第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例图文.ppt48
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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量的数量积及平面向量应用举例课件
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4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为
.
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a|cos〈a，b〉＝
答案：
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5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝
.
解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ .
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2× ＝0，
∴a·b＝
∴cosθ＝
＝－1，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
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a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量
的模为
.
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解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)， b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝ 0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量
＝(－8,8)， ＝8 . 答案：8
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1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向
量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为
()
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解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0). λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2). ∵λa＋b与aห้องสมุดไป่ตู้2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0， 解得λ＝－ . 答案：A
4.已知向量a＝(3,2)，b＝(－2,1)，则向量a在b方向上的
投影为
.
解析：∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a|cos〈a，b〉＝
答案：
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5.若b＝(1,1)，a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝
.
解析：∵(a－b)2＝3， ∴|a|2＋|b|2－2a·b＝3， ∴|a|2＋2－4＝3， ∴|a|2＝5， ∴|a|＝ .
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，∴2×5＋3a·b－2× ＝0，
∴a·b＝
∴cosθ＝
＝－1，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
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a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量
的模为
.
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解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)， b－c＝(1，－2－y)；∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝ 0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量
＝(－8,8)， ＝8 . 答案：8
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1.(2009·宁夏、海南高考)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向
量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为
()
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解析：a＝(－3,2)，b＝(－1,0). λa＋b＝(－1－3λ，2λ)，a－2b＝(－1,2). ∵λa＋b与aห้องสมุดไป่ตู้2b垂直，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴(－1－3λ)(－1)＋2λ·2＝0， 解得λ＝－ . 答案：A
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
《向量的数量积》平面向量及其应用PPT课件
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角120度，求 a b
（3）当 ab ，求 a b
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度，求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4，
（1）当 a//b ，求 a b 解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
(a＋b)·(a－2b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
课后小结
1.向量的夹角定义 2.向量垂直、平行成立的充要条件 3.向量数量积的定义及向量的几何意义 4.向量数量积的性质都有什么？ 5.向量数量积的运算律有哪些？
A
3 C
2 O
B 7
随堂练习2
3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a＋b|＝2 3.
A
B
C
新知探究
例2：已知向量 a,b 满足 | a || b | 1 ，| 3a 2b | 7 ，求 a与b 的夹角 解：设 a, b 的夹角为θ，由题意得：（3a 2b）2 （ 7）2 7
9 | a |2 12a b+4 | b |2 7 又| a |2
（3）当 ab ，求 a b
（2）向量 a 与向量 b 的夹角的夹角60度，求向量 a
在向量 b 方向上的投影
新知探究
例1：若 | a | 2，| b | 4，
（1）当 a//b ，求 a b 解：（1）当a//b，若 a, b 同向，则a与b的夹角为0度
|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝4 19.
(a＋b)·(a－2b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
课后小结
1.向量的夹角定义 2.向量垂直、平行成立的充要条件 3.向量数量积的定义及向量的几何意义 4.向量数量积的性质都有什么？ 5.向量数量积的运算律有哪些？
A
3 C
2 O
B 7
随堂练习2
3. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－4)＋4＝12， ∴|a＋b|＝2 3.
A
B
C
新知探究
例2：已知向量 a,b 满足 | a || b | 1 ，| 3a 2b | 7 ，求 a与b 的夹角 解：设 a, b 的夹角为θ，由题意得：（3a 2b）2 （ 7）2 7
9 | a |2 12a b+4 | b |2 7 又| a |2
第六章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 课件(共64张PPT)
法二：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x
轴，垂直 BC 且过点 B 的直线为 y 轴，建立平面直角坐
标系，则 B(0，0)易知 E(－2，0)，A(－3， 3 )，又 BD
＝ 25＋12－2×5×2 3×cos 30° ＝ 7 ，所以 D(2，
3 )，于是B→D ＝(2， 3 )，A→E ＝(1，－ 3 )，所以
＝|b|＝|c|＝1.若 a·b＝12 ，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( ) A．3－ 3 B．－2 C．0 D．－ 2 (2)(一题多解)(2019·天津卷)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2 3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则B→D ·A→E ＝________．
所以(a－b)·(2b－c)的值可能为－2，0，－ 2 .故选 BCD.
(2)法一：△AEB 为等腰三角形，易得BE ＝2，所以A→E ＝A→B ＋B→E ＝
→ AB
－25
→ AD
，则B→D
·A→E
＝(A→D
－A→B
)·A→B－25A→D
＝－25
→ AD
2－A→B
2＋75
→ AD
·A→B
＝－10－12＋21＝－1.
与 b 的夹角 θ 为( )
A．π6
B.
π 3
C．23π
D．56π
D
[cos θ＝aa·bb
＝－2×6 63
＝－
3 2
，又 0≤θ≤π，则 θ＝5π 6
.]
4．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析： a＝(1，0)，b＝(－1，m)，则 ma－b＝(m＋1，－m). 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，m＝－1. 答案： －1
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．
平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新
2023平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新pptCATALOGUE目录•平面向量的数量积基础•平面向量的数量积应用•平面向量数量积的应用举例•平面向量数量积的扩展应用•平面向量数量积的练习与巩固01平面向量的数量积基础平面向量的定义平面向量是一种带方向的量，表示为$\overset{\longrightarrow}{a}$，其中$\overset{\longrightarrow}{a}$表示从原点出发，向$x$轴前进$a$个单位，向$y$轴前进$b$个单位。
平面向量的性质平面向量具有方向性、模和夹角等性质对于两个向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$平面向量的数量积定义如果$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = 0$，那么向量$\overset{\longrightarrow}{a}$与向量$\overset{\longrightarrow}{b}$垂直。
非零向量$\overset{\longrigh…非零向量$\ove…向量$\overs…如果两个向量的数量…如果$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}{b} =0$如果两个向量的夹角…0102030402平面向量的数量积应用总结词向量共线定理详细描述平面向量的数量积可以用于判断两个向量是否共线用数量积判断向量共线向量长度公式总结词平面向量的数量积可以用于计算向量的长度详细描述总结词向量夹角公式详细描述平面向量的数量积可以用于计算两个向量之间的夹角03平面向量数量积的应用举例用数量积解决物理中的力的问题总结词物理中，平面向量的数量积可以用于描述物体的运动状态和相互作用。
详细描述在物理中，向量通常被用来表示物体的速度、加速度等运动状态，而数量积可以计算出两个向量之间的夹角余弦值，从而可以计算出两个物体之间的相互作用力，如弹簧的弹力、电场力等。
平面向量节平面向量的数量积及应用举例课件理新
向量的数量积运算符合交换律
$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$
向量垂直的条件
05
平面向量数量积的应用举 例
用数量积判断向量的共线与垂直
判断共线
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相同，那么它们共线。此时 ，它们的数量积等于它们的模长的乘积 ，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
向量垂直的充分条件是它们的分量之间存在倍数关系
$|\overset{\longrightarrow}{a}| = k|\overset{\longrightarrow}{b}|$，其中k为常数且 k≠0
向量平行的条件
向量平行的充要条件是它们的方向相 同或相反： $\overset{\longrightarrow}{a}=k\o verset{\longrightarrow}{b}$，其中 k为常数且k≠0
VS
判断垂直
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相反，那么它们垂直。此时， 它们的数量积等于它们的模长的乘积的负 值，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$
向量垂直的条件
05
平面向量数量积的应用举 例
用数量积判断向量的共线与垂直
判断共线
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相同，那么它们共线。此时 ，它们的数量积等于它们的模长的乘积 ，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
向量垂直的充分条件是它们的分量之间存在倍数关系
$|\overset{\longrightarrow}{a}| = k|\overset{\longrightarrow}{b}|$，其中k为常数且 k≠0
向量平行的条件
向量平行的充要条件是它们的方向相 同或相反： $\overset{\longrightarrow}{a}=k\o verset{\longrightarrow}{b}$，其中 k为常数且k≠0
VS
判断垂直
如果两个向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$和 $\overset{\longrightarrow}{b}$的长度 相等且方向相反，那么它们垂直。此时， 它们的数量积等于它们的模长的乘积的负 值，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = |\overset{\longrightarrow}{a}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{b}|$。
第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例
变式训练２ 已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosφ， sinφ)，
且a与b之间满足关系|ka＋b|＝ 3 |a－kb|，其中
k∈R且k＞0. (1)用k表示a·b； (2)求a·b的最小值，并求此时a与b夹角θ的大小．
【解析】
(1) | ka b | 3 | a kb |, | ka b |2 3 | a kb |2 , k 2 a 2 2 ka b b 2 3(a 2 2 ka b k 2b 2 ), 即 a b （3 k 2） a 2 (3k 2 1)b 2 .
| a ||b| 2
又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°，即a与b的 夹角为60°.
平面向量的数量积与向量垂直
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°， k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
分析 向量垂直的充要条件可得(a＋2b)·(ka－b)＝0， 可得含k的方程组，则问题可解
解
①...3分
直线 l 与椭圆有两个不同的交
点 P 和 Q 等价于
8k 2 4(1 k 2) 4k 2 2 0, 2
解得 k 2 或 k 2 ,
2
2
则 k 的取值范围为（
， 2 ）（ 2 ， ）.. 5 分
2
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(2)设 P（ x1,y1 ） ,Q (x2,y2), 则 O POQ (x1x2,y1y2),
【解析】
( 2 ), ( 2 ) | |2 2 0, 2 1,
| 2 | 4 | |2 4 | |2
4 2 4 10.
【答案】
10
平面向量的综合应用问题
(12分) 在平面直角坐标系xOy中，经过点
(0，2 )且斜率为k的直线l与椭圆x2 y 2 1 有两
高中-第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例B版
几何 数量积 a ·b 等于 a 的长度|a |与 b 在 a 的方向上的投 意义 影|b |cos θ 的乘积❺
投影和两向量的数量积都是数量
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(1)实数运算满足消去律：若 a b ＝ca ，a ≠0，则 b ＝c.而在向 量数量积的运算中，若 a ·b ＝a ·c(a ≠0)，不能推出 b ＝c.即向 量的数量积运算不满足消去律． (2)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等 于 a ·(b ·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与 c 共线的向量，a ·(b ·c) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.
B.3 D．0
(B )
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3．(2019·昆明检测)在平行四边形 ABCD 中，|―A→B |＝8，|―A→D | ＝6，N 为 DC 的中点，―BM→＝2―M→C ，则―AM→·―NM→＝___2_4____.
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考点二 平面向量数量积的性质及应用 [全析考法过关]
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[考法全析]
考法(一) 平面向量的模
| a ||b |
(2)公式法：若已知a ＝(x1，y1)与b ＝(x2，y2)，则cos〈a ，b 〉
＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22，〈a ，b 〉∈[0，π]．
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考法(三)是平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
看 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出
设 θ 是 a 与 b θ＝❷0°或 θ＝
的夹角，则 θ 18❸0°⇔a ∥
的取值范围 b ，θ＝90° 是 0°≤θ ≤180° ⇔a ⊥b
只有两个向量的起点 重合时所对应的角才 是两向量的夹角，如 图所示，∠BAC 不是 ―→ ―→ CA 与 AB 的夹角，∠BAD 才是 ―→ ―→ CA 与 AB 的夹角．
投影和两向量的数量积都是数量
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(1)实数运算满足消去律：若 a b ＝ca ，a ≠0，则 b ＝c.而在向 量数量积的运算中，若 a ·b ＝a ·c(a ≠0)，不能推出 b ＝c.即向 量的数量积运算不满足消去律． (2)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等 于 a ·(b ·c)，这是由于(a ·b )·c 表示一个与 c 共线的向量，a ·(b ·c) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线.
B.3 D．0
(B )
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3．(2019·昆明检测)在平行四边形 ABCD 中，|―A→B |＝8，|―A→D | ＝6，N 为 DC 的中点，―BM→＝2―M→C ，则―AM→·―NM→＝___2_4____.
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考点二 平面向量数量积的性质及应用 [全析考法过关]
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[考法全析]
考法(一) 平面向量的模
| a ||b |
(2)公式法：若已知a ＝(x1，y1)与b ＝(x2，y2)，则cos〈a ，b 〉
＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22，〈a ，b 〉∈[0，π]．
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考法(三)是平面向量的垂直问题，有两个类型：
(1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
看 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出
设 θ 是 a 与 b θ＝❷0°或 θ＝
的夹角，则 θ 18❸0°⇔a ∥
的取值范围 b ，θ＝90° 是 0°≤θ ≤180° ⇔a ⊥b
只有两个向量的起点 重合时所对应的角才 是两向量的夹角，如 图所示，∠BAC 不是 ―→ ―→ CA 与 AB 的夹角，∠BAD 才是 ―→ ―→ CA 与 AB 的夹角．
第五章 第3讲 平面向量的数量积及其应用.pptx
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量__|a_||_b_|c_o_s_θ__ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__|_a_||_b|_c_o_s_θ__，规定零向量与任一 向量的数量积为0，即0·a＝0.
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
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(2)法一 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设 F(x，2)，
∴A→F＝(x，2)，A→B＝( 2，0)， ∴A→B·A→F＝ 2x＝ 2，∴F(1，2)， ∴A→E·B→F＝ 2.
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解析 (1)两个向量的夹角的范围是[0，π]. (3)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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第3讲 平面向量的数量积及其应用
考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义(B级要求)；2.数量积的坐标表 示，数量积的运算(C级要求)；3.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂 直(B级要求).
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
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(2)法一 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设 F(x，2)，
∴A→F＝(x，2)，A→B＝( 2，0)， ∴A→B·A→F＝ 2x＝ 2，∴F(1，2)， ∴A→E·B→F＝ 2.
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解析 (1)两个向量的夹角的范围是[0，π]. (3)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π. (4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
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第3讲 平面向量的数量积及其应用
考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义(B级要求)；2.数量积的坐标表 示，数量积的运算(C级要求)；3.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂 直(B级要求).
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