2020届全国中学生标准学术能力诊断性测试1月数学(理)试题(二卷) 扫描版
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 数学(文) 含答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ＝N ，A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x|1<x ≤6，n ∈N}，则()U A B =I ð A. {2，3，4，5，6} B. {2，4，6} C. {1，3，5} D. {3，5}2.复数z ＝(1－mi)2(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ A.±1 B.－1 C.1 D.03.以双曲线2213y x -=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为A.22143x y +=B.22134x y +=C.22196x y +=D.22169x y += 4.函数f(x)＝3ln xx的部分图像是5.已知α∈(0，π)，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.2425 B.－2425 C.725 D.－7256.点P ，Q 在圆x 2＋y 2＋kx －4y ＋3＝0上(k ∈R)，且点P ，Q 关于直线2x ＋y ＝0对称，则该圆的半径为3 2 C.1 27.已知函数f(x)＝x 3－x 和点P(1，－1)，则过点P 与该函数图像相切的直线条数为 A.1 B.2 C.3 D.48.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 A.372cm B.373cm C.376cm D.37cm 9.已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“2a 3>a 1＋a 5”是“S 2n －1<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在△PAB 中，已知2,1OB BA ==u u u r u u u r ，∠AOB ＝45°，点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，µ∈R)，其中2λ＋µ＝3满足，则|OP uuu r|的最小值为A.355 B.255 C.63 D.6211.边长为2的等边△ABC 和有一内角为30°的直角△ABC 1所在半平面构成60°的二面角，则下列不可能是线段CC 1的取值的是 A.30 B.10 C.10 D.10 12.已知不等式x ＋alnx ＋1x e≥x a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为 A.－e B.－2eC.－eD.－2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中学生标准学术能力诊断性测试THUSSAT2024年1月数学试卷及答案
一、单项选择题：本题共8符合题目要求的．1． 已知R ∈m ，集合=A ，若C AB =则=mA ．−32． 已知数列a n }{满足a 1A ．+−n 21213． 复数z 满足+=z 2i )(A ．−34． 在直三棱柱−ABC A 1A ．7 5． 设x a a x +=+n1201)(A ．66． 若不等式A ．5 7． 已知==a b 2e ,ln e23A ．>>a b c8． 已知>+−x y x y ,0,33A ．15．若,αγβγ，则αβ．若,,mn m n αβ，则αβγ⊥，则⊥⊥αγβγ,，则αβx 2E F ,，5．12PE PF ⋅=−25258=12)分成长度相等的四段D ．3 则+++ααβtan 2tan )(D ．8当∈x 2,4][时，=f x )(C 上一点，线段PF 2的中垂的离心率为 ． 动直线=≠x a a 0)(与函数l 1与函数g x )(的图象+x 817)恒成立，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列a n }{的前n 项和为=S a n ,11，当≥n 2时，⎝⎭ ⎪=−⎛⎫S a S nn n 212．（1）求证：数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1是等差数列，并求S n 的表达式；（2）设+=n b n S n n212，数列b n }{的前n 项和为T n ，不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，求正整数m 的最小值．18．（12分）如图所示，在∆ABC 中，=AB D 1,是BC 上的点，∠=∠BAD DAC 21． （1）若∠=πBAC 2，求证：−=AD AC 21； （2）若1BD DC =4，求∆ABC 面积的最大值．19．（12分）如图所示，一只蚂蚁从正方体−ABCD A BC D 1111的顶点A 1出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为61，沿正方体的侧棱爬行的概率为32．（1）若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；（2）若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．（第19题图）（第18题图）20．（12分）如图所示，已知∆ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，点M 是边AB 的中点，点N 在边BC 上，且=BNNC 3．以MN 为折痕将∆BMN 折起，使点B 到达点D 的位置，且平面⊥DMC 平面ABC ，连接DA DC ,．（1）若E 是线段DM 的中点，求证：NE 平面DAC ；（2）求二面角−−D AC B 的余弦值．21．（12分）如图所示，已知抛物线=−y x M 1,0,12)(，A ，B 是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于C ，D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．（1）求⋅CDCM DM 的取值范围；（2）问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数=+−−xf x x a x1ln 2)(有两个零点<x x x x ,1212)(． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：<x x 112； （3）求证：−<<−x x x x 212122．（第20题图）（第21题图）中学生标准学术能力诊断性测试2024年1月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．4 14．135 15．216．，⎝⎦⎥ −∞⎛⎤21 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）当≥n 2时，数列a n }{的前n 项和为S n ，满足⎝⎭⎪=−⎛⎫S a S n n n 212， 即⎝⎭ ⎪=−−=−−+⎛⎫−−−S S S S S S S S S n n n n n n n n n 22211111122)(， 整理可得=−−−S S S S n n n n 211 ········································································ 1分 11S =，则=−S S S S 22112，即=−S S 2122，可得=S 312 ······························· 2分由=−S S S S 22323，即=−S S 332133，可得,,=S 513以此类推可知，对任意的N *∈>n S n ,0，在等式=−−−S S S S n n n n 211两边同时除以−S S n n 1可得−=−S S n n 2111······················· 4分所以数列⎩⎭⎨⎬⎧⎫S n 1为等差数列，且其首项为=S 111，公差为2 ································· 5分 ∴=+−=−S n n n 121211)(，因此， −=n S n 211 ············································ 6分 （2）解：()()⎝⎭⎝⎭+−+−+ ⎪ ⎪ ⎪==+=+−⎛⎫⎛⎫n n n n n b n S n n 214212148212111111112 ， ⎝⎭+ ⎪∴=+−⎛⎫n T n n 4821111 ············································································ 8分 不等式≤−+T m m n n 32对所有的N *∈n 恒成立，则−+≥m m 33022，即≥+m 69或≤m 69····································································· 9分 因此，满足条件的正整数m 的最小值为3 ······················································ 10分 18．（12分）（1）证明：由∠=∠=∠πBAC BAD DAC 22,1，知∠=∠=ππBAD DAC 63,，=+⋅⋅+⋅⋅=⋅ππ∆∆S S S AB AD AD AC AB AC ABC ABD ACD 26232,sin sin 111，即+⋅=AD AC AC 2，两边同除以⋅AD AC，得−=AD AC21······················································ 5分 （2）设∠=αBAD ，则∠=αDAC 2，∆ABD 中，由正弦定理，得∠=αBDA AB BDsin sin ①，∆ACD 中，由正弦定理，得∠=αCDA AC DCsin sin 2 ②，②÷①，结合∠=∠=BDA CDA DC BD sin sin ,4，得=αAC cos 2···················· 7分 =⋅⋅===−⋅−∆αααααααS AB AC ABCsin 33tan 4tan sin 1sin 33sin 4sin 23++=−⋅=−ααααααα1tan 1tan 3tan 4tan tan 3tan tan 2223 ···································· 9分设=∈αt tan (，即求函数+=∈−ty t t t 1,323(的最大值， ()()++'==−+−−−−++t t y t t t t t t t 113313233222222322)()()()()(，∈−t 32)(时，'>y 0，函数单调递增；∈t 3,32)(时，'<y 0，函数单调递减，当=−t 32时，函数有最大值，=y max∴∆ABC··························································· 12分 19．（12分）（1）记蚂蚁爬行n 次在底面ABCD 的概率为P n ，由题意可得，==+−+P P P P n n n 333,121211)(···················································· 3分 ⎝⎭⎩⎭ ⎪⎨⎬−=−−−⎛⎫⎧⎫+P P P n n n 2322,11111是等比数列，首项为61，公比为−31， ⎝⎭⎝⎭⎪⎪−=−=+−⎛⎫⎛⎫−−P P n n n n 263263,11111111························································ 5分（2）X =0,1,2，X =2时，蚂蚁第3次、第5次都在C 处，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P X 6636366363366661822221121211212211111)( ·············································································································· 7分X =1时，蚂蚁第3次在C 处或第5次在C 处， 设蚂蚁第3次在C 处的概率为P 1，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫P 6636366366666331822211212112115152111·············································································································· 8分 设蚂蚁第5次在C 处的概率为P 2，设蚂蚁不过点C 且第3次在D 1的概率为P 3，设蚂蚁不过点C 且第3次在B 1的概率为P 4，设蚂蚁不过点C 且第3次在A 的概率为P 5，由对称性知，=P P 34，=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6663635443111212133，=⨯⨯⨯+⨯⨯=P 636333276121222115，得=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P P P 63665422212117235 ··················································· 11分 ∴==+=P X P P 271512)(， ==−=−==P X P X P X 54011241)()()(， XX 的数学期望=⨯=+⨯=+⨯==E X P X P X P X 270011228)()()()( ············ 12分20．（12分）（1）过点E 作AM 的平行线交AD 于点F ，过点N 作AB 的平行线交AC 于点G ，连接FG ．因为点E 是线段DM 的中点，=BN NC 3，∴==EF NG AM 21，且EFNG ，四边形EFGN 是平行四边形．由,NEFG NE ⊄平面DAC ，⊂FG 平面DAC ，∴NE 平面DAC ······················································································ 5分（2）解法1：以点A 为原点，AB ，AC 所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系····································································· 6分 设==AB AC 2，则⎝⎭⎪⎛⎫A M N 220,0,0,,1,0,0,,,013)()(，设D x y z ,,,)(，因为平面⊥DMC 平面ABC ，所以点D 在平面ABC 上的射影落在直线CM 上，∴+=x y21 ①，由题意可知，==∴−++=DM DN x y z 1,11222)( ②， ⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−+=⎛⎫⎛⎫x y z 222139222③，由①②③解得，⎝⎭ ⎪ ⎪==−=∴−⎛⎫x y z D 777777,,,,,8282 ·························· 8分 82211816211,,,,,AD CD ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭777777，设平面ACD 的法向量为(,,n x y z =)，00AD n CD n ⋅=⋅=⎩⎪⎨⎪⎧，即⎩⎪−+=⎨⎪−+=⎧x y x y 48040，取===−x y z 0,4 ······················ 11分 取平面ABC 的法向量(0,0,1m =)．设二面角−−D AC B 的平面角为θ， 则43cos cos ,9m n m nm n⋅===θ， 所以，二面角−−D AC B 的余弦值为9··················································· 12分 解法2：如图，过点B 作直线 MN 的垂线交于点I ，交直线CM 于点H ．由题意知，点D 在底面ABC 上的射影在直线BI 上且在直线MC 上，所以点H 即点D 在底面上的射影，即⊥DH 平面ABC ····················································································· 6分设=AB 2，则==∠=πBM BN MBN 41,，由余弦定理，得=MN 2，∠=∠−∠=⋅+⋅=IMH IMB HMB 10510510cos cos )(，∠==IMH MH MI cos 7．过点H 作AC 的垂线交于点O ，连接DO ，由三垂线定理知，⊥DO AC ，∴∠DOH 是二面角−−D AC B 的平面角 ········································································ 9分 由=HO CH AM CM，解得===HO DH 77,8，∠==HO DOH DH 4tan，得∠=DOH 9cos ，所以，二面角−−D AC B的余弦值为9·················································· 12分 21．（12分）（1）设点C x y D x y ,,,1122)()(，设直线l 的方程为=+≠y kx k 10)(，代入抛物线=−y x 12，得−−=x kx 202（*），⎝⎭⎪ ⎪===⎛⎫CD CM DM 2,2 ·········· 4分（2）⎝⎭⎪−−−⎛⎫k C x x D x x Q ,1,,1,,01112222)()(，设T m n ,)(， 由（*）式，知+==−x x k x x ,21212 ······························································ 5分 直线AC 的方程为=−+y x x 111)()(，直线BD 的方程为=+−y x x 112)()(，解得−+−+−+===++−−−−x x x x x x x y x x x x x x x x 222,212321212112121212)()(，所以点P 的坐标为⎝⎭−+−+ ⎪+⎛⎫−−x x x x x x x x 22,2321211212)( ··············································· 7分 ()1212231,,,x x x x TP m n TQ m n −−⎛⎫+⎛⎫=−−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−+−+x x x x k 222121，TP TQ m m n n ⎛⎫⋅=−−−+−− ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫+⎛⎫−−x x x x 1231212)()(()⎝⎭−+−+−+ ⎪=−−−+−++⎛⎫−−x x k k x x x x m m n n x x x x x x 22212321212112122212)( ⎝⎭−+−+ ⎪=−−+++−⎛⎫x x k x x m m n n k n 222121212122 21x x k −=±+82，22TP TQ m n n ∴⋅=++++±++−+−k k km n m 822212 ··············································· 10分 当m n TP TQ ==⋅20,,1为定值45， 所以存在定点T 的坐标为⎝⎭⎪⎛⎫20,1 ·································································· 12分 22．（12分）（1）()f x x '=+=−+−+x x x x x 22ln 21ln 223)( ···················································· 1分又因为函数=−+g x x x 21ln 3)()(递增，且=g 10)(，'>⇔>f x x 01)(， ∴f x )(在0,1)(递减，在+∞1,)[递增 ···························································· 2分 当=−<f a 120)(，即>a 2时，⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+−−=+>⎛⎫⎛⎫a a a a f a a a a 1ln ln 0111122， =+−>−+>−−=>−−−−−+a a a a f a a a a a a a a a a a a 01ln 111112222)()()()(， ∴f x )(在⎝⎭⎪⎛⎫a a ,1,1,1)(上各有一个零点 ························································· 3分 当≤a 2时，f x )(的最小值为f 1)(，且=−≥f a 120)(，∴f x )(在+∞0,)(内至多只有一个零点，综上，实数a 的取值范围是>a 2 ·································································· 4分 （2）设 ⎪=−>⎛⎫F x f x f x ,11)()(，则 ⎝⎭⎪'='+'=−−+⎛⎫−−x x x x F x f x f x x x x 21ln 111212322)()()()( ⎣⎦⎢⎥⎣⎦=−−−=−−+⎡⎤⎡⎤+−x x x x x x x x x x x 12ln 221ln 2113233)()( 当>x 1时，<−x x ln 1，−−+−=+−=−++>x x x x x x x x x 22112120332)()()()(， ∴−>+−>+x x x x x x x 22111ln 3)()()(，∴F x )(在+∞1,)(上递增，当>x 1时，>=F x F 10)()(，即当>x 1时，⎝⎭⎪>⎛⎫x f x f 1)( ······································································ 6分 又因为函数f x )(有两个零点<x x x x ,1212)(，由（1）知，<<<<<x x x 01,011212， ⎝⎭⎪∴=>⎛⎫x f x f x f 1212)()(， 又()f x 在0,1)(递减，∴<x x 121， 即<x x 112 ································································································ 8分 （3）设⎝⎭⎪=−+−=−−⎛⎫x x G x f x x a x x x 1ln 12)()(， =−−==−−−+−+++'x x x G x x x x x x x x x x 211ln 21ln 121ln 2221322)()()(， ='G 101)(，当≠x 1时，⎣⎦−⎢⎥=+++⎡⎤−'x x G x x x x x 121ln 1212)()()(， 显然−+++>x x x x 1210ln 2)(∴G x 1)(在0,1)(递减，+∞1,)(递增，∴≥=G x G 1011)()(， 即>+−=xf x x a h x 11)()(，设h x 1)(的零点为<−=x x x x x x ,,343443)(， 由图象可知<<<x x x x 3124，∴−<x x 21 ·················································································· 10分 设⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=−=−−⎛⎫⎛⎫−x x x x x f x x a x x 1ln 11ln 111222)(， 设=−−xG x x 1ln 12)(， 易得≤G x 02)(恒成立，即<+−=xf x x a h x 1222)()(，设h x 2)(的零点为<−=x x x x x x ,,56566522)(，由图象可知，<<<x x x x 1562，∴<<<x x x x 15622222，∴−>x x 2122∴−<<−x x x x 212122 ····································································· 12分。
中学生标准学术能力诊断式测试2024年1月
中学生标准学术能力诊断式测试2024年1月中国中小学生标准学术能力诊断式测试对全国中学生学业水平评估起到了重要的作用。
作为一项旨在了解学生学习能力以及学术水平的测评，它不仅可以促使学生主动学习，提高学业成绩，还可以为教师提供有针对性的教学辅导指导。
2024年1月的中学生标准学术能力诊断式测试，将在很大程度上继续延续以往几年的考试方式。
该考试将主要从语文、数学和英语三个科目进行测试，分别包括阅读理解、写作能力、计算能力和应用题。
通过这种方式，可以综合评估学生的语言表达、逻辑思维、科学计算和实际应用等能力。
此外，继往开来，考试中也可能增加其他科学、社会和艺术等学科的测试内容，以更全面地评估学生在不同学科领域的学术能力。
对于学生而言，这样的诊断式测试是一个很好的机会，能够及时了解自己学习的优势和不足。
通过对考试结果的分析，他们可以更好地调整学习策略，有针对性地提高自己的学业表现。
此外，这种测试还可以帮助学生认识到自身在学术能力方面的问题，并激发他们进一步追求知识的兴趣和动力。
考试的公平性和客观性也能够对学生成绩进行实质性的评估，避免了单纯依赖平时成绩造成的不公正现象。
对于教师而言，这种诊断式测试是一个重要的工具。
通过考试结果，教师可以分析学生的学习情况，了解学生在不同科目上的薄弱环节，并根据测试结果及时调整教学内容和方法。
例如，对于学生成绩较好的科目，可以注重进行拓展性探究，培养学生的创造性思维和创新能力；而对于学生成绩较差的科目，可以通过有针对性的补充教学，帮助学生克服困难，提高学习效果。
此外，通过对考试结果的综合分析，教师还可以对学校的教学方向和教学改革提出建设性的意见和建议。
总的来说，2024年1月的中学生标准学术能力诊断式测试对于学生和教师而言都具有重要的意义。
在学生方面，它能够帮助他们全面了解自己的学术能力，调整学习策略，提高学业成绩；在教师方面，它能够提供有针对性的教学指导，促进学生全面发展。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学(文)试题答案(一卷)(扫描版)
中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试文科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. [)(]1,00,1−14. (]}{0,2415. ()1,00,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭16.14三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17． 解：记A 表示事件：考生选择生物学科B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科；D 表示事件：选择生物但不选择物理E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科 （1）()()0502P A .P B .C AB ===，，,AB =∅ ………………………………2分()()()()0.7P C P AB P A P B ==+= ………………………………5分（2）由某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知()350.D P = ………………………………7分 因为DE A = ………………………………9分()()()15.035.05.0=−=−=D P A P E P ………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得⎩⎨⎧==512211a a a a ，解得⎩⎨⎧==211d a ………………………………3分所以2,12n S n a n n =−= ………………………………6分 （2）因为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=+=−+=1114114111212n n n n n b n ………………………………9分 所以()41n nT n =+ ………………………………12分19．解（1）由已知AP ⊥面PCD ，可得AP ⊥PC ，AP ⊥ C D ，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，易得// BE CD ,所以， AP BE ⊥ ．又因为BE ⊥AC ，所以BE ⊥⊥面APC ,故BE ⊥ PO ． ………………………………3分 在直角梯形ABCD中?AC AB AP PC ==⊥，， ，所以PAC ∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥．ABCD ,面⊂=BE O AC BE ，所以PO ⊥平面ABCD …………………………6分（2）法一：以O 为原点，分别以OB OC OP ，， 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设1BO =A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量．满足00n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以030x z x y −+=⎧⎨−+=⎩ ，则令1x = ，解得(1,3,1)n =…………9分 222sin cos ,11AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ……………………………12分 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）设AB=1，点A 到平面PBD 的距离为h ，计算可得,411=ΔPBD S A PBD P ABD V V −−= …………………………9分PO S h S ΔABD ΔPBD ⋅⋅=⋅⋅3131,1,ABD S ∆=2PO =解得h =…………………………11分sin h AB θ== …………………………12分20．解（1）x xax ≥+ln 在(]1,0恒成立，得x x x a ln −≥在(]1,0恒成立。
中学生标准学术能力诊断性测试 1月诊断性测试理科数学试卷PDF版含答案
由 CD = AB = 2, ED = 2, EF = 1 ，得 CF = 5 .……8 分
'CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 15 ，所以 FH = 5 × 15 = 3 .……9 分
5
5
因为 EF / /CD, EF ⊄ 平面 ABCD,CD ⊂ 平面 ABCD ，
所以 EF // 平面 ABCD ，所以 EM = FH = 3 ，
A．1
B． 2
C． 3
2．
x2 已知双曲线 1 m
y2 m5
A．焦点为 0,r 6
1 ，则下列说法正确的是
B．焦点为 r 2,0
D． 4
C．焦距是 4 3． 已知复数 z 满足 z i
i A． 3
D．焦距是 2 a 2i （ i 是虚数单位）, a R ，且 z 2 2 ，则实数 a 的值为
T2 R22
1
Tn Rn2
1
1．
第3页 共4页
20．（12
分）已知
F1
,
F2
是椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1 a ! b ! 0 的左、右焦点，弦 AB 经过点 F2 ，若
AF2
2 F2B , tanAF1B
3 4
，且
'F1F2
B
的面积为
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 y k x 1 1d k d 2 ，与 y 轴交于点 P ，与椭圆 C 交于 M , N 两点，线段 MN
B．1
C． 1或1
D． 3 或1
清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试理综生物试卷(整理含答案)
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试理科综合试卷本试卷共300 分，考试时间150 分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 K 39 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年9月11日，我国科学家发表了世界首例通过基因编辑干细胞治疗艾滋病案例的相关研究。
HIV侵染人体后与T 细胞表面CD4 和CCR5受体结合，破坏人体的免疫系统。
该研究采用基因编辑技术对患者的成体造血干细胞中的CCR5基因进行编辑后，将编辑细胞移植回艾滋病患者体内。
下列有关叙述正确的是A．CD4和CCR5受体的化学本质是糖蛋白，与HIV结合的过程体现了质膜具有细胞间信息交流的功能B．CD4 和CCR5基因仅存在于人体的T 细胞中，表达时需要RNA 聚合酶参与C．被改造的造血干细胞具有全能性，可以分化为带异常CCR5 受体的T 细胞D．被HIV 感染的T细胞的清除属于细胞凋亡，此凋亡使得人体的特异性免疫功能下降2．中科院覃重军团队用基因编辑的方法将酿酒酵母中16 条天然染色体合成为1条，创建出国际首例人造单染色体真核细胞SY14，打开了“人造生命”的大门。
有关说法正确的是A．SY14的细胞壁具有支持保护作用，可被纤维素酶和果胶酶温和去除B．SY14的遗传物质是DNA，合成蛋白质时边转录边翻译C．SY14的形成发生了染色体的结构变异和数目变异D．SY14细胞膜的组成成分从外到里依次为糖类、蛋白质、磷脂分子3．生物学上的分子马达是把化学能直接转换为机械能的一类蛋白大分子的总称。
ATP合成酶—旋转分子马达之一，被称为生命能量的“印钞机”，其作用机理如图所示，下列说法错误的是A．该酶与生物膜结合后能催化合成ATP，ATP的水解通常与放能反应联系B．由于细菌细胞无其他的生物膜结构，该酶应分布于细胞膜上C．H+跨该膜的运输方式是协助扩散，因其顺浓度梯度运输且需载体协助D．该酶所催化的反应在细胞中是时刻不停发生并与ATP的水解处于动态平衡4．安哥拉兔体色的遗传受一对等位基因S（黑色）和s（白色）控制，某地一个随机交配的大种群中，S和s 的基因频率各占一半，现逐代人工选择，淘汰白色兔子。
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试(1月)试题理
高三数学中学生标准学术能力诊断性测试（1月）试题理 本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝A.ΦB.{0，1}C.{0，1，2}D.{－2，0，1，2} 2.若(2＋i)z ＝5，则z 的虚部为A.－1B.1C.－iD.i3.已知双曲线2221(0)2x y b b-=>的两条渐近线互相垂直，则b ＝ A.1 B.2 C.3 D.24.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.3πB.2π C.π D.2π 5.函数f(x)＝(x 2－2x)e x 的图象可能是6.已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a 的取值范围是 A.3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7.已知a ，b 为实数，则0<b<a<1是log a b>log b a 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。
则A.,E E D D ξηξη<<B.,E E D D ξηξη<>C.,E E D D ξηξη<=D.,E E D D ξηξη==9.在△ABC 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC =A.1B.22C.3D.6 10.在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝4，E 是边BC 上的点，EC ＝1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线11.已知函数f(x)＝(lnx －1)(x －2)i－m(i ＝1，2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈RA.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有3个B.当i ＝1时，f(x)零点个数可能有4个C.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有3个D.当i ＝2时，f(x)零点个数可能有4个12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n (2S n －a n )＝1，则下列结论中①数列{S n 2}是等差数列； ②2n a n <； ③a n a n ＋1<1 A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
理科综合试题-A4版 - 中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题(试卷 答案)
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试理科综合试卷（一卷）本试卷共300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 K 39 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2019年9月11日，我国科学家发表了世界首例通过基因编辑干细胞治疗艾滋病案例的相关研究。
HIV侵染人体后与T细胞表面CD4和CCR5受体结合，破坏人体的免疫系统。
该研究采用基因编辑技术对患者的成体造血干细胞中的CCR5基因进行编辑后，将编辑细胞移植回艾滋病患者体内。
下列有关叙述正确的是A．CD4和CCR5受体的化学本质是糖蛋白，与HIV结合的过程体现了质膜具有细胞间信息交流的功能B．C D4和CCR5基因仅存在于人体的T细胞中，表达时需要RNA聚合酶参与C．被改造的造血干细胞具有全能性，可以分化为带异常CCR5受体的T细胞D．被HIV感染的T细胞的清除属于细胞凋亡，此凋亡使得人体的特异性免疫功能下降2．中科院覃重军团队用基因编辑的方法将酿酒酵母中16条天然染色体合成为1条，创建出国际首例人造单染色体真核细胞SY14，打开了“人造生命”的大门。
有关说法正确的是A．SY14的细胞壁具有支持保护作用，可被纤维素酶和果胶酶温和去除B．SY14的遗传物质是DNA，合成蛋白质时边转录边翻译C．SY14的形成发生了染色体的结构变异和数目变异D．SY14细胞膜的组成成分从外到里依次为糖类、蛋白质、磷脂分子3．生物学上的分子马达是把化学能直接转换为机械能的一类蛋白大分子的总称。
ATP合成酶—旋转分子马达之一，被称为生命能量的“印钞机”，其作用机理如图所示，下列说法错误的是A．该酶与生物膜结合后能催化合成ATP，ATP的水解通常与放能反应联系B．由于细菌细胞无其他的生物膜结构，该酶应分布于细胞膜上C．H+跨该膜的运输方式是协助扩散，因其顺浓度梯度运输且需载体协助D．该酶所催化的反应在细胞中是时刻不停发生并与ATP的水解处于动态平衡第1页共16页4．安哥拉兔体色的遗传受一对等位基因S （黑色）和s （白色）控制，某地一个随机交配的大种群中，S 和s 的基因频率各占一半，现逐代人工选择，淘汰白色兔子。
2020年全国中学生数学能力测评高一年级模拟试卷及答案解析
2020年全国中学生数学能力测评高一年级模拟试卷一．多选题（共10小题）1．下列判断中正确的是（）A．“x＞2ln2”是“x＞ln3”的充分不必要条件B．“a＞1”是“函数f（x）＝x2﹣ax+a2﹣1有两个正零点”的充要条件C．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件D．“a＞2b”是“a2＞4b2”的既不充分也不必要条件2．下列说法中正确的是（）A．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充要条件B．两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件C．“m≤1”是“关于x的方程mx2+2x+1＝0有两个实数解”的必要不充分条件D．“a≠0”是“ab≠0”的既不充分也不必要条件3．下列函数中，能取到最小值2的是（）A．y=x+1x(x＜0)B．y=1e x+e x(x∈R)C．y=sinx+4sinx(sinx≠0)D．y=x2+2√x+1（x∈R）4．下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，x+1x=−[(−x)+1−x]≤−2√(−x)⋅1−x=−2，故x＜0时，x+1x的最大值是﹣2B．当x＞1时，x+2x−1≥2√x⋅2x−1，当且仅当x=2x−1取等，解得x＝﹣1或2．又由x＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为2+22−1=4C．由于x2+92=x2+4+92−4≥2√(x2+4)⋅92−4=2，故x2+92的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于2=x+4y≥2√x⋅4y=4√xy，∴√xy≤12，又1x+1y≥2√1x⋅1y=√xy ≥212=4，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，1x+1y的最小值为45．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），且f（x）在（0，3）第1 页共24 页。
高三中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试题及答案解析
中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试
文科数学试卷（一卷）
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合U = N, A = x x = 2n,n N,B = x 1 x 6,n N ，则 ( A) B = U
在直角梯形 ABCD 中，AC = 2，AB = 2AP，AP ⊥?PC ， 所以 PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点，所以 PO ⊥ AC ． BE AC = O, BE 面ABCD ，所以 PO ⊥ 平面 ABCD …………………………6 分
（2）法一：以 O 为原点，分别以 OB，OC，OP 为 x 轴， y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设 BO =1
6．点 P, Q 在圆 x2 + y2 + kx − 4y + 3 = 0 上 ( k R) ，且点 P, Q 关于直线 2x + y = 0 对称，则该圆
的半径为
A． 3
B． 2
C．1
D． 2 2
7．已知函数 f ( x) = x3 − x 和点 P (1，−1) ，则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为
文科数学（一卷）答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 化学附答案
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试化学试卷本试卷共300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量：H1 C12 O16 K3 9Fe56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7.化学可以让人类生活更美好，下列有关化学知识的说法不正确的是A.热的纯碱溶液可以代替餐洗净作厨房“洗涤剂”B.铁粉可做食品袋中的“抗氧剂”C.CuSO4因具有氧化性，故用其制成的波尔多液可作“杀菌剂”D.亚硝酸钠具有致癌性，但火腿肠加工中可加少量作“防腐剂”、“发色剂”8.某化合物M的结构简式如图所示，下列说法错误的是A.M可以发生取代、加成、加聚、缩聚反应B.核磁共振氢谱共有9个吸收峰C.1 mol M与足量溴水反应最多消耗4 mol Br2D.1 mol M与足量的NaOH溶液反应最多消耗3 mol NaOH9.X、Y、Z、W四种短周期元素，原子的核电荷数依次增多，X的一种原子无中子，Y、Z形成的化合物具有漂白性，其中的原子个数比为1：1，W的单质常用于自来水的杀菌消毒，下列说法正确的是A.X与Y、Z、W形成的化合物既有共价化合物也有离子化合物B.X、Y、W三元素形成的酸都是弱酸C.上述元素的简单离子的半径大小顺序为：r(X)<r(Y)<r(Z)<r(W)D.Z、X形成的化合物与含酚酞的水反应后呈红色，生成的气体能使带火星的木条复燃10.下列实验操作及现象和结论均正确的是11.某稀硫酸和稀硝酸的混合液25mL ，向其中逐渐加入铁粉，产生气体的物质的量随铁粉质量增加的变化如图所示(硝酸的还原产物为NO ，忽略反应中的溶液体积变化)。
下列有关说法错误的是A.OA 段产生的气体是NO ，AB 段发生的反应为Fe＋2Fe 3＋＝3Fe 2＋，BC 段产生的气体是H 2B.由此推断该条件下，氧化性：NO 3－强于Fe 3＋C.OA 段与BC 段产生的气体的体积比为1：1D.C 点溶质的物质的量浓度为10 mol·L －112.某液态肼(N 2H 4)燃料电池被广泛应用于发射通讯卫星、战略导弹等运载火箭中。
2020年THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试1月诊断 理科数学答案
b1 + b2 + 那么，当 n = k +1时，
+ bk 2k+1 −1 ．
b1 + b2 +
+ bk + bk+1
2k+1 −1 +
2k +1 2k+1 −1 + 2k+2 −1
= 2k+1 −1 +
2k+1( 2k+1 −1 − 2k+2 −1)
( 2k+1 −1 + 2k+2 −1)( 2k+1 −1 − 2k+2 −1)
又 G'
( −3)
=
−
1 e3
− 3e＜0
， lim G' x→−
(x)
=
−3e ，G'
(1)
=
0 ，所以 G ( x) 在 (−,1) 上单调递
减，在 (1, +) 上单调递增． 所以 G ( x) G (1) = 0 f ( x) t ( x) = (3e −1) x − e −1 ，
当且仅当 x = −1 时取“=”
由题意得，直线 l 的斜率存在且不为 0， 可设直线 l 的方程为 x = my +1，
……………………4 分 ……………………5 分
x = my +1
联立方程组
x
2
=
4y
整理得 m2 y2 + (2m − 4) y +1 = 0, =16-16m 0, m 1.
设点 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ，
(x
+1) =b
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学(理)试题(一卷)答案(扫描版)
…………………………7 分
+1)
=b
的根
x1
=
eb 1− e
−1．又 b
=
s
x1
= f ( x1 ) s ( x1 ) ，由 s ( x) 在 R 上
单调递减，所以 x1 x1．
…………………………7 分
另一方面， f ( x) 在点 (1, 2e − 2) 处的切线方程为 y = (3e −1) x − e −1．
设 t(x) = (3e −1)x − e −1
( ) 构造G( x) = f ( x) − t ( x) = ( x +1) ex −1 − (3e −1) x + e +1=(x +1)ex − 3ex + e ．
G( x) = ( x + 2) ex − 3e ， G( x) = ( x + 3) ex ． 所以 G( x) 在在 (−, −3) 上单调递减，在 (−3, +) 上单调递增． ……………………9 分
在直角坐标系下， x = cos , y = sin , = x2 + y2 .
( ) 故化成直角坐标系方程 y + x x2 + y2 = 2 x2 + y2 ，不包括点 (0, 0) ………………3 分
当 =0时 ， (0, 0) 满足原极坐标方程，
( ) 综上，所求的直角坐标方程为 y + x x2 + y2 = 2 x2 + y2
20．解：（1）由已知可得
F
0,
p 2
，
E
0，−
p 2
中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学(一卷)试题 有答案
中学生标准学术能力诊断性测试2021年1月测试文科数学试卷（一卷）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3A =，{}4,5,6,7,8B =，{}2,C y y x x A ==∈，则B C ⋂=（ ）． A ．{}4,6B ．{}4,8C ．{}6,8D ．{}4,6,82．已知1F 和2F 是双曲线2218x y -=的两个焦点，则12F F =（ ）． A ．7B ．3C ．27D ．63．有两条不同的直线m ，n ，以及两个不同的平面α，β，下列说法正确是（ ）． A ．若//m α，//αβ，则//m β B ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥ C ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥4．已知0b >，则“1a b >+”是“1a b >+”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．正项等比数列{}n a 中，21a =，3516a a ⋅=，则2413a a a a ++的值是（ ）．A ．2B ．4C ．8D ．166．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）．A ．154B ．626+C ．6D ．426+7．将函数()22cos 3sin 2f x x x =先向右平移π12个单位长度，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的12倍（纵坐标不变），则所得函数图像的一个对称中心为（ ）．A ．π,012⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,112⎛⎫-⎪⎝⎭C ．π,012⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π,112⎛⎫⎪⎝⎭8．已知1a b ==，向量c 满足c b a a b -+=+，则c 的最大值为（ ）．A ．2B ．C ．3D ．9．四面体ABCD ，AB ，AC ，AD 两两垂直，P ，Q ，R 分别是AB ，AC ，AD 上的点，且AP AQ AR <<，设二面角A PQ R --，A QR P --，A RP Q --的平面角分别为α，β，γ，则（ ）． A ．αβγ>> B ．αγβ>> C ．βγα>>D ．γβα>>10．已知1,,,12a b c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2222a b c ab bc +++的取值范围是（ ）．A ．[]2,3B ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,311．已知椭圆()2221024x y b b +=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF △与2MPF △的面积之和为（ ）． A ．1B ．32C ．2D ．312．数列{}n a 满足1a a =，()21n n a a a a +=+∈R ，且2n a ≤，则a 的取值范围是（ ）．A ．[]2,2-B ．[]2,0-C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：13．已知复数z 满足12i i z +=，其中i 是虚数单位，则z =______．14．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的动直线240mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是_______．15．已知ABC △内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，线段BC 上的点D 满足AD CD =，12tan 5B =，14c =，13BD =，则tanC =______．16．()432661f x x x rx x =-+-+在(]0,3有且仅有三个零点，则实数r 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为13，乙、丙打中的概率均为()144tt <<，若甲、乙、丙都打中的概率是948． （1）求t 的值；（2）设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，求ξ的数学期望．18．在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，FB ⊥平面ξ，BA AC ⊥，且222AB AC AE BF ===，M 是BC 的中点．（1）求证：AM FC ⊥； （2）求CE 与平面FBC 所成角．19．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且11224n n a S +=+n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()21212121n n n n n a a b n a a *+--+=+∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有2n T n m ≥+，求实数m 的取值范围．20．已知抛物线22y px =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上动点A 满足到抛物线内定点()1,1P 的距离与到焦点F 的距离和PA AF +的最小值为2． （1）求抛物线的方程；（2）以PA 为边作平行四边形PABC ，使得B ，C 均在抛物线上，求平行四边形PABC 的面积S 的最小值．21．设函数()2ln f x ax x x =-，其中a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的方程()1f x '=-在区间()0,+∞上有两个不同的根1x ，2x ． （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）证明：212x x e >． （二）选考题：22．[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点()1,2P --，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 8cos 0ρρθθ--=． （1）求C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，求222ABPA PB⋅的最大值.．23．[选修4-5：不等式选讲]已知不等式574x x -+-≤的解集为[],a b ． （1）求a ，b 的值；（2）若0x >，0y >，3bx y a +=，求112x y+的最小值．参考答案1．A 2．D 3．C4．B5．A6．C7．D8．B9．B10．C11．C 12．D1314．1015．4716．9810,9⎛⎫ ⎪⎝⎭17．解：（1）设事件A 表示甲中靶，B 表示乙中靶，C 表示丙中靶， 由已知条件可知：()13P A =，()()4tP B P C ==， 由于A ，B ，C 是独立事件，则()()()()2193448t P ABC P A P B P C ⎛⎫=⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭，可得3t =．（2）ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，ξ的可能取值为0，1，2，()131011346P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()13137111343412P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1312344P ξ==⨯=，即ξ的分布列为：ξ 0 1 2P 16 712 1471131212412E ξ=⨯+⨯=． 18．解：（1）∵FB ⊥平面ABC ，AM ⊂ABC ， ∴FB AM ⊥．∵AB AC =，M 是BC 的中点，∴AM BC ⊥， ∵FB BC B ⋂=，∴AM ⊥面FBC ， ∵FC ⊂面FBC ，∴AM FC ⊥． （2）取FC 中点N ，连接MN ，EN ，∵M 是BC 的中点，N 是FC 中点， ∴MN 为FBC △的中位线，∴1//2MN FB ， ∵1//2EA FB ，∴AMNE 为平行四边形， ∴//EN AM ，由（1）已知AM ⊥面FBC ，∴EN ⊥面FBC，∴NC 是斜线CE 在平面FBC 内的射影， 则CE 与平面FBC 所成的角为ECN ∠． 设2222AB AC AE BF ====， 则90FBA ∠=︒，可得EF =EC =FC ==EFC △为等腰三角形，∴cos 2CN ECN EC ∠===， 可得30ECN ∠=︒，即CE 与平面FBC 所成角为30°． 19．解：（1）12n a +=可化简为22n nn S a a =+， ①当1n =时，解得11a =或0．因为数列{}n a 的各项均为正数，所以11a =． 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+， ② ①－②，则22112n n n n n a a a a a --=-+-， 化简可得()()1110n n n n a a a a --+--=，由于0n a >，10n n a a -+>，则()112n n a a n --=≥， 即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，n a n =． （1）21212211222212121212121n n n b n n n n n n +-⎛⎫=+=+-=+- ⎪-+-+-+⎝⎭， 从而11111222122335212121n T n n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+- ⎪-++⎝⎭， 由于222221n n m n +-≥++对任意正整数n 成立，则2221m n -≥+， 即min2221m n ⎛⎫≤- ⎪+⎝⎭， 因为2221n -+随着n 增大而增大，所以当1n =时，242213n -=+， 所以实数m 的取值范围是43m ≤．20．解：（1）抛物线22y px =的准线:2p l x =-，过点A 做AA l '⊥，垂足为A '，由抛物线的定义可知，PA AF PA AA '+=+， 过点P 做PP l '⊥，垂足为P '， 所以PA AF PA AA PP ''+=+≥， 由题意，12p PP '=+， 所以2p =，抛物线的方程为24y x =．（2）设:AC l x ty a =+，与抛物线联立得2440y ty a --=，设()11,A x y ，()22,C x y ， 由韦达定理121244y y t y y a+=⎧⎨=-⎩，216160t a ∆=+>，设AC ，PB 的交点为G ，则()22,2G t a t +，由于G 为PB 的中点，则()2421,41B t a t +--因为B 在抛物线上， 代入抛物线可得：()()22414421t t a -=+-，即8850a t +-=， （*） 此时2216161616100t a t t ∆=+=-+>恒成立， 对:AC l x ty a =+，令1y =，则x t a =+，1211122APC S t a y y t a =+-⋅-=+-△ 将（*）代入简化得12APC S ==△ 平行四边形PABC的面积2APC S S ==△， 所以当12t =，min S =18a =． 21．解：（1）1a =时，()2ln f x x x x =-，()2ln 1f x x x '=--，则()11f '=， 又()11f =，所以切点坐标为()1,1，则曲线() y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为y x =． （2）由() 1f x '=-，得2ln 0ax x -=，即1x ，2x 是方程2ln 0ax x -=的两根． （ⅰ）设()()ln 0x g x x x =>，则()21ln xg x x-'=， 则()g x 在区间()0,e 上为增函数，在区间(),e +∞为减函数， 当01x <≤时，()0g x ≤， 当1x e <≤时，()10g x e<≤， 当x →+∞时，()0g x →且()0g x >， 则当x e ≥时，()10g x e<≤， 则当102a e <<时，关于x 的方程ln 2x a x=在区间()0,+∞上有不同的两根， 故a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （ⅱ）不妨设12x x <，由（ⅰ）知121x e x <<<，且112ln ax x =，222ln ax x =， 则()()1212122ln ln ln a x x x x x x +=+=， 则()1212ln 2x x a x x =+，()2212112ln ln ln x a x x x x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即2121ln 2x x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，则有()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，即()12212211ln ln x x x x x x x x +=-，要证212x x e >，即证122211ln 2x x x x x x +>-，又12210x x x x +>-，即证()2121212ln x x xx x x ->+，令211x t x =>，即证()214ln 211t t t t ->=-++，设()()4ln 211h t t t t =+->+，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，即()h t 在区间()1,+∞上是增函数，则()()10h t h >=，即()21ln 1t t t ->+成立，故有212x x e >．22．解：（1）曲线C 的极坐标方程为2cos 8cos 0ρρθθ--=，两边同时乘以ρ， 得222cos 8cos 0ρρθρθ--=，把互化公式代入可得22280x y x x --=+，即28y x =，所以曲线C 的直角坐标方程为28y x =． （2）设直线l 的倾斜角为()0αα≠，可得参数方程为1cos 2sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），代入抛物线方程可得()22sin4sin 8cos 120t t ααα⋅-++=，∵0∆>，∴2sin 23cos210a a ++>， 则1224sin 8cos sin t t ααα++=，122120sin t t α=>，12AB t t =-=== ∴221222212ABt t PA PBt t -=⋅()22164cos 4sin cos 2sin 144αααα+⋅-=224cos 4sin cos 2sin 9αααα+⋅-=3cos 22sin 21199αα++=≤，此时符合直线l 与抛物线有两个交点， ∴222ABPA PB⋅23．解：（1）当7x ≥时，2124x -≤，可得8x ≤，∴78x ≤≤， 当57x <<时，5724x x -+-=≤恒成立，∴57x <<， 当5x ≤时，1224x -≤，可得4x ≥，∴45x ≤≤， 综上所述，不等式574x x -+-≤的解集为[]4,8， 即4a =，8b =． （2）834x y +=，()1111113883724242y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17744⎛≥+=+ ⎝当且仅当382834y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2x =43y =-时取等号，故所求最小值为74+。
2020年1月THUSSAT中学生标准学术能力诊断性数学测试卷
(t为参数)
，曲线
C
:
x
y
= =
2 cos a sin
( 为参数),
其中 a 0 ．若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右上方，求 a 的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知正数 x, y, z 满足 x + y + z = 1．
（1）求证： x2 + y2 + z2 1 ； （2）求16x +16y +16z2 的最小值． 2y + 3z 2z + 3x 2x + 3y 5
B． E E, D D
C． E E, D = D
D． E = E, D = D
AB
9．在△ABC 中，若 AB BC = BC CA = 2CA AB ，则 =
BC
A．1
B． 2 2
C． 3 2
D． 6 2
10．在矩形 ABCD 中，已知 AB = 3, AD = 4 ， E 是边 BC 上的点，
ex
A． − e
B． − e 2
C． −e
D． −2e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
第1页 共4页
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13．如图所示的程序框图的输出值 y (0,1 ，则输入值 x
．
14．在△ABC 中， 2b sin A = a cos(B − ) , b = 2 ，若满足条件的 6
EC =1， EF / /CD ，将平面 EFDC 绕 EF 旋转 90 后记为平面
，直线 AB 绕 AE 旋转一周，则旋转过程中直线 AB 与平面 相
交形成的点的轨迹是
全国卷新课标2020年1月诊断性测试理科数学试卷
递增区间．
18．（12 分）如图，多面体 ABCDFE 中，四边形 ABEF 和四边形 CDFE 是
两个全等的菱形， AB = 2 , BAF = ECD = 60 ．
（1）求证： BD ⊥ DC ；
（2）如果二面角 B − EF − D 的平面角为 60 ，求直线 BD 与平面 BCE 所
B．双曲线
C．椭圆
D．抛物线
（第 10 题图）
11．已知函数 f (x) = (ln x −1)(x − 2)i − m(i = 1, 2) , e 是自然对数的底数，存在 m R
A．当 i = 1时， f (x) 零点个数可能有 3 个
B．当 i = 1时， f (x) 零点个数可能有 4 个
C．当 i = 2 时， f (x) 零点个数可能有 3 个
( ) 1,2 时，求 S△OMP 的取值范围． S△ONP
（第 20 题图）
21．（12 分）已知函数 f (x) = (x +1)(ex −1) ．
（1）求 f (x) 在点（-1, f (−1)) 处的切线方程；
（2）若方程
f
(x)
=
b
有两个实数根
x1,
x2
，且
x1
x2
，证明：
x2
−
（第 18 题图）
成角的正弦值．
19．（12 分）已知等比数列{an}的公比 q 1，且 a1 + a3 + a5 = 42, a3 + 9 是 a1 , a5 的等差中项．数列
{bn} 的通项公式 bn =
2n
,nN*．
an −1 + an+1 −1
（1）求数列{an}的通项公式；