一类潜伏期和染病期均传染的SEIS模型
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董霖 邱 亚林 ．
（ ． 建师范大学数 学与计算机科学学院 １福 ２ 龙岩学 院数学与计 算机科 学学院 ． 福建福 州 ３ ０ ０ ； ５０ ７ ３４０） ６ ００ 福 建龙岩
摘要 ： 究了一类具有非线性传 染率且潜伏期和 染病期均传染的 ＳＩ 传染病模 型． 到 了决定疾病绝灭和持 研 ＥＳ 得
作者简介 ： 董霖（９ ３ １ ８一 ）男， ， 福建尤溪人 ， 硕士研 究生， 主要研 究方向： 生物数学。 基金 项 目： 建省教 育厅基金资助项 目（Ａ ５０ ）福 建省科技厅 （ 福 Ｊ０２４ ； Ｋ类） 基金 资助项 目（０ ５ ０ ７ ２０Ｋ ２ ）
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＋ 盟 ＋ （ 】 ＜ ０
１ ＋ 器 错 ０
ｌ ， ｓ ＿ Ｅ Ｄ
在集合 Ｑ 内的正解。 由方程组（） ３的第三个方程可得 Ｅ ， ＝ ’
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文［，］ 对具 有非线 性传 染率 Ｂ￣ｑ １ 分别 ２ ／ 和 Ｓ
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但不
≥１ 。显然 ， （ ） １ｑ（） ｌ ， 当 Ｅ ＝ ， １＝ 时 该传染率 即为双线性传 ｂ 染率。 和 表 达了当潜伏者和染病者的数量增加
具有潜伏期 的 ＳＲ 传染病模型进行研究， 中文【】 了 ＩＳ 其 １ 得到 在一定的条 件下， 该模型会发生 Ｈ ｐ 分支， ｏｆ 从而产生周期解 的结论， 而文【】 ２则发现了该模型会发生鞍结点分支， ｐ 分 Ｈｏｆ 时， 易感者 的行为变化将 阻碍传染 。 意 味着随着 潜伏者 这 和染病 者数量 的增加 ． 易感者 与潜 伏者及染病者 间的接触
即人 Ｅ的最大规模 ， ｌ 且各类人 群分别具有与 自身数量成 比
例 肛的 自然死亡率 ， 是潜伏者转化成染病者的 比例 ， ｓ 为
染病者 的因病死亡率 ， ｙ为染病者 的恢复率 ；
定理 １ ｏ旦 Ｒ＝
！ Ｉ 系统 （）的基本再生数 若 苎 是 ２
，
外 还存在唯一 的地Байду номын сангаас病平 衡点 Ｐ （导 器 分Ｊ 伏和病 的线传 （） ｉ 和 另潜者染者非性 ２除存在无病平衡点 Ｐ０ ， ｉ ｉ ） ｆ 为
疾病 的传染机制如下 ：
Ｉ
警 一 一 骼 器 警器 ＋ 一 错
塑＝Ｅｍ ￡～ Ｉ
ｄｔ
Ｎ＝ ＋ ＋ ＳＥ Ｉ
由系统 （）的前三个方程相加 可得 百 ｗ ． －： ２ ｄ Ｎ ｘ－ ｕ
－
－ ￣
假设 与说 明：
（ ＳＥ １ ｉ ， ， 分别表示易感者， ） 潜伏者及染病者 ： （） Ｅ的 自然 出生率 为 ｇ 其 中 Ｋ为环境 容纳量 ， ｉ人 ｌ ｉ Ｋ， Ｖ于是易得有如下结论成立 ： ， 引理 １ 令 ｎ＝（ ， ＩＩ￣ｓ Ｅ，≤｜≤ ， ｎ为系 ｛． Ｅ， ｏ ， ， ７ ｌ则 Ｓ ） ＜ 、 ， 统（ 的正向最大不变集 。 ２ ）
续的阈值 ， 明 了在无 因病死亡的情形 下， 限系统的地方病平衡 点只要存在就一定是全局渐近稳 定的。 证 极
关 键 词 ： 染 病模 型 ； 线 性传 染 率 ； 衡 点 ； 传 非 平 全局 渐近 稳 定
中图分类号 ： ７ ．；１ １ 文献标识码 ： Ｏ１５１ ４ Ｑ Ａ
文章编号 ：６３ ４ ２ （０ ７０ － ０ ８ ０ １７ － ６ ９２０ ）６ ０ ０ — ３ － ０ （） ， 意味着对 于 Ｅ≥０ ， ， ， ， ≥０ 这 ，≥０ 有 （ ≥１ ， Ｅ） ， ） （
会减少 。因此 ． 此传染率 的引入更具 有合 理性 。
支 同 分 （见１） 【 具 非 性 染 ｛ 和 宿 支参 【】文３ 有 线 传 率 ，， 】 ２ 对
和潜伏期不具有传染性 的 Ｓ Ｉ ＥＳ流行病模型进行了讨论 ． 得
到了决定疾病绝灭 和一致持续 生存的 阈值（ 参Ｅ［）文［ ３， ４ １ ］
警 一 一 器 错 警 ＋ 一 Ｅ 错 ㈣
≈ 把 ） ，
Ｎ＝ ＋ Ｉ Ｓ Ｅ＋
㈣
结论。为此 ， 我们考虑一类总人 口可变的， 具有非线性传染
率且潜伏期和染病期均传染 的 Ｓ Ｉ 模 型。 ＥＳ
１ 模 型的 建 立
２ 主 要结 论 及 其 证 明
为方便起见 ， ｍ ≠ 令 ＝件 ，－ ＋ ， ｎ ｔ ８ 此时 ， ￣ ｔ 系统（） １变为：
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２０ 年 ０７
１ 月 ２
龙
岩
学
院
学
报
Ｄｅ ｅ ｅ ０ｏ ｃ ｍｂ ｒ２ ７
第２ ５卷 第 ６ 期
Ｊ ＯＵＲＮ ｏ Ｎ ＡＬ ０Ｆ Ｌ ＧＹＡＮ Ｉ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖ０ ．５ Ｎ ． １ ｏ６ ２
一
类潜伏期和染病期均传染的 Ｓ Ｉ 模型 ＥＳ
在总人 口不变的前提下 ，假设传染率 为双线性传染率 ， 对
一
于是根据仓室建模思想， 我们建立了如下模 型：
类潜伏期和染 病期均传染 的 Ｓ Ｉ Ｓ 型进行 了研究 。 ＥＲ 模 发
现 了决定疾病流行与否的基本 再生数 （ 参见［］。由于文 ［］ ４） ３ 没有考虑疾病在潜伏期内也具有传染力 ， 而文 ［则 是在假 ４ ］ 设总人 口不 变及 传染率 为双线 性传染率 的前提下所得 的
证明 系统 （） ２的地方病平 衡点 （’Ｅ ， ） ｓ ， ， 的坐标是 ．
方 程 组
一
号 一
一 幽
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一
（） 哪 ６） Ｉ ｂ ¨ ２ ２ （ （ Ｅ ／ ＂
＋ ＋ ＿ ＋０ 貉＿ 活 ＋ 器 ｍ ］ ＜
Ｒ ≤１系统（仅存在无病平衡点 Ｐ（ ００ ； Ｒ＞ ， 。 ， ２ ） ｏ Ｋ，，）若 ｏｌ系统
（ Ｅ ， ） ．， ‘ 。 Ｓ ｒ
染率 （ 参见【 ） 假设 （ 和 书（） ３。 】 Ｅ） ，满足 （） １ ０ ＝ 且 （ ≥ Ｅ）
收 稿 日期 ：Ｏ ７ ０ — ３ ２０— ６ Ｏ
167346292007060008一03文12分别对具有非线性传染率p艘和箬但不具有潜伏期的sirs传染病模型进行研究其中文1得到了在一定的条件下该模型会发生hopf分支从而产生周期解的结论而文2则发现了该模型会发生鞍结点分支hopf分支和同宿分支参见12文31对具有非线性传染率害活和潜伏期不具有传染性的seis流行病模型进行了讨论得到了决定疾病绝灭和一致持续生存的阈值参见3d文4在总人口不变的前提下
（ ． 建师范大学数 学与计算机科学学院 １福 ２ 龙岩学 院数学与计 算机科 学学院 ． 福建福 州 ３ ０ ０ ； ５０ ７ ３４０） ６ ００ 福 建龙岩
摘要 ： 究了一类具有非线性传 染率且潜伏期和 染病期均传染的 ＳＩ 传染病模 型． 到 了决定疾病绝灭和持 研 ＥＳ 得
作者简介 ： 董霖（９ ３ １ ８一 ）男， ， 福建尤溪人 ， 硕士研 究生， 主要研 究方向： 生物数学。 基金 项 目： 建省教 育厅基金资助项 目（Ａ ５０ ）福 建省科技厅 （ 福 Ｊ０２４ ； Ｋ类） 基金 资助项 目（０ ５ ０ ７ ２０Ｋ ２ ）
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＋ 盟 ＋ （ 】 ＜ ０
１ ＋ 器 错 ０
ｌ ， ｓ ＿ Ｅ Ｄ
在集合 Ｑ 内的正解。 由方程组（） ３的第三个方程可得 Ｅ ， ＝ ’
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文［，］ 对具 有非线 性传 染率 Ｂ￣ｑ １ 分别 ２ ／ 和 Ｓ
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但不
≥１ 。显然 ， （ ） １ｑ（） ｌ ， 当 Ｅ ＝ ， １＝ 时 该传染率 即为双线性传 ｂ 染率。 和 表 达了当潜伏者和染病者的数量增加
具有潜伏期 的 ＳＲ 传染病模型进行研究， 中文【】 了 ＩＳ 其 １ 得到 在一定的条 件下， 该模型会发生 Ｈ ｐ 分支， ｏｆ 从而产生周期解 的结论， 而文【】 ２则发现了该模型会发生鞍结点分支， ｐ 分 Ｈｏｆ 时， 易感者 的行为变化将 阻碍传染 。 意 味着随着 潜伏者 这 和染病 者数量 的增加 ． 易感者 与潜 伏者及染病者 间的接触
即人 Ｅ的最大规模 ， ｌ 且各类人 群分别具有与 自身数量成 比
例 肛的 自然死亡率 ， 是潜伏者转化成染病者的 比例 ， ｓ 为
染病者 的因病死亡率 ， ｙ为染病者 的恢复率 ；
定理 １ ｏ旦 Ｒ＝
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，
外 还存在唯一 的地Байду номын сангаас病平 衡点 Ｐ （导 器 分Ｊ 伏和病 的线传 （） ｉ 和 另潜者染者非性 ２除存在无病平衡点 Ｐ０ ， ｉ ｉ ） ｆ 为
疾病 的传染机制如下 ：
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（ ＳＥ １ ｉ ， ， 分别表示易感者， ） 潜伏者及染病者 ： （） Ｅ的 自然 出生率 为 ｇ 其 中 Ｋ为环境 容纳量 ， ｉ人 ｌ ｉ Ｋ， Ｖ于是易得有如下结论成立 ： ， 引理 １ 令 ｎ＝（ ， ＩＩ￣ｓ Ｅ，≤｜≤ ， ｎ为系 ｛． Ｅ， ｏ ， ， ７ ｌ则 Ｓ ） ＜ 、 ， 统（ 的正向最大不变集 。 ２ ）
续的阈值 ， 明 了在无 因病死亡的情形 下， 限系统的地方病平衡 点只要存在就一定是全局渐近稳 定的。 证 极
关 键 词 ： 染 病模 型 ； 线 性传 染 率 ； 衡 点 ； 传 非 平 全局 渐近 稳 定
中图分类号 ： ７ ．；１ １ 文献标识码 ： Ｏ１５１ ４ Ｑ Ａ
文章编号 ：６３ ４ ２ （０ ７０ － ０ ８ ０ １７ － ６ ９２０ ）６ ０ ０ — ３ － ０ （） ， 意味着对 于 Ｅ≥０ ， ， ， ， ≥０ 这 ，≥０ 有 （ ≥１ ， Ｅ） ， ） （
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２ 主 要结 论 及 其 证 明
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２０ 年 ０７
１ 月 ２
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Ｄｅ ｅ ｅ ０ｏ ｃ ｍｂ ｒ２ ７
第２ ５卷 第 ６ 期
Ｊ ＯＵＲＮ ｏ Ｎ ＡＬ ０Ｆ Ｌ ＧＹＡＮ Ｉ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｓ ＴＹ
Ｖ０ ．５ Ｎ ． １ ｏ６ ２
一
类潜伏期和染病期均传染的 Ｓ Ｉ 模型 ＥＳ
在总人 口不变的前提下 ，假设传染率 为双线性传染率 ， 对
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于是根据仓室建模思想， 我们建立了如下模 型：
类潜伏期和染 病期均传染 的 Ｓ Ｉ Ｓ 型进行 了研究 。 ＥＲ 模 发
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证明 系统 （） ２的地方病平 衡点 （’Ｅ ， ） ｓ ， ， 的坐标是 ．
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（ Ｅ ， ） ．， ‘ 。 Ｓ ｒ
染率 （ 参见【 ） 假设 （ 和 书（） ３。 】 Ｅ） ，满足 （） １ ０ ＝ 且 （ ≥ Ｅ）
收 稿 日期 ：Ｏ ７ ０ — ３ ２０— ６ Ｏ
167346292007060008一03文12分别对具有非线性传染率p艘和箬但不具有潜伏期的sirs传染病模型进行研究其中文1得到了在一定的条件下该模型会发生hopf分支从而产生周期解的结论而文2则发现了该模型会发生鞍结点分支hopf分支和同宿分支参见12文31对具有非线性传染率害活和潜伏期不具有传染性的seis流行病模型进行了讨论得到了决定疾病绝灭和一致持续生存的阈值参见3d文4在总人口不变的前提下