【2015汕头一模】广东省汕头市2015年高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题

理 科 数 学

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）

A ．1-

B ．i

C ．0

D ．1 2、若全集{}U 1,2,3,4,5,6=，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（ ） A ．M

N B ．M

N C ．()

(

)U U

M N 痧 D ．()(

)U U

M N 痧

3、若双曲线的标准方程为22

184

x y -

=，则它的渐近线方程为（ ）

A ．0x =

B 0y ±=

C ．20x y ±=

D ．

20x y ±= 4、已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C ．命题()p q ∧⌝是真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题 5、在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且6

π

A =，12

π

B =

，3a =，

则c 的值为（ ）

A ．

B ．3

2

C ．

D ．6

6、设α，β，γ为平面，m ，n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥，n α

β=，m n ⊥ B ．m αγ=，αγ⊥，βγ⊥

C ．αβ⊥，βγ⊥，m α⊥

D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥

7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知()ln ln 1x x x '=+，且101

ln e

S xdx =⎰，

2017S =，则30S 为（ ）

A ．33

B ．46

C ．48

D ．50 8、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于

22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正

整数）：

①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；

③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有（ ）

A ．①②③

B ．①③

C ．②③

D ．①

二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．） （一）必做题（9～13题）

9、把二进制数()2110011化为十进制数，结果为 ．

10、设空间向量()1,2,3a =，()1,,b y z =-，且//a b ，则y = ，z = ．

11、二项展开式5

212x x ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭

中，含4x 项的系数为 ．

12、一元二次不等式20x ax b ++>的解集为()(),31,x ∈-∞-+∞，则一元一次不等式0ax b +<的解集为 ．

13、已知实数x ，y 满足26002x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

，若目标函数z mx y =-+的

最大值为210m -+，最小值为22m --，则实数m 的取值范围是 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14、（坐标系与参数方程选做题）曲线C :22cos 2sin x y α

α

=-+⎧⎨=⎩（α为参

数），若以点()0,0O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图，D A 是C ∆AB 的高，AE 是C ∆AB 外接圆的直径，若36∠BAE =，则D C ∠A = ．

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16、（本小题满分12分）已知函数()2sin 6f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭．

()1求()2015f π的值；

()2判断并证明函数()f x 的奇偶性； ()3设α为第四象限的角，且

sin 31

sin 3

αα=，求3f πα⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值．

17、（本小题满分12分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

()1根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：

()2根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有

关系？

()3若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率． 18、（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

()1求证：BN ⊥平面11C B N ；

()2设θ为直线1C N 与平面1C NB 所成的角，求sin θ的值；

()3设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求C BP

P 的值．

19、（本小题满分14分）在平面直角坐标系x y O 中，已知动点P 到两个定点

()

1F ，)

2

F 的距离的和为定值4．

()1求点P 运动所成轨迹C 的方程；

()2设O 为坐标原点，若点A 在轨迹C 上，点B 在直线2y =上，且OA ⊥OB ，试

判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论．

20、（本小题满分14分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足222

1n n n S n a S -=+（2n ≥，n +∈N ），又已知10a =，0n a ≠，2n =，3，4，⋅⋅⋅．

()1计算2a ，3a ，并求数列{}2n a 的通项公式；

()2若12n

a

n b ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：74n T <．

21、（本小题满分14分）设函数()221ln g x x x m x =-++（R m ∈）．

()1当1m =时，求过点()0,1P -且与曲线()()2

1y g x x =--相切的切线方程； ()2求函数()y g x =的单调递增区间；

()3若函数()y g x =有两个极值点a ，b ，

且a b <，记[]x 表示不大于x 的最大整数，试比较()()sin g a g b ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦

与()()()cos g a g b ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的大小．