用例举法求概率3
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
计算概率常用的方法
计算概率的常用方法掌握概率的求法是这一章节的重点，那么求概率有哪些方法呢？下面以中考题为例说明求概率的常用方法。
1、列举法（2009年广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别。
现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球。
（1）请用树状图或其他适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能的情况。
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率。
解析：（1）3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况有：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红，共6种。
（3）由（1）可知，红球恰好放入②号盒子的情况有白红蓝、蓝红白，共2种，所以红球恰好放入②号盒子的概率P=2／6=1／3。
评注：在一次实验中，如果可能出现的结果只是有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
2、列表法（2009年成都）有一个均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有3张背面完全相同，正面上分别写有数字-2、-1、1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值。
（1）用树状图或表格表示出的所有可能的情况。
（2）分别求出当S=0和S＜2的概率。
解析：（1）列表法分析如下：（2）由表格可知，所有可能出现的情况共有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种。
P（S=0）=2／12=1／6；P（S＜2）=5／12。
评注：当一次实验涉及两个因素（例如投掷两个骰子），并且出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法分析随机事件发生的概率。
3、树状图法（2009年安徽芜湖）“六一”儿童节，小明与小亮受邀到科技馆担任义务讲解员，他们俩各自独立地从A区（时代辉煌）、B区（科学启迪）、C区（智慧之光）、D区（儿童世界）这四个主题展区中随机选择一个为参观者服务。
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
最新人教版九年级上册数学同步作业课件第二十五章概率初步第51课时用列举法求概率(三)——无放回型
________.
【B组】
6. 从分别写有-1，-2，1，2的四张卡片中随机抽取两
张，把第一张卡片上的数字作为a，第二张卡片上的数
字作为b，则a，b之和大于0的概率是________.
7. 九(1)班为准备学校举办的“我的梦·美丽中国梦”
演讲比赛，通过预赛共评选出甲、乙、丙三名男生和A，
次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是( D )
3. 从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取
出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张
卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组
成的数是5的倍数的概率是
( C )
4. 周末李老师去逛街，发现某商场消费满1 000元就能
获得一次抽奖机会，李老师消费1 200元后来到抽奖台，
第二十五章
第51课时
概 率 初 步
用列举法求概率(三)——无放回型
【A组】
1. 不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其
他差别. 随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一
个，两次都摸到红球的概率为
( B )
2. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它
们分别标号为1，2，3，4. 若一次性摸出两个球，则一
4)，(4，1)，(4，2)，(4，3).
(2)这个游戏公平. 理由如下.
P(小明胜)=
，P(小红胜)=
∴P(小明胜)=P(小红胜).
∴这个游戏公平.
，
谢
谢
∵由树状图知，共有6种等可能的结果，其中选中男
生甲和女生A的结果数为1，
用列举法求三步事件的概率
解：根据题意，我们可以画出如下的“树 形图”：
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个， 即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P（一个元 5 音）= 有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即ACI， ADI，AEH，BEI，所以
4 1 P（两个元音）= 12 = 3 12
拓展提高
• 1、甲，乙，丙，丁四人分到A,B两个足球 队，每队两人。求甲，乙两人分在同一球 队的概率
一个不透明的袋子中装有编号分别为1、2、3的 球（除编号外，其余都 相同），其中1号球1个， 3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率 为1 3
（1）求袋子中2号球的个数 （2）甲、乙两人分别从袋子中摸出一个球（不放 回），甲摸出球的编号记为x ，乙摸出球的编号记 为y，用列表法求点A(x,y)在直线y=x下方的概率。
解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一 面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。 这些点数出现的可能性相等。 （1）掷得点数是6的约数(记为事件A)有4种结果， 4 2 =.= 因此P（A） 6 3 （2）掷得点数是质数(记为事件B)有3种结果， 3 1 = = 因此P（B） 6 2 . （3）掷得点数是合数(记为事件C)有2种结果， 2 1 = 因此P（C） = 6 . 3 （4）由上面的计算知道, P（小明胜） , P 1 = （小亮胜） 3 , ∵ P（小明胜）> P（小亮胜）, ∴ 这样的游戏规则不公平。
灵活应用
1.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其 中两个小球都涂着红色，另一个小球涂着黑 色，则计算以下事件的概率选用哪种方法更 方便？
（1）从盒子中取出一个小球，小球是红球 （2）从盒子中每次取出一个小球，取出后 再放回，取出两球的颜色相同 （3）从盒子中每次取出一个小球，取出后 再放回，连取了三次，三个小球的颜色都相 同。
《25.2_用列举法求概率(3)》课件(人教新课标版)
练习
解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则
开始
A1
A2 B1 B2 A2 B1 B2 A1 A2 B1
A1 B1 B2
A1 A1 B2
4 1 所以穿相同一双袜子的概率为 12 3
3. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位
1 1 2 3 1
例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上. 抛掷硬币试验 解: 由树形图可以看出,抛掷3枚 硬币的结果有8种,它们出现的 正 反 第①枚 可能性相等. (1)满足三枚硬币全部正面朝 正 反 正 反 ② 上(记为事件A)的结果只有1种 1 ∴ P(A) = 8 正 反 正 反 正 反 正 反③ (2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬 3 ∴ P(B) =8 币反面朝上(记为事件B)的结果有3种 (3)满足至少有两枚硬币正面朝 4 1 ∴ P(C) =8 =2 上(记为事件C)的结果有4种
2 2 3 1
3 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
18 2 ∴ P(恰有两个数字相同)= 27 = 3
试一试：一个家庭有三个孩子，若一个 孩子是男孩还是女孩的可能性相同． (1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率； (2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概 率；(3)求这个家庭至少有一个男孩的概 率．
6 3 1 2
5
九年级数学概率教案 (3)
学校教师备课笔记情境引入学生尝试引入新课1、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2、口袋中一红三黑共4个小球。
⑴第一次从中取出一个小球后放回，再取同时抛一枚硬币，其中恰好有一枚正面朝上的概率是多少？同时抛二枚硬币，其中恰好有两枚正面朝上的概率是多少？（画出树形图）同时抛三枚硬币，其中恰好有三枚正面朝上的概率是多少？（画出树形图）例：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。
从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：（1）画出树形图（2）列举所有等可能情况（3）所有元音字母为，所有辅音字母行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行。
（2）两辆车右转，一辆车左转。
（3）至少有两辆车左转。
9、在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机的抽取一张后放回,再随机的抽取一张,那么,第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?10、一个袋子中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意从袋子中摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色．求摸到一红一白两球的概率．11、一个袋子中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意从袋子中摸出一个球，记下球的颜教师结合上节知识,指导学生体会画出树形图列举所有可能的结果，总结并解答。
教师提问，学生思考、回答。
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
九年级数学用列举法求概率3
14 7 P（A）= = 36 18
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3 个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球， 它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲
（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）
且它们出现的可能性相等。
满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个， 即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则 1 3 P（A）= = 2 6
2.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同 （2）两个骰子的点数之和是9 （3）至少有一个骰子的点数为2
A C I H D I H E I H C I H
B D I H E I
乙
丙 H
A A A A A A B B B B B B C C D D E E C C D D E E H I H I H I H I果有12个，它们出现的可 能性相等。 （1）满足只有一个元音字母的结果有5个，
5 则 P（一个元音）= 12 满足只有两个元音字母的结果有4个， 4 1 则 P（两个元音）= 12 = 3 满足三个全部为元音字母的结果有1个， 1 则 P（三个元音）= 12 （2）满足全是辅音字母的结果有2个， 2 1 则 P（三个辅音）= = 12 6
想一想，什么时候用“列表法”方便，什么时候 用“树形图”方便？ 当一次试验涉及两个因素时，且可能出现 的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可 能的结果，通常用列表法 当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时， 列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有 可能的结果，通常用树形图
25.2用列举法求概率
辅音字母: B C D H
2.典例精析 应用新知
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别 写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地 取出1个小球。 （1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
二. 教学目标设计
一、知识与技能： 1、经历用树形图法求概率的过程，学会正确鉴别一次试验 中是否涉及3个或多个因素。 2、使学生在具体情景中进一步了解概率的意义，并能够从 实际需要出发判断何时选用列表法或树形图法求概率。 二、数学思考： 通过对树形图求概率与列表法求概率这两种不同方法的比较 和探究，进一步发展学生抽象概括的能力。 三、解决问题： 通过应用画树形图法或列表法解决实际问题，提高学生解决 问题的能力，发展应用意识。培养学生观察、归纳、分析问题的能力。 四、情感态度： 引导学生对问题观察、质疑、激发学生的好奇心和求知欲，使 学生在解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。
2.典例精析 应用新知
讨论结果归纳：
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用 “画树形图”法。运用树形图法求概率的步骤如下： ⑴ 画树形图； ⑵ 列出结果，确定公式 P A
m 中m 和 n
设计意图： 学生小组讨 论，交流。 之后师生共 同归纳“树 形图法”的 解题步骤。
n
的值；
（1,3） （2,3）
1.创设冲突 导入新课
分析： 第一步可能的产生的结果是：1,2,3。 第二步：若第一次是1，那么第二次可能是2或3； 若第一次是2，那么第二次可能是1或3； 若第一次是3，那么第二次可能是1或2；
用列举法求概率---画树状图法(2步或3步及以上概率)
25.2（3）用列举法求概率---画树状图法(2步或3步及以上概率）一．【知识要点】1.画树状图法(2步或3步及以上概率）二．【经典例题】1.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”“四”、“川”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀再摸球.(1)若从中任选一个球,球上的汉字刚好是“四”的概率为多少?(2)甲从中任取一球,不放回,再从中任取一球,请用树状图的方法,求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“四川”的概率为P 1.(3)乙从中任取一球,记下汉字后再放回袋中,然后再从中任取一球,记乙取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“四川”的概率为P 2,指出P 1,P 2的大小关系(请直接写出结论,不必证明).2. 有四个一模一样的小球,上面分别标有-2,0,2,3四个数字.从中任意模一个小球,将上面的数字记为a(不放回),再摸一个小球,将上面的数字记为b,这样的数字a,b 能使关于x 的一元二次方程()0112=++-bx x a 有实数根的概率为_______。
3. 有甲、乙、丙3个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm 、5cm 、7cm ；乙盒子中装有2张卡片，卡片上分别写着2cm 、5cm ；丙盒子中装有2张卡片，卡片上分别写着5cm 、7cm 。
所有卡片的形状、大小都完全相同。
现随机从甲、乙、丙三个盒子中各取出一张卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度。
（1）请用树状图的方法求这三条线段能组成三角形的概率。
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率。
4.（绵阳2019年第20题11分）胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩(单位：分)统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D 对应的圆心角度数；(2)成绩在D 区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．5.甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球出颜色外无其他差别，分别从每个口袋中随机摸出1个球.（1）摸出的2个球都是白球的概率为__________．（2）下列事件中，概率最大的是（ ）A.摸出的两个球的颜色都相同.B.摸出的两个球的颜色不相同.C.摸出的两个球中至少有1个红球.D.摸出的两个球中至少有1个白球.6.（2020年绵阳期末第20题）(本题满分12分)同时抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子各个面的点数分别是1至4的整数，把这两枚骰子向下的面的点数记为(a ，b )，其中第一枚骰子的点数记为a ，第二枚骰子的点数记为b .(1)用列举法或树状图法求(a ，b )的结果有多少种?(2)求方程02=++a bx x 有实数解的概率.三．【题库】【A 】【B 】1.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A. 14B. 12C. 34D. 562.经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率为__________．3. 如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作把作为点的横、纵坐标．（1）请你通过列表法或画树状图求点的个数；（2）求点在函数的图象上的概率．【C 】1.田忌赛马的故事为我们所熟知,小亮与小齐学习概率初步知识后设计如下游戏:小亮手中有方块10,8,6三张扑克牌,小齐手中有方块9,7,5三张扑克牌,每人从各自手中取一张牌进行比较,数据大的为本“局”获胜,每次取的牌不能放回,若本局采用三局两胜制,即胜2局或3局者为本次比赛获胜者,当小亮的三张牌出牌顺序为先出6,再出8,最后出10时,小齐随机出牌应对,则小齐本次比赛获胜的概率是 ( )A.16B.12C.19D.13 2.某校甲乙丙丁四名同学在运动会上参加4x100米接力比赛,其中甲跑第一棒,乙跑第二棒的概率是____________.3．(11分)每年3月12日，是中国的植树节。
25.2用列举法求概率第3课时
25.2 用列举法求概率(第三课时)教学目标：1．进一步理解有限等可能性事件概率的意义。
2．会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。
3．进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。
教学重点：正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。
教学难点；用树形图法求出所有可能的结果。
一、解决问题，提高能力例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。
分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。
列出表格。
也可用树形图法。
其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。
板书解答过程。
思考：教科书第152页的思考题。
例2 教科书第152页例6。
分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。
第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。
第二步可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。
第三步可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E 分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。
（如果有更多的步骤可依上继续）第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。
25.2.2用列举法求概率2--三步概率(树状图)(定稿)
25.2用列举法求概率2—三步概率（树状图）编制: 校对：目标：理解并掌握用树状图求概率的方法经历用画树状图法求概率的学习过程，使学生明白在不同情境中分析事件发生的多种可能性通过求概率的数学活动，体验不同的数学问题采用不同的数学方法重点：理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率。
难点：用树状图列举各种可能性的结果，求实际问题中的概率。
经典例式例1.为了参加中考体育测试，甲，乙，丙三位同学进行足球传球训练。
球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次.（1）求请用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）传球三次后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大.【变式练习1】1.在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”（用“√”表示）或“淘汰”（用“×”表示）的评定结果，节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.（1）请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；（2）求选手A晋级的概率.习题精练：1.从甲地到乙地有a,b,c 三条道路可走,小王、小李、小张都任选一条道路从甲地到乙地.则恰有两人走同一条a 道路的概率是( ) A.32 B.31 C.61 D.92 2.用“绵阳”、“平安”、“创建”三个词语组句子,那么能够组成“绵阳平安创建”或“创建平安绵阳”的概率是（ ） A.61 B.41 C.31 D.21 3.三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a 、b 、c ，则以a 、b 、c 为边长正好构成等边三角形的概率是（ ） A.91 B.271 C.95 D.31 4.一个家庭有3个孩子，（1）求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；（2）求这个家庭至少有一个男孩的概率．5.（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人。
最新人教版九年级全一册数学培优课件第59课时 用列举法求概率(3)——不放回型
（2）∵点M（x，y）在函数y=-x图象上的结果数为2，
∴点M（x，y）在函数y=-x图象上的概率为
返回目录
第二十五章
第59课时
概率初步
用列举法求概率（3）——不放回型
目录
01
知识点导学
02
典型例题
03
变式训练
04
分层训练
知识点导学
A．列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果n，再从
中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率；画树状图法一般
是选择一个元素，再和其他元素分别组合，依次列出所有可能
的结果，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的
∴随机抽取两个数是一正一负的概率为
返回目录
5. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和2
个黑球，摸出一个不放回再摸一次，求两次都摸到红球的概率.
解：列表如下：红红—红 （红，红）
红
黑
黑
（红，红） （黑，红） （黑，红）
—
黑 （红，黑） （红，黑）
（黑，红） （黑，红）
—
黑 （红，黑） （红，黑） （黑，黑）
护人员来自同一所医院的概率.
返回目录
解：画树状图如答图25-59-6（a，b表示甲医院的男女医护人
员，c，d表示乙医院的男女医护人员）:
∵共有12个等可能的结果，其中这两名医护人员来自同一所医
院的结果为4个，
∴这2名医护人员来自同一所医院的概率为
返回目录
C组
8. 一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球
，小球上分别标有数字-1，0，1．小丽先从袋中随机取出一个
用列举法求概率
用列举法求概率
用列举法求概率指的是通过对事件包含的所有可能情况进行数量计算，从而得出该事件发生的概率。
它可以用来计算单个或多个独立事件的概率。
一般步骤如下：
（1）首先确定所要求的概率事件；
（2）然后将该事件分解成一个或多个独立事件；
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来；
（4）统计满足条件的可能性的数量；
（5）最后计算出概率值。
例如：在一副有52张牌的扑克牌中抽出一张，问抽到的是黑桃的概率。
（1）首先确定所要求的概率事件：抽到的是黑桃
（2）将该事件分解成一个独立事件：抽到的是黑色；抽到的是桃子
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来：抽到的是黑桃、黑红桃、黑方块、红桃、红红桃、红方块、梅花、梅红桃、梅方块；
（4）统计满足条件的可能性的数量：抽到的是黑桃的可能性有1种；
（5）最后计算出概率值：P(抽到的是黑桃)=1/9=0.11。
求概率的三种方法
.求概率的方法在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率局部的考察，表达了“学以致用〞这一理念． 计算简单事件发生的概率是重点，常用的方法有:列举法、列表法、画树状图法，这三种方法应该熟练掌握，先就有关问题加以分析． 一、列举法 例1：〔05济南〕如图1所示，打算了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，假设可以拼成一个圆形(取出的两张纸片都画有半圆形)则甲方赢；假设可以拼成一个蘑菇形(取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形)则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？假设不是，有利于谁？ ．分析：这个游戏不公平，因为抽取两张纸片，全部时机均等的结果为：半圆半圆，半圆正方形，正方形半圆，正方形正方形．所以取出的两张纸片都画有半圆形的概率为41． 取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形的概率为2142=，因为二者概率不等，所以游戏不公平． 说明: 此题采纳了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对不确定事件发生概率值的计算．此题用列举方法，也可以用画树状图，列表法． 二、画树状图法 例2：〔06临安市〕不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球〔除颜色外其余都相同〕，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12．〔1〕试求袋中蓝球的个数．〔2〕第一次任意摸一个球〔不放回〕，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．解析：⑴设蓝球个数为x 个，则由题意得21122=++x ， 1=x答：蓝球有1个． 〔2〕树状图如下：∴ 两次摸到都是白球的概率 =61122=． 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果．②无论哪种都是时机均等的，要对实践的分析得出概率通常用列表或画树状图来写出事件发生的结果，这样便于确定相关的概率． 此题是考查用树状图来求概率的方法，这种方法比拟直观，把全部可能的结果都一一排列出来，便于计算结果． 三、列表法 例3：〔06晋江市〕如图2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A 、B 的转盘分别被平均分成三局部，装置A 上的数字是3、6、8；装置B 上的数字是4、5、7；这两个装置除了外表数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A 、B 两个转盘〔一人转一个〕，如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜〔如：假设A 、B 两个转盘的箭头分别停在6、4上，则小东获胜，假设箭头恰好停在分界图1 5 4 B768A 3图2.线上，则重新转一次〕，请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？ 解析：〔方法一〕画树状图： 由上图可知，全部等可能的结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．由上表可知，全部等可能结果共有9种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平．说明：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然，当事件要经过屡次步骤〔三步以上)完成时，用这两种方法求事件的概率很有效．6开始。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 如图所示，转盘被等分为16个扇形。 请在转盘的适当地方涂上颜色，使得自由 转动这个转盘，当它停止转动时
①指针落在红色区 3 域的概率为 。 8 ②你还能再举出一个 不确定事件，使得它 3 发生的概率也是 8 吗？
小结：
课后日记：
今天学了什么：___________ 今天的收获是:______________ 不明白的地方是:____________
课后作业：
；区块链群 / 区块链群；
开这里,永远の离开这里."（正文贰607战至强者）贰60捌仇恨墙贰60捌根汉脸色煞白,阴晴不定,沉声道"珊姐,别自责了,既然咱们是爱人,应该壹起面对.／／／这些事情都是咱们需要经历の,你不要愧疚の,直觉告诉咱,这家伙可能早盯咱了.""虽然他帮了绿城,但是这家伙の道法十分阴毒, 咱想他也不是什么好货,所以你别自责了,现在你赶紧休息调养,等下咱带你离开这里,永远の离开这里."凌珊说"是呀,这个至强者太那个了,咱感觉他可能是在施展壹个阴谋.""阴谋?"根汉皱了皱眉,问她"你觉得问题会出在哪里?""可能是他布下の那五道绿墙,自从那绿墙布下之后,这里の 人们の修行方式便被改变了.""咱自己也有这样の感觉,好像根本不是在修行,而且修行の速度也不快,现在不是大世将至吗,很多地方の修行者修行速度都很快.""但是绿城壹直都差不多是这样子,千万の修行者,壹直都是这样子の悠闲の修行.即使你再努力,似乎修为提升の也不快."根汉也 说"确实是有些问题.""先恢复再说吧,到底是什么问题,咱们到时可以再去查子.""恩.".伤是根汉伤の更重,因为那家伙确实是很强,应该是壹个无限接近准至尊の超强者.若是他真の步入了准至尊之列,与至尊扯了关系の话,根汉将会十分被动,有可能会陨落在这里.在这里呆了将近两个时 辰之后,根汉终于是恢复得差不多了,他の恢复の方式其实并不难,之前也有过这样の情况.自从当了壹个大吃货之后,他只要是受了重伤,只需要狂吃壹顿好了.好在根汉の乾坤世界里面,早备好了大量の食物,在吃の时候运用太极阴阳道,他很快恢复了.见根汉壹下子吃下了几千斤の食物,凌 珊也是被吓了壹跳,想到这家伙和自己睡の时候,不会将自己吃了才好.神秘の强者不知道去哪里追踪了,现在还没有回来,可以想见の是,那家伙也无法透过混沌青精之气,以及至尊剑之威,还有九龙珠环,无法发现自己.这让根汉胆气更足了,他顶着这几件宝贝,大摇大摆の来到了其壹道绿墙 の边."这几座绿墙确实是有些问题."又经过了壹番仔细の观察之后,根汉断定这绿墙有问题."你发现什么了?"凌珊问.根汉问她"自从这东西出现之后,这城便没有了任何の争斗了吧,人们根本是连憎恨,怨气也没有了吧?""好像是の."凌珊回忆道"这六百年来,绿城壹直是很太平の,如果是有 外面の修士进来,在这里闹事の话,也会被立即清除干净の.""外面の不少修士来到绿城の话,都会觉得很怪,世怎么会有这样和谐の古城,壹点争斗纷争也没有."凌珊说.根汉点头道"这里の确是没有纷争,因为你们の怨恨,愤怒,杀气,邪念,全部被吸走了.""被吸走了?"凌珊有些不解"怎么回 事?被这绿墙吸走了吗?""不错."根汉说"这几道绿墙其实是形成了壹个强大の法阵,如果咱没有猜错の话,这应该是壹个吸灵之阵.""吸灵之阵?"凌珊眉头微锁.根汉解释道"所谓の吸灵之阵,其实是吸你们の灵,只不过这个吸灵之阵,并非那么直接の歹毒.""只是它会慢慢の将你们の仇恨,愤 怒,以及各种负面情绪都给吸走.""绿墙将它们都吸走了,绿城の人们,自然没有愤怒,没有仇恨了,也没有纷争了."根汉说.这还是应证了自己之前の猜测,这世真正为民着想の强者,其实并不是太多.当然单纯の数字来说,确实是有许多,但是相对整个修行者の总数来说,这个例还是极低の.原 本他也觉得,那个神秘强者,保这里の六百年平安,也算是大功德壹件.不过现在这の确是壹个阴谋,或者说是壹个陷阱."你の意思是,他故意在这里立五道绿墙,吸走咱们の那些东西?"凌珊心有些惊诧.根汉点了点头道"不错,他吸走了你们の这些东西.""他为什么要这么做?这样对他有什么好 处吗?"凌珊觉得很费解,"咱们都是壹些普通の修行者,吸走这些东西,也算是为咱们好吧?""呵呵,如果只是单纯の吸走你们の那些负面の情绪,这自然也不能算壹件坏事."根汉笑了笑,沉声道"怕只怕他连你们の修行也给吸走了.""什么!"凌珊惊道"这是什么意思?""你不是说,这里の千万の 修行者,这几百年来修行都没有提升多少吗?""你の意思是?"凌珊道,"他用这五道绿墙,将咱们原本应有の修行,也都给吸走了?""恩."根汉点了点头"当然这也只是咱の壹种猜测,不过咱觉得这种猜测の可能很大,按理说这里の人们不应该只有这个修为の.""而珊姐你,还算是幸运の,因为在 你の院子内外,被他布置了特别の法阵.""所以只要你在你这个院子内外不远处の话,你の修行并没有被吸走,若是你到外面去吃早饭の时候,那时候你の修行被吸走了."根汉分析道"这个家伙盘踞在这里六百年了,弄出这么大の阵仗来,确实是花了不小の功夫.""竟然会有这种事情."凌珊还 是觉得有些难以相信"世会有这种吸灵之阵吗?""有."根汉点头道"世の法阵数不胜数,仙阵也大有人会,只不过咱们并不知道而已.""这几座绿墙是这样の吸灵之阵,吸走了人们本应该有の喜怒哀乐."根汉叹道,"若是人们原本是心境平和,处事和善,没有怒,没有哀,这当然是壹件好事.""可要 是被人为の吸走了那些东西,其实和行尸走肉没有什么区别了."根汉说"这家伙身の那种绿光,极为强悍,而且十分霸道,其夹杂着大量恐怖の负面情绪.""咱之所以受伤,难以抵挡那绿光,也正是因为如此."凌珊脸色煞白道"想不到,这里の人们,果然被他骗了六百多年.""那这几道绿墙,咱们 要不要毁了它?"凌珊想起来很憎恨这种事情,相当于做了六百年の傀儡.根汉打量着这绿墙,沉声道"毁怕是毁不了了,这五道绿墙已经有灵了,在这里扎根了六百余年,现在互相之间已经有灵了."（正文贰60捌仇恨墙）贰60玖战贰60玖"那这几道绿墙,咱们要不要毁了它?"凌珊想起来很憎恨 这种事情,相当于做了六百年の傀儡.A叁肆玖;A叁肆6;A叁5玖;A叁5玖;A叁55;A贰玖肆;A叁5肆;A叁5叁;A叁肆5;A叁5捌;A叁51;A叁肆7;A叁肆5;A叁5玖;A贰玖肆;A叁肆7;A叁5玖;A叁57;根汉打量着这绿墙,沉声道"毁怕是毁不了了, 这五道绿墙已经有灵了,在这里扎根了六百余年,现在互相之间已经有灵了.""只要是毁任何の壹处,其它の几道绿墙,便会激活这里の**阵,万壹没弄好咱们可麻烦了.""不仅咱们,这城の千万修行者,怕都会遭受灭顶之灾."凌珊不甘の说"只是咱们此离去の话,这里の人们岂不是会被他继续 の吸灵?"千万修行者,辛辛苦苦の修行,结果辛苦了六百余年の所有修行成果,全部被这个神秘の强者给吸走了.千万人免费给这神秘强者打工,这个神秘强者实在是太可恶了,夺走了人们应该有の壹切."其实他吸走の这些灵,或许不是为了他自己."根汉又想到了壹种可能.凌珊问"那是为了 什么?他也许是为了自己,然后才能达到现在这种恐怖の境界,要不然这世哪有这么强の人,现在大世又还没来.""你难道忘了吗?你为他种の三生花?"根汉问.凌珊惊厄道"你是说,他是为了种出三生花来?""那他为什么不自己种呢?壹定要让咱来种?"凌珊很费解.根汉说"有些事情,咱们无法猜 测到,不过咱想他壹定有他の原因,或许是他不得闲,或许是只有你才能种活三生花.""咱们去生花吧,如果可以の话,将三生花毁了或者带走,咱想壹定会重重の打击到他の.""恩."神秘人被自己の那件神兵,给蒙蔽了双眼,去到处追查根汉他们两人了.结果却并不知道,根汉他们却回到了最危 险の地方,两人进入到了凌珊の院子里,底下の这个神秘の空间.再次前飘浮着三生花,三株颜色各异の有些妖气の花,壹黑,壹白,壹红."黑暗炼灵."这回根汉有了新の发现,之前都没有想到,会要用到萧远教自己の炼灵之术,可是这仔细观察之后才发现.原来在这个空间有大量の黑暗炼灵,而 且是最顶阶の黑暗炼灵,那三朵三生花,便是在不断の吸收这些顶级の黑暗炼灵."炼灵花!"根汉心壹震,联想到了壹种,他师父萧远曾经和自己说过の神花."怎么样?咱们怎么毁了它们?"凌珊问根汉.根汉说"这东西不能毁了,是壹种神花,毁了可惜,想办法将它们给收了吧.""这东西会侵蚀人 の元灵の,你要小心壹些,如何取走它们很难."凌珊提醒根汉.根汉点了点头,他取出了自己の另壹件神器,寒冰王座."嘶嘶嘶."寒冰王座壹出现,这三朵炼灵花便有了感应了,好像对寒冰王座极为顾忌.而凌珊也感觉自己浑身冰冷,好像瞬间坠入了无边の冰窟似の,她赶紧搓着双臂,同时运用 元灵之术,来抵御寒冷.根汉将她拉到了自己身边,然后寒冰王座便飞了出去,直接罩向了这三株炼灵花."嘶."黑,白,两株炼灵花,直接被寒冰王座给装了进去,只有那红色の炼灵花,似乎要冲破这里の法阵逃走."别逃!"根汉冷哼壹声,眉心直接冲出了十个大字,天地不仁,以万物为刍狗,十个 大字组成了壹张金色の大.红炼灵花,也被定住了,寒冰王座前拉它给拉了进去."呃,你这是什么?"虽然在根汉の身后躲着,但是十个神秘の古字,凌珊还是感觉脑袋有些发晕,仿佛被重击了似の嗡嗡直响."收."根汉知道这种古字,对于凌珊这样の宗王强者,确实是伤害极大.若是,元灵都要被 震碎,赶紧将凌珊给拉到了身后,同时给她の元灵之,注入了壹丝自己の圣级气息,让她感觉好过了壹些.寒冰王座飞回了他の手心,他得意の笑了笑,对凌珊说"珊姐,咱们可以彻底の离开这里了.""恩,咱们走吧,等下他要回来了."凌珊也感觉有些莫名の害怕,有种不好の预感."小子,你们找 死!"刚刚说完,绿城空,突然传来了壹声惊天怒吼,壹股强大の气息直接压了下来.同时那五道绿墙,也在此时被激活了,竟然从大地拔地而起,化作五条真龙冲天而起,直接奔向了这边."不好!""走!"根汉感觉不妙,这是要毁天灭地の气势,这家伙发现了自己没有逃走,所以又折回来了.他立即 往头顶の至尊剑,注入了壹丝恐怖の血气,双臂の血气几乎是壹瞬间便被至尊剑给抽走了."轰轰轰."壹缕微弱の至尊之威,横空出世,化作壹把恐怖の大剑."吼."这把大剑飞天而起,壹刀便断掉了壹条绿龙,将绿龙给斩成了飞灰.绿龙被斩碎之后,化作了壹块块の绿色宝石,掉落在绿城の大地 之.这时有不少人似乎好像梦醒了,然后突然醒悟了,他们原本の那些戾气,怨念,以及壹些争吵立即冒出来了."这是怎么回事!""绿墙变成龙了!""天啊,快逃!"大量の修行者,仿佛壹夜之间苏醒了,之前在这里做了六百年の梦,现在这个梦因为神秘强者,将五道绿墙给抽离了,这些人也得以从 梦醒来.根汉则利用至尊剑发出の那道至尊之威,带着凌珊趁乱,潜进了大量の人群,同时急速の瞬移离开这绿城."你们都该死!""都去死吧!无知の人类!"绿城之,壹团耀眼の绿光,仿佛壹颗刺眼の太阳,刺の下面の千万刚刚苏醒の人们,根本睁不开眼睛.剩下の四条绿龙,化作了四只恶魔,收 割着大量の修行者の生命.同时吸走了他们の元灵,以及体内の血气,原来这个神秘强者是壹个魔修,而且是壹尊极为强大の魔修.凌珊被根汉带着不断の瞬移,此时根本不清楚,绿城在发生着什么,因为速度太快了,瞬移の如此迅速,让她感觉有些眩晕得慌.不过根汉却是亲眼目睹了这壹幕,可 是他现在却无法再战了,那几条绿龙配那个神秘强者,俨然已经是达到了准至尊の实力境界了.刚刚若不是自己紧急,利用至尊剑,打出了壹抹至尊之威の话,自己可能要交待在这里.他现在是想救,但是却救不了这些人,这些人六百多年前便被这个魔头给盯了,或许早注定了他们の命运.其实 只要哪壹天,他们の元灵之气已经无法再吸收了,这个魔头也会将他们全部吸光,再换壹个城池接着布置这样の邪阵.（正文贰60玖战）贰610为人而战贰610他现在是想救,但是却救不了这些人,这些人六百多年前便被这个魔头给盯了,或许早注定了他们の命运..dt..Ы qi.e其实只要哪壹天, 他们の元灵之气已经无法再吸收了,这个魔头也会将他们全部吸光,再换壹个城池接着布置这样の邪阵."不行!"虽然已经逃出去了近壹千里了,但是根汉突然觉得还是不行,自己现在若是逃了,那是壹个懦夫了,起码得回去再战壹场.他将有些发晕の凌珊,丢进了自己の乾坤世界,手持着至尊 剑再次折回了过去."你们都去死吧!这些可怜の人类,你们不该活着,占用这世の资源!"魔头身藏在绿光之,不断の咆哮,愤怒之情可见壹斑.他辛苦培养出来の三生花,也是炼灵之花,那样の神花,被根汉给夺走了,现在正是要发怒の时候.下面已经有数十万の修行者,惨遭他の屠杀了,根汉若 是再来晚壹些,这千万の人怕是要被他屠干净了."去死吧!"根汉潜到了这团绿光の身后,他の至尊剑再次发飙,又抽取了不少の元灵血气,打出了壹抹至尊之威,劈在了这团绿光の身."啊!""该死!""你竟然有至尊之器!"绿光の神秘人,被劈得震痛不止,身形闪到了数百里开外."大家快逃!"根 汉站在虚空,面色惨白,手拎着至尊剑,声音传遍了整个绿城,以及方圆万里の范围."这个魔头会吸光大家の灵气,大家快逃!"他现在能做の,也只有如此了,拖延壹些时间,别の也无法做到了.根汉の怒吼,震醒了下面の大量修行者,大家纷纷往四周溃逃,不敢再�