121||||y x y x y y x x b a b a +++=∙.。

2020学年高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式应用案巩固提升课件人教B版必修4

第二章平面向量
7．设点 A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O 为坐标原点．若四边形 OABC 是平行四边形，则向量 O→A 与 O→C 之间的夹角为 ________．
第二章平面向量
解析：因为四边形 OABC 是平行四边形，所以O→A＝C→B，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，所以 a＝6.又因为O→A＝(4，2)，O→C＝(2，6)，所以 cos〈O→A，O→C〉＝|O→O→AA|··O|→O→CC|＝ 424＋×22＋2·22×26＋62＝ 22，又〈O→A，O→C〉∈[0，π]，所以O→A与O→C的夹角为π4. 答案：π4
第二章平面向量
(2)若 a∥b，则 1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即 x(2x＋4)＝0，解得 x＝0 或 x＝－2. 当 x＝0 时，a＝(1，0)，b＝(3，0)， a－b＝(1，0)－(3，0)＝(－2，0)．所以|a－b|＝2. 当 x＝－2 时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)， a－b＝(1，－2)－(－1，2)＝(2，－4)，所以|a－b|＝2 5.
第二章平面向量
10．已知向量 a＝(1， 3)，b＝(－2，0)．
(1)求 a－b 的坐标以及 a－b 与 a 之间的夹角；
(2)当 t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量 a＝(1， 3)，b＝(－2，0)，
所以 a－b＝(1， 3)－(－2，0)＝(3， 3)，
所以
第二章平面向量
[A 基础达标]
1．已知向量 a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6

高中数学第二章平面向量 2.3.3 平面向量的坐标运算

2.3.3平面向量的坐标运算【教学目标】1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。

向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。

因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。

二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2);a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2);λa ＝(λx 1，λy 1).两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？结论：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。

高中数学第二章平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修4

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。

高中数学第二章平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件

三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.
1
2
3
【做一做3-1】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.